ELTE Regoáls Földrajz Taszék 005 4 TÁRSADALMI JELENSÉGEK TÉRBELI EGYÜTTMOZGÁSA 4. Általáos szempotok A terület folyamatok, a tagoltság vzsgálata szte sohasem szűkül le egy-egy jeleség (mutatószám) térbel eloszlásáak elemzésére (már a fajlagos adatok egyelőtleségeek mérésekor s két jeleséget, jellemzőt kapcsoluk össze), a térbel együttmozgások elemzésébe azoba már kfejezette a terület kölcsöhatások, esetekét az ok-okozat kapcsolatok s megjeleek. A kérdéskörhöz a matematka-statsztka egyk geeráls módszercsaládja, a korrelácó- és regresszószámítás kapcsolódk legszorosabba. E fejezetet erre fűztük fel, terület jeleségek és adatsorok példát bemutatva. A módszerta általáos statsztka voatkozásat átfogó statsztka módszerta mukák részletese taglalják (Huyad L Vta L. 00, Mudruczó Gy. 98, Moksoy F. 999). A korrelácószámítás ömagába rtká szerepel a terület elemzésekbe, jeletőségét elsősorba az adja, hogy kapcsolódk az összetettebb módszerekhez (például épp a regresszószámításhoz). Gyakra alkalmazzák a korrelácószámítást azért s, mert számos boyolultabb matematka számítás haszálja az így kapott eredméyeket. E módszerek haszálata sorá újabba agyo határozotta kombálódk a terület statsztka és a térelemzés szemlélete, egyre agyobb hagsúly esk a terület adatok autokorreláltságára 4.3. Szgfkaca Mdkét módszer kapcsá talá a legfotosabb szabály, hogy haszálatuk, akkor vezet egyéb feltételek mellett megbízható (szgfkás) összefüggésekre, ha vszoylag agy elemszámú mtából, hosszú adatsorból számítjuk őket. Az erős szgfkacájú, megbízható összefüggés leegyszerűsítve - azt jelet, hogy a megfgyelés egységek körét véletleszerűe újabbakkal bővítve, agy valószíűséggel em változk az összefüggés ráya és szorossága. A em-szgfkás kapcsolat esetébe ez már em áll. Köye belátható, hogy mdez szorosa kapcsolódk a megfgyelés egységek számához, hsz például 000 kísérlet (mérés, adatpár) alapjá mért kapcsolat algha módosul, ha újabb, az 00. esetet s hozzávesszük, de ugyaez em áll, ha csak 0 mérésük va. Ks elemszámok, kevés megfgyelés egység esetébe csak a agy abszolút értékű korrelácós együtthatók szgfkásak. Formálsa számíthatuk ugya korrelácós együtthatót a 7 régóra vagy a 0 megyére, de ekkor kevés az alap az összefüggés általáosítására, kterjesztésére. A haza terület sztek közül a kstérségek (ma: 68), a városok (ma: 87) vagy az összes település (ma: 35) adataval számított korrelácók már általába megbízhatóak. (Ne tévesszük tehát össze a statsztka gyakorlatok egyszerű számpéldát a valóba érdem következtetéseket lehetővé tevő tudomáyos elemzéssel!) A korrelácós kapcsolatok szgfkacáját azoba em kzárólagosa az esetszám befolyásolja, haem a kapcsolat szorossága s. Egy erős (pl. 0,9 körül) korrelácó jóval ksebb valószíűséggel változk egy újabb megfgyelés egységre voatkozó adatpár hozzávételével, mt egy korrelálatla (0 körül együtthatójú) kapcsolat. Végüls a szgfkaca az elemszám és a szorosság szt együttes függvéye, az ú szgfkaca-tesztekbe, táblázatokba ez az összefüggés tükröződk. A szgfkacát a számítógépes programok többsége (pl. az SPSS s) elleőrz. Ezek kocepcója, leírása az említett matematka-statsztka kézköyvekből megsmerhető.
ELTE Regoáls Földrajz Taszék 005 4. Korrelácók A korrelácószámítás valószíűség változók (jelzőszámok, adatok) között kapcsolat szorosságáak meghatározására szolgáló eljárás. A korrelácószámítás léyege, dötő lépése a kapcsolat szorosságáak egy mutatószámmal törtéő tömör jellemzése, azaz a korrelácós együttható értékéek kszámítása. A korrelácóak a regoáls elemzésekbe három, eltérő jeletést hordozó típusa haszálatos: a közöséges leárs korrelácó azoos megfgyelés egységekre voatkozó két adatsor kapcsolatát mér. Matematka jelölést haszálva tt az r = corr(x y ) összefüggés adja a kapcsolat mérőszámát (legsmertebb a Pearso-féle korrelácós együttható). A leárs korrelácós együttható felfogható egyfajta sajátos egyelőtleség mutatókét s. az autokorrelácó (auto= ömagával vett) egyazo adatsor külöböző (dőbe eltolt vagy térbe szomszédos) megfgyelés egységekre voatkozó értéke között kapcsolatot mér. A kapcsolat dősorokba, azaz az dőbel (k-ad redű) autokorrelácó esetébe így formalzálható: r = corr (x x -k ), Itt mde -edk dőpothoz tartozó x értékhez ugyaeze x változóak egy k évvel eltolt (k évvel korább) adatát redelve számítjuk k a korrelácós együtthatót. Ha k =, akkor mde év adatát a megelőző év adatával korreláltatjuk. Az eltolás következtébe természetese az adatsor hossza k-val csökke, hsz a kezdőévhez em redelhető hozzá korább év. A modellbe értelemszerűe bármely más dőmérték (ap, hét, hóap stb) s szerepelhet. A terület megfgyelés egységekre voatkozó adatokból számítható terület autokorrelácó összefüggése: r = corr (x x s() ) Ebbe a modellbe az -edk megfgyelés (terület) egység x adatához a vele szomszédos területegységek (külöböző módo számítható és értelmezhető) értéket, legtöbbször átlagát, x s() -t redelve számítjuk k a korrelácós együtthatót. A terület autokorrelácó esetébe s beszélhetük redről (k). Az első redű autokorrelácó az első szomszédok adatat, a másodredű a másodk (az első szomszédokkal szomszédos) területegységek adatat redel az eredet értékekhez. A külöböző korrelácók matematka struktúrája ugya agyo hasoló, de tartalmuk léyegese külöbözk. Míg a közöséges leárs korrelácó külöböző adatsorok együttmozgását mér, a terület autokorrelácó kfejezette a térbel elredeződés mérőszáma egy jelesége belül. a keresztkorrelácó két adatsor külöböző (dőbe eltolt vagy térbe szomszédos) megfgyelés egységekre voatkozó értéke között kapcsolatot mér, azaz kombálja a ormáls - és az autokorrelácót (külöterű és külödejű eseméyek). Az dőbel keresztkorrelácó matematka sémája (megtartva a fet jelöléseket): r = corr (x y -k ) A terület keresztkorrelácóba a következő összefüggés szerepel: r = corr (x y s() ) A szakrodalomba újabba vaak olya kísérletek, amelyek a kétfajta közelítést tegrálják. Lee, S-I. 00 például egy olya új dexet javasol, amely két térbel eloszlást úgy hasolít össze, hogy az eredméyül kapott mérték egyarát tükröz az együttmozgást (a leárs korrelácót) és az alakzatok térbel jellegét, azaz autokorreláltságát.
