Fraktálok. Klasszikus fraktálpéldák I. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék

Fraktálok Klasszikus fraktálpéldák I Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 86

Bevezetés. 2 of 86 TARTALOMJEGYZÉK Bevezetés. Az önhasonlóságról intuitív módon Klasszikus fraktálpéldák. Kiegészítés MI A FRAKTÁL? A fraktál olyan halmaz, melynek a Haussdorff-Besicovitch dimenziója szigorúan nagyobb, mint a topológiai dimenziója

Bevezetés. 3 of 86 TARTALOMJEGYZÉK Bevezetés. Az önhasonlóságról intuitív módon Klasszikus fraktálpéldák. Kiegészítés MI A FRAKTÁL? A fraktál olyan halmaz, melynek a Haussdorff-Besicovitch dimenziója szigorúan nagyobb, mint a topológiai dimenziója Mandelbrot

AZ ÖNHASONLÓSÁG ÉS DIMENZIÓ INTUITÍV MEGKÖZELÍTÉSE szakasz, négyzet, kockafelbontása Az önhasonlóságról intuitív módon 4 of 86

AZ ÖNHASONLÓSÁG ÉS DIMENZIÓ INTUITÍV MEGKÖZELÍTÉSE szakasz, négyzet, kockafelbontása Nr d = 1, innen d = log N log 1 3 Az önhasonlóságról intuitív módon 5 of 86

Cantor - halmaz. A CANTOR HALMAZ KONSTRUKCIÓJA Legyen C 0 = [0, 1] Klasszikus fraktálpéldák. 6 of 86

Cantor - halmaz. A CANTOR HALMAZ KONSTRUKCIÓJA Legyen C 0 = [0, 1] Hagyjuk el az ( 1 3, 2 3 ) intervallumot! Klasszikus fraktálpéldák. 7 of 86

Cantor - halmaz. A CANTOR HALMAZ KONSTRUKCIÓJA Legyen C 0 = [0, 1] Hagyjuk el az ( 1 3, 2 3 ) intervallumot! C 1 = [0, 1 3 ] [ 2 3, 1] Klasszikus fraktálpéldák. 8 of 86

Cantor - halmaz. A CANTOR HALMAZ KONSTRUKCIÓJA Legyen C 0 = [0, 1] Hagyjuk el az ( 1 3, 2 3 ) intervallumot! C 1 = [0, 1 3 ] [ 2 3, 1]... minden lépésben hagyjuk el a megmaradt intervallumok középső harmadát! Klasszikus fraktálpéldák. 9 of 86

Cantor - halmaz. A CANTOR HALMAZ KONSTRUKCIÓJA Legyen C 0 = [0, 1] Hagyjuk el az ( 1 3, 2 3 ) intervallumot! C 1 = [0, 1 3 ] [ 2 3, 1]... minden lépésben hagyjuk el a megmaradt intervallumok középső harmadát! C = k=1 C k a Cantor-halmaz Klasszikus fraktálpéldák. 10 of 86

Cantor - halmaz. A CANTOR HALMAZ KONSTRUKCIÓJA Legyen C 0 = [0, 1] Hagyjuk el az ( 1 3, 2 3 ) intervallumot! C 1 = [0, 1 3 ] [ 2 3, 1]... minden lépésben hagyjuk el a megmaradt intervallumok középső harmadát! C = k=1 C k a Cantor-halmaz Megjegyzés: az elhagyott intervallumot az angol irodalom néha trema néven illeti. Klasszikus fraktálpéldák. 11 of 86

Cantor - halmaz. EGYSZERŰ TULAJDONSÁGOK 1 Hány diszjunkt intervallum uniója a C k halmaz: Klasszikus fraktálpéldák. 18 of 86

Cantor - halmaz. EGYSZERŰ TULAJDONSÁGOK 1 Hány diszjunkt intervallum uniója a C k halmaz: 2 k Klasszikus fraktálpéldák. 19 of 86

