Komputeralgebra Rendszerek

Komputeralgebra Rendszerek Normálformák, algebrai reprezentáció Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2014. április 8. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 113

TARTALOMJEGYZÉK I 1 TARTALOMJEGYZÉK 2 Az absztrakció szintjei 3 Normál- és kanonikus forma Az egyszerűsítés problémája Egyszerűsítők 4 Polinomok normálformája Többváltozós polinomok Normál formák Racionális kifejezések 5 MAPLE megvalósítások Kifejtés Szorzattá alakítás Egyszerűsítés Normalizáció Együtthatók összevonása Rendezés 6 SAGE megvalósítások Kifejtés TARTALOMJEGYZÉK 2 of 113

TARTALOMJEGYZÉK II Szorzattá alakítás Egyszerűsítés Normalizáció TARTALOMJEGYZÉK 3 of 113

AZ ABSZTRAKCIÓ SZINTJEI Az absztrakció szintjei 4 of 113

AZ ABSZTRAKCIÓ SZINTJEI Objektum-szint Maga a matematikai objektum. Az absztrakció szintjei 5 of 113

AZ ABSZTRAKCIÓ SZINTJEI Objektum-szint Maga a matematikai objektum. A forma szintje Az objektum egy megjelenési formája a kiválasztott szimbólumok segítségével. Az absztrakció szintjei 6 of 113

AZ ABSZTRAKCIÓ SZINTJEI Objektum-szint Maga a matematikai objektum. A forma szintje Az objektum egy megjelenési formája a kiválasztott szimbólumok segítségével. a(x, y) = 12x 2 y 4xy + 9x 3 Az absztrakció szintjei 7 of 113

AZ ABSZTRAKCIÓ SZINTJEI Objektum-szint Maga a matematikai objektum. A forma szintje Az objektum egy megjelenési formája a kiválasztott szimbólumok segítségével. a(x, y) = 12x 2 y 4xy + 9x 3 a(x, y) = (3x 1)(4xy + 3) Az absztrakció szintjei 8 of 113

AZ ABSZTRAKCIÓ SZINTJEI Objektum-szint Maga a matematikai objektum. A forma szintje Az objektum egy megjelenési formája a kiválasztott szimbólumok segítségével. a(x, y) = 12x 2 y 4xy + 9x 3 a(x, y) = (3x 1)(4xy + 3) a(x, y) = (12y)x 2 + ( 4y + 9)x Az absztrakció szintjei 9 of 113

AZ ABSZTRAKCIÓ SZINTJEI Objektum-szint Maga a matematikai objektum. A forma szintje Az objektum egy megjelenési formája a kiválasztott szimbólumok segítségével. a(x, y) = 12x 2 y 4xy + 9x 3 a(x, y) = (3x 1)(4xy + 3) a(x, y) = (12y)x 2 + ( 4y + 9)x Az adatstruktúra szintje Az adott forma számítógépes reprezentációja. Az absztrakció szintjei 10 of 113

Normál- és kanonikus forma 11 of 113 AZ EGYSZERŰSÍTÉS PROBLÉMÁJA

Normál- és kanonikus forma 12 of 113 AZ EGYSZERŰSÍTÉS PROBLÉMÁJA Az egyszerűsítés célja

Normál- és kanonikus forma 13 of 113 AZ EGYSZERŰSÍTÉS PROBLÉMÁJA Az egyszerűsítés célja Erőforrás-kímélés

Normál- és kanonikus forma 14 of 113 AZ EGYSZERŰSÍTÉS PROBLÉMÁJA Az egyszerűsítés célja Erőforrás-kímélés Emberi értelmezhetőség

AZ EGYSZERŰSÍTÉS PROBLÉMÁJA Az egyszerűsítés célja Erőforrás-kímélés Emberi értelmezhetőség (x + y) 1000 y 1000 vs. x 1000 y 1000 Normál- és kanonikus forma 15 of 113

Normál- és kanonikus forma 16 of 113 AZ EGYSZERŰSÍTÉS PROBLÉMÁJA Az egyszerűsítés célja Erőforrás-kímélés Emberi értelmezhetőség (x + y) 1000 y 1000 vs. x 1000 y 1000 Zéró-ekvivalencia Egyszerűbb kérdés, teljes általánosságban algoritmikusan megoldhatatlan: ( 1 x 1) ( ( x ( x log tan + sec 2)) 2) ( ) sin x sinh 1 1 + cos x

Normál- és kanonikus forma 17 of 113 EGYSZERŰSÍTŐK E a kifejezések halmaza, valamilyen rendezési relációval. egy ekvivalenciareláció.

Normál- és kanonikus forma 18 of 113 EGYSZERŰSÍTŐK E a kifejezések halmaza, valamilyen rendezési relációval. egy ekvivalenciareláció. a forma szintű, = az ojektum szintű egyenlőség.

