Kvantum marginális probléma és összefonódási politópok

Hasonló dokumentumok
Lagrange és Hamilton mechanika

A klasszikus mechanika matematikai módszerei

Matematika (mesterképzés)

Kvantum összefonódás és erősen korrelált rendszerek

Csoporthatások. 1 Alapfogalmak 1 ALAPFOGALMAK. G csoport hatása az X halmazon egy olyan µ: G X X leképezés, amelyre teljesül

Saj at ert ek-probl em ak febru ar 26.

Lineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31

Optimalizálási eljárások GYAKORLAT, MSc hallgatók számára. Analízis R d -ben

Kevert állapoti anholonómiák vizsgálata

Összefonódottság detektálása tanúoperátorokkal

= e i1 e ik e j 1. tenzorok. A k = l = 0 speciális esetben e az R egységeleme. A. e q 1...q s. = e j 1...j l q 1...q s

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek

Csoportreprezentációk az

17. előadás: Vektorok a térben

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak

Bevezetés az algebrába 2 Vektor- és mátrixnorma

Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk

1. feladatsor Komplex számok

Bevezetés az algebrába 2

Robotika. Kinematika. Magyar Attila

Haladó lineáris algebra

Szinguláris értékek. Wettl Ferenc április 12. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35

Szinguláris értékek. Wettl Ferenc április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április 3. 1 / 28

A lineáris programozás alapjai

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Diszkrét Matematika. zöld könyv ): XIII. fejezet: 1583, 1587, 1588, 1590, Matematikai feladatgyűjtemény II. (

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0

Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek

6. gyakorlat. Gelle Kitti. Csendes Tibor Somogyi Viktor. London András. jegyzetei alapján

"Flat" rendszerek. definíciók, példák, alkalmazások

Lineáris algebra. =0 iє{1,,n}

Lineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Boros Zoltán február

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III.

Szubkonvex becslések automorf L-függvényekre

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

1.1. Vektorok és operátorok mátrix formában

Mátrixfüggvények. Wettl Ferenc április 28. Wettl Ferenc Mátrixfüggvények április / 22

Opkut deníciók és tételek

10. előadás. Konvex halmazok

1. Bázistranszformáció

Kronecker-modulusok kombinatorikája és alkalmazások

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, június 10

II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés

Optimalizálás alapfeladata Legmeredekebb lejtő Lagrange függvény Log-barrier módszer Büntetőfüggvény módszer 2017/

Az összefonódás elemi tárgyalása Benedict Mihály

Differenciálegyenlet rendszerek

Mátrixok 2017 Mátrixok

3. előadás Stabilitás

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Steven Weinberg: Mi történik egy kvantummechanikai mérés során?

Markov-láncok stacionárius eloszlása

Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott

CALOGERO-RUIJSENAARS TÍPUSÚ INTEGRÁLHATÓ RENDSZEREK. I II III IV Elméleti Fizika Szeminárium Szeged, április 13.

Modern differenciálgeometria Sokaságok és a Riemann-geometria elemei Szilasi József

Diszkrét Matematika II.

Diszkrét matematika 2. estis képzés

T obbv altoz os f uggv enyek integr alja. 3. r esz aprilis 19.

Geometria II gyakorlatok

Mérhetőség, σ-algebrák, Lebesgue Stieltjes-integrál, véletlen változók és eloszlásfüggvényeik

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

Transzformációk síkon, térben

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I márc.11. A csoport

1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.

1. Mit jelent az, hogy egy W R n részhalmaz altér?

Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, szeptember 29.) Maróti Miklós

Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás. Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek

Geometria II gyakorlatok

1. FELADATSOR. x = u + v 2, y = v + z 2, z = z. u y + z. u x + y. v x + y. v y + z. w x + y. w y + z

Kalkulus II. Beugró kérdések és válaszok 2012/2013 as tanév II. félév

A fontosabb definíciók

Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához

Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter február 23.

Alap fatranszformátorok II

Sajátértékek és sajátvektorok. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István

Matematika alapjai; Feladatok

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy

Az impulzusnyomatékok általános elmélete

Lie-csoportok. 1. Folytonos csoportok 1 FOLYTONOS CSOPORTOK. Kontinuum számosságú csoportok esetén elemek jellemzése valós paraméterek

Wigner tétele kvantummechanikai szimmetriákról

Analízis I. beugró vizsgakérdések

Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet

GROVER-algoritmus. Sinkovicz Péter. ELTE, MSc II dec.15.

Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 14.

Diszkrét matematika 2.C szakirány

1 A kvantummechanika posztulátumai

Csoportelmélet ( ) ϕ ψ adatokra ( ) ( ) ( ) ( )

Relativisztikus pont-mechanika

Lineáris algebra numerikus módszerei

Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =

Saj at ert ek-probl em ak febru ar 22.

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás)

LINEÁRIS ALGEBRA FELADATOK

Átírás:

Kvantum marginális probléma és összefonódási politópok Vrana Péter Budapesti műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Geometria Tanszék 04. október. /

Összetett rendszerek Jelölések k darab részrendszer H, H,..., H k a részek Hilbert-tere H = H H H k az összetett rendszer Hilbert-tere állapotok: S(H) = {ϱ B(H) ϱ 0, Tr ϱ = } tiszta állapotok: P(H) = {ϱ S(H) ϱ = ϱ} Összefont állapotok ϱ = ϱ ϱ k neve szorzatállapot (ϱ i S(H i )) ezek konvex kombinációit szeparáltnak nevezzük a többi állapot összefont tiszta állapot szeparált szorzat /

Összefont állapotok transzformációi Lokális operációk és klasszikus kommunikáció összefonódás: nem klasszikus korreláció lokális transzformációk nem növelhetik T T k ahol T i tetszőleges csatornák (esetleg nyomnemnövelő is lehet) klasszikus kommunikáció nem növelheti ahol ϱ S(C ) cc ij (ϱ i ) = ( 0 ϱ 0 0 0 j + ϱ j ) ilyenek tenzorszorzatainak, kompozícióinak osztálya LOCC 3/

Összefont állapotok transzformációi Determinisztikus transzformációk ϱ LOCC σ, ha létezik Λ LOCC, amire Λ(ϱ) = σ ilyenkor ϱ erősebben összefont mint σ ha ϱ LOCC σ és σ LOCC ϱ, akkor ekvivalensek ha ϱ = ψ ψ, σ = ϕ ϕ : pontosan akkor ekvivalensek, ha U,..., U k unitérek, amire (U U k ) ψ = ϕ Sztochasztikus transzformációk ϱ SLOCC σ, ha létezik Λ LOCC és α > 0, amire Λ(ϱ) = ασ ϱ SLOCC σ és σ SLOCC ϱ gyengébb ekvivalenciareláció ha ϱ = ψ ψ, σ = ϕ ϕ : pontosan akkor ekvivalensek, ha A,..., A k invertálhatók, amire (A A k ) ψ = ϕ 4/

Összefonódási osztályok Példa: két részrendszer tiszta állapotai k =, H = H = C n kanonikus alak (szinguláris érték dekompozíció) ψ = ij ψ ψ n ψ ij ij..... = U DU T ψ n ψ nn ahol D diagonális nemnegatív elemekkel, csökkenő sorrendben D diagonális elemei λ, λ,..., λ n, ahol λ i a Tr ( ψ ψ ) sajátértékei λ,..., λ n meghatározza a LOCC-osztályt, rendezés: majorálás {i {,..., n} λ i 0} meghatározza a SLOCC-osztályt, rendezés: > 5/

Összefonódási osztályok Példa: három qubit k = 3, H = H = H 3 = C, 6 SLOCC-osztály: S = 000 B = ( 000 + 0 ) B 3 = ( 000 + 0 ) B 3 = ( 000 + 0 ) W = 3 ( 00 + 00 + 00 ) GHZ = ( 000 + ) LOCC-osztályok: 6 valós paraméter 6/

SLOCC - másik megfogalmazás Tiszta állapotok tere ϱ = ψ ψ állapot, ha ψ = ψ és ϕ ugyanazt az állapotot határozza meg ϕ = e iα ψ tiszta állapotok tere azonosítható P(H)-val Transzformációk H = C n C n k ha A,..., A k, amire (A A k ) ψ = ϕ, akkor B i = ( A i k (B n i B k ) ψ = det Ai i= n i det Ai SL(n, C) SL(n k, C) hatását is tekinthetjük P(H)-n ) ϕ 7/

Marginális probléma Több részrendszer n, n,..., n k N ϱ S(C n C n k ) állapot marginálisainak sorozata (ϱ,..., ϱ k ), ahol ϱ i = Tr,,...,i,i+,...,k ϱ Marginális probléma S S(C n C n k ) állapotok egy halmaza kérdés: mi a {(ϱ,..., ϱ k ) ϱ S} halmaz? ha S invariáns az U(n ) U(n k ) csoport hatására, akkor csak a marginálisok spektruma számít (multiplicitással) például a tiszta állapotok halmaza ilyen bármely SLOCC-osztály is ilyen 8/