ELTE Regoáls Földrajz Taszék 005 3 Ugyaeze logka alapjá beszélhetük autoregresszóról és keresztregresszóról s. Ott a regresszós összefüggésekbe szerepelek a fet módo defált adatsorok. Az ú. autoregresszív modellekbe a vzsgált változó dőbel lefutásáak matematka-statsztka magyarázatára ugyaazo változó,,3,... dőegységgel (évvel) eltolt, késleltetett adataak dősorát haszálják: y t = f (y t-, y t-,.. y t-k ) + e t 4.. Leárs korrelácós együtthatók A leárs korrelácós együtthatók mdegyke - és + között zárt tervallumo vehet fel értékeket, ezekek a krtkus potokak és a korreláltalaságot jelető 0 értékek megfelelő összefüggéseket ábrázoltuk a 4.. ábrá (a közbülső értékek jeletéséről lásd a 4.. táblázatot). 4.. ábra A korrelácós együtthatók kulcsértékeek megfelelő változókapcsolatok Pearso-féle leárs korrelácós együttható (Kss Jáos Péter) A korrelácó leggyakrabba haszált mérőszáma. Két ormáls eloszlású; tervallum vagy aráy mérés sztű változó között kapcsolat mérésére haszálható, ha feltételezhető, hogy a két változó között közelítőleg leárs összefüggés va. (Leárs összefüggés: az egyk változó értékeek aráyába őek, vagy csökkeek a másk változó megfelelő értéke). E három feltételek egydejűleg kell teljesüle ahhoz, hogy a korrelácószámítást haszálhassuk. Vszoylag egyszerű számítás módja és tartalmáak köyű felfoghatósága matt azoba ezek egykéek-máskáak háyába s gyakra alkalmazzák. A módszer legkevésbé a ormaltás feltételre érzékey, úgyhogy az előzetes eloszlásvzsgálatot gyakra mellőzhetjük. Képlete (a korább fejezetek jelölés kovecót haszálva): r = = ( x X )( y ( x X ) = = Y ) ( y Y ) A Pearso féle leárs korrelácós együttható számítás lépése A mutatószám az x és y változók értékeek a számta átlagaktól számított eltérése alapul. (Az eltérést gyakra d-vel jelölk, eek megfelelőe egy adatsor 3.-k helyé álló értéke esetébe: dy 3 = y 3 y.) Ha a változók átlagtól számított eltéréset párokét összeszorozzuk, majd ezeket összegezzük, akkor megkapjuk a
ELTE Regoáls Földrajz Taszék 005 4 kapcsolat ráyát hsze az azoos előjelű eltérések szorzata poztív, míg a külöböző előjelűeké egatív. {Matematkalag kfejezve ezt: ( x x) ( y y = ) vagy egyszerűbbe: dx dy } ( ) E szorzatösszeg agysága azoba függ a megfgyelések (az összehasolítadó adatpárok) számától, lletve a két változó mértékegységetől, valamt szórásától s. Ahhoz, hogy egy általáosítható, tovább összehasolításokra alkalmas dmezótla mérőszámot kapjuk, k kell szűrük ezekek a téyezőkek a hatását. A cél érdekébe először az eltérések szorzatösszegét elosztjuk a megfgyelések számával (azaz -el), vagys a kapott eltérésszorzatok számta átlagát vesszük: C = = ahol C-t kovaracáak evezzük. ( dx dy ) Tulajdoképpe a kovaraca az a mutatószám, amelyek előjele megadja a két változó között kapcsolat ráyát, agysága pedg alapul szolgál a kapcsolat szorosságáak kfejezéséhez. Bzoyítható, hogy a kovaraca értéke akkor maxmáls, ha az x és y változók között kapcsolat leárs és függvéyszerű. Ilye esetbe a kovaraca az x és y változók szórásaak szorzatával egyelő, azaz képlettel kfejezve (és a szórást S-sel jelölve): C = S ( x ) S( ) y Ha vszot em függvéyszerű a kapcsolat, akkor az eltérő mértékegységekből, lletve az eltérő szórásból adódó külöbségek kszűrését az előbb összefüggés alapjá a S C ( x ) S( ) y képlet segítségével végezhetjük el. És ezzel elértük az eredet célt, vagys azt, hogy a korrelácós együttható értéke az alkalmazás feltételekek megfelelő bármely, és bármlye egységbe mért két változó eseté a {-; +} tervallumba esse, azaz: az összefüggések erőssége összevethető legye. Az eddg lépéseket egy képletbe összegez a fejezet elejé leírt összefüggés. A determácós együttható a korrelácós együttható égyzete, értéke azt adja meg, hogy a változók egymás szórásáak háy százalékát magyarázzák. Előjelkorrelácó, ragkorrelácó Az előjelkorrelácó gyors, tájékozódó jellegű számításokra haszálható, valamt bárs (0 és, például kcs-agy értékekkel azoosítható) változók kapcsolatáak mérésére. = u v c = u + v u v = A képletbe a megfgyelés egységek számát, u azokat az eseteket jelöl, amkor a két összehasolított adatsor összetartozó értéke azoos ráyba térek el az adatsor átlagától (vagy mdkettő agyobb, vagy mdkettő ksebb a saját átlagáál), v pedg azo esetek száma, ahol az eltérés elletétes (az összetartozó adatpárok közül az egyk a saját átlagáál agyobb, míg a másk kesebb vagy fordítva). Ha az adatok megegyezek az átlaggal, akkor md u, md v értéke 0,5.
ELTE Regoáls Földrajz Taszék 005 5 A Spearma-féle ragkorrelácó R = 6 = ( d ) A kfejezésbe jelet a megfgyelés egységek számát, d pedg az összetartozó ragszámok külöbséget. A Spearma-féle ragkorrelácóval ordáls (sorred) adatskálá mért (vagy lye adatskálára traszformált) jellemzők együttmozgása mérhető 3. A ragkorrelácó a Pearso-féle leárs korrelácóból vezethető le (Kovacscs J. 974, 98-99. oldal), két evezetes algebra összefüggés felhaszálásával 4 az átalakításba, ezek: Az első természetes szám összege ( + ) x = Az első égyzetszám összege: ( + )( + ) x = 6 A ragkorrelácó értéke s és között lehet, csak 5-él agyobb esetszámra alkalmazható. (Az első publkácó: C. Spearma 904 The proof ad measuremet of assocato betwee two thgs. Amerca Joural of Psychology, 5, pp. 7-0.) A korrelácós együtthatók értékeek értelmezése A fet korrelácós együtthatók hagsúlyozotta a vzsgált jellemzők között leárs kapcsolat erősségét mérk. Értékek (amelyek értelmezésekor gyakorta adak meg jellemző tervallumokat, egy lye osztályozást tartalmaz a 4.. táblázat) em leárs kapcsolat esetébe megtévesztők lehetek. Ha két jellemző között korrelácó alacsoy, akkor ez em azt jelet, hogy cs közöttük kapcsolat, csupá azt, hogy cs leárs kapcsolat. r értéke A kapcsolat jellege r= Leárs függvéykapcsolat, egyees aráyosság va a két jellemző között 0,7 r < Szoros kapcsolat, egyráyú együttmozgás 0,3 r < 0,7 Közepes erősségű kapcsolat, egyráyú együttmozgás 0< r 0,3 Gyege kapcsolat, egyráyú együttmozgás 0 Ncs leárs kapcsolat, a két jellemző korrelálatla -0,3 r < 0 Gyege kapcsolat, elletétes ráyú együttmozgás -0,7 r < -0,3 Közepes erősségű kapcsolat, elletétes ráyú együttmozgás - < r -0,7 Szoros kapcsolat, elletétes ráyú együttmozgás r = - Leárs függvéykapcsolat, fordított aráyosság va a két jellemző között 4.. táblázat A korrelácós együtthatók értelmezése Az erős korrelácó csak két változó együtt járását, összefüggését mutatja, de em ad magyarázatot az ok okozat vszoyokra. Aak eldötéséhez, hogy melyk változó mozgatja a másk eloszlását, vagy etá egy harmadk változó hatása bújk meg az összefüggés mögött, logka magyarázat, lletve egyéb vzsgálatok szükségesek. 3 Az első publkácó: C. Spearma 904 The proof ad measuremet of assocato betwee two thgs. Amerca Joural of Psychology, 5, pp. 7-0. 4 A két összefüggés az algebra egyk sajátos módszerével az ú. teljes dukcóval bzoyítható.
