K szimbólumból képezett pszeudovéletlen sorozatok

K szimbólumból képezett pszeudovéletlen sorozatok BSc Szakdolgozat Deák Attila Alkalmazott matematikus szak Témavezet : Sárközy András, Professzor Emeritus és Gyarmati Katalin, adjunktus Algebra és Számelmélet Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem, Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar 2014

Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 4 2. A pszeudovéletlen bináris sorozatok 6 2.1. A pszeudovéletlen bináris sorozatok mértékei.............. 6 2.2 A Legendre szimbólum pszeudovéletlensége............... 12 2.3. Megengedhet ségi feltételek....................... 17 3. A k szimbólumból képezett pszeudovéletlen sorozatok 20 3.1. Bevezetés................................. 20 3.2. Az f mértékek.............................. 21 3.3. A k adrend multiplikatív karakterek pszeudovéletlensége...... 23 3.4. A k megengedhet ségi feltételek.................... 27 3.5. Három új konstrukció........................... 30 4. Más típusú mértékek 33 4.1. Az ε mértékek.............................. 33 4.2. Az f mértékek és az ε mértékek közötti kapcsolat.......... 35 4.3. A (E N ) és Γ l (E N ) becslése...................... 37 4.4. Egy konstrukció.............................. 42 4.5. A k = 4 eset................................ 44 2

TARTALOMJEGYZÉK 3 5. A k szimbólumból képezett pszeudovéletlen rácsok 47 5.1. Bevezetés................................. 47 5.2. A k szimbólum esete........................... 48 5.3. Egy konstrukció.............................. 49 6. Alkalmazás 52 6.1., Γ 1, Γ 2 mértékek............................ 52 6.1.1. Példa 1............................... 52 6.1.2. Példa 2............................... 53 6.1.3. Példa 3............................... 54 6.1.4. Példa 4. (Gray mapping).................... 56 6.2. A k=8 eset................................ 57

1. fejezet Bevezetés A véletlen sorozat bizonytalan fogalmán olyan sorozatot értünk, amelynek kés bbi elemeit az avatatlan személy nem tudja megjósolni; továbbá jól vizsgázik néhány szokásos statisztikai próbán; ezeknek a próbáknak a megválasztása némileg attól is függ, mire akarjuk a sorozatot használni. ( D.H.Lehmer) A kriptográában rendkívül fontos szerepet játszanak a valamilyen értelemben véletlen bit sorozatok. Ilyen sorozatok felhasználására épül az úgynevezett Vernam cipher titkosítási rendszer, amely Gilbert Sandford Vernam (1890-1960) amerikai matematikusról kapta a nevét. A módszer ismertetéséhez vegyünk egy A M = {a 1,..., a M } {0, 1} M bitsorozatot (titkosítandó információ), majd tekintsünk egy E M = {e 1,..., e M } {0, 1} M véletlen vagy pszeudovéletlen bitsorozatot (a one time pad 1 a Vernam cipher speciális esete, amikoris E M véletlen). Az A M titkosításához adjuk össze a i, e i (i = 1,..., M) elemeket modulo 2, így kapjuk a titkosított F M = {f 1,..., f M } szöveget, azaz f i = a i ei (i = 1,..., M), ahol a m velet a bitenkénti összeadás modulo 2. Az E M kulcs tudása nélkül F M -b l nem nyerhet vissza A M, de ha rendelkezünk vele, akkor könnyedén az f i ei = a i m veletet elvégezve visszanyerjük az eredeti információt. Az eljárás hátránya, hogy az E M sorozatnak ugyanolyan hosszúnak kell lennie, mint az A M sorozatnak, az el nye a feltörhetetlenség, amely nagyban függ a kulcs véletlenségét l. Ehhez vehetünk egy véletlen bit generátort. 1 másnéven egyszer használatos kulcs 4

FEJEZET 1. BEVEZETÉS 5 Definíció. A véletlen bit generátor egy olyan algoritmus (készülék), amely statisztikusan független és torzítatlan biteket állít el. A véletlen bit generátorokat napjainkban felváltotta a pszeudovéletlen bit generátorok használata. Definíció. Egy pszeudovéletlen bit generátor ez egy olyan algoritmus, amely egy valóban véletlen k hosszú bináris sorozatot (mag) megadva, abból egy l hosszú ( l > k) véletlenszer nek t n bináris sorozatot (pszeudovéletlen bináris sorozat) készít. A kriptográai alkalmazásokban két fontos tulajdonságot keresünk a pszeudovéletlen bináris kulcsok esetében, az egyik az egyenletes 0-1 eloszlás, a másik a megjósolhatatlanság, ami alatt azt értjük, hogy ha adott a sorozatunkban k bit, akkor a következ (k+1)-edik bitet legfeljebb 1/2 valószín séggel találhassuk ki. Definíció. A pszeudovéletlen bit generátor kielégíti a következ bit tesztet, ha nem létezik olyan polinomiális algoritmus, amelyre az els k jegy ismeretében a (k+1)-edik jegy 1/2-nél lényegesen nagyobb valószín séggel megjósolható. A deníciónak több hibája is van. Az egyik, hogy a nem létezés bizonyítása legtöbbször lehetetlen feladat, másrészr l pszeudovéletlen generátorokat min sít és nem pszeudovéletlen sorozatokat, így ez nem használható a gyakorlatban. Emiatt C. Maudit és A. Sárközy 1997-ben kifejlesztett egy új elméletet bináris sorozatok pszeudovéletlenségére [1]. Jelen szakdolgozatom célja ennek az elméletnek a bemutatása, illetve általánosítása k szimbólumok, azaz k elem halmazból vett sorozatok esetére. Az 2. fejezetben bináris sorozatokkal foglalkozom, majd a 3. fejezett l térek ki a k szimbólumok részletezésére, és a legvégén egy alkalmazott matematikai feladat leprogramozásával zárom le a témát. A szakdolgozatban technikai okokból a 0-1 sorozatok helyett a ±1 sorozatokat vizsgálom (az ilyen sorozatok között egy-egy értelm megfeleltetés létesíthet ). Az. 6. fejezetben szerepl feladatok kiszámítására a MAPLE programot használtam.

2. fejezet A pszeudovéletlen bináris sorozatok 1 2.1. A pszeudovéletlen bináris sorozatok mértékei Miel tt deniálnánk bináris sorozatok pszeudovéletlenségének C. Mauduit és A. Sárközy által 1997-ben [1] bevezetett különböz kvantitatív mértékeit, megadjuk, hogy mik azok a véletlenségi tulajdonságok, amiket elvárunk majd ezekt l, a kés bb bemutatott mértékekt l. Legel ször három tulajdonságot adunk meg, ezek a következ ek : 1. normalitás; 2. számtani sorozatok mentén egyenletes eloszlás; 3. kis rend korreláció. Vegyünk egy végtelen E = (e 1, e 2,...) sorozatot, amelynek elemei a { 1, 1} halmazból származnak. Legyen k, M, b N, X = (x 1,..., x k ) { 1, 1} k, a Z és D = (d 1,..., d k ) N k, d 1 <... < d k. Ekkor használjuk az alábbi jelöléseket : T (E, M, X) = {n : 0 n < M, (e n+1, e n+2,..., e n+k ) = X} (2.1) U(E, M, a, b) = M e a+jb (2.2) j=1 V (E, M, D) = M 1 e n+d1...e n+dk (2.3) n=0 1 A könnyebb szóhasználat érdekében, pontosabban er s pszeudovéletlen tulajdonságokkal rendelkez bináris sorozatok. 6

FEJEZET 2. A PSZEUDOVÉLETLEN BINÁRIS SOROZATOK 7 Az E normalitási tulajdonsága teljesül (Knuth [5] használta még a eloszlású kifejezést is), ha T (E, M, X) M 2 k = o(m), x k-ra, M-re, ahol M ; ezenkívül a másik két tulajdonságra is igaz, hogy U(E, M, a, b) = o(m), V (E, M, D) = o(m), x a, b, D-re és M. Ebb l a normalitási tulajdonságából (E normalitása) következik Niven és Zuckermann [25] szerint, hogy E teljesíti a 2. fent említett tulajdonságot, azaz E-t (m, k) eloszlásúnak mondjuk (k, m N), másszóval E normális, mint a számtani sorozatok m dierenciával és k szóhosszal. Ebb l azt is látjuk, hogy a végtelen bináris sorozatok esetében elegend a normáltsági tulajdonság teljesítése. Most térjünk rá a véges bináris sorozatok esetére. Knuth az alábbi módon deniálta véges bináris sorozat pszeudovéletlenségét [5]. 2.1.1 Deníció. Adott E N = (e 1, e 2,..., e N ) { 1, 1} N véges bináris sorozatot pszeudovéletlennek mondjuk, ha bármely k N, k logn, és bármely X { 1, 1}k log2 sorozatra teljesül, hogy T (EN, N + 1 k, X) N+1 k 2 1 k N. Ez a defíníció arra enged minket következtetni, hogy egy sorozat vagy jó (azaz pszeudovéletlen) vagy rossz (azaz nem pszedovéletlen) lehet. El fordulhat azonban olyan eset, hogy a 2.1.1 Denícióban szerepl egyenl tlenség nem teljesül, de 2 N -re például az egyenl ség érvényessége megmarad, ilyenkor a sorozat nem feltétlenül elvetend. Ezokból kifolyólag szükségünk van további véletlenségi tulajdonságokra. 4. A bináris sorozatok pszeudovéletlenségének kifejezhet nek kell lennie egy valós érték, az összes véges bináris sorozaton értelmezett függvény által. Egy újabb következmény legyen, hogy 5. a 4.-ben említett függvénynek jól becsülhet nek kell lennie, legalább bizonyos szép sorozatok esetében. És a legvégs követelményünk pedig 6. ennek a pszeudovéletlenségi mértéknek legyenek különböz szintjei, és képesnek kell lenniük legalább az alacsony rend mértékek becslésére. Most már bemutathatjuk az általunk kés bb sokat használt pszeudovéletlenségi mértékeket. Legel ször is azokat adjuk meg, amelyek teljesítik a fent említett 1-3. véletlenségi tulajdonságokat.

