Szilárdságtan példatár Járműváz- és Könnyűszerkezetek Tanszék udapesti Műszaki és Gazdaságudományi Egyetem ii
iii
bstract Ez a példatár elsősorban a Közlekedésmérnöki és Járműmérnöki Kar Sc hallgatóinak készült. z itt található feladatok lefedik az előadásokon és a gyakorlatokon elhangzottakat.
példatár létrejöttében közreműködött alázs Ágoston, orberger Árpád, Galambosi rigyes, Soós Gábor, Vörös Gábor. jelölt ábrák a reative ommons licensz alapján kerültek felhasználásra (http://creativecommons.org/).
vi
Tartalomjegyzék Ábrák jegyzéke Táblázatok jegyzéke xi xv 1. Húzás 1 1.1. Összefoglalás.............................. 23 2. Hajlítás 27 2.1. Összefoglalás.............................. 44 vii
TRTLOMJEGYZÉK viii
Ábrák jegyzéke 1.1. xiális terhelés............................. 1 1.2. xiális terhelés............................. 2 1.3. xiális terhelés............................. 2 1.4. xiális terhelés............................. 3 1.5. xiális terhelés............................. 4 1.6. Szabad test ábra............................ 4 1.7. Elmozdulások............................. 5 1.8. savarkötés.............................. 6 1.9. Szabad test ábra............................ 6 1.10. Szabad test ábra............................ 7 1.11. akelit elem.............................. 7 1.12. Hengeres alkatrész.......................... 8 1.13. xiális terhelés............................. 8 1.14. xiális terhelés............................. 9 1.15. xiális terhelés............................. 9 1.16. xiális terhelés kezdeti hézaggal.................. 10 1.17. savarkötés.............................. 11 1.18. Szabad test ábra............................ 12 1.19. Szabad test ábra............................ 12 1.20. savarkötés.............................. 13 1.21. Szabad test ábra............................ 14 1.22. Elmozdulások............................. 14 1.23. Különböző anyagok hosszváltozása................. 15 1.24. Különböző anyagok hosszváltozása................. 15 1.25. Drótok hosszváltozása........................ 16 1.26. Drótok hosszváltozása........................ 17 1.27. Drótok hosszváltozása........................ 17 1.28. Szerkezet hosszváltozása....................... 18 1.29. savarkötés.............................. 19 1.30. savarkötés.............................. 20 ix
ÁRÁK JEGYZÉKE 1.31. Hőmérséklet emelkedés hatása.................... 20 1.32. Szabad test ábra, elmozdulás..................... 21 1.33. Hőmérséklet emelkedés hatása.................... 21 1.34. Hőmérséklet emelkedés hatása.................... 22 1.35. Hőmérséklet emelkedés hatása.................... 23 1.36. Szakítódiagram (wikipedia)..................... 24 1.37. eszültség eloszlása (wikipedia)................... 24 1.38. Hosszváltozás............................. 25 1.39. Statikailag határozatlan feladat................... 26 1.40. Hosszváltozás (wikipedia)...................... 26 2.1. Hajlítás................................. 27 2.2. Hajlítás................................. 28 2.3. erde hajlítás.............................. 29 2.4. nyomaték felbontása........................ 29 2.5. Hajlított I tartó............................. 30 2.6. Hajlított tartó............................. 31 2.7. tartó keresztmetszete........................ 31 2.8. Hajlított tartó............................. 32 2.9. Semleges tengely helyzete...................... 32 2.10. Hajlított oszlop............................ 33 2.11. redukálás eredménye........................ 33 2.12. Hajlított I tartó............................. 35 2.13. keresztmetszet méretei....................... 35 2.14. redukálás eredménye........................ 35 2.15. Hajlított tartó............................. 37 2.16. semleges tengely helyzete..................... 37 2.17. Hajlított tartó............................. 38 2.18. redukálás eredménye........................ 38 2.19. Hajlított tartó............................. 39 2.20. redukálás eredménye........................ 39 2.21. Hajlított tartó............................. 41 2.22. főirányok............................... 41 x
