A differenciálegyenletek csodálatos világa

Átírás

1 A differenciálegyenletek csodálatos világa Besenyei Ádám Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék Matematikai Intézet Eötvös Loránd Tudományegyetem, Budapest ELTE TTK Nyílt nap

2 Mi az előadás célja?

3 Miről lesz szó? kérdés: milyen jelenségeket érthetünk meg jobban a matematika segítségével? cél: olyan egyszerűsített modell felállítása, amely matematikailag még kezelhető, de a jelenségről is mond valamit eszköz: differenciálegyenletek hol fordulnak elő: aki természettudományos szakra jön, biztosan találkozik vele, de nem csak a természettudományokban (műszaki tudomány, közgazdaságtan, orvostudomány... ) elmélet: sok eszközt igényel és gyakran bonyolult számolásokat gyakorlat: számítógépes szimulációk most: közérthető ízelítő a szépségből Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE TTK, / 23

4 Gondolatébresztő

5 Joseph Fourier ( ) A természet elmélyült tanulmányozása a matematikai felfedezések legtermékenyebb forrása. A matematika az emberi elme azon képessége, amelynek célja, hogy kárpótoljon az élet rövidségéért és érzékszerveink tökéletlenségéért. (A hő analitikus elmélete, 1822.)

6 Jelenségek a mindennapokból

7 Az időjárás mindig jó téma Milyen időjárás lesz holnap? És egy hét múlva? Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE TTK, / 23

8 Az időjárás mindig jó téma De miért esett egész nap, miközben napsütést jeleztek előre?? Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE TTK, / 23

9 egy kérdés a biológiaóráról... (vagy a kisgyerek fejéből)

10 Állati jó kérdés Hogyan alakul ki az állatok mintázata? (Alan Turing, 1952) Zebra: csíkos test, csíkos farok Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE TTK, / 23

11 Állati jó kérdés Hogyan alakul ki az állatok mintázata? (Alan Turing, 1952) Tigris: csíkos test, csíkos farok Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE TTK, / 23

12 Állati jó kérdés Hogyan alakul ki az állatok mintázata? (Alan Turing, 1952) Leopárd: foltos test, foltos farok Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE TTK, / 23

13 Állati jó kérdés Hogyan alakul ki az állatok mintázata? (Alan Turing, 1952) Gepárd: foltos test, csíkos farok Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE TTK, / 23

14 Állati jó kérdés Hogyan alakul ki az állatok mintázata? (Alan Turing, 1952) Petymeg: foltos test, csíkos farok Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE TTK, / 23

15 Állati jó kérdés De miért nincs olyan állat, amelynek teste csíkos, a farka viszont foltos?? Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE TTK, / 23

16 egy a kémiaóráról...

17 Színes egyéniségek Miért váltakozik az elegy színe? Belouszov Zsabotyinszkij-reakció ( as évek) (video: Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE TTK, / 23

18 Színes egyéniségek A természet nem az egyensúlyi állapotra törekszik?? Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE TTK, / 23

19 egy a fizikaóráról...

20 Aki nem lép egyszerre... Mi okozta a híd mozgását? Tacoma híd ( Galoppozó Gertie ), Washington állam, november 7. (video: Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE TTK, / 23

21 Aki nem lép egyszerre... Mi okozta a híd mozgását? Tacoma híd ( Galoppozó Gertie ), Washington állam, november 7. (video: Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE TTK, / 23

22 Aki nem lép egyszerre... Mi okozta a híd mozgását? Volgograd híd, Oroszország, május 20. (video: Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE TTK, / 23

23 Aki nem lép egyszerre... Mi okozta a híd mozgását? Volgograd híd, Oroszország, május 20. (video: Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE TTK, / 23

24 Aki nem lép egyszerre... És miért nem menetelhetnek a katonák, ha hídon mennek át?? Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE TTK, / 23

25 és végül egy az orvostudományból...

