Mese a kis hangyáról és a gonosz manóról

Mese a kis hangyáról és a gonosz manóról Besenyei Ádám badam@cs.elte.hu Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék Matematikai Intézet Eötvös Loránd Tudományegyetem, Budapest Specmatos tanárok találkozója Óbudai Árpád Gimnázium, Budapest 2016. 04. 11.

Mi az előadás célja?

Egy (tan)mese a differenciálegyenletekről Mit rejt egy játékos feladat? Mi minden rejlik egy KöMaL feladat mögött, ha az (elemibb) analízis szemüvegén keresztül tekintünk rá: diszkrét kérdések folytonos kérdések kapcsolat diszkrét és folytonos között matektörténeti érdekességek Az előadás végére eljutunk a legegyszerűbb differenciálegyenletekig. De nem kell megijedni, mindez játékos köntösbe bújtatva és középiskolás szinten tálalva, így akár szakkörön is tárgyalható 12. osztályban és kedvet csinálhat a diákoknak és tanároknak a differenciálegyenletekhez. (Gondolja ezt a szerző, aki soha nem tanított középiskolában... ) Besenyei Ádám (ELTE) A kis hangya és a gonosz manó Árpád Gimn., 2016. 04. 11. 2 / 62

Gondolatébresztő

Wigner Jenő (1902 1995)... a matematika roppant hasznos volta a természettudományokban a titokzatossal határos, és kielégítő magyarázatot nem is tudunk rá adni.... a»természettörvények«létezése egyáltalán nem természetes, még kevésbé az, hogy az ember képes azokat felfedezni.... A csoda, a matematika nyelvének alkalmas volta a fizika törvényeinek megfogalmazására, varázslatos adomány, melyet nem értünk és nem érdemlünk meg. (Előadás a New York Egyetemen, 1959)

A kis hangya

A kis hangya a KöMaLban KöMaL B. 4593. jelű feladat (2014. január). A kis hangya egy 4 méter hosszú gumikötél bal végpontjától állandó sebességgel mászik a jobb oldali végpont felé, percenként pontosan 1 métert megtéve. Minden perc eltelte után a bal oldali végén rögzített és vízszintesen fekvő gumikötelet 1 méterrel egyenletesen megnyújtjuk. Hányadik percben éri el a kis hangya a kötél jobb oldali végpontját? (A hangyát pontszerűnek tekintjük, a kötél megnyújtására fordított idő elhanyagolható, és a gumikötél akármeddig nyújtható, nem szakad el.) 1 m/perc +1 m /perc 4 m A kis hangya, aki nem is olyan kicsi és főleg nem pontszerű... Besenyei Ádám (ELTE) A kis hangya és a gonosz manó Árpád Gimn., 2016. 04. 11. 6 / 62

A kis hangya a KöMaLban Hasznos észrevételek. A hangya 1 méter mászással a kötél h l 0 h l 0 h + 1 l h+1 -ed részétől a l -ed részéig ér. = A hangya helyzetének és a kötél hosszának aránya 1 l -el nő. A kötél egyenletes megnyújtása = a bal végpontból való nagyítás. 0 h l 0 λh λl = Egy megnyújtás során a hangya helyzetének és a kötél hosszának aránya nem változik. Besenyei Ádám (ELTE) A kis hangya és a gonosz manó Árpád Gimn., 2016. 04. 11. 7 / 62

A kis hangya a KöMaLban A feladat megoldása. Vizsgáljuk meg, hogy az n-edik perc végén mennyi a kötél hossza (l n ) és a kötél hányad részénél tart éppen a hangya (a n ): n l n a n 0 4 0 1 5 1 4 2 6 1 4 + 1 5 = 9 20 1 3 7 4 + 1 5 + 1 6 = 37 60 1 4 8 4 + 1 5 + 1 6 + 1 7 = 319 420 1 5 9 4 + 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 = 743 840 1 6 10 4 + 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 + 1 9 = 2509 2520 7 11 1 4 + 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 + 1 9 + 1 10 = 2761 = A 7. percben (7 11 252 2520 > 1 perc múlva) ér el a kötél jobb oldali végéhez. Besenyei Ádám (ELTE) A kis hangya és a gonosz manó Árpád Gimn., 2016. 04. 11. 8 / 62

A kis hangya általánosan A KöMaL feladat általánosítása. Legyen d a gumikötél kezdeti hossza (m), v a hangya sebessége (m/perc), V a kötél nyúlási sebessége (m/perc). Percenként V méterrel nyúlik meg a kötél, így az (n 1)-edik perc végén a hossza: l n 1 = d + (n 1)V. Az n-edik percben a hangya v métert tesz meg, ezért h n = h n 1 + v, így a hangya h n helyzetének és a kötél l n hosszának a n aránya az n-edik perc végén (a nyújtás előtt és után is): a n = v d + a n = h n 1 + v l n 1 = a n 1 + v d + V + v d + 2V +... + v d + (n 1)V v d + (n 1)V. Besenyei Ádám (ELTE) A kis hangya és a gonosz manó Árpád Gimn., 2016. 04. 11. 9 / 62

