Mit l kompatibilis az alakváltozás?

Mit l kompatibilis az alakváltozás? On the compatibility conditions of nite deformations PERE Balázs, PhD, egyetemi docens Széchenyi István Egyetem, 9026 Gy r, Egyetem tér 1., e-mail: perebal@sze.hu Abstract This paper is trying to give a physical meaning to the well-known Saint-Venant compatibility condition. The linearized theory of deformations, where the Saint-Venant condition is valid, can be derived from the theory of nite deformations by series expansion and/or neglecting the higher order terms. This paper demonstrates how is possible to formulate the conditions of compatibility in the case of nite deformations, and how to linearize this in order to obtain the conditions of compatibility in the linear case. Összefoglaló A cikk arra a kérdésre keresi a választ, hogy milyen szemléletes jelentést lehet társítani az alakváltozások lineáris elméletéb l ismert Saint-Venant-féle kompatibilitási egyenletnek. A linearizált elmélet általában a nagy alakváltozások elméletében szerepl összefüggésekb l kapható elhanyagolva az ott el forduló magasabb fokú tagokat. Bemutatásra kerül, hogy hogyan lehet megfogalmazni a kompatibilitási feltételeket nagy alakváltozások esetére, és hogy hogyan származtatható ebb l a kis alakváltozások esetében ismert egyenlet. Kulcsszavak nagy alakváltozás, kompatibilitási feltétel 1. Bevezetés Lineáris rugalmasságtani feladatok analitikus és numerikus megoldásánál az esetek többségében az un. elmozdulás módszer használatos. Ebben a módszerben az els dleges ismeretlen az elmozdulásmez. A többi ismeretlen, úgy mint alakváltozási vagy feszültségi tenzormez, az alakváltozási vektormez b l deriválások és algebrai m veletek segítségével származtatható. Az elmozdulámez vel kapcsolatban nincs semmilyen el követelmény, tetsz leges elmozdulásmez b l mind az alakváltozási-, mind a feszültségi állapot egyértelm en meghatározható. Egy másik lehetséges módszer rugalmasságtani feladatok megoldására az un. er módszer, ahol ismeretlenként éppen a feszültségeket kell els ként meghatározni. Itt a feladat megoldásának nehézsége többek között abban rejlik, hogy feszültségi mez b l kapott alakváltozásnak ki kell elégítenie az un. kompatibilitási feltételt, különben az elmozdulásmez nem határozható meg egyértelm en [1, 3]. A kis alakváltozások elméletében a kompatibilitási feltételt a A = 0 (1

Saint-Venant-féle kompatibilitási egyenlet teljesülése jelenti. Az (1 egyenletben A jelöli a vizsgált test tetsz leges pontjában lév alakváltozási állapotot leíró alakváltozási tenzort [1]. A mechanikában, mint más matematikát használó természettudományban az egyes összefüggések, egyenletek mindig valamilyen zikai jelentéssel bírnak, esetleg levezethet k egy magasabb szint természeti törvényb l. Vajon mi lehet az (1 egyenlet zikai jelentése? A szakirodalomban a témáról fellelhet nem túl nagy számú publikáció közül is csak néhány foglalkozik a magyarázattal [4, 2]. Ezen cikk célja a kérdést kicsit körbejárni, és szemléletes választ találni a kérdésre. 