ÁRÁK JEGYZÉKE 2.23. Hajlított tartó keresztmetszete.................... 43 2.24. Nyomaték felbontása és a semleges tengely helyzete....... 43 2.25. Hajlítás különböző tengelyek körül (wikipedia).......... 44 2.26. Hajlítás esetén a görbület (wikipedia)................ 45 2.27. Hajlítás esetén a feszültség eloszlása................ 45 2.28. Húzás és hajlítás szuperpozíciója.................. 46 2.29. erde hajlítás esete.......................... 47 2.30. semleges tengely helyzete..................... 47 2.31. Hajlítás különböző tengelyek körül (wikipedia).......... 48 xi
ÁRÁK JEGYZÉKE xii
Táblázatok jegyzéke xiii
TÁLÁZTOK JEGYZÉKE xiv
ejezet 1 HÚZÁS 1. eladat z alábbi d 1,d 2 átmérőjű kompozit alkatrészt koncentrált erőkkel terheljük. z szakasz sárgarézből míg a szakasz acélból készült. hosszúságok mm-ben adottak. (a) Határozza meg a szerkezet teljes hosszváltozását ( = 0.3435mm )! d 1 datok 750 d 1 50 mm d 2 30 mm 100 kn 1000 d 2 E a 200 GPa E r 105 GPa 1.1. ábra. xiális terhelés 1
1. HÚZÁS 2. eladat z alábbi d 1,d 2 átmérőjű kompozit alkatrészt koncentrált erőkkel terheljük. z szakasz sárgarézből míg a szakasz acélból készült. hosszúságok mm-ben adottak. (a) Határozza meg a szerkezet teljes hosszváltozását ( = 1.435mm )! datok 750 d 1 d 1 50 mm d 2 30 mm 1000 d 2 100 kn E a E r 200 GPa 105 GPa 1.2. ábra. xiális terhelés 3. eladat z alábbi szerkezetet egy koncentrált erő terhel. rúd keresztmetszete. hosszúságok mm-ben adottak. (a) Mekkora lehet a terhelő erő ha a megengedett feszültség adott (=62.745 kn)? 135 240 datok 450 800 mm 2 120 σ max. 50 MPa 1.3. ábra. xiális terhelés 2
4. eladat z alábbi szerkezetet és D rúdjai egyaránt keresztmetszetűek. Ezekhez a merevnek tekinthető E rúd csatlakozik. hosszúságok mmben adottak. terhelés az E pontban ébred. (a) Mekkora lehet a függőlegesen felfele terhelő erő ha a megengedett feszültség adott? (b) Mekkora lehet a függőlegesen lefele terhelő erő ha a megengedett feszültség adott? D 200 200 E datok 150 mm 2 σ max. 200 MPa 200 300 1.4. ábra. xiális terhelés 3
1. HÚZÁS 5. eladat merevnek tekinthető DE rúdhoz az és D rudak csatlakoznak. z rúd alumímium (E=70 GPa), keresztmetszete 1 míg a D rúd acél (E=200 GPa) és keresztmetszete 2. terhelés ismert. hosszúságok mm-ben adottak. (a) Meghatározandó a pont függőleges elmozdulása! (b) Meghatározandó a D pont függőleges elmozdulása! (c) Meghatározandó az E pont függőleges elmozdulása! datok 400 1 500 mm 2 300 2 600 mm 2 D E 30 kn 200 400 1.5. ábra. xiális terhelés R R D Szabad test ábra és egyensúlyi egyenletek M = 0 : 0.6 + 0.2R D = 0 200 400 R D = 90kN, M D = 0 : 0.4 0.2R = 0 R = 60kN, 1.6. ábra. Szabad test ábra 4
Elmozdulások pont elmozdulása, mivel R negatív = R 0.3 1 E = 0.514mm Δ c G D E D pont elmozdulása, mivel R D pozitív 200-x x Δ D Δ E D = R 0.4 2 E = 0.3mm Hasonló háromszögek alapján az E pont elmozdulása = G D GD x = 73.7mm E = GE D GD E = 1.928mm 1.7. ábra. Elmozdulások 6. eladat merev keret és, két 18 mm átmérőjű acél csavarral D és E kapcsolódik a 36 mm átmérőjű alumímium hengerhez. Mindkét csavar 2 mm-es menetemelkedésű. csavarokat miután hézag nélkül felraktuk a két végükön (D,) negyed fordulattal meghúzzuk. Ismert mindkét anyag rugalmassági modulusza. (a) Meghatározandó az alumínium hengerben ébredő normál feszültség! Relatív elmozdulás eltesszük, hogy a keret része nem mozdul el. Ekkor a meghúzás miatti hosszváltozás 1 40.002m = 0.0005m D = 0.0005m 5
1. HÚZÁS 375 D datok E alu 70 GPa G H E a 200 GPa E 300 1.8. ábra. savarkötés R k R k Szabad test ábra csavarok meghúzása miatt a D és E rudak húzásnak vannak kitéve. szimmetria miatt mindkét rúd azonos mértékben nyúlik meg R b R b k = R kl k a E a = R k 0.375 1 4 π(0.018)2 200 = 7.36810 9 R k R k R k csavarok meghúzása miatt a GH rúd nyomásnak van kitéve. hosszváltozás pedig b = R bl b R = b 0.3 alu E 1 alu 4 π(0.036)2 70 = 4.210 9 R b 1.9. ábra. Szabad test ábra Vagyis a csavarok megnyúlása és az alumínium rúd rövidülése D kell hogy legyen D = k b (1.1) 6
R k Szabad test ábra keretre ható erők és az egyensúlyi egyenlet ez alapján = 0 : R b 2R k = 0 (1.2) R b elhasználva (1.1) és (1.2) egyenleteket a megoldás R b = 63.34kN R k = 31.67kN R k feszültség az alumínium rúdban pedig σ = R b alu = 62.2MPa 1.10. ábra. Szabad test ábra 7. eladat z alkatrész 5 mm vastag bakelitből került kivágásra. terhelése az koncentrált erőből áll. (a) Meghatározandó az alkatrész teljes hosszváltozása (0.794 mm)! (b) Meghatározandó a szakasz hosszváltozása (0.484 mm)! D datok 25 10 E 3.1 GPa 40 50 40 1.5 kn 1.11. ábra. akelit elem 8. eladat z alábbi alkatrész egy csőből ( bronz,e bronz ) és a benne levő hengerből áll ( a,e a ). cső anyaga bronz, a hengeré acél. Koncentrált erő terheli. (a) Meghatározandó az alkatrész teljes hosszváltozása! 7
