IRÁNYÍTÁSTECHNIKA II. Lineári zabályozáo 8
Tartalomjegyzé. Alapfogalma... 4.. Az irányítá... 4.. Vezérlé, zabályozá... 6.3. Önműödő zabályozáo elvi felépítée... 7.4. Zavarompenzáció... 8.5. Szabályozái zerve zerezeti jellegzeteégei... 8.6. Szabályozáo oztályozáa... 9. Folyamato jelű lineári zabályozái rendzere determiniztiu vizgálatána matematiai ezözei...... Differenciálegyenlet módzer...... Lineári rendzer tranzien folyamatai..... Tipiu vizgálójele, a úlyfüggvény, az átmeneti függvény... 3.3. A onvolúció integrál... 5.4. Frevencia tranzformáció... 6.4.. Fourier-tranzformáció... 7.4... Fourier or... 7.4... Fourier integrál... 8.4.. Laplace-tranzformáció... 9 3. Lineári tago jelátviteli tulajdonágaina jellemzéére haznált függvénye... 3.. Az átviteli függvény... 3... Határértététele... 3.. A frevencia átviteli függvény... 3... A frevencia átviteli függvény ábrázolámódjai... 4 3... Az amplitúdó-fázi jelleggörbe (Nyquit-diagram)... 4 3... Amplitúdó örfrevencia, fáziörfrevencia diagram (Bode diagram)...5 3.3. Tagcoporto eredő átviteli függvényei... 6 3.3.. Soro apcolá... 6 3.3.. Párhuzamo apcolá... 7 3.3.3. Vizacatolá... 7 3.3.4. A hatávázlat átalaítáo... 8 3.4. Özefoglalá (-3 fejezet)... 9 4. Lineári tago jelátviteli tulajdonágai... 3 4.. Ideáli alaptago... 3 4... Arányo (P) tag... 3 4... Integráló (I) tag... 3 4..3. Differenciáló (D) tag... 34 4.. Tároló tago... 36 4... Egytároló (T) tag... 36 4... Kéttároló (T) tag... 39 4..3. Holtidő tago... 43 4..3.. Holtidő arányo, tároló nélüli (PH) tag... 43 4.3. Özetett alaptago... 45 4.3.. Arányo differenciáló (PD) tag... 45 4.3.. Arányo-integráló (PI) tag... 47 4.3.3. Arányo-integráló-differenciáló (PID) tag... 49 4.4. Özefoglalá... 5 5. Zárt zabályozái rendzere jelátviteli tulajdonágai... 5 5.. Zárt zabályozái örö minőége... 5 5.. Zárt zabályozái rendzere eredő átviteli függvényei... 55
5.3. Szabályozái örö típuzám zerinti coportoítáa... 56 5.4. Statiu zavarelhárítái tulajdonágo... 58 5.5. Statiu alapjelövetéi tulajdonágo... 59 5.6. Özefoglalá... 63 6. Lineári zabályozáo tabilitáa... 64 6.. A tabilitá fiziai épe... 64 6.. A tabilitá matematiai megfogalmazáa... 64 6.3. Stabilitái ritériumo... 65 6.3.. 6.3. Routh tabilitái ritérium... 65 6.3.. A Nyquit tabilitái ritérium... 68 6.3.3. Bode tabilitái ritérium... 7 6.4. Struturáli é feltétele tabilitá... 7 6.5. Özefoglalá... 73 7. Szabályozái örö minőégi jellemzőine javítáa ompenzációval... 74 7.. Soro ompenzáció... 75 7... P típuú ompenzáció... 75 7... PI típuú ompenzáció... 76 7..3. PD típuú ompenzáció... 78 7..4. PID típuú ompenzáció... 79 7.. Kompenzáció vizacatoláal... 8 7.3. Kompenzáló zerve megvalóítáa műveleti erőítővel.... 8 7.4. Holtidő zaaz ompenzáláa... 85 8. Szabályzó méretezée a zabályozott zaaz átviteli függvénye é a minőégi jellemző alapján.... 88 FELHASZNÁLT IRODALOM...89
. Alapfogalma Az irányítá beavatozá valamilyen folyamatba adott cél megvalóítáa érdeében. Ez a cél lehet a folyamat elindítáa, fenntartáa, megváltoztatáa vagy megállítáa. Valójában bármilyen folyamatra vonatozhat, mi zűebb értelemben, izárólag ipari anyag é energia átalaítáal apcolato folyamatora értelmezzü. Általáno módja az, hogy ülő irányító berendezé az előzeteen rendelezére álló, vagy műödé özben zerzett információ alapján megváltoztatja a folyamat bizonyo özvetlenül befolyáolható jellemzőjét (vagy jellemzőit) é ezzel a belő törvényzerűége alapján eléri a ténylegeen befolyáolni ívánt jellemző (vagy jellemző) ellő irányú változtatáát i. Az irányított folyamat é az irányító berendezé az irányítái rendzer. Az irányítátechnia magába foglalja ezen rendzere műödtetééhez, tervezééhez é vizgálatához züége imereteet; a műzai tudományona az az ága, amely az önműödő irányítá törvényzerűégeivel é gyaorlati megvalóítáával foglalozi. Vizgálatain orán nem foglalozun a ézülé belő felépítéével, mert ez irányítái zempontból özömbö, a hangúlyt arra érdére helyezzü, hogy az anyagi hordozóitól elvonatoztatott jeleel milyen műveleteet lehet végezni. Az irányítátechnia rendzertana a jeleel végzendő művelete tudománya. Válazt ad arra a érdére, hogy adott cél érdeében hogyan ell a rendelezére álló ézüléeet özeapcolni illetve milyen műveleteet ell az irányító berendezéel megvalóítani. A övetezőben a rendzertan legfontoabb érdéeit teintjü át... Az irányítá Az irányítá elvi vázlata az... ábrán látható. Irányítái cél Információ zerzé Információ feldolgozá é ítéletalotá Végrehajtá Irányított folyamat...ábra 4
Az irányítá célja az irányított folyamat valamilyen paraméteréne az irányított jellemzőne előírt módon történő befolyáoláa. Ez az irányító berendezé beavatozáa révén valóul meg. A beavatozá az irányított folyamat egy olyan jellemzőjére hat, amelyi a lehetőége zerint a leginább alalma az irányított jellemző változtatáára ( módoított jellemző). Az irányított jellemző a módoított jellemzőn ívül olyan paraméteretől i függ, melyene változáa nem áll az irányító berendezé hatáa alatt. Eze a zavaró jellemző. Az irányítá egyi célja éppen az, hogy a zavaró jellemzőne az irányított jellemzőre gyaorolt nemívánato hatáát a módoított jellemző változtatáa révén iüzöbölje. Az... ábrán feltüntetett forma zerint az irányítá a övetező műveletoron ereztül valóul meg: Információzerzé a folyamatról. Az információ zármazhatna a műödé törvényzerűégéne apriori imeretéből, vagy a ülönböző folyamatjellemző özvetlen mérééből. A rendelezére álló információ feldolgozáa é az irányítái céllal történő özehaonlítá alapján vantitatív döntéhozatal a beavatozá züégeégéről (ítéletalotá) Beavatozá végrehajtáa Az információ özlée jele útján megy végbe. A jel valamilyen fiziai mennyiég értée vagy érté változáa, amine információ tartalma van. Maga a fiziai mennyiég a jelhordozó, a jel lényege azonban az információ tartalom. Megülönböztetéül az irányított folyamat azon jeleit, melye az irányító berendezé nélül i létezne jellemzőne nevezzü. Az irányítái rendzer egye rézfeladatait ellátó zerezeti egyégeit zervene nevezzü. A zervet a bemenő jele ézteti műödére, melye egy réze má zervetől zármazhat é az irányítá megvalóítáához züége műödét váltja i, má réze a nem ívánato zavarójel ami az irányítái funció zempontjából elerülhetetlen. A bemenő jele hatáára alaul i a zerv imenő jele. A be é imenő jele o é oozati özefüggében állna. A zerve egymához apcolódáát, valamint a i é bemenő jeleiet feltüntető vázlat az irányítái rendzer zerezeti vagy műödéi vázlata. (ld..3..ábra) Az a örülmény, hogy az egyi zerv imenő jele a máina a bemenő jelét alotja, eredményezi, hogy a rendzer műödéeor valamely hatá meghatározott irányban, a hatáirányban terjed. Az egye zerve ülönböző techniai elven épülne fel, azonban rendzertechniailag mégem a onrét műödémódju az érdee, hanem a jelátvivő ill. jelformáló ajátoágu, vagyi az, hogy imenő é bemenő jelei özött milyen függvényapcolat van. 5
