Mtemtik emelt szintû érettségi témkörök 0 Összeállított: Kovácsné Németh Srolt (gimnáziumi tnár)
Tájékozttó vizsgázóknk szóeli vizsg leírás: z emelt szintû szóeli vizsg z Okttási Hivtl áltl kidott tételsor lpján zjlik. vizsgázó 5 tételõl tételt húz, melynek kidolgozásár 30 perc áll rendelkezésére. tételek z Okttási Hivtl áltl kidott témkörökön túl témkörhöz szorosn kpcsolódó feldtot is trtlmznk. szóeli vizsgán vizsgázóktól tétel címéen megjelölt tém kifejtését és kitûzött feldt megoldását várják el. tétel címéen megjelölt témát logikusn, rányosn felépített, szd elõdásn, önállón kell kifejteni. Ehhez felkészülési idõ ltt célszerû vázltot készíteni. Een tervezze meg címen megjelölt témkör(ök)höz trtozó ismeretnyg rövid áttekintését, dolgozz ki zokt részeket, melyeket részletesen kifejt, oldj meg feldtot. Felelete közen vázltát hsználhtj. feleleten feltétlenül szerepelniük kell z lái részleteknek: egy, témához trtozó, vizsgázó válsztás szerinti definíció pontos kimondás; egy, témához trtozó, vizsgázó válsztás szerinti tétel pontos kimondás és izonyítás; kitûzött feldt megoldás; tém mtemtikán elüli vgy zon kívüli lklmzás (4 lklmzás felsorolás, vgy egy lklmzás részletese kifejtése). H tételhez trtozó kitûzött feldt izonyítást igényel, kkor ennek megoldás nem helyettesíti témkörhöz trtozó tétel kimondását és izonyítását. tétel kidolgozásához és felelethez hsználhtó segédeszközök: z Okttási Hivtl készített és vizsgán iztosított képlettár és szöveges dtok megjelenítésére nem lklms számológép. felelet, zz tétel kifejtése önállón történik. vizsgázttó csk kkor szólht köze, h vizsgázó elvileg hiás úton indul el, vgy elkd, vgy segítséget kér. z utói eseteken izottság segítõ kérdést tesz fel, kizárólg rr szorítkozv, mit tud vizsgázó. tételt szd elõdásmódn kell kifejteni, felépítése legyen logikus. felelet elején jó, h vizsgázó elmondj, mirõl fog eszélni (vázlt), mert kkor izottság látj felelet felépítését, észreveheti z elvi hiát, és így rögtön segíthet, vgy idõcsúszás esetén figyelmeztethet következõ vázltpont ismertetésére. feleleteket z Okttási Hivtl áltl kidott központi értékelési útmuttó lpján kell pontozni. szóeli vizsgán szerezhetõ pontszám 35, ennek ontás következõ: felelet trtlmi összetétele, felépítésének szerkezete témköre illő definíció megtlálás témköre illő tétel megtlálás Logikus felépítés, trtlmi gzdgság felelet mtemtiki helyessége feleleten szereplő, témához illő definíció helyes kimondás H tö definíciót is elmond vizsgázó, kkor legjot értékelik. feleleten szereplő, témához illő tétel helyes kimondás és izonyítás tétel helyes kimondás tétel helyes izonyítás 0 pont pont pont 4 pont 4 pont pont 6 pont pont 4 pont kitûzött feldt helyes megoldás 8 pont H feldtot csk vizsgázttó segítségével tudj elkezdeni, kkor mimum 5 pont dhtó.
lklmzások ismertetése Egy odillő lklmzás megemlítése Ennek részletes kifejtése vgy továi 3 lényegesen eltérő lklmzás említése Mtemtiki nyelvhsznált, kommunikációs készség Mtemtiki nyelvhsznált Önálló, folymtos elődásmód Kommunikáció Ez pont kkor is jár, h vizsgázó önálló felelete után nem volt szükség kérdésre. 4 pont pont 3 pont 5 pont pont pont pont 3
Mtemtik emelt szintû szóeli vizsg témkörei (tételek) 0.. Hlmzok és hlmzok számosság. Hlmzmûveletek és logiki mûveletek kpcsolt.. Számhlmzok ( vlós számok hlmz és részhlmzi), oszthtósággl kpcsoltos prolémák, számrendszerek. 3. Térelemek távolság és szöge. Nevezetes ponthlmzok síkn és téren. 4. Htványozás, htványfoglom kiterjesztése, zonosságok. Gyökvonás és zonossági. 5. vlószínûség-számítás elemei. vlószínûség kiszámításánk komintorikus modellje. 6. logritmus. z eponenciális és logritmusfüggvény, függvények tuljdonsági. 