Hatszögrácson kialakuló spin-folyadék fázis véges hőmérsékletű leírása Sinkovicz Péter, Szirmai Gergely MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont Szilárdtestfizikai és Optikai Intézet 2012 október 30
Áttekintés Rövid áttekintés A vizsgált modell bemutatása Hubbard-modell Heisenberg-modell, mint a Hubbard-modell határesete ismertetése Hubbard-Stratonovich tér bevezetése Átlagtér megoldás véges hőmérsékleten Gráfszabályok Segédtér propagátora egy hurok szinten Elemi gerjesztések
Modell bemutatása Hubbard-modell Hubbard-modell Rácsra tett párkölcsönható fermion rendszer: Ĥ = N i=1 ˆp 2 i 2m i + 1 2 N U( r i r j )Î := ˆT (1) + Û(2). i,j=1 i j Térelméleti leíráshoz térjünk át olyan Fock-reprezentációra, ahol az egyrészecske hullámfüggvényeket a TONR Wannier-állapotokon fejtünk ki: Ĥ = t i,j ĉ i,αĉj,α + 1 2 U i,j;i,j ĉ i,αĉ j,βĉi,βĉ j,α
Modell bemutatása Hubbard-modell Felhasználva, a következő közeĺıtő feltevéseket: Wannier-állapotok rácspontokra lokalizáltak lokalizált fermionokat írnak le, így a hopping csak első szomszédok között számottevő t i,j = t i,j a kölcsönhatás on-site-nak vehető Homogén és izotrop a rács U i,j;i,j = Uδ i,jδ i,j δ i,i t i,j = t Megkapjuk a homogén Hubbard-modelt Ĥ = t i,j α=, ĉ i,αĉj,α + U N i=1 ˆn i, ˆn i,
Modell bemutatása Heisenberg-modell Heisenberg-modell Véve a Hubbard-modell alacsony hőmérsékletű, erősen kölcsönható, egyszeresen betöltött T/T c 0 U/t 1 n i = ĉ i,αĉi,α = 1 α határesetének vezető rendjét megkapjuk a Heisenberg-modellt. Heisenberg-modell Ĥ Heisenberg = g i,j α,β= ĉ i,αĉj,αĉ j,βĉi,β ahol g = 4t 2 /U < 0 egy taszító csatolási állandó.
Modell bemutatása Heisenberg-modell Heienberg-modell általánosítása ahol A spin Schwinger-fermionokkal reprezentálható ĉ i,αĉi,α = 1(, 0), így Ŝ i = ĉ i,αˆσ α,βĉi,β, Ĥ Heisenberg = g i,j Ŝ i Ŝ j, ami általánosítható két tetszőleges, lokalizált spin olyan kölcsönhatásának a leírására, ami nem változtatja meg a spinek nagyságát. ˆσ ˆτ g g/n
Modell bemutatása Heisenberg-modell Mott-szigetelő fázis A perturbációszámítás során látható, hogy a Heisenberg-modell egy másodrendű folyamatot ír le: Tehát tetszőleges U > 0 kölcsönhatás esetén az egyszeresen betöltött Heisenberg-modell alapállapota mindig szigetelő fázis.
Modell bemutatása Heisenberg-modell Spinssűrűség hullám (SDW) A g < 0 csatolási állandójú Heisenberg-modell alapállapotában nem a klasszikus értelemben vett G,,... antiferomágneses Néél-állapot alakul ki, mivel egyetlen Néél-állapot se sajátvektora a Ĥ Heisenberg Ŝ i Ŝ j = ) (Ŝ+ i Ŝ j + Ŝ i Ŝ+ j + Ŝz i Ŝz j i,j i,j operátornak. Azonban egy lehetséges alapállapot lehet a kvantum Néél-állapot (klasszikus Néél-állapotok lineáris kombinációja), melyben a spinek nem lokalizáltak.
