MIKOVINY SÁMUEL FÖLDTUDOMÁNYI DOKTORI ISKOLA

MIKOVINY SÁMUEL FÖLDTUDOMÁNYI DOKTORI ISKOLA A Doktor Iskola vezetőe: Dr. DOBRÓKA MIHÁLY egyetem taár MÓDSZERFEJLESZTÉS A SORFEJTÉSES INVERZIÓ TERÜLETÉN LOKÁLISAN D ELŐREMODELLEZÉSSEL DOKTORI PHD) ÉRTEKEZÉS Írta: KAVANDA RÉKA Tudomáyos vezető: DR. GYULAI ÁKOS egyetem taár Társ témavezető: DR. ORMOS TAMÁS egyetem magátaár Mskolc Egyetem Geofzka Taszék Mskolc 05.

TÉMAVEZETŐI AJÁNLÁS KAVANDA RÉKA MÓDSZERFEJLESZTÉS A SORFEJTÉSES INVERZIÓ TERÜLETÉN LOKÁLISAN D ELŐREMODELLEZÉSSEL című doktor PhD) értekezéshez Az értekezésbe a Jelölt lokálsa D előremodellezést alkalmazó verzós elárások alkalmazhatóságát vzsgála laterálsa homogé szerkezet fölött, dőlés ráyú terítésbe mért adatok feldolgozása teré. Vzsgálataak fő motvácóa az verzós elárások hozzágazítása a geoelektromos mérés gyakorlatot az utóbb évekbe meghatározó eletőségű multelektródás mérés redszerekhez. Az smert.5d verzós módszer felesztése célából vzsgálta ú bázsfüggvéyek Legedre és Csebsev polomok) bevoás lehetőségét az elárásba. Numerkus vzsgálatokat végzett a - korábba csapásráyú mérésekhez tervezett - általáosított sorfetéses elárás módosítás lehetőségéek célából, hogy az alkalmas legye dőlés ráyú terítések hatékoy feldolgozására s. A dszkretzácót Fourer sorral, Legedre és Csebsev polomokkal valósította meg. Az tegrácós tervallum vzsgálata sorá megállapította, hogy a külöböző mélységű réteghatárok eseté más-más tegrácós tervallum választása szükséges. Vzsgálataval gazolta, hogy az általáosított sorfetéses elárás a.5d verzóval azoos értékű paraméterbecslést ad eredméyül a dőlésráyú szelvéyeke mért adatok eseté s. Bevezette a súlyozott tegrálközép elárást, mely egy epoecálsa lecsegő súlyfüggvéy bevezetésével fgyelembe vesz, hogy az tegrálközép számításába a középpottól távolodva az oldal ráyú érzékeység csökke. Igazolta, hogy az elárás a.5d verzóál, lletve az tegrálközép módszeréél obb paraméterbecslést eredméyez md a Fourer sorral, md a Legedre lletve Csebsev polomokkal dszkretzált dőlésráyú szelvéyek verzós feldolgozása sorá. Vzsgálatat kteresztette terep mérés adatredszerre s.

Lokálsa D előremodellezést alkalmazva vzsgálatat kteresztette szgfkása kétdmezós laterálsa változó modellre s. A modelle a.5d, az tegrálközép és a súlyozott tegrálközép elárásokkal végzett verzós futtatások műszaklag elfogadható eredméyt adtak. Fgyelembe véve, hogy a számítás dő éháyszor tíz másodperc, a Jelölt rámutatott, hogy a szgorúa D verzóhoz képest a ksebb potosságot a gyorsaságbel tektélyes külöbség messzemeőe kompezála a gyakorlat alkalmazhatóság szempotából. Az értekezés ól felépített, megfogalmazása vlágos, magába foglala a elölt legfotosabb kutatás eredméyet. A témavezető megítélése szert a muka fgyelemre méltó ú tudomáyos eredméyeket tartalmaz. Tudomáyos mukába való folyamatos részvétele, szorgalma, és az értekezésbe bemutatott eredméyek gazolák a Jelölt magas szívoalú tudomáyos smeretet és az öálló kutatómukára való alkalmasságát. Kelethető, hogy a Jelölt a tudomáyos kutatásra való alkalmasság, valamt a gyakorlatas szemlélet ge előyös összhagát képes megvalósíta. A doktor értekezésbe foglalt ú tudomáyos eredméyek a geoelektromos adatok feldolgozása és értelmezése teré fotos előre lépést valósítaak meg. Keletem, hogy az értekezés hteles adatokat tartalmaz, a dolgozat mde voatkozásba megfelel a Mkovy Sámuel Földtudomáy Doktor Iskola által megkövetelt tartalm és forma követelméyekek. Fetek alapá a PhD cím odaítélését támogatom és avaslom. Mskolc, 05. december 0. Dr. Gyula Ákos egyetem taár a műszak tudomáy doktora

Summary Oe of the most terestg problems the evrometal work s the determato of the vertcal ad lateral homogetes. Two dmesoal D) ear-surface geologcal structures ca be effectvely vestgated wth geoelectrc methods. I the last two decades the developmet of the measurg ad computg techcs brought sgfcat chages the geoelectrc measuremet practce. I several cases the tradtoal measurg systems have bee replaced wth the computer cotrolled multelectrode method. The vestgato of geologcal structures ca be solved wth oly oe settg wth ths equpmet. The measuremet layout s usually parallel wth the dp-drecto. I case of the verso techcs the tme of calculato s flueced by the appled method the forward modelg process. I case of the D model the D forward modellg ad verso techque would be the deal method but ths soluto takes log calculato tme that s dsadvatageous the egeerg practce. The researchers look for qucker possbltes. Frequetly appled techque s the smplfcato of the forward modelg, for eample applyg D drect problem the appromate verso o D model. I 996 Dobróka, troduced the seres epaso-based verso to determe the parameters of the model. The ma dea of seres epaso-based verso s to descrbe thckess ad physcal parameters of the layers alog the profle wth proper fuctos epaded to seres to o the models alog the profle ad crease the overdetermato of the verse problem. Based o ths dea the.5d fucto verso was developed by Gyula & Ormos 997, 998, 999).Ths method apply fuctos epaded to seres ad use locally D forward modelg o the VES measuremet pots to estmate the model parameters thckess, resstvty) of the D geologcal structure. I ths study, I used symmetrcal ad asymmetrcal models to test the developed methods ad feld data to prove the feasblty practce. At frst I vestgated the applcablty of the.5d fucto verso method dpdrecto measuremet array ad I further developed the procedure to crease the stablty ad accuracy of the verso process. Furthermore I troduced two ew bass fuctos Legedre-, ad Chebshev-polyomals) to ehace the stablty of the verso algorthm. I mproved the Geeralzed Epaso method Ks 998) order to make the techque feasble multelectrode measuremets. The method uses the tegral mea of

the thckess fucto below the measuremet les stead of the local thckess values. I determed the covarace ad correlato matr ths stuato. Furthermore I vestgated the tegrato terval case of the layer borders dfferet depths. I troduced the Fourer-seres ad Legedre-polyomals as bass fuctos the verso process. I developed the Weghted Itegral Mea method that apples weghts durg the calculato of the tegral mea of the thckess fucto to crease the accuracy of the verse modelg. I case of ths procedure I determed the covarace ad correlato matr. I vestgated the optmal parameter of the weghtg fucto. I proved the applcablty of the ew techque o D sythetc model ad also o feld data. I proved that the applcato of the modfed Itegral Mea ad the ehaced Weght Itegral Mea methods reduces the calculato tme verse modelg wth proper accuracy. These verso techques could be advatageous the processg of the feld data.

Tartalomegyzék. Bevezetés.... A geofzka verzó rövd áttektése... 4. Az verzó eredméyét mősítő paraméterek... 7 3. Ú sorfetéses verzós elárások felesztése... 9 3. A.5D verzós elárás továbbfelesztése... 3.. Ú bázsfüggvéy redszerek bevezetése a.5d verzós elárásba... 4 3... Legedre-polomok bevezetése a.5d verzós elárásba... 4 3... Csebsev-polomok bevezetése a.5d verzós elárásba... 30 3. Az általáosított sorfetéses elárás továbbfelesztése dőlésráyú szelvéyadatok eseté... 36 3... Az általáosított sorfetéses elárás továbbfelesztése Fourer soros dszkretzálással... 4 3... Az általáosított sorfetéses elárás továbbfelesztése Legedre -polomos dszkretzálással... 43 3..3. Az általáosított sorfetéses elárás továbbfelesztése Csebsev-polomos dszkretzálással... 45 3.3 Súlyozott tegrálközepes módszer alkalmazása dőlés ráyú terítés eseté... 48 4. A lokálsa D közelítés potossága D modelle... 59 5. A súlyozott tegrálközép módszer tesztelése terep adatoko... 6 Összefoglalás... 64 Irodalomegyzék... 67 Függelék... 7 A modell... 7 B modell... 7 C modell... 73