Normál- és kanonikus forma 19 of 113 EGYSZERŰSÍTŐK E a kifejezések halmaza, valamilyen rendezési relációval. egy ekvivalenciareláció. a forma szintű, = az ojektum szintű egyenlőség. Normál függvény: f : E E-re teljesülnek a következők:

Normál- és kanonikus forma 20 of 113 EGYSZERŰSÍTŐK E a kifejezések halmaza, valamilyen rendezési relációval. egy ekvivalenciareláció. a forma szintű, = az ojektum szintű egyenlőség. Normál függvény: f : E E-re teljesülnek a következők: f (a) a minden a E-re

Normál- és kanonikus forma 21 of 113 EGYSZERŰSÍTŐK E a kifejezések halmaza, valamilyen rendezési relációval. egy ekvivalenciareláció. a forma szintű, = az ojektum szintű egyenlőség. Normál függvény: f : E E-re teljesülnek a következők: f (a) a minden a E-re Ha a 0, akkor f (a) f (0)

Normál- és kanonikus forma 22 of 113 EGYSZERŰSÍTŐK E a kifejezések halmaza, valamilyen rendezési relációval. egy ekvivalenciareláció. a forma szintű, = az ojektum szintű egyenlőség. Normál függvény: f : E E-re teljesülnek a következők: f (a) a minden a E-re Ha a 0, akkor f (a) f (0) Kanonikus függvény: normál függvény és ha a b, akkor f (a) f (b)

Normál- és kanonikus forma 23 of 113 EGYSZERŰSÍTŐK E a kifejezések halmaza, valamilyen rendezési relációval. egy ekvivalenciareláció. a forma szintű, = az ojektum szintű egyenlőség. Normál függvény: f : E E-re teljesülnek a következők: f (a) a minden a E-re Ha a 0, akkor f (a) f (0) Kanonikus függvény: normál függvény és ha a b, akkor f (a) f (b) Normál függvény megvalósítása: végezzük el a polinomra a lehetséges beszorzásokat, majd gyűjtsük össze az azonos fokú tagokat.

Normál- és kanonikus forma 24 of 113 EGYSZERŰSÍTŐK E a kifejezések halmaza, valamilyen rendezési relációval. egy ekvivalenciareláció. a forma szintű, = az ojektum szintű egyenlőség. Normál függvény: f : E E-re teljesülnek a következők: f (a) a minden a E-re Ha a 0, akkor f (a) f (0) Kanonikus függvény: normál függvény és ha a b, akkor f (a) f (b) Normál függvény megvalósítása: végezzük el a polinomra a lehetséges beszorzásokat, majd gyűjtsük össze az azonos fokú tagokat. Kanonikus függvény megvalósítása: normál fv. + rendezzük a tagokat csökkenő sorrendben.

TULAJDONSÁGOK I Tétel Ha f egy kanonikus függvény az (E, )-en, akkor 1 f idempotens, azaz f f = f ; 2 f (a) f (b) pontosan akkor, ha a b; 3 Minden E / ekvivalencia osztályban pontosan egy kanonikus alak van. Bizonyítás 1 Mivel f normál függvény, minden a E esetén f (a) a, viszont a kanonikus volta miatt f (f (a)) f (a); 2 A ha irány a definíció; az akkor irányhoz: ha f (a) f (b), úgy a f (a) f (b) b, ezért a b; Normál- és kanonikus forma 25 of 113

Normál- és kanonikus forma 26 of 113 TULAJDONSÁGOK II 3 Létezés: Legyen a E, és ā f (a). Ekkor az idempotencia miatt f (ā) f (f (a)) f (a) ā Egyértelműség: Ha ā 1 és ā 2 két kanonikus forma ugyanabban az ekvivalencia osztályban, akkor ā 1 ā 2, a függvény kanonikus volta miatt ezért f (ā 1 ) f (ā 2 ), így ā 1 ā 2.

TÖBBVÁLTOZÓS POLINOMOK Legyenek R egy gyűrű, n pozitív egész szám, x 1, x 2,..., x n szimbólumok. Rekurzív: a R[x 1, x 2,..., x n ] magadása deg1 (a) i=0 a i (x 2 ),... x n ) x i 1 Polinomok normálformája 27 of 113

TÖBBVÁLTOZÓS POLINOMOK Legyenek R egy gyűrű, n pozitív egész szám, x 1, x 2,..., x n szimbólumok. Rekurzív: a R[x 1, x 2,..., x n ] magadása deg1 (a) i=0 a i (x 2 ),... x n ) x i 1 Disztributív: a(x) = e N n axe Polinomok normálformája 28 of 113