Cantor - halmaz. EGYSZERŰ TULAJDONSÁGOK 1 Hány diszjunkt intervallum uniója a C k halmaz: 2 k 2 Egy ilyen intervallum hossza: Klasszikus fraktálpéldák. 20 of 86

Cantor - halmaz. EGYSZERŰ TULAJDONSÁGOK 1 Hány diszjunkt intervallum uniója a C k halmaz: 2 k 2 Egy ilyen intervallum hossza: 1 3 k Klasszikus fraktálpéldák. 21 of 86

Cantor - halmaz. EGYSZERŰ TULAJDONSÁGOK 1 Hány diszjunkt intervallum uniója a C k halmaz: 2 k 2 Egy ilyen intervallum hossza: 1 3 k 3 A k-adik konstrukció: Klasszikus fraktálpéldák. 22 of 86

Cantor - halmaz. EGYSZERŰ TULAJDONSÁGOK 1 Hány diszjunkt intervallum uniója a C k halmaz: 2 k 2 Egy ilyen intervallum hossza: 1 3 k 3 A k-adik konstrukció: l(c k ) = ( 2 3 )k Klasszikus fraktálpéldák. 23 of 86

Cantor - halmaz. EGYSZERŰ TULAJDONSÁGOK 1 Hány diszjunkt intervallum uniója a C k halmaz: 2 k 2 Egy ilyen intervallum hossza: 1 3 k 3 A k-adik konstrukció: l(c k ) = ( 2 3 )k 4 A Cantor-halmaz hossza: Klasszikus fraktálpéldák. 24 of 86

Cantor - halmaz. EGYSZERŰ TULAJDONSÁGOK 1 Hány diszjunkt intervallum uniója a C k halmaz: 2 k 2 Egy ilyen intervallum hossza: 1 3 k 3 A k-adik konstrukció: l(c k ) = ( 2 3 )k 4 A Cantor-halmaz hossza: l(c) = 0 Klasszikus fraktálpéldák. 25 of 86

Cantor - halmaz. EGYSZERŰ TULAJDONSÁGOK 1 Hány diszjunkt intervallum uniója a C k halmaz: 2 k 2 Egy ilyen intervallum hossza: 1 3 k 3 A k-adik konstrukció: l(c k ) = ( 2 3 )k 4 A Cantor-halmaz hossza: l(c) = 0 5 Ha a, b [0, 1] és valamely k -ra [a, b] a C k -t alkotó részintervallum, akkor minden n >= k esetén a, b C n Klasszikus fraktálpéldák. 26 of 86

Cantor - halmaz. EGYSZERŰ TULAJDONSÁGOK 1 Hány diszjunkt intervallum uniója a C k halmaz: 2 k 2 Egy ilyen intervallum hossza: 1 3 k 3 A k-adik konstrukció: l(c k ) = ( 2 3 )k 4 A Cantor-halmaz hossza: l(c) = 0 5 Ha a, b [0, 1] és valamely k -ra [a, b] a C k -t alkotó részintervallum, akkor minden n >= k esetén a, b C n 6 Nem minden elem intervallum-végpont: Klasszikus fraktálpéldák. 27 of 86

Cantor - halmaz. EGYSZERŰ TULAJDONSÁGOK 1 Hány diszjunkt intervallum uniója a C k halmaz: 2 k 2 Egy ilyen intervallum hossza: 1 3 k 3 A k-adik konstrukció: l(c k ) = ( 2 3 )k 4 A Cantor-halmaz hossza: l(c) = 0 5 Ha a, b [0, 1] és valamely k -ra [a, b] a C k -t alkotó részintervallum, akkor minden n >= k esetén a, b C n 6 Nem minden elem intervallum-végpont: 1 4 Klasszikus fraktálpéldák. 28 of 86

Triadikus ábrázolás általában TRIADIKUS ÁBRÁZOLÁS ÁLTALÁBAN Bármely x N ábrázolható 3-as számrendszerben x = M a i 3 i i=0 formában. Klasszikus fraktálpéldák. 29 of 86

