Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Majoros Szabolcs Stabilis eloszlások és alkalmazásuk a pénzügyekben BSc Matematikai Elemz Szakdolgozat Témavezet : Dr. Zempléni András Valószín ségelméleti és Statisztika Tanszék Budapest, 2016
Köszönetnyilvánítás Ezúton is köszönöm témavezet mnek, Zempléni Andrásnak a hasznos tanácsokat, észrevételeket és az útmutatást a dolgozat elkészítése során. Külön köszönöm a konzultációkat, ahol mindig türelemmel fordult felém. 2
Tartalomjegyzék El szó 4 1. Alapfogalmak 5 2. Stabilis eloszlások 7 2.1. Deníciók.................................... 7 2.2. Paraméterezés.................................. 9 2.3. Elméleti tulajdonságok............................. 11 2.4. Szimuláció.................................... 17 3. Paraméterbecslés és illeszkedés 19 3.1. Kvantilis módszer................................ 20 3.2. Maximum likelihood becslés.......................... 21 3.3. Anderson-Darling próba............................ 22 4. Alkalmazások 23 5. Többdimenziós stabilis eloszlások 32 5.1. Deníciók.................................... 32 5.2. Speciális esetek................................. 34 5.3. Becslés...................................... 37 5.3.1. Példa részvényekre........................... 39 Összefoglalás 40 3
El szó A pénzügyi folyamatokat hagyományosan normális eloszlással modellezik. Ennek következményei jelent sek lehetnek, mert gyakran nem írható le a valóság normális modellekkel, mely jellemz en az extrém volatilitásra nem elég érzékeny. Ez nehézséget jelenthet a gazdaság számára, hiszen így nem mindig adható megfelel el rejelzés a t zsdei eseményekre. Felmerül a kérdés, hogy akkor milyen eloszlást lenne célszer bb használni? Tökéletesen semelyik eloszlás sem képes modellezni a valóságot, de a stabilis eloszlások az extrém változékonyságra sokkal rugalmasabbak, ezért, ha nem elég a normális eloszlás egyszer sége, érdemes lehet ezeket használni. A valószín ség-eloszlások egy gazdag családja a stabilis eloszlások, amelyeket Paul Lévy fedezett fel az 1920-as években. Sokáig háttérbe szorult ez az eloszláscsalád a számolási nehézségei miatt, de mára már, a számítógép fejl désének hála, hatékonyan lehet alkalmazni, így egyre inkább el térbe kerül az említett jó tulajdonsága miatt. A szakdolgozat 1. fejezetében néhány alapdenicíóra térünk ki, a 2. fejezetben általánosan a stabilis eloszlásokról, paraméterezésükr l és tulajdonságaikról lesz szó. A 3. fejezetben két hatékony paraméterbecslést, és a mi igényeinknek megfelel illeszkedésvizsgálatot ismerünk meg, melyeket a 4. fejezetben igazi részvényadatsorokra alkalmazunk és értékelünk, vizsgálva hogy mikor és mennyire jó a stabilis modell. Az 5. fejezet a többdimenziós stabilis eloszlások összefoglalásáról szól. 4
1. fejezet Alapfogalmak Az alapvet valószín ségszámítási fogalmakat ismertnek tekintem. A fontosabbakat itt deniálom, felhasználva a [4] és [6] forrásokat. 1.1. Deníció. (Eloszlásban vett konvergencia) Legyenek X 1,..., X n és X valószín ségi változók, F 1,..., F n és F a hozzájuk tartozó eloszlásfüggvények. Azt mondjuk, hogy X n eloszlásban konvergál X-hez, azaz X n X, ha n esetén F n F az utóbbi minden folytonossági pontjában. Továbbiakban, ha konvergenciáról lesz szó, eloszlásban vett konvergenciát fogunk érteni. 1.2. Deníció. Az X 1 és X 2 valószín ségi változók azonos eloszlásúak, ha eloszlásfüggvényeik megegyeznek, azaz X 1 d = X 2. 1.3. Tétel. (Centrális határeloszlás-tétel) Legyenek X 1,..., X n függetlenek, azonos eloszlásúak, közös várható értékük m, szórásnégyzetük σ 2 <. Ekkor minden x R esetén n X i n m P i=1 σ n < x Φ(x), n ahol Φ a standard normális eloszlás eloszlásfüggvénye. 1.4. Deníció. (Vonzási tartomány) Legyenek X 1,..., X n függetlenek, azonos F eloszlásúak. Ekkor F a G vonzási tartományába tartozik, jelölése F DA(G), ha megadható a n, b n normáló sorozat, hogy X 1 +... + X n a n b n G. 1.5. Deníció. (Karakterisztikus függvény) Legyen X valószín ségi változó. A ϕ X (t) = E[e itx ] 5
függvényt X karakterisztikus függvény ének nevezzük. Abszolút folytonos eloszlás esetén, ahol f az X s r ségfügvénye a ϕ X (t) = f(x)e itx dx képlettel számolható ki. Ez másnéven az f Fourier-transzformáltja. A karakterisztikus függvények kés bb fontosak lesznek. Számos hasznos tulajdonságuk van, számunkra az alábbiak a fontosabbak. 1.6. Tétel. (Egyértelm ségi tétel) Legyenek X 1, X 2 valószín ségi változók, karakterisztikus függvényük: ϕ X1 (t), ϕ X2 (t). Tegyük fel, hogy ϕ X1 (t) = ϕ X2 (t), ekkor teljesül, hogy X 1 = X 2. 1.7. Tétel. Legyenek X 1,..., X n független valószín ségi változók, X = X 1 +... + X n. Ekkor az összeg karakterisztikus függvénye egyenl lesz a komponensek karaterisztikus függvényének szorzatával, azaz n ϕ X (t) = ϕ Xk (t). k=1 1.8. Deníció. (Túlélésfüggvény) Legyen X valószín ségi változó, F pedig az eloszlásfüggvénye. Az F = P (X > x) függvényt X túlélés függvényének nevezzük. 1.9. Deníció. (Elfajult eloszlás) Az X valószín ségi változó elfajult eloszlás ú, ha létezik valós c konstans, hogy P (X = c) = 1. 1.10. Deníció. (Gamma-függvény) A gamma-függvény, ahol α > 0 a következ : Γ(α) = 0 t α 1 e t dt. 6
2. fejezet Stabilis eloszlások 2.1. Deníciók Egy fontos tulajdonsága a normális eloszlásnak, hogy független, normális valószín ségi változók összege is normális. A stabilis eloszlások hasonló tulajdonságúak. E fejezet f leg a [4] és a [9] forrásokon alapszik. Továbbiakban végig feltesszük, hogy az eloszlásaink nem elfajultak. 2.1. Deníció. Egy X valószín ségi változó stabilis, ha X 1 és X 2 függetlenek és azonos eloszlásúak X-szel, és bármely pozítiv a-ra és b-re teljesül, hogy megfelel en választott pozítiv c-re és valós d-re. ax 1 + bx 2 d = cx + d (2.1) A deníció szerint két stabilis valószín ségi változó összege is stabilis. A kapcsolat a normális és a stabilis eloszlások között az, hogy a normális eloszlás egy speciális stabilis eloszlás. A deníció általánosítása a következ. 2.2. Tétel. Egy X akkor és csak akkor stabilis, ha minden n > 1-hez létezik c n > 0 és valós d n, hogy ahol X 1,..., X n függetlenek és azonos eloszlásúak X-szel. X 1 +... + X n d = c n X + d n, (2.2) 2.3. Deníció. Szigorúan stabilisnak nevezzük X eloszlását 2.1 és 2.2-ben, ha d = 0 és d n = 0. A stabilis eloszlásokat karakterisztikus függvényeikkel fejezzük ki, mert általában nem adhatóak meg zárt alakban. Ez régebben nehézséget jelentett, de ma már könnyen lehet számítógépek segítségével stabilis eloszlás- és s r ségfüggvényeket számolni. A karakterisztikus függvényekkel a következ módon fejezhetjük ki a stabilis eloszlásokat. 7
