Fizika 1 Mechanika órai feladatok megoldása 7. hét

Fizika 1 Mechanika órai feladatok megoldása 7. hét Az F erő által végzett munka, ha a test adott pályán mozog az r 1 helyvektorú P 1 pontból az r helyvektorú P pontba, az alábbi vonalintegrállal számolható: () [az előadáson a jelölése ] () Általános esetben az erő függ a helytől: F(r) F x(x,y,z) i + F y(x,y,z) j + F z(x,y,z) k, és a pálya, amin a test mozog: r x i + y j + z k dr dx i + dy j + dz k, ezekkel (,,) + (,,) + (,,) Ez így csak akkor számolható ki, ha a pálya párhuzamos valamelyik koordinátatengellyel, azaz dx, dy, dz közül csak egy nem zérus. Általános esetben a pályát t-vel (az idővel) paraméterezve adjuk meg: r(t) x(t) i + y(t) j + z(t) k # $ &+$ '+$ ()*, és az erőt is t-vel paraméterezve fejezzük ki: F(r) ((*),(*),(*)) i + ((*),(*),(*)) j + ((*),(*),(*)) k, % ezekkel + ((*),(*),(*)) $ + ((*),(*),(*)) $ + ((*),(*),(*)) $,*. % Konzervatív az F(r) erőtér akkor, ha rot F. Ekkor két pont között a munka független a választott úttól (azaz zárt görbére a munka zérus); létezik egy E pot (r) potenciális energia függvény, hogy F(r) grad E pot (r), ilyenkor az F erő által végzett munka az A kiindulási és a B végpont potenciális energiájának különbségeként számolható: W AB E pot [E pot (B) E pot (A)] E pot (A) E pot (B). A munka előjelet vált, ha az ellentétes irányba megyünk az adott görbén. A fentiek szerint kiszámolt munka az a munka, amit az adott erő végez a testen; az általunk az erőtér ellenében végzendő munka ennek ellentettje. rot F kiszámolása: -. / / 1 5 6& 1 7 6'+1 5 7 Az erőtér meghatározása a potenciális energia függvényből: 89 : ;<% 1 >?@ &+ >?@ '+ >?@ (6 A potenciális energia függvény meghatározása az erőből: : ;<% (A) A, B pl. ha a koordinátatengelyekkel párhuzamosan megyünk és E pot (,,), akkor,, : ;<% +,,,, +,,,,,, +, ; 6( de a konkrét számolások alapja sokszor inkább az F grad E pot (ld. a feladatokat, pl. 7/.A). F(r) helyett használatos az E(r) térerősség (egységnyi tömegű testre ható erő): E(r) F(r) / m [N/kg], az ehhez tartozó potenciáfüggvény U(r) E pot (r)/ m [J/kg]; E(r) grad U(r). 7 / 1

7/1. Határozzuk meg az m tömegű anyagi pontra ható F (Ax+B) i + z j + (Dx+E) k [N] erő munkáját, ha a test a) a P (,,1) pontból a P 1 (,,1) pontba megy az y tengellyel párhuzamosan; b) a P (,,1) pontból a P (,,1) pontba megy az x tengellyel párhuzamosan; c) a P (,,1) pontból a P 1 (,,1) pontba megy a két pontot összekötő egyenes mentén! Hasonlítsuk össze az a) és b) feladatban kapott munka összegét a c) feladatéval! d) Konzervatív-e a fenti erőtér? e) Határozzuk meg az F erő által végzett munkát az x-z síkban fekvő R sugarú, origó középpontú körön végzett teljes körülfordulásra! f) Határozzuk meg az F erő által végzett munkát az x-y síkban fekvő R sugarú, origó középpontú körön végzett teljes körülfordulásra! a) Mivel az y tengellyel párhuzamosan megyünk, ezért dx dz : D E 7 / E 1 b) Most az x tengellyel párhuzamosan megyünk, ezért dy dz, tehát D (,,) (,,) (J +K) E #J +K) J E GH E. K J K. c) Írjuk fel az egyenes