Triadikus ábrázolás általában TRIADIKUS ÁBRÁZOLÁS ÁLTALÁBAN Bármely x N ábrázolható 3-as számrendszerben x = M a i 3 i i=0 formában. A [0, 1] között számok felírhatók x = a i 3 i i=1 alakban. Klasszikus fraktálpéldák. 30 of 86

Triadikus ábrázolás általában A Cantor halmaz triadikus ábrázolása Tétel Az x [0, 1] szám pontosan akkor van benne C -ben ha van olyan triadikus felírása, melyben nem szerepel 1 -es Klasszikus fraktálpéldák. 31 of 86

Triadikus ábrázolás általában A Cantor halmaz triadikus ábrázolása Tétel Az x [0, 1] szám pontosan akkor van benne C -ben ha van olyan triadikus felírása, melyben nem szerepel 1 -es Klasszikus fraktálpéldák. 32 of 86

Triadikus ábrázolás általában A Cantor halmaz triadikus ábrázolása Tétel Az x [0, 1] szám pontosan akkor van benne C -ben ha van olyan triadikus felírása, melyben nem szerepel 1 -es Következmény A Cantor halmaz nem megszámlálható. Klasszikus fraktálpéldák. 33 of 86

Triadikus ábrázolás általában BIZONYÍTÁS Bizonyítás Klasszikus fraktálpéldák. 34 of 86

Triadikus ábrázolás általában BIZONYÍTÁS Bizonyítás A hármas számrendszerbeli felírásban azok a számok, melyekben a harmadosvessző utáni első pozción 1 van 1 3 = (0.100000... ) 3 és 2 3 = (0.12222222... ) közé esnek. Hagyjuk el ezeket! A végpontok maradnak, mivel van 1-et nem tartalmazó előállításuk. Vagyis pont a ( 1 3, 2 3 ) nyílt intervallumot töröljük. Így C 1 pontosan azokat a számokat tartalmazza, melyek előállíthatók úgy, hogy az első pozíción nincs 1-es. A második pozíción pontosan akkor van 1-es, ha a ( 1 9, 2 9 ) vagy ( 7 9, 8 9 ) intervallumba esnek. Elhagyva, kapjuk C 2-t. S.í.t. Klasszikus fraktálpéldák. 35 of 86

Triadikus ábrázolás általában TRANSZLÁCIÓK I Ha L R, s L, akkor az L + s = x + s : x L halmazt al L halmaz s-el való eltoltjának nevezzük. Klasszikus fraktálpéldák. 36 of 86

Triadikus ábrázolás általában TRANSZLÁCIÓK I Ha L R, s L, akkor az L + s = x + s : x L halmazt al L halmaz s-el való eltoltjának nevezzük. Definiáljuk a következő sorozatokat : L 0 = 0, legyen továbbá s 0 = 2 3, és L k = L k 1 (L k 1 + s k 1 ), s k = s k 1 3 Klasszikus fraktálpéldák. 37 of 86

Triadikus ábrázolás általában TRANSZLÁCIÓK I Ha L R, s L, akkor az L + s = x + s : x L halmazt al L halmaz s-el való eltoltjának nevezzük. Definiáljuk a következő sorozatokat : L 0 = 0, legyen továbbá s 0 = 2 3, és L k = L k 1 (L k 1 + s k 1 ), s k = s k 1 3 L 0 L 1 L 2.... Klasszikus fraktálpéldák. 38 of 86

Triadikus ábrázolás általában TRANSZLÁCIÓK I Ha L R, s L, akkor az L + s = x + s : x L halmazt al L halmaz s-el való eltoltjának nevezzük. Definiáljuk a következő sorozatokat : L 0 = 0, legyen továbbá s 0 = 2 3, és L k = L k 1 (L k 1 + s k 1 ), s k = s k 1 3 L 0 L 1 L 2.... Legyen L = k=0 L k Klasszikus fraktálpéldák. 39 of 86

