PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA 08. február 0. STUDIUM GENERALE MATEMATIKA SZEKCIÓ MATEMATIKA EMELT SZINTŰ PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA Javítási útmutató 08. február 0. STUDIUM GENERALE MATEMATIKA SZEKCIÓ Matematika Írásbeli próbavizsga emelt szit javítási útmutató
Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 08. február 0. ) a) Oldja meg az alábbi egyelőtleséget a valós számok halmazá! x x 4 7 lg 4 9 8 lg 8 b) Adja meg az alábbi kifejezés értelmezési tartomáyát a 0; itervallumo! si x cosx 4 Jelölje A az a), B a b) feladat megoldásaiak halmazát. c) Itervallumok segítségével adja meg az A\ B halmazt! x x (5 pot) (4 pot) ( pot) lg 4 a) Az egyelőtleség bal oldalát átalakíthatjuk azoos alapú hatváyokká: lg8 Az egyelőtleség jobb oldala átalakítható a következő módo: lg, ezt egyszerűsítve a lg x x következő egyelőtleséget kapjuk: A bal oldalo az azoos alapú hatváyok szorzatára voatkozó azoosságot alkalmazva: x Az expoeciális függvéy szigorú mootoitása miatt: x x ; Az egyelőtleség megoldása: b) Mivel égyzetgyök alatt csak emegatív szám állhat, ezért si x 0. (0,5 pot) Az egyelőtleség megoldása a 0; itervallumo x 0;. Egy tört evezője em lehet 0, ezért cos x 0. 4 (0,5 pot) 7 Az egyelet megoldása a 0; itervallumo x és x. 4 4 Összeegyeztetve a kikötéseket, a kifejezés értelmezési tartomáya a 0; itervallumo x 0; \. 4 B 0; \ 4. Az A\ B itervallum azokat az elemeket tartalmazza, amelyek em elemei A-ak, és icseek bee a B itervallumba sem. A\ B ;0 ( pot) c) A feladat szövege szerit A ;, Ezek alapjá Összese: pot - -
Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 08. február 0. ) Tapasztalatok alapjá aak a valószíűsége, hogy egy teljesítméytúrá egy véletleszerűe kiválasztott verseyző megtalálja a -as számú elleőrzési potot 0,65. A mostai kihíváso 5 túrázó vesz részt. a) Meyi a valószíűsége, hogy a túrá legalább résztvevő em találja meg az elleőrzési potot? Válaszát égy tizedesjegyre kerekítve adja meg! (4 pot) A -as pot egy fesíko álló kilátót jelöl, továbbá a fesíko két tűzrakóhely is található. Jelölje a tűzrakóhelyeket az A és a B pot. Az A pot és a kilátó távolsága 00 méter, a kilátó csúcspotja az A potból 45 -os, a B potból 0 -os emelkedési szögbe látszik. Az A potot a kilátó talppotjával összekötő egyees 60 -os szöget zár be az AB egyeessel. b) Milye messze va egymástól a két tűzrakóhely? (9 pot) a) Aak a valószíűsége, hogy valaki megtalálja az elleőrzési potot p 0, 65, így aak a valószíűsége, hogy valaki em találja meg q 0,5. Számoljuk ki az eseméy komplemeteréek valószíűségét, azaz, hogy legfeljebb egy ember em találja meg a hármas potot. P 5 5 0 5 4 0,65 0,5 0,65 05 0,04 0 Így aak a valószíűsége, hogy legalább kette em találják meg az elleőrzési potot P A 0,9858 b) Ábra készítése ( pot) Az ATK háromszög derékszögű, egyik hegyesszöge 45, ezért a háromszög egyelőszárú. Így TK 00 m. A BTK háromszög szité derékszögű, felírható rá a 00 következő összefüggés: tg 0. TB Ebből TB 7, m. Az ABT háromszögbe kosziusztétel segítségével kiszámolhatjuk az AB távolságot. 7, 00 AB 00 AB cos 60 0 AB 00AB 0000 Az egyelet két gyöke: 00 és 00. A egatív gyök a feladat jellegéből adódóa em megoldás. Tehát a két tűzrakóhely távolsága 00 méter.. Összese: pot - -
Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 08. február 0. ) Egy kofereciá ők és férfiak veszek részt. Tudjuk, hogy több ő va jele, mit férfi és összese 6-a vaak a kofereciá. Érkezéskor mideki midekit üdvözöl: a ők puszit adak egymásak, a férfiak kezet fogak egymással, a őkek a férfiak kezet csókolak. a) Háy kézfogás törtét, ha kézcsókra került sor? (5 pot) Az elhagzott előadások utá a résztvevők 9 fős csoportokra oszlaak, hogy megvitassák a hallottakat. Az egyik csoportba megkérdezték, hogy a koferecia előtt ki háy embert ismert a csoporttársai közül. A válaszok a következők voltak: fő modott 5-öt, fő -t, fő -at, fő 4-et és fő -et. b) Háyféleképp választhatuk ki a csoportból főt úgy, hogy ők korábba még em ismerték egymást? ( pot) Ákos a többi csoportról a következőket állította: Va olya csoport, ahol mideki potosa 7 embert ismert korábba. Va olya csoport, ahol potosa 8 ismeretség volt korábba. c) Dötse el, hogy lehet-e igaza Ákosak! Válaszát idokolja! (4 pot) a) Jelölje a ők számát x, a férfiak számát y, ahol x y. A kofereciá összese 6-a vaak, ezért x y 6. Összese kézcsók törtét, ezért xy. Az első egyeletből kifejezve: x6 y, ezt a második egyeletbe behelyettesítve adódik a következő másodfokú egyelet: 0 y 6y. Így a gyökök: y 9, x 7 valamit y 7, x 9. Az első gyökpár em megoldása a feladatak, mivel tudjuk, hogy a ők voltak többe a kofereciá. 7 6 A résztvevők között 7 férfi volt, így a kézfogások száma 6. b) Ebbe a csoportba az ismertségek száma 5 4 Egy 9 fős társaságba összese 98 6 ismertség állhat fe. A fetiek alapjá ebbe a csoportba 6 olya páros va, akik em ismerik egymást, tehát féleképpe választhatuk ki két embert úgy, hogy ők korábba még em ismerték egymást. c) Az első esetbe az ismertségeket ábrázolhatjuk egy olya gráfo, ahol mide pot fokszáma 7. Ekkor a gráfba a fokszámok összege 6. Mivel egy gráfba a fokszámok összege midig páros, ezért ebbe az esetbe Ákosak em lehet igaza. A második esetbe tudjuk, hogy egy 9 fős társaságba összese 6 ismertség állhat fe. Ezért Ákosak em lehet igaza. Összese: pot - 4 -
Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 08. február 0. 4) Az f x ax bx cx d függvéyről az alábbiakat tudjuk: A függvéy egyetle zérushelye x. A függvéy két szélsőértéke az x és x helyeke va. A függvéy értéke az x helye 8. a) Adja meg az f x függvéy a, b, c, d paramétereit! (9 pot) Adott a g x x,5x 6x függvéy. b) Határozza meg a g x függvéy kovexitását, valamit iflexiós potját! - 5 - (5 pot) a) A függvéy egyetle zérushelye x, ebből felírhatjuk a következő egyeletet: a b c d 0 I. Abba a potba, ahol egy függvéyek szélsőértéke va, ott az első derivált értéke ulla. f ' x ax bx c 0 A fetiek alapjá a b c 0 II., valamit 7 6 0 III. a b c A függvéy értéke az 8a 4b c d 8 IV. A III. egyeletből a II. -t kivova adódik, hogy b6a Ezt a II. egyeletbe visszahelyettesítve 9a c 0 c 9a A fetiek alapjá az A x helye 8, tehát I. egyelet 6a d 0 d 6a IV. egyeletet felírhatjuk a következő módo: 8a 8 a Visszahelyettesítve megkapjuk a többi paraméter értékét is: b 6, c 9, d 6. A függvéy: f x x 6x 9x 6. b) Egy függvéyek ott lehet iflexiós potja, ahol második deriváltjáak értéke ulla. g ' x x x 6 g '' x 6x 0 x Foglaljuk az adatokat táblázatba: ; x ; g'' x egatív 0 pozitív g( x ) kokáv iflexiós pot kovex A második derivált értéke a ; itervallumo egatív, ezért itt a függvéy kokáv, az ; itervallumo pozitív, ezért itt a függvéy kovex. Mivel az x potba a második derivált értéke 0, és a függvéy görbületet vált, ezért az x a függvéy iflexiós potja. Összese: 4 pot Maximális elérhető potszám: 5 pot
Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 08. február 0. 5) Egy kisvárosi lottójátéko db külöböző yerőszámot sorsoltak ki. A számok egy olya mértai sorozatot alkotak, melyek első eleme, az elemek összege 9, a yerőszámok reciprokaiak összege pedig 48. a) Adja meg a lottó kisorsolt yerőszámokat! (0 pot) Tamás megyerte a főyereméyt, 865000 Ft-ot. A yertes ezt az összeget éve keresztül akarja kamatoztati. Két kedvező ajálatot kapott. A Fityig Bak a áluk elhelyezett összeg eseté millió foritig 0,5%, az millió feletti összegre 0,6% kamatot fizet havota. A Peták Bak kéthavi lekötést ajál kéthavi,4%-os kamatra. b) Melyik ajálatot válassza Tamás, ha célja, hogy év múlva miél agyobb összeggel támogathassa a családját? (6 pot) a) Jelölje a mértai sorozat háyadosát q. Ekkor a sorozat első eleméek összege S q 9 I. q A yerőszámok reciprokai egy olya mértai sorozatot alkotak, melyek első eleme, háyadosa q. q 48 q Ebbe a sorozatba az első elem összege S ' II. Az A I. egyeletből kifejezhetjük, hogy q q 0 II. egyeletbe visszahelyettesítve és átalakítva a következő másodfokú egyeletet kapjuk: q q 0 ( pot) Az egyelet gyökei q és q. Mivel a lottó kihúzott számok em lehetek egyformák, ezért q em megoldás. A fetiek alapjá q 5 Az ismert adatok alapjá meghatározhatóak a yerőszámok, melyek:, 6,, 4 és 48. b) A Fityig Bakál egy év alatt összese kamatozási periódus telik le. Így egy év múlva a felvehető összeg 000000, 005 865000, 006 0766,7 Ft. ( pot) A Peták Bakál egy év alatt 6 lekötési periódus telik le. 6 Így egy év múlva a felvehető összeg: 865000,04 44,99 Ft. Tamásak a Peták Bakot kell választaia. Összese: 6 pot - 6 -
Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 08. február 0. 6) Va kilec számkártyák:,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9. A kártyákat égy csoportba rakjuk úgy, hogy egyikbe se legye együtt egy szám és egy ála agyobb többszöröse. a) Adjo meg egy lehetséges csoportosítást! ( pot) A számkártyák midegyikéek felhaszálásával kilecjegyű számokat képzük. b) Háy esetbe fordulhat elő, hogy az,, számok egymáshoz képest (em szükségképpe egymás mellett) övekvő sorredbe helyezkedek el? (4 pot) A számkártyák közé beteszük még db hármast. Ezutá az összes lehetséges módo 9 jegyű számokat képzük, majd ezek közül tetszőlegese kiválasztuk egyet. Aak a valószíűsége, hogy a kiválasztott szám osztható 4-gyel. c) Háy darab hármast tettük be a számkártyák közé? (9 pot) a) Az -es számmal semmilye más kártya em kerülhet egy csoportba. A, 4, 8 számkártyákak külö csoportokba kell szerepeliük, a 6-os kártya em szerepelhet együtt sem a kettessel, sem a hármassal, valamit a és a 9 sem lehet együtt. ;,, 5 ; 4, 6, 7 ; 8, 9. Egy lehetséges csoportosítás: b) 9 Először kiválasztjuk azt a három helyet, ahol az,, számkártyák szerepelek: Eek a három kártyáak adott, övekvő sorredbe kell szerepelie. A maradék helye a többi számkártyát 6! féleképpe tudjuk sorba redezi. Így összese 9 6! 