NORMÁL FORMÁK I Az R[x 1,..., x n ] polinomgyűrűben a Kiszorzott normál forma az f1: Polinomok normálformája 29 of 113

NORMÁL FORMÁK I Az R[x 1,..., x n ] polinomgyűrűben a Kiszorzott normál forma az f1: i) végezzük el az összes polinomszorzást; Polinomok normálformája 30 of 113

NORMÁL FORMÁK I Az R[x 1,..., x n ] polinomgyűrűben a Kiszorzott normál forma az f1: i) végezzük el az összes polinomszorzást; ii) gyűjtsük össze az azonos fokszámúakat; Polinomok normálformája 31 of 113

NORMÁL FORMÁK I Az R[x 1,..., x n ] polinomgyűrűben a Kiszorzott normál forma az f1: i) végezzük el az összes polinomszorzást; ii) gyűjtsük össze az azonos fokszámúakat; Polinomok normálformája 32 of 113

NORMÁL FORMÁK I Az R[x 1,..., x n ] polinomgyűrűben a Kiszorzott normál forma az f1: normál függvény. i) végezzük el az összes polinomszorzást; ii) gyűjtsük össze az azonos fokszámúakat; Polinomok normálformája 33 of 113

NORMÁL FORMÁK I Az R[x 1,..., x n ] polinomgyűrűben a Kiszorzott normál forma az f1: i) végezzük el az összes polinomszorzást; ii) gyűjtsük össze az azonos fokszámúakat; normál függvény. Kiszorzott kanonikus forma az f2: Polinomok normálformája 34 of 113

NORMÁL FORMÁK I Az R[x 1,..., x n ] polinomgyűrűben a Kiszorzott normál forma az f1: i) végezzük el az összes polinomszorzást; ii) gyűjtsük össze az azonos fokszámúakat; normál függvény. Kiszorzott kanonikus forma az f2: iii) rendezzük a tagokat fokszám szerint csökkenő sorrendbe. Polinomok normálformája 35 of 113

NORMÁL FORMÁK I Az R[x 1,..., x n ] polinomgyűrűben a Kiszorzott normál forma az f1: i) végezzük el az összes polinomszorzást; ii) gyűjtsük össze az azonos fokszámúakat; normál függvény. Kiszorzott kanonikus forma az f2: iii) rendezzük a tagokat fokszám szerint csökkenő sorrendbe. Polinomok normálformája 36 of 113

NORMÁL FORMÁK I Az R[x 1,..., x n ] polinomgyűrűben a Kiszorzott normál forma az f1: i) végezzük el az összes polinomszorzást; ii) gyűjtsük össze az azonos fokszámúakat; normál függvény. Kiszorzott kanonikus forma az f2: kanonikus függvény. iii) rendezzük a tagokat fokszám szerint csökkenő sorrendbe. Polinomok normálformája 37 of 113

NORMÁL FORMÁK II Faktorizált normál forma: f3: Ha a kifejezés k i=1 p i, p i R[x 1,..., x n ] alakú, ahol a p i -k már kiszorzottak, helyettesítsük a kifejezést k i=1 f 2(p i )-vel, ahol f 2 az előző kanonikus függvény. A szorzatakkor zérus, ha valamelyik p i zérus. Polinomok normálformája 38 of 113

NORMÁL FORMÁK II Faktorizált normál forma: f3: Ha a kifejezés k i=1 p i, p i R[x 1,..., x n ] alakú, ahol a p i -k már kiszorzottak, helyettesítsük a kifejezést k i=1 f 2(p i )-vel, ahol f 2 az előző kanonikus függvény. A szorzatakkor zérus, ha valamelyik p i zérus. Polinomok normálformája 39 of 113

NORMÁL FORMÁK II Faktorizált normál forma: f3: Ha a kifejezés k i=1 p i, p i R[x 1,..., x n ] alakú, ahol a p i -k már kiszorzottak, helyettesítsük a kifejezést k i=1 f 2(p i )-vel, ahol f 2 az előző kanonikus függvény. A szorzatakkor zérus, ha valamelyik p i zérus. Faktorizált kanonikus forma: f4: Alkalmazzuk f 3 -at, majd az összes f 2 (p i )-t faktorizáljuk és gyűjtsük össze az azonos faktorokat. Polinomok normálformája 40 of 113

NORMÁL FORMÁK II Faktorizált normál forma: f3: Ha a kifejezés k i=1 p i, p i R[x 1,..., x n ] alakú, ahol a p i -k már kiszorzottak, helyettesítsük a kifejezést k i=1 f 2(p i )-vel, ahol f 2 az előző kanonikus függvény. A szorzatakkor zérus, ha valamelyik p i zérus. Faktorizált kanonikus forma: f4: Alkalmazzuk f 3 -at, majd az összes f 2 (p i )-t faktorizáljuk és gyűjtsük össze az azonos faktorokat. Polinomok normálformája 41 of 113

