Diszkrét idej rendszerek analízise szinuszos/eriodikus állandósult állaotban Dr. Horváth Péter, BME HVT 6. november 4.. feladat Adjuk meg az alábbi jelfolyamhálózattal rerezentált rendszer átviteli karakterisztikáját normálalakban! Adjuk meg a rendszer válaszát az u[k] = 5 cos π 6 k + π 4 ) gerjesztésre! /4 + 6 u[k] + y[k] + / 5. ábra Szinuszos állandósult állaotban a szinuszos id függvényeket fazorjaikkal helyettesítjük. egyen a gerjesztés fazora U, a válaszé Y. A fels késleltet bemeneti jeléhez rendeljünk egy V fazort, az alsó késleltet bemenetéhez egy V fazort. A fels késleltet kimenetén a jel fazora akkor V e jϑ, az alsó késleltet kimenete edig V e jϑ. Írjuk fel az összegz k kimenetén a jeleket! V = 4 V e jϑ + U, V = V = V e jϑ + U, V = Y = 6V 5V. 4 e jϑ U e jϑ U Célunk V és V segédváltozók kiküszöbölése, ami algebrai egyenletekr l lévén szó, megtehet. Az átviteli karakterisztika normálalakja: H e jϑ) = Y U = 6 4 e jϑ 5 e jϑ = 7 4 e jϑ 3 4 e jϑ + 8 e jϑ. A megadott gerjesztés komlex csúcsértéke/fazora: a rendszer H átviteli tényez je ϑ = π 6 körfrekvencián U = 5e j π 4, H = H e jϑ) ϑ=π/6 =,93e j,53, amivel a válasz fazorja az id függvény edig Y = H U =,465e j,3, π ) y[k] =,465 cos 6 k +,3.
. feladat Számítsuk ki annak a DI négyszögjelnek a Fourier-sorát, amelynek eriódusa, és egy eriódusa a következ kéen adató meg: {, N k N x[k] =, egyébként > N + ) A DI Fourier-sor meghatározására szolgáló összefüggés: = k=<> x[k]e j π k, ahol < > arra utal, hogy tetsz leges egymást követ mintára számítható. Θ = π Mivel a megadott függvény szimmetrikus az origóra, az alakörfrekvencia. = N x[k]e j π k. k= N Vezessük be az m = k + N változót a szummában! N N = x[k]e j π m N) = e j π N m= m= x[k]e j π m, ami egy N + elem, q = e j π kvóciens mértani sor összege. összegkélete: K Ez alaján az összeg N + tagú sorra) q k = qk q = qk q, q. Emlékeztet ül, a K elem mértani sor = e j π N ) N+ e j π = π e j π ej π N e j N+), e j π a szokásos kiemelést elvégezve = ej π N e j π N+)/ e j π N+)/ e j π N+)/) ), e j π / e j π / e j π ) végül = sin [ π )] N + sin π, =,,...,. /) A kélet nem adja meg a = -t az egyenösszetev t), azt az els lééshez visszatérve közvetlenül számolhatjuk: Összefoglalva, X C = N+ X C = N +., =, ±, ±,... sin[ π N+ )] sin π ) egyébként A végformula megadásánál már gyelembe vettük, hogy a Fourier-együtthatóknak is eriodikusnak kell lenniük -el, ami formulából ki is adódik. Figyeljük meg, hogy mivel a jel valós és áros, a sektrum itt is valós és áros. A aritási szimmetriatulajdonságok ugyanúgy érvényesek, mint a folytonos idej Fourier-sornál. Példakéen az N =, = eset az ábrákon látható:
..8 x[k].6 5 5 5 k.6 X C 5 5 5. ábra. DI négyszögjel Fourier-sora N =, = )