Modell bemutatása Heisenberg-modell Spin folyadék fázis Található olyan SDW az alapállapotban és az a körüli fluktuácók közelében, melyben a töltések rögzítettek (csak spin dinamika); tudja a Ĥ összes szimmetriáját. Alkáliföldfém spin forgatási szimmetria csoportja Az i. rácspont eredő spinje: Ŝ i = îi + Ĵi = îi esetünkben a magspin maximális vetülete I = 5/2, így a modell SU(N = 2I + 1) = SU(6) szimmetrikus
Kísérleti megvalósítás Optikai csapda Ultrahideg csapdázott fermion rendszer ahol Ĥ Hubbard + csapda = t ĉ i,αĉi,α + h.c. + U ˆn i,αˆn i,β + ( ) + V csapda i µ i,α ˆn i,α [ 2 2 ] t = i 2m V csapda i i Ha V csapda i = V 0 sin 2 ( k r i )-nek válaszuk, akkor a paramétereket a következőképpen hangolhatjuk t V 3/4 0 e 2 V 0 U V 3/4 0 W. Zwerger: Journal of Optics B, S9. 2, 5, 90 (2003)
Nagykanonikus állapotösszeg származtatása A modell nagykanonikus állapotösszegének származtatása A statisztikusfizika nagykanonikus állapotösszege [ ] Z β = Tr e β ˆK = D[c, c]e 1 S β[c,c] nem más, mint egy τ = iβ komplex idejű propagátor, melyben az időlépést a ˆK = Ĥ µ ˆN nagykanonikus Hamilton-operátor fejleszt. S β [c, c] = β dτ L(τ; c, c] = 0 β = dτ [c i,α (τ) ( τ + µ i ) c i,α (τ)] g c i,α (τ)c j,α (τ)c j,β (τ)c i,β (τ) i,α i,j 0 α,β
Nagykanonikus állapotösszeg származtatása Hubbard-Stratonovich transzformáció A probléma látszólag orvosolható egy χ bozon segédtér bevezetésével. A transzformáció alapgondolata: definiáljuk úgy a χ funkcionál integrált, hogy teljesüljön a következő: g 1 = D[ χ, χ χ i,j (τ) χ j,i (τ) i,j ]e a funkcionál integrál eltolás invariáns, így az előző kifejezés invariáns a χ i,j (τ) χ i,j (τ) α c i,α (τ)c j,α (τ) cserére.
Nagykanonikus állapotösszeg származtatása Átlagtér bevezetése Hubbard-Stratonovich bozonterek mozgásegyenletei χ i,j (τ) = α c i,α (τ)c j,α (τ) χ j,i (τ) = χ i,j(τ) A segédteret bontsuk fel a következő képpen: χ i,j (τ) := χ i,j + δχ i,j (τ) ahol a mean-field rész a Schwinger-fermionok korrelációs mátrixának a várható értéke χ i,j = α c i,α c j,α
Nagykanonikus állapotösszeg származtatása Ansatz Megoldási feltevés: hatszög elemi cella Méhsejt-ansatz Szereposztás: elemi cellák indexelése 6db különböző rácspont χ i,j χ (ν) Közeĺıtés következményei véges probléma kémiai potenciál rögzítése
Nagykanonikus állapotösszeg származtatása A teljes hatás Kvázirészecskék és fluktuációk teljes hatása S[c, c, δχ, δχ ] = S 0 [c, c] + g 1 S 1 [α, α, δχ, δχ ] + g 2 S 2 [ δχ 2 ] A fermion részben Gauss-integrálra vezető tag S 0 [c, c] = c k,n;σ G (0) 1 c k,n k,n;σ E 0 (χ) k,n σ ahol c k = (a, b,..., f) = α (i) v (i) k. Melyből meghatározható a k i fermionok szabad propagátora G (0)(i j) k,n i j = a ( v (a) k )i ( v (a) k )j iω n 1 ε (i) k
Nagykanonikus állapotösszeg származtatása Vegyes tagok, melyek a vertexeket adják S 1 [α, α, δχ, δχ ] = [ ( α (i) k,n ;σ α(j) ( k k),(n n);σ δχ(ν) λ (ν) k,n k,n )i,j + ν;σ k,n k,n ( + α (i) k,n ;σ α(j) ( k k),(n n);σ δχ(ν) λ (ν) k,n k,n )i,j melyből összesen 9x2db vertex adódik ]
Nagykanonikus állapotösszeg származtatása δχ-ben másodrendű tagok S 2 [ δχ 2 ] = δχ (ν) D (0)(ν ν ) 1 k,n δχ (ν ) k,n k,n k,n ν,ν Melyből meghatározható a bozon-tér propagátora (első rendben) ν ν 1 = δ k,n ν,ν βv D (0)(ν ν ) A gráf elemek és a hurok, illetve csomóponti törvények segítségével meghatározhatjuk a gráfszabályokat. Az előbb bemutatott gráfszabályok csak formálisak, teljes ismeretükhöz még szükségünk van a χ értékére. A buborék összeg még nem egy perturbációs sor, így minden gráf járulékát figyelembe kell vennünk.