ELTE Regoáls Földrajz Taszék 005 6 A puha módszerekkel pl. kérdőíves felméréssel yert adatok jeletős része ordáls mérés sztű, ezért lyekor csak agyo dokolt esetbe célszerű megkísérel a korrelácószámítást, és agyo óvatosa szabad értelmez az eredméyeket. Célszerűbb lyekor a már ordáls szte s értelmezhető rag-, vagy előjelkorrelácó haszálata. Az smertetett számítás módból következőe az adatsorok agy és kcsy értékű elemeek vselkedése jobba meghatározza a korrelácós együttható értékét, mt az átlag körülek. Nagyo heterogé agyságredyvel eltérő értékű adatokat tartalmazó változók között számított korrelácós együtthatók jeletéséek értelmezése ezért bzoytala. A probléma kküszöbölése érdekébe lehetőség szert sohasem abszolút, haem mde esetbe fajlagos (pl. lakosságszámhoz vszoyított) adatokból álló változók között kell korrelácót számoluk. (Ha pl. a magyarország kstérségek 000-es adóköteles összjövedelméek, és a dplomás lakosságuk számáak összefüggését számoljuk k, Budapest és a agyvárosok kugró értékeek köszöhetőe valószíűtleül magas, +0.999 értékű korrelácót kapuk. A lakosságszámra vetített, valód korrelácó mdössze +0.784, vagys erős, de azért korátsem determsztkus. Még jobba megvlágítja a probléma jeletőségét, ha az adóköteles jövedelmet a 000-be kosztott szocáls segélyek összegéhez vszoyítjuk. Az abszolút adatokkal számítva +0.553-as együtthatót kapuk, am arra utala, hogy a gazdagabb térségekbe osztaak több segélyt. A fajlagos adatok esetébe vszot az összefüggés ráya megfordul, az együttható -0.59 lesz, vagys szerecsére megyugodhatuk: a szocáls háló működk, a segélyek a szegéyebb térségekbe kerülek agyobb aráyba.) Ha a fajlagos értékek között s jeletős mértékű a heterogetás, akkor érdemes a korrelácószámítást a kugró értékű adat kvételével s elvégez. (Magyarország esetébe ez a helyzet a megyesoros adatok korrelácóval: Budapesttel együtt számítva emrtká jeletőse eltérő a korrelácós együttható értéke, mt csak a 9 megyét alapul véve.) Térség sztekét, a terület aggregácó mértékétől függőe a korrelácó értéke eltérő: általáosságba mél ksebb méretű, és mél több egységből áll egy adott térség, egyre alacsoyabb korrelácós együtthatót valószíűsíthetük 5. Az előbb példákál maradva: a dplomások aráya és a fajlagos jövedelem között kapcsolat a megyék sztjé kszámítva 0,83-re erősödk, a települések esetébe vszot 0,675-re csökke. Hasoló a helyzet a szocáls segélyekkel s: a település szte csak -0,445, a megye szte -0,603 együtthatójú az összefüggés a fajlagos jövedelemmel. A korrelácós együttható értékelésekor ezt a tapasztalat összefüggést s célszerű fgyelembe ve. Továbbá, egyebek mellett ezért sem célszerű például ks elemszámú mták eseté pl. a 7 magyar régóra korrelácószámítást végez. Az eddgekből s ktűőe a módszer alkalmazása és a kapott adatok értékelése agyfokú óvatosságot géyel. Ezt azért s érdemes külö kemel, mert a Pearso-féle korrelácós együttható számítása mde táblázat- és adatbázskezelő szoftverrel éháy gombyomással elvégezhető, am szté fokozza épszerűségét, s tesz a változók között kapcsolatok méréséek talá leggyakorbb módszerévé. 4.. A súlyozás problémája a korrelácószámításba A terület elemzésekbe jellemzőe haszált adatsorok, dkátorok a terület megfgyelés egységekre aggregált értékekből állak. Ez az adatsorok jó éháy jellegadó értéke (például átlaga) és paramétere (például szórása) eseté felvet a súlyozatla lletve súlyozott értékek kszámítását. Ugyaez a probléma megjelek a korrelácószámításba s, a súlyozás mvel tt két változó összekapcsolásáról va szó - azoba csak akkor lehetséges, ha a korrelácós együttható esetébe az összevetett két adatsorhoz azoos súly redelhető. Ez számos esetbe megoldható: azoos dőpotba mért, azoos vetítés alapú fajlagosok (pl. az egy főre jutó GDP és a város épesség aráya ugyaazo évbe megyékét) esetébe számítható súlyozott korrelácó (a közös súly ebbe az esetbe a megyék épességszáma lesz, s természetese az átlagok s súlyozottak). Természetese a két fajta korrelácó értéke külöböz fog, mégpedg aál jobba mél aggregáltabb redszerrel dolgozuk (am léyegébe azoos azzal, hogy mél egyelőtleebbek a súlyok), sok 5 Itt csak utaluk az ú. ökológa tévkövetkeztetés problémájára (részletebe lásd Dusek T. 004, 6. fejezet), am ugyacsak a külöböző agggregácós szteke végzett számítások között kapcsolatokat ért, s óvatosságra t az egy adott aggregácóba megállapított összefüggések átvtelébe más sztekre.
ELTE Regoáls Földrajz Taszék 005 7 megfgyelés egységből álló, dezaggregált redszerek esetébe a súlyok eloszlása közelít az egyeleteshez, s így a kétfajta korrelácó eltérése s csökke. A közös súly háya matt a legtöbb esetbe azoba egyáltalá em számítható súlyozott korrelácó (például az egy főre jutó GDP és az útsűrűség között korrelácó számításakor külöbözek a súlykét szóba jövő volumeek, ez esetbe a épesség lletve a terület, de ugyaazo mutatószám külöböző évre voatkozó adatsora esetébe s változak a súlyok). Mdebből következőe a terület adatokból számított korrelácók jellemzőe em az értett sokaságok egészét jellemző kapcsolatokat mérk, haem olya mtákét, amelyekbe az egyes területegységeket azok átlagáak megfelelő számértékkel reprezetáljuk. 4.3 Szomszédság hatások: terület autokorrelácó A korábba bemutatott korrelácós mérőszámok kfejezette térmetesek, még akkor s, ha terület adatokból számítjuk őket. Ugyaakkor megfogalmazható az a kérdés, vajo mlye kapcsolatba vaak (korrelálak-e vagy sem) az egymáshoz közel területegységek jellemző. A térbel egymásrahatások az egymáshoz agyo közel, szomszédos helyek között a legvalószíűbbek. Újabba épp e hatásra utalva gyakra dézk Waldo Tobler amerka geográfus-kartográfus professzor 6, első törvéyét. Hogy a közelhatás és az együttmozgás mlye jeleségekbe va meg, s mlye mértékű, ez az ú. terület autokorrelácós módszerrel számszerűsíthető. A moder kor gazdaság folyamataak sajátos elletmodása (Quah, D. T. 996), hogy mközbe a moder gazdaságról elterjedt az a véleméy, hogy mvel ayagmetes, cs szüksége térbel kocetráltságara, agglomerácóra, zolált szgetkét s létezhet. Ez azoba távolról scs így. E térmetes új dőkbe külööse felértékelődött a terület autokorrelácó problémája (azaz maga a térbe való lét szempotja). A terület autokorrelácós együttható kszámítása fotos kvattatív lehetőség arra, hogy az egymásrahatás (a "közelhatás"), az együttmozgás szorosságáak mértékét külöböző jelzőszámok között azoos terület mtába, lletve azoos jelzőszámokét külöböző mtákba összehasolíthassuk. A poztív terület autokorreláltság regoáls tudomáy szempotból aak matematka bzoyítéka, hogy a szomszédság (a közelség) az adott jeleségbe egymásrahatással, hasoulással jár. A térbel autokorreláltság háya a társadalm térbe kább kvétel, mt teljesülő feltétel. Az autokorrelácó fogalma először az dősorok matematka-statsztka elemzéséhez kapcsolódva jelet meg. Bevezetéséhez az a felsmerés vezetett, hogy számos gazdaság és társadalm folyamat (pl. a gazdaság övekedés) lefutására, jövőbe alakulására emcsak "külső" téyezők hatak, haem magáak a jeleségek a vzsgált dőpotot megelőző állapota s. (Ilye belső jellemző a gazdaság övekedés cklkussága.) Köye belátható, hogy az elsőfokú dőbel autokorrelácós együttható értéke leárs övekedés esetébe. Éves peródusba gadozó, oszclláló, alteráló (pl. 0 és értékeket váltakozva felvevő) dősorokba -, véletleszerűe hullámzó dősorokba pedg 0. Autoregresszív modellek természetese haszálhatók terület dősorok regresszóelemzésére s. Az autokorrelácó fogalma és haszálata a regoáls tudomáyokba azoba em ezt jelet (hsz a jelzett esetbe továbbra s dősorokról va szó, csak terület megfgyelés egységekbe). A sorbaredezettség szempotját emcsak dőbe, haem más dmezók meté s érvéyesíthetjük. Ilye lehet például a agyság szert redezés. E logka szert vzsgálható például a települések bármely 6 Tobler, W. A. 970 Computer Model Smulatg Urba Growth the Detrot Rego. Ecoomc Geography,., pp. 34-40. c. taulmáyába a földrajz első törvéyét így fogalmazta meg: everythg s related to everythg else, but closer thgs are more closely related (agyjából így: mde mdeel összefügg, de a közelebb dolgok erősebbe hatak egymásra.