2. A kompatibilitási feltétel megfogalmazása Tekintsünk egy alakváltozásra képes testet az euklideszi térben. A test egy egyszeresen összefügg résztartományának térfogata egy adott t 0 id pillanatban legyen V. A test t 0 id pontbeli helyzetét nevezzük kezdeti kongurációnak. A V térfogat egy tetsz leges pontjába mutató helyvektor az R = X I G I alakban adható meg, ahol X I jelöli a vektor görbevonalú kontravariáns koordinátáit és G I pedig a bázisvektorait. A felírásnál alkalmaztuk az Einstein-féle összegzési konvenciót [5], azaz a kétszer el forduló indexekre összegzést hajtottunk végre egyt l háromig. A nagy bet s indexek arra utalnak, hogy a koordináta és a bázisvektor is a kezdeti kongurációban értelmezett. Legyen A és B a V térfogatban elhelyezked két pont, melyeket egy tetsz leges (sima térgörbe köt össze. Az A pontból a B pontba mutató R AB vektort úgy is megkaphatjuk, mint a térgörbe elemi irányított szakaszainak vektori összegét, ami az R AB = B A dr (2 vonal menti integrállal fejezhet ki. Könnyen belátható, hogy az R AB vektor független az A és B pontokat összeköt térgörbe alakjától és helyzetét l. Vegyünk két tetsz leges, A és B pontokat összeköt L 1 és L 2 görbét. Ha a (2 összefüggésnek megfelel módon kiszámítjuk az R AB vektort az L 1 görbe mentén és az R BA vektort az L 2 görbe mentén, akkor a két vektor összege nullát kell hogy adjon, azaz R AB + R BA = B A A dr + dr = B (L dr = 0, (3 ahol L az L 1 L 2 térgörbét jelöli (lásd 1. ábra. Az eddig felírt egyenletekben a kezdeti konguráción értelmezett vektorok szerepeltek. Most deformáljuk el a testet úgy, hogy a kezdeti V térfogat a t 1 > t 0 id pillanatban a v térfogatba menjen át. A t 1 id pillanatnak megfelel állapotot nevezzük el pillanatnyi kongurációnak. A könnyebb megkülönböztetés végett a kezdeti kongurációban deniált mennyiségeket nagy-, míg a pillanatnyi kongurációban deniált mennyiséget kisbet kkel fogjuk jelölni. Ennek megfelel en a dr elemi vektorból dr vektor lesz, és a deformáció során az L térgörbe követve a testet alkotó anyagi pontok elmozdulását a l görbébe megy át úgy, hogy mind az L, mind az l görbék ugyanazokon az anyagi pontokon haladnak keresztül. Így a kezdeti kongurációban felírt (3 összefüggést a pillanatnyi kongurációban az dr = 0 (4 (l

d R d r G 3 g 3 g 1 G 1 G2 g 2 1. ábra. A deformálatlan és deformált testeken egy zárt görbe mentén vett elemi vektorok összege nulla. alakban írhatjuk. A deformáció során minden kezdetben R helyvektorú pont az r = r (R leképezéssel megadott új helyre kerül. Az r (R vektor-vektor függvényt sorba fejtve és megtartva a lineáris tagokat a (4 egyenlet átalakítható. r (R dr = dr = 0. (5 R (l (L Az (5 egyenlet jobb oldalán szerepl parciális deriváltat szokás deformáció-gradiensnek is nevezni. A kés bbi számítások jobb érthet sége kedvéért a deformáció-gradiensre az F = r (R R = r (R 0 jelölést fogjuk használni, ahol a 0 a kezdeti kongurációban értelmezett nabla operátort jelenti, a m velet pedig a diadikus vagy tenzoriális szorzást. A kés bbiekben látni fogjuk, hogy a (4 egyenlet tulajdonképpen maga a kompatibilitási egyenlet nagy alakváltozásokra megfogalmazva, és ebb l a magasabb fokú tagokat elhagyva a linearizált elmélet (1 kompatibilitási egyenlete megkapható. 3. A kompatibilitás és a Christoel-Riemann görbületi tenzor kapcsolata A (4 vagy az (5 egyenlet úgy is felfogható, mint a kompatibilitási egyenlet integrál alakja. Alkalmazzuk rá a Stokes-tételt [6] dr = r (R 0 dr = r (R 0 0 da = 0, (6 (l (L (A ahol A egy L peremmel rendelkez tetsz leges felületet jelent a V térfogatban. Alakítsuk át a (6 egyenletben a Stokes-tétel alkalmazása után kapott integrandust. El ször írjuk ki a dierenciál operátorok pontos jelentését. r (R 0 0 = ( ( x i X K X J g i G J G K = 0, ahol az r = x i g i a deformált alakon az anyagi pontokba mutató helyvektor, x i az r vektor kontravariáns koordinátája, g i pedig a bázisvektorait jelöli 1. A kijelölt deriválások elvégzésénél 1 Általában gi F G I, mivel g i és G I egymástól független bázisok.