Tiszta marginális probléma Megoldás (Klyachko) a (ϱ,..., ϱ k ) állapotok sajátértékeit rendezzük csökkenő sorrendbe: (λ,..., λn, λ,..., λn k k ) Rn +...+n k a kapott pontok halmaza véges sok féltér metszete a lineáris egyenlőtlenségek meghatározására algoritmus adható Példák Λ k = a két spektrum megegyezik, más feltétel nincs k = 3, n = n = n 3 =, normáltság miatt a független változók λ, λ, λ 3 Λ 3 Λ 9/

Lie-csoportok szimplektikus hatásai Szimplektikus sokaságok M sokaság, ω zárt nemelfajuló -forma, ekkor (M, ω) szimplektikus sokaság minden H C (M) megad egy X H vektormezőt, amire dh = ι XH ω azaz dh(y ) = ω(x H, Y ) Szimplektikus hatások G Lie-csoport, egy Φ : G M M, (g, x) Φ g (x) leképezés szimplektikus hatás, ha sima csoporthatás és g G-re Φ gω = ω az A g által meghatározott A M : x d dt Φ exp ta(x) t=0 vektormezőre: d(ι AM ω) = L(A M )ω = 0 0/

Hamilton-féle hatások Momentum-leképezés tegyük fel, hogy ι AM ω egzakt is, és létezik µ : M g ekvivariáns leképezés, amire ι AM ω = d(µ(a)) ekkor a hatás Hamilton-féle, µ neve momentum-leképezés Példa: sík forgatása M = R, ω = dx dy ( ) cos θ sin θ G = S forgatásokkal hat: = exp(θj) sin θ cos θ J M = y x x y és ι JM (ω) = ydy + xdx µ(x, y)(j) = (x + y ) momentum-leképezés /

Momentum-leképezés Példa: impulzus M = T R 3 R 3 R 3, koordináták: q, q, q 3, p, p, p 3 ω = dq dp + dq dp + dq 3 dp 3 eltolások: G = R 3, (x, x, x 3 )(q, q, q 3, p, p, p 3 ) = (q + x, q + x, q 3 + x 3, p, p, p 3 ) µ : M g µ(q, q, q 3, p, p, p 3 )(ξ, ξ, ξ 3 ) = p ξ + p ξ + p 3 ξ 3 momentum leképezés, mert ξ dp + ξ dp + ξ 3 dp 3 = ι ξm ω, ha ξ M = ξ + ξ + ξ 3 q q q 3 /

Momentum-leképezés Példa: impulzusmomentum M = T R 3 R 3 R 3, koordináták: q, p ω = dq dp + dq dp + dq 3 dp 3 forgatások: G = SO(3), R(q, p) = (Rq, R T p) µ : M so(3) µ(q, p)(a) = p (Aq) momentum leképezés: A M = ( ) A i j q j q i,j i + p i p j d A i jp i q j = i,j i,j A i j ι AM ω = i,j A i j (p i dq j + q j dp i ) (q j dp i p i dp j ) 3/

Momentum-leképezés Példa: komplex reprezentáció G komplex reduktív csoport, K G maximális kompakt részcsoport V komplex G-reprezentáció V -n rögzítünk egy K-invariáns skalárszorzatot, P(V )-t ellátjuk a Fubini-Study szimplektikus formával µ : P(V ) k µ([v])(a) = i v, Av v Speciális eset G = SL(C n ) SL(C n k ), K = SU(C n ) SU(C n k ), V = C n C n k µ([v]) éppen Cv projektorának a marginálisaival azonosítható! 4/

Konvexitási tételek Tétel (Kirwan; Guillemin, Sternberg; Atiyah) Legyen M kompakt szimplektikus sokaság, amin a K kompakt összefüggő csoport szimplektikusan hat, µ : M k momentum-leképezés, T K maximális tórusz. Ekkor µ(m) t + konvex politóp. Tétel (Brion) Legyen M kompakt Kähler-sokaság, amin adott a K kompakt összefüggő Lie-csoport egy Kähler-hatása. Ez kiterjed G = K C holomorf hatásává. Ekkor minden m M pontra µ(g m) t + konvex. Ha M projektív varietás, akkor ez a metszet politóp. 5/