ELTE Regoáls Földrajz Taszék 005 8 jellemzőjéek autokorreláltsága a lélekszám meté (az lye vzsgálatok vélhetőe agyo erős poztív autokorreláltságot mutatak k). A terület autokorrelácó lletve autoregresszó olya terület modell, amely egy adott társadalm jeleségek egy adott helye, lletve a hellyel szomszédos helyeke mért értéke között kapcsolatot, összefüggést mutatja k. A terület autoregresszív modell az dősorok aalógájára és a szomszédság fogalmát felhaszálva az adott jeleség térbel eloszlását, ugyaazo jeleségek a hely közel vagy távolabb köryezetébe felvett értékevel írja le, magyarázza 4.5.. A terület autokorrelácó fogalmához az dősor autokorrelácójába megjeleő dőkategórák térbel megfelelőjéek megtalálásá keresztül vezet az út. Ez az dőkategóra az előtt (lletve utá) fogalma, amely az dő leartása következtébe jól meghatározott. A ek megfelelő térkategóra a szomszédság. A terület elemzések egyk alapkérdése arra voatkozk, hogy a vzsgált jeleség terület eloszlásába felfedezhető-e valamlye szabályszerűség, vagy pedg véletleszerűek modható-e az adatok terület eloszlása. Szabályszerű elredeződés eseté az egymással szomszédos területegységek adata egymáshoz hasolóak leszek, a agy érték közelébe agy értékeket találuk (poztív autokorrelácó), vagy épp ellekezőleg, a szomszédos területek külöbözek egymástól, a agy értékű területek mellett kcsk és a kcsk mellett agyok helyezkedek el (egatív autokorrelácó). A vzsgált térrész egészére jellemző szabályszerűségből az egyed területegységek szomszédaak értékere s következtethetük, lletve a szomszédok smeretébe az adott területegységre voatkozóa vohatuk le valószíűség jellegű állításokat. Autokorrelálatlaság eseté az egyes értékek véletleszerűe szóródak a térbe, a terület külöbségek em rajzolak k szabályos térbel mtázatot. A 4.. ábra bárs (fekete-fehér) sakktáblamodellje az alább öt esetet érzékeltet: A B C D E extrém egatív autokorreláltság dszperz eloszlás térbel függetleség térbel kocetrálódás (klasztereződés) extrém poztív terület autokorreláltság 4.. ábra A terület autokorreláltság alapesete egy sakktábla-modellbe A terület autokorreláltság emcsak a térkapcsolatok tükröz, de mérés godokat s okoz a statsztka vzsgálatokba. A terület autokorreláltság (pl. az egymás mellett területegységek vsszatérőe hasoló smérvértéke) olya torzulásokat okozhat a statsztka elemzésbe, mt amkor egy deáls mtavételes eljárásba egy mtául vett adatot többszöröse szerepelteték az elemzésbe, hatása módosítja, md az átlagot, md a szórást. A kérdésről térkép ábrázolás révé vzuáls úto kaphatuk beyomásokat, a terület autokorrelácót mérő külöböző dexek segítségével pedg számszerű formácó formájába kapuk választ rá.
ELTE Regoáls Földrajz Taszék 005 9 A terület autokorrelácó mérésére többfajta dex és eljárás létezk, amelyek egyes lépésekbe (pl. a szomszédság értelmezésébe vagy az ezt azoosító szomszédság mátrxba) külöbözek, de a cél mdeütt azoos, a térbel együttmozgás számszerű mérése. A következőkbe a legelterjedtebb terület eutokorrelácós mutatókat smertetjük. A Mora-féle I és a Geary féle c (Dusek Tamás) A terület autokorrelácó mérésére szolgáló első, Mora által 950-be javasolt és azóta leggyakrabba haszált mérőszám képlete a következő 7 : I = (N/ΣD j )*ΣΣ(x x)*(x j x)*d j / Σ(x x) ahol (x x)*(x j x) a területegységek tartozó értékek és az átlagok külöbségéek a szorzata, D j a szomszédság kapcsolatokat leíró mátrx, N a területegységek száma. A mutató az alább tartomáyokba a következő módo értelmezedő (Clff Ord, 973, 98): I>-/N, poztív térbel autokorrelácó, I=-/N, cs térbel autokorrelácó, I< /N, egatív térbel autokorrelácó. Gyakorlatlag a ullához közel értékek az adatok véletleszerű térbel eloszlását jelzk, az adatok eloszlása em terület- és szomszédságfüggő. Ekkor az egyes területegységek szomszédságába ugyaolya valószíűséggel találuk agyobb és ksebb értékű területeket s. A szélsőértékek agysága em adható meg olya egyértelműe, mt a korrelácós együtthatóál, mert agyságuk függ a D j mátrxba rögzített terület kofgurácótól s. A maxmáls -es értéket végtele vagy folytoos tér eseté érheté el, lletve ha a vzsgált terület két, belsőleg homogé, de egymással szomszédság kapcsolatba em álló területegységre oszlk. A mmuma szté a végtelebe közelít a --hez. A regoáls elemzésbe maapság sokat tesztelt európa regoáls fejlettség tagoltságot vzsgálva 980-995 távlatába, az EU régóak egy lakosra jutó GDP-je tükrébe Le Gallo, J. (00), egy stabla magas 0,75 és 0,8 között poztív (Mora) terület autokorrelácót mért. Igazolva ezzel a térbel folytoos átmeet, a fejlettség zoaltás markás jelelétét a térség gazdaság tagoltságába. Az adóköteles jövedelemek haza terület autokorreláltságát vzsgálja Dusek T. 004. A Geary által 954-be javasolt, a Mora-féle I-él rtkábba haszált folytoosság mutató képlete, az előbb jelölésekkel: c = (N /ΣD j )* ΣΣD j (x x j ) /Σ(x x). A mutató a következő értékeket vehet fel (Clff Ord, 98): c<, poztív térbel autokorrelácó, c=, cs térbel autokorrelácó, c>, egatív térbel autokorrelácó. A maxmáls és mmáls értékek agysága ebbe az esetbe s a szomszédság mátrxtól függ. Mdkét mutató haszálható ordáls, tervallum és aráyskálá redelkezésre álló adatok elemzésére, a omáls adatokéra pedg alteratív smérvekké törtéő átalakításuk utá. A mutatók kokrét értékét és eloszlásfüggvéyét s két téyező határozza meg:. A vzsgált jellemző terület eloszlása. 7 Az eredet forrás: Mora P. A. P. 950 Notes o cotuous stochastc pheomea, Bometrca, 37., pp. 7-3