FEJEZET 2. A PSZEUDOVÉLETLEN BINÁRIS SOROZATOK 8 Ehhez vegyünk egy véges bináris E N = (e 1,..., e N ) { 1, 1} N sorozatot. 2.1.2. Deníció. Az E N k-rend normális mértéke : N k (E N ) = max X { 1,1} k max T (E N, M, X) M. (2.4) 0<M N+1 k 2 k 2.1.3. Deníció. Az E N normális mértéke : N(E N ) = max N k (E N ). (2.5) k logn log2 2.1.4. Deníció. Az E N eloszlási mértéke : W (E N ) = max a,b,t U(E N, t, a, b), ahol a Z,b, t N és 1 a + b a + tb N. (2.6) 2.1.5. Deníció. Az E N k-rend korrelációs mértéke : C k (E N ) = max M,D V (E N, M, D), ahol D = (d 1,..., d k ) és M + d k N. (2.7) 2.1.6. Deníció. Az E N korrelációs mértéke : C(E N ) = max C k (E N ) vagy C (E N ) = k logn log2 k=1 C k (E N ) 2 k. (2.8) 2.1.7. Deníció. Az E N k-rend kombinált mértéke : Q k (E N ) = max Z(a, b, t, D), ahol Z(a, b, t, D) = t e a+jb+d1...e a+jb+dk és a,b,t,d a Z,b, t N, D = (d 1,..., d k ), a + jb + d l {1,..., N}. (2.9) 2.1.8. Deníció. Az E N kombinált mértéke : Q(E N ) = max Q k (E N ) vagy Q (E N ) = Q k (E N )/2 k. (2.10) k logn log2 k=1

FEJEZET 2. A PSZEUDOVÉLETLEN BINÁRIS SOROZATOK 9 A (2.9) és a (2.10) mértékek a (2.6)-(2.7) és a (2.6)-(2.8) mértékek kombinációja révén keletkeztek. Az alábbi állításban összehasonlítjuk a t rendű korrelációs mértékét és a k rendű normális mértékét egy adott véges E N { 1, 1} N sorozatnak. Emiatt a kés bbiekben elég a korrelációs mértékkel (és az eloszlási mértékkel) foglalkoznunk. 2.1.9. Állítás. Bármely N, E N és k < N esetén N k (E N ) max 1 t k C t(e N ). Bizonyítás. Bármely k, N N és X = (x 1,..., x k ) { 1, 1} k, 1 M N + 1 k mellett igaz a (2.1) felhasználva, hogy T (E N, M, X) M = 2 k {n : 0 n < M, (e n+1,..., e n+k ) = X} M = 2 k = M 1 x 1...x k n=0 1 2 k k (e 2 k n+j +x j ) M = 2 k D D {1,2,...,k} j=1 k V (E N, M, D) 1 2 k x 1...x k ( 2 k 1 d 1 <...<d t k j {1,...,k} {d 1,...,d t} t=1 a (2.3) és (2.7) közti összefüggést. ( k ) Ct (E t N ) max x j ) M 1 e n+d1...e n+dt n=0 1 t k C t(e N ). Ahol felhasználtuk Ezekután adjunk példát olyan esetre, hogy az E N normális mértéke és az eloszlási mértéke is kicsi, de a korrelációs mértéke nagyon nagy. 2.1.10. Példa. Adott egy véges bináris sorozat, E N { 1, 1} N, amelynek a normális mértéke és az eloszlási mértéke lehet leg legyen kicsi. Majd megadunk egy másik véges bináris sorozatot, E 2N = (e 1,..., e 2N ) { 1, 1}2N, ahol e e n, n = e n N, 1 n N N < n 2N. Ekkor mind a normális mértéke, mind az eloszlási mértéke E 2N-nek kisebb egy konstans szorzóval, mint E N esetében, viszont C 2 (E N ) N e ne n+n = N. Következmény. Ahhoz, hogy egy véges bináris sorozatot pszeudovéletlennek nevezzünk abban az értelemben, hogy a fent említett 1-3. véletlenségi tulajdonságokat teljesíti elég, ha belátjuk, hogy az eloszlási mérték és a korrelációs mérték kicsi. Vegyünk ismételten egy E N { 1, 1} N véletlen bináris sorozatot, ahol az egyes elemeket 1/2 N valószín séggel választottuk, ekkor a 2.1.9. és 2.1.10. tételben megmutatjuk, hogy az eloszlási mérték és a k rend korrelációs mérték nagyjából N körül

FEJEZET 2. A PSZEUDOVÉLETLEN BINÁRIS SOROZATOK 10 ingadozik. Ezen tételek bizonyításából csak az i.) pontok bizonyítását közöljük, a ii.) pontok bizonyítása megtalálható a [8] cikkben. 2.1.11. Tétel. Bármely ε > 0 mellett létezik olyan N 0 = N 0 (ε) és δ = δ(ε), hogy N > N 0 esetén i.) P (W (E N ) > δn 1/2 ) > 1 ε, ii.) P (W (E N ) > 6(NlogN) 1/2 ) < ε. Bizonyítás. N Mivel W (E N ) U(E N, N, 1, 1) = e j, ezért j=1 P (W (E N ) > δn 1/2 N ) P ( e j > δn 1/2 ). j=1 Így elég belátni, hogy P ( N e j > δn 1/2 ) > 1 ε. j=1 Ha h = {j : 1 j N, e j = 1}, akkor (2.11) N e j = {j : 1 j N, e j = 1} {j : 1 j N, e j = 1} = N 2h. j=1 Mivel a (2.11) sorban szerepl egyenl ség 1 2 N ( N h) valószín séggel teljesül, P ( N e j > δn 1/2 ) = 1 j=1 ( N 2 N h h: N 2h >δn 1/2 ). (2.12) Azonban a binomiális eloszlásról ismertek miatt, bármely ε > 0-hoz létezik egy η = η(ε) > 0, hogy ) > (1 ε)2 N. (2.13) h: h N/2 >ηn 1/2 ( N h

FEJEZET 2. A PSZEUDOVÉLETLEN BINÁRIS SOROZATOK 11 Ha δ = 2η(ε) használunk, akkor a (2.12) és (2.13) sorokból megkapjuk, amit szerettünk volna belátni. 2.1.12. Tétel. Minden k N, k 2 és bármely ε > 0 mellett létezik olyan N 0 = N 0 (ε, k) és δ = δ(ε, k), hogy N > N 0 esetén i.) P (C k (E N ) > δn 1/2 ) > 1 ε, ii.) P (C k (E N ) > 5(kNlogN) 1/2 ) < ε. Bizonyítás. i.) Triviálisan adódik (2.7) felhasználva, hogy P (C k (E N ) > δn 1/2 ) P ( [N/2] k e n e n+1...e n+[n/2] > δn 1/2 ). (2.14) Ezért elég belátni, hogy (2.14) jobb oldala nagyobb, mint (1 ε). Bármely u = (e n,..., e n+k 2 ) esetén írjunk f n = e n...e n+k 2 és f n g n = e n+[n/2]. Emiatt [N/2] k e n e n+1...e n+[n/2] = [N/2] k g n, ahol g n { 1, 1}. Az e n,..., e n+k 2 és így g n elemeit 1/2 valószín séggel választjuk, ezért P ( [N/2] k g n > δn 1/2 ) > 1 ε. Írjunk ismét {n : 1 n [N/2] k, e n = 1} = h-t. Ekkor [N/2] k g n = [N/2] k 2h és P ( [N/2] k g n > δn 1/2 ) = = ( 1 [N/2] k 2 [N/2] k h h: (1/2)([N/2] k) h >(δ/2)n 1/2 ). (2.15)

FEJEZET 2. A PSZEUDOVÉLETLEN BINÁRIS SOROZATOK 12 Fix k és elég kicsi δ = δ(ε) és N > N 0 (ε, k) mellett (2.15) választás valóban nagyobb, mint 1 ε. Felhasználva, hogy (2.14) alsó becslése egyértelm bármely e 1,..., e [N/2] választás esetén, a bizonyítást befejeztük. Alakítsuk most át a 2.1.10. Példát olyan értelemben, hogy a véges bináris E N sorozat tagjaira e e n, 1 n N n = e 2N n, N n 2N elemeket vegyük. Megtartva a 2.1.10. Példa feltételeit ekkor azt tapasztaljuk, hogy E 2N korrelációs mértéke és eloszlási mértéke kisebb egy konstans szorzóval, mint E N -nek. Így E 2N-et pszeudovéletlen sorozatnak kellene tekintenünk, viszont ez ellentmond E 2N szimmetriájának. Ebb l adódóan, ha egy véges sorozat tartalmaz egy viszonylag nagy szimmetrikus részsorozatot, akkor nem lehet tipikus véletlen sorozat. Következmény. Ezek a meggondolások azt is mutatják, hogy a mértékek közt nincsen egy univerzálisan jó, hanem az egyes mértékek az alkalmazások jellegét l függ en kaphatnak nagyobb hangsúlyt. Végül bevezetjük az utolsó bináris sorozatoknál használt mértéket, amelyet az el z ekben leírt szimmetria probléma inspirált. A (2.16) mértékét csak megemlítjük érdekesség gyanánt, a kés bbiekben nem használjuk. 2.1.13. Deníció. Az E N szimmetria mértéke : S(E N ) = max H(E N, a, b = max a<b a<b [(b a)/2] 1 e a+j e b j, ahol 1 a < b N. (2.16) Megjegyzés. A [9] cikkben a K. Gyarmati megmutatta, hogy egy véletlen E N sorozat szimmetria mértéke N körüli. 2.2 A Legendre szimbólum pszeudovéletlensége Ebben a részben alkalmazzuk a 2.1.6. Denícióban bevezetett korrelációs mértéket; egy Legendre szimbólumok felhasználásával konstruált sorozat vizsgálatára fogjuk alkalmazni, mint ezt az alábbi tétel mutatja.