1. HÚZÁS (b) Meghatározandó az erő a hengerben! (c) Meghatározandó az erő a csőben! cső henger L Megoldás = R al a E a R a = a E a a E a + bronz E bronz R bronz = bronz E bronz a E a + bronz E bronz 1.12. ábra. Hengeres alkatrész 9. eladat z alábbi hengeres alkatrészt egy koncentrélt erő terhel. (a) Meghatározandó a csuklókban ébredő reakciőerők! a Megoldás L b R = b L R = a L 1.13. ábra. xiális terhelés 8
10. eladat z alábbi, két különböző keresztmetszetű hengeres alkatrészt koncentrált erő terhel. hosszúságok mm-ben adottak. (a) Meghatározandó a támaszokban ébredő reakciőerők! 150 150 datok 250 mm 2 150 150 2 400 mm 2 300 kn 1.14. ábra. xiális terhelés Δ=0 2 R 1 2 = + 3 4 Δ L Δ R R Megoldás szuperpozíció alkalmazásával Mivel a feladat statikailag határozatlan, ezért első lépésben határozottá tesszük a szerkezetet a támasz elvételével. Ezáltal a szerkezet megnyúlása L a négy részre bontott test alapján számolható L = 4 i=1 R i L i i E i 1.15. ábra. xiális terhelés 9
1. HÚZÁS L = 4 i=1 ( ) R i L i 900000 600000 600000 0.15 = + + i E i 250 10 6 250 10 6 400 10 6 + 0 E = 1.125 109 E (1.3) teljes szerkezetre ható reakcióerő R által okozott deformáció ugyanaz lesz, mint az előbb számolt határozott szerkezet esetén R = L R = R 0.3 250 10 6 E + R 0.3 400 10 6 E (1.4) elhasználva (1.3) és (1.4) egyenleteket R = 577kN. Ezzel R = 323kN 11. eladat z alábbi, két különböző keresztmetszetű hengeres alkatrészt koncentrált erő terhel. terheletlen állapotban az alkatrész és a támasz között a távolság. távolságok mm-ben adottak. (a) Meghatározandó a támaszokban ébredő reakciőerők! 300 datok 250 mm 2 400 mm 2 300 2 300 kn Δ 1.16. ábra. xiális terhelés kezdeti hézaggal Megoldás z előző feladattól eltérően most az eredő hosszváltozás nem nulla hanem lesz. határozott feladat alapján létrejövő alakváltozás az előzőek 10
alapján = L + R = 1.125 109 E 1.125 109 L = E R + 0.3 250 10 6 E + R 0.3 400 10 6 E Innen R = 115.4kN. z egyensúly miatt R = 784.6kN. 12. eladat z alábbi 10 mm átmérőjű E és a 15 mm átmérőjű DG rudat a merev D gerendához csatlakoztatjuk. rudak anyaga alumínium. hosszúságok mm-ben adottak. (a) Meghatározandó a rudakban ébredő erők! (b) Meghatározandó az pont eltolódása! 450 300 200 D 600 E datok 70 GPa 750 32 kn E G 1.17. ábra. savarkötés 11
1. HÚZÁS Szabad test ábra z egyensúlyi egyenletek felírása az ábra alapján M = 0 : 0.45 0.3R 0.5R D = 0 D R x R y R R D Δ Δ D Δ D Hasonlóság Hasonló háromszögek alapján 0.3 = D 0.5 0.45 = D 0.5 Elmozdulások felírása megnyúlások számítása = R 0.6 E E D = R D0.75 DG E 1.18. ábra. Szabad test ábra Δ D Δ R R D Erők meghatározása z egyenletrendszer megoldása alapján R = 8kN,R D = 24kN. Szabad test ábra D pont elmozdulása így E G D = R D0.75 DG E = 1.455mm Ezzel az pont elmozdulása = 1.31mm. 1.19. ábra. Szabad test ábra 12
13. eladat z alábbi merev gerenda a D sárgaréz hengeren fekszik és a pontban egy csuklóhoz csatlakozik. z E acél rúdon (d=22 mm) levő anyát hézagmentesen rácsavarják amikor a renszer hőmérséklete 20º. Ezután a sárgaréz hőmérsékletét megemeljük 50 º-ra miközben a rúd hőmérséklete nem változik. (a) Mekkora feszültség ébred a sárgaréz hengerben? 450 300 datok 300 D E a E r 200 GPa 105 GPa 900 α a α r 12 10 6 /º 18.8 10 6 /º E 1.20. ábra. savarkötés Elmozdulások megoldáshoz a szuperpozíció elve alapján kezdünk. D támaszt elvéve számolható a hőmérséklet különbség hatására létrejövő elmozdulás T. D-ben ébredő reakció erőnek R D ugyanekkora 1 elmozdulást kell okozni, hiszen a D pont nem mozdulhat el. T = Lα r T = 169.2 10 6 m Elmozdulások 13
1. HÚZÁS R x R y R D Egyensúlyi egyenlet M = 0 : 0.75R 0.3R D = 0 R 1.21. ábra. Szabad test ábra Δ Δ Δ Δ T R D Δ 1 + = R E 1.22. ábra. Elmozdulások z ábra alapján írható 0.3 = 0.75 valamint 1 = D/ + = 0.3 0.75 = R 0.9 a E a D/ = R D0.3 r E r 14