NORMÁL FORMÁK II Faktorizált normál forma: f3: Ha a kifejezés k i=1 p i, p i R[x 1,..., x n ] alakú, ahol a p i -k már kiszorzottak, helyettesítsük a kifejezést k i=1 f 2(p i )-vel, ahol f 2 az előző kanonikus függvény. A szorzatakkor zérus, ha valamelyik p i zérus. Faktorizált kanonikus forma: f4: Alkalmazzuk f 3 -at, majd az összes f 2 (p i )-t faktorizáljuk és gyűjtsük össze az azonos faktorokat. Polinomok normálformája 42 of 113

PÉLDA I Legyen Z[x, y]-ben a(x, y) =((x 2 xy + x) + (x 2 + 3)(x y + 1)) ((y 3 3y 2 9y 5) + x 4 (y 2 + 2y + 1))q,. Disztributív reprezentációban a kiszorzott normál forma: f l (a(x, y)) = 5x 2 y 3 + 3x 2 y 2 13x 2 y 10x 2 + 3x 6 y + 2x 6 xy 4 + 7xy 3 3xy 2 31xy x 5 y 3 + 2x 5 y 2 + 7x 5 y 20x + 4x 5 + x 3 y 3 3x 3 y 2 9x 3 y 5x 3 + x 7 y 2 + 2x 7 y + x 7 x 2 y 4 x 6 y 3 + 7xy 3 3xy 2 31xy 20x 3y 4 + 12y 3 + 18y 2 12y 15. A kiszorzott kanonikus forma: Polinomok normálformája 43 of 113

PÉLDA II f 2 (a(x, y)) = x 7 y32 + 2x 7 y + x 7 x 6 y 3 + 3x 6 y + 2x 6 x 5 y 3 + 2x 5 y 2 + 7x 5 y + 4x 5 3 x4y3 3x4 y 2 + 3x 4 y + 3x 4 + x 3 y 3 3x 3 y 2 9x 3 y 5x 3 x 2 y 4 + 5x 2 y 3 + 3x 2 y32 13x 2 y 10x32 xy 4 + 7xy 3 3xy 2 31xy 20x 3y 4 + 12y 3 + 18y 2 12y 15. Faktorizált normál forma: f 3 (a(x, y)) =(x 3 x 2 y + 2x 2 xy + 4x 3y + 3) (x 4 y32 + 2x 4 y + x 4 + y 3 3y 2 9y 5). Faktorizált kanonikus forma: f 4 (a(x, y)) = (x y + 1)(x 2 + x + 3)(x 4 + y 5)(y + 1) 2. Polinomok normálformája 44 of 113

ÉSZREVÉTELEK A polinomfaktorizáció költséges, ezért az f 4 -et ritkán valósítják meg; Polinomok normálformája 45 of 113

ÉSZREVÉTELEK A polinomfaktorizáció költséges, ezért az f 4 -et ritkán valósítják meg; Az f 1 és f 2 közötti költségtöbblet jelentéktelen, gyakran összevonják Polinomok normálformája 46 of 113

RACIONÁLIS KIFEJEZÉSEK Az R(x 1,..., x n ) hányadostestben egy elem kiszorzott kanonikus formája f5: Polinomok normálformája 47 of 113

RACIONÁLIS KIFEJEZÉSEK Az R(x 1,..., x n ) hányadostestben egy elem kiszorzott kanonikus formája f5: i) a b alakra hozás, ahol a, b R[x 1,..., x n ] polinomok; Polinomok normálformája 48 of 113

RACIONÁLIS KIFEJEZÉSEK Az R(x 1,..., x n ) hányadostestben egy elem kiszorzott kanonikus formája f5: i) a b alakra hozás, ahol a, b R[x 1,..., x n ] polinomok; ii) egyszerűsítés az lnko-val; Polinomok normálformája 49 of 113

RACIONÁLIS KIFEJEZÉSEK Az R(x 1,..., x n ) hányadostestben egy elem kiszorzott kanonikus formája f5: i) a b alakra hozás, ahol a, b R[x 1,..., x n ] polinomok; ii) egyszerűsítés az lnko-val; iii) egység-normalizálás; Polinomok normálformája 50 of 113

RACIONÁLIS KIFEJEZÉSEK Az R(x 1,..., x n ) hányadostestben egy elem kiszorzott kanonikus formája f5: i) a b alakra hozás, ahol a, b R[x 1,..., x n ] polinomok; ii) egyszerűsítés az lnko-val; iii) egység-normalizálás; iv) a számláló és a nevező kanonikus alakra hozása. Polinomok normálformája 51 of 113

