Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71
A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér egy A részhalmazának átmérője a diam A = sup{ρ(a, b) a, b A} mennyiség. Kontrakciók 2 of 71
A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér egy A részhalmazának átmérője a diam A = sup{ρ(a, b) a, b A} mennyiség. Definíció Az x S pont és az A részhalmaz távolsága az inf{ρ(x, a) : a A} mennyiség. Kontrakciók 3 of 71
A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér egy A részhalmazának átmérője a diam A = sup{ρ(a, b) a, b A} mennyiség. Definíció Az x S pont és az A részhalmaz távolsága az inf{ρ(x, a) : a A} mennyiség. Állítás Rögzített A S részhalaz esetén a függvény folytonos. d A : X R, x d(x, A) Kontrakciók 4 of 71
Kontrakciók 5 of 71 A Lipschitz tulajdonság LIPSCIHTZ TULAJDONSÁG Definíció Az f : S T függvény Lipschitz tulajdonságú, ha van olyan k R, hogy ρ(f (x), f (y)) kρ(x, y) minden x, y S esetén.
Kontrakciók 6 of 71 A Lipschitz tulajdonság LIPSCIHTZ TULAJDONSÁG Definíció Az f : S T függvény Lipschitz tulajdonságú, ha van olyan k R, hogy ρ(f (x), f (y)) kρ(x, y) minden x, y S esetén. Állítás Ha f : S T Lipschitz függvény a k konstanssal, akkor f egyenletesen folytonos.
Kontrakciók 7 of 71 A Lipschitz tulajdonság A LIPSCHITZ FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI Tétel
Kontrakciók 8 of 71 A Lipschitz tulajdonság A LIPSCHITZ FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI Tétel Ha f : S T Lipschitz függvény és A S korlátos, akkor f (A) T is korlátos.
Kontrakciók 9 of 71 A Lipschitz tulajdonság A LIPSCHITZ FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI Tétel Ha f : S T Lipschitz függvény és A S korlátos, akkor f (A) T is korlátos. Ha I R nem degenerált intervallum és f : I R differenciálható I-n, úgy f pontosan akkor Lipschitz függvény I-n, ha itt a deriváltja korlátos.
Kontrakciók 10 of 71 A Lipschitz tulajdonság A LIPSCHITZ FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI Tétel Ha f : S T Lipschitz függvény és A S korlátos, akkor f (A) T is korlátos. Ha I R nem degenerált intervallum és f : I R differenciálható I-n, úgy f pontosan akkor Lipschitz függvény I-n, ha itt a deriváltja korlátos. Ha f : S T és g : T U Lipschitz függvények a k illetve l paraméterekkel, akkor f g is Lipschitz a kl paraméterrel.
Kontrakciók 11 of 71 A Lipschitz tulajdonság PÉLDÁK LIPSCHITZ FÜGGVÉNYEKRE Az f : R R lineáris függvények;
Kontrakciók 12 of 71 A Lipschitz tulajdonság PÉLDÁK LIPSCHITZ FÜGGVÉNYEKRE Az f : R R lineáris függvények; Az x n függvények minden [ a, a] R zárt intervallumon, k = na n 1 ;
Kontrakciók 13 of 71 A Lipschitz tulajdonság PÉLDÁK LIPSCHITZ FÜGGVÉNYEKRE Az f : R R lineáris függvények; Az x n függvények minden [ a, a] R zárt intervallumon, k = na n 1 ; ha f 1,..., f n valós Lipschitz függvények a k 1,..., k n paraméterekkel, akkor tetszőleges c 1 f 1 +... + c n f n valós lineáris kombinációjuk Lipschitz a c 1 k 1 +... c n k m paraméterrel;