3. feladat Határozzuk meg a ϑ = πm/ rad körfrekvenciájú eriodikus koszinuszos jel, x[k] = cos π M ) k Fourier-sorát! A jel eriódusa nyilvánvalóan. x[k] = cos π M ) k = ejπ M k + e jπ M k x[k] = ejπ M k + M ejπ k, amit a Fourier-sor deníciójával összevetve látható, hogy X C M = ; XC M =, a többi együttható a [, ] intervallumban edig zérus érték. A Fourier-sor eriodikus -lel, ezt a megadásnál gyelembe kell venni. Az alábbi ábrán éldakéen = 5, M = értékekre látható a koszinuszos jel Fourier-sora..5 X C.3. 8 6 4 4 6 8 3. ábra. DI koszinuszjel Fourier-sora M =, = 5) 4. feladat Számítsuk ki annak a DI eriodikus jelnek a Fourier-sorát komlex és mérnöki valós alakban is, amelynek egy eriódusa x = {; ; ; ; ; }! SZámítsuk ki a jel teljesítményét! A jel eriódusa = 6, alakörfrekvenciája Θ = π = π 3 = π 3. 4.. A komlex alak A DI Fourier-együtthatók kiszámítására levezetett összefüggésbe helyettesítünk, az egymást követ x[k] értéket és között vesszük fel: X c = x[k]e j π k = x[k]e jθk
.5.5 x[k].5 6 4 4 6 8 k 4. ábra. Az x[k] eriodikus jel = a hozzá tartozó komlex exonenciális jel frekvenciája ϑ =, vagyis az egyenösszetev ) X c = + + + + + ) =. 6 =, ϑ = π 3 : X c = 6 + e jπ/3 + e jπ/3 + e jπ + e j4π/3 + e j5π/3) =,333,89j =,44e j,43 =, ϑ = π 3 : X c = 6 + e jπ/3 + e j4π/3 + e jπ + e j8π/3 + e jπ/3) =,89j =,89e jπ/ = 3, ϑ = π: X c 3 = 6 + e jπ + e jπ + e j3π + e j4π + e j5π) = X c 3 = 6 + ) + ) + ) 3 + ) 4 + ) 5) =,333 További számítás nem szükséges, az ismert szimmetriatulajdonságok miatt a maradék két Fourier-együttható azonnal megadható. Mivel az x[k] jel valós, ezért a levezetett összefüggések alaján = 4, ϑ = 4π 3 -ra és = 5, ϑ = 5π 3 -ra X c = X c = X c ) X c 4 = X c ) =,89j =,89e jπ/, X c 5 = X c ) =,333 +,89j =,44e j,43. Ezzel megvan a 6 Fourier-együttható, =,...,, és tudjuk, hogy a Fourier-együtthatók is eriodikusak -el. Ellen rzés Matlab/Octave segítségével : A Matlab/Octave/Ptolemy II/tw DFT/FFT konvenciójában az -es faktor éen fordítva van, mint az általunk használt alakban, vagy ha úgy tetszik, az exonenciális kitev jében van fordítva az el jel. A DFT/FFT elterjedt deníciója: DFT{x[k]} = x[k]e j π k, =,...,
>> /6* fft [ ]) ans = Columns through 3. +. i -.3333-887 i. - 887 i Columns 4 through 6 -.3333 +. i. + 887 i -.3333 + 887 i Figyeljük meg, hogy mivel áros, ezért szereel ϑ = π körfrekvenciájú tag a sorban, amelynek együtthatója valós jel esetén biztosan valós. 4.. A mérnöki valós alak A mérnöki valós alakot ebben az esetben a π/3 és a π/3, illetve a π/3 és a π/3 frekvenciájú komlex exonenciálisok összevonásával kajuk, amely a konjugált szimmetria miatt valós koszinuszos rezgést ad. Megmarad a nulla frekvenciás összetev, valamint mivel áros a π frekvenciájú összetev, ami szintén valós. x[k] = X + M = cos π ) k + ξ + X / cosπk) Esetünkben, mivel áros, M = / =, és van /-es tag. gondolatmenet alaján X = X, c a sor edig X = X c, =, ξ = argx c, =, X 3 = X c 3, π ) π x[k] = +,88 cos 3 k,43 +,578 cos 3 k π ),333 cosπk). A valós alak együtthatói a fenti A mérnöki valós alakból a harmonikusok komlex csúcstényez je kiolvasható. A 5. ábrán a komlex Fourieregyütthatók abszolútértéke és fázisa látható, az együtthatók egy eriódusát irossal kiemeltük. Az ábrán is jól látszik, hogy a mérnöki valós alakot l. a =,,,,, 3 egymást követ együttható alaján számoltuk, ahol a = 3 együtthatónak nincs negatív frekvencián árja azonos erióduson belül, míg a = és = együtthatóknak van. 4 3.8 X c.6 arg X c 5 5 3 5 5 5. ábra. Az x[k] eriodikus jel Fourier-sora
4.3. A jel teljesítménye Id tartományban: P x = x[k] = + + + + + = /6 =,67, vagy a Parseval-tétel alaján P x = X c = +,44 +,89 +,333 +,89 +,44 =,67. =