5 = hiszen és az utóbbi mátrix determinánsa a középs½o oszlop szerint kifejtve: 3 7 ( 2) = (példa vége). 7 5 = 8. det 6.

Hasonló dokumentumok
Mátrixok 2017 Mátrixok

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

Bázistranszformáció és alkalmazásai 2.

Lineáris egyenletrendszerek

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL

1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás

Diszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.

Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek

Bázistranszformáció és alkalmazásai

Lineáris algebra Gyakorló feladatok

Gauss-eliminációval, Cholesky felbontás, QR felbontás

Gauss elimináció, LU felbontás

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága

I. VEKTOROK, MÁTRIXOK

Lineáris algebra gyakorlat

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei

11. Előadás. 11. előadás Bevezetés a lineáris programozásba

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

Műveletek mátrixokkal. Kalkulus. 2018/2019 ősz

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, Leontyev-modell

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet

LINEÁRIS ALGEBRA (A, B, C) tematika (BSc) I. éves nappali programtervező informatikus hallgatóknak évi tanév I. félév

1. Determinánsok. Oldjuk meg az alábbi kétismeretlenes, két egyenletet tartalmaz lineáris egyenletrendszert:

8. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, , oldal. 8. előadás Mátrix rangja, Homogén lineáris egyenletrendszer

3. el adás: Determinánsok

9. gyakorlat Lineáris egyenletrendszerek megoldási módszerei folyt. Néhány kiegészítés a Gauss- és a Gauss Jordan-eliminációhoz

1/ gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI

Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, szeptember 29.) Maróti Miklós

4. Használati útmutatás

1/ gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI

Lineáris algebra. (közgazdászoknak)

LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK október 12. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

5. Előadás. (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze március 6. 1 / 39

Totális Unimodularitás és LP dualitás. Tapolcai János

Lineáris egyenletrendszerek

Feladat: megoldani az alábbi egyenletrendszert: A x = b,


10. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 10. előadás Sajátérték, Kvadaratikus alak

rank(a) == rank([a b])

1. zárthelyi,

Bevezetés az algebrába 1

1. A kétszer kettes determináns

A KroneckerCapelli-tételb l következik, hogy egy Bx = 0 homogén lineáris egyenletrendszernek

Opkut deníciók és tételek

11. DETERMINÁNSOK Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

Rang, sajátérték. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach/ február 15

Vektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 )

DETERMINÁNSSZÁMÍTÁS. Határozzuk meg a 1 értékét! Ez most is az egyetlen elemmel egyezik meg, tehát az értéke 1.

ÉS TESZTEK A DEFINITSÉG

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

7. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 7. előadás Elemi bázistranszformáció

1. ábra ábra

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

end function Az A vektorban elõforduló legnagyobb és legkisebb értékek indexeinek különbségét.. (1.5 pont) Ha üres a vektor, akkor 0-t..

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert

Matematikai statisztika 1.

NUMERIKUS MÓDSZEREK I. TÉTELEK

2. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Mátrixok Mátrixműveletek Speciális mátrixok, vektorok Norma

12. előadás. Egyenletrendszerek, mátrixok. Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek

ÁTVÁLTÁSOK SZÁMRENDSZEREK KÖZÖTT, SZÁMÁBRÁZOLÁS, BOOLE-ALGEBRA

Gyakorló feladatok. Agbeko Kwami Nutefe és Nagy Noémi

Problémás regressziók

Gazdasági matematika II. tanmenet

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

Valasek Gábor

A szimplex algoritmus

Numerikus módszerek 1.

Kétfázisú szimplex algoritmus és speciális esetei

Saj at ert ek-probl em ak febru ar 26.

Gauss-Seidel iteráció

Mátrixok, mátrixműveletek

A szimplex algoritmus

13.1.Állítás. Legyen " 2 C primitív n-edik egységgyök és K C olyan számtest, amelyre " =2 K, ekkor K(") az x n 1 2 K[x] polinomnak a felbontási teste

EGYSZERŰSÍTETT ALGORITMUS AZ ELEMI BÁZISCSERE ELVÉGZÉSÉRE

1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)

Matlab alapok. Baran Ágnes

Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek

1 p, c = p 1 és d = 4. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert a c és d paraméterek minden értékére. x + 2z = 5 2x y = 8 3x + 6y + cz = d

Lineáris algebra. =0 iє{1,,n}

: s s t 2 s t. m m m. e f e f. a a ab a b c. a c b ac. 5. Végezzük el a kijelölt m veleteket a változók lehetséges értékei mellett!

0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2)

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

1. Geometria a komplex számsíkon

5. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 5. előadás Lineáris függetlenség

Komplex számok algebrai alakja

Matematika (mesterképzés)

Bevezetés a programozásba I.

Lineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Egy tételr½ol, melyet Dürer majdnem megtalált

Lineáris algebra (10A103)

Bevezetés a számításelméletbe I. Zárthelyi feladatok október 20.

Lineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31

Átírás:

A pivotálás hasznáról és hatékony módjáról Adott M mátrixra pivotálás alatt a következ½ot értjük: Kijelölünk a mátrixban egy nemnulla elemet, melynek neve pivotelem, aztán az egész sort leosztjuk a pivotelemmel. Ezután a pivotelem fölött és alatt nullákat készítünk úgy, hogy a sorokból a pivotelem sorának annyiszorosát vonjuk le, hogy éppen nulla jöjjön ki. A pivotálás tehát nem más, mint a lineáris algebrából jól ismert Gauss Jordán elimináció részeként egy oszlop egységvektorrá alakítása. Viszonylag könnyen igazolható, hogy a pivotálás nem változtatja meg az M mátrix rangját, s½ot, ha valamely oszlop a többib½ol linárisan kombinálható a pivotálás el½ott, akkor a pivotálás után is, s½ot ugyanazok az együtthatók megfelelnek. A pivotálás révén egy négyzetes almátrix determinánsa, mely aldetermináns (vagy az aldetermináns sorainak a teljes M mátrixra való kiszélesítése) tartalmazza a pivotelemet, úgy változik, hogy a régi determinánst a pivotelemmel elosztva kapjuk az újat. Ha a pivotelem egy aldetermináns fölött vagy alatt van, akkor az aldetermináns értéke a pivotálás során nulla lesz. Ezek a tulajdonságok könny½uvé teszik egy vagy nagyobb méret½u mátrix determinánsának kiszámítását is. Mindezeket példákon mutatjuk be. A következ½o pivotálásra kejelölt elemeket zárójelekkel mutatjuk meg: Példa. det = 9 hiszen () 8 8 és az utóbbi mátrix determinánsa a középs½o oszlop szerint kifejtve: ( ) = 9 (példa vége). hiszen Példa. det = 8 () () és itt a középs½o -es determináns: =, és ezt a két pivotelemmel, azaz -vel kell szorozni (példa vége).

Pivotálás segítségével megoldhatunk egyenletrendszereket is. Példa. 9z z = 9; z z z z = ; 8z z z = megoldása lehet ez: z tetsz½oleges, z = hiszen pivotálások így alakulhatnak: 9 9 () 8 9 () 9 9z 9, z = z, z = z, 9 9 8 () 9 9 (példa vége) Példa. Ennek az egyenletrendszernek nincs megoldása: = = = = hiszen a pivotálások így alakulhatnak: () () () 9 és itt a harmadik sor lehetetlenséget mutat, nevezetesen azt, hogy = (példa vége). Ha adott egy A mátrix m sorral és adott a mátrixnak egy m m-es invertálható B almátrixa, akkor pivotálással kiszámíthatjuk a B A szorzatmátrixot is. Felírjuk az A mátrixot és addig pivotáljuk, amíg a B mátrix helyén meg nem kapunk egy egységmátrixot. Példa. A következ½o A és B mátrixokra kiszámítandó B A: A = B =

A pivotálások sorozata ez lehet: () () ( ) Itt az utolsó mátrix a végeredmény, azaz B A (példa vége). A pivotálás arra is felhasználható, hogy egy lineáris programozási feladathoz lexikogra kusan pozitív kiindulási szimplex tablót állítsunk el½o, vagy legalábbis megpróbáljuk. Adva van egy Ax = b; x ; c x! max alakú lineáris programozási feladat, és ehhez egy olyan mátrixot, azaz az alábbiakban de niált alakú szimplex tablót akarunk készíteni, melynek ha az A mátrix m sorú és n oszlopú összesen m sora és n oszlopa van. A tabló összetétele az alábbi (ahol B és c B magyarázata a tabló de níciója után következik, a vízszintes és függ½oleges vonalak pedig nem részei a mátrixnak, csak a könnyebb tájékozódást szolgálják): B b j B A c B B b j c B B A c Itt B az A mátrix valamely m m méret½u invertálható almátrixa, a c B vektor pedig ugyanolyan indexekre való lesz½ukítése a c vektornak, mely oszlopindexekre a B mátrix lesz½ukíti az A mátrixot. De a feladatunk nemcsak az lesz, hogy egy akármilyen szimplex tablót készítsünk, hanem az is, hogy a szimplex tabló lexikogra kusan pozitív legyen, ami azt jelenti, hogy a fels½o m sor (azaz a vízszintes vonal feletti rész) mindegyike lexikogra kusan pozitív legyen, más szóval balról jobbra haladva a legels½o nullától különböz½o elem a sorban pozitív legyen. Megmutatjuk, hogyan lehet egy ilyen szimplex tablót felépíteni. Az építéshez m darab pivotálásra lesz szükségünk egy m sorú, n oszlopú mátrixban. (El½ozetesen felhívjuk a gyelmet arra, hogy az Ax = b egyenletrendszerben a sorok sorrendje nem bír jelent½oséggel.) Kiindulásul a b j A j c séma szerint rendezzük el az adatokat. Ha véletlenül ez a tablókezdemény nem lenne lexikogra kusan pozitív, akkor a problémás sorokat minusz eggyel szorozva a lexikogra kus pozitivitás elérhet½o. Ezután az A mátrix területén összesen m darabszor fogunk pivotálni, de mindannyiszor különböz½o sorban és