ELTE Regoáls Földrajz Taszék 005 0. A szomszédság kapcsolatok megállapítása és a szomszédság mátrx súlya, am összefüggésbe áll a vzsgált terület alakjával és agyságával. Ezek közül az első téyező a kokrét érték szempotjából, a másodk téyező az eloszlásfüggvéy alakja matt fotosabb. Az eloszlásfüggvéy vzsgálatát az eredméyek megfelelő értékelése követel meg. A szomszédság mátrx A terület autokorrelácó számításáak előfeltétele a szomszédság kapcsolatok megállapítása és a szomszédság mátrx összeállítása. A szomszédság mátrx N sorból és N oszlopból áll, -edk soráak j-edk eleméek értéke az -edk és j-edk területegység szomszédságáak háyába 0, szomszédságuk eseté 0-tól külöböző (a 4.. táblázatba szereplő szomszédság mátrxba a szomszédos megyékhez redelt em-0 értéket az határozza meg, hogy egy megyéek háy szomszédja va. Ha N, akkor egy-egy szomszédhoz a mátrxba /N érték tt két tzedesre kerekítve tartozk, s így a sorokba szereplő értékek összege. Az lye mátrxot sor-ormalzáltak hívják.). A megállapodás szert a területegységek saját magukak em szomszédja, vagys a mátrx dagoáls eleme ullák. Bp Bar Bacs Bek Baz Cso Fej Gyor Haj Hev Kom Nogr Pest Som Szab Szo Tol Vas Ves Zal Bp 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Bar 0 0 0,33 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,33 0 0 0,33 0 0 0 Bacs 0 0,7 0 0 0 0,7 0,7 0 0 0 0 0 0,7 0 0 0,7 0,7 0 0 0 Bek 0 0 0 0 0 0,33 0 0 0,33 0 0 0 0 0 0 0,33 0 0 0 0 Baz 0 0 0 0 0 0 0 0 0,0 0,0 0 0,0 0 0 0,0 0,0 0 0 0 0 Cso 0 0 0,33 0,33 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,33 0 0 0 0 Fej 0 0 0,7 0 0 0 0 0 0 0 0,7 0 0,7 0,7 0 0 0,7 0 0,7 0 Gyor 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,33 0 0 0 0 0 0 0,33 0,33 0 Haj 0 0 0 0,5 0,5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,5 0,5 0 0 0 0 Hev 0 0 0 0 0,5 0 0 0 0 0 0 0,5 0,5 0 0 0,5 0 0 0 0 Kom 0 0 0 0 0 0 0,5 0,5 0 0 0 0 0,5 0 0 0 0 0 0,5 0 Nog 0 0 0 0 0,33 0 0 0 0 0,33 0 0 0,33 0 0 0 0 0 0 0 Pest 0,4 0 0,4 0 0 0 0,4 0 0 0,4 0,4 0,4 0 0 0 0,4 0 0 0 0 Som 0 0,0 0 0 0 0 0,0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,0 0 0,0 0,0 Szab 0 0 0 0 0,5 0 0 0 0,5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Szol 0 0 0,4 0,4 0,4 0,4 0 0 0,4 0,4 0 0 0,4 0 0 0 0 0 0 0 Tol 0 0,5 0,5 0 0 0 0,5 0 0 0 0 0 0 0,5 0 0 0 0 0 0 Vas 0 0 0 0 0 0 0 0,33 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,33 0,33 Vesz 0 0 0 0 0 0 0,7 0,7 0 0 0,7 0 0 0,7 0 0 0 0,7 0 0,7 Zala 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,33 0 0 0 0,33 0,33 0 4.. táblázat A magyar megyék között szomszédság relácók sor-ormalzált mátrxa Potalakzatok és területalakzatok esetébe sem kerülhető el a szomszédság megállapításáál az ökéyes elem, akár szabályos, akár szabálytala alakzatokról legye szó. (4.3. ábra). Potalakzatokál amelyekek a gazdaság-társadalm elemzésbe például a települések, lakóházak, kereskedelm egységek felelhetek meg a távolság függvéyébe lehet kjelöl a szomszédság relácókat. Például mde potál a legközelebb fekvő első kettő-hat potot lehet szomszédak tekte, vagy bzoyos távolságo belül lévő potokat szomszédak ve, vagy a két módszer kombácójával.
ELTE Regoáls Földrajz Taszék 005 a, szabálytala potalakzat b, szabályos területalakzat A A B két lehetséges szomszédságértelemzés: "A" pot lehetséges szomszéda a legközelebb égy potot szomszédak értelmezve "A" területegységél: vezérszomszédság "B" területegységél: bástyaszomszédság 4.3. ábra Potalakzat és területalakzat; példák a szomszédságértelmezésekre (Dusek T. 004, a 5. ábra részlete) Egy svéd példába (Ludberg, J. 00) a szomszédság többfajta értelmezésével találkozhatuk: A svéd megyék jövedelmét 4 legközelebb szomszéd sávot felállítva vzsgálták (ahol szomszédak,, 5, 0 legközelebb megyét tektettek), de haszálták osztályozás szempotkét a megyeközpotok között utazás dőt (30. 45, 60, 75 perces körzeteket lehatárolva), szerepelt a vzsgálatba az egyszerű közös határral való összekapcsoltság s. A szomszédság meghatározásáak ugyacsak külöböző alteratívát haszálja Ate, B. Hesto, A. (003), akk vlágméretű vzsgálatukba közel 900 területegységet - országot, régót elemeztek a jövedelm autokorreláltság globáls lletve lokáls jellemző szert. Előbbbe a teljes redszerre számítottak Mora-féle autokorrelácókat, utóbbba az egyes területegységeket vetették össze szomszédakkal. Külööse élese elüt például fejlettsége tektetébe köryezetétől Európába Helsk, Ázsába Szgapur városrégója, az országok közül Izrael és Jordáa, valamt Hat és a Bahamák esetébe párosul a földrajz közelség agy jövedelm lépcsővel. Területalakzatokál amelyekek megfelelhetek például országok, megyék, de a települések s maga a szomszédság léte bzoyos szempotból objektívabb módo döthető el, ameybe többyre egyszerűe a közös határvoallal redelkező területeket tektjük szomszédokak. Az lye módo megállapított szomszédság szmmetrkus lesz, A területegység szomszédja lesz B területegységek és fordítva. Eze túlmeőe azoba a szomszédság mértékét számos módo lehet súlyoz, például a közös határvoal hossza szert, a régókat összekötő hálózatok száma és mősége szert, téylegese megfgyelt áramlások alapjá és ezek bármlye kombácójával. A módszert tovább lehet boyolíta a szomszédok szomszédaak, azok szomszédaak stb. számbavételével (másod-, harmad-, -ed redű autokorrelácó). A súlyozás az elmodott sokféle szempot érvéyesítése matt em mdg egyszerű feladat. Mde géyt kelégítő mátrxot azért sem lehet összeállíta, mert a térkapcsolatokra voatkozó összes formácó em áll a redelkezésre, mdg csak a statkus állapotokat lehet felmér. Ez mégsem jelet téyleges problémát, sőt, a többféle súlyozással előállított eredméyek összehasolítása lehetőségeket rejt magába. Ha többféle