. Bevezetés Napak köryezetvédelm problémák és a övekvő yersayaggéy egyre agyobb khívás elé állíta a kutatókat. A yersayagot egyre boyolultabb földta köryezetből kell ktermel, a szeyezés felderítését, a szeyező források lehatárolását gyorsa és potosa kell végrehata, ezért szükséges a mérés módszerek felesztése mellett az értelmezés elárások potosságát s övel és a becslés eredméyeket mősíte. A mérés- és számítástechka felődése az elmúlt egy-két évtzedbe eletős változást hozott a geoelektromos mérés gyakorlatba s. Eek következtébe a hagyomáyos mérés redszereket a multelektródás redszerek váltották fel. E redszer ellemzőe, hogy egy-egy mérés voal meté a terítésbe egyszerre agyszámú elektródát telepíteek, mad md az áram- és mérőelektródák kválasztását, md pedg a mérést számítógép vezérléssel végzk. A mérés elredezést számítógépes program segítségével lehet kválaszta és a detektált mérés adatredszer dgtáls formába tárolódk, mely így más eszközökre s átvhető. Sok esetbe a mérést vezérlő számítógépbe a feldolgozás s elvégezhető, így a mérőredszer felődésével párhuzamosa megeletek az adatok kértékelését, értelmezését szolgáló feldolgozó szoftverek s pl. Loke és Barker, 996). A multelektródás mérés agy gyakorlat előye a potokét mért VESZ-el szembe, a gyorsaság, mvel így a földta szerkezet vzsgálata akár egyetle terítéssel s megoldható lehet, hsze az bztosíthata az összes mérés adat egydeű összegyűtését. A multelektródás redszerek elteredése szükségessé tette az verzós elárások felesztését s. Az verzós elárás számítás deét dötőe befolyásola az előremodellezésbe alkalmazott módszer. Kezdetbe a drekt feladat megoldása, mad az verzós kértékelés D egydmezós) modell feltételezésével törtét. A vertkáls elektromos szodázás drekt, és verz feladatat a szakrodalom részletese tárgyala Meskó 976, Meke 984, Taratola 987, Les és Tretel 984, Ima 975, Ima és szerzőtársa 975, Koefoed 979, Salát és szerzőtársa 98, Salát és szerzőtársa 99). A számítógépek elteredéséek és felesztéséek köszöhetőe egyre géyesebb modellszámítások és verzós módszerfelesztések törtétek. A gazdaságosa alkalmazható verzós elárások korlátát mégs a számítás dő elet. D szerkezetek eseté az deáls feldolgozás mód a D előre modellezés és D verzós módszer alkalmazása lee, azoba ez az elárás agy számítás

dőt órák, apok) géyel, am a mérök gyakorlat számára kedvezőtle. A gyakorlat eél gyorsabb megoldást kívá, ezért a kutatók gyorsabb, redszert közelítő elárásokat kerestek. Egyk lye gyakra alkalmazott elárás az előre modellezés egyszerűsítése, pl. D drekt feladat megoldás alkalmazása D modelleke végzett közelítő) verzóba. Eek egy továbbfelesztett változata az ú. stch together techka, amkor az adott pot D) kértékeléséek eredméyet, mt startmodellt haszáluk fel a következő potbel számításál. Ezáltal, mtegy összefűzzük az D-s kértékeléseket. Az D modellek összekapcsolását Chrstase és Auke 004) lateráls kéyszerfeltétel alkalmazásával hatották végre pl. két szomszédos modell eltérésére szabva korlátot). 997-be Dobróka M. akadéma doktor értekezésébe lokálsa D előremodellezést haszálva a modellparaméterek lateráls koordáták szert sorfetését alkalmazta dszkretzácós eláráskét, így teremtve kapcsolatot az egyes modellek között. Ekkor az verzó smeretleeek a sorfetés együtthatók tekthetők, amelyek a modell teles lateráls kteredésé azoosak. A Mskolc Egyetem Geofzka Taszéké több évtzedre vsszatektő - md haza, md emzetköz szte skeres - kutatás ráy a földta modell paramétereek sorfetéses dszkretzácóa és a sorfetés együtthatókra megfogalmazott verzós módszerfelesztés. Gyula és Ormos 997, 998, 999) a D modell vastagság függvéyet, lletve a falagos elleállásokat Fourer sorba fetve dszkretzálták és a sorfetés együtthatóra fogalmaztak meg verzós elárást, melyet.5d geoelektromos verzós elárásak eveztek el. Ez a módszer lokáls D előre modellezést drekt feladat) alkalmaz a D modellek a szodázás poto átmeő vertkáls síkkal való metszetébe értelmezett vastagságokkal és falagos elleállásokkal. Az elárás gyorsasága és stabltása matt ól alkalmazhatóak bzoyult gyakorlat feladatok megoldásába. Később Gyula és szerzőtársa 00) a.5d verzóból kduló ú módszerre tettek avaslatot. Az ú. kombált verzós elárásba CGI) a dőlésráyú terítésbe mért adatredszer D feldolgozását tűzték k célul, melyet Loke és Barker 996) által multelektródás redszerre kdolgozott ú. RESDINV módszerrel s összehasolítottak. A CGI módszer két lépésre botható, az első lépésbe a dőlésráyú szelvéyeke mért adatok.5d verzóa szolgáltat startmodellt a másodk szakasz dőgéyes D verzóa számára, így eletőse csökke az terácók száma és ezzel a számítás dő. A.5D verzó továbbfelesztésével foglalkozott laterálsa homogé szerkezete mért csapás ráyú terítések esetébe Ks 998) PhD értekezésébe. Vzsgálataba az D előremodellezést a vastagságfüggvéyek tegrálközepével defált modellparaméterekkel

végezte és gazolta, hogy az előremodellezést végrehatva potosabb közelítést kaphatuk. A sorfetéses verzó keretébe súlyfüggvéyre ortogoáls Csebsev-polomokat alkalmazott, melyek agyobb verzós stabltást és obb paraméterbecslést eredméyezek. A módszert együttes verzóra s kteresztette és vzsgálatot végzett szezmkus és geoelektromos adatok együttes kértékelésére voatkozóa Ks, 00). Dobróka és Tura 00, 00) dőtartomáyba mért dukált polarzácós GP) adatok TAU traszformácóáak egzakt megoldására dolgozott k sorfetéses verzós elárást, melyet számos haza mérés területe alkalmaztak. 03-ba Dobróka és szerzőtársa sorfetéses verzós elárást dolgoztak k magetotellurkus adatok feldolgozása célából. Szté hasoló elve alapszk a Geofzka Taszéke mélyfúrás geofzka adatok verzós értelmezésére kdolgozott tervallum verzós módszer s Dobróka M. 995, Dobróka és Szabó 005, Dobróka és Szabó 00), melyek felesztésével foglalkozott Szabó 004) PhD doktor értekezésébe. Később az elárás avítása érdekébe statsztka módszerek bevoásával végzett vzsgálatot Szabó, Dobróka és Kavada 03). Napakba a sorfetéses geoelektromos verzó legfotosabb felesztés ráya a D/3D szerkezetek vzsgálatát szolgáló közelítő pl..5d) verzós elárások felesztése. Azoba e módszerek eletős számítás géye gyakorlat szempotok alapá dokolttá tesz a.5d verzós elárás továbbfelesztését s. Mvel lassa változó geológa szerkezetek esetébe a módszer előyöse alkalmazható, továbbá a D.5D) szerkezetek esetébe a kombált verzós elárásokba a.5d módszerrel optmáls startmodellt geerálhatuk. Eek köszöhetőe a másodk lépéskét végrehatott D vagy.5d verzóba csak éháy terácóra va szükség az optmáls lleszkedés eléréséhez, így az erre fordított számítás dő csökketésével gyorsíthatuk az elárást. Mdezek dokolák az.5d, ll. egyéb, lokálsa D előremodellezést alkalmazó verzós módszerek felesztését. A dolgozat keretébe végzett kutatásam céla, hogy a lokálsa D előremodellezést alkalmazó sorfetéses geoelektromos verzós elárások.5d lletve általáosított sorfetéses verzó) potosságát és stabltását övelem. Segítségükkel a mérés voal alatt változó paraméterrel redelkező D szerkezet eseté, a multelektródás redszerekkel mért akár dőlésráyú) terítés adataak feldolgozása s megvalósítható legye, elfogadható potossággal. Továbbá vzsgálom úabb ortogoáls, lletve ortoormált bázsfüggvéyek bevoásáak lehetőségét az D előremodellezést alkalmazó sorfetéses verzós elárásokba, amvel tovább övelhető az verzó stabltása és a paraméterbecslés potossága. 3

. A geofzka verzó rövd áttektése A geofzka verzó egy dealzált földta modelle számított adatsor és az aktuáls mérés adatak egymáshoz llesztése. A modell a vzsgált köryezetet eleít meg részleges matematka absztrakcóval. A modellválasz az eze számított sztetkus adatokat tartalmazza, mely így csak részbe tükröz a reáls modellt. Az verzó céla, hogy megbecsüle a modellparamétereket a vzsgált adatokra llesztett modellválasz segítségével. A modell paraméteret az algortmus változtatásával fomítuk, amíg a mért és a modelle számított adatak között eltérés megfelelőe kcs lesz, azaz, amíg az elfogadható közelítést elérük. Drekt feladatak a mérés adatok előreelzéséek folyamatát evezzük Meke 984). modell paraméterek modell adatok előreelzése Az verz feladat léyegébe a földta formácó mérés adatokból való kyeréséek módszere, amely sorá a mérés eredméyeket haszáluk a valód modellparaméterek becslésére Taratola 005). adatok modell modell paraméterek becslése Az verz probléma a meghatározadó paraméterek és a redelkezésre álló adatok egymáshoz való aráya szert lehet túlhatározott, alulhatározott és kevert határozottságú s. A túlhatározott feladatokba a redelkezésre álló adatok pl. mélyfúrás geofzka szelvéyadatok) száma meghalada a meghatároz kívát paraméterek számát. Ha az adatok hbával terheltek, am mérés adatsorok eseté gyakor, az egyeletek elletmodóak és em vezetek megoldásra. Ilye esetekbe a modell paramétereket szélsőérték kereső elárásokkal közelítük pl. úgy, hogy a paraméter vektort a mért és számított adatok eltérésvektorából számított L- vagy L- orma mmalzálásával határozzuk meg. Alulhatározott verz probléma eseté a meghatározadó paraméterek számához képest kevesebb mérés adattal redelkezük, ekkor megelek a többértelműség és 4

végtele sok megoldást kapuk eredméyül. Egyértelmű megoldást valamlye redszert em-fzka, többyre ökéyes) segédfeltétel redszer előírásával kaphatuk. Gyakor az egyszerű megoldás elve szert megoldás, ekkor a modellparaméter-vektor L-ormáát mmalzáluk. A geofzka verzó sorá gyakra találkozuk kevert határozottságú feladattal, amkor egyes meghatározadó paraméterekre ézve túlhatározott lesz az elárás, míg más smeretleek esetébe alulhatározott. Ilye esetekbe s fellép a többértelműség. Megoldást redszert az eltérésvektor és a paramétervektor ormáak megfelelő kombácóáak mmalzálásával keresük. Az verzós elárások mde esetbe támaszkodak a drekt feladat megoldására, am megada a számított elv) adatok és a modell között kapcsolatot és tartalmaz mde olya paramétert, amely a földta köryezet ellemzésére szolgál pl. vastagság, falagos elleállás, poroztás, víztelítettség stb.). A számított adatokat tehát a drekt feladat megoldásával állítuk elő. Az verzó keretébe pedg az előzetes földta és egyéb redelkezésre álló formácók alapá választott startmodellből kdulva a vzsgált adatok és a modellválasz egymáshoz llesztése alapá, terácós lépéssorozattal határozzuk meg a becsült modellparamétereket Meke 984). A mért adatok vektora m d d, d,..., d T N, ) ahol N a mérés adatok számát, T a traszpoálás műveletét elet. A fet vektor a gyakorlatba egyazo potbel mélyfúrás geofzka mérések adatat tartalmazza, amelyek lehetővé teszk a drekt feladatba szereplő meységek meghatározását. A modellparaméterek vektora m m m,...,, m T M, ahol M a modellparaméterek számát elet, T tt s a traszpoált. Az verz probléma azo a feltételezése alapszk, hogy létezk valamlye összefüggés a számított adatok és a modell paraméterek között, amely alapá a modell létrehozható. Ezt a kapcsolatot íra le a d sz gm), 3) modelltörvéy vagy válaszegyelet, ahol g em leárs vektorfüggvéy, adatok vektora. 5 sz d ) a számított