A jelátvivő ajátoágo ilyen formában történő ifejezéére haználju a tag fogalmát. A rendzer műödééne analíziét nagymértében megönnyíti, ha a onrét zerezeti rézetől elvonatoztatott un. hatávázlatot rajzolun, amelyben cupán a jele egymára hatáát ill. a az egye jele özti függvényapcolatoat tüntetjü fel. A hatávázlat tagoból épül fel. A tagot valamilyen önnyen rajzolható idom (pl: téglalap), a jeleet pedig az idomoat özeötő, nyíllal ellátott vonala ábrázoljá. A nyila iránya a hatáirány, azon tago özeége, melyeen egy jel a hatáirányban áthalad a hatálánc. A tagoat ábrázoló idom azt a függvényapcolatot realizálja, ami az illető tag imenő é bemenő jele özött fennáll. Egye tipiuabb jelátvivő tulajdonágo jelzéére vagy az idomba írt jelépe, vagy ülön jelölé zolgál. Ez utóbbi özül gyaoria az... ábrán látható özeg ill. ülönbégépző tago. x a x a +x b x a x a x b x b x b... ábra.. Vezérlé, zabályozá Az irányítá elvi megoldáána ét zélő eete a nyitott hatáláncban é a zárt hatáláncban történő irányítá. Nyitott hatáláncban történő irányítá a vezérlé. Vezérlé eetében a beavatozá a folyamatba az előzeteen zerzett imerete alapján valóul meg úgy, hogy az irányított jellemző nem hat viza arra. Ha az előzete imerete pontoa, a vezérlé a várt eredményt adja, ha pontatlano (pl.: nem várt zavaróhatá), nem hozza meg a ívánt eredményt. Vezérlé eetében tabilitái problémá nem lépne fel. Zárt hatáláncban történő irányítá a zabályozá, amior az irányított jellemző vizahat az irányítára, a hatávázlatban zárt huro alaul i. Általáno módja, hogy az irányított jellemzőne a ívánt é a ténylege értéét özehaonlítjá é az eltérétől függően alaítjá a beavatozát. Ha ez a folyamat emberi beavatozá nélül valóul meg, önműödő automatiu zabályozáról, ellenező eetben ézi zabályozáról bezélün. A zabályozá eetében a zavaró hatáo ill. a folyamat jellemzői özötti apcolat ponto imerete nem előfeltétel, a zabályozá az előre figyelembe nem vett zavaró jellemző hatáát i épe orrigálni. Hátránya, hogy önmagában tabili folyamato i labiliá vagy lengővé válhatna. Szabályozá eetében tehát a tabilitá vizgálat nem nélülözhető. 6
.3. Önműödő zabályozáo elvi felépítée Az önműödő zabályozáo alapvető jellemzője a negatív vizacatolá. Szoáo zerezeti vázlata az.3. ábrán látható. x a alapjel x r rendelezőjel x v végrehajtójel x b beavatozójel x m módoított jellemző x zabályozott jellemző alapjel épző zerv ülönbég épző zerv erőítő é ompenzáló zerv végrehajtó zerv beavatozó zerv folyamat x vez vezetőjel x e ellenőrző jel érzéelő zerv.3. ábra A folyamatot, amit zabályozni ívánun zabályozott zaazna zoá nevezni, imenő jele x zabályozott jellemző, melyne ívánt értée az alapérté. A zabályozott jellemzőt az érzéelő zerv méri, enne imenő jele az ellenőrző jel x e. Az alapjelépző zerv azt az alapértéel arányo x a alapjelet állítja elő, amelyne jelhordozója alalma az ellenőrző jellel történő özehaonlítára. Az özehaonlítát általában a ét jel ivonáával a ülönbégépző zerv végzi, enne x r imenő jele a rendelező jel. Amennyiben az ellenőrző jel megegyezi időben a zabályozott jellemzővel, aor a rendelező jel az előírt értétől való eltéréel arányo é ilyenor hibajelne i zoá nevezni. Amennyiben az alapjelet valamilyen ülő jeltől függően ell változtatni, aor ezen ülő jelet az alapjelépző bemenő jeléne teintjü é elnevezée vezető jel x vez. Az erőítő é ompenzáló zerv a rendelező jel jelformáláát é teljeítmény erőítéét végzi. Kimenő jele az x v végrehajtó jel. A jelformálá a zabályozái rendzer minőégi jellemzőine é a tabili műödé biztoítáához züége matematiai műveleteet foglalja magába. A végrehajtó zerv mint illeztő é eetlege erőítő berendezé a végrehajtó jelet olyan jelhordozóra ülteti amely alalma a beavatozó zerv műödtetéére. Kimenő jele a beavatozó jel x b. A beavatozó zerv a módoított jellemző, x m változtatáára alalma ézülé. Amint az a.3. ábrán látható műödéi vázlatból látzi, a rendzer zárt ört alot. Ez a zárt zabályozái ör. Enne megfelelően, termézeteen a hatávázlatban i zárt huro eletezi. 7
A felorolt zerve egy réze adott eetben elmaradhat, vagy özeépülhet. Így pl. az alapjelépzét, a ülönbégépzét valamint a ompenzálát végző zerve egyetlen ézülébe erülhetne özevonára, a zabályzóban..4. Zavarompenzáció A jele a hatáláncban ca bizonyo időééel terjedne, így a zavaró jele hatáa i ca bizonyo időééel mutatozi a zabályozott jellemzőben é az elhárítát célzó beavatozához i időre van züég. Ez a örülmény a zabályozái ör műödéében tabilitái problémához vezethet. Elerülhető a nem ívánato állapot ialauláa, ha a leglényegeebb zavaró jele érzéelhető é a mért értée alapján még a zabályozott jellemzőre gyaorolt hatát megelőzően beavatozá ezdeményezhető. Ez az eljárá a zavarompenzáció, megvalóítái ezöze az előre catolá Eor a hatálánc valamelyi jelözegzéi pontjára olyan jelet vezetün, melyne értée a zavaró jellemzőtől függ, é ez a zavaró jellemző hatáát várhatóan iegyenlíti. Ez a beavatozá nyílt láncú. Előzete imerete alapján ell az alalma beavatozó jelet a zavaró jelből megállapítani é a beavatozá a zavaró jellemzőre nem hat viza..5. Szabályozái zerve zerezeti jellegzeteégei A beavatozó zerv zerezete a folyamat jellegétől függ. Villamo hajtáoban igen gyaori a változtatható ellenállá, vagy vezérelhető áramforrá (pl. tiriztoro egyen, vagy váltó irányító, tb). Ugyanca gyaori beavatozó zerv a zelep. Érzéelő zerv lehet minden olyan mérőműzer, melyne imenő jelét a további zerve épee feldolgozni. Az érzéelő információt zolgáltatna a zabályozott zaazról. Teintve, hogy a zabályozott mennyiége rendívül ofélé, az érzéelő bemenő jele i igen oféle fiziai mennyiég lehet. Műödéü ülönböző méréi elven alapul. A ténylege érzéelő elemen ívül jelátalaítára mérő átalaítót é a jel nagyobb távolágra történő továbbítáára zolgáló távadót i maguban foglaljá. Az érzéelő zerveel zembeni pontoági övetelménye igen nagyo, mert az egéz zabályozái ör pontoágát alapvetően befolyáolja. A zabályzó az alapjelépző, a ülönbégépző, ompenzáló é erőítő zerve özö zerezeti egyége, amely fogadja az ellenőrző jelet az eetlege vezető jelet, megvalóítja az ítéletalotát é iadja a ellő teljeítményzintű végrehajtó jelet. Az eete többégében műödééhez egédenergiára van züége. A folyamatirányítában haznált univerzáli zabályzó villamo, hidrauliu, vagy pneumatiu egédenergiával műödne. Az 8
