Kiegészítések az A szemidefinit programozás alkalmazásai a kombinatorikus optimalizálásban című jegyzetemhez Ujvári Miklós Utolsó módosítás: 2011 szeptember A 4.25 Megjegyzés mögé beszúrandó (4.26-ból 4.28 lesz, 4.27-ből 4.29): A G gráf automorfizmus csoportja, Γ := Aut (A(G)), éltranzitív, ha minden {i, j}, {i, j } E(G) esetén létezik π Γ úgy, hogy {i, j } = {π(i), π(j)}. Például a csillag automorfizmus csoportja éltranzitív, de nem csúcstranzitív. 4.26. Tétel: Reguláris gráfokra ϑ(g) n /( 1 + α ) max, α min egyenlőséggel, ha a gráf automorfizmus csoportja éltranzitív. Bizonyítás: Az előző tételből nyilvánvaló, hogy ϑ(g) inf{λ max (J xa(g)) : x R}. Reguláris gráfokra ez éppen a tételbeli egyenlőtlenség. Valóban, ha v i jelöli az A(G) mátrix α i sajátértékéhez tartozó sajátvektorát, akkor G regularitása miatt v n = 1, és így v 1,..., v n 1, 1 a J mátrixnak is sajátvektorai. Ezért a J xa(g) mátrix sajátértékei xα 1,..., xα n 1, n xα n. A legnagyobb ezek közül az első vagy az utolsó, az x optimális választása x = n/(α n α 1 ), ekkor mindkét sajátérték /( n 1 + α ) max, α min amivel a tétel első felét beláttuk. A tétel második feléhez elég megmutatnunk, hogy ha a gráf automorfizmus csoportja éltranzitív, akkor ϑ(g) = inf{λ max (J xa(g)) : x R}. 1
Ez az állítás a következőképpen igazolható: Tegyük fel, hogy Γ éltranzitív. Legyen ε > 0, és legyen A A, amelyre λ max (A) ϑ(g) + ε. Jelölje  az alábbi mátrixot:  := 1 P π APπ T. Γ π Γ A legnagyobb sajátérték függvény konvexitása miatt λ max (Â) π Γ 1 Γ λ max(p π AP T π ) = λ max (A), továbbá  = J xa(g) alakú Γ éltranzitivitása miatt. Ezért ϑ(g) inf x λ max(j xa(g)) λ max (Â) λ max(a) ϑ(g) + ε, amiből a tétel második fele is következik. 4.27. Következmény: Páratlan n esetén Páros n esetén ϑ(c n ) = n/2. ϑ(c n ) = n cos(π/n) 1 + cos(π/n). A fenti tétel segítségével Lovász további gráfok ϑ-ját, sőt Shannonkapacitását is meghatározta, lásd [40]. Például a Petersen-gráf Shannonkapacitása négy. Ha ϑ k (G) < n, akkor α k (G) < n, és így χ(g) > k, ahol...: Néhány apróbb hiba a 8. fejezetből: 8.7 d), e) helyesen: d) S, és minden... e) létezik... 8.21 bizonyításában egy kiemelt képlet helyesen: x L ri K =. : x m ri K i x 8.25 bizonyításában a kiemelt képlet helyesen: 2
x 1. x m : K1 x i ( K i ) =. Km + x 1. x m : x i = 0. A 11. fejezet változtatásai: 11.4 utáni mondat végére: (Lovász perfekt gráf tétele, [39], 13.57). 11.6 után: Összehasonlítási gráfok perfektségét Dilworth igazolta ([39], 9.32). 11.7 elé: Bizonyítás nélkül megjegyezzük, hogy perfekt G gráfok polinom időben színezhetők χ(g) színnel (Grötschel Lovász Schrijver eredménye). 11.8 helyett: A (P 1 ) és az alábbi (P 7 ) program között fennálló gyenge dualitás (a v P1 v P7 egyenlőtlenség) a lemma egyszerű következménye. Az erős dualitás a (P 6 ) és (P 7 ) programok ekvivalenciájából adódik: 11.8. Tétel: ϑ(g) a (P 7 ) := max (e T 1 v i ) 2, V ONR (G) program optimumértéke. (Hasonlóan a (P 1 ) programhoz, e 1 helyébe itt is tetszőleges egységvektort írhatunk.) Bizonyítás: v P6 v P7 : Legyen V ONR (G), és legyen C := V T V. Ekkor C a (P 6 ) program megengedett megoldása, továbbá Rayleigh tétele miatt (e T 1 v i ) 2 = e T 1 V V T e 1 λ max (V V T ) = λ max (C). (Az utolsó egyenlőségben azt a könnyen igazolható állítást használtuk, hogy tetszőleges V mátrix esetén a V V T és a V T V mátrixok legnagyobb sajátértéke megegyezik.) v P6 v P7 : Legyen C a (P 6 ) program megengedett megoldása, ekkor C = W T W alakú valamely W ONR (G) mátrixszal. Általában a W T W 3