26 Hapci Idén is lesz influenzajárvány? Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE TTK, / 23

27 Hapci Milyen hosszú ideig tart? Maradjunk otthon? Érdemes-e beoltatni magunkat? Egyáltalán lehetséges-e szabályozni a járvány alakulását?? Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE TTK, / 23

28 Mi a közös az iménti jelenségekben?

29 Időben (és térben) zajló folyamatok közös vonásai példák időben és térben zajló folyamatokra: időjárás változása, mintázat kialakulása, elegy színének változása, híd mozgása, betegszám változása... néhány állapotváltozóval jellemezhetők: hőmérséklet, légnyomás, szélsebesség, koncentráció, kitérés, betegszám... az idő- és térbeli változásukat természeti törvények írják le: Newton, Fourier, Fick törvényei, tömegmegmaradás... kulcsfogalom: az állapotváltozó változásának sebessége (üteme) differenciálegyenletek Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE TTK, / 23

30 Kérdések egy matematikus számára van-e megoldás, egyértelmű-e? elméleti tételek, bizonyítások milyen tulajdonságokkal rendelkezik? egyensúlyi helyzet, periodicitás, oszcilláció, kaotikusság... hatékony közelítő meghatározás numerikus módszerek, számítógép... összevetés a valódi jelenséggel jó-e a modell, segít-e a jelenség megértésében, szabályozásában? Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE TTK, / 23

31 Kérdések egy matematikus számára van-e megoldás, egyértelmű-e? elméleti tételek, bizonyítások milyen tulajdonságokkal rendelkezik? egyensúlyi helyzet, periodicitás, oszcilláció, kaotikusság... hatékony közelítő meghatározás numerikus módszerek, számítógép... összevetés a valódi jelenséggel jó-e a modell, segít-e a jelenség megértésében, szabályozásában? Akit érdekelnek a részletek, érdemes matekszakra jönnie. Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE TTK, / 23

32 Kérdések egy matematikus számára van-e megoldás, egyértelmű-e? elméleti tételek, bizonyítások milyen tulajdonságokkal rendelkezik? egyensúlyi helyzet, periodicitás, oszcilláció, kaotikusság... hatékony közelítő meghatározás numerikus módszerek, számítógép... összevetés a valódi jelenséggel jó-e a modell, segít-e a jelenség megértésében, szabályozásában? Akit érdekelnek a részletek, érdemes matekszakra jönnie. (De aki kíváncsi, az irodalomjegyzékben bőven talál válaszokat.) Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE TTK, / 23

33 Hol fordulnak még elő differenciálegyenletek?

34 Differenciálegyenletek mindenütt fizika: elektromágnesség: Maxwell-egyenletek áramlástan: Navier Stokes-egyenletek (1 millió dollár) kvantummechanika: Schrödinger-egyenlet biológia: ragadozó zsákmány modellek: Lotka Volterra életkor függő populációs modellek kémia: reakciók leírása közgazdaságtan, pénzügy: opciók árazása: Black Scholes-egyenlet (Nobel-díj, 1997) gyógyszeradagolási modell, követési modell, tanulási modell harci modellek (Lancester) az alkalmazások köre végeláthatatlan... Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE TTK, / 23

35 Érdemes-e tehát matematikával foglalkozni?

36 Miért foglalkozzunk matematikával? Siméon Denis Poisson ( ): Az élet csak két dologra jó: matematikával foglalkozni és matematikát tanítani. Dirk Jan Struik ( ) (106 évesen halt meg!) A matematikusok sokáig élnek; a matematika egy egészséges hivatás. Azért élünk sokáig, mert kellemes gondolataink vannak. Matematikával és fizikával foglalkozni nagyon kellemes dolog. De vigyázat! John Edensor Littlewood ( ) A matematikus hivatás veszélyes: egy jelentős részünk megőrül. Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE TTK, / 23

37 Olvasnivalók Besenyei Ádám, Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire jók a differenciálegyenletek?, ELTE Kárpát-medencei Nyári Egyetem előadás, július Besenyei Ádám, A differenciálegyenletek csodálatos világa, Eötvös Kollégium Természettudományos Tábor, július A differenciálegyenletek csodálatos világa, speciálelőadás az ELTE-n tanárszakosok számára, a kurzus honlapja: hu/mattanar/15o/diffegy15o/diffegy15o.php Hatvani László Pintér Lajos, Differenciálegyenletes modellek a középiskolában, Polygon, Szeged, Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE TTK, / 23

38 Vége Köszönöm a figyelmet!