Általába a mért adatok száma agyobb, mt a meghatározadó modellparamétereké, ezért túlhatározott verz problémát kell megolda. Mvel az verzóba az eltérések valamely ormáát mmalzáluk, felíruk az e eltérés/hba vektort a mért és a számított elmélet) adatvektor külöbségekét e m sz d d. 4) A 4) egyeletbe sz sz sz sz d d, d,..., d N T m m m m d d, d,..., d N T a számított adatok vektora. a mért adatok vektora, Ha az verz problémát leársak tektük, az e hbavektor az alább alakba adható meg e d Gm, 5) ahol d az adatok vektora, m a modellparaméterek vektora, G a Kerel mátr. g A m függvéy azoba a modellparaméterekek általába emleárs függvéye, ezért az verz feladat megoldásához először gyakra learzálást hatuk végre, mad a learzált feladatot olduk meg. A learzáláshoz tektsük az m 0 -al elölt, a megoldástól em túl távol potot a paramétertérbe és közelítsük az m m 0 m potba g a m függvéyt Taylor-sora első két tagával d sz k g k m ) 0 M g m k m 0 m, 6) ahol k=,, N). Legye G k g k 0) és d ) m k gk m0 m 0 ekkor a 6) egyeletet d sz k d 0) k M G m, k vagy vektoros formába a d sz 0 ) d Gm 7) alakba írhatuk fel. Itt G mátr a probléma Jacob mátra.) A fet alak fgyelembevételével a 4) hbavektor e d m d 0) Gm, 6

0) a d d d elölést haszálva az m e d Gm 8) kfeezést kapuk, am a m paraméter változásba leárs. A 8) learzált eltérésvektor valamely ormááak mmalzálásával kaphatuk meg az eredméyt. A legelteredtebb közelítés mód a legksebb égyzetek elve, a módszer matematka kocepcóáak alapat Jackso 97, 979) valamt Ak és Rchards 980) foglalták össze. Mmalzáluk a mért és számított adatok eltérésvektoráak L-ormáát, hogy becslést aduk a paraméter vektor elemere N e k k E. 9) A számítást elvégezve a G T T G m G d 0) ormálegyeletre utuk, amelyet megoldva a következő eredméyt kapuk T T G G G d m. ) Ezutá a paramétertér m m 0 m potába tovább folytatuk az elárást vagys m lesz az ú m 0 pot, amely körül az ú leárs közelítést számítuk) a megfelelőe választott stopkrtérum telesüléség. Így olya teratív elárást alkalmazuk, amelyek mde lépésébe a valód válaszegyeletek helyett azok leárs közelítésével dolgozuk, mközbe feáll, hogy m m0. A paramétertérbe mdg az aktuáls helye számítuk a Jakob-mátr elemet, amelyek vszot az eredet emleárs) drekt feladat válaszfüggvéyeek derválta. Ezáltal az eredetleg emleárs verz feladat megoldását leárs problémák sorozatáak megoldásá keresztül állítuk elő... Az verzó eredméyét mősítő paraméterek Az verzós számítást hbák terhelk, melyek részbe adathbák, részbe az emprkus közelítéséből származó modellhbák. Az adathbák a mérés körülméyekből, a mérőműszerek hbából eredek, e hbák az verzó sorá áttraszformálódak a modelltérbe, így eze bemeő hbák agyságával aráyos lesz a becsült modellparaméterek hbáa s. Maga a modellezés szté hbaforrás. A dszkretzácó az egyszerűsítés oká az 7

előremodellezést hbával terhel meg, melyet dszkretzácós hbáak evezzük. Az verzós elárás gyorsítása érdekébe gyakra alkalmazuk learzálást, am egyrészt modellezés hbát vhet az elárásba, másrészt pedg azzal a veszéllyel ár, hogy az verzó sorá lokáls mmum csapdáába kerülük. Mdezek és még számos tovább szempot) dokolák az verzós eredméyt mősítő eszközök alkalmazását. A geofzka módszerek modellfüggvéye és a modellparaméterek között kapcsolatot az ú. paraméter-érzékeység függvéyek segítségével vzsgálhatuk. Gyula 989, 00, Dobróka 987, 988). A paraméterérzékeységet a modellfüggvéy valamely paraméter szert parcáls dfferecálháyadoskét értelmezzük és leggyakrabba ormált, dmezótlaított formába haszáluk. Az érzékeység vzsgálatok a geofzka mérések tervezésébe, a kértékelésbe és az értelmezésbe s fotos szerepet átszaak Dobróka és szerzőtársa 99). A modellparaméterek, mt valószíűség változók becsléséek potosságáról és megbízhatóságáról szóló smereteket Salát és szerzőtársa 99) foglalták össze. A hbák ellemzésére haszáluk a kovaraca mátrot, melyek elemeből számítuk k a fzka paraméterek becslés hbáát. Az általáos verz mátrot a Gauss-féle legksebb égyzetek módszere eseté a következőképpe írhatuk fel T T G G G M. ) Az adattérbe smert kovaraca mátr COV ) segítségével, a paraméterbecslés potosságát, a paramétertérbe ellemző modell kovaraca mátrot COV ) a COV m ) d d T M COV M 3) kfeezés segítségével állíthatuk elő Meke 984). Eek főátlóába a modellparaméterek varacáa áll, a főátló kívül elemekből pedg a modell korrelácós mátr számítható COV CORR. 4) COV COV m A korrelácós mátr a paraméterek között kapcsolatok szorosságát ellemz, értéke - és + között változhat. Ha a korrelácó értéke zérus, a paraméterek között cs leárs kapcsolat, ameybe az értéke +/- közelébe va, akkor erős korrelácóba állak egymással. Sorfetéses verzó eseté a fet kfeezésekkel a sorfetés együtthatók 8

varacáa és korrelácóa számítható k. A modellparaméterek becslésére voatkozó mősítő ellemzőket a hbateredés törvéye alapá határozhatuk meg.) A D adattávolság, mely a mért adatok és a becsült modellparaméterekkel számított adatok között relatív eltérés, a 5)-as képlettel adható meg ahol D mért k N mért számított d k d k számított N k d, 5) k d a mért, számított k d pedg a számított adat Salát és szerzőtársa 98, Meke 984, Gyula és Ormos 999, Dobróka 00). Ameybe sztetkus adatokkal dolgozuk a modellparaméterek felvett) értéke smertek, ekkor bevezethetük a modelltávolságot s D m M becsült felvett m m felvett M m. 6) A varacák és korrelácók, valamt a modell- és adattávolságok haszos segédeszköze az verzós elárások mőség ellemzéséek. 3. Ú sorfetéses verzós elárások felesztése Az verzós elárások felesztése törtéetleg természetes módo kapcsolódk a számítástechka és a számítástudomáy felődéséhez. Kezdetbe a drekt feladat megoldása, mad az verzós kértékelés a számítástechka korlátok pl. elektrocsöves számítógépek) matt D modell feltételezésével törtét. A számítógépek felődésével párhuzamosa egyre géyesebb modellszámítások és verzós módszerfelesztések törtétek. A ma redkívül számítás kapactások sem elegedőek azoba ahhoz, hogy mdg a lehetőségek felső határá olduk meg feladatakat. A korlátot legkább a számítás dő elet. Kétdmezós modell eseté deáls feldolgozás elárás a D előremodellezés és D verzós módszer alkalmazása lee. Ez azoba agyo számítás dőgéyes elárás, az teratív feladatmegoldás órákg vagy akár apokg s eltarthat. A gyakorlat eél gyorsabb megoldást kívá külööse a moder multelektródás mérés redszerek vagy lég mérések esetébe, ahol agy meységű mérés adat keletkezk). A kutatók ezért gyorsabb, redszert közelítő elárásokat kerestek. Nemzetköz vszoylatba s elfogadott és gyakorta követett elárás az előre modellezés egyszerűsítése, azaz pl. D drekt feladat megoldás alkalmazása D modelleke végzett közelítő) verzóba. Ekkor felvetődk az 9

