Bevezetés az állapottér elméletbe: Állapottér reprezentációk

Tartalom Bevezetés az állapottér elméletbe: Állapottér reprezentációk vizsgálata 1. Példa az állapottér reprezentációk megválasztására 2. Átviteli függvény és állapottér reprezentációk közötti kapcsolatok 3. Irányíthatósági és diagonális alakok előállítása hasonlósági transzformációval 4. Demonstrációs példa 2018 1

Példa az állapottér reprezentációk megválasztására Egyszerűsített felfüggesztési modell Dinamikus diff. egyenlet mÿ = u cy kẏ ÿ = k mẏ c m y + 1 m u m = 1kg a kocsi tömege, k = 4 Ns m a csillapítási tényező, c = 3 N m a rugóállandó. Behelyettesítve: ÿ = 4ẏ 3y + u 2018 2

Példa az állapottér reprezentációk megválasztására Állapottér választás: 1. módszer (fázisváltós alak) x 1 = y x 2 = ẏ Állapotegyenletek: ẋ 1 = ẏ = x 2 ẋ 2 = ÿ = 4ẏ 3y + u = 4x 2 3x 1 + u y = x 1 Állapottér reprezentáció: ẋ1 = 0 1 x 1 + 0 u ẋ 2 3 4 x 2 1 [ ] y = 1 0 x 1 x 2 2018 3

Példa az állapottér reprezentációk megválasztására Állapottér reprezentáció: 1. módszer 2018 4

Példa az állapottér reprezentációk megválasztására Állapottér választás: 2. módszer x 1 = 3y x 2 = 4ẏ Állapotegyenletek: Állapottér reprezentáció: ẋ1 = 0 3 4 x 1 + 0 u ẋ 2 4 4 x 2 4 [ ] y = 1 3 0 x 1 x 2 ẋ 1 = 3ẏ = 3 4 x 2 ẋ 2 = 4ÿ = 16ẏ 12y + 4u = 4x 2 4x 1 + 4u y = 1 3 x 1 2018 5

Példa az állapottér reprezentációk megválasztására Állapotegyenletek: 3. módszer ẋ 1 = x 2 ẋ 2 = 3x 1 4x 2 + u ẋ 3 = x 1 + 1 2 x 2 + 5x 3 + u y = x 1 Állapottér reprezentáció: ẋ 1 ẋ 2 ẋ 3 0 1 0 = 3 4 0 y = 1 1 2 5 [ ] 1 0 0 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 0 + 1 u 1 2018 7

Példa az állapottér reprezentációk megválasztására Következtetések: A bemenőjelek és kimenőjel közötti kapcsolat többféle alakban felírható. Az állapottér reprezentáció függ az állapotváltozók megválasztásától (számától). Az állapottér reprezentációk nem egyértelműek. 2018 9

Példa az állapottér reprezentációk megválasztására Negyedjármű modell Dinamikus diff.egyenlet: m 1 ÿ + k (ẏ ż) + c 1 (y z) = 0 m 2 z + k (ẏ ż) + c 1 (y z) = c 2 (u z) Adatok: m 1 = 200kg, m 2 = 40kg, k = 500 Ns m, c 1 = 9000 N m, c 2 = 20000 N m. 2018 10

Példa az állapottér reprezentációk megválasztására Dinamikus egyenletek: ÿ = k m 1 ẏ c 1 m 1 y + k m 1 ż + c 1 m 1 z z = k m 2 ż + c 1 m 2 z c 2 m 2 z k m 2 ẏ c 1 m 2 y + c 2 m 2 u Behelyettesítve: ÿ = 2.5ẏ 45y + 2.5ż + 45z z = 12.5ż 275z 12.5ẏ 225y + 500u 2018 11

Példa az állapottér reprezentációk megválasztására Állapottér választás: x 1 = y x 2 = ẏ x 3 = z x 4 = ż 2018 12

Példa az állapottér reprezentációk megválasztására Állapotegyenletek: ẋ 1 = ẏ ẋ 2 = ÿ = 2.5ẏ 45y + 2.5ż + 45z ẋ 3 = ż ẋ 4 = z = 12.5ż 275z 12.5ẏ 225y + 500u 2018 13

Példa az állapottér reprezentációk megválasztására Állapottér reprezentáció: ẋ 1 = x 2 ẋ 2 = 2.5x 2 45x 1 + 2.5x 4 + 45x 3 ẋ 3 = x 4 ẋ 4 = 12.5x 4 275x 3 12.5x 2 225x 1 + 500u y = x 1 2018 14

Példa az állapottér reprezentációk megválasztására Állapottér reprezentáció: ẋ 1 ẋ 2 ẋ 3 ẋ 4 0 1 0 0 45 2.5 45 2.5 = 0 0 0 1 225 12.5 275 12.5 y = [ ] 1 0 0 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 0 0 + u 0 500 2018 15

