8 MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgota: dr Nag Zoltán g adjunktus; Bojtár Grgl g Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár) 8 Fsültségi állapot smlélttés Adott: Ismrt g silárd tst pontjában a fsültségi állapot és a tst anagjllmői Ma 8Ma 4 Ma 3Ma Ma Ma E Ma 3 Fladat: a) Írja fl a fsültségi tnor mátriát! b) Smléltss a pontbli fsültségi állapotot a lmi kockán! c) Határoa mg a pontbli alakváltoási tnor d) Smléltss a pontbli alakváltoási állapotot a lmi ttraédrn! Mgoldás: a) A fsültségi tnor mátria: 3 3 8 F Ma 4 b) A pontbli fsültségi állapot a lmi kockán: Ma 4 3 8 3 c) A pontbli fsültségi alakváltoási tnor: A általános Hook törvén alapján: A F FI E G ahol F I a F fsültségi tnor lső invariánsa: F 8 4 8Ma I A G csústató rugalmassági modulus: E G 7693Ma 3 Tarnai Gábor /
A tst pontjában a alakváltoási koordináták: 3 4 8 66 FI 7693 3 G 3 4 8 8 64 FI 7693 3 G 3 4 4 8 4 FI 7693 3 G 4 3 9 G 7693 4 3 G 7693 A alakváltoási tnor: 66 9 9 64 3 A 3 4 4 d) A alakváltoási állapotot smlélttés a lmi ttraédrn: 4 4 3 4 9 4 i k j 3 4 9 4 66 4 6 4 Tarnai Gábor /
8 Fsültségi állapot smlélttés Adott: Ismrt g silárd tst pontja lmi körnténk alakváltoási állapota és a tst anagjllmői 4 4 G 8 Ma 3 Fladat: a) Írja fl a alakváltoási tnor mátriát! b) Határoa mg a pontbli fsültségi tnort! c) Smléltss a pontbli fsültségi állapotot a lmi kockán! Mgoldás: a) A alakváltoási tnor mátria: A b) A pontbli fsültségi tnor: A általános Hook-törvén alapján: F GA AI E ahol AI a Aalakváltoási tnor lső skalár invariánsa A 4 I A tst pontjában a fsültségi koordináták: 4 3 4 G AI 8 Ma 3 4 3 4 G AI 8 4Ma 3 4 3 4 G AI 8 Ma 3 G G G A fsültségi tnor: 4 F Ma 4 Tarnai Gábor 3 /
c) A pontbli fsültségi állapot smlélttés a lmi kockán! Ma 4 Tarnai Gábor 4 /
83 Fsültségi állapot smlélttés Adott: A pontbli fsültségi állapot és három gmásra mrőlgs irán 3 F 3 n i k Ma 3 3 m i k Fladat: a) Smléltss a pontbli fsültségi állapotot a Mohr-fél kördiagrammal! b) Határoa mg a pontbli fsültségi főiránokat és a főfsültségkt a Mohr-fél kördiagram alapján illtv sajátérték fladat mgoldásaként! c) Sámítsa ki n és nm fsültségkoordinátákat a fsültségi tnorból! Mgoldás: a) A fsültségi állapot smlélttés a sík Mohr-fél kördiagramja alapján: mn Ma n m n 3 nm 3 mn 3 Z n m N Qn X X M m n Ma b) A pontbli fsültségi főiránok és főfsültségk mghatároása a Mohr-fél kördiagramja gomtriai össfüggési alapján: = = 3 Ma ; Ma 3= Ma 3 tg = 3333 arctg 3333 86 Tarnai Gábor /
mghatároása sajátérték fladat sámítással: F E F E ( 3) ( i j k) Lináris algbrai gnltrndsr: ( ) 3 ( ) 3 ( ) Nm triviális mgoldás a sajátértékkr (főfsültségkr): dt F E ( ) ( )( ) ( 3) 3 ill ( )( ) ( 3) Ma ; Ma ; 3 Ma I főirán gségvktora: F 3 3 E 3 3 9 3 ; 3 ; 3 főiránok: i k 3 i k ; 3 j 3 jobbsodrású rndsr Tarnai Gábor 6 /