FEJEZET 2. A PSZEUDOVÉLETLEN BINÁRIS SOROZATOK 13 2.2.1. Tétel. Adott p 0 olyan, hogy ha p > p 0 prímszám, k N, k < p, és ha E p 1 = (( 1), ( 2 p 1 ),..., ( )) Legendre szimbólumok sorozata, akkor p p p Q k (E p 1 ) 9kp 1/2 logp. Azaz N = p 1 helyettesítés esetén Q(E N ) = max Q k (E N ) 27N 1/2 (logn) 2 és Q (E N ) = k logn log2 k=1 Q k (E N ) 2 k 33N 1/2 logn. Az 2.2.1.Tétel bizonyítása során a következ tételt használjuk majd fel, amelyet csak kimondunk, nem bizonyítunk. A bizonyítás (amely A. Weil egy mély tételére épül) megtalálható a [1] cikkben. 2.2.2. Tétel. Legyen p prímszám, χ egy d rendű nem f karakter modulo p (azaz d p 1), f(x) F p [x] egy k fokú polinom és f(x) = b(x x 1 ) d 1...(x x s ) ds F p ben, ahol x i x j (i j) és (d, d 1,..., d s ) = 1. Emellett vegyünk X, Y valós számokat (0 < Y p). Ekkor χ(f(n)) < 9kp1/2 logp. X<n X+Y 2.2.3. Következmény. Ha p,f(x), mint 2.2.2. Tételben, de nem f(x) b(g(x)) 2 alakú (b F p, g(x) F p [x]). Emellett X, Y valós számok (0 < Y p), ekkor (n/p), (n, p) = 1 χ p = 0 p n esetén X<n X+Y χ p(f(n)) < 9kp1/2 logp. Bizonyítás(2.2.2. Tétel). A bizonyításhoz szükségünk lesz még két lemmára, amelyeket csak felhasználunk, nem bizonyítunk. A bizonyítások megtalálhatóak a [10] és [11] cikkekben. 2.2.4. Lemma. Ha p, χ, d, f(x), k mint a 2.2.2.Tétel szerint és a Z, akkor χ(f(x))e( ax) p kp1/2. x F p 2.2.5. Lemma. Ha m N,g(x) : Z C m periódusú függvény és X, Y valós számok (Y>0), akkor

FEJEZET 2. A PSZEUDOVÉLETLEN BINÁRIS SOROZATOK 14 X<n X+Y g(n) m Y +1 m g(n) + 1 h m 2 m h 1 g(n)e( hn). m Visszatérve a tétel bizonyításához, használjuk el ször a 2.2.5. Lemma állítását p, χ(f(n)) helyett m, g(n) jelöléssel, majd alkalmazzuk a 2.2.4. Lemma egyenl tlenségét a következ képpen : X<n X+Y χ(f(n)) Y +1 p p χ(f(n)) + 1 h p 2 h 1 p χ(f(n))e( hn) < p < 2kp 1/2 + 2 h 1 kp 1/2 < 2kp 1/2 (1 + (1 + log( p ))) < 2 2kp1/2 (2 + logp) 1 h p/2 2kp 1/2 (2 logp log2 + logp) < 9kp1/2 logp. Végül rátérhetünk a Legendre szimbólumok korrelációs mértékér l szóló tételünk bizonyításához. Bizonyítás(2.2.1. Tétel). Felhasznáva a 2.1.9. Deníciót kapjuk, hogy Z(a, b, t, D) = t ( a+nb+d 1 p n=0 )...( a+nb+d k p ), bármely a, b, t esetén, D = (d 1,..., d k ) és a + nb + d l {1,..., p 1} (n = 0,..., t; l = 1,..., k) mellett. Ezután feltehetjük, hogy b és p relatív prímek és legyen b olyan egész szám, hogy bb 1 (mod p). Ezenkívül h j (j = 1,..., k) jelölje azokat az egészeket, amelyekre h j (a + d j )b (mod p). Ekkor h i más maradékot ad p-vel osztva, mint h j, ahol 1 i < j k. Így Z(a, b, t, D) = t ( ab+n+d 1b )...( ab+n+d kb p p n=0 ahol f(n) := (n + h 1 )...(n + h k ). ) = t ( n+h 1 p n=0 )...( n+h k p ) = t ( f(n) n=0 p ), Felhasználva a 2.2.3.Következményt, X = 1, Y = t+1 (0 < Y t+1 N +1 = p) mellett

FEJEZET 2. A PSZEUDOVÉLETLEN BINÁRIS SOROZATOK 15 Z(a, b, t, D) < 9kp 1/2 logp, így a 2.2.1. Tétel els részét bebizonyítottuk, a másik két rész ebb l következik. Megjegyzés. A 2.2.1.Tétel segítségével megmutattuk, hogy a Legendre szimbólumok jó pszeudovéletlen sorozatot alkotnak, azaz N = p 1, e n = ( n p ), E N = (e 1,..., e N ) jelölés esetén W (E N ) p 1/2 logp N 1/2 logn és C k (E N ) kp 1/2 logp kn 1/2 logn. Mivel a legtöbb alkalmazásban, pl. kriptográában jó pszeudovéletlen sorozatok nagy családjára van szükség, L. Goubin, C. Mauduit, A. Sárközy kiterjesztette a 2.2.1. Tételben szerepl konstrukciót [2]. Adjunk meg most ezt a második konstrukciót, legyen e n = ( f(n) ), ahol f(n) egy F p p feletti polinom. Ebben a konstrukcióban szeretnénk megbecsülni W (E p ) és C l (E p ) értékeit. Ehhez legel ször is szükségünk van a megengedhet ség deníciójára. 2.2.6. Deníció. Ha M N, A, B Z m és az A+B összeg Z m összes elemét páros multiplicitással állítja el, azaz bármely c Z m esetén az a + b = c (a A, b B ) egyenletnek páros számú megoldása van (beleszámítva a triviális megoldást is), akkor az A + B összeget P tulajdonságúnak nevezzük. 2.2.7. Deníció. Ha k, l, m N és k, l m, akkor a (k, l, m) hármast megengedhet nek hívjuk, ha A, B Z m, hogy A = k, B = l és A + B összeg P tulajdonságú. 2.2.8. Tétel. Legyen p prímszám, f(x) F p [x] k fokú (k > 0) polinom, amelynek nincs többszörös gyöke F p ben és E p = (e 1,..., e p ) olyan bináris sorozat, amelynek (f(n)/p), (f(n), p) = 1 elemeire teljesül, hogy e n =. Ekkor 1 p f(n) i.) W (E p ) < 10kp 1/2 logp; ii.) ha l N olyan, hogy (r, l, p) megengedhet hármas bármely r k-ra, akkor C l (E p ) < 10klp 1/2 logp. Bizonyítás. A bizonyítás során szükségünk lesz két lemmára, amelyeket csak kimondunk, a bizonyítások megtalálhatóak a [2] cikkben.

