FELADATOK Taylor- (Maclauri- soro, hibabecslés Határozzu meg az e üggvéy -örüli Taylor-sorát! Adju meg a hatváysor overgecia sugarát, ill. overgecia halmazát! Számítsu i a deriváltaat a -helye: e, e, e, ( ( e, tehát ( e, És helyettesítsü be a Maclauri-sor épletébe: e.! ( +! lim lim < +! R, tehát a sor a teljes számegyeese overges., (,. Határozzu meg az cos üggvéy -örüli Taylor-sorát! Adju meg a hatváysor overgecia sugarát, ill. Kovergecia halmazát! cos si cos si ( cos si cos ( 7 si ( 7 ( 8 cos ( 8 cos ; ; cos si cos si cos si cos si cos cos ; ( + ( ( + ( + si ; + Tehát, cos +!!! (!.
( ( +! lim lim (! R, tehát a sor a teljes számegyeese overges. ( + ( + <, (,. Határozzu meg az si üggvéy -örüli Taylor-sorát! Adju meg a hatváysor overgecia sugarát, ill. overgecia halmazát! si si cos si cos ( si cos si ( 7 cos ( 7 ( 8 si ( 8 ( ( + si ; cos ; cos si cos si cos si cos si ( si ; ( + ( cos ( + ( + ( + ; Tehát, si +!!!! ( + +. ( +! lim lim ( +! R, tehát a sor a teljes számegyeese overges. ( + ( + <, (,. Határozzu meg az l üggvéy -örüli Taylor-sorát! Adju meg a hatváysor overgecia sugarát, ill. overgecia halmazát! l l ( (
( ( ( +! ( ( +!. ( ( (. Tehát, l l +! ( ( ( + ( + + lim lim lim <. + + < < < < <. A overgecia-sugár tehát R. Az a özéppottól tehát egység távolságra levő potoba még meg ell vizsgáli a overgeciát: : ( ( ( l + ( l + l l +. Ez pedig a harmoius sor, amelyről tudju, hogy diverges. Itt tehát a hatváysor is diverges. : ( ( ( l + ( l + l +. Ez Leibiz-típusú sor, tehát overges. A hatváysor tehát overgál a helye. Tehát a hatváysor overgecia tartomáya a (, ] élig zárt itervallum. Határozzu meg az + + üggvéy (--örüli Taylor-sorát! + + ( + ( ( ( ( 8
( ( ; ( ; ( ( Tehát, ( + +! ( ( ( + + + + + + + ( + + ( +! 8 ( + + ( + ( + + ( + A hatváysor overgecia tartomáya: (,. + + + 8 + + +. Határozzu meg az l ( + üggvéy -örüli Taylor-sorát! l ( + ( l ( + ( + ( + + + + ( (! + + ; Tehát, l ( + ( (!!!!!!! ( ( ( (! ( (!! ; +. + +!! 7 Határozzu meg az + üggvéy -örüli Taylor-sorát! + + ( ( + + ( ( + + 7
7 9 + 7 ( 79 + 79 ( ( 7 + ; ( 7 ( ( ( ; Tehát, ( ( + ( (! ( ( + +! ( 7 ( + +! ( 7 ( + +! 8 Határozzu meg az ( tg üggvéy π-örüli Taylor-sorát! (aa első három em ulla tagját ( tg ' ( cos " si ( cos + si '''( cos 8si ( + si cos si 8si + cos cos ( cos + 8cos si si cos + cos si ( + cos cos. tg : tg( π + ( ( π ( π! ( π.+ ( π + ( π + ( π + ( π!! ( π + ( π + ( π +...!! +...
9 Számítsu i a cos(. özelítő értéét a -redű Maclauri-poliomja segítségével, és becsüljü meg a hibát! Az helye a cos( üggvéy Maclauri-sora: cos( + +..!!! Számítsu i ee alapjá özelítőleg a. osziuszát: cos(. T (. (. + (. (.!!!.8778. A özelítés hibáját a üggvéy és a Maclauri poliom eltéréséből, a Lagrage-éle maradétag elülről való becsléséből tudju iszámítai: (8 ( c (. 8 cos(. T (., ahol < c <.. 8! (8 Mivel, azért cos(. T ( c 8 (. (8 8 (.. 8! 8!..97 Határozzu meg az alábbi üggvéye örüli Taylor sorát (aa első öt em ulla tagját és aa overgecia sugarát! a ( + b ( ( c ( cos d ( si( e ( ( g ( h ( ( + + ( Határozzu meg a övetező üggvéye -pothoz tartozó -edredű Taylorpoliomjáit! a π π si ( tg, < <. b (,. cos d ( l( + si c ( e Számítsu i a l(. özelítő értéét a -redű Maclauri-poliomja segítségével, és becsüljü meg a hibát! Számítsu i a si( özelítő értéét a 7-redű Maclauri-poliomja segítségével, és becsüljü meg a hibát!