c) A nnormálisú lapon fllépő n és mn fsültségkoordináták sámítása: 3 3 49 n F n Ma n 3 3 3 3 3 3 n nn 7 3 7 3 49 Ma 3 3 3 mn mn 3 7 3 964 Ma 3 3 3 3 m F m Ma n 3 3 3 3 m mm 3 7 3 7 3 9 Ma 3 3 3 nm nm 3 7 3 9 64 Ma 3 Tarnai Gábor 7 /
84 ont fsültségi állapota általános Hook-törvén Adott: 7 3 F Ma 3 G8Ga 3 Fladat: a) A pont fsültségi állapotának smlélttés a lmi kockán b) A fsültségi állapot Mohr-fél kördiagramjának mgrajolása c) A főfsültségk és főiránok mghatároása d) A rdukált fsültségk mghatároása ) A pont alakváltoási állapotának mghatároása f) Smlélttés a alakváltoási állapotot a lmi triédrn g) A főfsültségk és főiránok mghatároása sajátérték fladatként Mgoldás: a) A pont fsültségi állapotának smlélttés a lmi kockán: Ma 7 3 3 b) A fsültségi állapot Mohr-fél kördiagramjának mgrajolása 7 3 n m mn Ma 3-3 sík - sík - sík X 3 843 3 43 Y 7 n Ma 3 3 Z Q n 3 Tarnai Gábor 8 /
c) A főfsültségk és főiránok mghatároása: 843 Ma Ma 3 43 Ma 3 tg 44 7 ( 43) 3 cos i sin k j d) A rdukált fsültségk mghatároása: rd ( Coulomb ) ma 3 843 Ma rd ( Mohr ) 3 8486 Ma 747 Ma rd HMH 3 3 i k 3 sin cos ) A pont alakváltoási állapotának mghatároása és smlélttés a lmi triédrn: A Hook-törvén: A F FI E G FI 3 7 3 Ma 3 F 3 3 I Ma 3 7 3 8 4 3 8 G 4 3 8 G 4 3 37 G 8 f) A pont alakváltoási állapotának smlélttés a lmi triédrn: 4 4 87 4 87 A 87 4 j i k 87 4 4 4 Tarnai Gábor 9 /
g) A főfsültségk és főiránok mghatároása sajátérték fladatként F E ( 3) ( i j k) Lináris algbrai gnltrndsr: (7 ) 3 ( ) 3 ( ) Nm triviális mgoldás a sajátértékkr (főfsültségkr): dt F E ( ) (7 )( ) 3 ill (7 )( ) 3 8 83 8 8486 843Ma ; Ma ; 3 43Ma I főirán gségvktora: 843 F E 7 843 3 843 3 843 43 3 343 3 743 3 743 43 3 ; 4 68 6 4 383 934 ; 6 6 főiránok: 934 i 383 k 383 i 934 k ; 3 j jobbsodrású rndsr 3 Tarnai Gábor /
8 A pontban a főfsültségk és a fsültségi főiránok mghatároása Adott: F 3 4 Ma 4 9 Fladat: A pontbli főfsültségk és fsültségi főiránok mghatároása Kidolgoás: Sajátérték fladat: F E ( F E) Lináris algbrai gnltrndsr: ( ) (3 ) 4 4 (9 ) A nmtriviális mgoldás fltétl karaktristikus gnlt: dt F E Résltv: ( ) (3 )(9 ) 4 A karaktristikus gnlt mgoldása: 3 Ma Ehh a gökhö tartoó fsültségi főirán: 3 A karaktristikus gnlt további göki: (3 )(9 ) 4 44 44 Ma Ma A fsültségi főiránok mghatároása a főfsültségkt vissahlttsítjük a lináris algbrai gnltrndsrb főirán: A gnltrndsr mgoldása: 3 8 4 4 ( ) főirán: 3 ( ) ( ) Tarnai Gábor /