FEJEZET 2. A PSZEUDOVÉLETLEN BINÁRIS SOROZATOK 16 2.2.9. Lemma. Legyen p prímszám, χ d rendű nem f karakter modulo p (azaz d p 1), f(x) F p [x] egy k fokú polinom és f(x) = b(x x 1 ) d 1...(x x s ) ds, ahol x i x j (i j) F p ben és (d, d 1,..., d s ) = 1. Legyen továbbá X, Y valós számok (0 < Y p), ekkor χ(f(n)) < 9kp1/2 logp. X<n X+Y i.) Vegyünk a Z, b, t N, 1 a a+(t 1)b p és g(x) = f(a+bx), g(x) F p [x]. Ebb l következik, hogy g(x) 0 (mod p) egyenletnek legfeljebb k megoldása van, ezért deniálva ( a ) értékét 0-nak, ha p a, kapjuk, hogy p u(e p, t, a, b) = t 1 t 1 e a+jb ( f(a+jb) ) p t 1 + k = ( g(j) p ) + k. Természetesen adódik, hogy f és g foka megegyezik, ezenkívül ha f(x) = c(x x 1 )...(x x k ), ahol x i x j (i j), akkor g(x) = f(a + bx) = cb k (x b 1 (x 1 a))...(x b 1 (x k a)), amib l azonban kapjuk, hogy g(x)-nek nincs többszörös gyöke. Használjuk most fel a 2.2.9. Lemma állítását ( n ), 2 és g(n) helyett χ(n), d és f(n) p felhasználásával. Ekkor u(e p, t, a, b) = t 1 ( g(j) p Ezzel a 2.2.8. Tétel els részét bebizonyítottuk. ) + k < 9kp 1/2 logp + k < 10kp 1/2 logp. ii.) Legyen f(x) = bf 1 (x), b Z p, f 1 (x) egység polinom. Ekkor 0 < d 1 <... < d l, M + d l p, ahol d 1,..., d l egész számok, M N és f(n + d i ) 0 (mod p) (1 n M, 1 i l) kongruenciának legfeljebb kl megoldása van. Írjunk ( 0 ) = 0-t, ekkor igaz, hogy p M M V (E p, M, D) = e n+d1...e n+dl ( f(n+d 1) )...( f(n+d l) ) p p + kl = = ( bl ) M p ( f 1(n+d 1 )...f 1 (n+d l ) ) p + kl.

FEJEZET 2. A PSZEUDOVÉLETLEN BINÁRIS SOROZATOK 17 Ezután az egyszer ség kedvéért használjuk a következ jelölést : h(n) := f 1 (n + d 1 )...f 1 (n + d l ). Ekkor elég belátni a következ lemmát. 2.2.10. Lemma. A h(x)-nek van legalább egy gyöke F p ben, amelynek páratlan a multiplicitása. A 2.2.10. Lemma és a 2.2.9. Lemma ( n ), 2 és h(x) helyett χ, d és f(x) felhasználásával kapjuk, hogy V (E p, t, a, b) ( h(n) ) + kl < 9klp 1/2 logp + kl < 10klp 1/2 p M logp, p ahol felhasználtuk még, hogy h(x) foka kl, és ezzel a 2.2.8. Tétel második részét is bebizonyítottuk. Megjegyzés. A 2.2.8. Tételb l következik, hogy a második konstrukció sorozata is jó pszeudovéletlen tulajdonságokkal rendelkezik. A [2] cikkben a L. Goubin, C. Maudit, A. Sárközy megadtak egy algoritmust, amellyel konstruálni lehet adott p (prím) hosszú pszeudovéletlen bináris sorozatokat. Ez az algoritmus a 2.2.8. Tétel és az alábbi 2.3.1. Tétel kombinációjára épül. 2.3. Megengedhet ségi feltételek Ahhoz, hogy a 2.2.8. Tételt könnyedén használhassuk, szükségünk van a (k, l, p) hármas megengedhet ségére. A következ ekben erre adunk elégséges feltételeket. 2.3.1. Tétel. i.) Bármely p prímszámra, k N, k < p esetén a (k, 2, p) hármas megengedhet ; ii.) Ha p prímszám, k, l N és (4l) k < p, akkor a (k, l, p) hármas megengedhet ; iii.) Ha p prímszám és 2 primitív gyök modulo p, akkor bármely k, l N pár esetén (k < p, l < p) a (k, l, p) hármas megengedhet. Bizonyítás. ([2]) Megjegyzés. Miután sajnos nem tudjuk, hogy az iii.) pontban szerepl feltételek végtelen sok prímszámra teljesülnek-e, ezért a következ kben megadunk jó prímeket, amelyekre biztosan teljesülnek ezek a feltételek. Ehhez el ször deniálnunk kell, hogy mit értünk jó szám alatt.

FEJEZET 2. A PSZEUDOVÉLETLEN BINÁRIS SOROZATOK 18 2.3.2. Deníció. Egy poztív m egész számot jónak nevezünk, ha bármely k, l N (k < m, l < m) párra a (k, l, m) hármas megengedhet. 2.3.3. Tétel. Egy páratlan p prímszámot jónak nevezünk, akkor és csak akkor, ha 2 primitív gyök modulo p. Bizonyítás. Bármely C Z p esetén vegyük a P C (x) F 2 [x] polinomot és P C (x) = c Cx s(c) legyen, ahol s(c) jelölje a legkisebb negatív elemét a c maradékosztálynak modulo P. Megjegyezzük, hogy bármely u Z p esetén a P u+c (x) polinom megegyezik x u P C (x) maradékával modulo (1 + x p ) az F 2 [x]-ben. Ebb l adódik, hogy bármely A, B Z p mellett az A + B összeg P tulajdonságú akkor és csak akkor, ha 1 + x p osztja P A (x)p B (x)-et F 2 [x]-ben. Ha 1 + x +... + x p 1 felbontható F 2 [x]-ben, írjunk 1 + x +... + x p 1 = P 1 (x)p 2 (x), 2 degp i p 3 (i {1, 2}). Ha P 1 (x) = x s(a) és (1 + x)p 2 (x) = a A b Bx s(b), akkor látható, hogy A + B összeg P tulajdonságú, így p nem jó prím. Megfordítva, ha 1+x+...+x p 1 felbonthatatlan F 2 [x] felett, akkor A, B Z p esetén (A + B összeg P tulajdonságú) az 1 + x +... + x p 1 polinomnak osztania kell vagy P A (x)-et vagy P B (x)-et az F 2 [x] felett, amib l A = Z p vagy B = Z p, így p jó prím. Ezzel beláttuk, hogy p prím jó akkor és csak akkor, ha az 1 + x +... + x p 1 polinom felbonthatatlan F 2 [x] felett. A bizonyítás során felhasználtuk, amit a ciklikus polinomokról tudunk, mégpedig, hogy az 1+x+...+x p 1 polinom szétesik p 1 különböz felbonthatatlan polinomra, d mindegyik d fokú F 2 [x] felett, ahol d a legkisebb olyan pozitív egész, hogy 2 d 1 (mod p). Így megkaptuk, hogy 1 + x +... + x p 1 felbonthatatlan F 2 [x] felett, akkor és csak akkor, ha 2 primitív gyök modulo p, amivel a bizonyítást befejeztük. Megjegyzés. Az m egész jó, akkor és csak akkor, ha m = 4, p k vagy 2p k alakú, ahol p egy páratlan prím, k 0 és 2 primitív gyök modulo m. A következ kben megmutatunk néhány olyan példát, amib l látszik, hogy ha p egy nem jó prím, akkor az el z módszer miatt olyan példa van A, B Z p esetén, hogy az A + B összeg P tulajdonságú, azaz k, l N pár esetén a (k, l, p) hármas nem megengedhet.

FEJEZET 2. A PSZEUDOVÉLETLEN BINÁRIS SOROZATOK 19 2.3.4. Példa. Legyen p = 17. Ekkor 1 + x 17 = (1 + x + x 3 + x 6 + x 8 + x 9 )(1 + x + x 2 + x 4 + x 6 + x 7 + x 8 ) az F 2 [x] felett. Ebb l kapjuk, hogy A = {0, 1, 3, 6, 8, 9} és B = {0, 1, 2, 4, 6, 7, 8} esetén az A+B összeg P tulajdonságú és (6, 7, 17), (7, 6, 17) hármasok nem megengedhet ek. 2.3.5. Példa. Legyen p = 31. Ekkor 1 + x 31 = (1 + x 2 + x 5 )(1 + x 2 + x 4 + x 5 + x 6 + x 8 + x 9 + x 13 + x 14 + x 15 + x 16 + x 17 + x 20 + x 21 + x 23 + x 26 ) az F 2 [x] felett. Ebb l kapjuk, hogy A = {0, 2, 5} és B = {0, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 13, 14, 15, 16, 17, 20, 21, 23, 26} esetén az A + B összeg P tulajdonságú és (3, 16, 31), (16, 3, 31) hármasok nem megengedhet ek.

3. fejezet A k szimbólumból képezett pszeudovéletlen sorozatok 1 3.1. Bevezetés A 2. fejezetben a véges bináris sorozatokat vizsgáltuk, ekkor E N elemeit a { 1, 1} halmazból választottuk. Deniáltunk különböz pszeudovéletlenségi mértékeket ezen az E N sorozaton, mindvégig megfelelve a 1-6. pontokban feltett elvárásoknak. Beláttuk, hogy a k rend korrelációs mérték és az eloszlási mérték nagyjából N körül ingadozik, emellett speciálisan két konstrukciót vizsgálva megbizonyosodtunk arról, hogy mindkét esetben jó pszeudovéletlen sorozatot kapunk. Azonban az alkalmazások tekintetében szükségessé vált, hogy C. Mauduit és A. Sárközy a [1] cikkében felépített elméletet a bináris sorozatokról kiterjesszék és általánosítsák egy tágabb, k szimbólumokból álló sorozatok elméletére [13]. A véletlenségi mértékek bevezetésekor (k szimbólum esetén) els dlegesen azt tartották szem el tt, hogy a új deníciók összeegyeztethet ek legyenek a 2. fejezetben bemutatott mértékekkel, amikor is k = 2 szerepelt. A fent említett 1-6. pontot az alábbival b vítették ki: 7. Az új mértékeknek (a bináris sorozatokra vonatkoztatva) nagyjából ekvivalensnek kellene lennie a régi mértékekkel abban az értelemben, hogy a hányadosuknak két pozitív konstans között kell lennie. Ebben a fejezetben a [13] cikkben bevezetett elméletnek a bemutatására törekszünk. 1 A könnyebb szóhasználat érdekében, pontosabban: er s pszeudovéletlen tulajdonságokkal rendelkez k szimbólumból képezett sorozatok 20

