Granice funkcji jednej zmiennej rzeczywistej Denicja 1. s siedztwo punktu Sum przedziaªów 0 r, 0 0, 0 + r nazywamy s siedztwem punktu 0 o promieniu r i oznaczamy S 0, r. Przedziaª 0 r, 0 nazywamy s siedztwem lewostronnym punktu 0 o promieniu r i oznaczamy S 0, r Przedziaª 0, 0 + r nazywamy s siedztwem prawostronnym punktu 0 o promieniu r i oznaczamy S + 0, r Je»eli promie«s siedztwa nie b dzie miaª znaczenia, s siedztwo punktu 0 b dziemy oznacza krótko przez S 0, S + 0, S 0. Do s siedztwa S 0, r nale» zatem wszystkie punkty nale» ce do otoczenia O 0, r, z wyj tkiem punktu 0. Denicja. punkt skupienia zbioru Punkt 0 R nazywamypunktem skupienia zbioru X R, je»eli w ka»dym s siedztwie punktu 0 znajdzie si punkt nale» cy do zbioru X, tzn. S0 X S 0. Uwaga 1. Granic funkcji mo»e okre±la tylko w punktach skupienia dziedziny tej funkcji. Przykªad 1. Niech dziedzin funkcji jest 4, ] 3, 5 5, +. Wówczas granic funkcji mo»emy okre±la dla punktów [ 4, ] [3, + ]. Denicja 3. Heinego granicy wªa±ciwej funkcji w punkcie Niech 0 R oraz niech f b dzie okre±lona przynajmniej na s siedztwie S 0 punktu 0. Liczb g nazywamy granic wªa±ciw funkcji f w punkcie 0, co zapisujemy f = g, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego zbie»nego do 0 ci gu n punktów s siedztwa punktu 0, ci g warto±ci f n zbiega do g. Co równowa»nie mo»na zapisa w postaci: {n} S 0 [ n n = 0 n f n = g ]. Przykªad. Stosuj c denicj Heinego granicy wªa±ciwej funkcji uzasadnij,»e: a + 4 = 6, b 4 = 4. 1 1
Rysunek 1: Ilustracja do przykªadu Rozwi zanie: a Niech ci g n S1 oraz n = 1. Wówczas f n = n + 4 = 6. n n n b Niech ci g n S oraz n =. Wówczas f n = n 4 = n n+ n n n n n n = n + = 4. n Denicja 4. Granica lewostronna wªa±ciwa funkcji w punkcie wedªug Heinego Niech funkcja f b dzie okre±lona przynajmniej na lewostronnym s siedztwie punktu 0. Mówimy,»e funkcja f ma w punkcie 0 granic lewostronn g R, co zapisujemy 0 f = g gdy dla dowolnego zbie»nego do 0 ci gu n punktów lewostronnego s siedztwa punktu 0, ci g warto±ci f n zbiega do g. Denicja 5. Granica prawostronna wªa±ciwa funkcji w punkcie wedªug Heinego Niech funkcja f b dzie okre±lona przynajmniej na prawostronnym s siedztwie punktu 0. Mówimy,»e funkcja f ma w punkcie 0 granic prawostronn g R, co zapisujemy f = g + 0 gdy dla dowolnego zbie»nego do 0 ci gu n punktów prawostronnego s siedztwa punktu 0, ci g warto±ci f n zbiega do g. Twierdzenie 1. Je±li funkcja f posiada w punkcie 0 granic, to tylko jedn. Gracznie: liczba g jest granic prawostronn lewostronn funkcji w punkcie 0, gdy warto±ci funkcji dla argumentów d» cych do 0 przez warto±ci wi ksze mniejsze od 0, d» do liczby g. Przykªad 3. Rozwa»my funkcj f = sgn :