információ feldolgozáa, az ítéletalotá é a jelformálá matematiai é logiai műveleteen ereztül valóul meg, ezért a zabályzó magja valamilyen analóg, vagy digitáli zámítátechniai ezöz..6. Szabályozáo oztályozáa A zabályozáo az elérendő cél, a ülönböző műödéi módo, a zabályozái ör jeleine időbeli tulajdonágai, a jelátvivő tago ajátoágai, techniai felépíté, tb. alapján coportoítható. A zabályozái célt teintve: értétartó a zabályozá, ha a cél a zabályozott jellemzőne az állandó értéen tartáa övető zabályozáról bezélün, ha a zabályozott jellemzőne valamilyen ülő jelet ell övetnie optimum zabályozáor a cél a folyamat valamilyen egyzerű, vagy özetett eetleg nem i mérhető ca zámítható mutatójána állandó, az optimáli érté örül való tartáa. A rendzere tárgyaláához haznált elméleti apparátu zerint: Lineári a zabályozá, ha a tago által definiált özefüggée lineária o Autonóm a lineári rendzer, ha differenciálegyenletében a paramétere időtől független állandó o Változó paraméterű rendzereet időtől függő együttható differenciál egyenlete írna le Nem lineári, ha a tago által definiált özefüggée nem lineária A jele időbeli lefutáa zerint: Determiniztiu, ha a rendzer vizgálata, méretezée időben imert lefutáú jeleen alapul Sztochaztiu, ha a rendzervizgálat, méretezé tatiztiai alapon értéelhető jeleen nyugzi. A jelátvivő tago imenő é bemenő jele özötti apcolat zerint: Folytono Nem folytono A jelfolyam időbeli tulajdonágai alapján: Folyamato, ha a jel időben tartóan fennáll Mintavételezett, ha a jel folyamatoága adott perióduidő zerint megzaad A zabályozott jellemző záma zerint: 9
Egyváltozó rendzer, ha a folyamatna egyetlen zabályozott jellemzője van. Ilyen eetben a hatávázlat egyetlen zárt huroá alaítható. Több változó rendzer eetében a folyamat több zabályozott jellemzővel rendelezi. Ebben az eetben több zabályozái ör alaul i, melye általában ölcönöen befolyáoljá egymát. Ebben az eetben apcolt zabályozáoról zoá bezélni. A zabályozáelmélet adott felépítéű rendzer vizgálatához, ill. adott feltételene é minőégi mutatóna megfelelő zabályozái rendzer felépítééhez züége imerete, elve é módzere özeége. Alapvető jelentőégű a lineári, egyváltozó, folytono jelű determiniztiu rendzere elmélete. Eredményei mátrixzámítái módzerrel a több változó rendzerere i általánoítható, továbbá a nem lineári rendzerere alalmazható módzere nagy réze i valamilyen linearizáláon alapzi.
. Folyamato jelű lineári zabályozái rendzere determiniztiu vizgálatána matematiai ezözei. Lineári folyamato jelű tagoból felépülő rendzer vizgálata lineári differenciálegyenlete ill. egyenletrendzere megoldáára vezethető viza. A övetezőben a legfontoabb megoldái módzereet foglalju öze, feltételezve, hogy autonom rendzerről van zó, amelyben az egyenlet együtthatói időtől független ontano... Differenciálegyenlet módzer Egy állandó paraméterű, lineári rendzer differenciál egyenlete általáno formában: n n m m d x ( t) d x ( t) dx ( t) d x ( t) d x ( t) dx ( t) b b b a n + an... a ax ( t) b... m bm b b x t n + + + + + + + n m m dt dt dt dt dt dt a, a,, a n ; b, b,, b m ontano, a rendzer paraméterei x (t) : a rendzer imenőjele, x b (t) : a rendzer bemenőjele Az egyenlőégjel jobb oldalán álló ifejezét gerjeztőfüggvényne (g(t)) i zoá nevezni, amely a bemenő jelne é differenciálhányadoaina a rendzertől függő úlyozáú ombinációjaént állítható elő. Fiziailag megvalóítható rendzere eetén m n, ugyani m>n eetén fennállhatna, hogy például x b ( t) ( t) bemenőjelre a imenőjel amplitúdó változáa végtelenül i idő alatt végtelenül nagy lenne, ami az energia megmaradá törvénye miatt nem lehetége. ( ) b Adott x b (t) bemenőjel é adott ezdeti feltétele mellet, a differenciálegyenletet megoldva megaphatju az x (t) imenőjelet. Differenciálegyenlet megoldáa: Az inhomogén differenciálegyenlet általáno megoldáa a hozzátartozó (zéru jobboldalú) homogén egyenlet általáno megoldáána (x t (t)), valamint az inhomogén differenciálegyenlet egy partiulári megoldáána (x (t)) özegeént áll elő: x (t) x t (t)+ x (t) Már itt megjegyezzü, hogy a homogén egyenlet általáno megoldáa a rendzer tranzien állapotbeli vieledéére, még a inhomogén egyenlet egy partiulári megoldáa a tacionáriu állapotbeli vieledéére ad válazt. Az indexeléel erre ívántun utalni. Feltételezzü, hogy a tranzien özetevő: x t (t)ce pt alaú. Ezt a homogén egyenletbe behelyetteítve, iemelé után a övetező özefüggét apju:
n ( an p + an n pt p +... + a p + a ) Ce Ez ca aor állhat fenn, ha a n p n +a n- p n- + +a p+a. Ez az úgynevezett arateriztiu egyenlet, é pp i (i,,, n) az egyenlet n db gyöe. A magára hagyott rendzer vieledéét tehát a övetező ifejezéeel adhatju meg: Egyzere gyööre: x pt pt t ( t) C e + Ce +... + C n e pnt n i C e Többzörö gyööre (pl. az egyi gyö q-zoro azaz p p..p q ahol q n): x t ( t) ( C q + C +... + Cqt ) e pqt + n i q+ A atateriztiu egyenlet gyöei való, vagy onjugált omplex mennyiége A C i állandó értée a ezdeti feltételeből állapítható meg. A rendzer műödée aor tabili, ha tranzienei lecillapodna, vagyi a tranzien megoldá t eetén nullához tart. Enne feltétele, hogy a arateriztiu egyenlet minden gyöéne való réze negatív legyen.... Lineári rendzer tranzien folyamatai A differenciálegyenlet megoldáána formáli matematiai eljáráa mögött a övetező fiziai tartalom fogalmazódi meg: A differenciálegyenlet valamilyen rendzer mozgáát írja le. A mozgá oa egyrézt az x b (t) bemenő jel, márézt az, hogy a bemenőjel megjelenée előtti időben végzett mozgá miatt a t időpillanatban nem volt egyenúly. A rendzer ezen előéletét a ezdeti feltétele egyértelműen jellemzi é a továbbia zempontjából teljeen özömbö milyen módon erült ebbe az állapotba. A g(t) gerjeztő jel hatáára olyan új egyenúlyi állapot fog beállni, amelyne mozgáát az inhomogén egyenlet ezdeti feltételetől független x (t) megoldáa mutatja. Ezt az új i C e n dx () egyenúlyi állapotot a t pillanatban x (), d x,.. () n dt dt i pnt pit értée jellemzi. Ha eze nem egyezne meg a ezdeti feltételeel, aor ez arra utal, hogy a rendzer állapota eltér a gerjeztő jelne megfelelő állapottól. Az eltéré-ugrá zerűen nem zűnhet meg, mert a rendzerben lévő energia tároló állapotuat ca energia özlé vagy elvoná hatáára foozatoan épee megváltoztatni. Ehhez pedig vége időre van züég. A iegyenlítő folyamat a tranzienmozgá, melyne lefolyáát a homogén egyenlet megoldáa írja le. A tranzien mozgá lefolyáa alapvetően türözi a rendzer ajátoágait. Ha a tranzien özetevő az időben cillapodna, a gerjezténe megfelelő új egyenúlyi állapot épe