mátrxszal elvégezzük ugyaazo adatokra voatkozóa a számításokat, és jeletőse eltérő eredméyeket kapuk, akkor azzal a feltételezéssel élhetük, hogy az alkalmazott súlyozásba megjeleő téyező (távolság, épességszám, határvoal hossza stb.) téyleges befolyást gyakorol a vzsgált jeleség terület kapcsolataak teztására. A terület autokorrelácó bemutatott mérőszáma a teljes adatredszer térszerkezetéről agyo összevot formácót adak. Készíthetők azoba olya (jövedelm) térképek (4.4. ábra), amelyekbe mde területegységet magáak lletve a szomszédaak a jövedelsztje szert típusba soroluk. Kétszer-kettes osztályozásál például a magas (átlag felett) lletve az alacsoy (átlag alatt) jövedelem kombálható a szomszédok átlagos értékeek magas lletve alacsoy jövedelm sztjével. Az ábrá HH jelöl a vdék átlagál magasabb jövedelmű és szomszédú kstérségeket, LL pedg az átlag alatt jövedelemszt lokáls egymásmellettségét (ez a legszámosabb térségtípus). A HL és LH kategórák esetébe elletétes a körzet és szomszédeak jövedelm (fejlettség) pozícója (H = átlag felett, L= átlag alatt jövedelemeszt). A két térkép határozott regoalzálódást gazol. Jól látszk az,
ELTE Regoáls Földrajz Taszék 005 hogy mára a Duátúl északyugat zóája szte egységes magas jövedelmű térséggé vált a klecvees évek elejé még kább csak a fővárosközel terekre, s az oa kduló tegelyekre volt jellemző a relatív stabltás. Érzékelhető a Sajó-völgy vagy a Dél-Duátúl markás vsszaesésese, s az észak és kelet jövedelem perférák széles zóája. Az ország közepé átmeet lokáls vszoyokat tapasztaluk, a problematkus zóákba mdeütt kugraak a agyobb városok, megyeszékhelyek térsége 8. 4.4. ábra Az egy lakosra jutó adóköteles jövedelem lokáls hasolósága 990-be (fe) és 003-ba (le) F: Lőcse H. számítása és szerkesztése 8 Hasoló logkájú térképek a jövedelem-damkát vzsgálva s készíthetők. Ezzel tesztelhető például az, hogy a gyors vagy lassú övekedés s jól körülhatárolható térbel klasztereket rajzol-e k vagy sem. Az autokorreláltság tetszőleges terület alredszerekbe, például az ország agyrégó belül külö-külö s vzsgálható (ezt lásd Dusek T. 004. 0.8. fejezet).
ELTE Regoáls Földrajz Taszék 005 3 Local Mora I E térképek tovább fomíthatók a terület autokorreláltság lokáls mérőszámáak felhaszálásával. Ilye dex például az, amelybe mde területegység kválasztott dkátoráak (pl. egy lakosra jutó jövedelem) stadardzált értékét.5. összeszorozzák a szomszédos területegységek együttes átlagos stadardzált értékével (3 szomszéd eseté mde szomszéd stadardzált jövedelemértéke /3-os súlyt kap). A kválasztott területegység és szomszéda így meghatározott adatáak szorzatát evez a szakrodalom (Luc Asel amerka térstatsztkus yomá) Local Mora I-ek. Az dex poztív értéke hasoló jellemzők (tt: jellemzőe átlag felett vagy átlag alatt jövedelemszt) hely kocetrácóját jelz, a 0-közel érték a jövedelemsztek véletleszerű egymásmellettségét jelz, míg a egatív dex arra utal, hogy az adott területegység és köryéke a vzsgált dkátor (azaz e példába a jövedelemszt) szempotjából erőse külöbözk. A stadardzálás azzzal az előyel jár, hogy a legkülöbözőbb dmezójú jelzőszámok lokáls autokorreláltság sémája, s az egyes területegységek sajátossága s összevethetővé válak, hátráya a mutatóak, hogy em korlátos. Az I dexek térképezhetők, s ekkor már eltérőe a 4.4. térképtől égyél több kategóra s érzékeltethet a lokáls együttmozgást. A lokáls és globáls autokorrrelácós mérőszámok között drekt matematka kapcsolat va: egy adott térrészbe (pl. ország) mde egyes területegységre (pl. N kstérségére) kszámított lokáls autokorrelácós dexek összege egyelő az előzőekbe bemutatott globáls Mora dex (I) N-szeresével. Tulajdoképp legkább a lokáls terület autokorreláltság godolat voalához kapcsolható Ter Tbor terület feszültség-vzsgálata s (Ter T. 003), amelybe a szerző a személygépkocsellátottság megye dfferecáltságáak példájá azt frtatja, hogy a szomszédos területegységek ellátottság sztjébe mekkorák a külöbségek (a feszültség ála egy ellátottság lépcsőt jelet két szomszédos megye között). Az említett vzsgálatba ugya kérdéses, hogy a statsztka alapo meghatározott feszültség geerál-e kölcsöhatást, más kutatások (például a fejlettség értelembe agyo külöböző területeket elválasztó határzóák vzsgálata) azoba kétségkívül arra utalak, hogy a fejlettség lépcsők ameybe erre egyébkét va mód áramlásokat dítaak el (lásd hazák kelet határat). 4.4 Regresszószámítás a terület elemzésbe (Németh Nádor) A külöböző korrelácós együtthatók a változók között együttmozgások agyo tömör mérőszáma. Jelzk ugya az együttmozgásokat vagy épp a teljese véletleszerű értékkombácókat a megfgyelés egységekbe, de a kapcsolat tovább részleteek feltárásához újabb eszközökre va szükség. Ezekek talá legfotosabbka a regresszó-számítás, amely a változókapcsolatokat valószíűség (sztochasztkus) függvéykapcsolatkét értelmez és írja le. A valószíű jelleg azt jelet, hogy a két (vagy több) adatsort a kválasztott függvéy a regresszószámításba csak bzoyos hbával lleszt össze. A regresszós kapcsolat a regresszós függvéy által magyarázott rész és a hbatag összege 9. 9 Kötetük részletebe em tárgyalja az dősorok regresszó-elemzését az ú. tredszámítást. Eek kapcsá jegyezzük meg, hogy a legújabb elemző szakrodalomba gyakra találkozhatuk ú. pael-elemzésekkel s, amelyekbe terület dősorok együttes regresszóelemzését végzk. A The Ecoometrcs of Pael Data: A Hadbook of the Theory Wth Applcatos (Advaced Studes Theoretcal ad Appled Ecoometrcs, Vol 33) ed. Laszlo Matyas, Patrck Sevestre, Kluwer Prt o Demad, 996. c. kézköyv áttekt a legfotosabb pael módszereket.