Triadikus ábrázolás általában TRANSZLÁCIÓK I Ha L R, s L, akkor az L + s = x + s : x L halmazt al L halmaz s-el való eltoltjának nevezzük. Definiáljuk a következő sorozatokat : L 0 = 0, legyen továbbá s 0 = 2 3, és L k = L k 1 (L k 1 + s k 1 ), s k = s k 1 3 L 0 L 1 L 2.... Legyen L = k=0 L k Tulajdonságok: L k elemszáma: 2 k L k pontjai a C k -beli intervallumok bal-végpontjai: C k -ból kihagyott intervallumok job-végpontjai (plusz a 0) L k elemeinek triadikus felbontásában nincs 1-es Klasszikus fraktálpéldák. 40 of 86

Triadikus ábrázolás általában TRANSZLÁCIÓK II Igaz-e, hogy L = C? Klasszikus fraktálpéldák. 41 of 86

Triadikus ábrázolás általában TRANSZLÁCIÓK II Igaz-e, hogy L = C? Nem, 1 4 / L Klasszikus fraktálpéldák. 42 of 86

Triadikus ábrázolás általában TRANSZLÁCIÓK II Igaz-e, hogy L = C? Nem, 1 4 / L Tétel Ha x eleme a Cantor halmaznak, akkor létezik L-ben olyan sorozat, amelyik x-hez konvergál. Klasszikus fraktálpéldák. 43 of 86

Triadikus ábrázolás általában TRANSZLÁCIÓK III Bizonyítás Ha x C, akkor x = i=1 a i 3 i, ahol a i csak 0, 2 lehet. k >= 1 esetén legyen x k = k i=1 a i 3 i. Ekkor x k L k. Továbbá: x x k = i=k+1 a i 3 i <= i=k+1 2 3 i = 2 3 (k+1) 2 3 = 3 k Klasszikus fraktálpéldák. 44 of 86

Triadikus ábrázolás általában ITERÁLT FÜGVÉNYRENDSZEREK I Definíció Legyenek r > 0 valamint a valós számok. Az f : R R, x r x + (1 r) a utasítással definiált függvényt r arányú, a középpontú dilatációnak vagy nyújtásnak nevezzük Klasszikus fraktálpéldák. 45 of 86

Triadikus ábrázolás általában ITERÁLT FÜGVÉNYRENDSZEREK I Definíció Legyenek r > 0 valamint a valós számok. Az f : R R, x r x + (1 r) a utasítással definiált függvényt r arányú, a középpontú dilatációnak vagy nyújtásnak nevezzük Tekintsük a következő két dilatációt : f 1 (x) = x 3, f 2(x) = x+2 3. Nézzük a két függvény [0, 1]-re való megszorítását! Klasszikus fraktálpéldák. 46 of 86

Triadikus ábrázolás általában ITERÁLT FÜGVÉNYRENDSZEREK I Definíció Legyenek r > 0 valamint a valós számok. Az f : R R, x r x + (1 r) a utasítással definiált függvényt r arányú, a középpontú dilatációnak vagy nyújtásnak nevezzük Tekintsük a következő két dilatációt : f 1 (x) = x 3, f 2(x) = x+2 3. Nézzük a két függvény [0, 1]-re való megszorítását! Tétel A Cantor halmazra teljesül a következő összefüggés : C = f 1 (C) f 2 (C) (1) Klasszikus fraktálpéldák. 47 of 86

Triadikus ábrázolás általában ITERÁLT FÜGVÉNYRENDSZEREK II Bizonyítás. Indukcióval könnyen látható, hogy C k+1 = f 1 (C k ) f 2 (C k ). A kétoldali tartalmazást kell belátnunk: C f 1 (C) f 2 (C): Ha x C, akkor x C 1, pl.x [2/3, 1], ekkor x C k+1 = f 1 (C) f 2 (C). Mivel f ( C k ) f 1 ([0, 1]) = [0, 1/3] így x f 2 (C), így 3x 2 C k. Ez minden k-ra igaz, ezért x f 2 (C). Ha x [0, 13], akkor hasonlóan azt kapjuk, hogy x f 1 (C). Klasszikus fraktálpéldák. 48 of 86