2.4. Tétel. Egy X valószín ségi változó stabilis akkor és csak akkor, ha X = d az +b, ahol 0 < α 2, 1 β 1, a, b R és Z egy valószín ségi változó az alábbi karakterisztikus függvénnyel: { exp { t α (1 iβ tg πα 2 E[exp{itZ}] = sgn t)} α 1 exp { t (1 + iβ 2 sgn t log t )} (2.3) α = 1. π Ezek az eloszlások szimmetrikusak 0-ra, ha β = 0 és b = 0. Ebben az esetben az karakterisztikus függvénye egyszer bb alakú: ϕ(t) az = e aα t α. Néhány esetben megadható zárt alakban a stabilis eloszlás: a normális, illetve a Cauchyés Lévy-eloszlás esetében. Speciális stabilis eloszlások továbbá a Landau és a Holtsmarkeloszlás. Standard eloszlásról akkor beszélünk majd, amikor γ = 1 és δ = 0. 2.5. Deníció. (Cauchy eloszlás) Az X Cauchy-eloszlás ú, jelölése X Cauchy(γ, δ), ha a s r ségfüggvénye f(x) = 1 π γ γ 2 + (x δ) 2, x (, ). A Cauchy-eloszlásnak nincs várható értéke és így szórása sem. Szimmetrikus a δ-ra, harang alakú, mint a normális eloszlás, de vastagabb szél. A standard Cauchy-eloszlás pontosan két független standard normális eloszlású valószín ségi változó hányadosa. 2.6. Deníció. (Lévy eloszlás) Az X Lévy-eloszlás ú, jelölése X Lévy(γ, δ), ha a s r ségfüggvénye { } γ 1 γ f(x) = exp, x (δ, ). 2π (x δ) 3/2 2(x δ) A Lévy-eloszlás a Cauchy-eloszlással szemben ferde és még vastagabb szél. Várható értéke nem létezik és így szórása sem. Standard Lévy-eloszlást kapunk 1/X 2 esetén, ahol X standard normális eloszlású. 8
f(x) 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Normális Cauchy Lévy 4 2 0 2 4 x 2.1. ábra. Az ismert standard stabilis eloszlások s r ségfüggvényei 2.2. Paraméterezés Egy általános stabilis eloszlást négy paraméterrel fejezünk ki: index α (0, 2], ferdeség β [ 1, 1], skála γ > 0 és hely δ R paraméterrel. A stabilis eloszlások paraméteres jelölése a következ : S(α, β, γ, δ), ahol α, β, γ paraméterek az eloszlás alakját határozzák meg, δ pedig az eltolásért felel. A standardizált esetben, azaz, ha γ = 1 és δ = 0, az S(α, β) jelölést használjuk. Több fajta paraméterezés létezik, más-más sajátosságokkal, de mi csak egyet fogunk használni, amivel az R programcsomagban számolunk majd. A paraméterezést melyet használunk, S 0 paraméterezésnek hívják. 2.7. Deníció. Egy X S(α, β, γ, δ), ha { X = d γ(z β tg πα) + δ α 1 2 γz + δ α = 1, (2.4) ahol Z karakterisztikus függvényét (2.3) adja meg. Az X karakterisztikus függvénye { exp { γ α t α (1 + iβ tg πα 2 E[exp{itX}] = sgn t)( γt 1 α 1) + iδt } α 1 exp { γ t ( 1 + iβ 2 sgn t log (γ t )) + iδt } (2.5) α = 1. π Normális eloszlást kapunk, ha α = 2 és β = 0, továbbá a szórás paramétere módosul: S(2, 0, γ, δ) = N(δ, 2γ 2 ). Cauchy-eloszlást kapunk, ha α = 1 és β = 0, Lévy-eloszlást, ha α = 0.5 és β = 1. Ha β = 0, mindig szimmetrikus az eloszlás. Ha α < 1 és β = ±1, akkor félegyenesre koncentrálódik a s r ségfüggvény, egyébként az egész számegyenesre. 9
E paraméterezés esetén az eloszlás ugyanúgy standardizálható, mint a normális eloszlás: (X δ)/γ = S(α, β). S(α,0,1,0) f(x) 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 α = 0.5 α = 0.75 α = 1 α = 1.5 α = 2 4 2 0 2 4 x 2.2. ábra. Az α hatása a s r ségfüggvényre S(1,β,1,0) f(x) 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 β = 1 β = 0.5 β = 0 β = 0.5 β = 1 4 2 0 2 4 x 2.3. ábra. A β hatása a s r ségfüggvényre 10
S(1,0,γ,0) f(x) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 γ = 0.3 γ = 0.5 γ = 1 γ = 1.5 γ = 2 4 2 0 2 4 x 2.4. ábra. A γ hatása a s r ségfüggvényre 2.3. Elméleti tulajdonságok Annak ellenére, hogy nincs zárt alakban megadható s r ségfüggvényük a stabilis eloszlásoknak, hasznos tulajdonságokkal rendelkeznek. 2.8. Tétel. Minden stabilis eloszlás s r ségfüggvénye végtelenszer dierenciálható mind a négy paraméterben. Vezessük be az f(x; α, β, γ, δ) jelölést a stabilis eloszlások s r ségfüggvényeire, az eloszlásfüggvényeikre pedig az F (x; α, β, γ, δ) jelölést. Ezek standardizált esetre rendre legyenek f(x; α, β) és F (x; α, β). Ahogy korábban már említettük, egy stabilis eloszlás s r ségfüggvénye a ferdeségt l félegyenesre koncentrálódhat. Ez pontosan kifejezhet. 2.9. Lemma. Egy stabilis eloszlás tartója, azaz, ahol f pozitív: [δ γ tg πα, ) α < 1 és β = 1 2 supp f(x; α, β, γ, δ) = (, δ + γ tg πα 2 ] α < 1 és β = 1 (, ) egyébként. Ahogy α 1 balról, úgy tg πα, illetve α 1 jobbról, úgy tg πα. Az α = 1 2 2 pontban megszakad a függvény, de ahogy tart α 1 balról, úgy f tartója is b vül a végtelenig. 2.10. Tétel. (Tükrözési tulajdonság) Bármely α, β és Z S(α, β) esetén teljesül: Z(α, β) d = Z(α, β). 11
Ha X S(α, β, γ, δ), akkor X S(α, β, γ, δ), így f(x; α, β, γ, δ) = f( x; α, β, γ, δ) és F (x; α, β, γ, δ) = 1 F ( x; α, β, γ, δ). f(x) 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 F(x) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 4 2 0 2 4 x 4 2 0 2 4 x α = 0.5 α = 1.3 α = 1.8 2.5. ábra. Szimmetrikus standard stabilis eloszlások s r ség- és eloszlásfüggvénye Ahogyan az α csökken, úgy egyre csúcsosabbá, a csúcs szomszédos környezetében laposabbá válik a görbe és vastagabb szél lesz. Az α = 2 esetben, azaz amikor normális eloszlást kapunk, akkor (2.3) függvény valós, melyet a β nem befolyásol, így mindig szimmetrikus az eloszlás. A 2.6 ábrán látható, hogy α minél közelebb van 2-h z, úgy β egyre kevésbé fogja befolyásolni a s r ségfüggvényt, szimmetrikusabbá válik. Minden esetben unimodálisak, de nem lehet zárt alakban megadni a módusz helyét. Jelöle m(α, β) a móduszt, standardizált stabilis esetben. Ekkor a tükrözési tulajdonság miatt m(α, β) = m(α, β). Szimmetrikus esetben a módusz helye δ. 12
f(x) 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 F(x) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 4 2 0 2 4 x 4 2 0 2 4 x β = 0 β = 0.5 β = 1 2.6. ábra. Az S(1.9, β)-re β hatása A zárt forma hiánya stabilis s r ség- és eloszlásfüggvényeknek sok számolási nehézséget jelent. Egyik módja a s r ségfüggvény kiszámolásának, hogy a karakterisztikus függvényt vissza transzformáljuk. A másik módszer, hogy numerikusan integráljuk az eloszlásokat meghatározó implicit alakban megadott függvényeket, melyekr l alább lesz szó, ahogy [10]-ben látható. Legyen ζ = β tg πα és legyen X S(α, β). Ekkor 2 ha α 1 és x > ζ: f(x; α, β) = α(x ζ) 1 α 1 π α 1 F (x; α, β) = c 1 (α, β) + ha α 1 és x = ζ: π 2 ξ sgn(1 α) π } V (y; α, β) exp { (x ζ) α α 1 V (y; α, β) dy π 2 ξ f(x; α, β) = Γ(1 + 1 ) cos(ξ) α π(1 + ζ 2 1 2α F (x; α, β) = 1 ( π ) π 2 ξ } exp { (x ζ) α α 1 V (θ; α, β) dθ 13