86 A főiránok aonossága alakváltoási- illtv fsültségi tnor stén Adott: A silárd tst pontjában a A alakváltoási tnor mátria és uganabban a pontban a F fsültségi tnor mátria: 6 A 6 8 8 3 6 F 6 4 8 Ma 8 3 Fladat: a) Annak igaolása hog a silárd tst pontjában a Hook-törvén érvénsül b) A alakváltoási állapot és 3 főnúlásainak kisámítása c) A alakváltoási főiránok mghatároása d) A és 3 főfsültségk kisámítása ) A fsültségi főiránok mghatároása Kidolgoás: a) A Hook-törvén érvénsülésénk igaolása A általános Hook-törvén srint a alakváltoási- és a fsültségi tnor főátlón kívüli lmink hánadosa aonos E a hánados a G csústató rugalmassági modulus (anagjllmő) G Ma A főátlóban lévő koordinátákra a Hook-törvén srint: i Gi AI A 4 I G AI 4 3 4 3 Ugant kapjuk stén is vagis a két tnor mgfllő koordinátái köt valóban a Hooktörvén trmt kapcsolatot A anagállandók: G Ma b) A főnúlások kisámítása (a alakváltoási tnor sajátértékink mghatároása): A nm triviális mgoldás létésénk fltétl: dt A E A dtrmináns mghatároása a kifjtési sabál alkalmaásával: A mindn tagban srplő kimlés után: 8 8 6 6 3 64 36 3 A második ténő gökténős alakra hoása: 3 3 4 3 3 3 A főnúlások: 3 Tarnai Gábor /
c) A alakváltoási főiránok mghatároása: A -h tartoó főirán mghatároása: AE ( ) 6 Mátri-alakban: 6 ( ) 8 8 ( ) Válassuk -t gségnink ( =)! Et aért thtjük mg mrt a sámítások végén kapott vktort úgis normáljuk aa irán gségvktort állítunk lő Első gnltből: 6 6967 6 8 8 Harmadik gnltből: 8 6 A íg kapott vktor nagsága: 37 El a sámmal kll normálnunk íg a irán gségvktor: 34 86 46 A -hö tartoó főirán mghatároása: AE ( ) 6 Mátri-alakban: 6 ( ) 8 8 ( ) A lső és a harmadik gnltből látható hog Válassuk -t gségnink! Et aért thtjük mg mrt a sámítások végén kapott vktort úgis normáljuk aa irán gségvktort állítunk lő A második gnltből: 6 8 7 A íg kapott vktor nagsága: El a sámmal kll normálnunk íg a irán gségvktor: 8 6 A 3 -ho tartoó főirán mghatároása: 3 4 7 68 d) A főfsültségk mghatároása: A nmtriviális mgoldás létésénk fltétl: dt F E A dtrmináns mghatároása a kifjtési sabál alkalmaásával: A mindn tagban srplő kimlés után: 3 4 3 8 8 6 6 3 3 3 7 64 36 3 7 A második ténő gökténős alakra hoása: 7 7 4 7 3 3 3 3 A főfsültségk: 3 Ma 3Ma Tarnai Gábor 3 / 3 3 3 3 3 Ma
) A fsültségi főiránok mghatároása: A -h tartoó főirán mghatároása: AE 3 3 6 Mátri-alakban: 6 4 3 8 8 3 3 Válassuk -t gségnink! Et aért thtjük mg mrt a sámítások végén kapott vktort úgis normálnunk kll Első gnltből: 6 6967 6 8 8 Harmadik gnltből: 8 6 A íg kapott vktor nagsága: 37 El a sámmal normálva: 34 86 46 A -hö tartoó főirán mghatároása: AE Mátri-alakban: 3 3 6 6 4 3 8 8 3 3 A lső és a harmadik gnltből látható hog Válassuk -t gségnink! Et aért thtjük mg mrt a sámítások végén kapott vktort úgis normálnunk kll A második gnltből: 6 8 7 A íg kapott vktor nagsága: El a sámmal normálva: 8 6 A 3 -ho tartoó főirán mghatároása: 3 4 7 68 Mgjgésk: a) A főiránok mggnk! Blátható hog a sajátvktorok aonossága mindn olan A és F tnorpárra tljsül amlkr iga hog F A E ( ttsőlgs gütthatók) A Hook-törvén iln össfüggést valósít mg g pont alakváltoási állapotát líró alakváltoási tnor és fsültségi állapotát líró fsültségi tnor köött