Hajlított tartó elmozdulásmez jének meghatározása Ritz-módszerrel Segédlet az A végeselem módszer alapjai tárgy 4. laborgyakorlatához http://www.mm.bme.hu/~kossa/vemalap4.pdf Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu) BME M szaki Mechanikai Tanszék 28. március 3. Feladat Írjunk algoritmust az alábbi, egyik végén befogott, másik végén rugalmasan alátámasztott tartó elmozdulásfüggvényének meghatározására. Adatok: l =,2 m, I z = 2,33 cm 4, s = 2 N/m, p = 75 N/m, E = 2 GPa. Számítás Alakváltozási energia Hajlított egyenes tartó esetén az alakváltozási energiát a nyomatéki függvény (M h (x)) segítségével a következ képpen számítjuk: U = 2 L Mh 2 (x) dx, () I z E ahol I z a keresztmetszetnek a hajlítás tengelyére számított másodrend nyomatéka, E a rugalmassági modulus. Mivel nekünk majd az elmozdulást kell meghatározni, emiatt a () kifejezésbe valahogy be kell csempészni az ismeretlen elmozdulásmez t (u (x)). Ezt a rugalmas szál dierenciálegyenletének felhasználásával megtehetjük, ami szerint a lehajlásfüggvény (elmozdulás függvény) második deriváltja arányos a nyomatékkal: u (x) = M h (x) I z E = M 2 h (x) = ( I z Eu (x) ) 2. (2) Visszaírva (2)-t ()-be kapjuk: U u = 2 L I z E (u ) 2 dx. (3) Vagyis az U alakváltozási energia függvénye az ismeretlen elmozdulás függvénynek (U egy funkcionál). Tehát az U alakváltozási energiát (ami egy skalár szám) ki tudnánk számolni a (3) segítségével ha ismernénk az u (x) elmozdulásfüggvényt (illetve annak második deriváltját). De u (x)-t nem ismerjük, emiatt egy olyan kifejezésünk van U-ra amiben egy ismeretlen függvényt kéne integrálnunk a megadott határon (a tartó L hossza) amit természetesen nem tudunk elvégezni. Azonban ha u (x)-re felvennénk valamilyen közelít függvényt ami az adott feladatra a peremfeltételek (pl: befogások, alátámasztás,...)
gyelembevételével kinematikailag lehetséges elmozdulásmez t (vagyis olyan a közelít függvény alakja, hogy például az alátámasztásnál zérus érték, illetve a befogásnál a deriválja is zérus,...) ad, akkor már el tudnánk végezni (3)-ben lév integrálást, hiszen akkor már lenne mit integrálni. Küls er k munkája A küls er k által végzett munka összetev dik a megoszló terhelés által okozott munkából (ami az a x b tartományon m köd p (x) megoszló terhelésb l következik), a koncentrált er k (amik diszkrét x i helyeken m ködnek) által okozott munkákból és a koncentrált er párok (nyomtékok)(amik diszkrét x j helyeken m ködnek) okozta munkákból: W u = b a u (x) p (x) dx+ n F u (x i ) F i + n M u (x j ) M j, (4) i= ahol n F a koncentrált er k, n M pedig a koncentrált er párok (nyomatékok) száma. Tehát a küls er k munkájának összege (ami egy skalár szám) (4) szerint számítható. Itt W u szintén egy funkcionál, mivel értéke (skalár) egy függvény függvénye. (4)-ben lév integrált, illetve a szummákat csak akkor tudjuk elvégezni, ha ismerjük u (x)-t (illetve adott egy függvény amivel u (x)-t közelítjük). Teljes potenciál A rendszer teljes potenciálja (π) az alakváltozási energia és a küls er k munkájának különbsége: j= π u = U W = 2 L I z E (u ) 2 dx b a u (x) p (x) dx n F u (x i ) F i n M u (x j ) M j (5) i= j= A megoldást szolgáltató u (x) függvény esetén ennek a π u funkcionálnak minimuma van. Ritz-módszer A feladat