VARIÁCIÓK faktorizált/faktorizált; Polinomok normálformája 52 of 113

VARIÁCIÓK faktorizált/faktorizált; faktorizált/kiszorzott; Polinomok normálformája 53 of 113

VARIÁCIÓK faktorizált/faktorizált; faktorizált/kiszorzott; kiszorzott/faktorizált; Polinomok normálformája 54 of 113

VARIÁCIÓK faktorizált/faktorizált; faktorizált/kiszorzott; kiszorzott/faktorizált; kiszorzott/kiszorzott azaz a kanonikus alak. Polinomok normálformája 55 of 113

KIFEJTÉS expand MAPLE megvalósítások 56 of 113

KIFEJTÉS expand Szintaxis: expand(kif[,kif1,kif2,...]) - "Felbontja a zárójeleket" ; MAPLE megvalósítások 57 of 113

KIFEJTÉS expand Szintaxis: expand(kif[,kif1,kif2,...]) - "Felbontja a zárójeleket" ; A kifn-részkifejezéseket nem bántja ; MAPLE megvalósítások 58 of 113

KIFEJTÉS expand Szintaxis: expand(kif[,kif1,kif2,...]) - "Felbontja a zárójeleket" ; A kifn-részkifejezéseket nem bántja ; A negatív kitevőkkel nem foglalkozik (a nevezőre külön alkalmazandó); MAPLE megvalósítások 59 of 113

KIFEJTÉS expand Szintaxis: expand(kif[,kif1,kif2,...]) - "Felbontja a zárójeleket" ; A kifn-részkifejezéseket nem bántja ; A negatív kitevőkkel nem foglalkozik (a nevezőre külön alkalmazandó); A nem-egész kitevőkkel nem foglalkozik; MAPLE megvalósítások 60 of 113

KIFEJTÉS expand Szintaxis: expand(kif[,kif1,kif2,...]) - "Felbontja a zárójeleket" ; A kifn-részkifejezéseket nem bántja ; A negatív kitevőkkel nem foglalkozik (a nevezőre külön alkalmazandó); A nem-egész kitevőkkel nem foglalkozik; Véges gyűrűk, testek fölött: Expand(expr) mod n plusz evala; MAPLE megvalósítások 61 of 113

KIFEJTÉS expand Szintaxis: expand(kif[,kif1,kif2,...]) - "Felbontja a zárójeleket" ; A kifn-részkifejezéseket nem bántja ; A negatív kitevőkkel nem foglalkozik (a nevezőre külön alkalmazandó); A nem-egész kitevőkkel nem foglalkozik; Véges gyűrűk, testek fölött: Expand(expr) mod n plusz evala; Nem csak polinomokra alkalmazható (lásd HELP). MAPLE megvalósítások 62 of 113

SZORZATTÁ ALAKÍTÁS factor MAPLE megvalósítások 63 of 113

SZORZATTÁ ALAKÍTÁS factor Szintaxis: A factor(a [, K]) procedúra - az expand testvére. Tényezőkre bontja az alapstruktúra fölött a polinomot.(faktorizált normálforma); MAPLE megvalósítások 64 of 113

SZORZATTÁ ALAKÍTÁS factor Szintaxis: A factor(a [, K]) procedúra - az expand testvére. Tényezőkre bontja az alapstruktúra fölött a polinomot.(faktorizált normálforma); A K polinom a Q test bővítését írja le; MAPLE megvalósítások 65 of 113

SZORZATTÁ ALAKÍTÁS factor Szintaxis: A factor(a [, K]) procedúra - az expand testvére. Tényezőkre bontja az alapstruktúra fölött a polinomot.(faktorizált normálforma); A K polinom a Q test bővítését írja le; Véges gyűrűk fölött: Factor; MAPLE megvalósítások 66 of 113

SZORZATTÁ ALAKÍTÁS factor Szintaxis: A factor(a [, K]) procedúra - az expand testvére. Tényezőkre bontja az alapstruktúra fölött a polinomot.(faktorizált normálforma); A K polinom a Q test bővítését írja le; Véges gyűrűk fölött: Factor; Felbontási test generálása: PolynomialTools:-Split(polynom); MAPLE megvalósítások 67 of 113

SZORZATTÁ ALAKÍTÁS factor Szintaxis: A factor(a [, K]) procedúra - az expand testvére. Tényezőkre bontja az alapstruktúra fölött a polinomot.(faktorizált normálforma); A K polinom a Q test bővítését írja le; Véges gyűrűk fölött: Factor; Felbontási test generálása: PolynomialTools:-Split(polynom); AFactor - a C fölötti faktorizáció MAPLE megvalósítások 68 of 113