beállni, a rendzer tabili. Minden határon túl növevő tranzien mozgá a labilitá jele, ilyenor új egyenúlyi állapot nem érhető el. Cillapítatlan periodiu tranzienmozgá a ettő özötti határeet, ami arra i utal, hogy a tranzien (aját) lengé frevenciájával azono frevenciájú gerjeztő jelere a rendzer rezonálni fog. A tranzien vieledét vizgálva elegendő a homogén egyenletet vizgálni g(t) feltétellel, vagyi a arateriztiu egyenletet. Ez eor a magára hagyott rendzer mozgáát írja le, tabili rendzer ilyenor tranzien mozgáa révén újra nyugalmi állapotba igyezi jutni. A gerjezté alatt álló rendzer tranzien jelenégei a zuperpozicióból övetezően ugyanilyen jellegűe... Tipiu vizgálójele, a úlyfüggvény, az átmeneti függvény Az inhomogén differenciálegyenlet egy partiulári megoldáát annál önnyebb meghatározni, minél egyzerűbb a bemenőjel, márézt x b ( t) re olyan tipiu, egyértelműen reproduálható jelet zoá feltételezni, ami jelentő tranzien mozgát i épe előidézni. Ez máéppen fogalmazva azt jelenti, hogy jó ha a vizgáló jel petrumában minden frevencia ellő úllyal épvielve van, így egyetlen jel egítégével lemérhető a rendzer frevencia átvitele a telje frevenciaávban. Ezért a lineári zabályozái rendzere vizgálatára tipiu vizgáló jeleet haználna. A tipiu, vagy tipizált jele időbeli lefolyáa a.. ábrán látható. A legfontoabb tipiu vizgálójele: a) a./ b./ c./ d./... ábra. Egyégimpulzu-függvény: δ (t) (Dirac-delta) b) Egyégugrá-függvény: (t) c) Egyégebeég-ugrá függvény: t (t) t d) Egyéggyorulá-ugrá függvény: ( t) Az egyégimpulzu-függvény: δ(t) 3
δ (t), ha t; δ ( t), ha t<; vagy t>... ábra Igen rövid idő alatt meghatározott energiát özlő jel elméleti abztraciója, a függvény egyégnyi területű, vége nagyágú impulzuból zármaztatható (ld.... ábra) τ τ Azaz: δ( t ) lim. τ τ A függvény fonto tulajdonága, ami a.. ábrából jól olvaható: δ( t) dt Az egyégimpulzu-bemenőjel hatáára a tag, vagy a rendzer imenetén megjelenő jelet úlyfüggvényne nevezzü. Jelölée: w(t), vagy y(t). Az egyégugrá-függvény: (t), ha t<; (t), ha t, vagy t>. Egyégugrá-bemenőjel eetén a tag, vagy rendzer imenetén megjelenő jelet az egyégugrára vonatozó átmeneti függvényne nevezzü. Jelölée: v(t) Az átmeneti é a úlyfüggvény özött a övetező özefüggé van: w(t) dv ( t) dt Az egyégebeég-ugrá függvény: t(t), ha t< t(t)t, ha t, vagy t> Hatáára a tag, vagy a rendzer imenetén az egyégebeég-ugrá bemenőjelre vonatozó átmeneti függvény jeleni meg. Az egyéggyorulá-ugrá függvény: 4
t ( t), ha t<, t, ha t, vagy t> Hatáára a tag, vagy rendzer imenetén az egyéggyorulá-ugrá bemenőjelre vonatozó átmeneti függvény jeleni meg. A tipiu vizgálójele özött fennálló apcolato: d( t) σ ( t) ; dt dt ( t) ( t) ; dt t d ( t) t( t) dt A tipiu vizgálójele hatáára a lineári rendzer imenetén megjelenő jele özött haonló özefüggée írható..3. A onvolúció integrál A úlyfüggvény (é az átmeneti függvény) jellemző a zabályozái tagra, vagy rendzerre. Imeretüben az x (t) imenőjel tetzőlege x b (t) bemenőjelre meghatározható..3.. ábra Az x b (t) jel egymát övető τ zéleégű x ( b τ) τ területű impulzuo özegeént fogható fel. Minden impulzu hatáára egy-egy úlyfüggvény zerint változó tranzien folyamat indul, amelyene a hatáa egy adott t időpillanatban zuperponálódi. A zuperpozíciónál figyelembe ell venni, hogy a τ helyen fellépő impulzu által iváltott rézfolyamat t pontjáig t-τ idő telt el. A úlyfüggvényt ezért ilyen argumentummal ell özegezni. 5
Má megözelítéel; ha egy négyzöglöé egyégnyi területű lenne, hatáára a imeneten a w(t-τ ) úlyfüggvény jelenne meg. A.3. ábrán megjelölt négyzögjel hatáára tehát a imeneten a w( t τ) x b ( τ) jel jön létre. A t időpontbeli imenőjel értéét a bemenőjel minden t időpont előtt felvett értée befolyáolja. Mivel lineári rendzereről van zó alalmazható a zuperpozíció tétele, tehát özegezni lehet a t intervallumban található négyzöglöée hatáait a imeneten: n x ( t) w( t τ ) x ( τ ) τ i Ha a négyzöglöée zéleégét minden határon túl finomítju, az özegzé átalaul integrállá, a négyzöglöée pedig impulzuoá. i b i Tehát: t x ( t) w( t τ) xb ( τ) dτ ez a ifejezé a onvolúció integrál, vagy Faltung-tétel néven imert. A rendzer vizgálata tetzőlege bemenő jelere nemca a úlyfüggvény, hanem az átmeneti függvény imeretében i meghatározható. Egy tetzőlege folytono függvény ugyani felbontható i ugráo özegére. Az egye ugráözetevőre adott válazo özege megadja a imenőjelet. Az előzőehez haonló megfontoláo alapján adódi: t dx b ( τ) x ( t) v( t) xb () + v( t τ) dτ dτ Ez a ifejezé a Duhamel-tétel néven imert. A onvolúció, illetve a Duhamel integrál egítégével elerülhető a tag, vagy a rendzer differenciálegyenleténe megoldáa, de bonyolult bemenőjele eetén már az integrálo izámítáa nehéze..4. Frevencia tranzformáció Lineári állandó együttható differenciálegyenlete tárgyaláána a műzai alalmazáo zempontjából igen előnyö módja az, ha függvény tranzformációal az eredeti időfüggvényeről azoal egyértelmű apcolatban álló olyan új függvényere lehet áttérni, amelye az eredeti differenciál egyenlete helyett algebrai egyenleteel vanna özeapcolva. Erre alalmaa a frevencia tranzformáció. A zabályozátechniában a leggyaoribb eljáráo a Fourier é a Laplace tranzformáció. Az eredménye inverz tranzformációjával, azo az időtartományban állna rendelezéünre. 6
.4.. Fourier-tranzformáció.4... Fourier or A T intervallumonént periodiuan imétlődő időfüggvény ω nω örfrevenciájú harmoniu függvénye özegeént Fourier orral állítható elő, vagyi zinuzo é ozinuzo függvénye végtelen özegeént. ahol,,, f ( t, T) A co ωt + B T a függvény perióduideje; ω π az alapörfrevencia T Az együttható a övetező özefüggéeel zámolható: T A f ( t, T ) dt T T in ωt A B T T T T T T f ( t, T )co f ( t, T )in ωtdt ωtdt Sozor a Fourier ort omplex alaban írju fel: (a levezeté mellőzéével) f ( t, T ) A jb e jωt Bevezetve a C A jb omplex együtthatóat, a Fourier or omplex alaja: f ( t, T ) C e jωt A C együtthatóat a övetező özefüggéből i zámítható: C T T j ω t T f ( t, T ) e dt Ha a C abzolút értéét a örfrevencia függvényében ábrázolju, az f(t,t) függvény amplitúdópetrumát apju. A periodiu függvénye petruma vonala, az aperiodiu függvényeé folytono. (Egy periodiu függvény petruma a.4.. ábrán látható.) 7