A kis hangya általánosan Mindig eljut-e a hangya a kötél másik végéhez? Van-e olyan n, amelyre a n = v d + v d + V + v d + 2V +... + v d + (n 1)V 1? Besenyei Ádám (ELTE) A kis hangya és a gonosz manó Árpád Gimn., 2016. 04. 11. 10 / 62

A kis hangya általánosan Mindig eljut-e a hangya a kötél másik végéhez? Van-e olyan n, amelyre a n = v d + Egy elemi becslés. v d + V + Vegyük észre, hogy k 1 esetén v d + V 1 k így v d + 2V +... + v kd + kv v d + (n 1)V 1? v d + kv v kv, v d + v ( d + V 1 + 1 2 + 1 3 +... + 1 ) a n, n 1 a n v d + v ( V 1 + 1 2 + 1 3 +... + 1 ). n 1 Besenyei Ádám (ELTE) A kis hangya és a gonosz manó Árpád Gimn., 2016. 04. 11. 10 / 62

A kis hangya és a harmonikus sor A harmonikus sor részletösszegei. Mit mondhatunk az 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 +... + 1 n összegekről, ha n? Ezek az 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 +... + 1 n +... végtelen sor, az úgynevezett harmonikus sor részletösszegei. Besenyei Ádám (ELTE) A kis hangya és a gonosz manó Árpád Gimn., 2016. 04. 11. 11 / 62

A kis hangya és a harmonikus sor A harmonikus sor részletösszegei. Mit mondhatunk az 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 +... + 1 n összegekről, ha n? Ezek az 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 +... + 1 n +... végtelen sor, az úgynevezett harmonikus sor részletösszegei. Történelem. Nicole Oresme (1320? 1382), filozófus és matematikus, Lisieux püspöke 1350 körül igazolta a részletösszegek nemkorlátosságát, vagyis a harmonikus sor divergenciáját. Besenyei Ádám (ELTE) A kis hangya és a gonosz manó Árpád Gimn., 2016. 04. 11. 11 / 62

A kis hangya és a harmonikus sor Nicole Oresme (1320? 1382) Besenyei Ádám (ELTE) A kis hangya és a gonosz manó Árpád Gimn., 2016. 04. 11. 12 / 62

A kis hangya és a harmonikus sor Harmonikus sor divergenciája elemien (Nicole Oresme, 1350 körül). Kondenzáció (sűrítés, összenyomás) módszere: 1 + 1 2 + 1 3 + 1 + 1 }{{ 4 } 5 +... + 1 }{{ 8 } > 1 4 + 1 4 = 1 > 1 2 8 +...+ 1 8 = 4 8 = 1 2 1 + 1 2 + 1 + 1 }{{ 3 } 4 +... + 1 }{{ 7 } < 1 2 + 1 2 =1 < 1 4 +...+ 1 4 = 4 4 =1 1 +... + 2 k 1 + 1 +... + 1 2 }{{ k 1 + k 2. } > 1 2 k +...+ 1 2 k = 2k 1 2 k = 1 2 +... + 1 2 k 1 +... + 1 2 k 1 }{{} < 1 1 2k 1 2k 1 +...+ 2k 1 = 2k 1 =1 1 + 1 2 [log 2 n] 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 +... + 1 n [log 2 n]. (Itt [ ] az egész részt jelöli.) k. Besenyei Ádám (ELTE) A kis hangya és a gonosz manó Árpád Gimn., 2016. 04. 11. 13 / 62

A kis hangya általánosan Mindig eljut-e a hangya a kötél másik végéhez? Oresme becslése alapján v d + v ( 1 + 1 ) d + V 2 [log 2(n 1)] a n v d + v V [log 2(n 1).] A kis hangya mindig eljut véges időn belül a kötél másik végéhez. Sőt, (egy nem túl pontos) alsó és felső becslést is kaphatunk az érkezésre. Például a KöMaL feladatbeli v = V = 1 és d = 4 esetén a 64 19 és a 65 21 20 20, tehát a hangya a 65. percben biztosan elér a kötél jobb oldali végéhez (de tudjuk, hogy valójában már a 7. percben odaér... ). Használjunk most egy kevés analízist! Besenyei Ádám (ELTE) A kis hangya és a gonosz manó Árpád Gimn., 2016. 04. 11. 14 / 62

A kis hangya és a harmonikus sor Harmonikus sor divergenciája analízis segítségével. Integrálbecsléssel (Colin McLaurin, 1742, Augustin-Louis Cauchy, 1827): y 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 2 3 4 5 6 1 x x y 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 2 3 4 5 6 n+1 1 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 +... + 1 dx = log(n + 1), 1 x n n 1 1 + dx = 1 + log n. 1 x (Itt log a természetes alapú logaritmust jelöli, azaz log = log e.) 1 x x Besenyei Ádám (ELTE) A kis hangya és a gonosz manó Árpád Gimn., 2016. 04. 11. 15 / 62

A kis hangya és a harmonikus sor Colin MacLaurin (1698 1746) (2008-ig a legfiatalabb professzor rekordját tartotta... ) Besenyei Ádám (ELTE) A kis hangya és a gonosz manó Árpád Gimn., 2016. 04. 11. 16 / 62

A kis hangya és a harmonikus sor Augustin-Louis Cauchy (1789 1857) Besenyei Ádám (ELTE) A kis hangya és a gonosz manó Árpád Gimn., 2016. 04. 11. 17 / 62