D modellek összekapcsolásáak kérdése. Chrstase és Auke 004) lateráls kéyszerfeltételt alkalmaztak az D modellek összekapcsolására. A Mskolc Egyetem Geofzka Taszéké a modellek összekapcsolására a sorfetéses dszkretzácó szolgál. Az erre alapozott verzós elárást számos gyakorlat esetre kdolgozták és alkalmazták. Ezek az előzméyek adták a lehetőséget, hogy vzsgálatammal csatlakozzak a Geofzka Taszék eze ge skeres kutatás ráyához. A következőbe bemutatadó módszerfelesztésem e módszerek közül a lokálsa D előremodellezésre épülő.5d Gyula és Ormos, 997, 998, 999) és az általáosított sorfetéses Ks, 998, 00) elárásokhoz kapcsolódak. Előbb azoba meg kell említeem egy fotos körülméyt, amely az utóbb egy-két évtzedbe határozotta befolyásolta a geoelektomos mérés gyakorlatot és ehhez gazodva a módszerta felesztéseket. A számítógép vezérelt adatgyűtés eletős felődése met keresztül és ez em hagyta értetleül a geofzka területét sem. A multelektródás mérőredszerek ma már szte egyeduralkodók a terep mukába. Jellemzőük, hogy vszoylag agyszámú elektróda telepítését géylk egy-egy mérés voal meté, mad számítógép vezérléssel törték az áram- és mérőelektródák kválasztása és a mérés. A mérés elredezés program szert választható és a mérés adatok számítógép redszerbe tárolódak, ahoa megfelelő formátumba a feldolgozó számítógépbe átvhetők sok esetbe a mérést vezérlő számítógépbe s törtéhet feldolgozás és verzó). A mérőredszer agy gyakorlat és ezáltal gazdaság) előye, hogy akár egyetle terítéssel a földta szerkezet vzsgálatához szükséges összes mérés adat összegyűthető. A multelektródás mérés redszerek elteredésével párhuzamosa megeletek azok a feldolgozó szoftverek s pl. Loke és Barker 996), melyekkel az adatok kértékelhetők, ll. értelmezhetők. A mérés redszer gyakorlat okok matt előyhöz uttata azokat a módszereket, amelyek alkalmazásához pl. D szerkezet vzsgálatába elegedő egyetle akár dőlésráyú) multelektródás terítés. Noha változatlaul gaz az a geoelektromos szakma aálás, hogy ha smerük a dőlés- és csapásráyt, akkor csapásráyba telepített terítéseke mért adatokból határozzuk meg a D szerkezet ellemzőt. Ezt a szakma ráymutatást azoba em gazdaságos multelektródás redszerrel követ, úra és úra telepítve a mérőredszer 50-00 elektródáát.) A multelektródás mérőredszerek megeleése em hagyta értetleül a Geofzka Taszék sorfetéses geoelektromos) módszereek felesztését sem. PhD értekezésébe Ks 998) általáosított sorfetéses elárást dolgozott k csapásráyú terítések feltételezésével. Ekkor a dőlésráyba em túl gyorsa változó D modelle mért adatok ól közelíthetők 0

D előre modellezéssel. A közelítés óságát a Szerző azzal s avította, hogy a geoelektromos mérés redszer oldalráyú érzékeységére tektettel - a közelítő D modell paraméteret egy dőlésráyba, tegrácós út meté a mérés voalra szmmetrkusa) felvett tervallumo számított tegrálközéppel defálta. A következőkbe az elárást a rövdség kedvéért tegrálközép módszerkét s említük.) Ezekkel a paraméterekkel D előremodellezést végezve dolgozott k közelítő verzós módszert. Az elárás megkövetelte a D modell dőlés/csapásráyáak smeretét, ll. a csapásráyú terítések alkalmazását, am az előbbek szert a multelektródás mérőredszerek gyakorlatához em lleszkedk. Szükséges tehát az általáosított sorfetéses elárás alkalmazhatóságáak vzsgálata olya esetekbe, amkor a csapásráy em smert és ezért a multelektródás redszerrel terített) mérés voal alatt a D szerkezet paramétere vastagság, falagos elleállás) változhatak, beleértve azt s, hogy a terítés esetleg éppe dőlésráyú. Az.5D verzós elárás kdolgozása sorá a D szerkezet dőlés, ll. csapásráyáak smerete em volt előfeltétel. Az alkalmazások sorá a módszer md dőlés-, md csapásráyba Gyula és Ormos 998) mért szelvéyek adataak feldolgozásába skeresek bzoyult. Egy később publkácóba Gyula és szerzőtársa 00) a.5d verzóból kduló u. kombált verzós elárásba CGI) a Szerzők dőlésráyú terítésbe mért adatredszer feldolgozására avasoltak ú módszert. A módszer két lépésből áll: az első lépésbe a dőlésráyú szelvéyeke mért adatok.5d verzóa szolgáltat startmodellt a másodk szakasz dőgéyes D verzóa számára Gyula Á., Kavada R. és Ormos T. 006). Ezáltal a futás dő a teles D verzóhoz képest eletőse csökkethető. A.5D verzós elárás ezzel az alkalmazással a moder D verzós módszerek tegrás részekét azok optmáls startmodellt geeráló eszközévé válhat, am a módszer övőbel felértékelődéséhez s vezethet. A sorfetéses geoelektromos verzó legfotosabb felesztés ráya a D/3D szerkezetek vzsgálatát szolgáló közelítő pl..5d) verzós módszerek felesztése. Eek elleére érdemes az.5d verzós elárást feleszte két okból s. Egyrészt a lassa változó geológa szerkezetek kutatására a gyors.5d verzó előyöse alkalmazható a vízbázs védelembe gyakorak az lye rétegzett földta modellek). Másrészt a D.5D) kombált verzós elárásokba első lépéskét.5d elárással geerálhatuk optmáls startmodellt, am utá már csak éháy terácó szükséges az dőgéyes D vagy.5d verzóból. Mdezek fgyelembe vételével dokolt a.5d verzós elárás részletes vzsgálata olya esetbe, amkor a multelektródás redszerrel terített) mérés voal alatt a D

szerkezet paramétere változhatak, beleértve azt s, hogy a terítés dőlésráyú. Emellett - ha az elárás alapelvet em s ért az verzó stabltása és potossága szempotából fotos lehet tovább bázsfüggvéyek bevoása az elárásba, külööse a hatváyfüggvéyekkel törtéő dszkretzálás kváltására. A következőkbe bemutatadó felesztésem abból a motvácóból dulak, hogy a lokálsa D előremodellezést alkalmazó sorfetéses geoelektromos verzós elárások.5d, ll. általáosított sorfetéses verzó) potosságát és stabltását övelem, ezáltal s kteresztve azok alkalmazhatóságát úgy, hogy segítségükkel a multelektródás redszerekkel mért akár) dőlésráyú terítés adataak feldolgozása s megvalósítható legye. 3.. A.5D verzós elárás továbbfelesztése Ez a közelítő verzós elárás lokálsa D előremodellezést alkalmaz. A közelítés keretébe a drekt feladat megoldására a becsült modell vastagság és falagos elleállás adatat egy potra, a voatkozás potra számítuk és ezekkel a paraméterekkel határozzuk meg a horzotálsa rétegzett, rétegekét homogé D) modell látszólagos falagos elleállásat külöböző terítés távolságok mellett. A számításokba a felszíe elhelyezett potelektróda potecálát a Laplace-egyelet megoldásával, a határ- és peremfeltételek fgyelembe vételével megadó I U 0 r,0 KmJ mr dm r 7) kfeezésből duluk k r a potelektródától mért távolság, J0 a ulladredű Besselfüggvéy, m a szeparácós álladó, Km) a földta formácókat hordozó magfüggvéy). A fet egyeletből levezethető a látszólagos falagos elleállás, mely Schlumberger elredezésre ézve az alább egyelettel írható le a s K m J ms m* dm, 8) 0 ahol s a tápelektróda-távolság fele, J az elsőredű Bessel-függvéy, m a szeparácós álladó, Km) a földta formácókat hordozó magfüggvéy. Mvel az egyelet mpropus tegrált tartalmaz ρa-t csak közelítő módszerekkel dgtáls szűrés, magfüggvéy számítás)

tuduk meghatároz Salát és szerzőtársa 99). Az elmélet görbét kovolúcóval számíthatuk k Ghos 97) szűrőelmélete alapá a B G r d, 9) ahol G a Gosh-függvéy, B a határfeltétel karaktersztkus függvéy, mely az rodalomból smert formulával adható meg. Vzsgálatam sorá az D előremodellezést a Geofzka Taszék szoftvertárába adott programok alkalmazásával végeztem. A.5D verzós módszer Gyula és Ormos, 999) keretébe a D fölta szerkezet laterálsa változó paraméteret a Szerzők sorfetés formáába állították elő. Bázsfüggvéykét hatváyfüggvéyeket alkalmaztak ) P p a p p ) R r ) h ) br, 0) r ll. ortogoáls bázst képező szusz/koszusz függvéyeket ) d K K d cos k ) d 0 k S k k * k s k ), S h L L * ) c c cos l ) c s l ) 0 l l l S l S haszáltak, ahol =,, N-. A h) függvéy az -edk réteg vastagságfüggvéye, ) a p, b q, d k, * d k, c l, * c l a függvéykoeffcesek, N a rétegek száma, a lateráls koordáta, P, R, K, L a sorfetés együtthatók száma. A módszer számítás folyamata az A. ábrá látható. 3

Terep adatok Startmodell fzka paramétere A pror formácók D előremodellezés A startmodell koeffceseek számítása A számított és a mért adatok külöbsége mmáls? Nem Koeffcesek korrekcóa Ige STOP változókét a A. ábra: A.5D verzós elárás blokkdagrama sz A d g m ) g m,...,m ) drekt feladat a sorfetéses verzóba módosul, ú d sz N ) ) N ) N ) B,...,BQ,...,B,..., BQ sorfetés együtthatókat szerepeltetük N ) ) N ) N ) g m,...,m ) g B,...,B,...,B,...,B ), ) P Q ahol Q az -k rétegparaméter sorfetés együtthatóak száma.. Learzálás utá a G T T GB G d ormálegyelet redszert kapuk, az verzó eredméyekét az együtthatók állak elő. A becslést mősítő 3), 4) kovaraca és korrelácó mátrok értelemszerűe az verzó közvetle változóra voatkozak, amelyeket Meke 984) szert COV B ) M COV M d T formába kapuk. A ) kfeezés még em alkalmas a ormálegyelet korábbakba megsmert előállítására, mvel a sorfetés együtthatók mátrok. Eze köye változtathatuk az deek átírásával, ha bevezetük a B sorfetés együttható vektort, melyek -k rétegre voatkozó A D modell fzka paramétereek számítása B l koordátát az Q N 4

l p Q p,,..., Q 3) képlet ada, ahol az -k réteg sorfetés együttható fut végg, deű) rétegekbe felvett együtthatók számát elöl. Pl. réteghatár eseté Qp pedg a korább p< l,...,q Q,...,Q Q első réteg). másodkréteg) A 0), ) bázsfüggvéyekkel a.5d verzós elárást a Szerzők skerrel alkalmazták. A umerkus és -stu alkalmazások azt mutaták, hogy a Fourer-soros közelítés ge magasredű lehet: a sorfetés együtthatók száma akár a mamumg a terítés potok számág) elmehet, ugyaakkor a bázsfüggvéy redszer a modellek ksszámú sorfetés tag alkalmazásakor) uduláló elleget ad. Ezt elkerüledő, a Szerzők hatváyfüggvéyeket s bevotak a bázsfüggvéyek közé. Ezek azoba em alkotak ortogoáls redszert, így alkalmazásukkal umerkus stabltás problémák keletkezhetek. A.5D módszerhez kapcsolódó első vzsgálatam ehhez a problémához kapcsolódak. Numerkus vzsgálatam célára elsőkét az A. ábrá látható háromréteges modellt vettem fel, melyek vastagságfüggvéye lassa változak, a falagos elleállásokba a szerkezet rétegekét homogé. A látszólagos falagos elleállás görbéket példa szelvéyekkel a függelék F. ábra mutata be. Relatív lateráls koordáták m) -0-68 -6-84 -4 0 4 84 6 68 0 Vastagság m) 0 3 5 ohmm 50 ohmm Jelmagyarázat H ) egzakt H ) egzakt 4 5 00 ohmm A. ábra: A umerkus vzsgálatok célára felvett A modell 5