.4.. ábra.4... Fourier integrál Fourier-or ca aor írható fel, ha dizrét özetevőből áll, tehát, ha a függvény periodiu. A gyaorlatban a rendzer bemenetére általában nem periodiu, hanem aperiodiu jelet apcolun. Eze a jele nem Fourier or, hanem Fourier integrál alajában írható fel. Az aperiodiu jel ugyani olyan periodiu jelne teinthető, amelyne a perióduideje a végtelenhez tart. A alaítu át. Vezeü be a övetező jelöléeet: π ω ω, T C c ω ) π π π ω T T T Az új jelöléeel a Fourier-or omplex alaja: T határátmenet elvégzééhez a Fourier or felíráát ( ω ahol c(ω ) a omplex amplitúdóűrűég. Ha T, a Fourier-integrálhoz jutun: f ( t, T ) c( ω) * e ωt ω Ahol: c j ω ω t f ( t) c( ) * e dω ω C T jωt ( ) lim lim C f ( t) e dt T ω T π π * A jωt π c( ω) F( jω) f ( t) * e dt függvényt az f(t) függvény Fouriertranzformáltjána nevezzü. 8
Az inverz Fourier-tranzformáció: j ω ω t f ( t) F( j ) * e dω π A Fourier-integrál létezééne egyi feltétele, hogy a függvény abzolút integrálható legyen: f ( t) dt K Ha a rendzert leíró differenciálegyenlet Fourier-tranzformáltját épezzü, algebrai egyenletet apun (ugyani e j ω jellegű tago differenciáláa, integráláa jω -val való zorzát, illetve oztát jelent). Az algebrai egyenlet megoldáa után a imenőjel időfüggvényét inverz Fourier-tranzformáció alalmazáával aphatju meg..4.. Laplace-tranzformáció A Laplace-tranzformáció egítégével a Fourier-tranzformáció módzere a gyaorlatban előforduló legtöbb függvényre iterjezthető. Ha az f(t) függvényt megzorozzu egy olyan függvénnyel amely a végtelenben elég gyoran tart a nullához a apott zorzatfüggvény már abzolút integrálható, tehát épezhető Fourierintegrálja. Ilyen függvény például: n δt lim t e, t αt δt lim t e, t ha δ > ha δ >α Tehát f(t) helyett Fourier tranzformáltját ereü. f δ t ( t) e pozitív időre abzolút integrálható függvény biztoan létező A zorzófüggvény itevőjében zereplő tényezőt úgy ell megválaztani, hogy a létrejövő zorzatfüggvény nullához onvergáljon. ϕ δ t ( t) f ( t) e, δ > A ϕ(t ) cillapított beapcolái függvény Fourier tranzformáltja: Φ( jω) ϕ( t) e jωt dt f ( t) e δt e jωt dt f ( t) e ( δ+ jω) t dt A tranzformált az δ + jωomplex változó függvényéne i teinthető. Az σ +jω omplex változó az ún. Laplace operátor. Az F ω t Φ( jω) f ( t) * e dt özefüggé az f(t) függvény Laplace tranzformáltját adja meg. Jelölée: L[ f (t)] 9
A Laplace tranzformáció a gyaorlatban előforduló legtöbb függvényre épezhető. Alalmazáaor a deriválá -el való zorzána, az integrálá -el való oztána felel meg. Tehát a differenciálegyenlet Laplace tranzformáltja algebrai egyenlet. A ereett idő függvényt vizatranzformáláal apju meg.
3. Lineári tago jelátviteli tulajdonágaina jellemzéére haznált függvénye 3.. Az átviteli függvény A Laplace tranzformációra vonatozó özefüggée özül a zabályozátechniában nagy jelentőégű a onvolúció integrál. Segítégével az integrál értée egyzerűen zámítható: A onvolúció integrál az x b (t) bemenőjelre: x( t) w( t τ) xb( τ) dτ Az x (t) imenőjel Laplace tranzformáltja:, t t ( t τ ) τ x ( t) * e dt w( t τ) xb ( τ) dτ * e dt w( t τ) * e dt * xb ( τ) e dτ mivel az integrálo orrendje felcerélhető ϑ t-τ helyetteítéel: x ϑ τ * * w( ϑ) e dϑ* xb ( τ) e dτ Ahol az elő integrál a úlyfüggvény Laplace tranzformáltja {Y()}, a máodi pedig a bemenőjel Laplace-tranzformáltja b (). Tehát: Y b( ) ; ebből Y a tag vagy rendzer átviteli függvénye. Tehát az átviteli függvény a imenőjel é a bemenőjel Laplace tranzformáltjána hányadoa. Az átviteli függvény apcolatban áll a úlyfüggvénnyel (anna Laplace tranzformáltja), é így az átmeneti függvénnyel i, amelyne deriváltja egyenlő a úlyfüggvénnyel. Tehát az átviteli függvény egyértelműen meghatározza a tagot vagy rendzert. Az Y() átviteli függvény meghatározható a rendzert leíró differenciálegyenlet Laplace tranzformáltjából. Bizonyítható, hogy az átviteli függvény lineári rendzerre a legtöbb eetben racionáli törtfüggvény, melyne nevezője a rendzer arateriztiu egyenleténe Laplace tranzformáltja. Ha imerjü a rendzer átviteli függvényét, a zámítáo elvégzééhez már nem züége a differenciálegyenlet felíráa em. A bemenőjel Laplace tranzformáltját megzorozva az átviteli függvénnyel, megapju a imenőjel Laplace tranzformáltját, amelyből a imenőjel időfüggvényét inverz Laplace tranzformációval meghatározhatju. b
3... Határértététele A rendzer t é t időpontbeli vieledée egyzerűen meghatározható a Laplacetranzformációra vonatozó ét határértétételből: x () lim x t x ( ) lim x t ( t) lim ( t) lim A ét tétel egítégével a övetező özefüggée írható fel az átmeneti é az átviteli függvény özött: v() lim v( t) lim t Y v( ) lim v( t) lim t Y,. Y ( ), Y ( ). Vagyi az átmeneti függvény ezdeti értée megegyezi az átviteli függvény -re, állandóult állapotban -ra felvett értéével. A Laplace tranzformáció jelentően cöenti a zámítái munát, a vizatranzformáció azonban o eetben problémát jelenthet. 3.. A frevencia átviteli függvény Ha egy lineári rendzer bemenetére adott örfrevenciájú, zinuzo jelet adun, az állandóult állapot elérée után a imeneten ugyanaora örfrevenciájú zinuzo jel jeleni meg, amely a bemenőjeltől amplitúdóban é fázizögben ülönbözhet (3.. ábra) 3.. ábra Írju fel a bemenőjelet omplex exponenciáli alaban: x ( t) b b jϕb ( ω) jωt jωt [ ωt + ϕb ( ω) ] Im[ ( ω) e e ] Im[ ( jω) e ] ( ω )in b b