A kis hangya és a harmonikus sor Euler és Mascheroni. Valójában: (1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 +... + 1 ) n log n = γ 0,577, lim n ahol γ az Euler Mascheroni-féle konstans. Pontosabban: 0,57721566490153286060651209008240243104215933593992.... Euler a C és O jelölést használta 1734-ben, Mascheroni az A és a jelöléseket 1790-ben. Megoldatlan: γ racionális szám-e? Besenyei Ádám (ELTE) A kis hangya és a gonosz manó Árpád Gimn., 2016. 04. 11. 18 / 62

A kis hangya és a harmonikus sor Leonhard Euler (1707 1783) Besenyei Ádám (ELTE) A kis hangya és a gonosz manó Árpád Gimn., 2016. 04. 11. 19 / 62

A kis hangya és a harmonikus sor Lorenzo Mascheroni (1750 1800) Besenyei Ádám (ELTE) A kis hangya és a gonosz manó Árpád Gimn., 2016. 04. 11. 20 / 62

A kis hangya és az integrál Integrálbecslés. Az integrálos trükköt alkalmazhatjuk közvetlenül a n -re is: a n = v d + v d + V + v d + 2V +... + v d + (n 1)V. a n v d + n 1 1 y v d+v v d+2v v d+3v v d+(n 1)V v d+v x 0 1 2 3 4... n 2 n 1 x v d + V x dx = v d + v V (log(d + (n 1)V ) log(d + V )). Besenyei Ádám (ELTE) A kis hangya és a gonosz manó Árpád Gimn., 2016. 04. 11. 21 / 62

A kis hangya és az integrál Az integrálbecslés pontossága. Az integrálos trükkből kaptuk: a n v d + v d + (n 1)V log. V d + V A KöMaL feladatbeli v = V = 1 és d = 4 esetén: a 7 1 4 + log 2 0,94, a 8 1 4 tehát a 8. percben biztosan elér a hangya a kötél jobb végéhez. Ez már sokkal pontosabb becslés. + log 11 5 1,03, Besenyei Ádám (ELTE) A kis hangya és a gonosz manó Árpád Gimn., 2016. 04. 11. 22 / 62

A kis hangya egy példán Egy másik konkrét példa. Legyen a kötél kezdeti hossza 1 m, a hangya sebessége 1 cm/s és a kötél minden másodperc végén 1 m-rel nyúlik meg. Ekkor 10 2 log(n + 1) a n = 1 ( 1 + 1 100 2 + 1 3 +... + 1 ) 10 2 (log n + 1). n Innen nagyságrendileg n e 100 s. Mit is jelent ez? célba érés időpontja 2,7 10 43 s 8,6 10 35 év, célba érés helye 2,8 10 43 cm 2,8 10 25 fényév. Összehasonlításképpen: az univerzum életkora 4 10 17 s 13 10 9 év, az univerum átmérője 8,8 10 26 m 9,3 10 10 fényév. Besenyei Ádám (ELTE) A kis hangya és a gonosz manó Árpád Gimn., 2016. 04. 11. 23 / 62

A kis hangya és az célba érkezés ideje Célba érhet-e egész számú időegység alatt? Legyen v = 1 és d, V pozitív egész számok. Van-e olyan n, amelyre a n = 1 d + 1 d + V +... + 1 d + (n 1)V = 1? Nyilván d = n = 1 esetén a 1 = 1. Van-e más lehetőség? Besenyei Ádám (ELTE) A kis hangya és a gonosz manó Árpád Gimn., 2016. 04. 11. 24 / 62

A kis hangya és az célba érkezés ideje Célba érhet-e egész számú időegység alatt? Legyen v = 1 és d, V pozitív egész számok. Van-e olyan n, amelyre a n = 1 d + 1 d + V +... + 1 d + (n 1)V = 1? Nyilván d = n = 1 esetén a 1 = 1. Van-e más lehetőség? Tétel (Erdős Pál, 1932, Matematikai Lapok). Legyenek a, d, n pozitív egész számok. Ekkor 1 a + 1 a + d +... + 1 a + nd nem lehet egész szám. Besenyei Ádám (ELTE) A kis hangya és a gonosz manó Árpád Gimn., 2016. 04. 11. 24 / 62

A kis hangya és az célba érkezés ideje Célba érhet-e egész számú időegység alatt? Legyen v = 1 és d, V pozitív egész számok. Van-e olyan n, amelyre a n = 1 d + 1 d + V +... + 1 d + (n 1)V = 1? Nyilván d = n = 1 esetén a 1 = 1. Van-e más lehetőség? Tétel (Erdős Pál, 1932, Matematikai Lapok). Legyenek a, d, n pozitív egész számok. Ekkor 1 a + 1 a + d +... + 1 a + nd nem lehet egész szám. Előzmények. Leopold Theisinger (1915), Obláth Richárd (1918), Kürschák József (1918). Besenyei Ádám (ELTE) A kis hangya és a gonosz manó Árpád Gimn., 2016. 04. 11. 24 / 62

A kis hangya és Obláth Tétel (Leopold Theisinger, 1915). A harmonikus sor 1 + 1 2 + 1 3 +... + 1 n részletösszegei n 2 esetén nem lehetnek egész számok. Besenyei Ádám (ELTE) A kis hangya és a gonosz manó Árpád Gimn., 2016. 04. 11. 25 / 62