ahol ha α 1 és x < ζ a tükrözési tulajdonság miatt: ha α = 1: f(x; 1, β) = { 1 e πx 2β 2 β f(x; α, β) = f( x; α, β) F (x; α, β) = 1 F (x; α, β) π } 2 π V (y; 1, β) exp { e πx 2β V (y; 1, β) dy β 0 2 1 β = 0 π(1+x 2 ) 1 π } 2 π exp { e πx 2β π V (θ; 1, β) dθ β > 0 2 F (x; 1, β) = 1 2 + 1 arctg x β = 0 π 1 F (x; 1, β) β < 0 ξ = { 1 α α 1 π 2 α = 1 és ( cos(αξ) 1 cos y α 1 V (y; α, β) = ( sin α(ξ + y) 2 + βy ) π π exp 2 cos y c 1 (α, β) = ) α α 1 { 1 β ( π 2 + βy) tg y } cos(αξ + (α 1)y) cos y { 1 π 2 α < 1 1, α > 1. α 1 α = 1, β 0 Tegyük fel, hogy α < 2, vagyis nem normális eloszlást kapunk. Ekkor az eloszlás vastag szél lesz, mely azt jelenti, hogy az eloszlás szélei nem exponenciális rendben csengenek le. 2.11. Tétel. (Szélek közelítése) Legyen X S(α, β, γ, δ), 0 < α < 2, 1 < β 1. Ekkor ahogy x, P (X > x) γ α c α (1 + β)x α f(x; α, β, γ, δ) αγ α c α (1 + β)x (α+1), ahol c α = sin παγ(α) 2 g(x) és a g(x) h(x) jelölés a lim x π h(x) tükrözési tulajdonság alapján 1 β < 1 esetre a következ : = 1 összefüggést jelenti. A P (X < x) γ α c α (1 β)x α f( x; α, β, γ, δ) αγ α c α (1 β)x (α+1). 14
Az ilyen szélek hasonlóak a Pareto eloszlás széléhez. A vastag szél egyik következménye, hogy nem biztos, hogy létezik minden momentuma X-nek. Az els két momentum, a várható érték és a szórás, melyekkel a normális eloszlás kifejezhet, bizonyos esetekben végtelen nagyok lehetnek. Ezekre vonatkozik a következ két tétel. 2.12. Tétel. Legyen X S(α, β, γ, δ), ahol α < 2. Ekkor X r-ik momentuma pontosan akkor véges, ha r < α. A tétel következménye, hogy a stabilis eloszlásoknak α < 2 esetén nincsen véges szórása, vagyis második momentuma, várható értéke viszont létezhet. 2.13. Tétel. Tegyük fel, hogy 1 < α 2. Ekkor X S(α, β, γ, δ) várható értéke EX = δ βγ tg πα 2 (2.6) Ha β = 0, az eloszlás szimmetrikus és az el z tétel miatt δ lesz a várható értéke. Ahogyan α 1 jobbról, úgy tg πα miatt a várható érték egyre n, α = 1 esetén már nincs 2 értelmezve. 2.14. Tétel. Legyenek X S(α, β, γ, δ), X 1 S(α, β 1, γ 1, δ 1 ) és X 2 S(α, β 2, γ 2, δ 2 ). Ekkor a következ k teljesülnek: 1. Minden a, b R esetén ax + b S(α, sgn(a)β, a γ, aδ + b), 2. Ha X 1 és X 2 függetlenek, akkor X 1 + X 2 S(α, β, γ, δ), ahol β = β 1γ1 α + β 2 γ2 α, γ α = γ α γ1 α + γ2 α 1 + γ2 α, { δ 1 + δ 2 + (tg πα 2 δ = )(βγ β 1γ 1 β 2 γ 2 ) α 1 δ 1 + δ 2 + 2 (βγ log γ β π 1γ 1 log γ 1 β 2 γ 2 log γ 2 ) α = 1. Az 1. szerint, γ és δ paraméterek hasonlóképpen m ködnek, mint a normális eloszlás paraméterei, valóban úgy standardizálhatunk velük, ahogy korábban említettük. A 2.-ban látható, hogy a szórásnégyzet additivitás tulajdonságát γ α veszi át. A 2. tétel általánosítása a következ. 2.15. Tétel. Legyen X j S(α, β j, γ j, δ j ), j = 1, 2... n függetlenek és tetsz leges w j -k esetén az összeg w 1 X 1 + w 2 X 2 +... + w n X n S(α, β, γ, δ), 15
ahol n γ α = w j γ j α, j=1 n j=1 β = β j sgn w j w j γ j α, γ { α n j=1 δ = w jδ j + tg πα(βγ n 2 j=1 β jw j γ j ) α 1, n j=1 w jδ j + 2 (βγ log γ n π j=1 β jw j γ j log w j γ j ) α = 1. 2.16. Tétel. Ha X j -k függetlenek és azonos eloszlásúak, ahol X j S(α, β, γ, δ), akkor X 1 + X 2 +... + X n S(α, β, n 1/α γ, δ n ) ahol δ n = { nδ + γβ tg πα 2 (n1/α n) α 1, nδ + γβ 2 n log n α = 1. π A 2.16 a 2.2 tétel átfogalmazása. A tételb l következik, hogy 2.2 tételben a c n sorozat csakis n 1/α lehet. Szigorúan stabilis eloszlást a következ képpen kapunk. 2.17. Tétel. Legyen X S(α, β, γ, δ), szigorúan stabilis akkor és csak akkor, ha 1. δ βγ tg πα 2 = 0, amikor α 1, 2. β = 0, amikor α = 1. A tétel következménye, hogy α = 1 esetén csak a szimmetrikus stabilis eloszlások szigorúan stabilisak. Ekkor δ tetsz legesen választható. Ha α 1, akkor tetsz leges β mellett δ-tól függ en szigorúan stabilis kapható. A centrális határeloszlás tétele a stabilis eloszlásokra nem vonatkozik, ha α < 2, mert nem véges a szórásuk. Ekkor a CHT egy általánosabb formája igaz. 2.18. Tétel. (Általánosított centrális határeloszlás) Egy Z stabilis, ahol 0 < α 2 akkor és csak akkor, ha létezik X 1, X 2,..., X n független, azonos eloszlású valószín ségi változók és valós a n,b n normáló sorozatok, hogy X 1 + X 2 +... + X n b n a n Z. A tételb l következik, hogy stabilis eloszlásoknak nem üres a vonzási tartománya. 16
2.4. Szimuláció Speciális stabilis eloszlásokat lehetséges szimulálni egyenletes eloszlás megfelel transzformációjával. Legyenek U, U 1, U 2 független, egyenletes, Uni(0, 1) eloszlású változók. A következ kben bemutatjuk a szimulációkat az ismert stabilis eloszlásokra. 2.19. Tétel. (Box-Muller algoritmus) Legyenek X 1, X 2 valószín ségi változók. Ekkor, ha X 1 = µ + σ 2 log U 1 cos(2πu 2 ) X 2 = µ + σ 2 log U 1 cos(2πu 2 ), akkor X 1, X 2 független N(µ, σ) eloszlású valószín ségi változók. Bizonyítás. Az egyszer ség kedvéért legyenek X 1 és X 2 független standard normális eloszlású változók. Ez alapján a fenti egyenletrendszer átrendezve { } 1 u 1 = exp 2 (x2 1 + x 2 2) u 2 = 1 ( ) x2 2π tg 1. Számoljuk ki u Jacobi-mátrixának determinánsát: u 1 u 1 x 1 x 2 x 1 e 1 2 (y2 1 +y2 2 ) x 2 e 1 2 (y2 1 +y2 2 ) = u 2 u 2 1 x 2 /x 2 1 1 1/x 1 x 1 x 2π 1 + (x 2 /x 1 ) 2 2π 1 + (x 2 /x 1 ) 2 2 x 1 = 1 2π ( e 1 2 (x2 1 +x2 2 ) 1 + 1 + (x 2 /x 1 ) 2 ( x2 x 1 ) 2 ) Legyen az együttes s r ségfüggvénye x 1, x 2 -nek g(x 1, x 2 ). Mivel u 1 és u 2 egyenletes eloszlásúak, ezért felírható g(x 1, x 2 ) = (u 1, u 2 ) (x 1, x 2 ) = 1 e 1 1 2 x2 1 e 1 2 x2 2 2π 2π alakban [5], mely egy független komponens kétdimenziós normális eloszlás s r ségfüggvénye. 2.20. Állítás. Legyen X valószín ségi változó. Ha akkor X Cauchy(γ, δ). X = γ tg (π(u 0.5)) + δ, Bizonyítás. A standard Cauchy-eloszlás eloszlásfüggvénye F (x) = 1 π arctg(x) + 1 2, melyet x-re rendezve visszakapjuk az állítást. 17
2.21. Állítás. Legyen X valószín ségi változó, Z N(0, 1). Ha akkor X Lévy(γ, δ). X = γ 1 Z 2 + δ, Általános stabilis eloszlásokat egyenletes és exponenciális eloszlások segítségével lehet szimulálni. 2.22. Tétel. (Chambers szimuláció) Legyen W exponenciális eloszlású λ = 1 paraméterrel, U Uni( π, π ) eloszlású, 0 < α 2. Ekkor 2 2 ( ) (1 α)/α sin αu cos((α 1)U) α 1, Z = (cos U) 1/α W tg U α = 1, Z S(α, 0), azaz szimmetrikus standard stabilis eloszlású. Nem szimmetrikus esetben, ahol 1 β 1, legyen c = arctg(β tg( πα ))/α, ahol α 1. Ekkor 2 ( ) (1 α)/α sin α(c + U) cos(αc + (α 1)U) α 1 Z = (cos αc cos U) 1/α W π 2 (( π2 + βu) tg U β log W cos U ) 2 π π + βu α = 1 2 { S(α, β, 1, βγ tg πα 2 Z ) α 1 S(α, β, 1, 0) α = 1 eloszlású lesz. Ha α = 2, akkor viszakapjuk a Box-Muller algoritmust. 18