egyenletét t-vel paraméterezve, úgy, hogy t -ban legyen a test a P pontban és t 1 ben legyen a test a P 1 pontban (így könnyű lesz az integrálási határokat behelyettesíteni a végén). $ Az r(t) komponensei tehát x (1 t), y t, z 1, amiből, $, $ ; a dr komponensei dx dt, dy dt, dz ; és t: 1. (,,) (,,) 1 M(*),(*),(*)N $ + M(*),(*),(*)N $ +6* O(J+K) ( )+E P * (,,) MJM(1 *)N+KN ( )+E 1 * M J +J * K +E N * J K+E, vagyis ugyanannyi a munka a P és P 1 pontok között, akár egyenes úton megyünk, akár a P ponton keresztül a koordinátatengelyekkel párhuzamosan. d) -. / J +K E S+: / E & S', tehát nem konzervatív az erőtér. Megjegyzés: az xy síkban azért nézett ki konzervatívnak, mert rot F -nek a k komponense zérus és eddig az x-y síkban fekvő pályákkal számoltunk, aminek a vektora: da da k, így -. T, és a Stokes-tétel szerint -. T zérus a vonalintegrál értéke zárt görbére. e) Az x-z síkban fekvő R sugarú (origó középpontú) kör paraméteres alakja t-vel paraméterezve, t: π választással az r(t) komponensei x R cost, y, z R sint $ V WXY*, $, $ V Z[W* ; a dr komponensei dx R sint dt, dy, dz R cost dt ; O(J VZ[W*+K) ( VWXY*)+(E(VWXY*) ) ()+(S VZ[W*+:) (VZ[W*)P * O J V WXY* Z[W* K VWXY*+S V Z[W *+: VZ[W*P* # ] ^ _ Z[W*+K VZ[W*+S V1`ab% + % 6+: VWXY*) _ #S V % ) S V c

VAGY: -. T felhasználásával: kiszámoltuk, hogy -. E & S' és mivel a kör az x-z síkban fekszik, aminek a normálvektora j, ezért da da j tehát -. T ( S) J SJ ( S) V c mivel az R sugarú kör területe R π, azaz J R π. (A munka előjele a körüljárási iránytól függ.) f) Az x-y síkban fekvő R sugarú (origó középpontú) kör paraméteres alakja t: π választással: az r(t) komponensei x R cost, y R sint, z a dr komponensei dx R sint dt, dy R cost dt, dz ; $ $ $ V WXY*, V Z[W*, ; O(J VZ[W*+K) ( VWXY*)+(E ) (VZ[W*)+(S VZ[W*+:) ()P * O J V WXY* Z[W* K VWXY*P * # ] ^ Z[W*+K VZ[W*) _. + J V WXY* K VWXY*,* 7/. Adott a következő erőtér (egységnyi tömegű testre ható erő): E (xy+z) i x j (x+5) k [N/kg] Mekkora munkát végez egy m 5 kg tömegű testen az erőtér, miközben a test az r(t) (t+) i t j + (t +1) k görbe mentén a P (,,1) pontból a P 1 (1,,) pontba mozog? 1.) Behelyettesítéssel látható, hogy P -ban t, P 1 -ben t 1 1, tehát az integrálási határok: t: 1. x(t) t+, y(t) t, z(t) t $ $ $ +1 1,, * dr ( i j + t k ) dt. A térerősség most egységnyi tömegű testre van megadva ( E F / m ), tehát W m e : W m P1 t1 dz dt E dr m E x + E y + E z dt P t dx dt dy dt 1 {[ ( t + ) ( t) + ( t + 1) )] 1 + [ ( t + ) ] ( ) + [ ( t + ) + 5] (t)} 5 dt 1 5 (t + 6t + 1) dt... 4[ J ].) Más megoldás: konzervatív-e az erőtér? -. e / (+) (+5) tehát az erőtér konzervatív / ( )& M ( )N'+M ( )N( B, létezik potenciálfüggvény (.A): előállítjuk az E pot (r) függvényt és abból számoljuk ki a munkát: W E pot E pot (P ) E pot (P 1 ); a munka tetszőleges úton számolva ugyanannyi (.B): egyszerűbb utat választunk az integráláshoz. 7 /