A kis hangya és Obláth Tétel (Leopold Theisinger, 1915). A harmonikus sor 1 + 1 2 + 1 3 +... + 1 n részletösszegei n 2 esetén nem lehetnek egész számok. Tétel (Obláth Richárd [1882 1959], 1918, Matematikai Lapok). Ha a k olyan egész szám, amely relatív prím k-hoz (k = 1,..., n), akkor az a 1 1 + a 2 2 + a 3 3 +... + a n n összeg n 2 esetén nem lehet egész szám. Besenyei Ádám (ELTE) A kis hangya és a gonosz manó Árpád Gimn., 2016. 04. 11. 25 / 62

A kis hangya és Obláth Obláth tételének bizonyítása. Csebisev tétele (1852) szerint van p prím n 2 és n között. Ekkor az 1, 2,..., p 1, p + 1, p + 2,..., n számok egyike sem osztható p-vel. Ebből következően az a k k tagokat közös nevezőre hozva mindegyik tört számlálója osztható lesz p-vel kivéve az ap p tört bővített alakját, így a törtek összege nem lehet egész szám. Besenyei Ádám (ELTE) A kis hangya és a gonosz manó Árpád Gimn., 2016. 04. 11. 26 / 62

A kis hangya és Obláth Obláth tételének bizonyítása. Csebisev tétele (1852) szerint van p prím n 2 és n között. Ekkor az 1, 2,..., p 1, p + 1, p + 2,..., n számok egyike sem osztható p-vel. Ebből következően az a k k tagokat közös nevezőre hozva mindegyik tört számlálója osztható lesz p-vel kivéve az ap p tört bővített alakját, így a törtek összege nem lehet egész szám. Bertrand posztulátuma (1845), Csebisev tétele (1852). Erdős Pál elemi bizonyítást ad 1932-ben: Elmondom újra Csebisev szavát: N és 2N közt prímszámot találsz! Csebisev szavára Erdős felelt rímmel, N és 2N között találkozunk prímmel! Chebychev said it, and I ll say it again: There s always a prime between N and 2N. Besenyei Ádám (ELTE) A kis hangya és a gonosz manó Árpád Gimn., 2016. 04. 11. 26 / 62

A kis hangya és Kürschák Tétel (Kürschák József, 1918, Matematikai Lapok). Legyenek m és n pozitív egész számok. Ekkor 1 m + 1 m + 1 +... + 1 m + n nem lehet egész szám. Besenyei Ádám (ELTE) A kis hangya és a gonosz manó Árpád Gimn., 2016. 04. 11. 27 / 62

A kis hangya és Kürschák Tétel (Kürschák József, 1918, Matematikai Lapok). Legyenek m és n pozitív egész számok. Ekkor 1 m + 1 m + 1 +... + 1 m + n nem lehet egész szám. Bizonyítás. Legyen k a legnagyobb pozitív egész, amelyre 2 k osztja valamely m + j (0 j n) számot. Ekkor 2 k pontosan egynek osztója e számok közül. Valóban, különben 2 k A < 2 k 2M < 2 k B. Következésképpen az összeg tagjait közös nevezőre hozva a közös nevező és egy kivétellel a számlálók mind párosak, így a törtek összege nem lehet egész szám. Besenyei Ádám (ELTE) A kis hangya és a gonosz manó Árpád Gimn., 2016. 04. 11. 27 / 62

A kis hangya és Kürschák Kürschák József (1864 1933) Besenyei Ádám (ELTE) A kis hangya és a gonosz manó Árpád Gimn., 2016. 04. 11. 28 / 62

A kis hangya és Erdős Erdős tételének bizonyítási ötlete. Feltehető, hogy a és d relatív prímek. Segédtétel: Ha a és d relatív prímek, akkor van olyan n-nél nagyobb p α prímhatvány, amellyel az a, a + d, a + 2d,..., a + nd számok közül pontosan egy osztható. Innen a befejezés ugyanaz, mint korábban. Besenyei Ádám (ELTE) A kis hangya és a gonosz manó Árpád Gimn., 2016. 04. 11. 29 / 62

A kis hangya és Erdős Erdős tételének bizonyítási ötlete. Feltehető, hogy a és d relatív prímek. Segédtétel: Ha a és d relatív prímek, akkor van olyan n-nél nagyobb p α prímhatvány, amellyel az a, a + d, a + 2d,..., a + nd számok közül pontosan egy osztható. Innen a befejezés ugyanaz, mint korábban. Speciális eset. Ha d páratlan, akkor az a, a + d,..., a + nd számok között van olyan, amely a 2 magasabb hatványával osztható, mint a többi tag. (Igazoljuk!) Besenyei Ádám (ELTE) A kis hangya és a gonosz manó Árpád Gimn., 2016. 04. 11. 29 / 62

A kis hangya és Erdős Erdős Pál (1913 1996) Besenyei Ádám (ELTE) A kis hangya és a gonosz manó Árpád Gimn., 2016. 04. 11. 30 / 62