14. eladat z alábbi két hengeres rúd, az egyik acél a másik bronz, a pontban csatlakozik. támaszok és E teljesen merevek. hosszúságok mmben adottak. z acél henger átmérője 40 mm, a bronzé 30 mm. (a) Meghatározandó a támaszokban ébredő reakciőerők (R E = 92464N,R = 7536N)! 180 120 100 100 E a datok 200 GPa acél bronz 1 2 D E E bronz 1 2 105 GPa 60 kn 40 kn 1.23. ábra. Különböző anyagok hosszváltozása 15. eladat z alábbi két hengeres rúd, az egyik acél a másik bronz, a pontban csatlakozik. támaszok és E teljesen merevek. hosszúságok mm-ben adottak. z acél henger átmérője 40 mm, a bronzé 30 mm. Kezdetben a terhelés nélkül a hézag 0.12 mm. Miután megterheljük a szerkezetet a két koncentrált erővel (a) meghatározandó a támaszokban ébredő reakciőerők (R E = 61600N,R = 38400N)! 15
1. HÚZÁS datok 180 120 100 100 0.12 E a 200 GPa E bronz 105 GPa acél 1 bronz D 2 E 1 2 60 kn 40 kn 1.24. ábra. Különböző anyagok hosszváltozása 16. eladat z alábbi D merev rudat két, kör keresztmetszetű acéldrót (d=5mm), valamint a D csukló tartja. hosszúságok mm-ben adottak. (a) Meghatározandó a drótokban ébredő erő! (b) Meghatározandó a pont eltolódása! E 375 G datok 200 E a 200 GPa D 500 N 200 200 200 1.25. ábra. Drótok hosszváltozása 17. eladat z alábbi D merev rudat két, kör keresztmetszetű E és ID alumíniumdrót (d=2.5 mm), valamint két, kör keresztmetszetű G és H acéldrót (d=2 mm) tartja. hosszúságok mm-ben adottak. (a) Meghatározandó a drótokban ébredő erő (R = R D = 230N,R = R = 770N)! 16
(b) Meghatározandó a drótok eltolódása ( = 0.1839mm)! 120 120 120 E I datok 275 G H 275 E a 200 GPa 150 150 D E alu 70 GPa 2000 N 180 180 1.26. ábra. Drótok hosszváltozása 18. eladat z alábbi merev rudat három acéldrót tartja. hosszúságok és a terhelő erő ismertek. (a) Meghatározandó a drótokban ébredő erő! (b) Meghatározandó a drótok eltolódása! D E G L L L a b c 1.27. ábra. Drótok hosszváltozása 17
1. HÚZÁS 19. eladat z alábbi E merev rúdhoz két acél tartó és az E csukló csatlakozik, keresztmetszetük. hosszúságok mm-ben adottak. (a) Meghatározandó a tartókban ébredő erő (R = 4.17kN,R DG = 1.667kN)! (b) Meghatározandó az pont eltolódása ( = 57.9µm )! 100 datok E a 200 GPa 50 D G 72 mm 2 2500 N 50 E 100 125 1.28. ábra. Szerkezet hosszváltozása 18
20. eladat z alábbi két acél rúd (átmérő d=8 mm) D és E egy merevnek tekinthető elemmel csatlakozik egymáshoz. menetemelkedés 2 mm. Miután hézagmentesen felrakták a két anyát, az helyen levőt két teljes fordulattal meghúzták. távolságok m-ben adottak. (a) Meghatározandó a rudakban ébredő erő! (b) Meghatározandó az pont eltolódása! 0.2 0.15 datok 2 2.5 E a 200 GPa D E 1.29. ábra. savarkötés 19
1. HÚZÁS 21. eladat feladat ugyanaz mint az előző példában, de most a pontban levő anyát húzzák meg. (a) Meghatározandó a rudakban ébredő erő (R D = 8.32kN,R E = 11.09kN)! (b) Meghatározandó az pont eltolódása ( = 1.655mm )! 22. eladat z alábbi két acél rúd (átmérő d=15 mm) ED és egy merevnek tekinthető elemmel csatlakozik egymáshoz. menetemelkedés 2.25 mm. Miután hézagmentesen felrakták a két anyát, a D helyen levőt egy teljes fordulattal meghúzták. távolságok mm-ben adottak. (a) Meghatározandó az ED rúdban ébredő erő (R ED = 8.55kN)! (b) Meghatározandó a D pont eltolódása ( = 1.815mm )! 180 E a datok 200 GPa 120 E D 1800 2700 1.30. ábra. savarkötés 20
23. eladat z alábbi két különböző átmérőjű acélhenger 25º-on feszültségmentes. Innen lehűtjük a hengereket -50º-ra. (a) Meghatározandó az szakaszban ébredő feszültség! (b) Meghatározandó az szakaszban ébredő feszültség! T 2T E datok 200 GPa α 12 10 6 /º 300 300 T 400 mm 2 1.31. ábra. Hőmérséklet emelkedés hatása L 1 L 2 Δ R Δ T R Szuperpozíció feldat statikailag határozatlan, ezért a támasz elvételével határozottá tesszük. reakcióerőnek R pontosan akkora elmozdulást R kell okoznia, mint ami a hőmérséklet változás miatt jönne létre T. T = α T L = 540 10 6 m R = R 0.3 T E + R 0.3 2T E = 5.625 10 9 R Innen a reakcióerő R = 96kN. 1.32. ábra. Szabad test ábra, elmozdulás kérdéses feszültségek pedig σ = R T = 240MPa,σ = R 2T = 120MPa. 24. eladat z alábbi rúd (átmérő d=30 mm) bronzból, míg a rúd acélból (átmérő d=20 mm) készült. Kezdetben feszültségmentes mindkét rúd 21