SZORZATTÁ ALAKÍTÁS factor Szintaxis: A factor(a [, K]) procedúra - az expand testvére. Tényezőkre bontja az alapstruktúra fölött a polinomot.(faktorizált normálforma); A K polinom a Q test bővítését írja le; Véges gyűrűk fölött: Factor; Felbontási test generálása: PolynomialTools:-Split(polynom); AFactor - a C fölötti faktorizáció Négyzetmentes faktorizáció convert(poly,squarefree). MAPLE megvalósítások 69 of 113

EGYSZERŰSÍTÉS Az automatikus egyszerűsítés mellett szükségünk van az igény szerinti egyszerűsítésre: simplify MAPLE megvalósítások 70 of 113

EGYSZERŰSÍTÉS Az automatikus egyszerűsítés mellett szükségünk van az igény szerinti egyszerűsítésre: simplify Szintaxis: simplify(expr, options). Teljes:?simplify; MAPLE megvalósítások 71 of 113

EGYSZERŰSÍTÉS Az automatikus egyszerűsítés mellett szükségünk van az igény szerinti egyszerűsítésre: simplify Szintaxis: simplify(expr, options). Teljes:?simplify; Értelmezés: A kifejezést egyszerűsíti igény szerint; MAPLE megvalósítások 72 of 113

EGYSZERŰSÍTÉS Az automatikus egyszerűsítés mellett szükségünk van az igény szerinti egyszerűsítésre: simplify Szintaxis: simplify(expr, options). Teljes:?simplify; Értelmezés: A kifejezést egyszerűsíti igény szerint; Opciók : pl. radical, ln. A különböző jellegű kifejezések speciális egyszerűsítőinek meghívására.. MAPLE megvalósítások 73 of 113

NORMALIZÁCIÓ normal Normalizálást (Q) fölötti racionális kifejezéseken. (Faktorizált normálforma) MAPLE megvalósítások 74 of 113

NORMALIZÁCIÓ normal Normalizálást (Q) fölötti racionális kifejezéseken. (Faktorizált normálforma) Szintaxis: normal(f [, expanded]); MAPLE megvalósítások 75 of 113

NORMALIZÁCIÓ normal Normalizálást (Q) fölötti racionális kifejezéseken. (Faktorizált normálforma) Szintaxis: normal(f [, expanded]); Racionális törtfüggvényt hoz normálformára ; MAPLE megvalósítások 76 of 113

NORMALIZÁCIÓ normal Normalizálást (Q) fölötti racionális kifejezéseken. (Faktorizált normálforma) Szintaxis: normal(f [, expanded]); Racionális törtfüggvényt hoz normálformára ; Az expanded paraméter a számlálót és a nevezőt felbontja; MAPLE megvalósítások 77 of 113

NORMALIZÁCIÓ normal Normalizálást (Q) fölötti racionális kifejezéseken. (Faktorizált normálforma) Szintaxis: normal(f [, expanded]); Racionális törtfüggvényt hoz normálformára ; Az expanded paraméter a számlálót és a nevezőt felbontja; Általánosított racionális kifejezéseken is működik; MAPLE megvalósítások 78 of 113

NORMALIZÁCIÓ normal Normalizálást (Q) fölötti racionális kifejezéseken. (Faktorizált normálforma) Szintaxis: normal(f [, expanded]); Racionális törtfüggvényt hoz normálformára ; Az expanded paraméter a számlálót és a nevezőt felbontja; Általánosított racionális kifejezéseken is működik; Normal + mod a véges struktúrákban. MAPLE megvalósítások 79 of 113

EGYÜTTHATÓK ÖSSZEVONÁSA collect MAPLE megvalósítások 80 of 113

EGYÜTTHATÓK ÖSSZEVONÁSA collect Szintaxis: collect(a, x [, form] [, func]): az együtthatók összevonását végzi; MAPLE megvalósítások 81 of 113

EGYÜTTHATÓK ÖSSZEVONÁSA collect Szintaxis: collect(a, x [, form] [, func]): az együtthatók összevonását végzi; A form paraméter recursive (default), vagy distributed lehet; MAPLE megvalósítások 82 of 113

EGYÜTTHATÓK ÖSSZEVONÁSA collect Szintaxis: collect(a, x [, form] [, func]): az együtthatók összevonását végzi; A form paraméter recursive (default), vagy distributed lehet; A func opció többnyire egyszerűsítés, vagy faktorizáció; MAPLE megvalósítások 83 of 113

EGYÜTTHATÓK ÖSSZEVONÁSA collect Szintaxis: collect(a, x [, form] [, func]): az együtthatók összevonását végzi; A form paraméter recursive (default), vagy distributed lehet; A func opció többnyire egyszerűsítés, vagy faktorizáció; Alkalmazható általánosított rac. kifejezésre; MAPLE megvalósítások 84 of 113