Triadikus ábrázolás általában f 1 (C) f 2 (C) C: Legyen xcupf 2 (C), ekkor 3x 2 C. Ezért minden k-ra vagy 3x 2 C k vagy x f 2 (C k ) C k+1. De ekkor x k N C k+1 C. Klasszikus fraktálpéldák. 49 of 86

Triadikus ábrázolás általában f 1 (C) f 2 (C) C: Legyen xcupf 2 (C), ekkor 3x 2 C. Ezért minden k-ra vagy 3x 2 C k vagy x f 2 (C k ) C k+1. De ekkor x k N C k+1 C. Definíció Az (f 1, f 2 ) függvénypárt iterált függvényrendszernek nevezzük, a C halmaz ezen függvényrendszernek az invariáns halmaza, avagy attraktorja. Klasszikus fraktálpéldák. 50 of 86

Triadikus ábrázolás általában ANALITIKUS TULAJDONSÁGOK 1 A Cantor-halmaz nem tartalmaz intervallumot. 1 Vagyis minden pontja tetszőleges környezetében van tőle különböző pontja a halmaznak. 2 Ha a R minden környezete belemetsz C-be, akkor a C. 3 vagyis korlátos és zárt. Klasszikus fraktálpéldák. 51 of 86

Triadikus ábrázolás általában ANALITIKUS TULAJDONSÁGOK 1 A Cantor-halmaz nem tartalmaz intervallumot. 2 Nincs izolált pontja. 1 1 Vagyis minden pontja tetszőleges környezetében van tőle különböző pontja a halmaznak. 2 Ha a R minden környezete belemetsz C-be, akkor a C. 3 vagyis korlátos és zárt. Klasszikus fraktálpéldák. 52 of 86

Triadikus ábrázolás általában ANALITIKUS TULAJDONSÁGOK 1 A Cantor-halmaz nem tartalmaz intervallumot. 2 Nincs izolált pontja. 1 3 A Cantor halmaz zárt. 2 1 Vagyis minden pontja tetszőleges környezetében van tőle különböző pontja a halmaznak. 2 Ha a R minden környezete belemetsz C-be, akkor a C. 3 vagyis korlátos és zárt. Klasszikus fraktálpéldák. 53 of 86

Triadikus ábrázolás általában ANALITIKUS TULAJDONSÁGOK 1 A Cantor-halmaz nem tartalmaz intervallumot. 2 Nincs izolált pontja. 1 3 A Cantor halmaz zárt. 2 4 A Cantor halmaz kompakt. 3 1 Vagyis minden pontja tetszőleges környezetében van tőle különböző pontja a halmaznak. 2 Ha a R minden környezete belemetsz C-be, akkor a C. 3 vagyis korlátos és zárt. Klasszikus fraktálpéldák. 54 of 86

Triadikus ábrázolás általában ANALITIKUS TULAJDONSÁGOK 1 A Cantor-halmaz nem tartalmaz intervallumot. 2 Nincs izolált pontja. 1 3 A Cantor halmaz zárt. 2 4 A Cantor halmaz kompakt. 3 5 A Cantor halmaz perfekt. 1 Vagyis minden pontja tetszőleges környezetében van tőle különböző pontja a halmaznak. 2 Ha a R minden környezete belemetsz C-be, akkor a C. 3 vagyis korlátos és zárt. Klasszikus fraktálpéldák. 55 of 86

Triadikus ábrázolás általában ANALITIKUS TULAJDONSÁGOK 1 A Cantor-halmaz nem tartalmaz intervallumot. 2 Nincs izolált pontja. 1 3 A Cantor halmaz zárt. 2 4 A Cantor halmaz kompakt. 3 5 A Cantor halmaz perfekt. 6 Teljesen széteső. 1 Vagyis minden pontja tetszőleges környezetében van tőle különböző pontja a halmaznak. 2 Ha a R minden környezete belemetsz C-be, akkor a C. 3 vagyis korlátos és zárt. Klasszikus fraktálpéldák. 56 of 86