Ahol b (ω ) a bemenőjel amplitúdója, való ifejezé, értée függhet a frevenciától, b (jω ) b (ω )e j ϕ b(ω ) omplex ifejezé, amely a bemenőjel amplitúdóján ívül a fázieltolái zöget i tartalmazza. Megadja a bemenőjel a t időpillanatbeli omplex vetorát. A zinuzo bemenőjel hatáára a tag imenetén megjelenő jel frevenciája megegyezi a bemenőjel frevenciájával, amplitúdója é fázizöge függ a bemenőjel frevenciájától, é a tag tulajdonágaitól. A zinuzo imenőjel omplex exponenciáli alaban: x ( t) ( ω) in jϕ ( ω) jωt jωt [ ω t + ϕ ( ω) ] Im[ ( ω) e e ] Im[ ( jω) e ] ahol (ω) a imenőjel amplitúdója, mindig függ a örfrevenciától (állandó bemenőjelamplitúdó mellett i). jϕ ( ω) ( jω) ( ω) e omplex ifejezé, magában foglalja a imenőjel amplitúdója mellett a imenőjel fázieltolái zögét i. Képezzü a omplex exponenciáli alaban felírt (t) imenőjel é az b (t) bemenőjel hányadoát. Az eredmény az átviteli tag frevencia átviteli függvénye, vagy egyzerűen frevenciafüggvénye: Y ( jω) ( jω) e ( jω) e b jωt jωt ( jω) ( jω) b A( ω) e jϕ( ω) zintén omplex ifejezé, amelyne abzolút értée é fázizöge i függ a frevenciától. Abzolút értée: ( Y jω) A( ω) ( ω) ( ω) b megegyezi a imenőjel é a bemenőjel amplitúdójána hányadoával. A frevenciafüggvény fázizöge ϕ( ω) ϕ ( ω) ϕ ( ω) b a imenő- é bemenőjel fázizögéne ülönbége. A frevenciafüggvényt megadhatju való é épzete rézével i: Y ( jω) P( ω) jq ( ω) ahol: P ( ω) A( ω) co ϕ( ω) ; Q ( ω) A( ω)in ϕ( ω) ; A ω) P ( ω) + Q ( ) ( ω ϕ( ω) arctg Q( ω) P( ω) 3
A frevenciafüggvény a rendzer differenciálegyenletéből határozható meg úgy, hogy behelyetteítjü a imenőjel é a bemenőjel omplex alaját. Tehát: t j e j t x ω ω) ( ) ( é t j e j t x b b ω ω) ( ) ( Eor a differenciálegyenletből ( t j e ω -vel egyzerűítve): )] ( ) (... ) ( ) ( ) ( [ ) ( ) ( ) (... ) ( ) ( ) ( ) ( ω ω τ ω ω τ ω ω ω ω ω ω ω ω j j j j j A j j j T j j T j j T b m m m b b n n n n n n + + + + + + + é írható: n m b a j a j a b j b j b j j j Y n m ) (... ) ( ) (... ) ( ) ( ) ( ) ( ω ω ω ω ω ω ω + + + + + + A apott ifejezé formálian megegyezi az Y() átviteli függvénnyel, ezért a frevenciafüggvényből a ezdeti é a határértététele egítégével egyértelműen meghatározható a rendzer vieledée a ezdeti időpillanatban é állandóult állapotában: ) ( lim ) ( lim ) ( lim t v A j Y t ω ω ω ω é ) ( lim ) ( lim ) ( lim t v A j Y t ω ω ω ω A apott özefüggée fiziailag i érzéeltethető: a rendzerne igen laan változó (igen i frevenciájú) jelet úgy ell átvinnie, mint egy időben állandó jelet. Tehát a frevenciafüggvény a helyen megadja az átmeneti függvény állandóult értéét. Az egyégugrá függvény meredeége t helyen végtelenül nagy. Ez egy olyan bemenőjelne fogható fel, amelyne a frevenciája végtelenül nagy. Így egy igen nagy frevenciájú jel átviteléből öveteztetni lehet az átmeneti függvény t időpontbeli értéére. 3... A frevencia átviteli függvény ábrázolámódjai 3... Az amplitúdó-fázi jelleggörbe (Nyquit-diagram) Ha a frevenciafüggvény állandóult értéét a omplex zámíon ábrázolju, az amplitudófázi jelleggörbét, má néven Nyquit-diagramot apju. Az amplitúdó fázi jelleggörbe egyegy pontját a frevenciafüggvény abzolút értée, é fázieltolái zöge határozza meg. A frevenciát ω intervallumban változtatju. A görbén a örfrevencia növeedéi irányát nyíllal jelöljü meg. A görbe egye pontjai állandóult állapotot adna meg. 4
Alalmazáána hátrányai: a) a jelleggörbe egye pontjaina meghatározáa omplex zámoal végzett, hozadalma zámítáora van züég. b) a rendzer valamely paraméteréne megváltozáa (pl. időállandójána), nem ooz az amplitúdó-fázi jelleggörbe menetében zemlélete változát. 3... Amplitúdó örfrevencia, fáziörfrevencia diagram (Bode diagram) A Bode-diagram alalmazáával iüzöbölhető a Nyquit-diagram alalmazáána hátrányai. Képezzü az jϕ( ω) Y ( jω) A( ω) e frevenciafüggvény termézete alapú logaritmuát: ln Y ( jω) ln Y ( jω) + jϕ( ω) A jobb oldalon lévő ifejezé elő tagja az amplitúdóvizonyt, máodi tagja a fázieltolái zöget tartalmazza. Ha ezt a ét tagot ülön ülön ábrázolju a frevencia függvényében, egyzerűen megzerezthető görbéet apun. Az amplitúdóvizony jobban ábrázolható, ha decibelben mérjü. Egy zám decibelben ifejezett értéén a zám -e alapú logaritmuána -zoroát értjü. [ db ] Y ( jω) [ db ] lg Y ( j ) A ( ω) ω A Bode-diagram vízzinte tengelyén a örfrevencia (általában -e alapú) logaritmua zerepel azért, hogy nagyobb frevenciaávot leheen átfogni. A örfrevencia léptée -e alapú logaritmu eetén deád. Egy deád : arányú frevenciaváltozát jelent. Az amplitúdó é a ϕ (ω) fázijelleggörbét egyzer logaritmiu milliméterpapíron ábrázolju, a függőlege tengelyre az A ( ω) Y ( jω) görbét decibelben, a ϕ(ω ) zöget fooban lineári léptében mérjü fel. A logaritmu amplitudó logaritmu örfrevencia é a fázi logaritmu örfrevencia jelleggörbéet együtteen Bode diagramna nevezzü. A Bode diagram alalmazáána előnyei: a) a logaritmiu amplitúdó diagram egyzerűen megzerezthető, az egye paramétere változáána hatáai a diagramban önnyen nyomon övethető, b) zorzatfüggvénye Bode diagramja az egye függvénye Bode diagramjaina özegzéével megapható, mivel jωt jω t lg( Ae A e ) lg A + lg A + j( ϕ + ϕ) lg e A Nyquit- é a Bode-diagram egymából egyértelműen megzerezthető: (3... ábra) 5
3... ábra 3.3. Tagcoporto eredő átviteli függvényei A zabályozái örben a zerve, eleme valamilyen módon apcolódna egymához. A apcolódá, az egymára hatá legjobban a hatávázlattal zemléltethető. Az átviteli tago alapvető apcolái módjai: Soro apcolá Párhuzamo apcolá Vizacatolá Vizgálju meg az alapapcoláoat az operátortartományban. 3.3.. Soro apcolá 3.3.. ábra Teintü a 3.3.. ábrán látható n zámú, egymáal orba apcolt jelátviteli tagot. Legyen imert az egye tagona Yi() az átviteli függvénye. Imerete, hogy minden tag imenő jeléne Laplace tranzformáltja az átviteli függvény definíciója zerint a bemenőjel Laplace tranzformáltjána é a tag átviteli függvényéne imeretében a övetezőépp fejezhető i: Y * i + i i az i-edi tagra, illetve Y n + n n az utoló tagra. 6
Minden tag bemenőjele azono az azt megelőző tag imenő jelével. Tehát az egyenletet a hatáláncban a legutoló tagra célzerű felírni, é a bemenőjel Laplace-tranzformáltjába mindig a megelőző tag átviteli függvénye é bemenőjele tranzformáltjána zorzatát behelyetteítve eljutun a tagcoport imenő jeléig: Y Y... Y Y n n n+ melyből ifejezhető a orba apcolt tago eredő átviteli függvénye: n+ Y Y Y... Y Y n n Tehát a tago orba apcoláa eetén az egye átviteli függvénye zorzata adja az eredő függvényt. 3.3.. Párhuzamo apcolá 3.3.. ábra Kapcoljun öze n darab jelátviteli tagot a 3.3.. ábra zerint. A hatávázlatban ponttal jelölt elágazái hely után valamennyi elágazában azono információ ( ( ) ) halad tovább, é jut az egye eleme bemeneteire. Az előbbiehez haonló gondolatmenet, illetve a 3.3.. ábra alapján az eredő átviteli függvény: Y ( ) Y ( ) + Y ( ) +... + Yn ( ) ) Y + Y +... + Yn ( Tehát párhuzamoan apcolt tago eetén az eredő az egye átviteli függvénye özegeént adódi. 3.3.3. Vizacatolá Vizacatoláról bezélün, ha valamelyi tag imenőjelét egy mái tagon ereztül vezetve a bemenőjeléhez hozzáadju, vagy abból ivonju. Az előbbi eetet pozitív, az utóbbit 7