FEJEZET 3. A K SZIMBÓLUMBÓL KÉPEZETT PSZEUDOVÉLETLEN SOROZATOK 21 3.2. Az f mértékek Legyen k N, k 2 és A = {a 1,..., a k } k-szimbólumból (bet k) álló véges halmaz (abc). Vegyük E N elemeit ebb l a véges halmazból, azaz E N = (e 1,..., e N ) A N. Ekkor az alábbi jelöléseket használjuk : x(e N, a, M, u, v) = {j : 0 j M 1,e u+jv = a} (3.1) g(e N, W, M, D) = {n : 1 n M,(e n+d1,..., e n+dl ) = W }, ahol W = (a i1,..., a il ) A l és D = (d 1,..., d l ), d 1 <... < d l nem-negatív egészek. (3.2) A pszeudovéletlenségi mértékek deniálásához vegyünk egy fent említett típusúe N A N véges sorozatot. 3.2.1. Deníció. Az f eloszlási mértéke E N -nek: δ(e N ) = max x(e N, a, M, u, v) M, ahol a A, u + (M 1)v N. (3.3) a,m,u,v k 3.2.2. Deníció. Az l rend f korrelációs mértéke E N -nek : γ l (E N ) = max W,M,D g(e N, W, M, D) M k l, ahol W A l és M + d l N. (3.4) Vegyünk újból egy bináris E N { 1, ( 1} N sorozatot és legyen a ϕ(e N ) olyan [N/r] ) hosszú sorozat, amelyre ϕ(e N ) = (e 1,..., e r ), (e r+1,..., e 2r ),..., (e ([N/r] 1)r+1,..., e [N/r]r ). 3.2.3. Tétel. i.) δ(ϕ(e N )) 1 2 r ( ) r r Q s (E N ), s s=1 ii.) γ l (ϕ(e N )) 1 2 rl r s=1q=1 ( )( ) l r l Q qs (E N ), bármely l N esetén. s q Következmény. A 3.2.3. Tételb l adódik, hogy ha E N jó pszeudovéletlen bináris sorozat, akkor ϕ(e N ) is jó pszeudovéletlen sorozat. Bizonyítás.(3.2.3. Tételé) i.) Ha M, u, v adottak és a = (ε 1,..., ε r ) { 1, 1} r, akkor

FEJEZET 3. A K SZIMBÓLUMBÓL KÉPEZETT PSZEUDOVÉLETLEN SOROZATOK 22 x(ϕ(e N ), a, M, u, v) = = {j : 0 j M 1, (e (u+jv 1)r+1,..., e (u+jv)r ) = (ε 1,..., ε r )} = M 1 = M 2 r + 1 2 r r s=11 i 1 <...<i s r r i=1 e (u+jv 1)r+i ε i +1 2 = M 1 ε i1...ε is e (u+jv 1)r+i1...e (u+jv 1)r+is. (3.5) Felhasználva (3.1)-et, illetve az 2.1.9. Deníciót x(ϕ(e N ), a, M, u, v) M k = x(ϕ(e N), a, M, u, v) M 2 r = 1 2 r r s=11 i 1 <...<i s r r 1 M 1 2 r s=11 i 1 <...<i s r e (u 1)r+jvr+i1...e (u 1)r+jvr+is = Z((u 1)r, vr, M 1, (i 1,..., i s )) 1 = 1 2 r r s=1 ( r ) Qs (E s N ). 2 r r s=11 i 1 <...<i s r Q s (E N ) = ii.) Legyen A = { 1, 1} r,w = (a i1,..., a il ) A l,a ij = (ε (j) 1,..., ε (j) r ) és D = (d 1,..., d l ). Ekkor az i.) rész bizonyításánák menetéhez hasonlóan g(ϕ(e N ), W, M, D) = = {n : 1 n M, ((e (n+d1 1)r+1,..., e (n+d1 )r),..., (e (n+dl 1)r+1,..., e (n+dl )r)) = ((ε (1) 1,..., ε (1) r ),..., (ε (l) 1,..., ε (l) r ))} = = M r l e (n+dj 1)+iε (j) i +1 r l = M + 1 ( s q ε (jν) 2 2 rl 2 rl i µ )( M s q e (n+djν 1)r+i µ ). i=1j=1 s=1q=11 i 1 <...<i s r µ=1ν=1 1 j 1 <...<jq l Így felhasználva ismét a 2.1.9. Deníciót kapjuk, hogy µ=1ν=1 g(ϕ(e N ), W, M, D) M 2 rl = g(ϕ(e N ), W, M, D) M k l 1 2 rl r l s=1q=11 i 1 <...<i s r 1 j 1 <...<jq l 1 2 rl r l s=1q=11 i 1 <...<i s 1 j 1 <...<jq l Z(0, r, M 1, (d j1 r + i 1,..., d jq r + i s )) r Q qs (E N ) = 1 2 rl Ezzel beláttuk a 3.2.3. Tétel mindkét részét. s=1q=1 ( )( ) l r l Q qs (E N ). s q

FEJEZET 3. A K SZIMBÓLUMBÓL KÉPEZETT PSZEUDOVÉLETLEN SOROZATOK 23 3.3. A k adrend multiplikatív karakterek pszeudovéletlensége Az alábbiakban k-adrend multiplikatív karakterek egymás utáni értékei által alkotott sorozat egy er s pszeudovéletlen tulajdonságát fogjuk vizsgálni. A 3.3.5. Tételben bemutatott harmadik konstrukció általánosítása lesz a 2.2.8. Tételben szerepl nek. Ehhez azonban mindezek el tt szükségünk lesz a k megengedhet ség fogalmára. 3.3.1. Deníció. Egy multihalmazt k halmaznak hívunk, ha minden elem el fordulásának multiplicitása legfeljebb k. Ezután deniáljuk, mit is értünk P k tulajdonság alatt, amely áltánosítása a 2.2.6. Denícióban szerepl P tulajdonságnak. 3.3.2. Deníció. Ha k, m N, k 2, A,B Z m -beli multihalmazok és A + B el állítja Z m minden elemét k-val osztható multiplicitással; azaz ha bármely c Z m esetén az a + b = c (a A, b B) egyenlet megoldásának száma osztható k-val (tartalmazva azt is, ha nincs megoldás), akkor az A + B összeget P k tulajdonságúnak nevezzük. 3.3.3. Deníció. Ha k, h, l, m N, k 2 és h, l m, akkor a (h, l, m) hármast k megengedhet nek hívjuk, ha nincs olyan 2 halmaz A és olyan k halmaz B (Z m - beli elemmel), hogy A = h, B = l és A + B összeg P k tulajdonságú. 3.3.4. Deníció. Ha k, h, l, m N, k 2 és h, l m, akkor a (h, l, m) hármast (k, k) megengedhet nek hívjuk, ha nincs olyan k halmaz A és B (Z m -beli elemmel), hogy A = h, B = l és A + B összeg P k tulajdonságú. Megjegyzés. A 3.3.4. Denícióban szerepl (k, k) megengedhet ség általánosítása a 2.2.7. Denícióban szerepl k = 2-nek megfelel megengedhet ségnek. 3.3.5. Tétel. Tegyük fel, hogy k N, k 2, p prímszám, χ egy k rend multiplikatív karakter modulo p (azaz k p 1), f(x) F p [x] h fokú (h > 0) polinom, amelynek nincs többszörös gyöke F p ben. Ezenkív l vegyük az E p = (e 1,..., e p ) k- adik (komplex) egységgyökök k bet s abc-jének sorozatát, ahol χ(f(n)), (f(n), p) = 1 e n =. Ekkor 1, p f(n)

FEJEZET 3. A K SZIMBÓLUMBÓL KÉPEZETT PSZEUDOVÉLETLEN SOROZATOK 24 i.) δ(e p ) < 11hp 1/2 logp; ii.) ha l N, (r, t, p) k megengedhet hármas (1 r h, 1 t l(k 1)), akkor γ l (E p ) < 10lhkp 1/2 logp. Bizonyítás. A 3.3.5. Tétel bizonyítása során az alábbi két lemmára lesz szükségünk, bizonyításaik megtalálhatóak a [3] cikkben, ahol az els lemma bizonyítása Weil tételére [24] épül. 3.3.6. Lemma. Legyen p prím, χ k-rend nem f karakter modulo p, Ezenkív l legyen f(x) F p [x] egy h-fokú polinom és f(x) = b(x x 1 ) r 1...(x x s ) rs, ahol x i x j, ha i j F p ben és (k, r 1,..., r s ) = 1. Legyen ezenkív l X, Y valós, 0 < Y p. Ekkor χ(f(n)) < 9sp1/2 logp 9hp 1/2 logp. X<n X+Y A 3.3.6. Lemmának a gyengébbik alakjára is szükségünk lesz. 3.3.7. Lemma. A 3.3.6. Lemma igaz (k, r 1,..., r s ) < k mellett is. Ezután folytathatjuk a 3.3.5. Tétel bizonyítását. i.) Ha a egy k-adik egységgyök, akkor S(a, m) = 1 k k (aχ(m)) t, ahol (3.6) t=1 1, ha χ(m) = a S(a, m) = 0, ha χ(m) a. (3.7) Emellett u, v, M N jelöléssel, ha 1 u u + (M 1)v p, akkor x(e p, a, M, u, v) = 0 j M 1 e u+jv =a 1, ahol (3.8) 0 j M 1 e u+jv =a 1 0 j M 1 χ(f(u+jv))=a 1 0 j M 1 p f(u+jv) 1. (3.9)