Nyeregpont közeĺıtés Z nyeregpont közeĺıtése Amire hajtunk Kezelhető állapotösszeg megkonstruálása (ln det eliminálása) Egy S[c, c, δχ, δχ ] = S 0 [c, c]+g 1 S 1 [α, α, δχ, δχ ]+S eff. [δχ, δχ ] effektív hatás találása, ahol S eff. [δχ, δχ ] = q ν,ν n [ ( δχ (ν) D (ν,ν ) alakú és δχ a m.f. érték körüli fluktuáció. Kollektív elemi gerjesztések megtalálása. ) + D (ν,ν) ] δχ (ν )
Nyeregpont közeĺıtés Nyeregpont helye = χ átlagtér beálĺıtása Nyeregpont rögzítésére vonatkozó kényszerfeltételek: χ = χ helyen a hatásnak szélsőértéke van 2 9db δs[... ] δχ (ν) = 0 χ (ν) = g V n (i) k k,i v (i) k ˆλ(ν) k v (i) k típusú egyenlet. minden rácspont egyszeresen van betöltve (kémiai potenciál beálĺıtása) ) ) (c k,σ (c k,σ = 1 ( ( n (i) m m v (i) k v k )m (i) k )m = 1 6 k,i k,σ Ezen kényszerek együttes teljesülése mellett χ meghatározható.
Nyeregpont közeĺıtés Megoldások szimmetriája és Wilson-hurkok definiálása A Heisenberg-modell lokális U(1) szimmetriája öröklődik a χ terekre χ i,j = σ c i,σ c j,σ σ c i,σ c j,σ e i(ϑ j ϑ i ) = χ i,j e iϕ i.j Fizikailag különböző megoldások osztályozásához Wilson-hurkok definiálása (bármilyen zárt görbe): Π 1 := χ (1) χ (2) χ (3) χ (4) χ (5) χ (6) 8 7 6 1 Π 2 1 3 9 5 4 Π 2 Π 3 χ χ χ χ χ χ χ χ χ Π 2 := χ (1) χ (8) χ (5) χ (9) χ (3) χ (7) Π 3 := χ (6) χ (7) χ (4) χ (8) χ (2) χ (9)
Nyeregpont közeĺıtés T = 0 megoldások: E Π 1 Π 2 Π 3 6.148 r0 iφ r0 iφ r0 iφ 6.148 r0 iφ r0 iφ r0 iφ i 6.062 r 1 r 2 e iπ r 2 e iπ 6.062 r 2 e iπ r 1 r 2 e iπ 6.062 r 2 e iπ r 2 e iπ r 1 6 1 0 0 6 0 1 0 6 0 0 1 Φ 0 Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ királis fázis 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Π Π Π 0 0 Π Π Π 0 0 kvázi plakett fázis plakett fázis G. Szirmai, E. Szirmai, A. Zamora, and M. Lewenstein, PRA, 84, 011611 (2011)
Nyeregpont közeĺıtés T = 0: Π = r 0 e iφ királis fázis esetén a kvázi részecskék energiaspektruma 4 3.5 3 2.5 E m.f. [g] 2 1.5 1 0.5 0 Teljesen betöltött -0.5 0 π 2π k 1 [ 1 L ]
Nyeregpont közeĺıtés E m.f. [g] 0.38 0.42 0 π π k 2 [ 1 k 1 [ 1 0 L ] L ] 4π 3 3 ky[ 1 L ] 0 2π 3 3 0 π 3 2π 3
Nyeregpont közeĺıtés Egyenlőre ismeretlen fázisátalakulás 1.2 1 királis kváziplakett plakett χ (1) 2 0.8 0.6 0.4 T c = 0.83 0.2 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 T [ 1 k B ]
Nyeregpont közeĺıtés Fluktuációk effektív leírása (nyeregpont görbülete) Generáló funkcionál bevezetése: Z[η, η] := = + 1 S[... ]+ k,n,i ( ) α (i) η (i) +c.c. k,n k,n D[... ]e = [ D[χ, χ ] 1 1 [ δ S k.h. δη, δ ], χ, χ + δη ( 1 ) ] 2 1 2! S2 k.h [... ] +... Z 0 [η, η] := = Z (0) [η, η] + Z (1) [η, η] +Z (2) [η, η] +... }{{} =0 Z 0 [η, η] az α kvázi részecskékben Gauss-integrált tartalmaz.