Ritz módszerrel történ megoldása során az ismeretlen u (x) lehajlásfüggvényt közelítjük egy olyan v (x) függvénnyel, ami kinematikailag lehetséges elmozdulsámez t biztosít. Ennek célszer alakja: n v (x) = a ω (x)+a ω (x) x+a 2 ω (x) x 2 +... = ω (x) a k x k, (6) ahol az ω (x) alapfüggvény egy lehet legegyszer bben felírt kinematikailag lehetséges elmozdulásmez. Ezáltal a v (x) polinom mindegyik eleme kielégíti a peremfeltételeket. A közelítés rangja attól függ, hogy hány elemet veszünk a polinomból. Minél többet veszünk annál pontosabb eredményhez juthatunk, viszont a számítási id (a megoldandó matematikai egyenletek száma) megn. Tehát az ismeretlen u (x) függvényt egy olyan v (x) polinommal közelítjük, ami egy ismert (általunk felvett) ω (x) alapfüggvényb l, és a közelítés fokszámától függ en n + ismeretlen konstansból (a, a, a 2,... ) tev dik össze. Azért n +, mert ha nulladrend közelítés veszünk akkor is van egy ismeretlen konstansunk az a. A (6) közelít függvény esetén a (5) funkcionálnak akkor van széls értéke (minimuma), ha a k = teljesül minden a k -ra (k =,,2,... n). (7) Az adott feladatnál egy olyan alapfüggvény kell felvenni ami a következ peremfeltételeket biztosítja: a befogásnál (x = ): ω () = és ω () =, Az ezt biztosító (minél egyszer bb) alapfüggvény: k= ω (x) = x 2. (8) Amennyiben másodrend közelítéssel oldjuk meg a feladatot, akkor a közelít függvényünk és deriváltjai ((6) gyelembevételével): v (x) = ω (x) ( a +a x+a 2 x 2) = a x 2 +a x 3 +a 2 x 4, (9) v (x) = 2a x+3a x 2 +4a 2 x 3, () v (x) = 2a +6a x+2a 2 x 2 () 2
alakúak, ahol a, a, a 2 ismeretlenek. A feladat megoldása során ezen konstansok meghatározása a cél. Alakváltozási energia számítása: Az alakváltozási energia két részb l tev dik össze: egyik a rúdban felhalmozódó alakváltozási energia, a másik pedig a rúgóban keletkez energia: U = 2 Elvégezve az integrálást: U = I z E = 2 I ze = 2 I ze I z E ( v ) 2 dx+ 2 s (v (l))2 (2) ( 2a +6a x+2a 2 x 2) 2 dx+ 2 s ( a l 2 +a l 3 +a 2 l 4) 2 (3) ( 2a +6a x+2a 2 x 2) 2 dx+ 2 sl4 (a +l(a +a 2 l)) 2. (4) (2a 2l +6a a l 2 +6a 2l 3 +8a a 2 l 3 +8a a 2 l 4 + 72a2 2 l5 5 Küls er k munkája: A jelenlegi feladatnál csak a megoszló terhelséb l származik küls munka: W = v (x) p (x) dx = ) + 2 sl4 (a +l(a +a 2 l)) 2. (5) ( a x 2 +a x 3 +a 2 x 4) ( p) dx (6) = 3 a l 3 p 4 a l 4 p 5 a 2l 5 p. (7) A π potenciál, aminek a széls értékét (minimumát) keressük: π = U W π = I z E (2a 2l +6a a l 2 +6a 2l ) 3 +8a a 2 l 3 +8a a 2 l 4 + 72a2 2 l5 5 + 2 sl4 (a +l(a +a 2 l)) 2 (8) + 3 a l 3 p+ 4 a l 4 p+ 5 a 2l 5 p. (9) π-nek ott lesz minimuma ahol (7) teljesül. Mivel most másodrend közelítést alkalmaztunk, így három ismeretlen konstans együtthatónk van (a, a, a 2 ) amik szerint kell deriválnunk. Az alábbi három egyenletet kapjuk az ismeretlenekre: Behelyettesítve az adatokat: = = a 3 l2 (6EI z (3a +4a 2 l)+lp)+l 5 (a +a 2 l)s+a l ( 4EI z +l 3 s ), (2) = = 6EI z l 2 (a +l(2a +3a 2 l))+ l4 p a 4 +l5 (a +l(a +a 2 l))s, (2) = = ( 2EIz l 3 (2a +9l(5a +8a 2 l))+l 5 p ) +l 6 (a +l(a +a 2 l))s. a 2 5 (22) = 432+69488a +866246a +,8693 6 a 2, (23) = 388,8+866246a +,4879 6 a +2,389 6 a 2, (24) = 373,248+,8693 6 a +2,389 6 a +3,973 6 a 2 (25) 3