1. HÚZÁS majd 50º-kal megemeljük a hőmérsékletet. távolságok mm-ben adottak. (a) Meghatározandó az szakaszban ébredő feszültség (σ = 67.2MPa)! (b) Meghatározandó az szakaszban ébredő feszültség (σ = 151.2MPa)! (c) Meghatározandó a pont eltolódása ( = 171µm )! 750 1000 E a E bronz datok 200 GPa 100 GPa bronz acél α a α bronz 11.7 10 6 /º 18 10 6 /º 1.33. ábra. Hőmérséklet emelkedés hatása 25. eladat z alábbi rúd (átmérő d=40 mm) bronzból, míg a rúd acélból (átmérő d=20 mm) készült. Kezdetben feszültségmentes mindkét rúd majd 40º-kal megemeljük a hőmérsékletet. távolságok mm-ben adottak. (a) Meghatározandó az szakaszban ébredő feszültség! (b) Meghatározandó az szakaszban ébredő feszültség! (c) Meghatározandó a pont eltolódása! 22
1.1 Összefoglalás 300 250 E a E bronz datok 210 GPa 105 GPa bronz acél α a α bronz 12.5 10 6 /º 18 10 6 /º 1.34. ábra. Hőmérséklet emelkedés hatása 26. eladat z alábbi rúd (d=50mm) anyaga sárgaréz a D rúd (d=75mm) anyaga alumínium. Kezdetben 15º-on a két elem között a távolság majd megemeljük 85º-ra. (a) Meghatározandó a rudakban ébredő feszültség (σ r = 79.1MPa,σ a = 35.16MPa)! (b) Meghatározandó az szakasz eltolódása ( = 0.213mm )! datok 300 250 Δ E r E alu 105 GPa 70 GPa réz alumínium α r 20.9 10 6 /º D α alu 23.6 10 6 /º 0.5 mm 1.35. ábra. Hőmérséklet emelkedés hatása 1.1. Összefoglalás Ebben a fejezetben a deformálható testek alakváltozásával, fajlagos hosszváltozásával foglalkoztunk. Egy ilyen deformálható test szakítódiagramja 23
1. HÚZÁS látható az 1.36 ábrán. különböző szakaszok pedig az 1-2 arányossági 1.36. ábra. Szakítódiagram (wikipedia) tartomány, 1-3 a rugalmas tartomány és 4 a maradó alakváltozás szakasza. Általában ez a pont a 0.2 százaléknyi maradó alakváltozáshoz tartozik. z arányossági tartományban, kis alakváltozások esetén érvényes az egyszerű Hooke törvény alakja σ = E ɛ (1.5) ahol E a rugalmassági modulusz, ɛ a fajlagos hosszváltozás. Ez az összefüggés az anyag arányossági tartományáig igaz, 2-ig. feszültség eloszlása látható húzó igénybevétel esetén az 1.37 ábrán. Számítása a σ = (1.6) képlet alapján történik. Mivel ez a keresztmetszetben állandó, ezért a feszültség eloszlása is állandó lesz. Deformálható testek hosszváltozása számolható adott keresztmetszet és terhelés esetén. 1.38 ábrán adott terhelés esetén a deformáció alapján számolható. = L E (1.7) 24
1.1 Összefoglalás 1.37. ábra. eszültség eloszlása (wikipedia) L Δ 1.38. ábra. Hosszváltozás mennyiben a rúd több pontban terhelt vagy különböző keresztmetszetű részekből áll vagy különboző anyagokból készült akkor az egyes részek részdeformációjából adódik a teljes hosszváltozás. = N i i L i i E i (1.8) Ha a terhelés nem állandó vagy a keresztmetszet változik akkor (1.7) helyett használandó. = L 0 dx (1.9) E Statikailag határozatlan feladatok esetén a szabad test ábra alapján felírt 25
1. HÚZÁS egyensúlyi egyenletek száma nem elegendő a reakciók számításához. Ilyenkor a geometria alapján írjuk fel a szükséges kiegészítő egyenleteket (lásd drótok megnyúlása). Máskor először határozottá tesszük a szerkezetet majd így számolunk deformációt. Ez lehet erő által okozott, mint (1.7) egyenlet vagy hőmérséklet által = αl T (1.10) ahol α a hőtágulási együttható. Ezek után alkalmazzuk az eredeti fel- Δ T L 1 L 2 Δ R R 1.39. ábra. Statikailag határozatlan feladat adat feltételét. z 1.39 ábra alapján ez most az elmozdulások azonossága T = R. Tehát a határozott szerkezeten létrejövő elmozdulással meg kell egyeznie a reakció erő által okozott defromációnak, hiszen az eredő alakváltozás nulla. Ebből a feltételből pedig számolható a reakció erő. Hosszirányú terhelés esetén a terhelt rúdnak nem csak hosszirányú hanem keresztirányú defromációja is lesz. Ez látható az 1.40 ábrán. Zöld a terheletlen állapot és piros a terhelt alak. keresztirányú és a hosszirányú nyúlások hányadosa a Poisson tényező, jele ν ν = kereszt hossz = L L (1.11) 26
1.1 Összefoglalás 1.40. ábra. Hosszváltozás (wikipedia) 27
1. HÚZÁS 28
ejezet 2 HJLÍTÁS 1. eladat z alábbi üreges téglalap keresztmetszetű tartó alumíniumból készült. dott megengedett feszültség mellett (a) határozza meg a legnagyobb nyomaték M értékét és (b) a görbületi sugarat! y 120 mm t S x M 120 mm E datok 70 GPa t t σ meg. 100 MPa t 80 mm t = 8 mm 2.1. ábra. Hajlítás Megoldás keresztmetszet hajlítás tengelyére számított másodrendű nyomatéka I x = 5.52 10 6 m 4 (2.1) nyomaték pedig σ meg. = M I x y M = I xσ meg. 0.06 = 9.2kNm (2.2) 29