3. fejezet Paraméterbecslés és illeszkedés Többféle módszer létezik a paraméterek becslésére [3][8][11]. A legegyszer bb mód az α becslésére az, hogy a tapasztalati eloszlásfüggvény jobb szélét egy log-log skálán ábrázoljuk. Egy ilyen ábrán az eloszlás széle egyenessé válik, mert a szélek hatványrendben csökkenek (2.11 tétel). Ennek az egyenesnek meredeksége fogja adni α becslését, ahol a meredekség α-val egyenl. A probléma ezzel a módszerrel az, hogy nem lehet megmondani pontosan mikortól lesz ilyen az eloszlás széle és nagyon érzékeny a minta nagyságára is. n=10^4 mintanagyság n=10^6 mintanagyság log(1 Fn(x)) 8 6 4 2 0 m= 2.6339 log(1 Fn(x)) 12 10 8 6 4 2 0 m= 1.876 8 6 4 2 0 2 4 10 5 0 5 log(x) log(x) 3.1. ábra. Független S(1.8, 0) mintákra α becslése A függ leges folytonos vonal jelöli, hogy honnan alkalmaztunk regressziót. A szélre illesztett regressziós egyenest a szagatott vonal jelöli, aminek a meredekségét vizsgáljuk. Ahogy látható, kisebb mintára a módszer er sen túlbecsüli a paramétert, ˆα = 2.6339 lesz a becsült érték, nagyobb mintára már pontosabb, ˆα = 1.876-ot kapunk. Ez nem 19
elég hatékony, de egy kézenfekv módszer α becslésére. Ennél hatékonyabb módszerek léteznek. 3.1. Kvantilis módszer Tegyük fel, hogy X 1, X 2,..., X n független, azonos S(α, β, γ, δ) eloszlású minta, ahol az α [0.5, 2] és β [ 1, 1], melynek paramétereit becsülni szeretnénk. Legyen x p, a p- kvantilise a feltett eloszlásnak, ˆx p pedig a mintáé. Ekkor ˆx p konzisztens becslése lesz x p -nek. Legyen ν α = x 0.95 x 0.05 x 0.75 x 0.25, mely független γ-tól és δ-tól és szigorúan csökken függvény α függvényében. Ennek megfelel en ˆν α = ˆx 0.95 ˆx 0.05 ˆx 0.75 ˆx 0.25 konzisztens becslése lesz ν α -nak, ahol ˆν α a tapasztalati érték. Legyen ν β = x 0.95 + x 0.05 2x 0.5 x 0.75 x 0.25 és ˆν β tapasztalati érték az el z ek szerint ν β becslése, mely szintén független γ-tól és δ-tól, és szigorúan monoton növ β-ban. A ν α és ν β függvények α és β függvényei, melyeket invertálva ν α = Φ 1 (α, β) ν β = Φ 2 (α, β), α = ψ 1 (ν α, ν β ) β = ψ 2 (ν α, ν β ) függvényeket kapjuk, így α és β paraméterek ν α és ν β függvényei lesznek. A Φ és ψ függvények zárt alakban nem adhatóak meg. Bizonyos pontokban kiszámoljuk az értékeiket, és a köztes értékeket interpolációval kaphatjuk meg (6.2 és 6.3 táblázatok a Φ függvények, a 6.4 és 6.5 táblázatok a ψ függvények értékeit tartalmazzák). Mivel Φ 1 (α, β) = Φ 1 (α, β), Φ 2 (α, β) = Φ 2 (α, β), ψ 1 (ν α, ν β ) = ψ 1 (ν α, ν β ) és ψ 2 (ν α, ν β ) = ψ 2 (ν α, ν β ) így kevesebb számolásra van szükség. Az α és β paraméterek az el z ek alapján konzisztensen becsülhet ek az ˆα = ˆψ 1 (ˆν α, ˆν β ) ˆβ = ˆψ 2 (ˆν α, ˆν β ) statisztikákkal. A γ és δ paraméterekre is adható becslés, ahogy ezt a következ lemma mutatja. 20
3.1. Lemma. Legyen X S(α, β, γ, δ) és Z S(α, β) és legyen x p és z p rendre X és Z p-kvantilise. Ekkor bármely 0 < p 1, p 2 < 1-re, ahol p 1 p 2 teljesül, hogy γ = x p 2 x p1 z p2 z p1 és δ = x p1 γz p1. (3.1) Bizonyítás. Az X eloszlása felírható γz + δ = X-ként. Ekkor bármely 0 < p < 1-re melyb l következik 3.1. Ezek alapján a becsléseink γ-ra és δ-ra z p = x p δ, γ és ˆγ = ˆx 0.75 ˆx 0.25 ẑ 0.75 ẑ 0.25 ˆδ = ˆx 0.5 ˆγẑ 0.5, melyek szintén konzisztensek. 3.2. Maximum likelihood becslés Legyen a paraméter vektorunk θ = (α, β, γ, δ) és a s r ségfüggvénye a stabilis eloszlásunknak f(x; θ). A paraméterterünk a korábbiak szerint Θ = (0, 2] [ 1, 1] (0, ) (, ). 3.2. Deníció. (Maximum likelihood becslés) Legyen X 1, X 2,..., X n független és azonos stabilis eloszlású mintánk, ismeretlen θ 0 paraméterekkel. A minta likelihood függvénye L(X; θ) = n f(x i ; θ). i=1 Ennek a függvénynek a logaritmusát log-likelihood függvénynek nevezzük: l(x; θ) = n log f(x i ; θ). i=1 A likelihood függvények maximumhelye a θ 0 maximum likelihood becslését adja. Rövidítve ML. A maximum-likelihood becslés nehézsége stabilis eloszlásokra az, hogy nem adhatóak meg zárt alakban a s r ségfüggvények. Ennek ellenére numerikusan megadhatóak közelítések. Amikor θ 0 a paramétertér belsejében van, akkor a ML becslés szokásos tulajdonságai érvényesek. A becslés konzisztens és aszimptotikusan normális θ 0 várható értékkel és a 21
kovariancia mátrixát n 1 B adja meg, ahol B = (b ij ), a 4 4-es Fisher-féle információs mátrix inverze. Ha θ 0 a paramétertér szélén van, akkor a módszer sokkal hatékonyabb. A Fisher-mátrix, jelölése I, a következ : I ij = A kondencia intervallumai a négy paraméternek f θ i f θ j 1 f dx. σ ˆθ i ± z ˆθi α/2 n lesz, ahol σ ˆθ1,..., σ ˆθ4 a B kovariancia mátrix diagonális elemeinek a négyzetgyöke. A korrelációs együtthatókat p ij = b ij / b ii b jj adja meg. Amikor β < 0, akkor a szórások megegyeznek β esetével, és a korrelációs együtthatók ( 1) i+j p ij -ra módosulnak. 3.3. Anderson-Darling próba Az Anderson-Darling próba tapasztalati eloszlásfüggvényen alapuló, illeszkedésvizsgálatra használt próba. Azt feltételezzük, hogy egy n elem független mintának az eloszlása megegyezik az általunk feltett eloszlással (egymintás eset). Ez a nullhipotézis. Azért ezt a próbát használjuk, mert ez a szélekre jobban koncentrál, a széls séges értékeket jobban súlyozza. Ez fontos, mert azt szeretnénk, hogy a széls ségesebb események bekövetkezését minél pontosabban tudjuk modellezni, mint pl. részvény áraknál a nagyobb ingadozásokat. 3.3. Deníció. Legyen F n a tapasztalati eloszlásfüggvény, F pedig a feltételezett eloszlás eloszlásfüggvénye. Deniáljuk F n és F négyzetes távolságát a következ módon: A 2 = n (F n (x) F (x)) 2 df (x) F (x)(1 F (x)) A próbastatisztikát következ képpen számoljuk: n A 2 2i 1 = n S, ahol S = (log z i + log(1 z n+1 i )), n ahol a rendezett minta i-edik eleme X i, így z i = F (X i ). i=1 Azt fogjuk feltételezni a kés bbiekben, hogy a mintáink stabilis eloszlásúak, ismeretlen paraméterekkel. A paramétereket el ször becsüljük, majd azt vizsgáljuk, hogy a minta stabilis eloszlásból való-e, a korábban becsült paraméterekkel. Ahhoz, hogy elfogadható legyen a nullhipotézis, a mintára számolt próbastatisztika értékének kisebbnek kell lennie, mint az adott szignikancia szinthez tartozó kritikus érték. Mivel alapvet en nem ismerjük ezeket, csak bizonyos eloszlásokra, ezért azokat is meg kell határoznunk. Ezt úgy tesszük, hogy generálunk sok, például 1000 darab S(ˆα, ˆβ, ˆγ, ˆδ) eloszlású véletlen, az eredeti mintával megegyez mintanagyságú mintát, és mindre kiszámoljuk a próbastatisztika értékét. Így a próbastasztika eloszlásáról többet tudunk. Az α (ez nem ugyanaz az α, mint az eloszlás paramétere) szignikancia szinthez tartozó kritikus érték meg fog egyezni az A 2 eloszlásának (1 α)-kvantilisével, mivel egyoldalú próbáról van szó. 22