Nyeregpont közeĺıtés Z (0) és Z (2) tagokat megtartva a következő effektív hatás származtatható a H-S bozontérre: S eff. = [ ( ) ] δχ (ν) D (ν ν ) 1 + D (ν ν) 1 δχ (ν ) + ν,ν + [ ] A (ν ν ) 1 δχ (ν) ) δχ(ν q, n + c.c. ν,ν ahol D (ν ν ) = a várt propagátor A (ν ν ) = nem várt anomális propagátor
Nyeregpont közeĺıtés Királis fázis, β = 100 Királis fázis, β = 100 0.12 D 1 1 4π 3 3 0.04 0.04 0 2π π k 1[ 1 L ] 2π 0 π k 2[ 1 L ] [ D (ν ν ) 1 = 1 δ ν,ν + 6 βv V ky[ 1 L ] 0 2π 3 3 k,i,j v (i) v (j) k k+ qˆλ(ν) k+ q v (i) k 0 π 3 iω n n (i) k ] v (j) ) k+ qˆλ(ν k+ q k x[ 1 L ] n (j) k+ q 2π 3 ( ε (j) k+ q ε (i) k )
Nyeregpont közeĺıtés Királis fázis, β = 100 Királis fázis, β = 100 A 1 1 4π 3 3 0.02 0.03 0.04 0 2π π k 1[ 1 L ] 2π 0 π k 2[ 1 L ] ky[ 1 L ] 0 2π 3 3 0 π 3 k x[ 1 L ] 2π 3 A (ν ν ) 1 = 1 βv 6 V k,i,j v (i) k v (j) k+ qˆλ(ν ) k+ q iω n n (i) k n (j) k+ q ( ) v (i) ε (j) ε (i) k k+ q k v (j) k+ qˆλ(ν)
Elemi gerjesztések Elemi gerjesztések Az anomális propagátorokat nullának véve értelmezhetjük a fluktuációk propagátorát: ( ) D (ν ν ) = ˆTn δχ (ν ) dω n δχ(ν) ϱ (ν ν ) = 2π iω n ω n amit ha analitikusan elfolytatunk a teljes ω n komplex síkra, akkor a pólusok helyét azonosíthatjuk az elemi gerjesztésekkel (gyenge perturbációra adott válasz rezonancia helye) ha Im ω n > 0 akkor dinamikailag instabil gerjesztés ha Im ω n 0 és Re ω > 0 stabil gerjesztés ha Im ω n 0 és Re ω 0 termodinamikailag instabil gerjesztés
Elemi gerjesztések D q=0,n polusainak a helye tisztán valós tartományban λ (ν) q=0,n 1 0.5 0-0.5-1 -1.5-2 -2.5-3 -3.5-4 -4.5 ω (1) ω (2) ω (3) ω (4) ω (5) n = 0.521 n = 0.466 n = 0.418 n = 0.269 n = 0.203 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 ω n [g]
Köszönöm a figyelmet!