2. HJLÍTÁS görbületi sugár 1 R = M R = 42m (2.3) I x E 2. eladat z alábbi üreges téglalap keresztmetszetű tartó alumíniumból készült. (a) Határozza meg a feszültséget az pontban! (b) Határozza meg a feszültséget a pontban! 20 40 mm 20 y 20 M = 15 knm 80 x 20 2.2. ábra. Hajlítás Megoldás keresztmetszet hajlítás tengelyére számított másodrendű nyomatéka I x = 9.81 10 6 mm 4 (2.4) feszültség a kérdéses pontokban pedig σ = My I x σ = My I x = 40M I x = 61.2MPa (2.5) = 60M I x = 91.7MPa (2.6) 30
3. eladat z alábbi téglalap keresztmetszetű tartó acélból készült. dott a hajlító nyomaték nagysága és iránya. (a) Határozza meg a feszültséget az pontban! (b) Határozza meg a feszültséget a pontban! y ß = 30 ß = 30 y 50 mm z z M z 50 mm M = 250 Nm 40 mm 40 mm M M y 2.3. ábra. erde hajlítás 2.4. ábra. nyomaték felbontása Megoldás Mivel mind az y, mind a z tengely szimmetriatengely ezért ezek egyben keresztmetszeti főirányok is. nyomaték vektor nem párhuzamos egyik főiránnyal sem ezért ferde hajlításról van szó. megoldás során a hajlítást a főirányok koordinátarendszerében oldjuk meg visszavezetve két tengely körüli hajlítás szuperpozíciójára. keresztmetszet hajlítás tengelyeire számított másodrendű nyomatékai I z = 6.66 10 6 mm 4, I y = 4.266 10 6 mm 4 (2.7) nyomaték komponensei a hajlítás tengelyeire M y = M sinβ = 125Nm, M z = M cosβ = 216.51Nm (2.8) 31
2. HJLÍTÁS feszültség a kérdéses pontokban pedig 4. eladat σ = M zy I z σ = M zy I z M yz I y = 2.796MPa (2.9) M yz I y = 0.452MPa (2.10) z alábbi I tartó acélból készült. dott a megengedett feszültség σ meg. =160 MPa. (a) Mekkora lehet a nyomaték legfeljebb? y 16 mm z S 260 mm M 2 10 mm 200 mm 16 mm 2.5. ábra. Hajlított I tartó Megoldás keresztmetszet hajlítás tengelyére számított másodrendű nyomatéka I z = 95.437 10 6 mm 4 (2.11) nyomaték pedig M = σ meg.i z y = 117.46kNm (2.12) 32
5. eladat z alábbi tartót koncentrált erő terhel. (a) Határozza meg a szakaszon a legnagyobb nyomó feszültséget! (b) Határozza meg a szakaszon a legnagyobb húzó feszültséget! y 20 20 10 kn 10 kn 50 mm D x 150 mm 250 mm 150 mm y c 10 mm 2.6. ábra. Hajlított tartó 50 mm 2.7. ábra. tartó keresztmetszete Megoldás súlypont helyzete y s = másodrendű nyomaték 50 60 30 10 50 35 50 60 10 50 = 29mm (2.13) I x = 780.83 10 3 mm 4 (2.14) szakaszon a nyomaték nagysága M=1500 Nm. feszültség ezzel σ = My = 59.55MPa I x (2.15) σ = My = 55.71MPa I x (2.16) 33
2. HJLÍTÁS 6. eladat Ismert a keresztmetszet hajlító igénybevétele M=200 Nm, valamint a méretei. (a) Határozza meg az,, D és E pontokban a feszültséget! y D S.T. y E M=200 Nm 30 M M y z 90 mm z 1 Φ M z 40 mm 2.8. ábra. Hajlított tartó 2.9. ábra. Semleges tengely helyzete Megoldás nyomaték főirányokkal párhuzamos komponensei másodrendű nyomatékok pedig feszültség pedig a kérdéses pontban M z = M cos30 = 173.2Nm (2.17) M y = M sin30 = 100Nm (2.18) I y = 0.48 10 6 m 4 (2.19) I z = 2.43 10 6 m 4 (2.20) σ = M zy I z σ = M zy I z σ D = M zy I z σ E = M zy I z + M yz I y = 7.38MPa (2.21) M yz I y = 0.957MPa (2.22) + M yz I y = 0.957MPa (2.23) M yz I y = 7.38MPa (2.24) 34
semleges tengely helyzete 7. eladat tanφ = I z I y tanθ φ = 71.1 (2.25) Egy téglalap keresztmetszetű oszlopot koncentrált erő terhel. (a) Határozza meg az,, és D pontokban a feszültséget! y 35 mm 4,80 kn P = 4,80 kn y M 2 = 120 Nm M x = 192 Nm 120 mm 80 mm D D z x z x 2.10. ábra. Hajlított oszlop 2.11. ábra. redukálás eredménye Megoldás z erő redukálása a keresztmetszet súlypontjába M x = 0.04 P = 192Nm (2.26) M z = 0.025 P = 120Nm (2.27) Vagyis a feladat ferde hajlítás és nyomás szuperpozíciójával oldható meg. szimmetriatengelyek egyben főirányok is. szükséges másodrendű nyomatékok és a felület pedig = 9.6 10 3 m 2 (2.28) I x = 5.12 10 6 m 4 (2.29) I z = 11.52 10 6 m 4 (2.30) 35
2. HJLÍTÁS nyomás miatt a keresztmetszet minden pontjában σ 1 = P = 0.5MPa (2.31) a feszültség. hajlításból származó feszültségek pedig z egyes pontokban a feszültség σ 2 = M xz = 1.5MPa I x (2.32) σ 3 = M zx = 0.625MPa I z (2.33) σ = σ 1 ± σ 2 ± σ 3 (2.34) ahol az előjel a húzott/nyomott oldal eldöntése után adódik. kérdéses pontokben a feszültség Ezzel a σ = 0.5 1.5 0.625 = 2.625MPa (2.35) σ = 0.5 1.5 + 0.625 = 1.375MPa (2.36) σ = 0.5 + 1.5 + 0.625 = 1.625MPa (2.37) σ D = 0.5 + 1.5 0.625 = 0.375MPa (2.38) 36