4. fejezet Alkalmazások Ahogyan már korábban említettük, a mai pénzügyi eljárások jelent s része azon a feltételezésen alapszik, hogy véletlen változók normális eloszlást követnek. Ez gyakran nem reális, mivel ezek eloszlása lehet vastag szél, illetve ferde is. Ilyen esetekben a normális eloszlás nem használható modellezésre. Jellemz en, részvények hozamát vastag szél eloszlásokkal jobban lehet közelíteni, mert könnyen el fordul széls ségesebb változékonyság. Ez az egyik ok, hogy egy b vebb eloszláscsaládot, a stabilis eloszlásokat használjunk [12][13][16]. A másik oka az általánosított centrális határeloszlás tétele, miszerint a stabilis eloszlások az egyetlen lehetséges határeloszlása megfelel en normált és centrált, független, azonos eloszlású változók összegének és a pénzügyi életben sok mennyiség tekinthet összegnek (pl. a napi hozam az óránkénti hozamok összegének). Különböz napi részvény adatsorokat fogunk elemezni stabilis eloszlások segítségével. A New York-i t zsdér l a Johnson & Johnson (JNJ), JPMorgan Chase (JPM), Morgan Stanley (MS) és Bank of America (BAC) papírokat, a Nasdaq-ról pedig az Apple (APPL) részvényeket fogjuk elemezni. Ezeken kívül a Dow Jones t zsde indexet (DJIA) is, mely a 30 legnagyobb Amerikai Egyesült Államokbeli vállalat együttesének t zsdei állapotát tükrözi. Az egyes részvényeket a cégek t zsdei bevezetését l 2015. november 13-ig, a Dow Jones t zsde indexet pedig 1970. január 2-t l 2015. október 30-ig fogjuk vizsgálni. Az adataink igazítva vannak minden osztalék zetéshez és részvényfelosztáshoz a periódusban. Meg kell jegyeznünk, hogy ez az id szak magába foglalja az 1987-es Fekete Hétf t, amikor is 22.61%-ot esett 1 nap alatt a DJIA, a 2007-2009-es gazdasági világválságot és több kisebb krachot. 23
A vizsgálandó részvények idősorai Záró érték (dollárban) 0 50 100 150 Apple Johnson & Johnson JPMorgan Chase Morgan Stanley Bank of America 1970 1980 1990 2000 2010 Idő Dow Jones index idősora Érték (dollárban) 0 5000 10000 15000 1970 1980 1990 2000 2010 Idő 4.1. ábra. A vizsgálandó részvények és a DJIA id sorai Az adatokon transzformációt hajtunk végre. A napi loghozamot fogjuk vizsgálni a kés bbiekben, melyet a következ képpen számoljuk: ( ) S(t + 1) r(t) = log, S(t) ahol S(t) a t-ik id pontban lév értéke az adott részvénynek. A transzformáció után egy közel 0 körül ingadozó adatsort kapunk. 24
Apple loghozam Johnson & Johnson loghozam JPMorgan Chase loghozam r(t) 0.6 0.4 0.2 0.0 0.2 r(t) 0.20 0.10 0.00 0.05 0.10 r(t) 0.3 0.2 0.1 0.0 0.1 0.2 1980 1990 2000 2010 t 1970 1980 1990 2000 2010 t 1985 1990 1995 2000 2005 2010 2015 t Morgan Stanley loghozam Bank of America loghozam Dow Jones index loghozam r(t) 0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 r(t) 0.3 0.2 0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 r(t) 0.2 0.1 0.0 0.1 1995 2000 2005 2010 2015 t 1990 1995 2000 2005 2010 2015 t 1970 1980 1990 2000 2010 t 4.2. ábra. Az részvények loghozamai Az új, loghozamokat tartalmazó adatokat szeretnénk stabilis eloszlásokkal modellezni. A transzformáció után a Morgan Stanley adatsora 5725, a Dow Jones adatsora 11601 elemb l áll. Az összes többi hossza e két szám köze esik. A hozam adatokat felszorozzuk 100-al, hogy a napi százalékos logaritmikus változás paramétereit becsüljük meg. Mind a kett, már korábban bemutatott módszerrel becslünk. α β γ δ Kvantilis ML Kvantilis ML Kvantilis ML Kvantilis ML Apple 1.553 1.699 0.081 0.055 1.544 1.649-0.030 0.043 Johnson & Johnson 1.542 1.717 0.087 0.107 0.788 0.853-0.017 0.015 JPMorgan Chase 1.464 1.573 0.010 0.010 1.103 1.156-0.003 0.022 Morgan Stanley 1.485 1.574 0.031 0.021 1.346 1.403-0.011 0.030 Bank of America 1.448 1.503 0.020-0.006 1.051 1.088-0.006 0.033 Dow Jones 1.562 1.685-0.035-0.053 0.544 0.574 0.040 0.041 4.1. táblázat. A loghozamok paraméter becslései kvantilis és ML módszerrel Az fbasics csomag stablefit kvantilis és ML módszerét alkalmaztuk. Alapvet en az ML a pontosabb, de ezzel együtt sokkal számolás igényesebb is. Míg a kvantilis módszer lefutásához 0.03 másodpercre volt szükség a Morgan Stanley loghozamokra, addig a maximum likelihood 2944 másodperc alatt futott le. 25
Apple loghozamok Bank of America loghozamok F(x) 0.00 0.05 0.10 0.15 F(x) 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 10 5 0 5 10 x 10 5 0 5 10 x JPMorgan Chase loghozamok Johnson & Johnson loghozamok F(x) 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 F(x) 0.0 0.1 0.2 0.3 10 5 0 5 10 x 10 5 0 5 10 x Morgan Stanley loghozamok Dow Jones loghozamok F(x) 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 F(x) 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 10 5 0 5 10 x 10 5 0 5 10 x 4.3. ábra. A loghozamok nem-paraméteres s r ségbecslései és azok stabilis illesztései. A folytonos vonal a nemparaméteres módszerrel becsült s r ség, a szaggatott a kvantilis, a pont-vessz s a ML módszerrel becsült paraméter stabilis eloszlást jelöli. A ML módszer kevésbé vastag szél eloszlásokat produkált, minden esetben nagyobb α-t becsült, mint a kvantilis módszer. Hogy a becsült eloszlások tekinthet ek-e a valódi eloszlásoknak, azt majd az Anderson-Darling teszt dönti el. Habár létezik határeloszlása a statisztikának [7] szerint, itt mi nem azzal számolunk, mert az eloszlások paramétereit becsültük. 26