7. Egyenlet-megoldási módszerek, másodfokú, vgy másodfokúr visszvezethetõ egyenletek, gyökvesztés, hmis gyök. 8. dtsokság jellemzõi. Nevezetes közepek. 9. Szélsõérték-prolémák megoldás függvénytuljdonságok lpján. 0. Számsoroztok és tuljdonságik (korlátosság, monotonitás, konvergenci). Nevezetes számsoroztok, végtelen mértni sor.. Függvények vizsgált elemi úton és differenciálszámítás felhsználásávl.. hsonlóság és lklmzási háromszögekre vontkozó tételek izonyításán. 3. Derékszögû háromszögek. 4. Háromszögek nevezetes vonli, pontji és körei. 5. Összefüggés z áltlános háromszögek oldli között, szögei között, oldli és szögei között. 6. Húrnégyszög, érintõnégyszög, szimmetrikus négyszögek. 7. Egyevágósági trnszformációk és lklmzásik. Szimmetrikus sokszögek. 8. kör és részei, kör és egyenes kölcsönös helyzete (elemi geometrii tárgylásn). Kerületi szög, középponti szög, látószög. 9. Vektorok. Vektorok lklmzás koordinát-geometrián. 0. Egyenesek koordinátsíkon. lineáris függvények grfikonj és z egyenes. Elsõfokú egyenlõtlenségek.. kör és prol koordinátsíkon. Másodfokú egyenlõtlenségek.. Szögfüggvények értelmezése vlós számok hlmzán, ezek tuljdonsági, kpcsoltok ugynzon vlós szám szögfüggvényei között. Trigonometrikus függvények és trnszformáltjik. 3. Területszámítás elemi úton és z integrálszámítás felhsználásávl. 4. Komintorik. Gráfok. 5. izonyítási módszerek és emuttásuk tételek izonyításán, tétel és megfordítás, szükséges és elégséges feltétel. 4
. Hlmzok és hlmzok számosság. Hlmzmûveletek és logiki mûveletek kpcsolt Vázlt: I. Hlmzok, részhlmzok n elemû hlmz részhlmzink szám II. Hlmzok számosság: véges, végtelen (megszámlálhtón, illetve nem megszámlálhtón végtelen) hlmzok III. Hlmzmûveletek (komplementer, unió, metszet, különség, Descrtes-szorzt), mûveletek tuljdonsági IV. Logiki mûveletek (tgdás, diszjunkció, konjunkció), mûveletek tuljdonsági V. Hlmzok és logiki mûveletek kpcsolt VI. lklmzások evezetés: hlmzelmélet mtemtikán elül viszonylg új területnek számít, precíz kidolgozásár csk XIX. százd végén került sor. hhoz, hogy hlmzelmélet önálló tudományággá váljon, nnk felismerése kellett, hogy mtemtik minden ág különözõ hlmzokkl fogllkozik. Kidolgozás: I. Hlmzok, részhlmzok hlmz és hlmz eleme lpfoglom, ezeket kifejezéseket nem definiáljuk. De hlmz megdásánk szigorú követelménye vn: egy hlmzt úgy kell megdnunk, hogy minden szó jöhetõ dologról egyértelmûen eldönthetõ legyen, hogy z dott hlmzhoz trtozik vgy sem. hlmzokt nyomttott ngyetûvel, hlmz elemeit kisetûvel jelöljük következõ módon: = {; ; c}, een z eseten Œ, œ. Hlmz megdási módji: Elemeinek felsorolásávl: = {0; ; 4; 6} z elemeit egyértelmûen meghtározó utsítássl: = {egyjegyû pártln számok} Venn-digrmml: DEFINÍCIÓ: Két hlmz egyenlõ, h ugynzokt z elemeket trtlmzzák. DEFINÍCIÓ: z elem nélküli hlmzt üres hlmznk nevezzük. Jele: { } vgy. DEFINÍCIÓ: z hlmz részhlmz hlmznk, h minden eleme hlmznk is eleme. Jele: Õ. 5
DEFINÍCIÓ: z hlmz vlódi részhlmz hlmznk, h részhlmz -nek, de nem egyenlõ vele. Jele: Ã. z üres hlmz minden hlmznk részhlmz: Õ. Minden hlmz önmg részhlmz: Õ. TÉTEL: z n elemû hlmz összes részhlmzink szám: n (n ŒN). IZONYÍTÁS I.: izonyítást teljes indukcióvl végezzük, melynek lényege, hogy elõször elátjuk egy konkrét n esetére z állítást, mjd zt muttjuk meg, h z állítás igz egy tetszõleges n-re, kkor igz z õt követõ (n + )-re is, zz izonyítjuk z állítás öröklõdését. z üres hlmznk egyetlen részhlmz vn: önmg ( 0 = ). Egy egyelemû hlmznk részhlmz vn: z üres hlmz és önmg ( = ). Egy kételemû hlmznk 4 részhlmz vn: z üres hlmz, egyelemû hlmz és önmg ( = 4). Tegyük fel, hogy egy k elemû hlmznk k d részhlmz vn. izonyítni kell, hogy ez öröklõdik, vgyis egy (k + ) elemû hlmznk k + d részhlmz vn. Tekintsük z elõi k elemû hlmzt. Ekkor h z eddigi elemek mellé egy (k + )-edik elemet teszünk hlmz, kkor