ELTE Regoáls Földrajz Taszék 005 4 4.4. Függő és függetle változók Az eljárás bemutatását a két adatsort összekapcsoló, kétváltozós regresszószámítással kezdjük. A kétváltozós regresszó léyege: olya y = f(x) függvéy megtalálása, amely mde megfgyelt x -re a megfelelő y -hez lehetőleg legközelebb értéket adja (azaz x értéke alapjá ks hbával becsülhetők y értéke). A két változó között összefüggést legjobba közelítő függvéyek matematkalag egyértelműe meghatározhatók, dfferecálszámítás alapoko kválasztható az a függvéy, amelyek esetébe a legksebb a regresszós becslés hbája. Bzoyítható, hogy megfgyelés egység (adatpár) esetébe a kapcsolatot egy --ed fokú polom teljes potossággal leírja (eek képe egy olya voal, amely áthalad mde x y poto). Ebből a függvéyből azoba em olvasható k a két jellemző között kapcsolat tedecája, terpretácója léyegébe lehetetle. A teljese potos kapcsolatleírás helyett ezért olya vszoylag egyszerűbb függvéyeket keresek, amelyek jól terpretálhatók. A leggyakorbb lye függvéytípus a leárs függvéy (amelyek képe egy egyees). A regresszóelemzést érdemes a két változó értékeek koordátaredszerbe való ábrázolásával, az ú. szórásdagram felrajzolásával kezde (a 4.5. ábra a 000. év városlakók kstérség aráya továbbakba VARPOP és a kstérség jövedelemszt a továbbakba JOVPOP között összefüggést ábrázolja). Ez em más, mt egy derékszögű koordáta-redszer, melyek egyk tegelyé az egyk, a másko a másk változó értéket vettük fel. A dagram mde potja egy-egy kstérségek felel meg. Azok a kstérségek, ahol vszoylag kcs a városlakók aráya és emellett még a lakosság jövedelmek sztje s alacsoy, a dagram bal alsó sarkáak közelébe helyezkedek el, míg azok, ahol mdkét vzsgált változók értéke relatíve magas, a jobb felső sarokba találhatók. Egy lakosra jutó adóköteles jövedelem (ezer Ft) 600 500 400 300 00 00 0 0 0 0 30 40 50 60 70 80 90 00 Városlakók aráya (%) 4.5. ábra A szórásdagram A kapcsolat jellegéek feltárása sorá először azt a em s köyű dlemmát kell eldöteük, hogy melyk változót kívájuk magyaráz a máskkal? Estükbe logkusak az látszk, hogy a városlakók aráyáak övekedése hozza magával a magasabb kstérség jövedelemsztet. Ezért tt a városlakók aráya lesz a magyarázó (vagy máskét függetle), a lakosság jövedelmek sztje pedg az eredméy (vagy máskét függő) változó. A képletekbe y jelz a függő, x pedg a függetle változót. Természetese azt, hogy egy adott jeleség éppe függő vagy függetle változókét szerepel-e modelljekbe, m maguk dötjük el adott kutatás hpotézsük és az adott elmélet keretek alapjá. Egyetle egy társadalm-gazdaság jeleségre sem modhatjuk azt, hogy mde körülméyek között csak
ELTE Regoáls Földrajz Taszék 005 5 valam okakét, vagy éppe okozatakét léphet be kutatásakba. Példákál maradva: a városlakók épessége belül aráyövekedéséek s vaak oka, tehát más keretek között e mutatók függő változókét fog szerepel, míg a jövedelemövekedés s hatással va egy sor egyéb jeleségre, melyek változásáak tehát részbe vagy egészbe okozója lesz. Mt tuduk megállapíta 4.5. ábrák segítségével? Sajos em sok mdet. Nagy voalakba látszk ugya, hogy va valamféle tedeca két változók együttes változásába, de ábrák túl kusza, potjak elhelyezkedése túl zaklatott ahhoz, hogy határozotta tudjuk állíta: a városlakók aráyáak övekedése magával voja a lakosság jövedelmek övekedését s. E kuszaság aak tulajdoítható, hogy a lakosság jövedelmek sztje messze emcsak a város lét, a város körülméyek között működő, ly módo sajátos karakterű gazdaság súlyáak függvéye egy-egy térségbe, haem számos más téyező s befolyásolja. Így a hely lakosság kulturáls dettása, hagyomáya, vagy egyszerűe a települések agysága, a földrajz pozícó, a térség elérhetősége, a hely gazdaság szerkezete, agyvállalatok jeleléte, és még sorolhaták. Hogya tudjuk mégs e sok-sok téyező elleére az adatokba alapvetőe rejlő tedecát kmutat? Lehet-e egyetle, mmár jól magyarázható görbével helyettesíte e kusza pothalmazt, kszűr az adatok egyedségét, és kemel a két változó kapcsolatából azt, am általáos, am szabályszerű? Az egyk lehetséges megoldás erre az adatok átlagolása: függetle változók meté osztályközöket hozuk létre, majd kszámítjuk e csoportok átlagat. Ezeket az értékeket feltételes átlagokak hívjuk, míg az őket összekötő görbét tapasztalat regresszógörbéek. E módszerek azoba számos, tt em részletezedő gyegéje va, melyek matt valós emprkus kutatások sorá már em szokás alkalmaz. A valód megoldást az aaltkus regresszó számítás adja. 4.4. A kétváltozós leárs regresszó számítás meete E kétváltozós leárs regresszó haszálatakor sorá egyetle görbébe gyekszük sűríte szórásdagramuk potjat, és azt a matematka függvéyt keressük, amely e görbét leírja. E regresszós görbe tehát mtegy összegz a két változó kapcsolatát, az abba megylváuló tedecát. Azt a függvéyt, mellyel a két változó között általáos összefüggést, azaz a regresszós görbét leírjuk, regresszós egyeletek evezzük. A függő és függetle változó között kapcsolat az őt leíró függvéy alakja szert alapvetőe kétfajta lehet: leárs és em leárs. M a továbbakba főkét a leárs regresszóval foglalkozuk, mvel ez a legegyszerűbb, egyúttal legszélesebb körbe alkalmazott regresszós függvéy-típus. Azt mutatjuk be tehát, hogy fet példákál maradva mképpe tudjuk megkeres azt az egyeest, mely legpotosabba megmutatja számukra, hogy a városlakók aráyáak övekedésével meybe jár együtt a kstérségek lakosság jövedelmeek övekedése. Ehhez első lépéskét dézzük vssza középskola matematka taulmáyakat, és írjuk fel magukak az egyees egyeletét: Y = A + BX (4/) ahol: X: a magyarázó változó; A: regresszós álladó (kostas); értéke megegyezk az egyees y-tegelye tapasztalt metszéspotjával, vagys A értéke egyelő Y értékével X=0 helye; B: regresszós együttható (regresszós koeffces); ez jelöl az egyees meredekségét vagy dőlését, vagys azt mutatja meg, hogy X értékéek egységy övekedése Y értékéek mekkora mértékű és mlye ráyú változását voja maga utá; Y : a függő változó regresszós egyelet alapjá becsült értéke; más megfogalmazásba: értéke a függő változóak a függetle változó adott értékéhez tartozó átlagos sztjét jelzk (feltéve, hogy adott értékekhez több Y érték s tartozk, am terület adatsorokál rtká fordul elő). Ezek az átlagértékek fejezk k azt a tedecát, szabályszerűséget, amt adatsorak együttes változásába keresük. Y értéke egytől egyg potosa a regresszós egyeese találhatók; ezek építk fel a vzuálsa s megjeleíthető tredvoalat. X