A kis hangya és egy másik kötél Duplázódó gumikötél. Mi a helyzet, ha a kötél hossza minden időegység végén megkétszereződik? Ekkor könnyen láthatóan a n = v d + v 2d +... + 1 4d +... + v 2 n 1 d = = v ( 1 + 1 d 2 + 1 2 2 +... + 1 ) 2 n 1 = 2v ( 1 1 ) d 2 n. A hangya tehát pontosan akkor jut el a kötél jobb oldali végéhez, ha v > d 2. Ha v = d 2, akkor minden perc végén d távolságra van a kötél végétől. Besenyei Ádám (ELTE) A kis hangya és a gonosz manó Árpád Gimn., 2016. 04. 11. 31 / 62

A kis hangya és Gardner Egy kis történelem. 1972. december, Science et Vie folyóirat, Pierre Berloquin fejtörő rovata, Denys Wilquin (New Caledonia) 1975. március, Martin Gardner, Scientific American folyóirat Mathematical Games rovata: worm on rubber rope (archívum: www.nature.com/scientificamerican/archive/index.html) 1975 SCIENTIFIC AMERICAN, INC Besenyei Ádám (ELTE) A kis hangya és a gonosz manó Árpád Gimn., 2016. 04. 11. 32 / 62

A kis hangya és Gardner Martin Gardner (1914 2010) Besenyei Ádám (ELTE) A kis hangya és a gonosz manó Árpád Gimn., 2016. 04. 11. 33 / 62

Szórakoztató feladatok a harmonikus sorra Kártyapakolás (J. G. Coffin, 1923, Amer. Math. Monthly). Kártyalapokat egymásra pakolva legfeljebb milyen széles lehet a kártyaoszlop, hogy ne boruljon le? Besenyei Ádám (ELTE) A kis hangya és a gonosz manó Árpád Gimn., 2016. 04. 11. 34 / 62

Szórakoztató feladatok a harmonikus sorra Kártyapakolás (J. G. Coffin, 1923, Amer. Math. Monthly). Kártyalapokat egymásra pakolva legfeljebb milyen széles lehet a kártyaoszlop, hogy ne boruljon le? A terepjáró probléma (Gail Young, Ivan Niven, 1945). Egy terepjáró autóval át akarunk kelni a sivatagon. A sivatag szélén tetszőleges mennyiségű üzemanyagot találunk, azonban a sivatagban jelenleg nincs üzemanyag. Egy tankolással nem tudunk átkelni, de lehetőségünk van lerakatokat készíteni a sivatagban. Lehetséges-e ily módon átkelni a sivatagon az autóval? Besenyei Ádám (ELTE) A kis hangya és a gonosz manó Árpád Gimn., 2016. 04. 11. 34 / 62

A kis hangya és a gonosz manó

A kis hangya és a gonosz manó Szájhagyomány az ELTE-n (Laczkovich T. Sós: Valós analízis I). A kis hangya egy 10 cm hosszú gumiszalag jobb végpontjából indul 1 cm/s sebességgel a szalag rögzített bal végpontja felé. Ugyanakkor a gonosz manó a szalag jobb szélét megragadva szaladni kezd 100 cm/s sebességgel, a rögzített végponttól jobbra távolodva. Beérhet-e a hangya a bal végpontba? 1 cm/s 100 cm/s 10 cm Besenyei Ádám (ELTE) A kis hangya és a gonosz manó Árpád Gimn., 2016. 04. 11. 36 / 62

A kis hangya és a gonosz manó Hasznos észrevétel. A kötél (állandó sebességgel mozgó) jobb végét tekintve az origónak, a hangya a kötélhez viszonyítva ugyanúgy halad, mintha amikor a bal végpontból indulva a faltól távolódik. Besenyei Ádám (ELTE) A kis hangya és a gonosz manó Árpád Gimn., 2016. 04. 11. 37 / 62

A kis hangya és a gonosz manó Hasznos észrevétel. A kötél (állandó sebességgel mozgó) jobb végét tekintve az origónak, a hangya a kötélhez viszonyítva ugyanúgy halad, mintha amikor a bal végpontból indulva a faltól távolódik. Jelölések. Legyen t időpillanatban l(t) a kötél hossza (ez nyilván d + V t), h(t) a hangya manótól vett távolsága és x(t) a hangya faltól vett távolsága (ez nyilván l(t) h(t)). Célszerű ismét a hangya manótól vett távolságának és a kötél hosszának arányát vizsgálni: a(t) = h(t) l(t). Besenyei Ádám (ELTE) A kis hangya és a gonosz manó Árpád Gimn., 2016. 04. 11. 37 / 62

A kis hangya és a gonosz manó diszkréten Folytonosból diszkrét. Képzeljük el, hogy a manó nem folytonosan halad, hanem minden t n idő eltelte után V t n cm-rel ugrik egyet jobbra úgy, hogy az ugrásra fordított idő elhanyagolható. Egy-egy ilyen időszakaszon a hangya v t n utat tesz meg és a kötél V t n-nel nyúlik meg. Ekkor a diszkrét eset alapján t = n t n idő után a hangya manótól vett távolságának és a kötél hosszának aránya: v t n a n (t) = v t n d + d + V t + n d + 2V t +... + n d + (n 1)V t. n Várjuk: ha n nagy, vagyis t n pici, akkor a n(t) a(t). v t n v t n Besenyei Ádám (ELTE) A kis hangya és a gonosz manó Árpád Gimn., 2016. 04. 11. 38 / 62

