2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia

2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia

Tartalomjegyzék 1.) Az egyváltozós valós függvény fogalma, műveletek 2.) Zérushely, polinomok zérushelye 3.) Korlátosság 4.) Monotonitás 5.) Szélsőérték 6.) Konvex és konkáv függvények 7.) Inflexiós pont 8.) Páros és páratlan függvények 9.) Periodikus függvények 10.) Az egyváltozós valós függvények nevezetes osztályai

Egyváltozós valós függvény definíciója Legyen D R. Az f: D R függvényt egyváltozós valós függvénynek nevezzük. Megjegyzés: Az olyan hozzárendelést, ahol egy nem üres halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük egy szintén nem üres halmaz egy, de csakis egy elemét függvénynek nevezzük.

Egyváltozós valós függvények szemléltetése Az egyváltozós valós függvények szemléltetésére a Descartes-féle derékszögű koordináta rendszert használjuk, melyben az (x, f(x)) számpárt ábrázolva kapjuk meg az f függvény grafikonját.

Egyváltozós valós függvény megadása Egy függvényt akkor tekintünk adottnak, ha ismerjük az értelmezési tartományát egy képhalmazát (lehetőleg az értékkészletét) azt az utasítást, amely megmondja, hogy az értelmezési tartomány elemeihez milyen módon rendeljük hozzá az értékkészlet elemeit.

Egyváltozós valós függvények egyéb megadása A függvény megadása leggyakrabban történhet: a) értéktáblázattal: b) nyíldiagrammal: -5-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 5

Egyváltozós valós függvények megadása c) képlettel: f: R R, x 2x + 1 f: R R, f(x) 2x + 1 f: R R, y = 2x + 1 d) grafikonnal e) utasítással, körülírással f) különböző formulákkal

Műveletek függvényekkel Legyen D R, f,g: D R adott függvények és c R. Ekkor a c f, f + g, f g, f g és f/g függvényeket az f c-szeresének, f és g összegének, különbségének, szorzatának és hányadosának nevezzük és a következőképpen értelmezzük: ( c f )(x) = c f(x) ( f + g )(x) = f(x) + g(x) ( f g )(x) = f(x) g(x) ( f g )(x) = f(x) g(x) ( f/g )(x) = f(x) / g(x), g(x) 0 x D

Zérushely, polinomok zérushelye Legyen D R és az f: D R adott függvény. Az x 0 D pontot az f függvény zérushelyének nevezzük, ha f (x 0 ) = 0. Megjegyzés: A függvény zérushelyét a függvény grafikonja és az x tengely metszéspontja adja.

Polinom definíciója Az f(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + + a 1 x 1 + a 0 alakú függvényt n-ed fokú racionális egész függvénynek vagy n-ed fokú polinom-függvénynek vagy egyszerűen csak n-ed fokú polinomnak nevezzük, ahol az a i ( i = 1,2,, n) együtthatók valós számok és a n 0.

Polinom zérushelye Az f : R R, f(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + + a 1 x 1 + a 0 polinomnak ( a 0, a 1,, a n adott valós számok és a n 0) legfeljebb n számú zérushelye lehet.

Polinom zérushelyének meghatározása Határozza meg a következő függvények zérushelyeit. 1.) f (x) = x 2 + 3x - 4 2.) g (x) = x 3 3x + 2

Zérushely meghatározásának néhány módszere 1.) Horner elrendezés 2.) Felező módszer 3.) Polinom osztása polinommal

Horner-elrendezés A p polinom adott x = x 0 helyen vett helyettesítési értékének meghatározására használhatjuk. polinom együtthatói csökkenő hatványok szerinti sorrendben a n a n-1 a n-2 a 0 x 0 a n a n x 0 +a n-1 (a n x 0 +a n-1 )x 0 +a n-2 p(x 0 ) HORNER-FÉLE TÁBLÁZAT

Horner-elrendezés a n a n-1 a n-2 a 0 x 0 a n a n x 0 +a n-1 (a n x 0 +a n-1 )x 0 +a n-2 p(x 0 ) a bal oldali szomszédos elem x 0 -szorosához hozzáadjuk az éppen kérdéses rovat fölötti együtthatót ha a p(x 0 ) = 0, akkor x 0 zérushelye p-nek

Példa - Horner-elrendezés Határozzuk meg az f(x) = x 3 3x +2 függvény zérushelyeit.

Zérushely meghatározása felező módszerrel

Felező-módszerrel zérushely meghatározása Döntsük el, hogy az f(x) = x 3 3x 2 x + 3 függvénynek van-e zérushelye a [-4, 4] intervallumban, és ha van adjunk meg egy zérushelyét.

Polinom osztása polinommal Ha az α az f: R R, f(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + + a 1 x 1 + a 0 ( a 0, a 1,, a n adott valós számok és a n 0) polinomnak zérushelye, akkor az f mindig felírható a következő alakban: f(x) = (x- α) g(x), x R ahol a g: R R, g(x) = b n-1 x n-1 + b n-2 x n-2 + + b 1 x 1 + b 0 (b 0, b 1,, b n adott valós számok és b n-1 0). Az (x- α) szorzót gyöktényezőnek nevezzük.