A Cantor függvény DEFINÍCIÓ Legyen x [0, 1] és írjuk fel harmados törtként: x = i=1 a i,x3 i. Jelölje N x azt a legkisebb i-t, amire a i,x = 1 ebben a felírásban, illetve N x =, ha nincs ilyen index. Definíció Cantor függvénynek nevezzük azt a G : [0, 1] R függvényt, melyre G(x) = 1 Nx 1 2 + Nx i=1 a i,x 2 i. Szokás még Cantor Lebesgue függvénynek, vagy az ördög lépcsőjének nevezni. A definíciót kiterjeszthetjük minden valósra, úgy hogy x < 0 estén 0, x > 1 esetén 1 a függvény értéke. Klasszikus fraktálpéldák. 57 of 86

A Cantor függvény TULAJDONSÁGOK 1 A definíció nem függ a harmados felbontás nem-egyértelműségtől. Klasszikus fraktálpéldák. 58 of 86

A Cantor függvény TULAJDONSÁGOK 1 A definíció nem függ a harmados felbontás nem-egyértelműségtől. 2 A Cantor-halmazon az első tag kiesik. Klasszikus fraktálpéldák. 59 of 86

A Cantor függvény TULAJDONSÁGOK 1 A definíció nem függ a harmados felbontás nem-egyértelműségtől. 2 A Cantor-halmazon az első tag kiesik. 3 G folytonos, növekvő. Klasszikus fraktálpéldák. 60 of 86

A Cantor függvény TULAJDONSÁGOK 1 A definíció nem függ a harmados felbontás nem-egyértelműségtől. 2 A Cantor-halmazon az első tag kiesik. 3 G folytonos, növekvő. 4 A [0, 1] \ C halmaz mindegyik intervallumán konstans. Klasszikus fraktálpéldák. 61 of 86

A Cantor függvény TULAJDONSÁGOK 1 A definíció nem függ a harmados felbontás nem-egyértelműségtől. 2 A Cantor-halmazon az első tag kiesik. 3 G folytonos, növekvő. 4 A [0, 1] \ C halmaz mindegyik intervallumán konstans. 5 G deriváltja majdnem mindenütt zérus. Klasszikus fraktálpéldák. 62 of 86

A Cantor függvény TULAJDONSÁGOK 1 A definíció nem függ a harmados felbontás nem-egyértelműségtől. 2 A Cantor-halmazon az első tag kiesik. 3 G folytonos, növekvő. 4 A [0, 1] \ C halmaz mindegyik intervallumán konstans. 5 G deriváltja majdnem mindenütt zérus. 6 A Cantor-halmazt a [0, 1]-re képezi. Klasszikus fraktálpéldák. 63 of 86

A Cantor függvény TULAJDONSÁGOK 1 A definíció nem függ a harmados felbontás nem-egyértelműségtől. 2 A Cantor-halmazon az első tag kiesik. 3 G folytonos, növekvő. 4 A [0, 1] \ C halmaz mindegyik intervallumán konstans. 5 G deriváltja majdnem mindenütt zérus. 6 A Cantor-halmazt a [0, 1]-re képezi. 7 Ha F : [0, 1] R növekvő függvény, F( x 3 ) = F(x) 2 továbbá F(1 x) = 1 F(x), akkor F a Cantor függvény. Klasszikus fraktálpéldák. 64 of 86

Sierpinski-háromszög A KONSTRUKCIÓ 1 Legyen az S 0 halmaz egy egyenlőoldalú háromszög, a háromszög belsejét is ideértve. Az oldalakat egységnek tekintjük Klasszikus fraktálpéldák. 65 of 86

Sierpinski-háromszög A KONSTRUKCIÓ 1 Legyen az S 0 halmaz egy egyenlőoldalú háromszög, a háromszög belsejét is ideértve. Az oldalakat egységnek tekintjük 2 Felezzük meg minden oldalát, kössük össze az oldalfelezőket, hagyjuk el a középső háromszöget. Így kapjuk az S 1 halmazt. Klasszikus fraktálpéldák. 66 of 86