negatív vizacatolána nevezzü (ld. 3.3.3. ábra). A zabályozátechniában elődlegeen a negatív vizacatoláú tagoal találozun. 3.3.3. ábra Határozzu meg a 3.3.3. ábra alapján a zabályozái ör eredő átviteli függvényét. Az eddigi imeretein alapján írhatju: Rendezve a ifejezét: ( ) Képezve az Y hányadot: [ Y ( )] Y ± [ Y Y ] Y ( ) Az eredő átviteli függvény tehát pozitív vizacatolá eetén: Y Y, Y Y illetve negatív vizacatolánál: Y Y + Y Y. Az Y ) Y ( ) zorzatot huroátviteli függvényne nevezi. ( 3.3.4. A hatávázlat átalaítáo Egy zabályozái rendzert matematiailag hatávázlata egítégével vizgálhatun. A vizgálat ozor egyzerűbben végezhető el, ha a hatávázlatot egyenértéű átalaítáo egítégével egyzerűbb alara hozzu. Így az eredő átviteli függvény meghatározáa i egyzerűbbé váli. 8
A hatávázlato általában a jele Laplace-tranzformáltjait é az átviteli függvényeet tartalmazzá, de az átalaítái zabályo a jele Fourier-tranzformáltjaira é a frevenciafüggvényere i igaza. Az időtartományban azonban ca vizacatolá-mente átalaítái zabályo alalmazható. Az átalaítái zabályo DR. Cái Frigye- Bar Ruth: AUTOMATIKA c. tanönyvben megtalálható (7 old.). 3.4. Özefoglalá (-3 fejezet) Egy zabályozái ör vizgálatához meg ell imernün a benne zereplő eleme, zerve tatiu é dinamiu vieledéét. A lineári rendzere tatiu é dinamiu vizgálatára három alapvető módzer alault i: az időtartományban, az operátortartományban é a frevencia tartományban végzett vizgálat. A vizgálat célja valójában az, hogy válazt adjun arra érdére, milyen matematiai formulával definiálható a lineári rendzer imenő é bemenő jele özötti apcolat. Az időtartományban a rendzer vieledéét a rendzert leíró differenciálegyenlet megoldáa adja. Legtöbbzör a tipiu vizgáló jeleel gerjeztjü a rendzert, az ezere adott válaz jellemző a rendzerre, a apott imenőjelből öveteztethetün a rendzer belő felépítéére. Az operátortartományban végzett vizgálat valójában tranzformáció. A Fourier vagy a gyarabban alalmazott Laplace tranzformációval a rendzert leíró differenciál egyenletet algebrai egyenletté alaítju át. Ezt övetően az algebrai egyenlet megoldáát az időtartományba vizatranzformálju. A frevencia tartománybeli vizgálat arra ad válazt, hogyan vizi át a rendzer a ülönböző örfrevenciájú zinuzo jeleet. Mivel a gerjeztő függvény Fourier - orba fejthető, vagy Fourier integrál alajában írható fel, egyben arra i válazt apun, hogyan cillapítja é milyen fázieltolái zöggel módoítja a rendzer a bemenőjel özetevőit. Az egye özetevőre adott válazoat özegezve megaphatju a imenőjelet. Az egye módzereet özehaonlítva megállapíthatju, hogy a legzemléleteebb eredményt az időtartománybeli vizgálat adja, legönnyebben az operátor tartományban zámolhatun, a frevencia tartománybeli vizgálat zámítátechniailag vizonylag egyzerű é eléggé zemlélete eredményt i ad. A zabályozái örben a zerve, eleme valamilyen módon apcolódna egymához. A apcolódá, az egymára hatá legjobban a hatávázlattal zemléltethető. A hatávázlatban az egye tago oroan, párhuzamoan, vagy vizacatoláo formában apcolódhatna egymához. Az özeapcolt tago eredő átviteli függvényét zámíthatju; oro apcolá eetén a tago átviteli függvényéne özezorzáával, párhuzamo apcolá eetén a tago átviteli függvényéne özeadáával, míg vizacatolá eetén az előrevezető ág oztva egy, 9
mínuz pluz az előrevezető ág zorozva vizavezető ág átviteli függvényével. Eze az eljáráo lehetőéget biztoítana arra, hogy a zabályozái örö hatávázlatát egyzerűítü, átteinthetővé tegyü. 3
4. Lineári tago jelátviteli tulajdonágai A imenőjel é a bemenőjel özti apcolat alapján a zabályozái tago alaptípuait a övetezőéppen coportoítju: Ideáli alaptago o Arányo (P) tag o Integráló (I) tag o Differenciáló (D) tag Tároló tago o Egytároló (T) tag o Kéttároló (T) tag o Holtidő (Th) tag Vizgálju meg ezen tago jellemző függvényeit. 4.. Ideáli alaptago 4... Arányo (P) tag Jellemzője, hogy imenőjele a bemenőjellel arányo (élelteté-mente arányo tagna i nevezi, mivel a bemenőjel hatáa rögtön megjeleni a imenetén). Az arányo tag imenő- é bemenőjele özötti özefüggée: a) Időtartományban: A P tag imenőjele x ( t) Apxb ( t) (differenciál egyenlete időtartományban) Átmeneti függvénye: v( t) Ap( t) Súlyfüggvénye: w( t) Apδ( t) Az átmeneti é úlyfüggvényüet a 4...ábra zemlélteti. 3
4... ábra b) Operátortartományban: Átviteli függvénye: Y() be ( ) i Ap. Amplitúdó örfrevencia diagramja vízzinte egyene, é fázieltolái zöge minden frevencián nulla. c) Frevenciatartományban: i ( jω) Frevenciafüggvénye: Y ( jω) A ( jω) A P tag Nyquit-diagramja egyetlen pont (4... b ábra) Bode-diagramja a 4... ábrán látható. be p 4... ábra Gyarabban előforduló arányo tago: potenciométer, eletroniu erőítő, fotocella tb. 4... Integráló (I) tag Jellemzője: az integráló tago imenetén állandóult állapotban a bemenőjel integráljával arányo jel jön létre. Az integráló tag imenetén a jel állandóan nő, ha bemenetére bármilyen i pozitív jel i erül. Az integráló tago főleg nagypontoágú zabályozáonál játzana zerepet. Az integráló tag imenő- é bemenőjele özötti özefüggée: 3
a) Időtartományban: dx ( t) Az I tag differenciál egyenlete: Ti xb ( t) dt Átmeneti függvénye: v(t) T i t dv ( t) Súlyfüggvénye: w(t) ( t) dt T Az átmeneti é úlyfüggvényü a 4... ábrán látható i b) Operátortartományban: 4... ábra Átviteli függvénye: i Y T be i Határozzu meg a tag Bode diagramját. A logaritmiu amplitúdó jelleggörbe ifejezée: Y ( jω) ωt [ db ] log log ωt i Tehát log ω, vagy log ωt i függvényében egy db/deád meredeégű egyene, mely egyene az /T i örfrevencián metzi a db-e tengelyt. Fázitoláa minden frevencián -9. A Bode-diagram a 4... ábrán látható. i 33
4... ábra c) Frevenciatartományban: ( jω) i Frevenciafüggvénye: Y(jω ) Y ( jω) ( jω) be jω T i Az I tag Nyquit-diagramja a épzete tengely negatív felére ei, a görbe alaja az időállandó megváltozáával nem változi, ca a örfrevencia álázáa. A Nyquitdiagramja a 4...3 ábrán látható. 4...3 ábra Integráló tag például az egyenáramú zervomotor, ha a imenőjele a zögelfordulá. 4..3. Differenciáló (D) tag A differenciáló tago imenőjele állandóult állapotban arányo a bemenőjel deriváltjával. A differenciáló tagot aor itatju be a zabályzái örbe, ha a ör műödéét valamelyi jel változáától aarju függővé tenni. Az differenciáló tag imenő- é bemenőjele özötti özefüggée: a) Időtartományban: 34