Példa az állapottér reprezentációk megválasztására Állapottér reprezentáció: 2018 16

Átviteli függvény és állapottér reprezentációk közötti kapcsolatok Állapottér reprezentáció ẋ = Ax + bu y = c T x Alkalmazzuk a Laplace transzformációt az állapotegyenletre: sx = AX + bu X = (si A) 1 bu 2018 18

Átviteli függvény és állapottér reprezentációk közötti kapcsolatok és a kimeneti egyenletre: Y = c T X = c T (si A) 1 bu Átviteli függvény: G = Y U = ct (si A) 1 b 2018 19

Példa Átviteli függvény és állapottér reprezentációk közötti kapcsolatok ẋ = y = 2 4 x + 1 u 1 0 0 [ ] 0 2 x Átviteli függvény: [ 2] G = 0 s 0 0 s 2 4 1 0 1 1 0 2018 20

Átviteli függvény és állapottér reprezentációk közötti kapcsolatok Átviteli függvény: G = = [ ] 0 2 s + 2 4 1 s 1 1 = 0 [ ] 0 2 s 1 s 2 + 2s + 4 = 2 s 2 + 2s + 4 [ ] 0 2 s 4 1 s + 2 s 2 + 2s + 4 1 0 2018 21

Kanonikus alakok előállítása hasonlósági transzformációval Hasonlósági transzformáció Vizsgáljuk azt az esetet, amikor egy adott x állapotvektorból egy új x állapotvektort képezünk: x = T x ahol T R n n egy n n méretű nemszinguláris transzformációs mátrix, és x,x R n. 2018 23

Kanonikus alakok előállítása hasonlósági transzformációval Az x állapotvektor által leírt (A,b,c T ) állapottér reprezentáció: ẋ = Ax + bu y = c T x, Határozzuk meg az x állapotvektorhoz tartozó x = Ā x + bu y = c T x egyenletekben szereplő (Ā, b, c T ) mátrixokat! 2018 24

Kanonikus alakok előállítása hasonlósági transzformációval Az állapottér reprezentációk közötti kapcsolat (levezetés az 5. EA-ban): Ā = T AT 1, b = T b, c T = c T T 1. Az A és Ā mátrixok közötti fenti kapcsolatot hasonlósági transzformációnak nevezzük. 2018 25

Kanonikus alakok előállítása hasonlósági transzformációval Tekintsük az alábbi átviteli függvényt: G = b 2s 2 + b 1 s + b 0 s 3 + a 2 s 2 + a 1 s + a 0 2018 26

Kanonikus alakok előállítása hasonlósági transzformációval Írjuk fel az állapottér reprezentációt irányíthatósági alakban: ẋ 1 ẋ 2 ẋ 3 = a 2 a 1 a 0 1 0 0 0 1 0 ] y = [b 2 b 1 b 0 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 1 + 0 u 0 2018 27

Kanonikus alakok előállítása hasonlósági transzformációval A transzformációs mátrix alakja: T c = (CT ) 1 ahol [ ] C = b Ab A 2 b 1 a 2 a 1 T = 0 1 a 2 0 0 1 és det(si A) = s 3 + a 2 s 2 + a 1 s + a 0 2018 28

Kanonikus alakok előállítása hasonlósági transzformációval A transzformációs mátrix elemei n dimenziós esetben: [ ] C = b Ab A 2 b... A n 1 b 1 a n 1... a 2 a 1 0 1 a n 1 a 2 T = 0 0 1.. a n 1 0... 0 1 2018 29

Kanonikus alakok előállítása hasonlósági transzformációval Az irányíthatósági alak illusztrációja: 2018 30

Kanonikus alakok előállítása hasonlósági transzformációval Írjuk fel az állapottér reprezentációt diagonális alakban: ẋ 1 ẋ 2 ẋ 3 = λ 1 0 0 x 1 0 λ 2 0 x 2 + 0 0 λ 3 x 3 ] y = [c 2 c 1 c 0 x 1 x 2 x 3 r 1 r 2 r 3 u 2018 31

Kanonikus alakok előállítása hasonlósági transzformációval A transzformációs mátrix alakja: ahol C = [ ] b Ab A 2 b, T = T d = (CT P ) 1 1 a 2 a 1 0 1 a 2, P = 0 0 1 λ 2 1 λ2 2 λ2 3 λ 1 λ 2 λ 3 1 1 1 2018 32

Kanonikus alakok előállítása hasonlósági transzformációval A transzformációs mátrix elemei n dimenziós esetben: [ ] C = b Ab A 2 b... A n 1 b 1 a n 1... a 2 a 1 0 1 a n 1 a 2 T = 0 0 1.. a n 1 0... 0 1 2018 33

Kanonikus alakok előállítása hasonlósági transzformációval P = 2... λ n 1 n.. λ 2 1 λ 2 2... λ 2 n λ 1 λ 2... λ n 1 1... 1 λ n 1 1 λ n 1 2018 34