8. eladat Egy 250x38-as szabványos I tartót koncentrált erő terhel. megengedett feszültség σ meg. =80 MPa. (a) Határozza meg a megengedhető legnagyobb erő értékét! y S 120 mm 254 mm S x S 250 x 38 P 35 mm 118 mm 2.12. ábra. Hajlított I tartó 2.13. ábra. keresztmetszet méretei Megoldás y x szabvány szerinti felület és kereszt- M y metszeti értékek M x = 4806mm 2 (2.39) E P K x = 406000mm 3 (2.40) K y = 48000mm 3 (2.41) D 2.14. ábra. redukálás eredménye redkálás eredménye egy erő és M x = 0.12P (2.42) M y = 0.035P (2.43) 37
2. HJLÍTÁS nyomatékok. nyomás miatt minden pontban a feszültség σ 1 = P = 208.1P (2.44) a feszültség. hajlításból származó feszültségek pedig z egyes pontokban a feszültség σ 2 = M x K x = 295.6P (2.45) σ 3 = M y K y = 729.2P (2.46) σ = σ 1 ± σ 2 ± σ 3 (2.47) ahol az előjel a húzott/nyomott oldal eldöntése után adódik. kérdéses pontokben a feszültség Ezzel a σ = σ 1 + σ 2 + σ 3 = 816.7P (2.48) σ = σ 1 + σ 2 σ 3 = 641.7P (2.49) σ D = σ 1 σ 2 + σ 3 = 225.5P (2.50) σ E = σ 1 σ 2 σ 3 = 1232.9P (2.51) legnagyobb feszültség az E pontben ébred, vagyis σ meg. = σ E P = 64.9kN (2.52) 38
S.T. 9. eladat dott a tartó keresztmetszete és a hajlító igénybevétel M. (a) Határozza meg a feszültséget az és a pontokban! (b) Határozza meg a semleges tengely helyzetét! y y ß M = 25 knm ß = 15 80 mm M 1 N M y z S z M z 20 mm 80 mm 30 mm 2.15. ábra. Hajlított tartó 2.16. ábra. semleges tengely helyzete Megoldás nyomaték felbontása a főirányokkal párhuzamos komponensekre M y = M sinβ = 6.47kNm (2.53) M z = M cosβ = 24.148kNm (2.54) másodrendű nyomatékok a hajlítás tengelyére feszültségek pedig a kérdéses pontokban I y = 5.04 10 6 mm 4 (2.55) I z = 16.64 10 6 mm 4 (2.56) σ = M yz I y σ = M yz I y M zy I z = 29.3MPa (2.57) M zy I z = 144.8MPa (2.58) 39
2. HJLÍTÁS semleges tengely helyzete pedig tanφ = I z I y tanβ φ = 41.5deg (2.59) 10. eladat szerkezetet egy koncentrált erő terhel a súlyponttól a távolságra. Két pontban és ismert a fajlagos hosszváltozás ɛ = 600µ,ɛ = 450µ. rugalmassági modulusz E=200 GPa. (a) Határozza meg az erő nagyságát! (b) Határozza meg az erő helyzetét! 40 mm 75 mm y y z S z a S 60 mm 20 mm P M z P 2.17. ábra. Hajlított tartó 2.18. ábra. redukálás eredménye Megoldás terhelő erőt a keresztmetszet súlypontjába redukálva egy erő és egy nyomaték adódik M z = yp (2.60) ahol y=60-a. keresztmetszet és a másodrendű nyomaték = 9000mm 2 (2.61) I z = 10.8 10 6 mm 4 (2.62) 40
húzás miatt σ 0, a hajlítás miatt σ 1 feszültség ébred eszültség az és pontokban z egyenletrendszer megoldása 11. eladat σ 0 = P (2.63) σ 1 = M zy I z (2.64) σ = σ 0 + 20M z I z = Eɛ (2.65) σ = σ 0 40M z I z = Eɛ (2.66) P = 990kN (2.67) y = 60 600 mm a = mm 11 11 (2.68) szerkezetet egy koncentrált erő terhel. Három pontban, és D ismert a fajlagos hosszváltozás ɛ = 800µ,ɛ = 400µ,ɛ D = 200µ. rugalmassági modulusz E=200 GPa. (a) Határozza meg az erő nagyságát! (b) Határozza meg az erő helyzetét! 90 mm y y 48 mm z M y z P D x P M z x 2.19. ábra. Hajlított tartó 2.20. ábra. redukálás eredménye 41
2. HJLÍTÁS Megoldás terhelő erőt a keresztmetszet súlypontjába redukálva egy erő és nyomaték adódik M z = yp (2.69) M y = zp (2.70) P (2.71) keresztmetszet és a másodrendű nyomatékok = 4320mm 2 (2.72) I z = 829.44 10 3 mm 4 (2.73) I y = 2.916 10 6 mm 4 (2.74) húzás miatt σ 0, a hajlítás miatt σ 1 és σ 2 feszültség ébred σ 0 = P (2.75) σ 1 = 24M z I z (2.76) σ 2 = 45M y I y (2.77) eszültség az, és D pontokban felhasználva a Hooke törvényt z egyenletrendszer megoldása σ = σ 0 + σ 1 + σ 2 = Eɛ (2.78) σ = σ 0 + σ 1 σ 2 = Eɛ (2.79) σ D = σ 0 σ 1 σ 2 = Eɛ D (2.80) (2.81) P = 432kN (2.82) y = 8 mm 5 (2.83) z = 6mm (2.84) 42
12. eladat Z keresztmetszetű tartót M 0 nyomaték terheli. másodrendű nyomatékok adottak. (a) Határozza meg a feszültséget az pontban! (b) Határozza meg a semleges tengely helyzetét! y y 80mm z M 0 12 mm 12 mm z 100 mm M 0 = 1,5 knm x 12 mm 2.21. ábra. Hajlított tartó Megoldás koordinátarendszerben a megadott másodrendű nyomatékok I y = 3.25 10 6 m 4 I z = 4.28 10 6 m 4 I yz = 2.87 10 6 m 4 (2.85) 2 ß y főmásodrendű nyomatékok és főirányok helyzete sajátérték- d 1 sajátvektor számítás eredményéből N M d 2 z 1 M 1 1 M 2 2.22. ábra. főirányok S.T. I 1 = 6.63 10 6 m 4 (2.86) I 2 = 0.81 10 6 m 4 (2.87) β = 40.4deg (2.88) ahol β az y tengely és a 2-es irány közötti szög. 43