.A) E pot (r) meghatározása: tudjuk, hogy F grad E pot, de mivel most F helyett E F/m van megadva, ha ezzel számolunk, akkor az egységnyi tömegre vonatkozó potenciális energiát kapjuk meg, jelöljük ezt U-val: U E pot /m, és E grad U. Descartes-komponensekkel g E i j+e k l+e m n, opqr U 1 tu ti j+tu tk l+tun6 ; tm a megfelelő komponenseknek egyenlőknek kell lenni, vagyis U/ x E x, U/ y E y, U/ z E z, azaz ismerjük az U(r) függvény parciális deriváltjait. U/ x E x (xy+z) U (xy+z)dx x y + xz + K 1 (y,z); itt K 1 olyan konstans, ami x-től nem függ, de függhet y-tól és z-től; ezért jelöli K 1 (y,z). Ennek y szerinti deriváltja U/ y x + K 1 (y,z)/ y; másrészt U/ y E y x K 1 (y,z)/ y, a konstans tehát független y-tól, de függhet z-től: U x y + xz + K (z). Ennek z szerinti deriváltja U/ z x + K (z)/ z, másrészt U/ z E z x + 5 K (z)/ z 5 K 5z U x y + xz + 5z + K. A K konstans értékét válasszuk -nak (így E pot az origóban) Tehát a potenciálfüggvény egységnyi tömegre U x y + xz + 5z [J/kg]. Megjegyzés: gyorsabban is összerakhatjuk az U függvényt: U/ x E x (xy+z) U (xy+z)dx x y + xz + k 1 (y,z) U/ y E y x U x dy x y + k (x,z) U/ z E z x+5 U (x+5)dz xz + 5z + k (x,y) Gyűjtsük össze a tagokat, de mindegyiket csak egyszer írjuk ki: U(r) x y + xz + 5z. Az erőtér által végzett munka a kezdő- és a végpont potenciáljának a különbsége: W/m U [U(P 1 ) U(P )] U(P ) U(P 1 ). A P (,,1) pontban x, y, z 1 U(P ) + 1 + 5 1 9 J/kg; a P 1 (1,,) pontban x 1 1, y 1, z 1 U(P 1 ) 1 + 1 + 5 17 J/kg; W/m U(,,1) U(1,,) 9 17 8 J/kg, tehát az m 5 kg tömegű testen az erőtér által végzett munka W 5 ( 8) 4 J..B) Mivel az erőtér konzervatív, választhatunk más, a megadottnál egyszerűbb utat is a P és P 1 pontok között (mivel ekkor a munka csak a kezdő- és végpontoktól függ). Válasszuk azt az utat, amikor rendre az x,y,z tengelyek mentén megyünk: P (,,1) (1,,1) (1,,1) P 1 (1,,) Amikor az x tengely mentén megyünk, behelyettesítjük E x -be y és z értékét ( y, z1 ) és x: 1 ; amikor az y tengely mentén megyünk, behelyettesítjük E y -ba x és z értékét ( x1 lett, z1 ) és y: ; amikor a z tengely mentén megyünk, behelyettesítjük E z -be x és y értékét ( x1, y lett) és z: 1. P1 (1,,1) (1,,1) (1,,) W m E dr 5 ( xy + z) dx + x dy + (x + 5) dz P (,,1) (1,,1) (1,,1) 1 5 ( x + 1) dx + 1 dy + ( 1+ 5) dz... 4 [ J ]. 1 7/. Egy erőhöz tartozó potenciális energiát az alábbi függvény adja meg: E pot xy + 16 xz a) Adjuk meg a potenciális energiához tartozó erőt! b) Mekkora munkát végez a fenti erő, ha a test a P (1,,) pontból a P 1 ( 4,5, 6) pontba mozog a pontokat összekötő egyenes mentén? c) Mekkora erő hat a testre a P kezdőpontban? 7 / 4

a) F grad E pot ( (y z) i + 4xy j x k ) ( y +z) i 4xy j + x k b) A potenciális energiából W E pot E pot (P ) E pot (P 1 ) [ 1 ( ) + 16 1 ] [ ( 4) 5 + 16 ( 4) ( 6)] [15] [ 56] 71 J. Persze kiszámolhatjuk a munkát vonalintegrállal is: (_,,x) (_,y,x) (_,y,z) + (,,x) (_,,x) + (_,y,x) ( ( ) ) + ( 4 ( 4)) y z 1 + 16 + 1 x c) F(P ) ( ( ) + ) i 4 1 ( ) j + 1 k 1 i + 8 j + k, y z + M ( 4)N x GH _ +G8 H y +G 1H x z 71 J. ennek nagysága (Pitagorasz-tétellel) F(P ) 74 8,6 N. Gyakorló feladatok a zárthelyire 7/4. Határozzuk meg az E (x+4) i z j + x k [N/kg] erőtér által