Granica lewostronna funkcji f = sgn w punkcie 0 = 0 wynosi: sgn = 1, a granica 0 prawostronna jest równa sgn = 1. 0 + Twierdzenie. warunek konieczny i wystarczaj cy istnienia granicy w punkcie Warunkiem koniecznym i wystarczaj cym na to, aby funkcja miaªa w badanym punkcie 0 granic jest istnienie i równo± jej granic jednostronnych: 0 f = f. + 0 Ponadto wspólna warto± tych granic jest granic funkcji w punkcie 0. Przykªad 4. Korzystaj c z warunku koniecznego i dostatecznego istnienia granicy funkcji w punkcie zbadaj istnienie granicy funkcji w punkcie 0 = 1 : a b Rozwi zanie: a Poniewa» 1 istnieje i jest równa 1: 1 f = 1; f = 1 = f, wi c granica funkcji f w punkcie 0 = 1 1 + b Poniewa» f = 0 = f, wi c granica funkcji f w punkcie 0 = 1 istnieje i jest 1 1 + równa 0: f = 0, pomimo tego,»e funkcja nie jest okre±lona dla 0 = 1. 1 Przykªad 5. Korzystaj c z warunku koniecznego i dostatecznego istnienia granicy funkcji w punkcie zbadaj istnienie granicy funkcji w punkcie 0 = 1 : a b Rozwi zanie: a Poniewa» f = 0, natomiast f = 1, wi c granica funkcji f w 1 1 + punkcie 0 = 1 nie istnieje. b Poniewa» f = 1, natomiast = f = 0, wi c granica funkcji f w punkcie 0 = 1 1 1 + nie istnieje. Denicja 6. Cauchy'ego granicy wªa±ciwej funkcji w punkcie Niech 0 R oraz niech f b dzie okre±lona przynajmniej na s siedztwie punktu 0. Liczb g nazywamy granic wªa±ciw funkcji f w punkcie 0, co zapisujemy f = g, 3
wtedy i tylko wtedy, gdy ε>0 δ>0 S0 [ 0 < δ f g < ε ]. Rysunek : Interpretacja geometryczna granicy wªa±ciwej funkcji w punkcie 0 Oznacza ona,»e funkcja f ma w punkcie 0 granic wªa±ciw g, gdy jej warto±ci ró»ni si od g dowolnie maªo dla argumentów le» cych blisko punktu 0. Denicja 7. granica niewªa±ciwa funkcji w punkcie Niech funkcja f b dzie okre±lona przynajmniej na s siedztwie S 0. Funkcja ta ma granice niewªa±ciwa + w punkcie 0, co zapisujemy f = +, wtedy i tylko wtedy gdy ε>0 M R S0 0 < M f > ε Gracznie: funkcja ma granice niewªa±ciw w punkcie 0, je»eli jej warto±ci s dowolnie du»e dla dostatecznie bliskich argumentów wzgl dem argumentu 0. W podobny sposób deniujemy granic 0 f = zamieniaj c w denicji f > ε na f < ε. Mówimy,»e: + je±li M>0 > M; Granice w niesko«czono±ci 4
je±li M>0 < M; je±li M>0 > M. Denicja 8. Denicja Cauchy'ego granicy wªa±ciwej w niesko«czono±ci Niech funkcja f b dzie okre±lona przynajmniej na s siedztwie S+. Liczba α R jest granic wªa±ciw funkcji f w +, co zapisujemy f = α, + wtedy i tylko wtedy gdy ε>0 M R S+ > M f α < ε Gracznie: funkcja ma granice wªa±ciw w +, je»eli jej warto±ci ró»ni si od granicy α dowolnie maªo dla dostatecznie du»ych argumentów. Uwaga. W podobny sposób deniujemy granic na < M. f = α zamieniaj c w denicji > M Rysunek 3: Ilustracja do granicy w niesko«czono±ci Poni»sza denicja prezentuje wszystkie mo»liwe przypadki denicji Cauchy'ego swoiste 9 in 1. Denicja 9. denicja Cauchy'ego granicy Niech 0 R, g R oraz dziedzina D R funkcji f : D R jest s siedztwem punktu 0, +, lub, to w zale»no±ci od przypadku mamy: 1 f = g 0 ε>0 δ>0 D 0 < 0 < δ f g < ε f = + 0 ε>0 δ>0 D 0 < 0 < δ f > ε 3 0 f = ε>0 δ>0 D 0 < 0 < δ f < ε 4 f = g ε>0 δ>0 D > δ f g < ε + 5