Összefonódott állapotok marginálisai Összefonódottsági politópok (Walter, Doran, Gross, Christandl) G = SL(n, C) SL(n k, C) hat M = P(C n C n k )-n momentum-leképezés a marginálisokkal azonosítható, pozitív Weyl-kamra a rendezett sajátértékekkel lehetséges spektrum-k-asok: µ(m) t + politóp µ(g [v]) t + politóp fizikailag is érdekes: a marginálisok spektruma egyszerűbben mérhető mint a teljes állapot valós paraméterek száma n n... n k helyett csak n + + n k k 6/

Összefonódottsági politópok Példa: k = 3, n = n = n 3 =, ekkor 6 orbit van Λ Λ Λ Λ 3 Λ 3 Λ 3 Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ 3 Λ 3 Λ 3 Λ Λ Λ 7/

Invariánselméleti karakterizáció G-invariáns projektív varietások G reduktív csoport, V reprezentáció, C V invariáns kúp R(C) = S(V )/I(C) reguláris függvények, R(C) = n N R n(c) tagjai is G-reprezentációk Legmagasabb súlyú vektorok P n (C) t + az Rn irreducibilis részeihez tartozó legmagasabb súlyok halmaza p(c) = n N P n(c) n véges sok pont Q feletti konvex burka Kirwan-Mumford konvexitási tétel: µ(p(c)) t Q,+ = p(c) S(V ) B egy generátorrendszerének ismeretében a csúcsok meghatározhatók generátorrendszert találni nehéz 8/

Politópok meghatározása gradiens-folyam segítségével Gradiens-folyam válasszunk k -n K-invariáns skalárszorzatot, ekkor µ : M R sima függvény Kirwan: egy G-orbitra megszorítva µ minden lokális minimuma egyben globális minimum ha M Riemann-sokaság is, a d dt m(t) = grad µ (m(t)) egyenletet numerikusan megoldva közelítőleg meghatározhatjuk a minimumot, m(t) egy orbitban van lim t m(t) nem mindig létezik, de lim t µ (m(t)) igen µ(m(t))-t K egy elemével a pozitív Weyl-kamrába forgatva a G m politópjának pontjait kapjuk, az origótól való távolság pontosan egy pontban minimális politóp origóhoz legközelebbi pontja lineáris egyenlőtlenség 9/

Gradiens-folyam más pontok felé Kibővített folyam V λ irreducibilis G-reprezentáció λ t legmagasabb súllyal, v Vλ legmagasabb súlyú vektor, k N B stabilizálja v-t, ezért O λ = K v G-tér m P(V ), G hat G m O λ P(S k (V ) V λ )-n megmutatható, hogy ennek gradiens-folyama a µ(g m) t politóp λ k -hoz legközelebbi pontjához tart Módszer politópok numerikus meghatározására kiindulás: ψ C n C n k kvantum marginális probléma megoldása: p,..., p r pontok konvex burka (Klyachko) gradiens folyam ψ-ből p i felé lineáris egyenlőtlenségek az új p-k az ezek által meghatározott politóp csúcsai 0/

Kérdések Milyen egyéb módszerekkel lehet konkrét állapotok orbitjának összefonódási politópját meghatározni? Mi a k részrendszer feletti r szintű GHZ állapot orbitjának összefonódási politópja? Ha ismert G ψ és G ϕ összefonódási politópja, mit mondhatunk G (ψ ϕ) politópjáról? Ha ismert G ψ és G ϕ összefonódási politópja, mit mondhatunk G (ψ ϕ) politópjáról? /

M. Walter, B. Doran, D. Gross, M. Christandl, Entanglement Polytopes: Multiparticle Entanglement from Single-Particle Information, Science, 340 (637): 05-08 A. Klyachko, Quantum marginal problem and representations of the symmetric group, arxiv:quant-ph/04093 F. Kirwan, The cohomology of quotient spaces in symplectic and algebraic geometry, Thesis, Oxford M. Atiyah, Convexity and commuting Hamiltonians, Bull. London Math. Soc. 4, 5 V. Guillemin, S. Sternberg, Convexity properties of the moment mapping, I-II Invent. Math. 67, 49 53, 533 546 F. Kirwan, Convexity properties of the moment mapping, III, Invent. Math. 77, 547 M. Brion, Sur l image de l application moment in Séminaire d Algèbre Paul Dubreil et Marie-Paule Malliavin (Springer, 987) pp. 77 9. /