2. HJLÍTÁS nyomaték felbontása a főirányokkal párhuzamos komponensekre M 1 = M cosβ = 1142Nm (2.89) M 2 = M sinβ = 972Nm (2.90) z pont helyzete az egyes főirányok tengelyétől d 1 = y sinβ + z cosβ = 23.9mm (2.91) d 2 = y cosβ + z sinβ = 86mm (2.92) z egyes tengelyek körüli hajlítás szuperpozíciójából az pontban a feszültség semleges tengely helyzete σ = M 2d 1 I 2 M 1d 2 I 1 = 13.87MPa (2.93) tanφ = I 1 I 2 tanβ φ = 81.8deg (2.94) 44
15.46 15,46 13. eladat z alábbi tartót M nyomaték terhel. (a) Határozza meg a feszültséget az,, D és E pontokban! (b) Határozza meg a semleges tengely helyzetét! 15 10 mm M = 4 knm E 40 mm 25 mm 50 mm D 25 mm 10 mm 2.23. ábra. Hajlított tartó keresztmetszete Megoldás 2 M 2 1 15 15.40 1 N másodrendű nyomatékok a főirányok (emelyek most a szimmetria tengelyek) tengelyeire S.T. M " E M 1 D 2.24. ábra. Nyomaték felbontása és a semleges tengely helyzete I 1 = 4.792 10 6 mm 4 (2.95) I 2 = 1.167 10 6 mm 4 (2.96) nyomaték felbontása a főirányokkal párhuzamos komponensekre M 1 = M sin15 = 1035.28Nm (2.97) M 2 = M cos15 = 3863.7Nm (2.98) 45
2. HJLÍTÁS feszültség az egyes pontokban pedig semleges tengely helyzete σ = 0.03M 2 I 2 0.05M 1 I 1 = 110.12MPa (2.99) σ = 0.03M 2 I 2 + 0.05M 1 I 1 = 88.52MPa (2.100) σ D = 0.03M 2 I 2 + 0.05M 1 I 1 = 110.12MPa (2.101) σ E = 0.03M 2 I 2 0.05M 1 I 1 = 88.52MPa (2.102) tanφ = I 1 I 2 tanθ φ = 86.27deg (2.103) vízszintessel α = 11.27deg (2.104) szöget zár be. 2.1. Összefoglalás Ebben a fejezetben a hajlítással foglalkoztunk. Tiszta hajlítás esetén nem lép fel nyíró igénybevétel. Rúd tisztán nyomaték által való hajlítása látható a 2.25 ábrán. Tiszta hajlítás esetén a semleges szál (szaggatott vonal) hossza nem 2.25. ábra. Hajlítás különböző tengelyek körül (wikipedia) 46
2.1 Összefoglalás változik és feszültség sem ébred a keresztmetszetnek ebben a pontjában. hosszirányú fajlagos hosszváltozás pedig ɛ x = y ρ (2.105) ahol ρ R a görbületi sugár (lásd 2.26 ábra). 2.26. ábra. Hajlítás esetén a görbület (wikipedia) görbületi sugár reciproka pedig 1 R = M IE (2.106) σ m ahol I a hajlítás tengelyére számított másodrendű nyomaték. feszültség eloszlása látható a 2.27 ábrán. keresztmetszetben a feszültségmentes helyey Semleges tengely σ x 2.27. ábra. Hajlítás esetén a feszültség eloszlása ket összekötő rész a semleges tengely. feszültség nagysága innen számolva lineárisan változik a σ x = My I z (2.107) 47
2. HJLÍTÁS képlet szerint. z ábra szerint a legnagyobb feszültség σ max. = Mc I z (2.108) Külpontos/nem középponti húzás/nyomás esetén amikor a terhelés nem megy át a keresztmetszet súlypontján a redukálás eredménye egy erő és nyomaték(ok). Ilyenkor a feszültség számítása a szuperpozíció miatt σ x = P + My I z (2.109) szerint tehető meg. 2.28 ábrán a két igénybevétel esetén kapott eredő feszültségeloszlás látható. y y y S.T. σ x σ x σ x 2.28. ábra. Húzás és hajlítás szuperpozíciója erde hajlítás esetén a nyomaték vektor nem párhuzamos egyik főiránnyal sem. Ilyenkor a nyomatékot felbontjuk a főirányokkal párhuzamos komponenseire majd a továbbiakban egyenes hajlításként számolhatunk. 2.29 ábrán egy ilyen eset látható. z y tengely mivel szimmetriatengely ezért főirány is. nyomaték vektor nem párhuzamos ezzel a tengellyel ezért fel kell bontani a főirányokkal (y,z) párhuzamos komponensekre. Ezzel a feladat egyenes hajlítások szuperpozíciójával megoldható. kérdéses pontokban a húzott nyomott oldal eldöntése után lehet a feszültséget számolni σ x = M zy I z + M yz I y (2.110) semleges tengely meghatározható a tanφ = I z I y tanθ (2.111) 48
2.1 Összefoglalás y M M y z M z 38,94 θ 2.29. ábra. erde hajlítás esete M S.T. y z Φ 53,34 38,94 θ 2.30. ábra. semleges tengely helyzete képlet segítségével. z összefüggésben a számlálóban a nagyobb főmásodrendű nyomaték szerepel, valamint a nyomaték és a nagyobb főmásodrendű nyomaték tengelye közötti szög Θ. Ezért a semleges tengely mindig a nyomaték és a kisebb főmásodrendű nyomaték tengelye közé esik, ami most az y tengely (lásd 2.30 ábra). 49
2. HJLÍTÁS erde hajlítás esetén a két tengely körüli hajlítás szuperpozíciója látható a 2.31 ábrán. 2.31. ábra. Hajlítás különböző tengelyek körül (wikipedia) 50