ezzel megkétszerezzük lehetséges részhlmzok számát, hiszen z új elemet vgy kiválsztjuk z eddigi részhlmzok, vgy nem. Vgyis (k + ) elemû hlmz részhlmzink szám k = k +, mit izonyítni kívántunk. IZONYÍTÁS II.: z n elemû hlmznk n 0 d 0 elemû, n d elemû, n d elemû, n n d n - elemû, n n d n elemû részhlmz vn, mert n elemõl k d-ot kiválsztni n k -féleképpen lehet. Így z összes részhlmzok szám: n + n + n +... + n + n 0 n n. n Vizsgáljuk meg -t: n n n 0 0 ( ) n n n n n n... n n = + = n 0 + + + + + n n, mi egyenlõ n + n + n +... + n + n -nel inomiális tétel mitt. 0 n n II. Hlmzok számosság DEFINÍCIÓ: Egy hlmz számosság z hlmz elemeinek számát jelenti. Jele: ΩΩ. Egy hlmz számosság lehet véges vgy végtelen. DEFINÍCIÓ: Egy hlmz véges hlmz, h elemeinek számát egy természetes számml megdhtjuk. Ellenkezõ eseten, zz h hlmz elemeinek számát nem dhtjuk meg természetes számml, kkor végtelen hlmzról eszélünk. DEFINÍCIÓ: végtelen hlmzok között tlálhtunk olyt, melynek elemei sor rendezhetõk, tehát megdhtó z.,., 3., 4., eleme. pozitív természetes számokkl megegyezõ számosságú hlmzokt megszámlálhtón végtelen hlmzoknk nevezzük. megszámlálhtóság és sor rendezhetõség egy végtelen hlmznál ugynzt jelenti. Minden olyn hlmz megszámlálhtón végtelen számosságú, melynek elemei és természetes számok között kölcsönösen egyértelmû megfeleltetés létesíthetõ. 6
Megszámlálhtón végtelen számosságúk: egész számok, páros számok, négyzetszámok, rcionális számok. DEFINÍCIÓ: vlós számok számosságávl megegyezõ számosságú hlmzokt nem megszámlálhtón végtelen vgy kontinuum számosságú hlmzoknk nevezzük. Pl.: irrcionális számok hlmz, számegyenes pontjink hlmz, intervllum pontjink hlmz. TÉTEL: Számosság és hlmzmûveletek kpcsolt (logiki szit):, és C véges hlmzok számosságár érvényesek következõk: Ω» Ω = ΩΩ + ΩΩ - Ω «Ω Ω Ω = ΩUΩ - Ω» Ω Ω»» CΩ = ΩΩ + ΩΩ + ΩCΩ - Ω «Ω - Ω «CΩ - Ω «CΩ + Ω ««CΩ III. Hlmzmûveletek DEFINÍCIÓ: zt hlmzt, melynek vizsgált hlmzok részhlmzi, lphlmznk vgy univerzumnk nevezzük. Jele: U vgy H. DEFINÍCIÓ: Egy hlmz komplementer hlmzánk z lphlmz zon elemeinek hlmzát nevezzük, melyek z hlmznk nem elemei. Jele:. DEFINÍCIÓ: Két vgy tö hlmz uniój vgy egyesítése mindzon elemek hlmz, melyek leglá z egyik hlmznk elemei. Jele:». DEFINÍCIÓ: Két vgy tö hlmz metszete vgy közös része pontosn zoknk z elemeknek hlmz, melyek mindegyik hlmznk elemei. Jele: «. DEFINÍCIÓ: Két hlmz diszjunkt, h nincs közös elemük, vgyis metszetük üres hlmz. «=. DEFINÍCIÓ: z és hlmz különsége z hlmz mindzon elemeinek hlmz, melyek hlmznk nem elemei. Jele: \. DEFINÍCIÓ: z és hlmz Descrtes-féle szorzt z hlmz, melynek elemei z összes olyn rendezett (; ) pár, melynél Œ és Œ. Jele:. U U U U Komplementer hlmz Két hlmz uniój Két hlmz metszete U U Diszjunkt hlmzok és hlmz \ különsége 7
Hlmzmûveletek tuljdonsági Kommuttív (felcserélhetõ): sszocitív (csoportosíthtó): Disztriutív (széttgolhtó)» =» «= «(» )» C =» (» C) ( «) «C = «( «C)» ( «C) = (» ) «(» C) «(» C) = ( «)» ( «C) De-Morgn zonosságok: = és = IV. Logiki mûveletek DEFINÍCIÓ: z állítás (vgy kijelentés) olyn kijelentõ mondt, melyrõl egyértelmûen el lehet dönteni, hogy igz vgy hmis. DEFINÍCIÓ: z igz és hmis kijelentés logiki értéke. H z állítás igz, állítás hmis, kkor úgy is mondhtjuk, hogy z logiki értéke igz, logiki értéke hmis. Jelekkel: ΩΩ = i és ΩΩ = h. z igz értéket szokták -gyel, hmis értéket 0-vl jelölni. DEFINÍCIÓ: kijelentéseket összekpcsolhtjuk. zokt kijelentéseket, melyeket más kijelentésekõl lehet elõállítni, összetett kijelentéseknek nevezzük. DEFINÍCIÓ: H z összetett kijelentések logiki értéke csk z õt lkotó állítások logiki értékétõl és z elõállítás módjától függ, kkor logiki mûveletekrõl eszélünk. logiki mûveleteket igzságtál segítségével végezhetjük el. DEFINÍCIÓ: z állítás tgdás egyváltozós mûvelet. Egy kijelentés negációj (tgdás) z kijelentés, mely kkor igz, h hmis és kkor hmis, h igz. Jele: vgy ÿ. DEFINÍCIÓ: Állítások diszjunkciój: logiki vgy : Két kijelentés diszjunkciój pontosn kkor igz, h leglá z egyik kijelentés igz, különen hmis. Jele:. DEFINÍCIÓ: Állítások konjunkciój: logiki és : Két kijelentés konjunkciój pontosn kkor igz, h mindkét kijelentés igz, különen hmis. Jele: Ÿ. Igzságtálávl: tgdás negáció vgy diszjunkció és konjunkció Ÿ i h i i i i i i h i i h i i h h h i i h i h h h h h h h 8