60480 olya számot tuduk képezi, amelybe az,, számkártyák övekvő sorredbe helyezkedek el. c) Egy szám akkor osztható 4-gyel, ha az utolsó két számjegyéből képezhető szám is osztható 4- gyel. Esetükbe ezek a végződések:, 6, 4, 8,, 6, 48, 5. 56, 64, 68, 7, 76, 84, 9, 96. Az összes képezhető 9 jegyű szám: 9!.! A kedvező esetek vizsgálatát két esetre kell botauk. Az első, amikor a szám utolsó két 7! számjegyébe em szerepel hármas, ekkor 4 számot képezhetük.! A második esetbe az utolsó két számjegy között va hármas, ekkor képezhetük. Így a kedvező esetek száma:! 7! 4 7! A valószíűséget felírhatjuk a következő módo: kedvező 7! 4 7!! 7! 4 P összes! 9! 9 8 7! 6 9 8 7! számot! ( pot) A kifejezést tovább alakítva a következő másodfokú egyelethez jutuk: 0 4, melyek gyökei 8 és 4. - 7 -
Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 08. február 0. A feladat jellegéből adódóa 8 em megoldás. Tehát 4 darab hármast tettük még a számkártyák közé. Összese: 6 pot 7) Egy 0 cm oldalú égyzet alapú gúla oldaléleiek hossza 0 cm. a) Milye magasa kell elmetszei a testet az alaplappal párhuzamos síkkal, hogy a két rész térfogata megegyezze? (7 pot) A metszés utá keletkezett csokagúlába olya gömböt íruk, melyek térfogata maximális. b) Mekkora a gömb térfogata? (4 pot) Klári éi égyzet alapú gúla, valamit gömb alakú gyertyákat gyárt, összese 46 darabot. A gyertyákat két, egymás alatti polco, -től -ig megszámozott helyeke tartja. Azoba egyik délutá az uokája az alsó polco összekeverte a számokat. c) Bizoyítsa be, hogyha a felső sorba álló számokból kivojuk az alattuk állókat, és a külöbségeket összeszorozzuk, akkor páros szám lesz a végeredméy! (5 pot) a) Ha a metszés utá a két rész térfogata megegyezik, akkor az A B C D E gúla térfogata fele az eredeti gúla térfogatáak. Az eredeti gúla és az A B C D E gúla hasolóak, ezért kihaszálhatjuk, hogy a térfogatok aráya egyelő a hasolósági aráy köbével. V ' A fetiek alapjá V 0 0 0 OC cm (az alapégyzet átlójáak fele) OCE háromszögbe Pitagorasz-tételt felírva: 0 M 0 M 5 4 cm A hasolóság miatt m 5 4 4,85 cm m 5 4 4,85,86 cm, azaz,86 cm magasa kell elmetszeük a gúlát. b) A gömb térfogata akkor lesz maximális, ha ériti a csokagúla alaplapját és fedőlapját. Ekkor a gömb átmérője megegyezik a csokagúla magasságával, azaz R,86 cm. A gömb sugara: R,9 cm. 4,9 A térfogat: V pot) 0, cm. ( O - 8 -
Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 08. február 0. c) Egy szorzat akkor páros, hogyha valamelyik téyezője páros. Egy külöbség akkor páros, ha a kisebbítedő és a kivoadó is páros, vagy páratla. A polcoko páratla és páros szám található. Mivel eggyel több páratla szám va, mit páros, így a felső polco biztosa lesz olya páratla szám, amely alá szité páratla szám kerül. ( pot) A két páratla szám külöbsége páros, így a szorzatba biztosa lesz páros téyező, tehát az eredméy is páros lesz. Ezzel az állítást beláttuk. egyeletű parabola P és által határolt szakasz derékszögbe látszik. 