gyelemmel kell lenni arra, hogy a görbevonalú koordinátarendszer bázisvektorai is függhetnek a helyt l, vagyis a bázisvektorokat is deriválni kell az X K koordináták szerint. A deriválások elvégzése után kapható a [ 2 x i ( X K X J δi m + x l Γ m li + xi X J + xi X N ( δ m i x p ( X K Γ m ip + Γ m pi + x l Γm li x p + x l Γ m li ] + xl Γ n li Γm np g m G J G K + Γ N KJg m G J G K = 0 (7 összefüggés, amelyben δi m a Kronecker-szimbólumot jelenti, aminek értéke egy ha i = m, és nulla ha i m. A bázisvektorok deriváltjainak jelölésére a másodfajú Christoel szimbólumok használatosak. Itt Γ m li = g l x i gm és Γ N KJ = G K X J GN. Most vizsgáljuk meg, a (6 jobb oldali integráljában a da elemi felület vektort. Legyen d R = d X I G I és d R = d X J G J két közös pontból induló és nem egy egyenesbe es érint vektora a felületnek. Ezek vektoriális szorzata megadja az elemi felület da vektorát. da = (d X I G I (d X J G J = d X I d X J G I G J. (8 Visszahelyettesítve a (7 és (8 összefüggéseket a (6 egyenletbe, majd elvégezve a szükséges egyszer sítéseket a kompatibilitási feltételre egy új összefüggés kapható. (A r (R 0 0 da = (a ( Γ x l m li x p Γm lp x i + Γ n li Γm np Γ n lp Γm ni g m d x i dx p = 0. (9 }{{} Rlpi m A (9 egyenlet egy vektoregyenlet, azaz három skaláregyenletként írható fel. Az integrálási tartományt jelöl a felület a (6 Stokes-tételben szerepl A felület pillanatnyi kongurációba áttranszformált megfelel je, az x l koordináták egy tetsz leges, a felületen lév pont koordinátái, Rlpi m pedig a Christoel-Riemann-féle görbületi tenzor koordinátáit jelöli [5, 4, 2]. Alakítsuk át a (9 egyenletet úgy, hogy minden koordináta mellé odaírjuk a hozzá tartozó bázisvektorokat is. x l Rlpi m g md x p dx i = Rlpi m g m g l (g q x q g p (g r d x r g i (g s dx s = 0. (a (a Látható, hogy a Christoel-Riemann-féle görbületi tenzor kovariáns koordinátáit szorozzuk a d r, d r és r vektorokkal. Ismert, hogy a görbületi tenzor az utolsó két indexében ferdén szimmetrikus (lásd pl. [5], vagyis a d r és d r elemi vektorokkal történ szorzás tulajdonképpen egy elemi da felülettel történ szorzást jelent. Mivel az a felület tetsz leges volta miatt da a v térfogaton belül bárhol elhelyezkedhet, ezzel együtt a hozzá mutató r vektor is tetsz leges lehet, a (9 integrál értéke csak akkor lehet nulla, ha a Christoel-Riemann-féle görbületi tenzor azonosan nulla. R m lpi g m g l g p g i = 0 (10 Ez utóbbi összefüggést nevezhetjük a kompatibilitási egyenlet dierenciális alakjának is. 4. Kompatibilitási feltétel a kis alakváltozások elméletében Vizsgáljuk meg, hogy a (10 kompatibilitási egyenlet hogyan nézne ki a kis alakváltozások elméletében. Célszer lenne a görbületi tenzor helyett áttérni olyan mennyiségekre, amelyekkel az

alakváltozások könnyebben leírhatók. Ehhez el ször a Christoel-szimbólumokat kell máshogy felírni. Ismert a következ azonosság [5] Γ k ij = 1 ( gil 2 x j + g jl x i g ij x l g lk, (11 ahol g il = g i g l és g lk = g l g k a metrikus tenzor kovariáns és kontravariáns koordinátáit jelentik. A metrikus tenzor alkalmazásával lehet például két egymáshoz közeli pont távolságát meghatározni [5]. Fejezzük ki a (11 azonosságot felhasználva az R görbületi tenzor koordinátáit a metrikus tenzor koordinátáinak segítségével. + 1 2 R m lpi = 1 2 [( ( 2 g iq x l x p 2 g pq x l x i x i + g iq x l g li g qm x q x p + 1 ( 4 x i + g iq x l g ( li gnr x q x p 1 ( 4 x p + g pq x l g ( lp gnr x q x i 2 g li x q x p + 2 g lp x q x i g qm + ( x p + g pq x l g lp x q + g pr x n g np x r + g ir x n g ni x r g qm x i g qn g rm ] + g qn g rm. (12 Kis alakváltozások esetén feltételezhet, hogy g li 1 és g pq 1. A pontok távolsága csak kis mértékben változik meg, vagyis a metrikus tenzor koordinátáinak deriváltjai egynél jóval kisebb értékek lesznek. Emiatt a (12 második, harmadik és negyedik tagját elhanyagolhatjuk, mivel ezekben a metrikus tenzor koordinátáinak deriváltjai a második hatványon szerepelnek. R m lpi 1 2 ( 2 g iq x l