Logiki mûveletek tuljdonsági: Kommuttív (felcserélhetõ): sszocitív (csoportosíthtó): Disztriutív (széttgolhtó) De-Morgn zonosságok: = Ÿ = Ÿ ( ) C = ( C) ( Ÿ ) Ÿ C = Ÿ ( Ÿ C) ( Ÿ C) = ( ) Ÿ ( C) Ÿ ( C) = ( Ÿ ) ( Ÿ C) V. hlmzok és logiki mûveletek kpcsolt = és = definíciókól és mûveleti tuljdonságokól láthtó, hogy sok hsonlóság vn hlmzok és kijelentések, vlmint velük végezhetõ mûveletek között. z lphlmz részhlmzi és kijelentések egymásnk megfelelõ foglmk. mûveleteknél hlmzok uniójánk kijelentések közti diszjunkció (logiki vgy), hlmzok metszetének kijelentések közti konjunkció (logiki és), komplementer hlmznk kijelentés tgdás felel meg. VI. lklmzások iológián rendszertn, kémián periódusos rendszereli csoportosítás is hlmzelméleti foglmk. Mûveletek: melyik csoport melyiknek részhlmz? Vércsoport szerint z emerek különözõ hlmzok sorolhtók. Mûveletek: ki kinek dht vért? Európ országi hivtlos nyelvük lpján hlmzok sorolhtók. Mûveletek: melyik országn hivtlos nyelv z ngol vgy német? z érettségin nem kötelezõ tárgyk válsztás szerint is hlmzok sorolhtók vizsgázók. Mûveletek: ki vizsgázik kémiáól és iológiáól is? hlmzelmélethez hsonlón épül fel z eseménylger és mtemtiki logik. függvényekkel kpcsoltn is hsználjuk hlmzokt (értelmezési trtomány, értékkészlet). Egyenletek értelmezési trtományánk vizsgáltkor számhlmzok metszetét képezzük. 9
. Számhlmzok ( vlós számok hlmz és részhlmzi), oszthtósággl kpcsoltos prolémák, számrendszerek Vázlt: I. Számhlmzok: természetes, egész, rcionális, irrcionális, vlós számok, ezek zártság II. Mûveleti tuljdonságok: kommuttivitás, sszocitivitás disztriutivitás III. Oszthtóság foglm, tuljdonsági, oszthtósági szályok. Prímszám, összetett szám, számelmélet lptétele, osztók szám. Legngyo közös osztó, legkise közös töszörös. IV. Számrendszerek V. lklmzások evezetés: számfoglom kilkulás ngyon hosszú folymt eredménye. fejlõdés kori szkszán is szükség volt z emer számár fontos dolgok megszámlálásár. számlálás igénye lkított ki pozitív egész számok foglmát. mtemtik fejlõdését kuttók szerint ezután hosszú idõ telt el null felfedezéséig. Kidolgozás: I. Számhlmzok DEFINÍCIÓ: természetes számok hlmz (N) pozitív egész számokól és 0-ól áll. természetes számok hlmz zárt z összedásr és szorzásr nézve, zz ármely két természetes szám összege és szorzt természetes szám. Ugynkkor kivonás és z osztás már nem végezhetõ el ezen hlmzon elül, ezek mûveletek kimuttnk hlmzól. Pl. 3 - = 5 egyenlet megoldás. DEFINÍCIÓ: z egész számok hlmz (Z) természetes számokól és zok ellentettjeiõl áll. z egész számok hlmz z összedáson és szorzáson kívül kivonásr nézve is zárt, ugynkkor z osztás kimuttht hlmzól. Pl. + 3 = 4 egyenlet megoldás. DEFINÍCIÓ: rcionális számok hlmz (Q) zokól számokól áll, melyek felírhtók két egész szám hánydosként, zz lkn, hol, ŒZ, π 0. z hánydos következõ lkokn fordulht elõ (, ŒZ, π 0, és tört végsõkig leegyszerûsített, zz és legngyo közös osztój.): egész szám, h osztój -nk. véges tizedes tört, h prímtényezõs felontásán és z 5 számokon kívül nincs más prímszám. végtelen szkszos tizedes tört, h prímtényezõs felontásán és z 5 számokon kívül más prímszám is vn. Tehát rcionális számok következõ lkúk: közönséges törtek, egészek, véges vgy végtelen szkszos tizedes törtek. 0