Az Anderson Darling statisztika sűrűségbecslései f(x) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Határeloszlás S(1.717, 0.107) S(1.685, 0.053) S(1.562, 0.035) S(1.503, 0.006) S(1.485, 0.031) 0 1 2 3 4 5 6 x 4.4. ábra. A határeloszlás és a paraméteres statisztikák A kritikus értékeket 5%-os szignikancia szint mellett fogjuk vizsgálni. A kapott eloszlások 0.95-kvantilisei lesznek a kritikus értékek. A próbát elfogadjuk 3.3 pont szerint, azaz, ha a loghozamokra számolt statisztikák p-értéke nagyobb, mint a szignikancia szint. AAPL JNJ JPM MS BAC DJIA Kritikus érték 2.412 2.845 2.737 2.637 2.633 2.550 Kvantilis A 2 4.372 7.197 3.758 1.567 2.612 3.139 P-érték 0.0096 0.001 0.0031 0.1882 0.0554 0.0390 Kritikus érték 2.564 2.504 2.584 2.655 2.527 2.547 ML A 2 3.7246 7.433 3.621 1.319 1.882 4.496 P-érték 0.0146 0.001 0.0079 0.2207 0.0880 0.0059 N(0, 1) A 2 96.146 86.456 148.113 134.697 247.864 132.943 4.2. táblázat. Az Anderson-Darling statisztika kritikus értékei és eredményei A kapott eredmények szerint a Morgan Stanley és a Bank of America loghozam modelljei mind a két becslési módszer szerint elfogadhatóak, az összes többi esetben elutasítjuk a stabilis eloszlás illeszkedését. A jobban illeszked modellt a ML módszer adta mindkett nél, mert összességében nagyobb p-értékeket kaptunk. A normalitás teszteléséhez a nortest csomag Anderson-Darling próbáját használtuk. Normalitásra a statisztika nagyon magas értékeket adott, minden loghozam próbájához 10 16 nagyságrend p-érték tartozik, mindegyikre elutasítjuk a próbát. A határeloszlás 5%-os szignikancia szinthez tartozó kritikus értéke 2.492, emiatt összességében a becsült kritikus értékeink kevésbé szigorúak a határeloszláshoz képest. Látható, hogy a teljes periódusra legtöbb esetben nem alkalmazható stabilis eloszlás. Ennek oka az, hogy sok tényez befolyásolja a részvényeket, a tényleges eloszlás egy keverék eloszlás lesz. Meg fogjuk vizsgálni, hogy kisebb id blokkokra illeszthet -e stabilis 27
eloszlás. Egy olyat vizsgálunk, ahol helyes volt a modell a teljes periódusra, illetve egyet, amelyikre nem. Az egyik a Morgan Stanley, amire a legjobb volt az illeszkedés, a másik az Apple, ahol elutasítottuk a nullhipotézist. Mindkét részvény teljes periódusát felosztjuk 7 éves blokkokra. A Morgan Stanley loghozama 1993. február 23.-tól, az Apple-é pedig 1980. december 12.-t l indul. Az els blokkok a legels id ponttól számítva 7 év hosszúak, majd ezt eltoljuk 1 évvel, így kapjuk a másodikat és így tovább, így a Morgan Stanley-nél 16 blokkot kapunk, az Apple-nél pedig 29-et. Morgan Stanley loghozam Apple loghozam Feltett eloszlás 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Feltett eloszlás 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Empirikus eloszlás Empirikus eloszlás 4.5. ábra. A loghozamok és feltett eloszlásaik szórásstabilizált PP plotjai [15] a teljes periódusra a ML módszerrel kapott paraméterekre. A szórásstabilizált plot érdekes tulajdonsága, hogy egységes lesz a pontok szórása az y = x egyenest l. Ez különösen hasznos vastag szél eloszlások esetén, mert ezeknél tipikusan jobban szórnak a kvantilisek. Ezekben a 7 éves blokkokban kb. 1760 érték van. Minden loghozam blokk eloszlását megbecsültük mind a két módszerrel. Továbbra is, gyorsaságot tekintve a kvantilis módszer sokkal hatékonyabb. 28
Morgan Stanley loghozamblokkok paraméterbecslései Maximum likelihood Kvantilis módszer Paraméterérték 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 Paraméterérték 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 5 10 15 5 10 15 Blokk Blokk Apple loghozamblokkok paraméterbecslései Maximum likelihood Kvantilis módszer Paraméterérték 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 Paraméterérték 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 0 5 10 15 20 25 30 0 5 10 15 20 25 30 Blokk α β γ δ Blokk 4.6. ábra. A blokkok paraméterbecslései az eddig használt módszerekkel Az α viselkedését érdemes meggyelni: a 2008-as válságot lefed blokkokat vastagabb szél stabilis eloszlások jellemzik. Ez reális, mert a válságkor hirtelen estek a részvényárak. A negatív ferdeség igazolja is, hogy az árak ingadozása jellemz en értékcsökkenés volt. Pénzügyi szempontból látható, hogy ez a két paramétere az eloszlásnak a legfontosabb. Az Anderson-Darling próbát minden blokkra elvégezzük, de csak a maximum-likelihood mód- 29
szer által becsült paraméterekre tesztelünk, mert a teljes periódusnál az ML összességében pontosabb becslést produkált. A módszerünk számításigényessége miatt a blokkokra már nem a becsült statisztika értékeivel vetjük össze az eredményeket, hanem a nem becsléses esetre kapott határeloszlással. Ehhez az ADGofTest csomagot használjuk, amely a [7]-ben látható határeloszlással számol. Blokk 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. A 2 0.717 0.802 0.812 0.902 0.747 0.842 0.866 0.572 P-érték 0.545 0.479 0.473 0.413 0.521 0.452 0.436 0.675 Normalitásra A 2 11.052 12.828 11.700 8.167 7.005 10.080 13.079 19.390 Blokk 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. A 2 0.934 0.292 0.279 0.437 0.816 0.969 0.682 0.432 P-érték 0.394 0.944 0.953 0.811 0.47 0.374 0.574 0.816 Normalitásra A 2 16.645 98.693 103.861 101.422 86.885 71.719 66.961 88.271 4.3. táblázat. A Morgan Stanley-re számolt statisztika értékek Blokk 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. A 2 1.873 1.405 0.834 0.942 0.769 0.744 0.577 0.523 P-érték 0.108 0.201 0.457 0.389 0.504 0.523 0.67 0.723 Normalitásra A 2 10.096 12.687 15.456 11.144 13.517 13.72 18.453 10.471 Blokk 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. A 2 0.557 0.635 0.428 0.402 0.339 0.538 0.773 0.565 P-érték 0.69 0.616 0.82 0.847 0.906 0.708 0.501 0.682 Normalitásra A 2 11.602 12.109 18.985 20.433 17.5 25.704 22.019 19.828 Blokk 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. A 2 0.435 0.443 0.74 0.862 0.822 0.465 0.928 1.117 P-érték 0.814 0.443 0.527 0.438 0.465 0.783 0.397 0.301 Normalitásra A 2 20.564 19.36 20.575 24.822 9.303 8.334 9.087 11.233 Blokk 25. 26. 27. 28. 29. A 2 1.286 0.866 0.674 0.649 0.717 P-érték 0.237 0.436 0.581 0.603 0.545 Normalitásra A 2 11.657 13.445 16.285 21.078 10.976 4.4. táblázat. Az Apple-re számolt statisztika értékek A blokkokra már egészen más eredményt kaptunk a teljes periódushoz képest. Itt mindkét részvény minden blokkjára elfogadhatóak a stabilis illesztések, mert mindenhol magasabb p-értékeket kaptunk, mint a szignikancia szint. Normalitásra megint magas értékeket kaptunk, 10 16 nagyságrend p-értékekkel, így sehol sem jó a normális eloszlás illesztése a blokkokra. A Morgan Stanley-nél a legjobban illeszked stabilis eloszlást a 11. blokkra, a legrosszabbul illeszked t a 14. blokkra kaptuk. Az Apple-nél ezek rendre a 13. és az els. 30