A vastagságfüggvéyek a modell mdkét szélé 60 m hosszúságba álladó értéket veszek fel H=m, H=4m). A +/- 50 m. belső tervallumo a vastagságok lateráls változását a és a H ) ep.5 / 50) ) H ) 4 ep / 50) ) függvéyek adák. A 40 m-es vzsgálat területe dőlésráyba 5 méterekét Schlumberger elredezésű mérést tételeztük fel AB/=.6,.0,.5, 3., 4.0, 6.4, 8.0, 0.0,.0, 4.0, 7.0, 0.0, 5.0, 30.0, 35.0, 40.0, 45.0, 50.0 m terítés távolságokkal). Egy-egy mérés pothoz tehát 9 mérés adat tartozk, a mérés teles tervalluma 00 m. A továbbakba a fet modellt A modell -ek evezzük. A látszólagos falagos elleállás adatokat Sptzer 995) FD programával állítottam elő, amelyet a modellszámítások megköyítésére Gyula Ákos Professzor felesztett tovább tetszőleges, laterálsa változó modellre. Az adatokkal elvégzett verzós vzsgálatokba az eredméy mőségét ellemző paramétereket s számítottam, következtetésemet ezekre alapoztam. A.5D verzós közelítés óságáak ellemzésére számos paraméter szolgál. Ezek közül az adattérbel és modelltérbel távolságokat a. feezetbe defáltuk. Jele vzsgálatak szempotából a legfotosabb a rekostruált vastagság függvéyek és azok egzakt a modellbe felvett) értéke között relatív) eltérés. Eek számítására a relatív függvéytávolságot vezetük be az alább formula szert: D h H ') H becsült egzakt H egzakt ') ') d. 4) A kovaraca és korrelácó mátrok kfeezése értelemszerűe az verzó közvetle változóra, azaz a sorfetés együtthatókra voatkozak, így pl. 3) alapá COV B ) T M COV M. d A földta modell paramétereek kovaraca mátra a hbateredés törvéye alapá állítható elő. Numerkus vzsgálatakba csak a vastagság lateráls változásával foglalkozuk, ezért a levezetésükbe a falagos elleállásokat kostasak tételezzük fel. 6

7 Az -k réteg vastagságfüggvéye az helye Q ) ) B h. Eek várható értékét a becslés sorá elöle Q ) ) B h, ahol a felülvoás az átlagolásra utal. Az átlagtól való eltérés Q ) ) ) ) B B h h h vagy máskét Q ) ) B h, ahol ) ) ) B B B. A -k vastagságra hasolóa Q m m ) m ) B h, így a vastagság kovaraca mátr a Q m m ) m ) Q ) B B ) h h átlagolásával kapható. Egyszerűbb formulát kaphatuk együttható mátrok helyett együttható vektor) az deek 3)-hoz hasoló átírásával p p Q,...,, Q l, q q Q,..., m, Q m h, vagys Q m m h l Q ) B B ) h h, amvel a vastagság kovaraca mátr eleme a sorfetés együtthatók kovaracából helye a Q m m,h l Q, ) B ) COV ) )) h COV 5) képlet szert számíthatók. A formula = esetre vsszaada a Gyula és szerzőtársa 00) varaca képletét.) A korrelácós mátr előállítása továbbra s a 4) egyeletek megfelelőe törték.

Melőtt a umerkus vzsgálatakba kezdeék, összehasolítás alapkét ézzük meg a.5d algortmus Fourer sorfetést alkalmazó változatát. Az A3. ábrá öttagú M=5) Fourer sorfetést alkalmazó közelítésbe mutatuk be a.5d verzó eredméyét felvett modellükö. A lateráls koordátákat később umerkus vzsgálatakra tektettel a +/- tervallumba traszformáltuk. Az adatok FD geerálása mdg az eredet skálá törték.) A rekostruált vastagság függvéyeket a kék görbék mutaták. Látható a H) görbé, hogy a sorfetés együtthatók száma még kevés a modellváltozás leírására. Az A3. ábrá bemutatott vastagságfüggvéyek esetébe a 4) szert számított Dh= 5.864. Az verzó sorá a rétegek falagos elleállásat s meghatároztuk.) Relatív lateráls koordáták - -0.8-0.6-0.4-0. 0 0. 0.4 0.6 0.8 Vastagság m) 0 3 4 Jelmagyarázat H) egzakt H) Fourer, M=5) 5 A3. ábra: A.5D verzó eredméye vastagság függvéyek közelítése M=5 Fourer taggal) Tovább vzsgálatokat az A. táblázatba látható M sorfetés együttható számok mellett végeztük. A páratla számok oka az, hogy a Fourer-sorba szereplő kostas tag mellett azoos számba szerepelek szusz, lletve koszusz függvéyek.) A táblázatba az egyes paraméterek becsléséek potosságát ellemző varacák átlagát átlagvaraca), a korrelácós mátr főátló kívül elemeek égyzetes középértékét korrelácós átlag), az előzőekbe defált Dh függvéytávolságot és az adattávolságot mutatuk be. Az átlagvaracát a 5) formula alapá az egyes mérés potokba számított varacák középértékekét számítottuk. A korrelácós átlag a 5)-ből levezethető korrelácós mátr alapá állt elő. 8

Mt látható, az adattávolság léyegébe azoos, eek változása kevéssé formatív, ezzel szembe a Dh függvéytávolság megfelelőe érzékey ellemzőe a vastagságfüggvéy becslés óságáak. A korrelácós átlag szsztematkusa csökke, azt elezve, hogy az ortogoáls függvéyek alkalmazása stabl verzós elárást eredméyez korreláltság em rota léyegese az eredméyt). A varaca átlag a becslés átlagos potosságát mutata, eek értéke az smeretleek számáak övelésével együtt övekszk. Látható a táblázat alapá, hogy a legobb függvéylleszkedést M=9-él kaptuk. Az A4. ábrá ezért a már szemléltetett M=5 mellett bemutatuk az M=9 esetébe kapott vastagság függvéyeket. Az A. táblázat taúsága szert a magasabb redű közelítések s megfelelő kssé potatlaabb vastagságbecslést elető) eredméyt adak. Ezeket az ábrá em tütetük fel, mvel az egyes eredméyek szte csak voalvastagságo belül térek el egymástól. Varaca Korrelácós Dh függvéytávolság Adattávolság M átlag %) átlag -) %) %) 5.955 0.38 5.864 0.953 7 3.80 0.3 4.909.030 9 3.638 0.64 3.775 0.977 3.69 0.30 3.78 0.973 3 3.686 0.07 3.805 0.984 5 3.770 0.89 3.835.006 7 3.960 0.75 3.868 0.996 9 3.930 0.63 3.848 0.996 4.09 0.54 3.85.03 3 4.0 0.44 3.79.04 A. táblázat: A.5D verzó eredméyet mősítő ellemzők Fourer soros dszkretzácó eseté 9

Relatív lateráls koordáták - -0.8-0.6-0.4-0. 0 0. 0.4 0.6 0.8 Vastagság m) 0 3 4 Jelmagyarázat H) egzakt H) Fourer, M=5) H) Fourer, M=9) 5 A4. ábra: A.5D verzó eredméye Fourer sorfetéses dszkretzácóval M=5 és M=9 eseté Az A modell az lateráls koordátába szmmetrkus, am verzós szempotból előyös, stabltást övelő téyező. Természetese a gyakorlatba a modell szmmetráa ge rtka, ezért tovább vzsgálatak célára a B. ábrá látható aszmmetrkus modellt s defáluk, amt B modell -ek evezük. A vastagságfüggvéyek az <0 oldalo a arctg) függvéyek rétegekét külöböző) eltolásával és skálázásával állak elő. Az >0 koordátákál pedg az ugyacsak arctg) függvéyeket az előbbektől eltérő skálázással vettük fel aak érdekébe, hogy valóba aszmmetrkus és em atszmmetrkus modellt defáluk). A 40 m-es vzsgálat területe a modell valód mérete) dőlésráyba tt s 5 méterekét Schlumberger elredezésű mérést tételeztük fel AB/=.6,.0,.5, 3., 4.0, 6.4, 8.0, 0.0,.0, 4.0, 7.0, 0.0, 5.0, 30.0, 35.0, 40.0, 45.0, 50.0 méter terítés távolságokkal). A rétegek falagos elleállása és a mérés redszer megegyezk az A modellél leírtakkal. A látszólagos falagos elleállás adatokat továbbra s Sptzer 995) Gyula Ákos Professzor által továbbfelesztett FD programával állítottam elő. A látszólagos falagos elleállás görbéket példa szelvéyekkel a függelék F. ábra mutata be. 0