Kontrakciók 14 of 71 A Lipschitz tulajdonság PÉLDÁK LIPSCHITZ FÜGGVÉNYEKRE Az f : R R lineáris függvények; Az x n függvények minden [ a, a] R zárt intervallumon, k = na n 1 ; ha f 1,..., f n valós Lipschitz függvények a k 1,..., k n paraméterekkel, akkor tetszőleges c 1 f 1 +... + c n f n valós lineáris kombinációjuk Lipschitz a c 1 k 1 +... c n k m paraméterrel; Egy polinom minden kompakt intervallumon;
Kontrakciók 15 of 71 A Lipschitz tulajdonság PÉLDÁK LIPSCHITZ FÜGGVÉNYEKRE Az f : R R lineáris függvények; Az x n függvények minden [ a, a] R zárt intervallumon, k = na n 1 ; ha f 1,..., f n valós Lipschitz függvények a k 1,..., k n paraméterekkel, akkor tetszőleges c 1 f 1 +... + c n f n valós lineáris kombinációjuk Lipschitz a c 1 k 1 +... c n k m paraméterrel; Egy polinom minden kompakt intervallumon; Ha f, g Lipschitz az IR kompakt intervallumon, akkor szorzatuk is az;
Kontrakciók 16 of 71 A Lipschitz tulajdonság PÉLDÁK LIPSCHITZ FÜGGVÉNYEKRE Az f : R R lineáris függvények; Az x n függvények minden [ a, a] R zárt intervallumon, k = na n 1 ; ha f 1,..., f n valós Lipschitz függvények a k 1,..., k n paraméterekkel, akkor tetszőleges c 1 f 1 +... + c n f n valós lineáris kombinációjuk Lipschitz a c 1 k 1 +... c n k m paraméterrel; Egy polinom minden kompakt intervallumon; Ha f, g Lipschitz az IR kompakt intervallumon, akkor szorzatuk is az; Ha f, g Lipschitz az IR kompakt intervallumon és van olyan m > 0, hogy I-n g(x) m, akkor f g is;
Kontrakciók 17 of 71 A Banach fixponttétel CAUCHY SOROZATOK Definíció (Cauchy sorozat) Az (S, ρ) metrikus térbeli x n sorozat Cauchy sorozat, ha ε esetén N N +, hogy n, m N, akkor ρ(x n, x m ) < ε.
Kontrakciók 18 of 71 A Banach fixponttétel CAUCHY SOROZATOK Definíció (Cauchy sorozat) Az (S, ρ) metrikus térbeli x n sorozat Cauchy sorozat, ha ε esetén N N +, hogy n, m N, akkor ρ(x n, x m ) < ε. Állítás Metrikus térben minden konvergens sorozat Cauchy sorozat.
Kontrakciók 19 of 71 A Banach fixponttétel CAUCHY SOROZATOK Definíció (Cauchy sorozat) Az (S, ρ) metrikus térbeli x n sorozat Cauchy sorozat, ha ε esetén N N +, hogy n, m N, akkor ρ(x n, x m ) < ε. Állítás Metrikus térben minden konvergens sorozat Cauchy sorozat. Megjegyzés A fordított nem mindig igaz: példa Q-ban a 2 közelítő tizedes törtjei.
Kontrakciók 20 of 71 A Banach fixponttétel TELJES METRIKUS TEREK Definíció Egy metrikus tér teljes, ha benne minden Cauchy sorozat konvergens.
Kontrakciók 21 of 71 A Banach fixponttétel TELJES METRIKUS TEREK Definíció Egy metrikus tér teljes, ha benne minden Cauchy sorozat konvergens. Példa
Kontrakciók 22 of 71 A Banach fixponttétel TELJES METRIKUS TEREK Definíció Egy metrikus tér teljes, ha benne minden Cauchy sorozat konvergens. Példa E ω teljes metrikus tér a ρ 1 metrikával. 2
Kontrakciók 23 of 71 A Banach fixponttétel TELJES METRIKUS TEREK Definíció Egy metrikus tér teljes, ha benne minden Cauchy sorozat konvergens. Példa E ω teljes metrikus tér a ρ 1 metrikával. 2 R n a szokásos metrikával
Kontrakciók 24 of 71 A Banach fixponttétel A BANACH FÉLE FIXPONTTÉTEL Definíció Egy tetszőleges f : X X függvénynek x X fixpontja, ha f (x) = x.