egy m kg tömegű testen végzett munkát, ha a test a) a P 1 (, 1,) [m] és a P (,1,) [m] pontok között mozog egyenes pályán! b) a P (,,) [m] és a P 4 ( 5,4,) [m] pontok között mozog rendre az x,y,z tengelyekkel párhuzamosan! a) A mozgás itt csak az y tengellyel párhuzamosan történik, így dx dz. P P 1 { ( x + 4) dx z dy + x dz} dy... 48 J W F dr m E dr P1 P1 (,1,) (, 1,) b) P4 ( 5,4,) ( 5,,) ( 5,4,) ( 5,4,) W F dr m E dr ( x + 4) dx + z dy + x P (,,) (,,) ( 5,,) ( 5,4,) 1 dz 5 4 ( x + 4) dx + dy + ( 5) dz 7 { 15 + + 15} J.. 7/5. Adott a térerősség a következő alakban: E (x+xz) i + (y +5xz) j + 5xy k [N/kg]. a) Állapítsuk meg, létezik-e potenciál, és ha igen, adjuk meg! b) Mekkora munkát végez az erőtér, ha egy m kg tömegű test mozog egy egyenes mentén a P 1 (1,, 1) [m] pontból a P ( 1,,) [m] pontba? i j k a) rot E (5x 5x) i (5y x) j + (5z ) k (x 5y) j + 5zk x y z x + xz y + 5xz 5xy tehát nem létezik potenciál. 7 / 5

b) A P -ból P 1 -be mutató egyenes egyenlete t-vel paraméterezve, P -nál t, P 1 -nél t1 választással: r(t) ( t+1) i + j + (t 1) k dr ( i + k) dt. W m 1 r1 t1 dz dt E dr m E x + E y + E z dt r t dx dt dy dt {[ ( t + 1) + ( t + 1) (t 1) ] ( ) + [ + 5( t + 1) (t 1) ] + [ 5( t + 1) ] 1} dt 1 4 { 8t t + 8} dt... J. 7/6. Határozzuk meg az F [ (x+z) ln(y) ] i + [ (x +xz) / y ] j + [ x ln(y) ] k erő által végzett munkát, miközben a test az r (5 t) i + j 4t k egyenes mentén a P (7,,4) pontból a P 1 (5,,) pontba jut! (Az erő N-ban, az r m-ben értendő.) Konzervatív az erőtér? dr ( i 4 k) dt az integrálási határok (behelyettesítéssel): P -ban t 1, P 1 -ben t 1 % # $ + $ )* mert dy % D G((5 *) 4*) Y ( )+(5 *) Y ( 4)H *... 5 Y 57,1 J Konzervatív, ha rot F rot F (x/y x/y) i (ln(y) ln(y)) j + ((x+z)/y (x+z)/y) k tehát konzervatív az erőtér eszerint az a) feladatot számolhatjuk máshogy is, mehetünk pl. a tengelyekkel párhuzamosan: (y,x,_) (y,x,) + (,x,_) (y,x,_) (y,x,_) (y,x,) ( +4) Y + (,x,_) 5 Y.. (y,x,_) VAGY előállíthatjuk a potenciális energia függvényt: E pot (x + xz) ln(y) 5 Y ; és kiszámolhatjuk ebből a munkát: W E pot E pot (P ) E pot (P 1 ) 77 ln ( 5 ln) 5 ln 7/7. Egy E ( y) i (x+yz) j y k alakú erőtérben egységnyi tömegű test mozog az r (t +1) i + (t 1) j + t k görbe mentén. a) Konzervatív-e az erőtér? b) Mekkora munkát végez az erőtér, míg a P (,, ) pontból a P 1 (,,) pontba jut a test? a) -. e ƒ ( +)& ( )'+( +)( B (+) tehát az erőtér konzervatív. b) A munkát számolhatjuk a potenciálból: U/ x E x ( y), U/ y E y (x+yz), U/ z E z y a potenciál U x + xy + y z, ezzel W E pot m ( U) 1 (U(P ) U(P 1 )) [ + ( )+( ) ( )] [ + + ] 16 J. 7 / 6