oszlopban. Az utolsó n oszlopban tulajdonképpen tetsz½oleges m darab oszloppal foglalkozhatunk, és azokkal is tetsz½oleges sorrenben, de arra próbáljunk vigyázni, hogy a táblázat lexikogra kus pozitivitása el ne romoljon, és ebb½ol a célból csak pozitív pivotelemekkel dolgozzunk. Garancia nincs rá, hogy a lexikogra kus pozitivitást végig meg tudjuk ½orizni. De azért érdemes megpróbálni, mert valamennyi esélyünk azért van. Ha sikerül mind az m darab pivotálással meg½oriznünk a lexikogra kus pozitivitást, akkor sikerül felépítenünk a kívánt szimplex tablót, esetleg a fels½o m darab sor sorrendjét kell megváltoztatni. A lexikogra kus pozitivitás biztos meg½orzése ha lehetséges egyáltalán az úgynevezett kétfázisú lexikogra kus szimplex módszer els½o fázisával történik. De annak pontos de nícióját is mell½ozzük. Példa. Az alábbi adatokra kíséreljük meg egy lexikogra kusan pozitv szimplex tabló felállítását: A = c = A kiindulási tablókezdemény ez lesz (ami szerencsénkre lexikogra kusan pozitív): j = j () = j = Találomra a középs½o sor középs½o -esével kezdem a pivotálást, és nem is lesz semmi baj, mert a lexikogra kus pozitivitás megmarad: b = j 9 = = () j = j 8 9= A második pivotálást már kötelez½o legfels½o sorban végezni. A lexikogra kus pozitivitás meg½orzése egyrészt azt kívánja, hogy a legfels½o sor lexikogra kusan pozitív maradjon. Ezért a pivotelem csak pozitív lehet. A fels½o sorban az elemet azonban ki kell zárni, mert ezt választva a második sor lexikogra kusan negatívvá válna. Tehát a fels½o sorban a = és a elemek jönnek szóba. Találomra a elemet jelöltem ki a második pivotálásra. j = =9 = j = =9 = 9= j = 8= = = A pivotelemek oszlopai kijelölik az eredeti A mátrixban a B mátrixot: B =

(példa vége) Tekintettel arra, hogy a B A szorzatban a B helyén egységmátrixnak kell lenni, ezért tulajdonképpen a fenti szimplex tablóban a fels½o két sort fel kellene cserélni. De a csere mégsem szükséges, hiszen a lexikogra kus szimplex algoritmus a fenti, a vízszintes vonal fölött összekevert sorú tablóval is tud dolgozni. A lexikogra kus szimplex algoritmus egy lexikogra kusan pozitív szimplex tablóról indulva pivotálások sorozatát végzi. A pivotelemet mindig a vízszintes vonal fölötti olyan pozitív számok közül választja, melyek alatt a legalsó sorban negatív szám áll. De arra is vigyázni kell, hogy a pivotálás után is megmaradjon a lexikogra kus pozitivitás. Ha még mindig több lehet½oség van a pivotelem kiválasztására, akkor nem kötelez½o, de javallott úgy kiválasztani a pivotelemet, hogy a legalsó sor lexikogra kusan a lehet½o legnagyobb legyen (azaz többek közt balról jobbra haladva az új legalsó sor a lehet½o leghamarabb legyen pozitív, ott a lehet½o legnagyobb legyen). Példa. Végezzük el a fenti lineáris programozási feladaton a lexikogra kus szimplex algoritmust. j = (=9) = j = =9 (=) 9= j = 8= = = A zárójelekkel megjelölt két elem bármelyike lehet pivotelem. De miel½ott elvégezzük valamelyikkel a pivotálást, nézzük meg, hogy a tabló bal alsó elemét mennyivel kell csökkentenünk a két pivotálásnál: 9 = = Mindkét pivotelem-jelöltnél a megegyez½o sorban és oszlopban a legbaloldalabbik illetve legalsó számok szorzatát még megszoroztuk a pivotelem-jelölt reciprokával. A legkisebbik számot választjuk, tehát azt, amelyik negatívabb. Itt most = 8, tehát a 9 lesz a kiválasztandó pivotelem. A pivotálás révén így alakul a tabló, melyben azonnal látszik a következ½o pivotelem is: 9= j = = = 9= 8= j 9= = (=) = = j = = = = Újabb pivotálással ezt kapjuk: 9 j 9 : j : : 8:8 j : : :8 8:

Ebb½ol viszont azt a következtetést lehet levonni, hogy tetsz½oleges számra az eredeti feladatnak megoldása a következ½o: x =, x =, x =, x = 9, x = : :, x =. Erre az x-re... (folyt köv.)