Kontrakciók 25 of 71 A Banach fixponttétel A BANACH FÉLE FIXPONTTÉTEL Definíció Egy tetszőleges f : X X függvénynek x X fixpontja, ha f (x) = x. Definíció f : S S kontrakció, ha van olyan r < 1, hogy ρ(f (x), f (y)) rρ(x, y) minden x, y S esetén
Kontrakciók 26 of 71 A Banach fixponttétel A BANACH FÉLE FIXPONTTÉTEL Definíció Egy tetszőleges f : X X függvénynek x X fixpontja, ha f (x) = x. Definíció f : S S kontrakció, ha van olyan r < 1, hogy ρ(f (x), f (y)) rρ(x, y) minden x, y S esetén Tétel Nemüres teljes metrikus tér kontrakciójának egyértelműen létezik fixpontja.
Kontrakciók 27 of 71 A Banach fixponttétel A FIXPONTTÉTEL MEGFORDÍTÁSA Tétel Legyen S egy nem üres halmaz és f : S S olyan leképezés, melyre f -nek és minden f n iteráltjának létezik egyértelmű fixpontja. Ekkor minden λ (0, 1) értékre létezik S-en olyan ρ λ metrika, mellyes (S, ρ λ ) teljes és ρ λ (f (x), f (x)) λρ λ(x,y), minden x, y S esetén.
Kontrakciók 28 of 71 A Banach fixponttétel PÉLDA: A NEWTON ITERÁCIÓ
Affin transzformációk 29 of 71 Alapfogalmak AFFIN TRANSZFORMÁCIÓK I A következőkben a metrikus terünk R n az euklideszi távolsággal. Egy affin transzformáció egy lineáris leképezés és egy eltolás kompozíciója. Definíció Az L : R n R m leképezés lineáris transzformáció, ha minden x, y R n esetén teljesül az, hogy L(λx + µy) = λy + µy, ahol λ, µ R tetszőlegesek.
Affin transzformációk 30 of 71 Alapfogalmak AFFIN TRANSZFORMÁCIÓK I A következőkben a metrikus terünk R n az euklideszi távolsággal. Egy affin transzformáció egy lineáris leképezés és egy eltolás kompozíciója. Definíció Az L : R n R m leképezés lineáris transzformáció, ha minden x, y R n esetén teljesül az, hogy L(λx + µy) = λy + µy, ahol λ, µ R tetszőlegesek. Megjegyzés
Affin transzformációk 31 of 71 Alapfogalmak AFFIN TRANSZFORMÁCIÓK I A következőkben a metrikus terünk R n az euklideszi távolsággal. Egy affin transzformáció egy lineáris leképezés és egy eltolás kompozíciója. Definíció Az L : R n R m leképezés lineáris transzformáció, ha minden x, y R n esetén teljesül az, hogy L(λx + µy) = λy + µy, ahol λ, µ R tetszőlegesek. Megjegyzés Ha L : R n R m egy lineáris leképezés, akkor létezik olyan n m-es L mátrix, hogy L(x) = Lx.
Affin transzformációk 32 of 71 Alapfogalmak AFFIN TRANSZFORMÁCIÓK I A következőkben a metrikus terünk R n az euklideszi távolsággal. Egy affin transzformáció egy lineáris leképezés és egy eltolás kompozíciója. Definíció Az L : R n R m leképezés lineáris transzformáció, ha minden x, y R n esetén teljesül az, hogy L(λx + µy) = λy + µy, ahol λ, µ R tetszőlegesek. Megjegyzés Ha L : R n R m egy lineáris leképezés, akkor létezik olyan n m-es L mátrix, hogy L(x) = Lx. Lineáris transzformáció egyenest egyenesbe visz.
Affin transzformációk 33 of 71 Alapfogalmak AFFIN TRANSZFORMÁCIÓK II Definíció Eltoláson egy T a : R n R n, x x + a leképezést értünk, ahol a R n tetszőleges fix vektor.