Korlátosság (alulról korlátos függvény) Legyen D R, és f,g : D R adott függvények. 1.) Az f függvényt alulról korlátosnak nevezzük, ha értékkészlete alulról korlátos halmaz, azaz ha k R úgy, hogy k f(x), minden x D esetén.

Korlátosság (felülről korlátos függvény) 2.) A g függvényt felülről korlátosnak nevezzük, ha értékkészlete felülről korlátos halmaz, azaz ha K R úgy, hogy g(x) K, minden x D esetén.

Korlátosság (korlátos függvény) 3.) Ha a h függvény alulról és felülről is korlátos, akkor korlátos függvénynek nevezzük.

Monotonitás Legyen D R, és f : D R adott függvény. 1.) Az f függvény monoton növekvő, ha x 1, x 2 D : x 1 < x 2 esetén: f(x 1 ) f(x 2 ) 2.) Az f függvény szigorúan monoton növekvő, ha x 1, x 2 D : x 1 < x 2 esetén: f(x 1 ) < f(x 2 ) 3.) Az f függvény monoton csökkenő, ha x 1, x 2 D : x 1 < x 2 esetén: f(x 1 ) f(x 2 ) 4.) Az f függvény szigorúan monoton csökkenő, ha x 1, x 2 D : x 1 < x 2 esetén: f(x 1 ) > f(x 2 )

Szigorúan monoton függvények

Monoton függvény

Környezet fogalma Az x 0 R pont egy δ > 0 sugarú környezetén az ]x 0 -δ, x 0 +δ[ nyílt intervallumot értjük. Minden x 0 R esetén azon x R számok halmazát, melyekre x > x 0, a + egy környezetének nevezzük és ] x 0, + [ -nel jelöljük. Megjegyzés: Hasonlóan értelmezzük a - környezetét is, amit ] -, x 0 [ -al jelölünk.

Szélsőérték fogalma Legyen D R, és f : D R adott függvény és x 0 D. Az f függvénynek az x 0 pontban 1.) abszolút (globális) minimuma van, ha f(x 0 ) f(x) minden x D esetében; 2.) abszolút (globális) maximuma van, ha f(x 0 ) f(x) minden x D esetében; 3.) abszolút (globális) szélsőértéke van, ha ott abszolút minimuma vagy abszolút maximuma van.

Szélsőérték fogalma 4.) helyi (lokális) minimuma van, ha olyan δ>0, amelyre fennáll, hogy f(x 0 ) f(x) minden x ]x 0 -δ, x 0 +δ[ D esetén, 5.) helyi (lokális) maximuma van, ha olyan δ>0, amelyre fennáll, hogy f(x 0 ) f(x) minden x ]x 0 -δ, x 0 +δ[ D esetén, 6.) helyi (lokális) szélsőértéke van, ha ott helyi minimuma vagy helyi maximuma van.

Szélsőérték fogalma

Konvex függvény Legyen D R, és f : D R adott függvény és a, b D és a < b. 1.) Azt mondjuk, hogy az f függvény konvex az [a,b]-n, ha minden x 1, x 2 [a,b] és minden λ [0,1] esetén: f(λ X 1 + (1- λ) x 2 ) λ f(x 1 ) + (1- λ) f(x 2 ), azaz ha minden x 1, x 2 [a,b] esetén a P(x 1,f(x 1 )) és P(x 2,f(x 2 )) pontokat összekötő húr a függvénygörbe fölött halad.

Példa konvex függvényre

Konkáv függvény 2.) Azt mondjuk, hogy az f függvény konkáv az [a,b]-n, ha minden x 1, x 2 [a,b] és minden λ [0,1] esetén: f(λ X 1 + (1- λ) x 2 ) λ f(x 1 ) + (1- λ) f(x 2 ) azaz ha minden x 1, x 2 [a,b] esetén a P(x 1,f(x 1 )) és P(x 2,f(x 2 )) pontokat összekötő húr a függvénygörbe alatt halad.

Példa konkáv függvényre

Inflexiós pont Legyen D R, és f : D R adott függvény x 0 D. Az x 0 az f függvény inflexiós pontja, ha létezik δ>0 úgy, hogy ]x 0 -δ, x 0 [ intervallumon az f függvény konvex, az ]x 0, x 0 +δ[ intervallumon pedig konkáv (vagy pedig fordítva). Megjegyzés: Az inflexiós pont olyan pont, ahol a függvény konvexitása megváltozik.

Példa inflexiós pont

Páros és páratlan függvény Legyen D R, és f : D R adott függvény. 1.) Azt mondjuk, hogy az f függvény páros, ha minden x D esetén x D és f(-x) = f(x). 2.) Azt mondjuk, hogy az f függvény páratlan, ha minden x D esetén x D és f(-x) = - f(x).

Példa páros és páratlan függvényekre A páros függvények az y tengelyre szimmetrikusak. A páratlan függvények az origóra szimmetrikusak.

Periodikus függvények Legyen D R, és f : D R adott függvény. Az f függvény periodikus, ha létezik p R, p 0 úgy, minden x D estén, ha x + p D akkor f(x) = f(x+p). Ekkor a p számot periódusnak nevezzük.