5 f = + ε>0 δ>0 D > δ f > ε + 6 f = ε>0 δ>0 D > δ f < ε + 7 f = g ε>0 δ>0 D < δ f g < ε 8 f = + ε>0 δ>0 D < δ f > ε 9 f = ε>0 δ>0 D < δ f < ε Twierdzenie 3. o arytmetyce granic funkcji w punkcie Niech funkcje f i g maj granice wªa±ciwe sko«czone w punkcie 0. Wtedy: f ± g = f ± g; 0 0 0 f g 0 f 0 = f g g = 0 f 0 g; o ile g 0; je±li f = y 0, ponadto funkcja gy jest ci gªa w punkcie y 0 0 gf = α, o ile dziaªania po prawej stronie s wykonalne oznaczone. oraz gy 0 = α, to Uwaga 3. Twierdzenie to stosujemy równie» do granic w ± oraz do granic jednostronnych. Symbole nieoznaczone:, 0 0,, 0, 1, 0 0, 0 Twierdzenie 4. o dwóch granicach lub o dwóch funkcjach Niech a, b R oraz b d dane dwie funkcje f, g : D R o wspólnej dziedzinie D R, speªniaj ce nierówno± f g dla ka»dego D, to je»eli: a 0 f = a oraz 0 g = b to a b; b 0 f = + to 0 g = + ; c 0 g = to 0 f =. Twierdzenie 5. o trzech funkcjach Niech mamy trzy funkcje f, g, h : D R o wspólnej dziedzinie D R, speªniaj nierówno±ci f g h dla ka»dego D oraz niech 0 f = 0 h = g. Wówczas g = g. Uwaga 4. Twierdzenia o dwóch i o trzech funkcjach zachodz równie» dla granic wªa±ciwych jednostronnych jak równie» dla granic wªa±ciwych w niesko«czono±ci. 6
Przykªad 6. Na podstawie twierdzenia o trzech funkcjach wyka»,»e sin + = 0. Rozwi zanie: Poniewa» dla > 0 a tym bardziej i dla + zachodzi: oraz 1 = 0 i 1 + + 1 }{{} f sin }{{} g 1 }{{} = 0, wi c z twierdzeni o trzech funkcjach mamy,»e: h sin + = 0. Warto zna : 1Niech P = a 0 n + a 1 n 1 + + a n 1 + a n oraz Q = b 0 m + b 1 m 1 + + b m 1 + b m b d dwoma wielomianami. Wówczas P Q = a 0 n + a 1 n 1 + + a n 1 + a n = b 0 m + b 1 m 1 + + b m 1 + b m Kilka prostych przykªadów: n a 0 + a 1 + + an n = m b 0 + b 1 + + bm m a 0 b 0 dla n = m 0 dla n < m + dla n > m oraz dla n > m; oraz a 0 b 0 > 0 a 0 b 0 < 0 Przykªad 7. Oblicz nast puj ce granice a + Rozwi zanie: a 5 4 3 + 5 3 5 + 1 = 4 b 3 + 5 = 4 3 5 4 1 + 4 5 5 5 3+ 4 1 5 4 4 + 3 5 4 4 3 = 4 = c 5 + 5 = 3 + 5 =. + 1 + 1 1 5 4 3 + 5, b 3 5 + 1 4 1 + 4 5 5 3+ 4 1 5 = 1; 3 4 + 3 5 4 3 4 = 0; Przykªad 8. Badaj c granice jednostronne rozstrzygn istnienie granicy funkcji: a f = w punkcie = ; { cos + dla < 0 b g = + 3 dla > 0, w punkcie 0 = 0; c h = + 3 +3 w punkcie 0 = 3. Rozwi zanie: a f = { 0} = 0 = = ; 4 3 + 5, c 5 + 5. 4 3 + 1 7