A kis hangya és a gonosz manó folytonosan Diszkrétből folytonos. Mi történik, ha n? a n (t) = t ( v n d + v d + V t + n Vegyük észre: a n (t) t 0 y v d v d+v t n 0 t n 2t n v d + V 2t n v d+v 2t n 3t n 4t n +... +... v d + V (n 1)t n v d+v (n 1)t n v d+v x (n 1)t n v d + V x dx = v V (log(d + V t) log d) = v ( V log t x ) n? 1 + V t d ). Besenyei Ádám (ELTE) A kis hangya és a gonosz manó Árpád Gimn., 2016. 04. 11. 39 / 62

A kis hangya és a gonosz manó folytonosan Megoldás. Kaptuk: hangya távolsága a manótól = a(t) = v ( kötél hossz V log 1 + V t ) d falhoz érés időpontja: T = d ) (e V v 1. V A konkrét adatokkal: célba érés időpontja 2,7 10 42 s 8,6 10 34 év. Összehasonlításképpen: az univerzum életkora 4 10 17 s 13 10 9 év. Besenyei Ádám (ELTE) A kis hangya és a gonosz manó Árpád Gimn., 2016. 04. 11. 40 / 62

A kis hangya és a gonosz manó folytonosan Megoldás. Hogyan változik a hangya faltól való távolsága? x(t) = (d + V t) (d + V t) v V log ( Mivel ezért a hangya ( x (t) = V v v log 1 + V t d 1 + V t d d ( ) e V v 1 1 V ideig távolodik a faltól (a konkrét esetben kb. a teljes idő harmadáig) és dv V e V v 1 messzire (a konkrét esetben kb. 10 24 fényévre) távolodik el a faltól közben. (Az univerzum átmérője 9,3 10 10 fényév.) ), ). Besenyei Ádám (ELTE) A kis hangya és a gonosz manó Árpád Gimn., 2016. 04. 11. 41 / 62

A kis hangya és a gonosz manó és elenyésző növekmények Megközelítés elenyésző növekményekkel. Képzeljük most az egész folyamatot úgy, hogy minden egyes piciny (infinitezimális) t idő alatt először a hangya v t utat tesz meg a fal felé, majd utána hirtelen a manó V t-vel ugrik egyet. Ekkor a(t + t) = h(t) + v t l(t) így a(t + t) a(t) t ahonnan t 0 határátmenettel kapjuk: a (t) = = h(t) l(t) + v t v t = a(t) + l(t) l(t), v d + V t. = v l(t), Besenyei Ádám (ELTE) A kis hangya és a gonosz manó Árpád Gimn., 2016. 04. 11. 42 / 62

A kis hangya és a gonosz manó és elenyésző növekmények Megközelítés elenyésző növekményekkel. Ha minden egyes piciny t idő alatt először hirtelen ugrik a manó V t-vel, majd utána a hangya v t utat tesz meg a fal felé, akkor h(t + t) + v t + v t a(t + t) = = l(t + t) l(t + ) így a(t + t) a(t) v = t l(t + t), ahonnan t 0 határátmenettel kapjuk: a v (t) = d + V t. h(t) l(t+ t) l(t) = a(t) + v t l(t + t), Besenyei Ádám (ELTE) A kis hangya és a gonosz manó Árpád Gimn., 2016. 04. 11. 43 / 62

A kis hangya és a gonosz manó differenciálegyenlete A legegyszerűbb differenciálegyenlet. Az a(t) függvényre egy integrálható differenciálegyenlet adódott: a v (t) = d + V t. Innen a(t) = v log(d + V t) + C. V Tudjuk, hogy a(0) = 0 (kezdeti érték), így C = v V log d, tehát a(t) = v ( V log 1 + V t ), d ahogy korábban. Besenyei Ádám (ELTE) A kis hangya és a gonosz manó Árpád Gimn., 2016. 04. 11. 44 / 62

A kis hangya és a gonosz manó meg a változás üteme Fluensek és fluxiók, jelölések. Isaac Newton (1643 1727): Method of fluxions, 1666 ( annus mirabilis ) x(t) időtől függő mennyiség = fluens ẋ(t) a változási üteme, sebessége = fluxió Euler: 1755, nehézkes jelölés (tizedik derivált?) Joseph-Louis Lagrange (1736 1813): f jelölés 1797-ben Besenyei Ádám (ELTE) A kis hangya és a gonosz manó Árpád Gimn., 2016. 04. 11. 45 / 62

A kis hangya és a gonosz manó és Newton Isaac Newton (1643 1727) Besenyei Ádám (ELTE) A kis hangya és a gonosz manó Árpád Gimn., 2016. 04. 11. 46 / 62

A kis hangya és a gonosz manó és elenyésző növekmények Kimúlt mennyiségek kísértetei. Az elenyésző növekmények kritikája: George Berkeley (1685 1783), Az analizáló, 1734. De mik ezek a fluxiók? Az elenyésző növekmények sebességei. És mik ezek az elenyésző növekmények? Se nem véges mennyiségek, se nem végtelenül kicsinyek, még csak nem is semmik. Mi mások lennének tehát, mint a kimúlt mennyiségek kísértetei? (Az idézet Freud Róbert fordítása.) Besenyei Ádám (ELTE) A kis hangya és a gonosz manó Árpád Gimn., 2016. 04. 11. 47 / 62