Sierpinski-háromszög A KONSTRUKCIÓ 1 Legyen az S 0 halmaz egy egyenlőoldalú háromszög, a háromszög belsejét is ideértve. Az oldalakat egységnek tekintjük 2 Felezzük meg minden oldalát, kössük össze az oldalfelezőket, hagyjuk el a középső háromszöget. Így kapjuk az S 1 halmazt. 3 S k+1 -et úgy kapjuk S k -ből, hogy minden megmaradt háromszögön végrehajtjuk az előző eljárást. Klasszikus fraktálpéldák. 67 of 86

Sierpinski-háromszög A KONSTRUKCIÓ 1 Legyen az S 0 halmaz egy egyenlőoldalú háromszög, a háromszög belsejét is ideértve. Az oldalakat egységnek tekintjük 2 Felezzük meg minden oldalát, kössük össze az oldalfelezőket, hagyjuk el a középső háromszöget. Így kapjuk az S 1 halmazt. 3 S k+1 -et úgy kapjuk S k -ből, hogy minden megmaradt háromszögön végrehajtjuk az előző eljárást. 4 Nyilván S 0 S 1 S 1... Klasszikus fraktálpéldák. 68 of 86

Sierpinski-háromszög A KONSTRUKCIÓ 1 Legyen az S 0 halmaz egy egyenlőoldalú háromszög, a háromszög belsejét is ideértve. Az oldalakat egységnek tekintjük 2 Felezzük meg minden oldalát, kössük össze az oldalfelezőket, hagyjuk el a középső háromszöget. Így kapjuk az S 1 halmazt. 3 S k+1 -et úgy kapjuk S k -ből, hogy minden megmaradt háromszögön végrehajtjuk az előző eljárást. 4 Nyilván S 0 S 1 S 1... 5 S = i=0 S i Klasszikus fraktálpéldák. 69 of 86

Sierpinski-háromszög EGYSZERŰ TULAJDONSÁGOK 1 S k pontosan 3 k darab egybevágó háromszöget tartalmaz, oldalhosszaik 2 k Klasszikus fraktálpéldák. 70 of 86

Sierpinski-háromszög EGYSZERŰ TULAJDONSÁGOK 1 S k pontosan 3 k darab egybevágó háromszöget tartalmaz, oldalhosszaik 2 k 2 S területe 0 Klasszikus fraktálpéldák. 71 of 86

Sierpinski-háromszög EGYSZERŰ TULAJDONSÁGOK 1 S k pontosan 3 k darab egybevágó háromszöget tartalmaz, oldalhosszaik 2 k 2 S területe 0 3 S kerülete Klasszikus fraktálpéldák. 72 of 86

Sierpinski-háromszög ITERÁLT FÜGVÉNYRENDSZERREL A Cantor-halmazhoz hasonlóan előállítható fügvényiterációk segítségével. Itt három dilatációra van szükségük, ezek nem mások, mint az S 0 csúcsaiból indított 1 2 arányú zsugorítások. Ha f 1, f 2, f 3 jelöli a három függvényt, akkor egyrészt S k+1 = f 1 (S k ) f 2 (S k ) f 3 (S k ), valamint S = f 1 (S) f 2 (S) f 3 (S) Klasszikus fraktálpéldák. 73 of 86

Sierpinski-háromszög KOORDINÁTÁS MEGADÁS Klasszikus fraktálpéldák. 74 of 86

Sierpinski-háromszög MEGADÁS TRANSZLÁCIÓKKAL Jelöljünk ki egy kezdőpontot és két irányt, melyek egymással 60 0 -ot zárnak be!. Legyen L 0 ezt a egyetlen pontot tartalmazó halmaz, s 0 = 1 2. A k-adik lépésben pedig L k 1-hez mindkét irányú s k 1 távolságú eltoltjait hozzávesszük, legyen s k = 1 2 s k 1! Legyen L = k L k. Az S halmaz minden pontja határértéke egy L-beli sorozatnak. Klasszikus fraktálpéldák. 75 of 86