Relatív lateráls koordáták -0-68 -6-84 -4 0 4 84 6 68 0 Vastagság m) 0 3 4 Jelmagyarázat H ) egzakt H ) egzakt 5 ohmm 50 ohmm 00 ohmm 5 B. ábra: A umerkus vzsgálatok célára felvett B modell Fourer-sorral törtét dszkretzálással a.5d verzó a B modelle M=3 mellett adta a legobb eredméyt, mt látható a B. táblázatba. A B. ábrá a legobb lleszkedést mutató M=3 eset mellett, éháy tovább fokszám alkalmazásakor kapott görbét s bemutatuk, hogy a függvéylleszkedés változását szemléltessük. M=9 és M= esetekbe a vastagság görbék széle fel-, ll. lefelé futó görbék) még stabltás mutatkozk, M=9 felett ez eletőse csökke. Az A modell esetébe ez az stabltás a szmmetra matt em eletkezk.) Varaca Korrelácós Dh függvéytávolság Adattávolság M átlag %) átlag -) %) %) 5.35 0.384 5.90.559 7 4.497 0.364 6.466 0.888 9 4.744 0.338 6.705 0.888 3.6 0.3 4.86 0.547 3 3.300 0.36 5.95 0.558 5 3.389 0.3 5.603 0.508 7.64 0.3 5.6 0.5 9.478 0.49 3.58 0.377 3.350 0.6 3.39 0.394 B. táblázat: A.5D verzó eredméyet mősítő ellemzők Fourer soros dszkretzácó eseté a B modelle

Relatív lateráls koordáták - -0.8-0.6-0.4-0. 0 0. 0.4 0.6 0.8 0 Vastagság m) 3 4 5 Jelmagyarázat H) egzakt H) Fourer, M=9) B. ábra: A.5D verzó eredméye Fourer sorfetéses dszkretzácóval H) Fourer, M=) H) Fourer, M=9) H) Fourer, M=3) Ezek utá vzsgáluk meg az A modelle a vastagságok hatváyfüggvéyekkel törtéő 0) szert dszkretzácóáak alkalmasságát a.5d verzóba. Tapasztalatak szert az ötödfokú közelítés alatt elfogadhatatla potosságot kapuk. Numerkus vzsgálatukat ezért M=5 mellett kezdük, azaz bázsfüggvéyek között legfelebb ötödfokú hatváyfüggvéy fordul elő. A legmagasabb hatváyktevő övelésével M=7-él avulást, mad magasabb ktevőkél a közelítés romlását tapasztaltuk úgy, hogy M=0-él az verzó umerkus stabltás matt megszakadt és magasabb hatváyokál sem adott eredméyt. Az A. táblázat az verzót mősítő paramétereket mutata külöböző fokszámú közelítések eseté. A legobb függvéy közelítést M=7 mellett kaptuk. Az lleszkedés szemléltetésére az A5. ábra szolgál. Az áttekthetőség kedvéért csupá az M=5, 7 és 9 mamáls fokszámhoz tartozó görbéket mutatuk be. Mt látható M=5 még vszoylag alacsoy, a vastagság függvéyeket gyegé közelítő eredméyt hoz. Ugyaakkor az M=9 - hez tartozó görbe már az stabltást elző közelítés hbával Dh=7.87 %) és 6.5 % varacaátlaggal ellemezhető. A umerkus stabltás oka az, hogy az és az + függvéyek között külöbség például a [0,] tervallumo egyre ksebbé válk az övelésével, máskét ez azt s elet, hogy agy -ek eseté az egymást követő bázsfüggvéyek csakem megegyezek, így a sorfetés egyre magasabb redű taga umerkusa közel azoos szerepet átszaak. Ez a körülméy a Jacob-mátrba olya hasolóságokat vsz be sorok vagy oszlopok leárs kombácóa), amely végül az egyeletredszer mátráak szgulartásához determás közel egyelő ulla) vezet.

Varaca Korrelácós Dh függvéytávolság Adattávolság M átlag %) átlag -) %) %) 5 0.30 0.45 0.593.03 6 0.30 0.440 0.593.03 7 8.744 0.439 5.97.8 8 8.837 0.45 5.97.8 9 6.57 0.386 7.874 0.65 A. táblázat: A.5D verzó eredméyet mősítő ellemzők hatváyfüggvéyekkel törtét dszkretzácó eseté Relatív lateráls koordáták - -0.8-0.6-0.4-0. 0 0. 0.4 0.6 0.8 0 Jelmagyarázat H) egzakt H) Hatváy, M=5) H) Hatváy, M=7) H) Hatváy, M=9) Vastagság m) 3 4 5 A5. ábra: Az.5D verzó eredméye hatváyfüggvéyekkel törtét dszkretzácóval M=5,7 és 9 hatváyktevők eseté Mdezek alapá megállapítható, hogy a 0) szert egyszerű hatváyfüggvéyek csupá korlátozott mértékbe alkalmazhatók a dőlésráyú szelvéyek meté mért látszólagos falagos elleállás adatok.5d verzóába, ezért a kérdést a B modelle em vzsgáluk. A hatváyfüggvéyek, általáosabba polomok szerepeltetése a modellek megfelelő leírásába szükséges, ezért a hatváyfüggvéyek helyett a továbbakba ú bázsfüggvéyeket keresük. 3

3... Ú bázsfüggvéy redszerek bevezetése a.5d verzós elárásba A sorfetéses verzó teré smert téy, hogy ortogoáls, lletve ortoormált bázsfüggvéyekkel törtéő dszkretzácó agyobb verzós stabltást és obb paraméterbecslést eredméyez. Laterálsa homogé szerkezete mért adatok általáosított sorfetéses verzóába Ks 998) Csebsev polomokat alkalmazott, amelyek súlyfüggvéyre ortogoáls redszert alkotak. PhD értekezésébe Prácser 007) Csebsev polomokat és Haar-függvéyeket alkalmazott. Doktor értekezésébe Szeged 05) a Fourer-traszformácó sorfetéses dszkretzácó alapuló verzós elárásába ortogoáls Hermte-függvéyeket haszált. A kdolgozott verzós elárások fgyelemre méltó stabltást mutattak. Ezekből kdulva választásom a Legedre-polomokra, lletve a Csebsev-polomokra esett, amelyek ortogoáls, lletve súlyfüggvéyre ortogoáls redszert alkotak. 3... Legedre-polomok bevezetése a.5d verzós elárásba A matematkába és a műszak tudomáyokba gyakorta szerepet kapó polomok defálása általába a Rodrguez-formulával vagy pedg rekurzós formulával törték. A Legedre-polomok rekurzós formuláa az alábbak szert adható meg P P 0 P P ) ) P ), ahol és. A függvéyek ortogoáls redszert alkotak. ahol ) Pm ) d m P, m 0 ha m. Szemléltetésükre az első öt Legedre polomot az A6. ábrá ha m mutatom be. Látható, hogy az ortogoaltásak köszöhetőe az egymás utá következő függvéyek léyegese eltérek, így elkerülhető az a probléma, amt a hatváyfüggvéyekél a [0,] tervallumo a magasabb ktevők eseté a függvéyek hasolóságáról említettük. 4

A6. ábra: Legedre-polomok Forrás: Wkpeda) Az potba azoba a függvéyek összefutak. Ez arra fgyelmeztet, hogy ebbe a potba a külöböző bázsfüggvéyek azoossága matt a sorfetés egyértelműsége és ezzel az verzó stabltása romolhat. Erre a ehézségre fgyelük kell. A felvett lateráls modellük mdkét szélé égy mérés potba álladó vastagságot tételeztük fel. A Legedre-polomokkal törtéő leírás ematt csupá a ±0.78574 tervallumo értelmezett, ahol umerkus stabltás probléma A6. ábra taúsága szert cs. Ezek előrebocsátása utá vzsgáluk meg a dőlésráyú szelvéyeke mért adatok Legedre-polomokkal dszkretzált.5d verzóáak eredméyet. A hatváyfüggvéyekél bemutatott vzsgálatakkal való összehasolítás végett elsőkét mamálsa M=5, 6, 7, 8, 9- ed redű Legedre-polomokkal törtét sorfetéses verzót mutatuk be az A3. táblázatba. Az A. táblázattal való összehasolítás a kék szíel kemelt sorok alapá lehetséges.) 5

M Varaca Korrelácós Dh függvéytávolság Adattávolság átlag %) átlag -) %) %) 5 6.73 0.396 0.33.08 6 6.73 0.354 0.33.08 7 3.837 0.30 6.85. 8 3.837 0.98 6.85. 9.057 0.8 5.34 0.63.75 0.5 3.476 0.339 3.438 0.8.8 0.379 5.579 0.4.30 0.378 7.760 0.57.06 0.38 9 3.037 0.406.45 0.445 A3. táblázat: A.5D verzó eredméyet mősítő ellemzők Legedre-polomokkal törtét dszkretzácó eseté Itt s láthatuk a modell szmmetráából adódó egyezést, a soro következő páros és páratla mamáls fokú közelítések között. Ematt a tíz fölött páros mamáls fokszámokhoz tartozó eredméyeket em mutatuk. Hatváyfüggvéyekél az M=0- hez tartozó futtatás umerkus okok matt megszakadt és hasoló okból magasabb fokú közelítést em vzsgálhattuk. Léyeges eltérés mutatkozk azoba a Legedre-polomok fokszámáak övelésével. Mt látható 9-ed fokú közelítésbe még stabl eredméyt kapuk, oha a stabltást ellemző paraméterek M=7 fölött romla kezdeek. Az M=5 és M=7- hez tartozó Dh vastagságtávolság vszoylag agy értéke arra utal, hogy még kcs a sorfetés együtthatók száma, azaz a modellt külööse a széleke) em közelítük megfelelőe. Ez látható az A7. ábrá, amelyet az A5. ábrával hatváyfüggvéyek) összehasolítva megállapíthatuk a Legedre-polomok obb alkalmazhatóságát. Ezt tovább erősít az A8. ábra, ahol a hatváysoros közelítésbe már em tárgyalható M=,3,5,7,9 paraméterek mellett kapott vastagság görbéket mutatuk be, amelyek elfogadható közelítést gazolak. Mdezek alapá dokolt a hatváyfüggvéyek helyett Legedre-polomok alkalmazása a.5d verzós elárásba. 6

