Okttási Hivtl Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny 00/0 Mtemtik I ktegóri (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az forduló feldtink megoldás Az x vlós számr teljesül hogy Htározz meg sin x értékét! 6 sin x os x + 6 = 0 Megoldás: A sin x + os x = trigonometrikus zonosság mitt os x = sin x ezért felírhtjuk z eredetivel ekvivlens sin x sin x () 6 + 6 = 0 egyenletet A htványozás zonosságánk lklmzásávl z () egyenletől zt kpjuk hogy sin x 6 () 6 + = 0 sin x 6 Vezessük e sin x 6 = y jelölést ( y 0)! Ekkor () egyenletől először z 6 y + = 0 y mjd ekvivlens átlkításokkl z () y 0y + 6 = 0 következik pont A () egyenlet gyökei y = és y = 8 eseten Az y = sin 6 x = zz sin x = innen z exponeniális függvény kölsönösen egyértelmű tuljdonság mitt elő mjd sin x = - -
() dódik A () egyenletől következik sin x = sin x = vgy sin x = pont y eseten pedig Az = 8 sin 6 x = 8 és ezért x sin = innen ismét z exponeniális függvény kölsönösen egyértelmű tuljdonságár hivtkozv kpjuk hogy illetve (5) sin x = sin x = Az (5) egyenletől sin x = vgy sin x = pont A sin x = ± és sin x = ± vlón megoldási feldtnk mert sin x + teljesül és így vnnk olyn x vlós számok (végtelen sok) melyekre sin x = ± illetve sin x = ± 0 pont - -
A vlós számok hlmzán egy új műveletet definiálunk Bármely Megoldás: ; vlós számpárr legyen = + Milyen feltételeknek kell teljesülnie z ; ; vlós számhárms tgjir h fennáll hogy ( ) = ( )? Tekintsük először loldlt! Mivel z új művelet definíiój szerint ármely ; vlós számpárr = + ezért egyrészt () = + másrészt () ( ) = + ( ) ()-et ()-e helyettesítve ( ) = + ( + ) honnn műveletek elvégzése után () ( ) = + 6 + 9 A jooldlon hsonlóképpen kpjuk hogy () = + vlmint = + ()-et z (5)-e helyettesítve és műveleteket elvégezve: (5) ( ) ( ) (6) ( ) = + 6 + Azokt feltételeket keressük melyek mellett fennáll hogy ( ) = ( ) így () és (6) lpján (7) + 6 + 9 = + 6 + kell hogy teljesüljön ezért (7) megoldásit keressük A (7) egyenletől rendezés után zt kpjuk hogy (8) = (8) szerint hhoz hogy új műveletünkre teljesüljön z ( ) = ( ) (vgyis hogy ez művelet sszoitív legyen) kell hogy és közt fennálljon z = összefüggés és értéke tetszőleges lehet ( R ) pont pont pont 0 pont - -
Egy derékszögű háromszög oldlhosszink összege 8 z oldlk Megoldás: hosszánk négyzetösszege 78 Htározz meg eírt kör sugránk hosszát! Jelölje és derékszögű háromszög efogóink pedig z átfogójánk hosszát A feldt egyik feltétele: () + + = 8 zz háromszög K -vl jelölt kerülete: A másik feltétel: K = 8 () + + = 78 Derékszögű háromszögünkre Pitgorsz-tétel szerint () ezt ()-e helyettesítve vgyis = + = 78 = 69 miől = 7 (Például négyzetgyöktáláztól kiolvshtó) ()-e helyettesítve értékét kpjuk hogy () + = 7 () mindkét oldlánk négyzetre emelésével: (5) + + = 09 ()-t (5)-e helyettesítve vlmint = 69 -et figyelemevéve (6) = 80 dódik Jelöléseinknek megfelelően derékszögű háromszög területe T szerint T = 0 területegység = ezért (6) pont pont - -
Ismeretes hogy s pedig kerületének fele T = r s hol T háromszög területe r eírt kör sugr A K = 8 és T = 0 értékekől kiszámítv kpjuk hogy r = 5 tehát derékszögű háromszög eírt körének sugr 5 egység hosszúságú pont 0 pont - 5 -
Mely pozitív p prímszámokr teljesül hogy Megoldás: kifejezésnek? 60 osztój p 5p + Először szorzttá lkítjuk p 5p + kifejezést Eszerint: p 5p + = p p () ( ) ( ) () jo oldlánk mindkét tényezője tová onthtó ()-ől szorzótényezők sorrendjének átrendezésével: () 5p + = ( p ) ( p ) ( p + ) ( p + ) p Mivel 60 = 5 8 9 és z 5 ; 8; 9 számok páronként reltív prímek zz ( 5 ; 8) = és ( 5 ; 9) = és ( 8 ;9) = ezért p 5p + kifejezés pontosn kkor oszthtó 60 -nl h oszthtó z 5; 8; 9 számok mindegyikével ) Vizsgáljuk meg z 5-nél nem ngyo p prímszámok esetén kifejezést! H p = kkor () szerint p 5p + = 0 vgyis p 5p + oszthtó 60 -nl H p = kkor p 5p + = 5 = 0 nem oszthtó 60 -nl H p = 5 kkor p 5p + = 6 7 mi nem oszthtó 5 -tel tehát 60 -nl sem oszthtó ) A p > 5 eseten p pártln ezért p és p + két egymást követő