rcionális számok hlmz mind 4 lpmûveletre zárt (osztásr, h z osztó nem 0), de itt is tlálunk olyn egyenletet, melynek nincs megoldás ezen hlmzon. Pl.: - 3 = 0. DEFINÍCIÓ: zokt számokt, melyek nem írhtók fel két egész szám hánydosként, irrcionális számoknk (Q*) nevezzük. TÉTEL: irrcionális szám. IZONYÍTÁS: izonyítást indirekt módon végezzük, lényege, hogy izonyítndó állítás tgdásáról eizonyítjuk, hogy z hmis. Ez zt jelenti, hogy izonyítndó állítás igz. Tegyük fel hogy rcionális szám, zz felírhtó lkn, hol, ŒZ, π 0, (; ) =. Ekkor z egyenlet jo oldlán szereplõ ( ) szám prímtényezõs felontásán mindenféleképpen páros kitevõn (kár nulldikon) szerepel, míg l oldlon levõ szám ( ) prímtényezõs felontásán kitevõje pártln (legkevese ). Ez zonn lehetetlen, hiszen számelmélet lptétele szerint egy pozitív egész számnk nincs két lényegesen különözõ felontás. Tehát nem igz z indirekt feltevésünk, vgyis igz z eredeti állítás: irrcionális. + = 0 Q *, z irrcionális számok hlmz nem zárt 4 lpmûveletre ( ( )) = Q *, : = Q *. z irrcionális számok tizedes tört lkj végtelen nem szkszos tizedes tört. DEFINÍCIÓ: rcionális és z irrcionális számok hlmz diszjunkt hlmzok (Q «Q* = ), két hlmz egyesítése vlós számok hlmz: R = Q» Q*. vlós számok hlmz zárt 4 lpmûveletre. vlós számok és részhlmzi: Q R Q* 3 0 Z N N + 0,6 947 86 0,3 /3 p II. Mûveleti tuljdonságok:,, c ŒR esetén. z összedás és szorzás kommuttív (felcserélhetõ) + = + és =. z összedás és szorzás sszocitív (csoportosíthtó) ( + ) + c = + ( + c) és ( ) c = ( c) 3. szorzás z összedásr nézve disztriutív (széttgolhtó) ( + ) c = c + c
III. Oszthtóság DEFINÍCIÓ: Egy egész szám osztój egy egész számnk, h tlálhtó olyn c egész szám, melyre c =. Jelölés: Ω. (Ekkor cω is igz.) Ekkor zt is mondhtjuk, hogy töszöröse -nk. Oszthtóság tuljdonsági: H,, c ŒZ, kkor Ω, Ω és Ω0, h π 0 Ω és Ω fi = Ω fi Ω c Ω és Ωc fi Ω ± c Oszthtósági szályok: Egy n egész szám oszthtó -vel, h n páros, vgyis utolsó jegye Œ{0; ; 4; 6; 8}. 3-ml, h számjegyek összege oszthtó 3-ml. 4-gyel, h két utolsó jegyõl képzett szám oszthtó 4-gyel. 5-tel, h utolsó jegye Œ{0; 5}. 6-tl, h -vel és 3-ml oszthtó. 8-cl, h három utolsó jegyõl képzett szám oszthtó 8-cl. 9-cel, h számjegyek összege oszthtó 9-cel. 0-zel, h utolsó jegye 0. DEFINÍCIÓ: zokt pozitív egész számokt, melyeknek pontosn két pozitív osztój vn, prímszámoknk nevezzük. Pl.: ; 3; 5; 7; z nem prímszám. DEFINÍCIÓ: zokt z -nél ngyo számokt, melyek nem prímszámok, összetett számoknk nevezzük. z összetett számoknk -nél tö pozitív osztój vn. Pl.: 4; 6; 8; 9; 0; TÉTEL: számelmélet lptétele: ármely összetett szám felírhtó prímszámok szorztként, és ez felontás tényezõk sorrendjétõl eltekintve egyértelmû. 3 k Knonikus lk: n= p α p α p α p α, hol p, p, p 3,..., p k különözõ prímek,,, 3 3,..., k nemnegtív egész számok. Ekkor z n szám prímosztói: p, p, p 3,..., p k. k TÉTEL: z n szám osztóink szám meghtározhtó következõ módon: fenti n számnk ( + ) ( + ) ( 3 + )... ( k + ) dr pozitív osztój vn. DEFINÍCIÓ: Két vgy tö pozitív egész szám legngyo közös osztój közös osztók közül legngyo. Jele: (; ). Elõállítás: felírjuk számok prímtényezõs lkját, vesszük közös prímtényezõket (melyek z összes felontásn szerepelnek), ezeket hozzájuk trtozó legkise kitevõvel vesszük és összeszorozzuk. DEFINÍCIÓ: H két pozitív egész szám legngyo közös osztój, kkor két szám reltív prím. DEFINÍCIÓ: Két vgy tö pozitív egész szám legkise közös töszöröse közös töszörösök közül legkise. Jele: [; ]. Elõállítás: felírjuk számok prímtényezõs lkját, vesszük z összes prímtényezõt, ezeket hozzájuk trtozó legngyo kitevõvel vesszük és összeszorozzuk. Összefüggés két pozitív egész szám legngyo közös osztój és legkise közös töszöröse között: (; ) [; ] =.