Relatív lateráls koordáták - -0.8-0.6-0.4-0. 0 0. 0.4 0.6 0.8 Vastagság m) 0 3 4 Jelmagyarázat H) egzakt H) Legedre, M=5) H) Legedre, M=7) H) Legedre, M=9) 5 A7. ábra: Az.5D verzó eredméye Legedre-polomokkal törtét dszkretzácóval M=5, 7 és 9 hatváyktevők eseté A Legedre-polomok alkalmazhatóságát a Fourer-soros dszkretzálással való összehasolításba s vzsgáluk kell. A függvéytávolságok összehasolítását az A4. táblázatba mutatuk be. Az egyes közelítésekhez tartozó vastagság görbéket az A9. ábrá szemléltetük M= és M=7 paraméterek mellett. M Dh függvéytávolság%) Fourer Legedre 3.78 3.476 3 3.805.8 5 3.835.30 7 3.868.06 9 3.848.45 A4. táblázat: A Fourer soros lletve Legedre polomokkal dszkretzált.5d verzóval kapott függvéytávolságok összehasolítása 7

Relatív lateráls koordáták - -0.8-0.6-0.4-0. 0 0. 0.4 0.6 0.8 Vastagság m) 0 3 4 Jelmagyarázat H) egzakt H) Legedre, M=) H) Legedre, M=3) H) Legedre, M=5) H) Legedre, M=7) H) Legedre, M=9) 5 A8. ábra: A.5D verzó eredméye Legedre-polomokkal törtét dszkretzácóval M=,3,5,7 és 9 hatváyktevők eseté Relatív lateráls koordáták - -0.8-0.6-0.4-0. 0 0. 0.4 0.6 0.8 Vastagság m) 0 3 4 Jelmagyarázat H) egzakt H) Fourer, M=) H) Legedre, M=) H) Legedre, M=7) H) Fourer, M=7) 5 A9. ábra: A Fourer-soros lletve Legedre polomokkal dszkretzált.5d verzóval kapott függvéytávolságok összehasolítása M= és M=7 eseté Mt látható, M=-től a.5d verzó elfogadható eredméyt ad. Külö ábrába emelük k a vastagságfüggvéyek M=7-hez Legedre-polomokkal, lletve Fourer-sorral kapott rekostrukcóát A0. ábra). A H) vastagságfüggvéyt szemlátomást ge ó potossággal vsszakaptuk. A H) rétegvastagság lateráls változását az verzós szempotból elfogadhatóak modhatuk. Az verzó bemeő adatat a felvett modelle 8

Sptzer 995) 3D programával számítottuk, így azokat a lehetőségekhez mérte ge potosak tekthetük. A vastagság rekostrukcó hbáa egybe a.5d közelítés hbáát mutata a vastagság-távolság: -4%). Műszak szempotból ez a potosság teles mértékbe elfogadható. Külööse így va ez akkor, ha fgyelembe vesszük, hogy a geoelektromos terítés dőlés ráyú, a terítés hossz meté a vastagság léyegese változhat és a lokáls vastagságokat a terítés közepé aktuáls értékükkel határoztuk meg. Ezt a feltételezést az A0. ábrá megfgyelhető rekostrukcós potosság vsszagazola. Eredméyük tehát a.5d verzós elárás dőlés ráyú terítésekbe mért látszólagos falagos elleállás adatok feldolgozására lletve értelmezésére való alkalmazhatóságát bzoyíta. Eek eletőségét kemel, hogy az verzós eredméyt éháyszor 0 másodperc futás dő mellett kaptuk meg. Ezzel szembe, mt korábba említettük a D verzós elárás agyságredekkel agyobb futás dőt géyel.) Relatív lateráls koordáták - -0.8-0.6-0.4-0. 0 0. 0.4 0.6 0.8 Vastagság m) 0 3 4 Jelmagyarázat H) egzakt H) Legedre, M=7) H) Fourer, M=7) 5 A0. ábra: A Fourer-soros, lletve Legedre polomokkal dszkretzált.5d verzóval kapott függvéytávolságok összehasolítása M=7 eseté Vzsgáluk meg a Legedre-polomokkal törtéő dszkretzálást a.5d verzó eseté a B modelle s. Teredelm okokból a külöböző fokszámok eseté végzett stabltás vzsgálatot em mutatuk be. Az aszmmetrkus modellre voatkozó vzsgálatak szert a legobb eredméyt M= mellett kapuk, amt a B3. ábrá szemléltetük 9

Relatív lateráls koordáták - -0.8-0.6-0.4-0. 0 0. 0.4 0.6 0.8 0 Vastagság m) 3 4 5 B3. ábra: A Fourer-sorral és Legedre-polomokkal dszkretzált.5d verzóval kapott függvéytávolságok összehasolítása aszmmetrkus modelle M= Jelmagyarázat H) egzakt H) Legedre) H) Fourer) 3... Csebsev-polomok bevezetése a.5d verzós elárásba A Csebsev-polomok rekurzós formuláa az alábbak szert írható fel T T T 0 T ) T ), ahol. Ez a függvéyredszer az súlyfüggvéyre ézve ortogoáls. T ) T m ) 0 d ha m ha m 0, ha m 0 Az első öt Csebsev polomot az A. ábra szemléltet. Amely szert, az egymás utá következő függvéyek léyegese eltérek egymástól. Így a magasabb ktevők haszálata 30

eseté ebbe az esetbe s elkerülhető a hatváyfüggvéyekél említett, [0,] tervallumo eletkező függvéyhasolóság probléma. A. ábra: Csebsev-polomok Forrás: Wkpeda) Az =± potba való találkozása a külöböző bázsfüggvéyekek az e potokba lévő azoosságukra utal, amely azt elz, hogy ezeke a helyeke a sorfetés egyértelműsége és ezzel az verzó stabltása kérdéses lehet, amelyre az elárás sorá fgyelemmel kell le. A vzsgálatakba a felvett lateráls modellük mdkét szélé égy mérés potba álladó vastagságot tételeztük fel, így a modell Csebsev-polomokkal törtéő leírása csak a +/- 0.78574 tervallumo értelmezett. Eek köszöhetőe ebbe az esetbe umerkus stabltás problémával em kell számoluk. Mdezek fgyelembevételével vzsgáluk meg a dőlésráyú szelvéyeke mért adatok Csebsev-polomokkal dszkretzált.5d verzóáak eredméyet. Elsőkét a mamálsa M=5, 6, 7, 8, 9- ed redű Csebsev-polomokkal végzett sorfetéses verzót mutatuk be az A5. táblázatba a hatváyfüggvéyekkel törtéő összehasolítás célából. Az összehasolítást az A. táblázattal a kék szíel kemelt sorok alapá tehetük meg.) 3

A páros és páratla mamáls fokú közelítések között egyezés a modell szmmetráából adódk, ezért a tíz fölött páros mamáls fokszámokhoz tartozó eredméyeket em szemléltetem. A polomok fokszámáak övelésével azoba léyeges eltérést tapasztaluk a hatváyfüggvéyek és a Csebsev-polomok között. Míg a hatváyfüggvéyek eseté az M=0- hez tartozó futtatás mt azt korábba említettem - umerkus okok matt megszakadt és magasabb fokú közelítés vzsgálatára már em volt lehetőség, addg a Csebsev-polomok alkalmazása esetébe az M=9-ed fokú közelítésbe még stabl eredméyt kaptuk. A Csebsev polomokkal végzett vzsgálatba a stabltást ellemző paraméterek csak M=7 fölött kezdtek el romla. Varaca Korrelácós Dh függvéytávolság Adattávolság M átlag %) átlag -) %) %) 5 7.85 0.38 0.30.09 6 7.85 0.344 0.30.09 7 4.75 0.34 6.85.3 8 4.75 0.89 6.85.3 9 4.574 0.69 6.666.334 3.99 0.4 4.768.079 3 4.408 0.8 4.8. 5 4.653 0.4 4.6.066 7 5.434 0.33 4.75.088 9 9.83 0.463 4.30.096 A5. táblázat: A.5D verzó eredméyet mősítő ellemzők Csebsev-polomokkal törtét dszkretzácó eseté A Dh vastagságtávolság vszoylag agy értéke M=5, 7, 9 esetekbe arra utal, hogy a modellközelítés, mely az A. ábrá látható, még em megfelelő fokszámmal törték, a sorfetés együtthatók száma még kcs. A hatváyfüggvéyeket bemutató A5. ábrával összehasolítva megállapíthatuk, hogy a Csebsev-polomok obba alkalmazhatóak az verzós elárásba, melyet az A3. ábra M=,3,5,7,9 paraméterek mellett kapott vastagság görbé s alátámasztaak. Mdezek alapá avasolható a Csebsev-polomok alkalmazása az.5d verzós elárásba a hatváyfüggvéyek helyett. 3

Relatív lateráls koordáták - -0.8-0.6-0.4-0. 0 0. 0.4 0.6 0.8 Vastagság m) 0 3 4 Jelmagyarázat H) egzakt H) Csebsev, M=5) H) Csebsev, M=7) H) Csebsev, M=9) 5 A. ábra: A.5D verzó eredméye Csebsev-polomokkal törtét dszkretzácóval M=5,7 és 9 hatváyktevők eseté Megvzsgáltuk a Csebsev polomok haszálhatóságát a Fourer-soros és a Legedre-polomokkal törtét dszkretzálással való összehasolításba s. Az A6. táblázat a függvéytávolságok összehasolítását mutata be. Az A4. ábra az egyes közelítésekhez tartozó vastagság görbéket szemléltet M= és M=7 paraméterek alkalmazása eseté. M Dh függvéytávolság%) Fourer Legedre Csebsev 3.78 3.476 4.768 3 3.805.8 4.8 5 3.835.30 4.6 7 3.868.06 4.75 9 3.848.45 4.30 A6. táblázat: A Fourer soros, a Legedre és a Csebsev polomokkal dszkretzált.5d verzóval kapott függvéytávolságok összehasolítása Az A6. táblázat alapá megállapítható, hogy mdhárom bázsfüggvéy-redszer alkalmas a dőlésráyú szelvéyeke mért adatok.5d verzóába a vastagság függvéyek dszkretzálására. A Legedre-, és Csebsev-polomok alkalmazásával a hatváyfüggvéyekkel felépített verzós elárásál stablabb elárás defálható. A Fourer-soros, lletve a Legedre- vagy Csebsev-polomokkal törtét dszkretzálás közel 33

azoos verzós eredméyre vezet. Megemlítedő azoba, hogy a három függvéyredszer közül vzsgált példákba - a Csebsev-polomok adták a leggyegébb eredméyt. Relatív lateráls koordáták - -0.8-0.6-0.4-0. 0 0. 0.4 0.6 0.8 Vastagság m) 0 3 4 Jelmagyarázat H) egzakt H) Csebsev, M=) H) Csebsev, M=3) H) Csebsev, M=5) H) Csebsev, M=7) H) Csebsev, M=9) 5 A3. ábra: A.5D verzó eredméye Csebsev-polomokkal törtét dszkretzácóval M=,3,5,7 és 9 hatváyktevők eseté Relatív lateráls koordáták - -0.8-0.6-0.4-0. 0 0. 0.4 0.6 0.8 Vastagság m) 0 3 4 Jelmagyarázat H) egzakt H) Fourer, M=) H) Legedre, M=) H) Csebsev, M=) H) Legedre, M=7) H) Fourer, M=7) H) Csebsev, M=7) 5 A4. ábra: A Fourer-soros, a Legedre-, lletve Csebsev-polomokkal dszkretzált.5d verzóval kapott függvéytávolságok összehasolítása M= és M=7 eseté 34