páros szám melyek közül z egyik iztosn oszthtó -vel másik -gyel így p p p + p + szorzt oszthtó 8 -l ( ) ( ) ( ) ( ) H p > 5 kkor p nem oszthtó -ml így felírhtó p = n ± lkn ( n N ) Így ( p ) ( p ) ( p + ) ( p + ) szorzt vlmelyik két tényezője iztosn oszthtó -ml ezért szorzt oszthtó 9 -el (Például p = n esetén p és p + ) H p > 5 kkor p nem oszthtó 5 -tel ezért p = 5 k ± vgy p = 5 k ± lkn is felírhtó hol k pozitív egész szám Eől következik hogy ( ) ( p ) ( p + ) ( p + ) p szorzt vlmelyik tényezője iztosn oszthtó 5 -tel (például p = 5k esetén p + ) Azt kptuk tehát hogy h p > 5 kkor p 5p + oszthtó 5 -tel 8 -l és 9 -el is vgyis oszthtó 60 -nl ) Eszerint és 5 prímszámok kivételével minden p prímre teljesül hogy p 5p + oszthtó 60 -nl pont pont 0 pont - 6 -
5 Htározz meg z számjegyet úgy hogy tízes számrendszereli Megoldás: N = lkú szám egy egész szám négyzete legyen! 9999 00009 00 d 00 d Mivel ezért N átírhtó z lk honnn 9999 = 0 00dr 00 00 0 ( 0 ) 0 + 0 + 9 N = 0 () N = 0 ( 0 ) 0 + 9 számjegy ezért mjd Ezt végigszorozv miől Toválkítv 0 -nel 0 0 0 0 Ezt ()-gyel összevetve kpjuk hogy 0 9 0 0 ( 0 ) 0 0 0 0 0 0 + 9 0 + 9 0 0 N < 0 ( 0 ) 0 + 9 0 + 9 0 ( 0 ) 0 + 9 0 0 + 9 pont pont () N < ( 0 ) Másrészt 0 0 0 0 + 00 < 0 0 ( 0 ) 0 + 9 egyenlőtlenség minden z 0 9 egyenlőtlenségnek eleget tevő számjegyre teljesül hiszen ekvivlens lépésekkel következik ( 0 + ) 0 9 < egyenlőtlenségől mi nyilvánvlón igz Tehát 0 0 0 0 + 00 < N pont - 7 -
0 0 () ( ) N A () és () egyenlőtlenségek szerint N két négyzetszám közé esik mégpedig () ( 0 0) < N < ( 0 ) közé De N mg is négyzetszám így N = 0 k hol < k < 0 < Mivel N 9-re végződik ezért N sk 7-re vgy -r végződhet zz k sk 7 vgy lehet zz (5) N = ( 0 7 ) vgy N = ( 0 ) jöhet szó Összevetve ()-et és (5)-öt következik hogy 0 = 7 = vgy 0 = = 6 Az elsőől kpott = ellentmond nnk hogy számjegy másodikól zt kpjuk hogy = ez megfelel minden feltételnek pont Eszerint = z egyetlen számjegy mely mellett z N négyzetszám mégpedig ( 0 ) = 999900009 N = 00 d 00 d Megjegyzés: k = 7 -et úgy is kizárhtjuk hogy 7 = 9 esetén 0-es helyiértéken ellentmondást kpunk hiszen 0 volt és nem lehet 0 pont - 8 -
6 Igzolj hogy h vlmely háromszög területe területegység kkor kerülete hosszúságegységnél ngyo! Megoldás: Legyenek háromszög ; ; hosszúságú oldlihoz trtozó mgsságok rendre m ; m ; m Ekkor háromszög területe T = m m = m = = melyől () m = m = m = Alklmzzuk z ; m m ; és ; m pozitív számokól álló számpárokr számtni és mértni közép közötti egyenlőtlenséget és vegyük figyeleme ()-et + m m pont () + m + m m () + m + m m () + m A ()-()-() megfelelő oldlit összedv zt kpjuk hogy pont (5) ( + ) + ( m + m + m ) 6 + A következő árákon háromszögeket z egyes oldlkhoz trtozó mgsságokkl árázoltuk hegyes tomp és derékszögű háromszög esetén - 9 -
ár Mivel derékszögű háromszög átfogój hossz mint ármelyik efogó ezért z árákról leolvshtjuk hogy mindhárom eseten teljesülnek z (6) m (7) m (8) m egyenlőtlenségek melyeken egyszerre nem állht fenn z egyenlőség esete pont Összedv (6) (7) és (8) megfelelő oldlit + + > m + m + m eől pedig (5) lpján zt kpjuk hogy ( + + ) 6 > zz + + > és éppen ezt kellett izonyítni 0 pont megoldás: Legyenek háromszög oldli ; ; hosszúságúk ekkor háromszög félkerülete + + s = ezzel jelöléssel felírhtó háromszög területe Héron-képlettel zz T = s ( s ) ( s ) ( s ) A feldt dtávl: s = () ( s ) ( s ) ( s ) Az () összefüggés ekvivlens átlkításávl kpjuk hogy - 0 -
() s = ( s ) ( s ) ( s ) A pozitív s ; s ; s számokr felírjuk számtni és mértni közép közötti egyenlőtlenséget eszerint ( ) ( ) ( ) ( s ) + ( s ) + ( s ) s s s s = eől köreemeléssel és rendezéssel dódik hogy s 7 () ( s ) ( s ) ( s ) pont () és () együttesen zt jelentik hogy () s s 7 eől pedig 7 () s mjd 8 s = 6 s pont Mivel K = s háromszög kerületére következő egyenlőtlenséget kpjuk: (5) K pont Az ( ) f x = x függvény tuljdonság hogy minden x > vlós számr x > ezért > így (5)-ől K > következik ez pedig éppen izonyítndó állítás 0 pont - -