+ f = + Zatem poniewa» = { 0} = = =. 0 + + f f granica f nie istnieje. + b g = 0 0 cos + = 1 + = 3; g = + 3 = 0 + 3 = 3; 0 + 0 + Tutaj zachodzi równo± granic jednostronnych: g g, wi c granica g ist- + nieje i jest równa 3. c h = 3 h = 3 + Zatem poniewa» 0 3 + 3 +3 { 0 0 } = 3 +3 1 3 + + 3 +3 = { 0 0 } = 3 + +3 1 h 3 h granica 3 + 3 0 = 1 = 4; +3 3 = +3 3 + 1 = 4. h nie istnieje. Granice podstawowych wyra»e«nieoznaczonych: sin tg a = 1, b = 1, α > 0 c 0 0 0 log d a 1+ = log 0 a e, 0 < a 1 e 1 + a ± = e a, a R f 1 + 1 0 a 1 = ln a, a > 0 1+ g a 1 arcsin arctg = a, a R h = 1 i = 1 0 0 0 Inne przydatne wzory: a sin α = sin α cos α, b cos α = cos α sin α, c sin 1 cos α α =, d cos 1+cos α α =, e sin α + sin β = sin α+β cos α β g cos α cos β = sin α+β sin α β, h cos α = sin α i a b = a ba + b, j a 3 b 3 = a ba + ab + b. k a n b n = a ba n 1 + a n b +... + a n k b k 1 +... + ab n + b n 1 l a n + b n = a + ba n 1 a n b + a n 3 b a n 4 b 3 +..., f sin α sin β = sin α β cos α+β, = e 8
Zadania 1. Dla funkcji, których wykresy przedstawiono na rysunkach, podaj granice w punkcie 0 = 1 lub uzasadnij,»e granica ta nie istnieje: a b c d e f. Dla funkcji, których wykresy przedstawiono na rysunkach, podaj granice jednostronne w punkcie 0 = 1 lub uzasadnij,»e granice te nie istniej : a b c d e f 3. W oparciu o denicj Heine'go jak i Cauchy'ego wyka»,»e 4 = 1 4. 4. W oparciu o denicj Heine'go granic funkcji wykaza,»e: a 9 = 6 b 3 3 4+1 c = 4 d 3+ 3 e g + + 3 = + f +5 + 3 = + 3 +8 + = 1 4 = + + 1 1 = 0 9
1 5. W oparciu o denicj Cauchy'ego granicy funkcji wykaza,»e = 0, gdzie α > 0. α 6. W oparciu o denicj Cauchy'ego granicy funkcji wykaza,»e: a 1 = 7 b + 4 = 4 d sin = 0 e cos = 1 0 0 g log 4 = h 0 + 3 = 3 j c 1 + 3 = 4 f 1 1 = + 1 i a = +, a > 1 sin = 1 k + arctg = l log 1 + = + 7. Wykaza na podstawie denicji Heine'go,»e nie istniej granice funkcji: a b 1 c 0 d sin e [] cos 1 0 9 f 8. Korzystaj c z twierdze«o arytmetyce granic, obliczy podane granice funkcji o ile istniej : 5 4+1 1 3 3 8 3 4 +1 4 4 +3 5 1 1 6 3 6 3 1 1 4 1 5 + 3 8 4 4 7 10 4 13 16 19 0 8 4 5 5 5 11 3 + 1 3 3 14 + + 4 + 3 sin 6 17 0 3 3 1+ 3 1 0 3 3 +4 + 4 sin 1 cos 0 sin ctg 5 sin 4 sin 5 5 0 sin 0 0 3 4 6 4 sin 1 cos 4 sin 4 cos sin cos 8 + sin 1 9 + sin + 1 sin 3 9 4 3+ 1 5 4+3 1 15 4 4 + 4 + 1 3 1 sin 5 18 0 sin 1 4 4 7 3 cos sin cos cos cos 3 1 cos 30 0 ctg 3 1 +3 +5 31 1 + 3 3 1 33 34 1 5 35 log 3 4 7 36 sin 7 37 1 arctg ln1+6 8 39 0 0 tg 7 0 e 3 1 40 arcsin 0 arcsin 3 43 0 [ 1 9. Oblicz nast puj ce granice: a 0 + ln ] 3 41 0 ln cos 44 0 b sin 0 + 10. Korzystaj c z twierdzenia o trzech funkcjach wykaza : a +sin = 1 1 b 3 cos cos d + [e ] e +1 3 3 = 1 e e cos = 0 e 4 4 1 0 sin 5 sinsin 45 0 = 0 c + 3 3 +1 3[] 5 = 3 10
11. Korzystaj c z twierdzenia o dwóch funkcjach wykaza : a + 1 + cos = b = + 0 + sin [ d ] ctg = + 1. Zbada, obliczaj c granice jednostronne, czy istniej podane granice: +1 sin a b 1 1 0 d 3 [] sgn1 g 1 sgn 3 1 e 0 e 1 h 1 arctg 1 1 c 1 [ ] 0 = 1 c 3 1 3 f 1 + 1 1 i 0 sin 1 cos 1 13. Niech b d dane funkcje f, g : D R oraz + b dzie punktem skupienia zbioru D. Wyka»,»e je»eli f = + oraz g =, to fg =. + + + 11