EGYÜTTHATÓK ÖSSZEVONÁSA collect Szintaxis: collect(a, x [, form] [, func]): az együtthatók összevonását végzi; A form paraméter recursive (default), vagy distributed lehet; A func opció többnyire egyszerűsítés, vagy faktorizáció; Alkalmazható általánosított rac. kifejezésre; LargeExpressions csomag: Veil Unveil összetett kifejezés elrejtésére MAPLE megvalósítások 85 of 113

RENDEZÉS sort MAPLE megvalósítások 86 of 113

RENDEZÉS sort Szintaxis: sort(a, [V] [, opt1, opt2,... ]); MAPLE megvalósítások 87 of 113

RENDEZÉS sort Szintaxis: sort(a, [V] [, opt1, opt2,... ]); A a polinom, V a változók MAPLE megvalósítások 88 of 113

RENDEZÉS sort Szintaxis: sort(a, [V] [, opt1, opt2,... ]); A a polinom, V a változók Az opciók: a rendezés módja MAPLE megvalósítások 89 of 113

RENDEZÉS sort Szintaxis: sort(a, [V] [, opt1, opt2,... ]); A a polinom, V a változók Az opciók: a rendezés módja Lehet a polinom fokszám-kezelési módja MAPLE megvalósítások 90 of 113

RENDEZÉS sort Szintaxis: sort(a, [V] [, opt1, opt2,... ]); A a polinom, V a változók Az opciók: a rendezés módja Lehet a polinom fokszám-kezelési módja Lehet ascending, descending MAPLE megvalósítások 91 of 113

RENDEZÉS sort Szintaxis: sort(a, [V] [, opt1, opt2,... ]); A a polinom, V a változók Az opciók: a rendezés módja Lehet a polinom fokszám-kezelési módja Lehet ascending, descending Listákra is alkalmazható MAPLE megvalósítások 92 of 113

KIFEJTÉS.expand A számstruktúrák fölött automatikus a beszorzás! SAGE megvalósítások 93 of 113

KIFEJTÉS.expand Szintaxis:.expand([side=None]); A számstruktúrák fölött automatikus a beszorzás! SAGE megvalósítások 94 of 113

KIFEJTÉS.expand Szintaxis:.expand([side=None]); Használható relációs-kifejezésekre, ekkor van értelme a side paraméternek; A számstruktúrák fölött automatikus a beszorzás! SAGE megvalósítások 95 of 113

KIFEJTÉS.expand Szintaxis:.expand([side=None]); Használható relációs-kifejezésekre, ekkor van értelme a side paraméternek; Használható függvény formában; A számstruktúrák fölött automatikus a beszorzás! SAGE megvalósítások 96 of 113

KIFEJTÉS.expand Szintaxis:.expand([side=None]); Használható relációs-kifejezésekre, ekkor van értelme a side paraméternek; Használható függvény formában; Léteznek.expand_log(),.expand_trig(),.expand_rational() formák is a megfelelő kifejezésekre. A számstruktúrák fölött automatikus a beszorzás! SAGE megvalósítások 97 of 113

SZORZATTÁ ALAKÍTÁS A.factor() és társai SAGE megvalósítások 98 of 113

SZORZATTÁ ALAKÍTÁS A.factor() és társai Szimbolikus gyűrű fölött csak egyszerű illetve.factor() illetve egy rögtön listát adó.factor_list() függvény létezik; SAGE megvalósítások 99 of 113

SZORZATTÁ ALAKÍTÁS A.factor() és társai Szimbolikus gyűrű fölött csak egyszerű illetve.factor() illetve egy rögtön listát adó.factor_list() függvény létezik; Számstruktúrában az alapfügvény mellett lehetőség van a gyűrűből való kilépés nélkül modulárisan prím szerint faktorizálni:.factor_mod(3). Ha a faktorizálással eredménye a zérsupolinom, hibaüzenetet kapunk; SAGE megvalósítások 100 of 113

SZORZATTÁ ALAKÍTÁS A.factor() és társai Szimbolikus gyűrű fölött csak egyszerű illetve.factor() illetve egy rögtön listát adó.factor_list() függvény létezik; Számstruktúrában az alapfügvény mellett lehetőség van a gyűrűből való kilépés nélkül modulárisan prím szerint faktorizálni:.factor_mod(3). Ha a faktorizálással eredménye a zérsupolinom, hibaüzenetet kapunk; Szintén itt működik a p-adikus felbontás:.factor_padic(p, prec=10). SAGE megvalósítások 101 of 113

EGYSZERŰSÍTÉS simplify A különböző feladatokra A MAPLE -től eltérően különböző függvények szolgálnak: SAGE megvalósítások 102 of 113