IV. Számrendszerek DEFINÍCIÓ: z lpú számrendszer helyi értékei:,,, 3, 4,..., z lpú számrendszeren -féle számjegy vn: 0,,,..., - (lki érték), h > 0, kkor etûket hsználunk számjegyként. helyi értékes árázolás zt jelenti, hogy számjegyek értékén kívül leírásuk helye is értékkel ír. Egymás után írjuk számjegyeket és z dott ponthoz viszonyítjuk helyüket. Áttérés 0-es számrendszerõl más lpú számot osztjuk z új számrendszer lpszámávl, mjd z így kpott hánydost újr mindddig, míg 0 hánydost nem kpunk. z osztásoknál kpott mrdékok lesznek z új szám lki értékei z egyesektõl kezdve. Pl. 948 0 7-es számrendszere átírv: 948 = 35 7 + 3 35 = 9 7 + 0 09 = 7 + 500 00 = 0 7 + 00 Így 948 0 = 53 7. Áttérés más lpúól 0-es számrendszere megfelelõ helyi értékeknek és hozzájuk trtozó lki értékeknek szorzt összege dj 0- eseli értéket: Pl.: 53 7 0-es számrendszere átírv: 53 7 = 7 3 + 5 7 + 7 + 3 = 948 0 Összedó tál -es számrendszeren: Szorzótál -es számrendszeren: + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Mûveletek végezhetõk pl.: tálák lpján, vgy 0-es számrendszere vló átírássl és z eredmény dott számrendszere vló visszírásávl. V. lklmzások: Rcionális számok: rányok, rányosság, hsonlóság Irrcionális számok: szályos háromszög mgsság 3 kerülete (rp), területe (r p). Legngyo közös osztó: törtek egyszerûsítése Legkise közös töszörös: törtek közös nevezõre hozás Kifejezések legõve értelmezési trtományánk meghtározás, pl., négyzet átlój ( ), kör + +. Függvény értékkészletének megállpítás Számítógépeken -es számrendszer két jegyével jól hsználhtó: folyik árm =, nem folyik árm = 0 (Neumnn-elv). M már inká 6-os, hedecimális számrendszert hsználják, mi felépíthetõ kettesõl. 3
Kétismeretlenes egyenlet megoldás természetes számok hlmzán (oszthtóság felhsználásávl) pl.: 3+ y= y 3 = y y 3 = y( ) y= 3 = 3 6 + 6 = 3+ 6 N Ω6 Ez következõ eseteken lehetséges: - 3 6 - - -3-6 3 4 5 8 0 - -4 y 9 6 5 4-3 0 táláztn szerepel z összes megoldás, z 5 megjelölt számpár felel meg feltételnek. 4
3. Térelemek távolság és szöge. Nevezetes ponthlmzok síkn és téren Vázlt: I. Térelemek, ezek illeszkedése, párhuzmosság, szöge, távolság II. Nevezetes ponthlmzok: kör (göm), párhuzmos egyenespár (hengerfelület), szkszfelezõ merõleges egyenes (sík), középpárhuzmos, szögfelezõ, prol III. Egyé ponthlmzok: ellipszis, hiperol, 3 ponttól, illetve 3 egyenestõl egyenlõ távolágr lévõ pontok, látókörív IV. lklmzások evezetés: geometri mtemtik egyik legõsi ág. Már Kr.e. 35 körül Eukleidész megírt Elemek címû mûvét, melyen geometriát iomtikusn felépítette, zz szemléletre hgytkozv lpfoglmkt (iómákt) htározott meg, és ezek segítségével izonyított állításokt. körülöttünk levõ világ megismeréséhez elengedhetetlen tér foglmánk, törvényszerûségeinek pontos ismerete. Kidolgozás: I. Térelemek Pont, egyenes, sík lpfoglmk, nem definiáljuk õket, hnem szemléletõl kilkult jelentésükre hgytkozunk. DEFINÍCIÓ: Két térelem illeszkedõ, h egyik részhlmz másiknk. DEFINÍCIÓ: Két egyenes párhuzmos, h egy síkn vnnk és nem metszik egymást. DEFINÍCIÓ: Egyenes és sík, illetve sík párhuzmos, h nincs közös pontjuk. DEFINÍCIÓ: Egy egyenest egy rá illeszkedõ pont két félegyenesre oszt, ez pont mindkét félegyenes kezdõpontj. DEFINÍCIÓ: Egy síkn két, zonos pontól kiinduló félegyenest és z áltluk meghtározott ármelyik síkrészt szögnek nevezzük. közös kezdõpont szög csúcspontj, két félegyenes szög szári, síkrész szögtrtomány. DEFINÍCIÓ: Illeszkedõ vgy párhuzmos térelemek szöge 0º. DEFINÍCIÓ: Két metszõ egyenes 4 szöget lkot, ezek közül - egyenlõ. H két egyenes nem merõleges egymásr, kkor két egyenes hjlásszöge kétfjt szög közül kiseik. H két egyenes merõleges egymásr, kkor hjlásszögük derékszög. Eszerint két metszõ egyenes hjlásszöge 90º-nál nem ngyo. 5