A kis hangya és a gonosz manó elenyésző növekmények George Berkeley (1685 1783) Besenyei Ádám (ELTE) A kis hangya és a gonosz manó Árpád Gimn., 2016. 04. 11. 48 / 62

A kis hangya és a gonosz manó sebességekkel Megközelítés sebességekkel. Vizsgáljuk a hangya falhoz viszonyított sebességét, azaz a faltól vett x(t) távolság deriváltját. Ez a sebesség két összetevőből áll: a hangya gumihoz viszonyított v sebessége + gumi x(t) pontjának u(t) távolodási sebessége sebesség = u(t) =? x(t) Az egyenletes nyújtás miatt u(t) V = x(t) d + V t, így a sebességek irányát is figyelembe véve x (t) = v + V d + V t x(t). sebesség = V d + V t Besenyei Ádám (ELTE) A kis hangya és a gonosz manó Árpád Gimn., 2016. 04. 11. 49 / 62

A kis hangya és a gonosz manó differenciálegyenlete Egy összetettebb differenciálegyenlet. Az x(t) függvényre egy elsőrendű lineáris differenciálegyenlet adódott: x (t) V x(t) = v. d + V t Erre egyelőre nincs módszerünk, de korábbról tudjuk, hogy y(t) = x(t) d+v t fontos szerepet játszik. Írjuk át az egyenletet y(t)-re. Mivel a szorzás deriválási szabálya (Leibniz-szabály, 1765. november 11. és 21.) szerint y (t) = x 1 (t) d + V t + V (d + V t) 2 x(t) = 1 d + V t ezért y (t)(d + V t) = v, tehát y (t) = v d + V t, ami egy integrálható egyenlet. ( x (t) V x(t) D + V t ), Besenyei Ádám (ELTE) A kis hangya és a gonosz manó Árpád Gimn., 2016. 04. 11. 50 / 62

A kis hangya és a gonosz manó differenciálegyenlete Egy összetettebb differenciálegyenlet. Általában x (t) + p(t)x(t) = q(t) esetén y(t) = e P (t) x(t) új függvényt (integráló tényezőt) célszerű bevezetni, ahol P (t) = p(t). Ekkor y (t) = P (t)e P (t) x(t) + e P (t) x (t) = e P (t) (x (t) + p(t)x(t)), ezért y (t)e P (t) = q(t), tehát y (t) = q(t)e P (t), ami integrálható egyenlet. Az előbb P (t) = V d+v t dt = log(d + V t). Besenyei Ádám (ELTE) A kis hangya és a gonosz manó Árpád Gimn., 2016. 04. 11. 51 / 62

A kis hangya és a gonosz manó és Leibniz A Leibniz-szabály. 1675. október 29.: jel 1675. november 11.: dx jelölés, d = differencia (különbség) d(xy) = (dx)(dy), például x = cz + d és y = z 2 + bz (nem ellenőrzi!) később rájön, valami nem stimmel: d(x 2 ) = (x + dx) 2 x 2 = 2xdx (dx hova tűnt?), (dx)(dx) = (x + dx x)(x + dx x) = (dx) 2 1675. november 21.: (dx)y = d(xy) x(dy) 1677. július: (x + dx)(y + dy) xy = xdy + ydx + (dx)(dy). 1684.: először nyomtatásban, Nova methodus pro maximis et minimis Besenyei Ádám (ELTE) A kis hangya és a gonosz manó Árpád Gimn., 2016. 04. 11. 52 / 62

A kis hangya és a gonosz manó és Leibniz Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 1716) Besenyei Ádám (ELTE) A kis hangya és a gonosz manó Árpád Gimn., 2016. 04. 11. 53 / 62

A kis hangya és a gonosz manó és a Leibniz-szabály A Leibniz-szabály és Newton 1665-től ismeri 1687, Philosopihae principa naturalis mathematica: 2. könyv, Lemma 2 (A + 1 ) (B 2 a + 1 ) 2 b (A 1 ) (B 2 a 1 ) 2 b = ab + ba Berkeley kritikája: (A + a)(b + b) AB = ab + Ab + ab Besenyei Ádám (ELTE) A kis hangya és a gonosz manó Árpád Gimn., 2016. 04. 11. 54 / 62

A kis hangya és a gonosz manó meséje A mese véget ér, de a téma nem... A kis hangya utolérte a gonosz manót és boldogan élnek míg meg nem halnak. Ha a manó még gonoszabb lett volna, talán az én mesém is tovább tartott volna. Ezzel a mesénk véget ér, a differenciálegyenletek témaköre azonban csak most kezdődik. Minden, ami emberi, akár rossz, akár jó, előbb-utóbb véget ér, kivéve a matematikát. (Erdős Pál) Számtalan hasonló játékos feladat építhető fel az iméntiek mintájára és tárgyalható akár szakkörön. Ezekből adunk egy kis ízelítőt, amelyek mindegyike egy külön előadás témája lehetne. Az irodalomjegyzékben további érdekességekről olvashatunk. Besenyei Ádám (ELTE) A kis hangya és a gonosz manó Árpád Gimn., 2016. 04. 11. 55 / 62