x p 2 g pq x l x i 2 g li x q x p + 2 g lp x q x i g qm = 0. (13 Meggyelhet, hogy a (13 egyenlet zárójeles kifejezése az i és p valamint az l és q indexek felcserélésével el jelet vált. Továbbá meggyelhet, hogy amennyiben az i és p valamint l és q indexek értékei megegyeznek, a zárójeles kifejezés értéke azonosan nulla lesz. Kihasználva a fenti észrevételeket a (13 egyenlet a g = 0 (14 alakban írható, ahol g = g ij g i g j a metrikus tenzor. A g metrikus tenzor a pillanatnyi kongurációban értelmezett mennyiség. Térjünk vissza a metrikus tenzornak a fejezet elején említett jelentésre, ami szerint két közeli pont távolságának meghatározására lehet használni. Legyen dr a pillanatnyi kongurációban, azaz a deformált alakon egy pontból egy hozzá közel lév másik pontba mutató elemi vektor, melynek hossza, azaz a pontok távolsága a pillanatnyi kongurációban dl. A dl távolság négyzete a dl 2 = dr g dr = dr F T g F dr = dr Ḡ dr összefüggéssel számítható, ahol felhasználtuk, hogy dr = F dr. Az egyenletben szerepl Ḡ szintén egy metrikus tenzor, azonban ezzel a kezdeti kongurációban értelmezett dr vektornak a pillanatnyi kongurációban lév dl hosszát határozhatjuk meg. Ha a pillanatnyi kongurációban egyenesvonalú, derékszög és egységbázisú koordinátarendszert használunk, akkor g = I, ahol I az egységtenzor. Ezt a metrikus tenzort az alakváltozásra jellemz deformáció gradienssel ki lehet fejezni. Ḡ = F T g F = F T F = C,

ahol a C a jobboldali Cauchy-Green alakváltozási tenzor. Hasonló gondolatmenettel számítható ki a kezdeti kongurációban adott dr elemi vektor dl hossza a deformálatlan alakon ahol dr = F 1 dr. dl 2 = dr G dr = dr F T G F 1 dr = dr ḡ dr, ḡ = F T G F 1. Ha a kezdeti kongurációban egyenesvonalú, derékszög és egységbázisú koordinátarendszert használunk, akkor G = I. ḡ = F T G F 1 = F T F 1 = ( F F T 1 = b 1, ahol b a baloldali Cauchy-Green alakváltozási tenzor. A fent bemutatott metrikus tenzorok közül a (14 egyenletben szerepl g a jobboldali Cauchy- Green alakváltozási tenzornak felel meg, mivel a test deformált alakját írja le (lásd (5 egyenlet. Ezek alapján a (14 kompatibilitási egyenlet a g = C = 0 alakú lesz. Felhasználva azt, hogy egy konstans mennyiség deriváltja nullát ad, a C jobboldali Cauchy-Green alakváltozási tenzor helyett használható az E = 1 2 (C I Green-Lagrange alakváltozási tenzor is. 1 (C I = E = 0 2 A Green-Lagrange alakváltozási tenzor kis alakváltozások esetén jó közelítéssel egyezik a kis alakváltozásoknál használt A alakváltozási tenzorral, azaz E A [1]. Ezzel eljutottunk az cikk elején bemutatott, kis alakváltozások esetén érvényes Saint-Vanant-féle kompatibilitási egyenlethez. 5. Összefoglalás A = 0 A cikkben a kompatibilitási feltételek egy szemléletes jelentése került bemutatásra. Nagy alakváltozások esetén a kompatibilitási feltétel globális alakját egy zárt görbére vett integrál segítségével lehet megfogalmazni. Ennek felhasználásával bizonyítható volt, hogy a test alakváltozott geometriájára vonatkozó Christoel-Riemann-féle görbületi tenzor a test minden pontjában nulla értéket vesz fel. A magasabb rend tagok elhanyagolásával visszakapható az alakváltozások lineáris elméletére vonatkozó Saint-Venant-féle kompatibilitási feltétel. Hivatkozások [1] Kozák I., Béda Gy.: Rugalmas testek mechanikája, M szaki Könyvkiadó, Budapest, 1987 [2] Haupt, P.: Continuum Mechanics and Theory of Materials, Springer Verlag, Berlin, 2002 [3] Kozák I.: Principle of complementary virtual work and the Riemann-Christoel curvature tensor as compatibility condition, Journal of Computational and Applied Mechanics, Vol. 1., No. 1., (2000, pp. 71-79 [4] Kozák I.: Megjegyzések Lámer G.: A szükséges és elégséges összeférhet ségi peremfeltételek meghatározása cím cikkéhez, Alkalmazott Matematikai Lapok, 17 (1993, 329-345. old. [5] Jánossy L., Tasnádi P.: Vektorszámítás II., Tankönyvkiadó, Budapest, 1982 [6] Jánossy L., Gnädig P., Tasnádi P.: Vektorszámítás III., Tankönyvkiadó, Budapest, 1983