ELTE Regoáls Földrajz Taszék 005 6 Ettől az átlagos szttől, vagys Y -től Y függő változók tapasztalat, téylegese megfgyelt értéke a mérés hbák, lletve a függő változót befolyásoló részbe már említett egyéb jeleségek matt ksebb-agyobb mértékbe eltérek. Ezeket az eltéréseket rezduumokak hívjuk, és általába e betűvel jelöljük. Függő változók tapasztalat Y értéke tehát két részből tevődek össze: egyrészt Y -ből, mely a szabályszerűséget jeleít meg, másrészt az egyes e értékekből, melyek a tedecától való eltérést, az egyedséget adják. Ebből adódóa: Y = Y + e (4/) Behelyettesítve (4/)-t (4/)-be: Y = A + BX + e (4/3) Míg a (4/) a két változó között együttmozgásra, a szabályszerűségre utal, addg a (4/3) e kapcsolat sztochasztkus jellegére hívja fel a fgyelmet: va ugya tedecózus együttmozgás, ám az csak átlagosa, valószíűség alapo érvéyesül. M a leárs regresszós egyelet alkalmazása sorá azo egyees egyeletét keressük, ahol az Y és az között eltérések átlagosa a legksebbek, vagys ahol a rezduumok összege mmáls (4/4). ^ ( Y Y ) = mmum (4/4) ^ Ez a feltétel azoba em elégséges a legjobba lleszkedő egyees megleléséhez. Itt ugyas az Y értéke által előálló regresszós egyeesük egyfajta átlagértékkét vselkedk, melytől poztív és egatív ráyba s összességébe ugyaolya messze vaak a függő változó egyes Y tapasztalat értéke. Rezduumak egy része poztív előjelű lesz tehát, ám összegszerűe ugyaolya meységbe foguk talál egatív eltéréseket s. A külöböző előjelű értékek szummázáskor k fogják olta egymást, tehát pusztá a rezduumok összege alapjá ugyaolya jóak foguk ítél egy rosszul lleszkedő egyeest, mt egy áláál sokkal jobbat. Éppe ezért egy tovább feltételt s be kell vezetük, melyhez kétféle választás lehetőségük va: vagy a rezduumok abszolút értékevel, vagy pedg égyzetevel dolgozuk a továbbakba. Mdkét módo megoldjuk az előjelek külöbözőségéből adódó problémát. Igaz választás lehetőségük persze cs: a regresszós egyees egyeletéek meghatározásakor mdg a legksebb égyzetek módszerét haszáljuk, azaz a rezduumok égyzetes összegéek mmumát keressük (az agol yelvű szakrodalomba gyakra találkozuk eek rövdítésével: OLS: Ordary Least Squeres). A legksebb égyzetéek követelméyét az alább formába írhatjuk fel: ( Y Yˆ) m Godolatmeetük továbbvezetéséhez helyettesítsük be a (4/5)-be (4/)-et: ( Y Y ) = = ˆ = ( Y A BX ) (4/6) Mt látható, adott X és Y értékek mellett a rezduumok égyzeteek összege kzárólag a regresszós álladó (A), valamt a regresszós együttható (B) függvéye. E két paraméter változtatásával érhetjük tehát el, hogy regresszós egyeesük a lehető legjobba közelítse függő változók tapasztalat értéket. Dfferecálszámítás segítségével tudjuk egyeletüket megolda úgy, hogy bztosak lehessük bee: megtaláltuk A és B azo értékét, mely mellett a rezduumok égyzetösszege mmáls lesz. A végeredméy B-re és A-ra a következő lesz: (4/5) ^ Y B ( X X )( Y Y ) X Y = = = = ( X X ) d X = = d d (4/7) A = Y BX (4/8)
ELTE Regoáls Földrajz Taszék 005 7 (A levezetés részletet lásd: Moksoy F. 999, pp. 59-6.; Székely M. Bara I. 00, pp. 05-09.) Az alábbakba egy egyszerű példá keresztül ézzük végg számításak meetét! A fejezet elejé felvázolt problémáál maradva adatbázsukból kragadtuk hat kstérséget, majd melléjük redeltük két változót: a városlakók aráyát, lletve az adóköteles jövedelmek egy lakosra jutó 000. év értékét. Ebbe a hatelemű sokaságba s arra a kérdésre keressük a választ, hogy vajo a magasabb városodottság magasabb jövedelem szttel jár-e együtt. Az alább egyeletet oldjuk meg tehát: Y ˆ = A + B * URBPOP0 (4/9)) Számításak kezdő lépéset a 4.3. táblázat szemléltet. Kstérség városlakók jövedelem/fő d x d y d x * d y d x d y aráya (%) (ezer Ft) Dombóvár 60 66 5-5 -5 5 5 Hajdúböszörméy 00 40 45-3 -395 05 96 Őrszetpéter 0 70-55 - 55 305 Sárvár 50 390-5 9-595 5 46 Sátoraljaújhely 40 0-5 -5 765 5 60 Szarvas 80 40 5-3 -775 65 96 összeg 330 66-970 5950 870 átlag 55 7 4.3. táblázat A regresszó számítás alaplépése A fet már bemutatott szórásdagram segítségével ábrázoljuk a városlakók aráya és a jövedelem együttes eloszlását e hat kstérségbe (4.6. ábra)! egy lakosra jutó jövedelem (ezer Ft) 400 350 300 50 00 50 00 50 0 0 0 40 60 80 00 városlakók aráya (%) 4.6. ábra A városlakók aráya és a jövedelem együttes eloszlása hat kstérségbe A hat potra legjobba lleszkedő egyees meredekségét a (4/7) alapjá az alábbak szert számítjuk k: B = = d = X d d Y X 970 = = 0,33 5950 A regresszós egyees és az y-tegely metszéspotját (4/8) szert a következő képlet adja meg: A = Y BX = 7 ( 0,33* 55) = 89,
ELTE Regoáls Földrajz Taszék 005 8 A 4.6. ábrá látható szórásdagram potjara legjobba lleszkedő egyeest és aak egyeletét a 4.7. ábra szemléltet. egy lakosra jutó jövedelem (ezer Ft) 400 350 y = -0,33x + 89, 300 50 00 50 00 50 0 0 0 40 60 80 00 városlakók aráya (%) 4.7. ábra Két vzsgált változók kapcsolata a hat kstérségbe Lássuk, mt s kaptuk eredméyül! Várakozásuk az volt, hogy a városlakók aráyáak övekedésével kstérségek jövedelm értéke s emelked fogak. Ezzel szembe azt látjuk, hogy regresszós egyeesük balról jobbra lejt, tehát mél kább övekszk a városlakók aráya, regresszók szert aál alacsoyabb lesz a jövedelmek sztje. Megdőlt vola hpotézsük? E pllaatba úgy tűk, ge. A két változó között kapcsolat jellegét, összefüggésük ráyát - az egyees szabad szemmel s jól látható balról jobbra való lejtésé túl a regresszós együttható előjele árulja el számukra. Ha B előjele poztív, két vzsgált változók között egyees aráyosság, ha pedg egatív, akkor fordított aráyosság áll fe. Előbb esetbe egyeesük balról jobbra emelkedk, utóbb esetbe balról jobbra lejt. (Ha regresszós vzsgálatakat megelőzve két változók között kszámítjuk a Pearso-féle leárs korrelácós együttható értékét, aak előjele már elárulja számukra a regresszós együttható előjelét s, hsze e kettő mdg megegyezk egymással.) Mt jelet a - 0,33-es érték? Azt, hogy a városlakók aráyáak mde %-os emelkedése átlagosa a lakosság jövedelmek 33 fortos csökkeését voja maga utá. A regresszós álladó, A értéke 89,, vagys regresszós egyeesük ey ezer fortál metsz az y-tegelyt. Ezzel smerjük egyeesük magasságát, és még valamt: ez a függő változóak azo értéke, amt regresszók a függetle változó ulla értékéhez becsül. Példákál maradva: regresszók szert eyek kellee lee a jövedelemek abba a kstérségbe, ahol cs egyetle város sem, így a városlakók aráya ulla. Mt a 4.3 táblázat és ábrák mutatják, éppe va egy olya kstérségük az Őrszetpéter ahol cs város, így cseek városlakók sem. E kstérség lakosaak átlagjövedelme 70 ezer Ft. A regresszós álladó szert azoba eek 89, ezer Ft-ak kellee lee. Tévedtük tehát majdem húsz ezer fortot. És ha megézzük a másk öt potot s, azt látjuk, hogy egyedül a dombóvár kstérség esetébe becsültük a lakosokak majdem potosa ay jövedelmet, mt amey utá a valóságba s adóztak. Meyre vehetjük hát komolya a regresszós egyeest? Erre a kérdésre felelük az alábbakba. Első lépéskét a függő változó, vagys a jövedelmek heterogetását írjuk le a varaca, vagys a szóráségyzet segítségével. Ehhez szükségük va az egyes Y értékek Y -tól való égyzetes eltéréseek ( )összegére. Ez az összeg a 4.3 táblázatba megtalálható, így már csak az elemszámmal kell osztauk, és előttük áll a jövedelmek varacája. Vagys: σ d y 870 6 = ( Y ) = = = 38, 3 d y