Kanonikus alakok előállítása hasonlósági transzformációval A diagonális alak illusztrációja a következő oldalon. Mindig igaz, hogy: r 1 = b 1 c 1, r 2 = b 2 c 2,... r n = b n c n r i = b i c i i = 1...n 2018 35

Kanonikus alakok előállítása hasonlósági transzformációval 2018 36

Demonstrációs példa Mechanikai példa Dinamikus diff.egyenlet mÿ = k ( u ẏ) + c(u y) ÿ = k mẏ c m y + k m u + c m u m = 1kg a kocsi tömege, k = 8 Ns m a csillapítási tényező, c = 7 N m a rugóállandó. Behelyettesítve: ÿ = 8ẏ 7y + 8 u + 7u 2018 38

Demonstrációs példa Átviteli függvény: Y (s) = 8s + 7 s 2 + 8s + 7 U(s) Irányíthatósági alak felírása segédváltozós módszerrel. Vezessük be ξ(s) változót a következőképpen: ξ(s) = 1 s 2 +8s+7 U(s) Y (s) = (8s + 7)ξ(s) 2018 39

Demonstrációs példa Inverz Laplace transzformációval: ξ(t) = 8 ξ(t) 7ξ(t) + u(t) y(t) = 8 ξ(t) + 7ξ(t) Vezessük be az állapotváltozókat a következőképpen: x 1 = ξ(t) x 2 = ξ(t) 2018 40

Demonstrációs példa Az állapotegyenleteket felírva: ẋ 1 = ξ = 8 ξ 7ξ + u = 8x 1 7x 2 + u ẋ 2 = ξ = x 1 y = 8 ξ + 7ξ = 8x 1 + 7x 2 2018 41

Demonstrációs példa Az állapottér reprezentáció irányíthatósági alakban: 8 7 ẋ1 = x 1 + 1 u ẋ 2 1 0 x 2 0 [ ] y = 8 7 x 1 x 2 2018 42

Demonstrációs példa Átviteli függvény: Y = 8s + 7 s 2 + 8s + 7 U Diagonális alak felírása résztörtekre bontással: Pólusok: 1 és 7. Az átviteli függvény: ( A Y = s + 1 + B ) (A + B)s + 7A + B U = s + 7 (s + 1)(s + 7) azaz A + B = 8, 7A + B = 7 2018 43

aminek megoldása: Demonstrációs példa A = 1 6, B = 49 6 Az átviteli függvény: ( ) 1 49 6 Y = s + 1 + 6 U s + 7 A résztörtek átviteli függvényei Y 1 = 1 6 s + 1 U, Y 2 = 49 6 s + 7 U 2018 44

Demonstrációs példa Az állapotváltozók: x 1 = y 1 x 2 = y 2 Az állapotegyenletek: ẋ 1 = ẏ 1 = y 1 1 6 u = x 1 1 6 u ẋ 2 = ẏ 2 = 7y 2 + 49 6 u = 7x 2 + 49 6 u 2018 45

Demonstrációs példa Az állapottér reprezentáció diagonális alakban: ẋ1 = 1 0 x 1 + 1 6 u 49 ẋ 2 0 7 x 2 6 [ ] y = 1 1 x 1 x 2 2018 46

Demonstrációs példa A lineáris algebrai összefüggéseket használva alakítsuk a diagonális állapottér reprezentációt irányíthatósági alakúvá! ẋ1 = ẋ 2 y = 1 0 x 1 + 0 7 x 2 [ ] 1 1 x 1 x 2 1 6 49 6 u 2018 47

Demonstrációs példa A transzformációs mátrix összefüggése: ahol és C = T = T c = (CT ) 1 [ ] b Ab = 1 1 1 6 49 343 1 a 1 = 1 8 0 1 0 1 si A = s 2 + 8s + 7 2018 48

Demonstrációs példa T c = (CT ) 1 = ( 1 1 1 1 8 1 1 7 ) = 6 6 49 343 0 1 49 49 1 Az irányíthatósági alak: 8 7 A c = b c = 1 0 1 c T c = 0 8 7 2018 49

Demonstrációs példa A lineáris algebrai összefüggéseket használva alakítsuk az irányíthatósági állapottér reprezentációt diagonális alakúvá: ẋ1 = ẋ 2 y = 8 7 x 1 + 1 u 1 0 x 2 0 [ ] 8 7 x 1 x 2 2018 50

Demonstrációs példa A transzformációs mátrix összefüggése: ahol T d = (CT P ) 1 C = 1 1 1 T = 6 49 343 P = λ 1 λ 2 1 7 = 1 1 1 1 1 8 0 1 2018 51

T d = (CT P ) 1 = Demonstrációs példa ( 1 1 1 1 8 1 7 6 49 343 0 1 1 1 1 = 6 6 0 0 294 ) 1 A diagonális alak: A d = 1 0 b d = 0 7 1 6 1 6 c T d = 1 49 2018 52