FEJEZET 3. A K SZIMBÓLUMBÓL KÉPEZETT PSZEUDOVÉLETLEN SOROZATOK 25 Felhasználva az (3.6),(3.7) pontokat kapjuk, hogy 0 j M 1 χ(f(u+jv))=a 1 = M 1 S(a, f(u + jv)) = M 1 = 1 1+ 1 k 1 a tm 1 k k 0 j M 1 t=1 (f(u+jv),p)=1 Átrendezve adódik : 0 j M 1 χ(f(u+jv))=a χ t (f(u+jv)) = M 1 k k 1 k t=1 0 j M 1 p f(u+jv) 1 M k 1 k 1 M 1 k χ t (f(u + jv)) + 1 k t=1 k (aχ(f(u + jv))) t = 1+ 1 k 1 a tm 1 k t=1 0 j M 1 p f(u+jv) χ t (f(u+jv)). 1. (3.10) Írjunk g(x) = f(u + xv), ekkor a (3.8),(3.9),(3.10) pontokat felhasználva x(e p, a, M, u, v) M k 1 k 1 M 1 k χ t (g(j)) + 2 t=1 0 j M 1 p g(j) 1. (3.11) Az M = 1 eset triviális, ezért feltesszük, hogy M > 1. Mivel 1 r < p, (r, p) = 1, ezért f(x), g(x) F p [x] ugyanolyan fokú, és mivel f(x) nek nincs többszörös gyöke, így g(x) nek sincs. Ezenfelül χ 1 = χ t is karakter modulo p és különbözik a χ 0 f karaktert l (1 t k 1). Ezért felhasználva a 3.3.6. Lemmát M 1 χ t (g(j)) = M 1 χ 1 (g(j)) < 9hp1/2 logp. (3.12) Mivel f, g foka megegyezik, kapjuk, hogy 0 j M 1 p g(j) 1 0 j<p p g(j) 1 h. (3.13) Összevetve az (3.11),(3.12),(3.13) eredményeit x(e p, a, M, u, v) M k k 1 k 9hp1/2 logp + 2h < 11hp 1/2 logp.

FEJEZET 3. A K SZIMBÓLUMBÓL KÉPEZETT PSZEUDOVÉLETLEN SOROZATOK 26 Ezzel a tétel egyik felét bebizonyítottuk. ii.) Legyen l N, l N, b 1,..., b l a k-adik egységgyökök, w = (b 1,..., b l ), D = (d 1,..., d l ), 0 d 1 <... < d l, M N és M + d l N. Ekkor g(e N, w, M, D) = {n : 1 n M, (e n+d1,..., e n+dl ) = w}, ahol (3.14) e n+di = χ(f(n + d i )) és f(n + d i ) 0 (mod p), i = 1,..., l. (3.15) Fix i re az (3.15) kongruenciának legfeljebb h megoldása lehet, és i felvehet legfeljebb l értéket, így a (3.15) megoldásszáma legfeljebb hl. Ha egy n nem megoldása ennek a kongruenciának, akkor l 1, ha e n+d1 = b 1,..., e n+dl = b l S(b i, f(n + d i )) =. (3.16) 0, különben i=1 Emiatt összevetve a (3.14), (3.16) pontokat g(e N, w, M, D) M i=1 l S(b i, f(n + d i )) hl, ahol (3.17) M i=1 l S(b i.f(n + d i )) = M l 1 k i=1 t i =1 k (b i χ(f + n + d i )) t i = (3.18) k = 1... k k l t 1 =1 b t 1 t l =1 M 1...b t l χ((f(n + d 1 ) t 1...(f(n + d l )) t l ) = l = M k l + 1 k l 0 t 1,...,t l k 1 (t 1,...,t l ) (0,...,0) b t 1 1...b t l M χ((f(n + d 1 ) t 1...(f(n + d l )) t l ). l Ekkor következik a (3.17),(3.18) pontokból, hogy g(e N, w, M, D) M 1 k l k l 0 t 1,...,t l k 1 (t 1,...,t l ) (0,...,0) M χ((f(n + d 1 ) t 1...(f(n + d l )) t l ) +hl. (3.19)

FEJEZET 3. A K SZIMBÓLUMBÓL KÉPEZETT PSZEUDOVÉLETLEN SOROZATOK 27 Vizsgáljuk meg az (3.19) sor jobb oldalán álló kifejezés bels összeget. Használjuk a következ jelöléseket : f(x) := Bf 1 (x), G(x) := f 1 (x + d 1 ) t 1...f 1 (x + d l ) t l,ahol B Z p, f 1 (x) Z p [x] egységpolinom. M χ((f(n + d 1 )) t 1 M...(f(n + d l )) t l ) = χ(bt 1+...+t l) χ(g(n)) M χ(g(n)). A bizonyítás befejezéséhez elég a következ lemmát felhasználni, a bizonyítás megtalálható a [3] cikkben. 3.3.8. Lemma. Ha megtartjuk a 3.3.5. Tétel jelöléseit, akkor a G(x)-nek van legalább egy gyöke F p ben, amelynek multiplicitása osztható k val. A 3.3.8. Lemma helyességét elfogadva könnyen látszik, hogy G(x) foka l ht i lh(k 1) < lhk. i=1 Felhasználva a 3.3.7. Lemmát kapjuk, hogy M χ(g(n)) < 9lhkp1/2 logp. Ebb l következik az (3.19) pontottal, hogy g(e N, w, M, D) M 1 k l k l 0 t 1,...,t l k 1 (t 1,...,t l ) (0,...,0) 9lhkp 1/2 logp + hl < 10lhkp 1/2 logp. Ezzel a tétel második részét is bebizonyítottuk. Megjegyzés. A 3.3.5. Tételb l következik, hogy a harmadik konstrukció sorozata is jó pszeudovéletlen tulajdonságokkal rendelkezik. 3.4. A k megengedhet ségi feltételek A 3.3.5. Tétel ii.) pontjában bizonyos k megengedhet séget használtunk fel. R. Ahlswede, C. Mauduit, A. Sárközy a [3] cikkben megmutatták, hogy ez a feltétel nem kerülhet ki, emellett adtak egy negatív példát ennek igazolására. Vettek egy

FEJEZET 3. A K SZIMBÓLUMBÓL KÉPEZETT PSZEUDOVÉLETLEN SOROZATOK 28 A egyszer halmazt és egy B k halmazt. Az A + B összeg P k tulajdonsága adott egy 3.3.5. Tételben szerepl konstrukciót, de ii.) következmény sem teljesült, azaz bizonyos korreláció nagy volt. A fentiek miatt a következ kben a 3.3.5 Tételnél felhasznált (r, t, p) hármasra elégséges k megengedhet ségi feltételeket fogunk vizsgálni. Megjegyezzük, hogy az ezt bebizonyító 3.4.1. Tétel általánosítása a 2. fejezetben szerepl 2.3.1. Tételnek. 3.4.1. Tétel. i.) Ha k, r, t N, 1 t k, p prím és r < p, akkor (r, t, p) hármas k megengedhet ii.) Ha k, r, t N, p prímszám és (4t) r < p, akkor (r, t, p) hármas k megengedhet iii.) Ha k N, k 2, k = q α 1 1...qs αs és p olyan prímszám, hogy minden egyes q i (i {1,..., s}) primitív gyök modulo p. Ekkor minden r, t N és r, t < p esetén az (r, t, p) hármas k megengedhet. Bizonyítás. i.) Indirekt tegyük fel, hogy van olyan k, r, t N, p prím, hogy1 t k,r < p és az (r, t, p) hármas nem k megengedhet. Azaz létezik olyan A Z p, k halmaz B, amelynek elemei Z p beliek, hogy A = r, B = t és az a + b = c (a A, b B) (3.20) megoldásának száma oszható k val, bármely c Z esetén. Vegyünk tetsz leges c A+B. Mivel erre a c re a (3.20) egyenletnek van legalább egy megoldása és a megoldásának száma mindig osztható k val ezért az egyenletnek legalább k megoldása van. Másfelöl nyilván legfeljebb B = l megoldása van, azaz B = t k. De ekkor1 t k,r < p miatt B = t = k. Mivel B egy k halmaz minden elem multiplicitása legfeljebb k 1. B = t = k miatt, B-nek van legalább két különböz eleme (b 0, b 0 + d B, d 0). Az A + b 0 minden elemének van legalább k el állítása a (3.20) egyenletben, ahol B = t = k miatt van el állításuk az (a+b 0 +d)-ben is (a A, A+b 0 = A+b 0 +rd, r N). Ezért A + b 0 = A + b 0 + s, s Z p, s A + b 0. Mivel azonban A + b 0 additív részcsoportja Z p -nek, A = A + b 0 = Z p, amely ellentmond annak, hogy A = r. Ezzel a tétel els részét bebizonyítottuk.