f(x) 0.00 0.10 0.20 Feltett eloszlás 0.0 0.4 0.8 15 10 5 0 5 10 15 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x Empirikus eloszlás f(x) 0.00 0.10 0.20 Feltett eloszlás 0.0 0.4 0.8 15 10 5 0 5 10 15 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x Empirikus eloszlás f(x) 0.00 0.05 0.10 0.15 Feltett eloszlás 0.0 0.4 0.8 15 10 5 0 5 10 15 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x Empirikus eloszlás f(x) 0.00 0.05 0.10 0.15 Feltett eloszlás 0.0 0.4 0.8 15 10 5 0 5 10 15 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x Empirikus eloszlás 4.7. ábra. Sorban a Morgan Stanley 11. és 14. blokkja, illetve az Apple 13. és 1. blokkja. Az ábrákon a loghozamok nem-paraméteres s r ségbecslései és a rájuk illesztett stabilis eloszlások, illetve az ezekhez tartozó szórásstabilizált PP plotok láthatóak. A Morgan Stanley 11. blokkjára illesztett eloszlás látványosan jó becslés, a PP ploton nem látható lényeges eltérés, a 14. blokkra illesztettnél a széleken gyelhet meg enyhe kilengés. Az Apple blokkjainál az eloszlás csúcsa körül felt n eltérés látszik, ennek oka az, hogy ebben az adatsorban többször el fordult, hogy két egymást követ nap nem volt változás a részvény árában. Ugyanez észrevehet a 4.5 ábrán. Az 1. blokknál ezen felül a PP plot alapján látható a széleken különbség. 31
5. fejezet Többdimenziós stabilis eloszlások Sokáig nem lehetett tudni, hogy milyenek a többdimenziós stabilis eloszlások. Az egydimenziós esetet jól ismerjük, de a többdimenziósok körül még mindig sok a nyitott kérdés. A többdimenziós normális eloszlás jó tulajdonsága, hogy teljesen kifejezhet a kovariancia mátrixával, de itt ez nem reális, ezért másképp kell kezelni. A többdimenziós stabilis eloszlásokat hasonlóan fogjuk deniálni, mint egydimneziós esetben. 5.1. Deníciók 5.1. Deníció. Egy d dimenziós X vektor stabilis, ha bármely pozitív A-hoz és B-hez létezik pozitív C és valós D, d dimenziós vektor, hogy AX 1 + BX 2 = CX + D, ahol X 1 és X 2 azonos eloszlásúak X-el. Az X vektor szigorúan stabilis akkor és csak akkor, ha D = 0. 5.2. Tétel. Egy d dimenziós X vektor stabilis, ha bármely n 2-hez létezik c n > 0 és d n vektor, hogy X 1 + X 2 +... + X n d = c n X + d n, ahol X 1, X 2,..., X n függetlenek és azonos eloszlásúak X-szel. Szigorúan stabilisnak nevezzük X-et, ha d n = 0 minden n-re. Többdimenziós esetben ugyanúgy deniálhatóak a karakterisztikus függvények. Erre újra szükség lesz, mert a kés bbiekben ezek segítségével fogjuk az eloszlásokat kifejezni. 5.3. Deníció. Legyen X egy d dimenziós vektorváltozó. Ekkor X karakterisztikus függvénye, ahol t R d ϕ X (t) = E[exp{it T X}]. 32
Deniáljuk el re a ω (u; α, β) = { u α ( 1 + iβ tg πα 2 sgn u ( u 1 α 1) ) α 1 u (1 + i 2 sgn u log u ) α = 1 π karakterizáló függvényt, mely az egydimenziós standard stabilis eloszlás karakterisztikus függvényéb l származik. 5.4. Tétel. Legyen Λ véges mérték S d -n, ahol S d = { s R d : s = 1 }, azaz d dimenziós egység sugarú gömb felszíne és X R d. A Λ mértéket spektrál mértéknek hívjuk. Az X vektor stabilis, jelölve X S(α, Λ, δ), ahol 0 < α 2 és δ R d, ha X karakterisztikus függvénye ϕ X (t) = exp{ I X (t) + it T δ}, (5.1) ahol I X (t) = ω ( t T s; α, 1 ) Λ(ds). S d Az I X (t) meghatározza X eloszlását. Másik megközelítés a többdimenziós eloszlás kifejezésére, az egydimenziós vetületeivel lehetséges [14]. Ha X stabilis, akkor minden egydimenziós vetülete, u T X = u 1 X 1 +... + u d X d, minden u R d -re, egy egydimenziós stabilis eloszlás, ugyanazon α-val. Jelöljük ezeket u T X S(α, β(u), γ(u), δ(u)). Az α konstans, β( ), γ( ) és δ( ) függvények együtt meghatározzák X eloszlását. 5.5. Tétel. Legyen u T X S(α, β(u), γ(u), δ(u)), Λ spektrál mérték, mint korábban és δ R d. Az X eloszlását meghatározó függvények ) 1/α ( γ(u) = u T s α Λ(ds) S d S β(u) = d u T s α sgn(u T s)λ(ds) S d u T s α Λ(ds) { u T δ + tg πα 2 δ(u) = β(u)γ(u) α 1 u T δ 2 π S d u T s log(u T s)λ(ds) + 2 β(u)γ(u) log γ(u) α = 1. π Ezek segítségével I X (t) felírható a következ alakban: { γ α (t)(1 iβ(t) tg πα 2 I X (t) = ) α 1 γ(t)(1 iδ(t)) α = 1. 33
5.2. Speciális esetek Általánosan stabilis vektoroknak az összefügg ségi struktúráját a Λ mérték határozza meg. Ezt a mértéket nehéz becsülni, ezért olyan esetekre szorítkozunk, ahol a Λ spektrál mértéknek egyszer bb az alakja. Az egyik ilyen eset, amikor a Λ diszkrét. 5.6. Deníció. Ha a Λ spektrál mérték diszkrét, azaz véges sok pontra koncentrálódik, akkor n Λ( ) = λ i δ si ( ), i=1 ahol a λ i a súlyokat, δ si a pontokat jelöli, ahol a pontok maguk az s i vektorok. Ez esetben a karakterisztikus függvénye az eloszlásnak { } n ϕ (t) = exp ω(t T s i ; α, 1)λ i + it T δ. (5.2) i=1 Ezt a karakterisztikus függvényt sokkal könnyebb számolni. Legyen p (5.1)-hez, p pedig az (5.2)-höz tarozó s r ségfüggvény. A s r ségfüggvényekre a következ tétel teljesül. 5.7. Tétel. Minden ɛ > 0-hoz létezik n = n(d, α, ɛ, Λ), s 1,..., s n és γ 1,..., γ n, hogy sup = p(x) p (X) < ɛ. X R d Független komponens stabilis vektorra a karakterisztikus függvény még tovább egyszer södik. 5.8. Állítás. Ha X komponensei, X i S(α, β i, γ i, δ i ) függetlenek, akkor X karatkerisztikus függvénye { } n ϕ X (t) = exp ω(t i ; α, β i )γi α + it T δ. i=1 A másik egyszer bb eset az, amikor nincs szükség a Λ mértékre. Ekkor a karakterisztikus függvényt egy mátrix határozza meg. 5.9. Deníció. Legyen R R d d egy pozitív denit mátrix. Az X elliptikusan stabilis, ha a karakterisztikus függvénye ϕ X (t) = exp { (trt) α/2 + it T δ }. Ha R = γ 2 0I, ahol I R d d az egységmátrix, akkor az eloszlás izotróp. Szimmetrikus α-stabilis vektort konstruálható egy egymástól független normális vektor és egy α/2-stabilis, teljesen jobb oldalra ferdült változó szorzatával [17]. 34
5.10. Tétel. Legyen Z N(0, Σ), normális eloszlású 0 várható értékkel és Σ kovariancia mátrixal és W S( α 2, 1, (cos πα 4 )2/α, 0) független Z-t l. Ekkor stabilis vektor. X = δ + W Z Ebben az esetben az eloszlás karakterisztikus függvényét a normális eloszlás kovariancia mátrixa határozza meg. 5.11. Tétel. A d-dimenziós stabilis X-nek 5.10 tételben, δ R d hely vektorral a karakterisztikus függvénye { ( ) α/2 1 E[exp{itX}] = exp 2 tt Σt + it δ} T, ahol Σ ij = cov(z i, Z j ), i, j = 1,..., d, azaz kovarianciái Z-nek. Ugyanez a korábban látott vetületekkel kifejezett karaterisztikus függvénnyel is kifejezhet. 5.12. Tétel. Legyen X mint eddig δ R d hely vektorral és Σ R d d kovariancia mátrixal. Minden u R d -re felírható u T X S(α, β(u), γ(u), δ(u)), ahol β(u) = 0 γ(u) = 1 2 (ut Σu) 1/2 δ(u) = u T δ. Mint korábban láttuk az egydimenziós stabilis eloszlásoknál, hogy ha α = 1, akkor Cauchy eloszlást kapunk. Az eloszlás karakterisztikus függvénye így 5.9 szerint kifejezhet, de létezik zárt alakban megadható s r ségfüggvénye. 5.13. Deníció. Az X vektort d-dimenziós Cauchy-eloszlás únak nevezzük, ha a s r - ségfüggvénye X-nek a következ alakú: f(x; R, δ) = Γ( d+1) 2. Γ( 1)π d 2 R 1 2 (1 + (x δ) 2 T R 1 (x δ)) d+1 2 35