A Sierpinski - szőnyeg és a Menger - szivacs A SIERPINSKI - SZŐNYEG ÉS A MENGER - SZIVACS Sierpinski - szőnyeg Egy egységnégyzetet felbontunk 3x3-as kis négyztetekre, majd kihagyjuk a középsőt. Ezután az eljárást folytatjuk a megmaradt négyzetekkel. Területe: 0, kerülete : Klasszikus fraktálpéldák. 76 of 86

A Sierpinski - szőnyeg és a Menger - szivacs A SIERPINSKI - SZŐNYEG ÉS A MENGER - SZIVACS Sierpinski - szőnyeg Egy egységnégyzetet felbontunk 3x3-as kis négyztetekre, majd kihagyjuk a középsőt. Ezután az eljárást folytatjuk a megmaradt négyzetekkel. Területe: 0, kerülete : Menger - szivacs A Sierpinski-szőnyeg térbeli megfelelője; Egy egységkockát bontunk az élek harmadolásával 27 kiskockára, majd kihagyjuk azokat, amelyeken a kocka középpontján áthaladó, lapokra merőleges egyenesek átmennek. 7 ilyen kiskocka esik ki. Majd az eljárást folytatjuk. Térfogat : 0, felszín : Klasszikus fraktálpéldák. 77 of 86

A Koch - görbe KOCH GÖRBE: A SÁRKÁNY KONSTRUKCIÓ Kiinduló halmazunk egy P 0 egységszakasz. Osszuk három egyenlő részre, a középső szakaszt vegyük el, és két példányát ragasszuk a maradék két szakasz egymáshoz közelebbi végpontjaira úgy, hogy pótlások szabad végpontjait összeragasztjuk. Ezután minden lépésben a keletkezett polygon minden szakaszára ismételjük meg az eljárást. Klasszikus fraktálpéldák. 78 of 86

A Koch - görbe A TREMA KONSTRUKCIÓ Induljunk ki olyan egyenlőszárú háromszögből, mely csúcsánál 120 0 -os szög van. Osszuk három részre az alapot, kössük össze az osztópontokat a csúcsponttal, hagyjuk el a középső egybevágó háromszöget! Ezután minden iterációs lépésben az alakzatunkban szereplő eredetihez hasonló egyenlőszárú háromszöggel végezzük el ugyananezt. Klasszikus fraktálpéldák. 79 of 86

KIEGÉSZÍTÉS Összefoglalóan Kiegészítés 80 of 86

KIEGÉSZÍTÉS Összefoglalóan Önhasonlóak Kiegészítés 81 of 86

KIEGÉSZÍTÉS Összefoglalóan Önhasonlóak Finomszerkezetűek Kiegészítés 82 of 86

KIEGÉSZÍTÉS Összefoglalóan Önhasonlóak Finomszerkezetűek Az euklideszi geometria eszközeivel nehezen kezelhetők Kiegészítés 83 of 86

KIEGÉSZÍTÉS Összefoglalóan Önhasonlóak Finomszerkezetűek Az euklideszi geometria eszközeivel nehezen kezelhetők Egyszerű szabályokkal előállíthatók - többnyire valamilyen rekurzióval Kiegészítés 84 of 86

KIEGÉSZÍTÉS Összefoglalóan Önhasonlóak Finomszerkezetűek Az euklideszi geometria eszközeivel nehezen kezelhetők Egyszerű szabályokkal előállíthatók - többnyire valamilyen rekurzióval Nem egész dimenzió Kiegészítés 85 of 86

KIEGÉSZÍTÉS Összefoglalóan Önhasonlóak Finomszerkezetűek Az euklideszi geometria eszközeivel nehezen kezelhetők Egyszerű szabályokkal előállíthatók - többnyire valamilyen rekurzióval Nem egész dimenzió A természetben gyakran előfordulnak Kiegészítés 86 of 86