VAGY: dr/dt t i + j + k, és P -ban t 1, P 1 -ben t 1 1; M (* 1)N * M(* +1)+(* 1)*N 1 (* 1) dt G 1* +18* 4H dt 16 ˆ. VAGY: mivel az erőtér konzervatív, a munka számolható más utat választva is, pl. a koordinátatengelyekkel párhuzamosan haladva. 7/8. Mekkora munkát végez az E (y ) i + (x z ) j 4 yz k erőtér egy m 1,8 kg tömegű testen, ha a test a P ( 1,1,) pontból a P 1 (5,1,) pontba mozog az r ( t) i + t j + k görbe mentén? Konzervatív-e az erőtér? -. e ƒ 4 tehát az erőtér konzervatív. A munkát számolhatjuk a potenciálból: ( 4+4)& ( )'+(1 1)( B U/ x E x (y ), U/ y E y (x z ), U/ z E z 4yz a potenciál U x xy + yz, ezzel W/m U(P ) U(P 1 ) [ ( 1) ( 1) 1+ 1 ] [ 5 5 1+ 1 ] 1 J/kg. VAGY vonalintegrállal: dr/dt i + t j + k, és P -ban t 1, P 1 -ben t 1 1 W/m G(t ) ( )+((( t) ) t+)h dt Gt +4t H dt 1 J/kg. VAGY: mivel az erőtér konzervatív, a munka számolható más utat választva is, legegyszerűbben úgy, hogy az x tengellyel párhuzamosan megyünk a P -ból a P 1 -be: (y,,) y y W/m (y )dx (,,) (1 )dx dx GxH y 1 J/kg. Az 1,8 kg tömegű testen végzett munka W 1,8 1 1,6 J. 7/9. Egy test az r(t) (t ) i t j + (t 1) k [m] görbe mentén mozog a P (, 4, 7) [m] pontból a P 1 (,, 1)[m] pontba. Mekkora munkát végez eközben a testen az F (xy+z) i + xz j + (y x) k [N] erő? Ha kiszámoljuk rotf-et, látjuk, hogy az nem zérus ( rotf (y x)i+j+(z x)k ), tehát a munkát mindenképpen az előírt vonalintegrállal kell kiszámolni. Behelyettesítéssel látható, hogy P -ban t, P 1 -ben t 1, tehát az integrálási határok: t:. $ $ $ A dr vektor: 1,, 4*, tehát dr ( i j + 4t k ) dt x(t) (t ), y(t) t, z(t) (t 1) behelyettesítésével W Mx(t),y(t),z(t)N rp p p D M(t )( t)+(t 1)N 1+M(t )(t 1)N ( )+M( t) (t )N 4t dt D O4t x +18t +t 1P dt Gt _ +6t x +11t 1tH 7 / 7

7/1. Adott a következő erőtér: E (y ) i + (x z ) j 4yz k [N/kg] Mekkora munkát kell végeznünk a fenti erőtér ellen, ha egy egységnyi tömegű testet mozgatunk az x [m] síkban fekvő y + z 4 egyenletű kör mentén pozitív irányban a P (,,) [m] pontból a P 1 (,,) [m] pontba? m 1 kg F m E (y ) i + (x z ) j 4yz k [N] r(t) i + cos t j + sin t k dr (- sin t j + cos t k) dt P -ban t, P 1 -ben t π W π [( 4sin t)( sin t) (4 cos t sin t) (cos t) ] dt... π 48 cos t sin t 48 cos t ( 8sin t + 48sin t) dt 8 cos t 1 J W 1 J munkát végezne az erőtér, azaz nekünk 1 J munkát kell végeznünk. Más megoldás: rot E..., tehát az erőtér konzervatív. A potenciál U x xy + yz [J/kg], az erőtér által végzett munka W/m U U(P ) U(P 1 ) 1 J/kg, az egységnyi tömegen általunk végzendő munka W 1 J. π Nem zh feladatok 7/11. Keressük meg az alábbi helyzeti energia függvényekhez tartozó erőtereket! a) E pot ax + by + cz c) E pot A z e ax + by b) E pot A e ax + by + cz d) E pot A (ax + by + cz) 1 a) F grad E pot (a i + b j + c k) b) F A (a e ax + by + cz i + b e ax + by + cz j + c e ax + by + cz k ) A e ax + by + cz (a i + b j + c k) E pot (a i + b j + c k) (Bevezetve az a i + b j + c k v vektort az E pot felírható E pot A e v r alakban.) 7/1. Keressük meg az alábbi erőterekhez tartozó helyzeti energia függvényt, ha van! (Ha csak bizonyos feltételek teljesülése esetén létezik helyzeti energia, akkor adjuk meg a szükséges feltételeket!) a) F a i + b j + c k c) F ay i + bx j + cz k b) F ax i + by j + cz k d) F a (x + y + z )( x i + y j + z k ) a) rot F, E pot (ax + by + cz) ( ami felírható rövidebben: E pot F r ) b) rot F, E pot ½ ( a x + b y + c z ) c) -. / / ( ) ( Z vagyis akkor van csak potenciális energia, ha b a; ekkor E pot ( a xy + ½ c z ) 7 / 8