Ebből kövtkik hog a núlási főiránok és a fsültségi főiránok mindig mggnk (g adott pont stén) A fnti két tnor köött a Hook-törvén E Ma anagállandók stén tljsül b) A főfsültségk és a főnúlások köti össfüggés a kövtkő: i Gi 3 i3 c) Fntik bionítása a kövtkő: Tgük fl hog ismrjük a i főnúlásokat és a i núlási főiránokat Visgáljuk mg a a)- F A E tnor hatását a núlási főiránok irán-gségvktorára! ban mghatároott Tarnai Gábor 4 /
a F A E F A E i i i i i i i i Láthatjuk hog i i i tnornak is sajátvktora a hoá tartoó sajátérték pdig: Figlmb vév a Hook-törvén ismrt F GA AI E alakját továbbá flidév hog a lső skalár invariáns a sajátértékk össgévl gnlő kapjuk a i Gi 3 ; i3 össfüggést Tarnai Gábor /
87 ont alakváltoási állapota Adott: 3 A 3 4 4 4 G8 Ga Fladat: a) A pont alakváltoási állapotának smlélttés a lmi kockán b) A alakváltoási állapot Mohr-fél kördiagramjának a mgrajolása c) A főnúlások és a alakváltoási főiránok mghatároása d) A pont fsültségi tnorának a mghatároása és smlélttés a lmi kockán Mgoldás: a) A pont alakváltoási állapotának smlélttés a lmi kockán: i k 4 3 3 j 4 b) A alakváltoási állapot Mohr-fél kördiagramjának a mgrajolása: sík Sabál a síkon 3 j 4 i 4 3 n m mn 3 sík Q n sík n c) A főnúlások és a alakváltoási főiránok mghatároása: 4 3 4 3 4 3 3 tg i j 9 3 i j 3 3 k Tarnai Gábor 6 /
Ellnőrő sámítások: 3 39 3 333 3 a A 3 4 49 39 3 3 4 4 4 a 7 3 3 39 3 3 4 4 a 39 39 4 4 4 d) A pont fsültségi tnorának a mghatároása és smlélttés a lmi kockán: F GA AI E 4 4 AI 3 4 A 8 I 4 8 8 64 Ma G 48Ma 4 8 48 Ma G 4 8 8 46 Ma G Ma Ma 64 48 F 48 Ma 46 64 48 Ma 46 Tarnai Gábor 7 /
88 Flülti fsültségi állapot Mohr-fél fsültségi kördiagramja m n Adott: 6 Ma n 8 Ma mn Ma n ( i j) m( i j) A pont a tst trhltln flültén van Fladat: a) A ponti F fsültségi tnor mátriának mghatároása ( ) b) A Mohr-fél fsültségi kördiagram mgrajolása és a főfsültségk mghatároása Mgoldás: a) A ponti F fsültségi tnor mátriának mghatároása: ( ) A fsültségi tnor ismrt és ismrtln koordinátái a koordináta-rndsrbn: 6 F ( ) A síkbli adott koordináták ( ) flírása a tnor koor-dinátáival: n mn 3 6 n F n 3 n n n 3 3 3 m mn nm n 3 3 Tarnai Gábor 8 /
A mgoldandó gnltrndsr: n 3 8 3 4 Ma mn 3 3 3 Ma A fsültségi tnor a kisámolt értékkkl: 6 4 F 4 3 Ma ( ) 3 4 m 4 6 n b) A Mohr-fél fsültségi kördiagram mgrajolása és a főfsültségk mghatároása: mn Ma 4 3 6 3 n Ma 4 Ma 4 4 8 3 4 4 87 7 Ma Ma Tarnai Gábor 9 /
89 Flülti fsültségi állapot Adott: 3 3 4 E N/m 3 Fladat:? F? Mgoldás: A pont trhltln flültn van F A a) A A alakváltoási tnor mátriának mghatároása a pontban: 3 i j 3 A i j A 3 3 3 4 A 3 4 3 3 A ( ) ( ) 4 4 3 3 3 3 4 3 3 8 4 Tarnai Gábor /
b) A F fsültségi tnor mátriának mghatároása a pontban: E 3 ( 8) 96 96 36 37 37Ma 96 E 6 3 96 96 96 8 Ma E 4 4 3 8 37 333 F 333 Ma 333Ma Tarnai Gábor /