Vzsgáluk meg a Csebsev-polomokkal törtéő dszkretzálást a.5d verzó eseté a B modelle s. A külöböző fokszámok eseté végzett stabltás vzsgálatot teredelm okokból tt sem mutatuk be. Számításak alapá a legobb vastagságfüggvéy lleszkedést az M= esetbe kapuk. A Fourer-sorral, ll. Csebsev-polomokkal törtét dszkretzácóval.5d módszerrel kapott verzós eredméyeket a B4. ábrá hasolíthatuk össze. A vastagságfüggvéyek lleszkedését ellemző Dh meységet az alább táblázat mutata. Dh függvéytávolság %) M Fourer Legedre 3.39 4.035 0 Relatív lateráls koordáták - -0.8-0.6-0.4-0. 0 0. 0.4 0.6 0.8 Vastagság m) 3 4 Jelmagyarázat H) egzakt H) Csebsev) H) Fourer) 5 B4. ábra: Fourer-sorral és Csebsev-polomokkal dszkretzált.5d verzóval kapott függvéytávolságok összehasolítása aszmmetrkus modelle M= A B modell esetébe s elvégeztük a Fourer-soros, a Legedre- és a Csebsevpolomos dszkretzálással kapott eredméyek összehasolítását, melyet a B5. ábra mutat be. Ebbe a feezetbe avaslatot tettem a hatváyfüggvéyek Legedre-polomokkal, lletve Csebsev-polomokkal való kváltására. Megmutattam, hogy az ortogoáls lletve súlyfüggvéyre ortogoáls polomok alkalmazásával a Fourer soros dszkretzálásra alapozott.5d módszerrel léyegébe egyeértékű verzós elárást defálhatuk. 35

Vzsgálatam azt mutaták, hogy a Legedre-, lletve Csebsev-polomokkal törtéő dszkretzálás a dőlésráyú szelvéyeke mért adatok.5d verzóába eredméyese alkalmazható. tézs). 0 Relatív lateráls koordáták - -0.8-0.6-0.4-0. 0 0. 0.4 0.6 0.8 Vastagság m) 3 4 5 Jelmagyarázat H) egzakt H) Fourer) H) Legedre) H) Csebsev) B5. ábra: A Fourer-soros, a Legedre-, lletve Csebsev-polomokkal dszkretzált.5d verzóval kapott függvéytávolságok összehasolítása a B modell eseté 3.. Az általáosított sorfetéses elárás továbbfelesztése dőlésráyú szelvéyadatok eseté Doktor értekezésébe Ks a.5d közelítő verzós elárás egy lehetséges továbbfelesztését avasolta D földta szerkezetek fölött csapás ráyba mért látszólagos falagos elleállás adatok feldolgozására. Javaslata a.5d módszerek egyk léyeges saátságához csatlakozott, mszert az D előremodellezést a szelvéyközép alatt vertkálsa értelmezett vastagságokkal végezzük. Ks 998) gazolta, hogy az előremodellezést a vastagságfüggvéyek tegrálközepével defált D modelle végrehatva potosabb közelítést kaphatuk. Fzkalag ez a avaslat a csapás ráyba terített geoelektromos szelvéy dőlés ráyú érzékeységét vette fgyelembe. Mt korábba kfetettük, a multelektródás mérés redszereket gyakra terítk dőlés ráyba. Eek megfelelőe az D előremodellezés tektetébe ú helyzet áll elő, az adott például 00m) hosszúságú terítés alatt a modell léyeges változást s mutathat. Ez a 36

körülméy dokolttá tesz az.5d alapgodolat alkalmazhatóságáak vzsgálatát. A szelvéyközép alatt lokáls vastagság helyett egy megfelelő tervallumo tegrálközéppel számított vastagsággal végzett D előremodellezés ebbe a mérés elredezésbe még kább dokoltak tűk. Az erre épített lokálsa D verzós elárás haszálhatóságát az alkalmazás skere döt el. A dőlés ráyú terítés meté mért látszólagos falagos elleállások feldolgozására szolgáló általáosított sorfetéses elárás algortmusát Ks 998) módszeréek alkalmas átfogalmazásával, az alkalmazott bázsfüggvéyek voatkozásába pedg aak továbbfelesztésével aduk meg. Továbbra s feltételezzük az egyszerűség kedvéért, hogy a D modell csupá a vastagságokba mutat lateráls változást, az ayag paraméterek kostasok. Az algortmus megfelelő általáosítása ayag ellemzőbe s laterálsa változó földta modellre köye elvégezhető. Az egyszerűsítést programozás-techka okok dokolák). Az általáosított sorfetéses elárás azoos értelmű elevezéskét a továbbakba az tegrálközép módszer megelölést s haszáluk) keretébe a vastagság függvéyeket továbbra s valamely bázsfüggvéy-redszer szert sorfetéssel közelítük Itt a h ) M B. 6) B sorfetés együtthatók smeretleek. Ks 998) bázsfüggvéyekkét tervallumo kostas függvéyeket, ll. Csebsev-polomokat vezetett be az általáosított sorfetéses elárásba. Az előzőek alapá dokolt a Legedre-polomok, ll. a Fourer-sorba szereplő szusz/koszusz függvéyek bevezetése s. Az D előremodellezéshez a vastagságokat az pot, mt szelvéyközép körül lateráls ráyba defált, ) tervallumo tegrálközépkét értelmezzük ĥ ĥ h' d, 7) ahol a szelvéyek sorszámá fut végg. Ha a h 6) kfeezését behelyettesítük a 7) egyeletbe az alább összefüggést kapuk ĥ M B M ' d B ' d B ' d' M. 8) 37

Legye S ' d, 9) ekkor az tegrálközéppel defált vastagság az alább alakba írható fel M ĥ B S. 30) Mt látható 0 határátmeetbe az tegrálszámítás középérték tételét felhaszálva lm S lm ), azaz határesetkét az általáosított sorfetéses elárás a.5d módszert ada vssza. Az elevezés oka az, hogy a 30) egyeletbe a bázsfüggvéyek helyett azok tegrálközepe szerepel. Ettől kezdve az verzós elárás felépítése hasoló a.5d módszer szerkezetéhez: a 30) egyelettel adott vastagságokat D előremodellezésbe alkalmazzuk és a Jacob-mátr elemet az D drekt feladat smert formulá alapá számítuk d sz Learzálás utá a G T ) ) N ) N ) g mˆ,...,mˆ ) g B,...,B,...,B,...,B ). P T GB G d ormálegyelet redszert kapuk, amellyel Meke 984) szert COV B ) T M COV M. d M Numerkus vzsgálatakba továbbra s laterálsa változatlaak tektük a falagos elleállásokat, így azok varacát a mérés adatok varacáak függvéyekét) ez az egyelet előállíta a falagos elleállásokhoz formálsa egy-egy sorfetés együtthatót redelhetük). Az D előre modellezésbe vtt ĥ vastagságparaméterek kovaraca mátrát a sorfetés együtthatók kovaraca mátrából továbbra s a hbateredés fgyelembe vételével számíthatuk. Az -k réteg tegrálközéppel defált vastagsága az helye a M N ˆ ) ' )d elöléssel 38

39 ) ˆ B ĥ Q ). 3) Eek várható értékét a becslés sorá elöle Q ) ) ˆ B ĥ, ahol a felülvoás az átlagolásra utal. Az átlagtól való eltérés Q ) ) ) ˆ ) B B ĥ ĥ ĥ vagy máskét Q ) ) ˆ B ĥ, ahol ) ) ) B B B. A -k vastagságra hasolóa Q m m ) m ) ˆ B ĥ, így a vastagság kovaraca mátr a Q m m ) m ) m Q ) ˆ B B ) ˆ ĥ ĥ átlagolásával kapható. Egyszerűbb formulát kaphatuk együttható mátrok helyett együttható vektor) az deek 3)-hoz hasoló átírásával p p Q,...,, Q l, q q Q,..., m, Q m h, vagys átlagolás utá Q m m h l Q ) ˆ B B ) ˆ ĥ ĥ, amvel a vastagság kovaraca mátr eleme a sorfetés együtthatók kovaracából az helye a Q m m,h l Q, ) ˆ B ) COV ) ˆ )) ĥ COV 3) képlet szert számíthatók, vagy részletesebbe Q m,h l Q, )d ' B ) COV )d ' )) COV ĥ

A ĥ vastagságparaméter becslés potosságát adó varaca, var ĥ ) COV ĥ )), a korrelácós mátr továbbra s CORR COV COV COV szert állítható elő. A 3) egyelettel az D verzóba vtt rétegvastagságok becslés hbáát és korreláltságát határozhatuk meg. Numerkus vzsgálatakba felvett modellük vastagságfüggvéyeek becslés potosságát elemeztük. Ekkor az verz feladatot a sorfetés együtthatókra megoldva a vastagságfüggvéyeket az eredet sorfetéses dszkretzácó h ) M B formuláát alkalmazva számítuk. Ezt fgyelembe véve a vastagságfüggvéy kovaraca mátrát smét a 3) szert Q Q COV h ) ) COV B ), m l,h ) formula ada, am a 3) kfeezésből a 0 határátmeetbe s előállítható. Az általáosított sorfetéses elárás sémáát az A5. ábra mutata: m A5. ábra: Az általáosított sorfetéses verzó módszeréek blokkdagrama 40