FEJEZET 3. A K SZIMBÓLUMBÓL KÉPEZETT PSZEUDOVÉLETLEN SOROZATOK 29 ii.) A bizonyítás nagyon hasonló a 2.3.1 Tétel bizonyításához, amely megtalálható a [2] cikkben. Emiatt elég, ha a legfontosabb részeket nézzük meg. Tegyük fel, hogy létezik r, t, p, amely eleget tesz a 3.4.1. Tétel ii.) egyenl tlenségének, A Z p, B k halmaz amelynek elemei Z p -beliek. Ezenkívül A = r, B = t. Elég megmutatni, hogy létezik olyan c Z p, amelyre a (3.20) egyenlet (a A, b B) megoldásának száma nagyobb mint 0, és kisebb mint k. Emiatt elég bebizonyítani, hogy létezik olyan m N, c Z p, amelyre (m, p) = 1 és az ma + mb = mc (3.21) megoldásának száma nagyobb 0-nál, és kisebb, mint k. Ehhez vegyünk m, b i, b j, r 1, r k, a n, a v, hogy mb i + r k = mb j + ma v és mb j + r 1 = mb j + ma u (3.22) számok esetén nincs más el állítása (3.21)-nek. Mivel B egy k halmaz b i, b j multiplicitása kisebb k-nál. Ezért a (3.22)-ben említett számoknak legalább 0, legfeljebb k el állítása van (3.21) alakban, amellyel beláttuk, amit szerettünk volna. Megjegyzés. Az iii.) pont részletes bizonyítása a 3.3.3. Tételen alapszik, ami megtalálható a [4] cikkben. A szerz k az igazoláshoz felhasználták a 2.3.2. Deníció általánosításaként szerepl k jó szám elnevezést: 3.4.2. Deníció. Egy m természetes számot k jónak hívunk, ha r, t természetes számok esetén (r, t < m), az (r, t, m) k megengedhet hármas. Ha ez a hármas (k, k) megengedhet akkor m et (k, k) jónak nevezzük. 3.4.3. Tétel. Ha k 2 olyan természetes szám, aminek prímtényez s felbontása k = q α 1 1...q αs s és q 1,..., q s primitív gyök modulo p (páratlan prím), ekkor p k jó. Az 2. fejezet 2.3.3. Tételében kimondtuk, hogy egy p prímet (2 )jónak nevezünk akkor és csak akkor, ha 2 primitív gyök modulo p. Ez egy speciális esete volt a 3.4.3. Tételnek a k = 2 esetben. Ezenkívül megadtunk ott néhány példát, ahol p nem jó prím volt és az A + B összeg rendelkezett a P 2 tulajdonsággal vagyis nem megengedhet hármasok keletkeztek. mutatunk, ahol k = 6. Az alábbiakban ehhez hasonló példát 3.4.4. Példa. Legyen p = 31, A = {0, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 13, 14, 15, 16, 17, 20, 21, 23, 26} és B = {0, 0, 0, 2, 2, 2, 5, 5, 5}. Ekkor az A+B összeg P 6 tulajdonságú, azaz (16, 9, 31) nem 6-megengedhet.

FEJEZET 3. A K SZIMBÓLUMBÓL KÉPEZETT PSZEUDOVÉLETLEN SOROZATOK 30 3.5. Három új konstrukció Az alábbiakban megadunk néhány konstrukciót a k-szimbólumot tartalmazó pszeudovéletlen sorozatokon. Ezek a Lehmer probléma, multiplikatív inverz és az additív karakterek felhasználásával keletkeztek. Számos matematikus foglalkozott a Lehmer probléma (b vebben ld.: [18]) megoldásával, általánosításával. Liu és Yang a [19] cikkben felhasználva ezt a problémát, megadtak egy konstrukciót a pszeudovéletlen bináris sorozatokra, ezenkívül belátták, hogy az általuk deniált E N sorozat jó pszeudovéletlen tulajdonságokkal rendelkezik. A 3.5.1. Tételben szerepl konstrukció a Liu és Yang konstrukciónak az általánosítása. A tételeket csak kimondjuk, a bizonyítások megtalálhatóak Kit-Ho Mak [16] cikkében. 3.5.1. Tétel. Legyen p egy nagy prím, r(x) = g(x) racionális törtfüggvény, melynek f(x) foka 0 < d < p, f, g F p [x] relatív prím polinomok. Tegyük fel, hogy r(x) nem lineáris. Legyen A = {0, 1,..., k 1} egy k elem halmaz, N egész, 1 N p. Deniáljuk az E (1) N := E(1) N e (1) n = (r) = (e(1) 1,..., e (1) N ) AN sorozatot, ahol { i, ha p f(n), R p (r(n)) i(k) 0, ha p f(n). Ekkor δ(e (1) N ) (8d 5)k plog 2 p és ha teljesül, hogy vagy 1. deg(f) > 0 és (4deg(f)) l < p, vagy 2. deg(f) = 0 és 2 l < d, akkor γ l (E (1) N ) 2l (4dl 2) plog l+1 p.

FEJEZET 3. A K SZIMBÓLUMBÓL KÉPEZETT PSZEUDOVÉLETLEN SOROZATOK 31 Megjegyzés. A 3.5.1 Tételben szerepl R p (x) jelöli azon 0 r p 1, hogy x r(p). C. Maudit, J. Rivat, A. Sárközy a [20] cikkükben additív karaktereket felhasználva konstruáltak pszeudovéletlen tulajdonsággal rendelkez bináris sorozatokat. A következ tétel ennek az általánosításáról szól, ehhez vegyünk egy [0, p) intervallumot és osszuk fel k egyenl részre. 3.5.2. Tétel. Legyen p egy nagy prím, r(x) = g(x) racionális törtfüggvény, melynek f(x) foka 0 < d < p, f, g F p [x] relatív prím polinomok. Tegyük fel, hogy r(x) nem lineáris. Legyen A = {0, 1,..., k 1} egy k elem halmaz. Deniáljuk az E (2) N := E(2) N e (2) n = (r) = (e(2) 1,..., e (2) N ) AN sorozatot, ahol i, ha p f(n), i p R k p(r(n)) < i+1 0, ha p f(n) k p. Ekkor δ(e (2) N ) (8d 5) plog 2 p és ha teljesül, hogy vagy 1. deg(f) > 0 és (4deg(f)) l < p, vagy 2. deg(f) = 0 és 2 l < d, akkor γ l (E (2) N ) 2l (4dl 2) plog l+1 p. Végezetül a 3.5.1. és 3.5.2. Tételek kombinálásából keletkezett konstrukcióról megmutatjuk, hogy jó pszeudovéletlen tulajdonsággal rendelkez sorozat állít el. Ehhez vegyük a k = k 1 k 2 2, és készítsük el a A = A k1 A k2 halmazt. 3.5.3. Tétel. Legyen p egy nagy prím, r(x) = g(x) racionális törtfüggvény, melynek f(x) foka 0 < d < p, f, g F p [x] relatív prím polinomok. Tegyük fel, hogy r(x) nem lineáris. Legyen A = {0, 1,..., k 1} egy k elem halmaz. Deniáljuk az E (3) N := E(3) N (r) = (e(3) 1,..., e (3) N ) AN sorozatot, ahol

FEJEZET 3. A K SZIMBÓLUMBÓL KÉPEZETT PSZEUDOVÉLETLEN SOROZATOK 32 e (3) n = { (i 1, i 2 ), ha p f(n), R p (f(n)) i 1 (k 1 ), i 2 0, ha p f(n) k2 p R p (r(n)) < i 2+1 k 2 p. Ekkor δ(e (3) N ) (8d 5)k plog 2 p és ha teljesül, hogy vagy 1. deg(f) > 0 és (4deg(f)) l < p, vagy 2. deg(f) = 0 és 2 l < d, akkor γ l (E (3) N ) 2l (4dl 2) plog l+1 p.

4. fejezet Más típusú mértékek 4.1. Az ε mértékek A 3. fejezetben elkezdtük az er s pszeudovéletlen tulajdonságokkal rendelkez k szimbólumból képezett sorozatok vizsgálatát. Bevezettük ezen sorozatok f mértékeit és beláttuk, hogy a k adrend multiplikatív karakterek sorozata er s pszeudovéletlen tulajdonságokkal rendelkezik. Azonban a bevezetésben kimondtuk, hogy a 7. követelménynek szeretnénk eleget tenni, miszerint az új mértékeknek összeegyeztethet nek kell lennie a 2. fejezetben bevezett véletlenségi mértékekhez, amikor is k = 2 speciális eset szerepelt. Ezért C. Mauduit és A. Sárközy a [13] cikkben új véletlenségi mértékeket deniáltak, amelyek szorosabb kapcsoltban állnak a 2. fejezetben bevezett mértékekkel. Ebben a fejezetben ennek az elméletnek a bemutatására törekszünk. Az új mértékek bevezetése után bebizonyítjuk, hogy ezek nagyjából egy konstans szorzóval térnek el a régi mértékekt l, majd általánosítjuk a 2.2.1. Legendre szimbólumos konstrukciót k 2 esetre. Megmutatjuk, hogy az ekkor kapott sorozat is jó pszeudovéletlen tulajdonságokkal rendelkezik. A fejezet legvégén felhasználva G. Bérczi [15] cikkét alsó és fels becslést adunk bizonyos az E N véges sorozat a következ kben bevezetett mértékeire. Legyen k N, k 2 és E N A N = {a 1,..., a k } N. Ezenkívül vegyük a k adik egységgyökök ε = {ε 1,..., ε k } sorozatát és legyen F a ϕ : A ε bijekciók halmaza ( F = k!). Használjuk a következ jelöléseket : 33