További játékos feladatok a differenciálegyenletekhez

Sherlock Holmes és a Coolbody eset Sherlock Holmes és a Coolbody eset. Egy éjjel a nagy angol színész, Archibald Coolbody feleségét holtan találják otthonában. Mellette a férj, kezében a gyilkos fegyverrel. Lestrade felügyelő a Scotland Yardtól már-már lezártnak tekintené az ügyet, mikor hajnali 1 órakor beviharzik Sherlock Holmes és az alábbi beszélgetés zajlik le közöttük. Lestrade: Mr Holmes, önnek semmi keresnivalója itt, az ügy teljesen egyértelmű. A férj kezében volt a gyilkos fegyver, ő tette. Holmes: Csak ne olyan hevesen, Lestrade! Megmérte a halottkém a holttest hőmérsékletét? Lestrade: Természetesen. Pontban éjfélkor a test 33 -os volt. Ekkor Holmes előkapta kabátzsebéből a hőmérőjét és megvizsgálta a testet. Holmes: Hmm... Most 31 -os; és látja, a szoba hőmérője 20 -ot mutat. A halál fél 11 körül állt be, márpedig akkor Coolbody még Hamletet játszotta a Queen s Theatre-ben, ahogy minden este. Ő nem lehet a gyilkos. Besenyei Ádám (ELTE) A kis hangya és a gonosz manó Árpád Gimn., 2016. 04. 11. 57 / 62

Sherlock Holmes és a Coolbody eset Sherlock Holmes és a Coolbody eset. Hogyan állapította meg Sherlock Holmes, hogy mikor hunyt el az áldozat? Besenyei Ádám (ELTE) A kis hangya és a gonosz manó Árpád Gimn., 2016. 04. 11. 57 / 62

Hókotrók A hómunkások (J. A. Brenner, Amer. Math. Monthly, 1937). Egy városban egy napon délelőtt elkezdett havazni és állandó intenzitással esett sötétedésig. Délben egy csapat hómunkás elindult, hogy letakarítsa a főutat. Az első két órában 2 km-es szakaszt sikerült megtisztítaniuk, de a következő két órában már csak 1 km-t. Mikor kezdett el esni a hó, ha feltételezzük, hogy a csapat egyenlő időközök alatt egyenlő mennyiségű havat takarít el. Besenyei Ádám (ELTE) A kis hangya és a gonosz manó Árpád Gimn., 2016. 04. 11. 58 / 62

Hókotrók A nagy hókotró üldözés (M. S. Klamkin, Amer. Math.Monthly, 1951). Délelőtt elkezdett esni a hó, és egymás után három hókotró indult el letakarítani a főutat: az első délben, a második 13 órakor, a harmadik pedig 14 órakor. Később a három hókotró ugyanabban az időpontban utolérték egymást. Mikor kezdett esni a hó és mikor találkoztak a hókotrók? Besenyei Ádám (ELTE) A kis hangya és a gonosz manó Árpád Gimn., 2016. 04. 11. 59 / 62

Rómeó és Júlia szerelmi viszonyai A kissé fura Rómeó és a normális Júlia esete. Rómeó és Júlia együtt járnak. Rómeó kissé furán viselkedik: minél jobban (vagy kevésbé) szereti őt Júlia, annál kevésbé (vagy jobban) szereti Rómeó Júliát. Júlia normálisan viselkedik, minél jobban (vagy kevésbé) szereti őt Rómeó, annál jobban (vagy kevésbé) szereti ő Rómeót. Hogyan alakul Rómeó és Júlia szerelmi kapcsolata? Besenyei Ádám (ELTE) A kis hangya és a gonosz manó Árpád Gimn., 2016. 04. 11. 60 / 62

Olvasnivalók Besenyei Ádám, Teleszkopikus összegekről, avagy kalandozások egy versenyfeladat körül I II., KöMaL, 2012/9, 514 523. és 2013/1, 2 11. Besenyei Ádám, Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire jók a differenciálegyenletek?, ELTE Kárpát-medencei Nyári Egyetem előadás, 2014. július 11. http://abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf Rövidített változat, ELTE TTK Matematika Intézet nyílt nap, 2015. december 2.: http://abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock2.pdf Besenyei Ádám, A differenciálegyenletek csodálatos világa, Eötvös Kollégium Természettudományos Tábor, 2015. július 22. http://abesenyei.web.elte.hu/publications/csodalatos.pdf Rövidített változat, ELTE TTK nyílt nap, 2016. január 31.: http://abesenyei.web.elte.hu/publications/csodalatos2.pdf A differenciálegyenletek csodálatos világa, speciálelőadás az ELTE-n tanárszakosok számára, a kurzus honlapja: http://abesenyei.web.elte.hu/mattanar/15o/diffegy15o/diffegy15o.php Hatvani László Pintér Lajos, Differenciálegyenletes modellek a középiskolában, Polygon, Szeged, 1997. Besenyei Ádám (ELTE) A kis hangya és a gonosz manó Árpád Gimn., 2016. 04. 11. 61 / 62

Vége Köszönöm a figyelmet!