Az ismeretlen együtthatókra nézve ez egy háromismeretlenes egyenletrendszer. Megoldása: a =,28656, a =,255394, a 2 =,732536. (26) Tehát a megoldás a másodrend közelítéssel: Lehajlás a tartó végén: v (x) =,28656x 2 +,255394x 3,732536x 4. (27) v (x =,2) =.2347 m =,2347 mm. (28) Nullad-, illetve els rend közelítéssel végigszámolva az alábbi megoldások születnek: v (x) =,69735x 2, (29) v (x) =,82x 2 +.79585x 3. (3) Ritz-módszer mátrixformalizmussal Az el bbi számítási algoritmust sokkal elegánsabbá, áttekinthet bbé (és egyszer bbé) tehetjük ha mátrixos alakban számolunk. A (9) szerinti másodrend közelítésünk felírható az alábbi alakban: ahol A = a a a 2, v (x) = B T A = A T B, (3) B = ω (x) A továbbiakban szükség lesz (3) els és második deriváltjára: Az alakváltozási energia számítása: ahol U = 2 = 2 x x 2 = x 2 x 3 x 4. (32) v (x) = B T A = A T B, (33) v (x) = B T A = A T B. (34) I z E ( v ) 2 dx+ 2 s (v (l))2 (35) I z E ( A T B B T A ) dx+ 2 sat B (l) B T (l) A (36) = 2 AT I z E ( B B T ) dx+sb (l) B T (l) A, (37) }{{} S S = I z E ( B B T ) dx+sb (l) B T (l). (38) A B B T,illetve B (l) B T (l) kifejezések nem a két vektor közötti skalárszorzást jelentik! Kiszámítása a diadikus szorzással történik: [ l 2 l 3 l 4 ] [ 2 6x 2x 2 ] l 2 l 3 l 4 l 4 l 5 l 6 l 5 l 6 l 7 l 6 l 7 l 8, 4 2 6x 2x 2 4 2x 24x 2 2x 36x 2 72x 3 24x 2 72x 3 44x 4, (39)
B (l) B T (l) = l 4 l 5 l 6 l 5 l 6 l 7 l 6 l 7 l 8 A (6) szerinti küls munka felírása: W = v (x) p (x) dx =, B B T = A T B ( p) dx = A T 4 2x 24x 2 2x 36x 4 72x 3 24x 2 72x 3 44x 4. (4) B ( p) dx, (4) } {{ } Q ahol Tehát a π potenciál: Q = B ( p) dx. (42) π = U W = 2 AT SA A T Q. (43) Felhasználva (7) kapjuk, hogy Ez egy lineáris mátrixegyenlet aminek a megoldása: Számítások: S = S = I z E SA Q = = SA = Q. (44) A = S Q. (45) I z E ( B B T ) dx+sb (l) B T (l) (46) S = 4 2x 24x 2 2x 36x 4 72x 3 24x 2 72x 3 44x 4 dx+s l 4 l 5 l 6 l 5 l 6 l 7 l 6 l 7 l 8 69488 866246,4,8692864 6 866246,4,4879456 6 2.389228 6,8692864 6 2.389228 6 3.973325 6 Q = B ( p) dx = p Q = S = 432 388,8 373,248 x 2 x 3 x 4 dx = p l 3 3 l 4 4 l 5 5 (47) (48) (49) (5) 3,3267 4,58659,69569 4,58659 7,5243 2,8264,69569 2,8264,7756 A = S Q =,28656,255394,732536 5 (5) (52) 5
Tehát a keresett elmozdulásmez : v (x) = B T A =,28656x 2 +,255394x 3,732536x 4 (53) MATHEMATICA notebook: L=.2; Iz=2.33*^-8; s=2*^5; p=75; RUG=2*^9; kozelites=2; omega=x^2; B=omega*Table[x^k,{k,,kozelites},{}]; db=d[b,x]; db2=d[b,{x,2}]; S=Integrate[Iz*RUG*dB2.Transpose[dB2],{x,,L}]+s*(B.Transpose[B])/.x->L; Q=Integrate[-p*B,{x,,L}]; A=LinearSolve[S,Q]; v=transpose[b].a; v=v[[,]] lehajl=v/.x->l Megjegyzés : Ahhoz, hogy a (39) szerinti szorzást egyszer en el tudjuk végezni MATHEMATICA-ban, a B változót (ami eredetileg egy három elem vektor) egy 3 -es mátrixként deniáljuk. Ekkor a mátrixok közötti szorzással könnyen kezelhet a diadikus szorzat. Ennek következtében a v elmozdulásfüggvény nem egy skalár szám lesz, hanem egy -es mátrix. MAPLE worksheet: restart:with(linearalgebra): L:=.2: Iz:=2.33e-8: s:=2e5: p:=75: RUG:=2e: kozelites:=2: omega:=x^2: B:=omega*Vector(kozelites+,i->x^(i-)): db:=map(diff,b,x): db2:=map(diff,b,x$2): S:=Iz*RUG*map(int,dB2.Transpose(dB2),x=..L)+s*subs(x=L,B.Transpose(B)): Q:=map(int,-p*B,x=..L): A:=LinearSolve(S,Q): v:=transpose(b).a; lehajl:=subs(x=l,v); 6