EGYSZERŰSÍTÉS simplify A különböző feladatokra A MAPLE -től eltérően különböző függvények szolgálnak: Polinomiális kifejezésekre:.simplify(); SAGE megvalósítások 103 of 113

EGYSZERŰSÍTÉS simplify A különböző feladatokra A MAPLE -től eltérően különböző függvények szolgálnak: Polinomiális kifejezésekre:.simplify(); Trigonometrikus, logaritmikus, exponenciális kifejezések:.simplify_trig(),.simplify_log(),.simplify_exp(), ; SAGE megvalósítások 104 of 113

EGYSZERŰSÍTÉS simplify A különböző feladatokra A MAPLE -től eltérően különböző függvények szolgálnak: Polinomiális kifejezésekre:.simplify(); Trigonometrikus, logaritmikus, exponenciális kifejezések:.simplify_trig(),.simplify_log(),.simplify_exp(), ; Törtkifejezésekre, gyökös kifejezése:.simplify_rational(),.simplify_radical(); SAGE megvalósítások 105 of 113

EGYSZERŰSÍTÉS simplify A különböző feladatokra A MAPLE -től eltérően különböző függvények szolgálnak: Polinomiális kifejezésekre:.simplify(); Trigonometrikus, logaritmikus, exponenciális kifejezések:.simplify_trig(),.simplify_log(),.simplify_exp(), ; Törtkifejezésekre, gyökös kifejezése:.simplify_rational(),.simplify_radical(); Kombinatorikus kifejezések:.simplify_factorial(); SAGE megvalósítások 106 of 113

EGYSZERŰSÍTÉS simplify A különböző feladatokra A MAPLE -től eltérően különböző függvények szolgálnak: Polinomiális kifejezésekre:.simplify(); Trigonometrikus, logaritmikus, exponenciális kifejezések:.simplify_trig(),.simplify_log(),.simplify_exp(), ; Törtkifejezésekre, gyökös kifejezése:.simplify_rational(),.simplify_radical(); Kombinatorikus kifejezések:.simplify_factorial(); A.simplify_full() függvény sorrendben a factorial, trig, rational és radical futtatása. SAGE megvalósítások 107 of 113

NORMALIZÁCIÓ A Sage-ben igazi normalizáció nincs. A.simplify() függvény részleges megoldást nyújt. A method paraméter használata SAGE megvalósítások 108 of 113

NORMALIZÁCIÓ A Sage-ben igazi normalizáció nincs. A.simplify() függvény részleges megoldást nyújt. A method paraméter használata simple két kiszorzott polinom hányadosaként állítja elő; SAGE megvalósítások 109 of 113

NORMALIZÁCIÓ A Sage-ben igazi normalizáció nincs. A.simplify() függvény részleges megoldást nyújt. A method paraméter használata simple két kiszorzott polinom hányadosaként állítja elő; full (default) ha szükséges, az előző többszöri alkalmazása; SAGE megvalósítások 110 of 113

NORMALIZÁCIÓ A Sage-ben igazi normalizáció nincs. A.simplify() függvény részleges megoldást nyújt. A method paraméter használata simple két kiszorzott polinom hányadosaként állítja elő; full (default) ha szükséges, az előző többszöri alkalmazása; noexpand csak közös nevezőre hoz. SAGE megvalósítások 111 of 113

NORMALIZÁCIÓ A Sage-ben igazi normalizáció nincs. A.simplify() függvény részleges megoldást nyújt. A method paraméter használata simple két kiszorzott polinom hányadosaként állítja elő; full (default) ha szükséges, az előző többszöri alkalmazása; noexpand csak közös nevezőre hoz. A map (default=false) paraméter a true értéknél részkifejezéseken végzi az egyszerűsítést SAGE megvalósítások 112 of 113

NORMALIZÁCIÓ A Sage-ben igazi normalizáció nincs. A.simplify() függvény részleges megoldást nyújt. A method paraméter használata simple két kiszorzott polinom hányadosaként állítja elő; full (default) ha szükséges, az előző többszöri alkalmazása; noexpand csak közös nevezőre hoz. A map (default=false) paraméter a true értéknél részkifejezéseken végzi az egyszerűsítést A.collect_common_factors()-al kikényszeríthető a lehetséges egyszerűsítés SAGE megvalósítások 113 of 113

EGYÜTTHATÓK ÖSSZEVONÁSA A SAGE -ban a beszorzás utáni együttható összevonás számstruktúra fölött automatikus. (A gyűrűbeli fokszám-rendezettségnek megfelelően). Szimbolikus gyűrűben:.collect(sym) a megfelelő rekurzív formába alakít SAGE megvalósítások 114 of 113