és W W T mátrixok legnagyobb sajátértéke megegyezik, így 1.16 szerint, alkalmasan választott x egységvektorral λ max (C) = λ max (W W T ) = (x T w i ) 2. Szorozzuk meg a W mátrixot balról egy szimmetrikus ortogonális mátrixszal, amelynek első oszlopa x, az így kapott mátrixot jelölje V. Ekkor V ONR (G), továbbá λ max (C) = (x T w i ) 2 = (e T 1 v i ) 2, amiből már látszik, hogy a (P 7 ) program a (P 6 ) program relaxációja. 11.11 helyett: 11.11. Következmény: (Shannon) Θ(G) α (G). Bizonyítás: 4.22-ből és 11.10-ből adódik. Egy közvetlenebb bizonyítás az alábbi: Mivel 11.9 szerint α(g) α (G), azért elég megmutatnunk, hogy α multiplikatív, vagyis α (G 1 G 2 ) = α (G 1 ) α (G 2 ). Lássuk be például a szubmultiplikativitást. Legyen q 1 az α (G 1 ) optimumértékű duál lineáris program optimális megoldása: α (G 1 ) =: 1 T q 1, R 1 q 1 1, q 1 0. Definiáljuk hasonlóképpen a q 2 vektort is. Egy G 1 -beli és egy G 2 -beli klikk direkt szorzata klikk G 1 G 2 -ben (a maximális G 1 G 2 -beli klikkek ilyen alakúak). Ezért a q 1 q 2 vektor kiegészíthető nullákkal az α (G 1 G 2 ) optimumértékű duál lineáris program egy megengedett megoldásává, ezt a vektort jelölje q 12. Ekkor α (G 1 ) α (G 2 ) = 1 T q 1 1 T q 2 = 1 T (q 1 q 2 ) = 1 T q 12 α (G 1 G 2 ), ami mutatja α szubmultiplikativitását. A szupermultiplikativitás hasonlóan igazolható az α -ot megadó primál lineáris program segítségével. Az előző bizonyítás során láttuk, hogy α (G 1 G 2 ) = α (G 1 ) α (G 2 ), 4
továbbá hogy α(g 1 G 2 ) = α(g 1 ) α(g 2 ). A ϑ(g) mindkét multiplikativitási tulajdonsággal rendelkezik: 11.13 bizonyításában: Ekkor V ONR (G), így 11.7 szerint v P1 i (et v i ) 2. Másfelől...= i w i 2 = v P4. 11.16 helyesen: 11.16. Tétel: (Juhász) Ha G n pontú véletlen gráf, akkor ϑ(g)/ n és n/ϑ(g) is O(1) 1-hez tartó valószínűséggel. A 148. oldal (12. fejezet) Azt sejtik kezdetű és a rákövetkező mondata helyett: Gyengén páros gráfokra ez az mc/ϕ infimuma (lásd 10.9), általában pedig α (Feige és Schechtman eredménye). A 149-150. oldalon: A (P ) program feltétele helyesen Hasonlóan (P )-nél. E ij X 2α 0 (ij E(G), i < j). A 152. oldal (13. fejezet) egy mondatában helyesen nem tartalmazza az origót helyett elemeinek első koordinátája egyes írandó. A C.11 tételbe beszúrandó: Legyen Ỹ := k Y ii /m i. Az Ỹ I (vagy az Ỹ 1 = 1 miatt erősebb Ỹ 0) feltételt... Az Irodalomjegyzékbe beszúrandó: 1. M. Aigner és G. M. Ziegler, Bizonyítások a Könyvből, Typotex Kiadó, Budapest, 2004. 2. M. Laurent és F. Rendl, Semidefinite programming and integer programming, in Handbook on Discrete Optimization, K. Aardal et al., eds., Elsevier B. V., Amsterdam, 2005, 393-514. 5