DEFINÍCIÓ: Két egyenes kitérõ, h nincsenek egy síkn. DEFINÍCIÓ: Két kitérõ egyenes hjlásszöge tér egy tetszõleges pontján átmenõ és z dott egyenesekkel párhuzmos egyenesek hjlásszöge. Ez szög pont megválsztásától független. TÉTEL: Egy, síkot metszõ egyenes merõleges síkr, h merõleges sík minden egyenesére (síkr merõleges egyenes tétele). Definíció szerint egy egyenes merõleges síkr, h merõleges sík minden olyn egyenesére, mely átmegy z egyenes és sík metszéspontján. DEFINÍCIÓ: H z e egyenes nem merõleges síkr, kkor z egyenes merõleges vetülete síkon szintén egyenes (e ). Een z eseten z egyenes és sík hjlásszögén z egyenes és vetülete hjlásszögét értjük. Ez szög legkise z egyenes és sík egyenesei áltl ezárt szögek között. e S DEFINÍCIÓ: H két sík nem párhuzmos egymássl, kkor metszésvonluk egy pontján mindkét síkn merõlegest állítunk metszésvonlr. két sík hjlásszöge e két egyenes hjlásszögével egyenlõ. Ez szög pont megválsztásától független. DEFINÍCIÓ: Két illeszkedõ vgy metszõ térelem távolság 0. DEFINÍCIÓ: Két pont távolság pontokt összekötõ szksz hossz. DEFINÍCIÓ: Pont és egyenes távolság pontól z egyenesre ocsátott merõleges szksz hoszsz. DEFINÍCIÓ: Pont és sík távolság pontól síkr ocsátott merõleges szksz hossz. P P S DEFINÍCIÓ: Párhuzmos egyenesek távolság: ármelyik egyenes egy tetszõleges pontjánk távolság másik egyenestõl, zz két egyenest összekötõ, mindkettõre merõleges szksz hossz. P e Q d( e; f ) =d( P; f ) =d( Q; e ) =PQ f 6
DEFINÍCIÓ: Két kitérõ egyenes távolság z õket összekötõ, mindkettõre merõleges szksz hossz. zt z egyenest, mely mindig létezik és egyértelmû és mely mindkét kitérõ egyenesre merõleges, két egyenes normáltrnszverzálisánk nevezzük. Így két kitérõ egyenes távolság normáltrnszverzálisuk közéjük esõ részének hossz. e f DEFINÍCIÓ: Egyenes és vele párhuzmos sík távolság z egyenes egy tetszõleges pontjánk síktól vló távolságávl egyenlõ, zz z egyenes ármely pontjáól síkr ocsátott merõleges szksz hosszávl egyenlõ. P e des, P S DEFINÍCIÓ: Két párhuzmos sík távolság z egyik sík egy tetszõleges pontjánk másiktól vett távolság, zz ármelyik sík egy tetszõleges pontjáól másik síkr ocsátott merõleges szksz hossz. P S ds, S P S II. Nevezetes ponthlmzok DEFINÍCIÓ: zoknk pontoknk hlmz síkon, melyek sík egy dott O pontjától dott r távolságr vnnk, egy O középpontú, r sugrú kör. DEFINÍCIÓ: zoknk pontoknk hlmz téren, melyek tér dott O pontjától dott r távolságr vnnk, egy O középpontú, r sugrú göm. DEFINÍCIÓ: dott egyenestõl dott távolságr lévõ pontok hlmz síkon z egyenessel párhuzmos egyenespár. DEFINÍCIÓ: dott egyenestõl dott távolságr lévõ pontok hlmz téren olyn hengerfelület, melynek tengelye z dott egyenes. DEFINÍCIÓ: Két ponttól egyenlõ távolságr lévõ pontok hlmz síkn szksz felezõmerõleges egyenese. P F Q 7
DEFINÍCIÓ: Két ponttól egyenlõ távolságr lévõ pontok hlmz téren szksz felezõmerõleges síkj. F DEFINÍCIÓ: Két párhuzmos egyenestõl egyenlõ távolságr lévõ pontok hlmz síkn olyn egyenes, mely két dott egyenessel párhuzmos és távolságukt felezi (középpárhuzmos). DEFINÍCIÓ: Két metszõ egyenestõl egyenlõ távolságr lévõ pontok hlmz z áltluk ezárt szögek szögfelezõ egyenesei. Két ilyen egyenes vn, ezek merõlegesek egymásr. e f DEFINÍCIÓ: Egy egyenestõl és egy rjt kívül lévõ ponttól egyenlõ távolságr lévõ pontok hlmz síkon: prol. t P d p F T III. Egyé ponthlmzok DEFINÍCIÓ: zoknk pontoknk hlmz síkon, melynek sík két különözõ dott pontjától mért távolságösszege z dott pontok távolságánál ngyo állndó: ellipszis. DEFINÍCIÓ: zoknk pontoknk hlmz síkon, melyeknek sík két különözõ dott pontjától mért távolságkülönségének szolút értéke két dott pont távolságánál kise állndó: hiperol. 8