10 5 0.06 0 10 5 0 5 10 10 0 x 5 10 10 5 0 5 10 10 5 0 5 10 5 10 5 10 0.02 5 y f(x,y) 0.04 0 10 0.010 5 5 y 0.005 5 10 10 5 0 x 5 10 f(x,y) 0 10 5.1. ábra. Izotróp és elliptikus Cauchy eloszlások perspektív és kontúr plotjai A 5.1 ábrán az izotróp eloszlásnál R = I, azaz egységmátrix, az elliptikus eloszlásnál R= 5 1 1 2 volt, mindkett a δ = (0, 0) paraméterrel. Meg kell jegyeznünk, hogy még R = I esetben sem lesznek függetlenek X komponensei, hiába ezt sejteti az ábra. 36
5.3. Becslés Többdimenziós stabilis eloszlások paraméter becslése nehéz feladat. A [14] cikkben található három becslési módszer Λ-ra, de ezek számolásigényesek és nincsenek is hozzájuk elérhet programok. Ehelyett gyakorlatban kopulák segítségével szokás modellezni az összefügg séget, melyet könnyebb alkalmazni [1]. 5.14. Deníció. (Kopula) Egy d-dimenziós kopula egy olyan C : [0, 1] d [0, 1] eloszlásfüggvény, melynek marginálisai standard egyenletes eloszlásúak. Ennek jelölése legyen C(u) = C(u 1,..., u d ). A C(u) kopulára a következ tulajdonságok teljesülnek: 1. Szigorúan növekv minden u i komponensében 2. C(1,..., 1, u i, 1,..., 1) = u i, u i [0, 1], minden i = 1,..., d-re 3. Minden (a 1,..., a n ), (b 1,..., b n ) [0, 1] d -re, ahol a i b i 2... i 1 =1 2 ( 1) i 1+...+i d C(u 1i1,..., u did ) 0, i d =1 ahol u j1 = a j, u j2 = b j, minden j = 1,..., d-re. Ha egy függvény teljesíti ezeket a feltételeket, akkor kopula, továbbá k-dimenziós marginálisai egy d dimenziós kopulának, 2 k < d, szintén kopulák. A következ tétel kimondja, hogy minden többdimenziós eloszlásfüggvény megadható kopulával és, hogy egydimenziós eloszlásfüggvényekkel és kopulák segítségével konstruálható többdimenziós eloszlásfüggvény. 5.15. Tétel. (Sklar-tétele) Legyen F eloszlásfüggvény F 1,..., F d marginálisokkal. Ekkor létezik C : [0, 1] d [0, 1] kopula, hogy minden x 1,..., x d R-re F (x 1,..., x d ) = C(F 1 (x 1 ),..., F d (x d )). (5.3) A (5.3)-ból kifejezhet maga a kopula is a kvantilis függvényekkel: C(u 1,..., u d ) = F (F1 1 (u 1 ),..., F 1 (u d)). Ha a C kopula dierenciálható, akkor a s r ségfüggvénye c(u 1,..., u d ) = 1 f(f1 (u 1 ),..., F 1 d (u d)) f 1 (F1 1 (u 1 ))... f d (F 1 d (u d)), ahol f a közös s r ségfüggvénye, f 1,..., f d pedig a marginálisok s r ségfüggvényei. Többféle kopulacsalád létezik, de mi csak kett t vizsgálunk meg: az elliptikus Student t és a Gumbel kopulát. További kopulák pl. a Gauss és a Clayton. Az el bbit sok bírálat érte a pénzügyi világban a válság idején okozott kára miatt, mert nem lehet vele helyesen modellezni az extrém áringadozásokat. 37 d
5.16. Deníció. A d-dimenziós t-kopula alakja Cν,R(u) t = t ν,r (t 1 ν (u 1 ),..., t 1 ν (u d )), ahol t ν a standard egydimenziós t-eloszlás eloszlásfüggvénye, t ν,r az együttes eloszlásfüggvénye az X t d (ν, 0, R) vektornak, ν szabadságfokkal és pozitív denit R mátrixal. A t-kopula explicit alakban nem adható meg. Jó tulajdonsága, hogy sokkal érzékenyebb az extrémebb viselkedésre. Ha ν = 1 szabadságfokú az eloszlás, akkor Cauchy-eloszlást kapunk, ha pedig ν, akkor normális eloszlást kapunk, úgyanígy a kopuláknál is. A Gumbel-kopulának az el z vel szemben létezik explicit alakja és aszimetrikus formájú. Ez az Arkhimédeszi kopulák közé tartozik. 5.17. Deníció. A d-dimenziós Gumbel kopula alakja ( d ) 1/θ Cθ Gu (u) = exp log(u i ) θ, ahol θ határozza meg az összefügg séget. i=1 40 10 30 c(u1,u2) 5 c(u1,u2) 20 10 0 1.0 0.8 0.6 u2 0.4 0.2 0.0 0.0 0.2 0.4 u1 0.6 0.8 1.0 0 1.0 0.8 0.6 u2 0.4 0.2 0.0 0.0 0.2 0.4 u1 0.6 0.8 1.0 5.2. ábra. Bal oldalt ρ = 0.3 és ν = 1 paraméter t-kopula, jobb oldalt θ = 4 paraméter Gumbel kopula s r ségfüggvénye 38
5.3.1. Példa részvényekre A becslést a Morgan Stanley és JPMorgan loghozamok együttesére vizgsáljuk. Ugyanazt a blokkfelosztást alkalmazzuk az együttes adatokra, amit a Morgan Stanley-nél láttunk korábban, 16 blokkot kapva. A JPMorgan loghozamokra minden blokkban elfogadható stabilis illesztést kaptunk, ezeket a becsléseket hely hiányában nem mutatjuk meg. Mindkét részvény loghozamát transzformáltunk, hogy (0, 1)-en értelmezett egyenletes eloszlásúak legyenek, majd ezekre az adatokra t-kopulát illesztettünk a copula csomag fitcopula ML becslésével. Blokk 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. ρ 0.518 0.552 0.603 0.655 0.677 0.684 0.676 0.676 ν 4.618 4.063 4.354 4.508 4.624 3.345 2.909 2.744 Blokk 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. ρ 0.714 0.71 0.695 0.705 0.737 0.762 0.765 0.773 ν 2.907 1.777 1.662 1.62 1.553 1.801 1.87 1.727 5.1. táblázat. Becsült t-kopula paraméterek a blokkokra Az eredményekb l meggyelhet, hogy id vel egyre inkább nagyobb összefügg ség jelenik meg az adatok között, egyre kisebb szabadságfokkal. Ez várható volt, hiszen a kés bbi blokkok magukba foglalják a válság éveit. A megnövekedett összefügg ségb l az látszik, hogy ha az egyik részvény ára esett, akkor nagy valószín séggel a másik ára is, a kisebb szabadsági fokból pedig az, hogy széls ségesebbé vált a piac. 39
Összefoglalás Láthattuk, hogy a stabilis eloszlások egy rugalmas eloszláscsalád, mely sok hasznos tulajdonsággal rendelkezik. Habár nem adhatóak meg explicit alakban, a megfelel programokkal hatékonyan tudjuk használni ezeket. A két bemutatott becslés mellet még több hatékony módszer létezik, de ezek közül a leggyorsabb a kvantilis módszer, a legpontosabb pedig az ML. Ezeken kívül léteznek még Markov-lánc és momentum alapú becslési módszerek, de az el bbi nehezebb feladat, az utóbbi pedig csak centrált szimmetrikus eloszlásra alkalmazható. A stabilis eloszlások a normális eloszlással szemben lényegesen jobbnak bizonyultak részvény hozamok modellezésére. Ennek oka f leg a vastag szél ség volt, mert a vizsgálatok során látható volt, hogy ez jellemz a részvényekre. Másik ok a ferdeség, mely f leg a blokkokra illesztett eloszlásoknál volt észrevehet. Az ilyen esetek nem modellezhet k normális eloszlással. A többdimenziós esetnél látható, hogy bonyolultabb az alkalmazásuk, a speciális eseteken keresztül és kopulák segítségével lehet a leghatékonyabban megközelíteni ezeket. A szakdolgozatban minden ábra és alkalmazás az R 3.1.2-es verziójával készült. A stabilis eloszlásokhoz a stabledist, a becslésekhez fbasics, a próbákhoz nortest és ADGofTest, a kopulákhoz a copula csomagokat használtuk fel. A részvényadatok, illetve a DJIA adatai a www.finance.yahoo.com és a www.quandl.com-ról származnak. 40