A D tag imenőjele: x Átmeneti függvénye: v( t) Tdδ( t) dx b( t) ( t) Td (differenciál egyenlete időtartományban) dt Súlyfüggvénye: w( t) T d dδ( t) dt Az átmeneti é úlyfüggvényü a 4..3. ábrán látható. b) Operátortartományban: 4..3. ábra Átviteli függvénye: Y be i T d Amplitudó-jelleggörbéje egy +db/deád meredeégű egyene, mely egyene az /T d örfrevencián metzi a db tengelyt. A Bode-diagram a 4..3. ábrán látható. c) Frevenciatartományban: 4..3. ábra Frevenciafüggvénye: Y ( jω) ( jω) i ( jω ) jωt d, be 35
A D tag Nyquit-diagramja a épzete tengely pozitív felére ei, a görbe alaja az időállandó megváltozáával nem változi, ca a örfrevencia álázáa. A fázieltolái zög minden frevencián +9. A Nyquit-diagramja a 4..3.3 ábrán látható. 4..3.3 ábra A valóágban a tizta D tag nem realizálható, realizálni a D tagot ca valamilyen tároló hatáal együtt lehetége. 4.. Tároló tago 4... Egytároló (T ) tag Az egytároló tag egy energiatárolót tartalmaz, imenőjelü állandóult állapotban egyenlő a bemenőjellel. Az egytároló tag imenő - é bemenőjele özötti özefüggée: a) Időtartományban: dx ( t) T tag differenciál egyenlete: T + x ( t) xb ( t) dt A Átmeneti függvénye: v(t) T t T Súlyfüggvénye: w(t) e T e t Az átmeneti é úlyfüggvénye a 4... ábrán látható. 36
4... ábra b) Operátortartományban: Átviteli függvénye: Y i be + T Határozzu meg az egytároló tag Bode-diagramját. A logaritmiu amplitúdó jelleggörbe ifejezée: Y a fázi jelleggörbe egyenlete [ db ] log Y ( jω ) log log + ω T + ω T Im Y ( jω) ϕ ( ω) arctg arctg ωt Re Y ( jω) Vizgálju meg a logaritmiu amplitúdó jelleggörbe menetét: ha ω oal iebb mint T aor [ db ], Y, ha ω oal nagyobb mint T aor Y [ db ] log ωt. A tag Bode diagramja i örfrevenciáon tehát a db-e tengellyel egybeeő egyene, nagyobb örfrevenciáon egy db/deád meredeégű egyene. A özelítő é a valódi diagram özött a legnagyobb eltéré az ω örfrevencián a legnagyobb (értée T 3dB). A fázi-jelleggörbe i örfrevenciá eetén a, nagy örfrevenciá eetén pedig a -9 tengelyhez imul. A fázieltolá értée az ω örfrevencián 45 T. A Bode-diagram a 4... ábrán látható. 37
4... ábra c) Frevenciatartományban: Frevenciafüggvénye: ( jω) i Y ( jω), ( jω) + jωt be A T tag frevenciafüggvénye lineári törtfüggvény, ezért elvileg a Nyquit diagramja ör lenne. Mivel a örfrevencia nem lehet negatív, a jelleggörbe félör, amely a való tengely pontjából indul i, é a omplex zámí origójába fut be (miözben a frevencia özött változi). Egy ört három pontja már meghatároz, ezért elegendő az előző ét ponton ívül még egyet ell meghatározni. Legyen ez a pont az pont. Ezt a pontot a frevenciafüggvényből zámíthatju. ω örfrevenciához tartozó T Az ( jω) i Y ( jω) ω értéet behelyetteítve: ( jω) T j T + j be + T (ezt omplex onjugáltjával bezorozva) j j Y( jω ) * j + j j Tehát megaptu a ör harmadi pontját, mely alapján a Nyquit diagram megrajzolható. Az eredményből látható, hogy ezen a frevencián a fázieltolái zög 45. Az örfrevenciát aro-örfrevenciána nevezzü. ω T Az egytároló tag Nyquit diagramját a 4...3 ábra mutatja. Az ábrából itűni a Nyquitdiagram egy orábban már említett hátránya, hogy a T időállandó megváltoztatáával a 38
jelleggörbe alaja nem változi, ca a örfrevencia álázáa lez má. Tehát a paraméterváltozáo hatáát zemléleteen nem türözi. 4...3 ábra Egytároló tag például az egyenáramú ülőgerjeztéű motor, melyne fordulatzáma a apocfezültégtől függően változi. 4... Kéttároló (T) tag A éttároló (vagy máodrendű tároló) tag ét energiatárolót tartalmaz. Az éttároló tag imenő- é bemenőjele özötti özefüggée: d x ( t) dx ( t) A T tag differenciál egyenlete: T + T + x ( t) x ( t) b dt dt i Átviteli függvénye: Y + T + T be A tag átmeneti függvénye az átviteli függvény egítégével határozható meg. Ehhez alaítu át az átviteli függvény nevezőjét: T + T + T + ζ T + T, ahol T T é ζ a cillapítái tényező. T Eze alapján az átmeneti függvény Laplace-tranzformáltja: L [ v( t )] V ) Y ( + ζt + T b( A megoldához tegyü egyenlővé a nevezőt -val, é oldju meg -re. Az egyi gyö p, a mái ét gyööt jelölje p, p 3. A cillapítái tényező függvényében három eetet ülönböztetün meg: ) 39
a) ζ >, eor p,3 ζ ± ζ, ilyenor az átmeneti függvény aperiodiu T T lefolyáú: 3 v( t) + pt p t + C e C e ; a úlyfüggvény: b) ζ <, eor p é p 3 onjugált omplex zámo, azaz: pt p3t y( t) C p e + C p e 3. p ζ ± j T T,3 ζ α ± jω, l ahol ζ α a cillapítái itevő; é T ω ζ T l a lengéi örfrevencia, az αt α átmeneti függvény: v( t) e (co ω + in ωt) l l, a úlyfüggvény az átmeneti ω l függvény deriváláából: t y( t) e α in ωt l. ωt l A cillapítái tényező fenti értéénél az átmeneti é a úlyfüggvényben mutatozó lengée miatt a tagot lengő tagna i nevezi. A lengée cillapodáána mértéét az α cillapítái itevő, illetve a cillapítái tényező határozza meg. c) ζ p p3, tehát a arateriztiu egyenletne ét egybeeő gyöe van: α t átmeneti függvény: v( t) e ( + αt ), úlyfüggvény: t T y( t) te T. Az átmeneti é a úlyfüggvényt mindhárom eetre a 4... ábra mutatja. 4... ábra A tag vieledée tehát a cillapítái tényező értéétől függ. Ha ζ <, aor lengő tagról bezélün (minél iebb a cillapítái tényező, annál nagyobb a éttároló tag lengéhajlama). 4
Ha ζ >, az átmeneti é úlyfüggvény ét exponenciáli tag özegéből áll. Ilyenor a ét függvény aperiodiu lefolyáú. Ha ζ, határeet áll fenn ilyenor a ét függvény lefolyáa még éppen aperiodiu. A éttároló tag frevenciafüggvénye: Y ( jω) + jωζt + ( jω) T Ha ζ >, a frevenciafüggvény ét törtfüggvény zorzatára bontható (megfelel ét orba- apcolt egytároló tagna): Y ( jω) Y ( jω) Y ( jω) a b + jωt + jωt A Nyquit diagramot a ét tag özezorzáából apju meg. Mindét tag Nyquit-diagramja ugyanaz a félör ca a örfrevencia álázáában ülönbözne. (ζ eet i ez alapján zámolható) Ha ζ <, a Nyquit-diagram pontonént zerezthető meg. Az alaja haonló az előző eethez, vizont amior ζ >, az ω növeléével az amplitúdó cöen, de amior ζ <, az ω növeléével az amplitúdó növevő jellegű i lehet, mely növeedé mértée a ζ értéétől függ. A T tag Nyquit-diagramja a való tengely pontjából indul, é a omplex zámí pontjába fut be. A jelleggörbe ét ínegyeden halad át, mivel a ét T tag fázieltolái zöge özeadódi. A Nyquit-diagram a 4... ábrán látható. a b 4... ábra A éttároló tag Bode-diagramja -nél nagyobb cillapítái tényező eetén a ét ülönböző időállandójú tag özegzéével határozható meg. ζ > eetén a Bode-diagram a 4...3 ábrán látható. [ db ] lg Y ( jω) Y ( jω) lg Y ( jω) lg Y ( j ) Y ω + e a b a b 4