TÉTEL: Három dott ponttól egyenlõ távolságr lévõ pontok hlmz síkon egy pont (h 3 pont nem esik egy egyenesre), vgy üres hlmz (h 3 pont egy egyenesre esik). C K C TÉTEL: háromszög három oldlfelezõ merõlegese egy pontn metszi egymást. IZONYÍTÁS: Tekintsük z C háromszög és C oldlánk oldlfelezõ merõlegesét. Ezek z egyenesek metszik egymást, mert háromszög oldli nem lehetnek párhuzmosk egymássl. Jelöljük két oldlfelezõ merõleges metszéspontját M-mel. Ekkor M pont egyenlõ távolságr vn és csúcsoktól (mert M illeszkedik szkszfelezõ merõlegesére), illetve és C csúcsoktól (mert M illeszkedik C szkszfelezõ merõlegesére). Eõl következik, hogy M egyenlõ távolságr vn és C csúcsoktól, tehát M-n áthld C oldlfelezõ merõlegese. Tehát három oldlfelezõ merõleges egy pontn metszi egymást. C M f C f TÉTEL: háromszög oldlfelezõ merõlegeseinek metszéspontj háromszög köré írt kör középpontj. IZONYÍTÁS: z elõi izonyítás szerint M egyenlõ távolságr vn -tól, -tõl és C-tõl. Legyen ez távolság M = M = MC = r. Ekkor, és C pontok r távolságr vnnk M-tõl, zz illeszkednek egy M középpontú, r sugrú körre. háromszög köré írt kör középpontj hegyesszögû háromszög esetén háromszögön elül, derékszögû háromszög esetén z átfogó felezõpontjá, tompszögû háromszög esetén háromszögön kívülre esik. O O O TÉTEL: Három dott ponttól egyenlõ távolságr lévõ pontok hlmz téren egy olyn egyenes, mely áthld három pont, mint háromszög köré írhtó kör középpontján, és merõleges 9
3 pont síkjár (h 3 pont nem esik egy egyenese), vgy üres hlmz (h 3 pont egy egyenese esik). TÉTEL: Három egyenestõl egyenlõ távolságr lévõ pontok hlmz síkon: H 3 egyenes párhuzmos, kkor üres hlmz. H egyenes párhuzmos (e ª f), egy pedig metszi õket (g), kkor párhuzmos egyenes középpárhuzmosán két olyn pont, melyek illeszkednek két metszõ egyenes (pl. e és g) szögfelezõire. g e M M f H 3 egyenes 3 különözõ pontn metszi egymást, kkor szögfelezõ egyeneseik metszéspontji. 4 ilyen pont vn, z egyik háromszög eírt körének, 3 pedig háromszög hozzáírt köreinek középpontj. O O O O 3 H 3 egyenes egy pontn metszi egymást, kkor egyetlen pont, 3 egyenes metszéspontj. f g M e 0
DEFINÍCIÓ: zoknk pontoknk hlmz síkon, melyekõl egy dott szksz dott szögen (0º < < 80º) látszik két, szksz egyenesére szimmetrikusn elhelyezkedõ körív (látókörívek). O O O O O = 90º 0 < < 90º 90º< < 80º IV. lklmzások Koordinát-geometrián kör, prol, z ellipszis és hiperol egyenletének felíráskor z dott göre definícióját hsználjuk fel. Látókörívek: egy tégllp egyik oldl szomszédos oldl mely pontjáól látszik legngyo szögen (színház, sportpály). Szerkesztési feldtokn: háromszög szerkesztése egy oldl, vele szemközti szög és z oldlhoz trtozó mgsság ismeretéen, vgy dott. egy pont és egy egyenes, szerkesszük meg z egyenest érintõ, ponton áthldó, dott sugrú köröket. Prolntennák. Két tny közös postládát kp z országút mentén. Hov helyezzék, hogy mindkét tnyától egyenlõ távolságr legyen? F P út
4. Htványozás, htványfoglom kiterjesztése, zonosságok. Gyökvonás és zonossági Vázlt: I. Pozitív egész kitevõjû htványok, htványozás zonossági II. Permnenci-elv III. Negtív egész, törtkitevõs, irrcionális kitevõjû htvány IV. z n-edik gyök foglm (n ŒN +, n π ) V. z n-edik gyökvonás zonossági VI. lklmzások evezetés: htványozást ugynz z igény hívt létre, mint szorzást. szorzás z ismételt összedást jelenti, htványozást zonos számok szorzásár vezették e, késõ kiterjesztették értelmezését. gyökvonás mûvelete htványkitevõ és htvány ismeretéen z lp kiszámolását teszi lehetõvé. Kíni mtemtikusok már z idõszámításunk kezdetén ismerték négyzetgyök és kögyök foglmát. mi jelölésrendszere XVI. százdn lkult ki. Kidolgozás: I. Pozitív egész kitevõjû htványok DEFINÍCIÓ: H tetszõleges vlós szám és n -nél ngyo természetes szám, kkor n htvány zt z n tényezõs szorztot jelenti, melynek minden tényezõje. H n =, kkor =. z számot htvány lpjánk, z n számot htvány kitevõjének nevezzük. htványozás zonossági pozitív egész kitevõ esetén: (, ŒR, m, n ŒN + ) TÉTEL: zonos lpú htványokt úgy is szorozhtunk, hogy közös lpot kitevõk összegére emeljük: m n = m + n IZONYÍTÁS: = ( ) ( ) = = + m n m n htv. def. szorzás htv. def. md nd sszoc. m+ nd TÉTEL: zonos lpú htványokt úgy is oszthtunk, hogy közös lpot kitevõk különségére emeljük: m = m n, h π 0, m > n. n. IZONYÍTÁS: md m nd m = = = n htv. def. egysze- htv. def. rûsítés n d m n.