3. L. Lovász, Semidefinite programs and combinatorial optimization, in B. A. Reed and C. L. Sales, eds., Recent Advances in Algorithms and Combinatorics, CMS Books in Mathematics, Springer, 2003, 137-194. 4. Ujvári M., A note on the graph-bisection problem, Pure Math. and Appl. 12(1) (2002), 119-130. 5. Ujvári M., New descriptions of the Lovász number, and the weak sandwich theorem, benyújtva a Pure Math. and Appl. folyóirathoz (2010). (Legfrissebb változata 2008 februári, http://www.oplab.sztaki.hu/wp 2008 1 Ujvari.pdf korábbi változatai letölthetőek a http://www.cs.elte.hu/opres/orr/reports.htm http://www.oplab.sztaki.hu/wp en.htm honlapokról.) 6. Ujvári M., Strengthening weak sandwich theorems in the presence of inconnectivity, benyújtva a Pure Math. and Appl. folyóirathoz (2010). 7. Ujvári M., Four new upper bounds for the stability number of a graph, Operations Research Report, ELTE TTK, Budapest, 2010. (Kiegészítés: Az α(g) ι 2 (G) egyenlőtlenség érvényben marad ι 2 (G) definíciójában A A feltétellel A A helyett. Ez az infimum legfeljebb n+1 ϑ(g) a (2) utáni megjegyzésből adódóan, ahol A A írandó (Lovász-szám), nem pedig A A (Schrijver-szám).) 8. Ujvári M., Applications of the inverse theta number in stable set problems, Operations Research Report, ELTE TTK, Budapest, 2011. (Kiegészítés: A (P ) program is megoldható polinom időben, hiszen ekvivalens (T D)-vel az e jegyzet 11.3 tételében látottak szerint. Az így nyert algoritmus legalább 2ϑ(G) n elemszámú stabil halmazt határoz meg.) 9. Ujvári M., Konvex analízis, Publikálatlan kézirat, 2009. http://www.oplab.sztaki.hu/tanszek/letoltes.htm Az utolsó oldalra: 6
Mellékelem az 1999/00 tanév II. félévében tartott előadásom (azóta módosított) tematikáját, ami segíthet a jegyzet feldolgozásában. 1. Algebrai segédtételek I: Valós, szimmetrikus mátrix ortogonálisan diagonalizálható; Rayleigh-tétel. 2. Algebrai segédtételek II: Courant Fischer-tétel; Cauchy-tétel. 3. Algebrai segédtételek III: Neumann-tétel; Ky Fan tétele. 4. Sajátértékkorlátok a kromatikus számra: Wilf-tétel; Hoffman-tétel. 5. Sajátértékkorlátok a maximális vágás, gráf félbevágás, gráfpartíció problémákra (Delorme Poljak-, Boppana-, Hoffman-korlát). 6. A theta-függvény megfogalmazása sajátértékkorlátként ((P 1 ) és (P 2 ), illetve (P 7 ) és (P 6 ) ekvivalenciája); a szendvicstétel bizonyításai. 7. Stiemke-tétel Carver-tétel erős dualitás kúplineáris programokra. 8. Krein-tétel Farkas-lemma erős dualitás kúplineáris programokra. 9. Szemidefinit programok; példák (lineáris program, konvex kvadratikus program, sajátértékprogramok); ellenpéldák; az erős dualitási tétel standard alakú szemidefinit programokra. 10. Sajátértékkorlátok megfogalmazása szemidefinit programként (maxcut); approximációs algoritmus a max-cut problémára. 11. A theta-függvény szemidefinit jellemzései; perfekt gráfok egy legnagyobb klikkjét meghatározó algoritmus; α(g), α (G), ϑ(g) multiplikativitása; a Shannon-probléma; tételek az automorfizmus csoport (csúcs-/él-) tranzitivitása esetén. 12. A Lovász Schrijver-módszer. 7