FEJEZET 4. MÁS TÍPUSÚ MÉRTÉKEK 34 x(e N, ϕ, M, u, v) = M 1 ϕ(e u+jv ) (4.1) G(E N, φ, M, D) = M ϕ 1 (e n+d1 )...ϕ l (e n+dl ), (4.2) ahol φ = (ϕ 1,..., ϕ l ) F l, és D = (d 1,..., d l ), d 1 <... < d l. 4.1.1. Deníció. Az E N sorozat ε eloszlási mértéke: (E N ) = max ϕ,m,u,v x(e N, ϕ, M, u, v), ahol ϕ F és u + (M 1)v N. (4.3) 4.1.2. Deníció. Az E N sorozat l rendű ε korrelációs mértéke: Γ l (E N ) = max φ,m,d G(E N, φ, M, D), ahol φ F l, és D = (d 1,..., d l ), M + d l N. (4.4) Az alábbiakban megmutatjuk, milyen kapcsolat áll fenn a (4.3), (4.4) és a bináris esetben deniált (2.6), (2.7) véletlenségi mértékek között. Ehhez xáljunk le egy E N {a 1, a 2 } N véges sorozatot és legyen ε = {1, 1}. Ezenkívül 1, i = j, ϕ i (a j ) = 1, i j és i, j {1, 2}. Ekkor deniálhatunk egy E N sorozatot, amelynek elemeire e n = ϕ 1 (e n ) = ϕ 2 (e n ), n = 1, 2,..., N. 4.1.3. Állítás. Ha k = 2, akkor (E N ) = W (E N ) és minden l N esetén Γ l (E N ) = C l (E N ). Bizonyítás. Bármelyϕ, M, u, v mellett x(e N, ϕ, M, u, v) = M 1 ϕ(e u+jv ) = ± M 1 e u+jv = ±U(E N, M, u, v). (4.5) Felhasználva (4.5),(4.3),(2.6) kapjuk, hogy

FEJEZET 4. MÁS TÍPUSÚ MÉRTÉKEK 35 (E N ) = max ϕ,m,u,v x(e N, ϕ, M, u, v) = W (E N ). Hasonlóan, bármely φ, M, D esetén G(E N, φ, M, D) = M ϕ i1 (e n + d 1 )...ϕ il (e n + d l ) = ±V (E N, M, D). (4.6) Felhasználva (4.6),(4.4),(2.7) kapjuk, hogy Γ l (E N ) = max G(E N, φ, M, D) = max V φ,m,d M,D (E N, M, D) = C l(e N ). Következmény. A (4.3),(4.4) mértékek eleget tesznek a 3. fejezetben feltett 7. elvárásnak. 4.2. Az f mértékek és az ε mértékek közötti kapcsolat A következ ekben megmutatjuk, hogy az f mértékek és az ε mértékek között milyen szoros kapcsolat áll fent. Igazolható, hogy E N A N sorozat esetén a (2.6), (2.7) és a (4.3), (4.4) mértékek legfeljebb egy konstans szorzóval térnek el egymástól, pontosabban: 4.2.1. Tétel. Bármely k N, k 2, N N, A = {a 1,..., a k } és E N A N esetén k δ(e k 1 N) (E N ) kδ(e N ). Megjegyzés. A bináris esetben (E N ) = 2δ(E N ). Bizonyítás(4.2.1. Tétel). Bármely ϕ F, M, u, v esetén x(e N, ϕ, M, u, v) = = M 1 ϕ(e u+jv ) = {j : j M 1, e u+jv = a} ϕ(a) = a A

FEJEZET 4. MÁS TÍPUSÚ MÉRTÉKEK 36 ( = x(e N, a, M, u, v)ϕ(a) = x(e N, a, M, u, v) M k a A a A ) ϕ(a) + M k ( ) = x(e N, a, M, u, v) M ϕ(a) k x(e N, a, M, u, v) M k a A a A ϕ(a) = a A a Aδ(E N ) = kδ(e N ). Így megkaptuk a fels becslés igazolását. Az alsó becsléshez vegyünk olyan F i = {ϕ : ϕ F, ϕ(a i ) = 1}, hogy F i = (k 1)!. Ekkor ϕ(a i ) = ϕ F i ϕ F i 1 = F i = (k 1)! és ϕ(a j ) = {ϕ : ϕ F i, ϕ(a j ) = ɛ} ɛ= (k 2)!ɛ = (k 2)!, ha i j. ϕ F i ɛ 1 ɛ 1 ɛ ε ɛ ε Ebb l adódik viszont, hogy = (k 1)! + 0 j<m 0 j<m e u+jv =a j x(e N, ϕ, M, u, v) = ϕ F i M 1 ϕ F i ϕ(e u+jv )= e u+jv a j ( (k 2)!) = k(k 2)!x(E N, a i, M, u, v) M(k 2)!, ahol x(e N, a i, M, u, v) M k = 1(k 2)! x(e k N, ϕ, M, u, v) k 1 (E k N). ϕ F i 4.2.2. Tétel. Bármely k, l N, k, l 2, N N, A = {a 1,..., a k } és E N A N esetén 1 Γ k l l (E N ) γ l (E N ) l ( l ) t (k 1) t Γ t (E N ). t=1 Bizonyítás. ([13])

FEJEZET 4. MÁS TÍPUSÚ MÉRTÉKEK 37 4.3. A (E N ) és Γ l (E N ) becslése A következ kben megmutatjuk, hogy egy véletlen E N A N véletlen sorozatok (4.3) és (4.4) pontokban bemutatott ε eloszlási és ε korrelációs mértéke N körül van. 4.3.1. Tétel. Bármely ε > 0 hoz létezik olyan N 0 = N 0 (ε), hogy N > N 0 esetén P ( (E N ) > (16k 4 NlogN) 1/2 ) < ε. Bizonyítás. Minden L > 0 esetén P ( (E N ) > L) = P ( max ϕ,m,u,v X(E N, ϕ, M, u, v) > L) u,v,m P (max X(E N, ϕ, M, u, v) > L) N 3 max P (max X(E N, ϕ, M, u, v) > L). ϕ u,v,m ϕ Megmutatjuk, hogy P (max ϕ X(E N, ϕ, M, u, v) > L) < 2 M 8, minden lehetséges M, u, v esetén és L = 16k 4 MlogM. Feltehetjük, hogy az e u+jv, (j = 0,..., M 1) szimbólumok között a 1 ből n 1, a 2 ből n 2,..., a k ból n k, hogy n 1... n k. Jelöljük ϕ 0 F a következ bijekciót : ϕ 0 (a 1 ) = 1 = ε 0, ϕ 0 (a 2 ) = ε,..., ϕ 0 (a k ) = ε k 1, ahol ε = e 2πi k. A bizonyítás további lépéseihez szükségünk lesz az alábbi lemmára. 4.3.2. Lemma. Bármely ϕ F esetén M 1 ϕ(e u+jv ) [(n 1 n k ) +... + (n k 1 n k )] k(n 1 n k ).

FEJEZET 4. MÁS TÍPUSÚ MÉRTÉKEK 38 Az el bb deniált ϕ 0 bijekció miatt n 1 n k 2k M 1 ϕ(e u+jv ). Ebb l adódik, hogy n 1 n k 2k max ϕ X(E N, ϕ, M, u, v) k(n 1 n k ). Bizonyítás(4.3.2. Lemma). Tetsz leges ϕ esetén M 1 ϕ(e u+jv ) = n 1ϕ(a 1 ) +... + n k ϕ(a k ) = Ezenkív l a = n k (1 + ε + ε 2 +... + ε k 1 ) + k 1 (n i n k )ϕ(a i ) k 1 (n i n k ). { } z C arg(z) = 2π 2k i=1 komponens hossza, ami mer leges erre az egyenesre És i=1 egyenest választva látható, hogy a M 1 ϕ 0 (e u+jv ) (n 1 n k )sin( π k ) + (n 2 n k 1 )sin( 3π k ) +... + (n k/2 n k/2+1 )sin( (k 1)π k ) 1 [(n 2k 1 n k ) +... + (n k/2 n k/2+1 )] n 1 n k, ha k páros. 2k (n 1 n k )sin( π) +... + (n k (k 1)/2 n (k+3)/2 )sin( (k 2)π ) k 1 [(n 2k 1 n k ) +... + (n k/2 n k/2+1 )] n 1 n k,ha k páratlan. 2k Folytatva a 4.3.1. Tétel bizonyítását, felhasználva a 4.1.4. Lemma állítását kapjuk, hogy ( ) M 1 P max ϕ(e u+jv ) > L ϕ Feltehet, hogy M osztható k-val, így P (k(n 1 n k ) > L) = 1 k M M! = M! = M! n 1!...n k! ( M k i 1)!( M k i 2)!...( M k i j)!( M k +i J+1)!...( M k +i k)! ahol n 1 +...+n k =M k(maxn i minn i )>L M!. n 1!...n k! [ M [( M k ( M k 1)...( M k i 1+1)]...[ M k ( M k 1)...( M k i j+1)] k )!]k [( M k +1)...( M k +i j+1)]...[( M k +1)...( M k +i k)],