8) Az y x Összese: 6 pot P potjaiból az A ; és ;6 B potok a) Adja meg a P és P potok koordiátáit! (9 pot) A parabola, valamit az ;5 ;5 potok által meghatározott egyees egy síkidomot határolak. b) Számítsa ki eek a síkidomak a területét! (7 pot) a) Ahhoz, hogy meghatározzuk azokat a potokat, amelyekből az AB szakasz derékszög alatt látszik, fel kell íruk a szakasz Thálesz-körét. F ;4, sugara A kör középpotja a szakasz felezőpotja: r cm. A Thálesz-kör egyelete: x y 4 4 A kör és a parabola metszéspotjaiak meghatározásához meg kell oldauk a kör és a parabola egyeletéből álló egyeletredszert. A parabola egyeletét a kör egyeletébe behelyettesítve a következő másodfokú egyeletet kapjuk: y 7y0 0. Az egyelet gyökei y és y 5. Ezutá y -et visszahelyettesítve az ; potot kapjuk eredméyül. Ez azoba a Thálesz-tétel miatt em megoldás. Majd y -t visszahelyettesítve: Tehát a potok koordiátái: P ;5, P ;5 x x x ; x ( pot) - 9 -
Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 08. február 0. b) A síkidom területét (T) úgy tudjuk kiszámoli, hogy a PP CD téglalap területéből kivojuk a parabola alatti területet t a ; itervallumo. A potok koordiátái: ;0 C, ;0 D, a szakaszok hossza: CP DP 5, CD PP A téglalap területe: TP 5 0 PCD te. A parabola alatti terület: x t x x dx 7 9 7 9 x x 6 területegység. ( pot) A síkidom területe: T T t 4 te. PP CD Összese: 6 pot 9) Egy középiskolába két érettségiző osztály volt 07-be. Az A osztály létszáma volt agyobb, mégpedig a B-be végzettek p% -ával. Az A osztályba végzettek 5 -e, a B osztályba végzettek 70%-a érettségizett emelt szite matematikából, a többiek törtéelemből. A taulók között em volt olya, aki két tárgyból érettségizett emelt szite. Az összes matematikát választó diák a végzettek r% -a. a) Igazolja, hogy 000 r 60! (8 pot) 00 p Az évfolyamról 7-e érettségiztek matematikából, -e törtéelemből emelt szite. Az általuk elért érdemjegyeket mutatja az alábbi gyakorisági tábla. Matematika Törtéelem Érdemjegy 4 5 4 5 Érettségiző (fő) 6 6 5 0 8 b) A matematikából közepest szerző diákok közül legalább háyak kellett vola 4-est szerezie a többiek változatla teljesítméye mellett ahhoz, hogy a matematikaérettségi átlaga legalább,8 legye? ( pot) c) Meyi a valószíűsége aak, hogy a törtéelemből érettségizett diákok közül véletleszerűe kiválasztott diák átlaga legalább 4,? Válaszát égy tizedesjegyre kerekítve adja meg! (5 pot) - 0 -
Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 08. február 0. a) Foglaljuk össze az adatokat egy táblázatba! ( pot) A osztály Létszám (fő) p x 00 Emelt matek érettségi (fő) p x 5 00 Ezek alapjá felírhatjuk a következő egyeletet: B osztály x 0,7 x p r p x 0,7 x x x 5 00 00 00 Az egyeletet egyszerűsíthetjük x-szel, majd redezés utá a következő egyeletet kapjuk: 000 60 p 00r rp A jobb oldalo kiemelhetük r-t: 000 60 p r 00 p 000 60 p Az egyeletet redezve: r 00 p 000 Egészrészleválasztás utá kapjuk, hogy 60 r. Ezzel az állítást beláttuk. 00 p ( pot) b) Jelölje azok számát, akikek még 4-est kell szereziük x. Ekkor 6 x fő szerzett hármast, és 6 x fő égyest. 6 x 46 x 55 Felírhatjuk a következő egyelőtleséget:,8 7 Az egyelőtleség megoldása: x 5,6 Tehát legalább 6 taulóak kellett vola még égyest szerezie. c) Ahhoz, hogy az átlag legalább 4, legye vagy két ötöst, vagy egy ötöst és egy égyest szerző taulót kell kiválasztai. Két ötöst szerző taulót féleképpe választhatuk ki. 8 Egy ötöst és egy égyest szerző taulót 4 féleképpe választhatuk ki. A taulóból kettőt 0 módo tuduk kiválasztai. 4 Így a keresett valószíűség P 0,86 0 Összese: 6 pot Maximális elérhető potszám: 64 pot A próbaérettségi sorá szerezhető maximális potszám: 5 pot - -