Alapfogalmak AFFIN TRANSZFORMÁCIÓK II Definíció Eltoláson egy T a : R n R n, x x + a leképezést értünk, ahol a R n tetszőleges fix vektor. Definíció Affin transzformáción egy A : R n R m, x (T a L)(x) leképezést értünk, ahol L : R n R m lineáris leképezés, T a pedig a-val eltolás R m -ben. Affin transzformációk 34 of 71
Alapfogalmak AFFIN TRANSZFORMÁCIÓK II Definíció Eltoláson egy T a : R n R n, x x + a leképezést értünk, ahol a R n tetszőleges fix vektor. Definíció Affin transzformáción egy A : R n R m, x (T a L)(x) leképezést értünk, ahol L : R n R m lineáris leképezés, T a pedig a-val eltolás R m -ben. Megjegyzés Az affin leképezések mátrixos előállítása nyilvánvalóan adódik Affin transzformációk 35 of 71
Affin transzformációk 36 of 71 Alapfogalmak PÉLDA A SIERPIŃSKI HÁROMSZÖG AFFIN TRANSZFORMÁCIÓKKAL T 1 : T 2 : T 3 : [ x1 x 2 [ x1 x 2 [ x1 x 2 ] [ 1 ] [ ] [ ] 2 0 x1 0 1 + 0 x 2 2 0 ] [ 1 ] [ ] [ 2 0 1 ] x1 1 + 2 0 x 2 2 0 ] [ 1 ] [ ] [ ] 2 0 1 x1 1 + 4 0 x 3. 2 2 4
Affin transzformációk 37 of 71 R n izometriái R n IZOMETRIÁI I Jelölések: Euklideszi metrika:
Affin transzformációk 38 of 71 R n izometriái R n IZOMETRIÁI I Jelölések: Euklideszi metrika: Belső szorzat:,
Affin transzformációk 39 of 71 R n izometriái R n IZOMETRIÁI I Jelölések: Euklideszi metrika: Belső szorzat:, Megjegyzés Egy T izometria az Euklideszi norma segítségével így írható fel: T(x) T(y = x y
R n izometriái R n IZOMETRIÁI II Állítás Ha T izometria és T (0) = 0, akkor Bizonyítás Használjuk az x, y = 1 2 összefüggést a képelemekre. T (x), T (y) = x, y. ( x 2 + y 2 x y 2) Affin transzformációk 40 of 71
Affin transzformációk 41 of 71 R n izometriái R n IZOMETRIÁI III Tétel Ha f : TR n R n izometria, akkor T affin leképezés és T (vecx) = Qx + b alakú, ahol Q ortogonális mátrix, b tetszőleges vektor.
Affin transzformációk 42 of 71 R n izometriái R n IZOMETRIÁI III Tétel Ha f : TR n R n izometria, akkor T affin leképezés és T (vecx) = Qx + b alakú, ahol Q ortogonális mátrix, b tetszőleges vektor. Bizonyítás. Legyen b = T (0). Ekkor a T 1 (x) = T (x) b leképezés is izometria, az előző állítás miatt megőrzi a belső szorzatot, így a normát is. Ha most {e i } a standard ortonormált bázis, akkor q i = T 1 (e i ) is ortornormált bázis.
R n izometriái R n IZOMETRIÁI III A BIZONYÍTÁS FOLYTATÁSA... folyt Ekkor minden x R n felírható n i=1 a iq i lineáris kombinációként, a koordináták az ortonormáltság miatt belső szorzatok, tehát a i = x, q i. Ekkor x-re alkalmazva T 1 -et: n T 1 (x) = T 1 (x), q i q i i=1 = = n T 1 (x), T 1 (e i ) q i i=1 n xq,, e i q i i=1 Affin transzformációk 43 of 71
Affin transzformációk 44 of 71 R n izometriái R n IZOMETRIÁI IV A BIZONYÍTÁS BEFEJEZÉSE Innen következik, hogy T 1 lineáris, a mátrixa Q és a mátrix oszlopai q i. Ebből pedig T (x) = T 1 (x) + b.
Affin transzformációk 45 of 71 R n hasonlóságai R n HASONLÓSÁGAI I Megjegyzés Egy S : R n R n hasonlóság az Euklideszi norma segítségével így írható fel: T(x) T(y = r x y, ahol r > 0 tetszőleges valós szám. Bizonyítás Legyen T (x) = 1 r (S (x) S (0)). Belátható, hogy ekkor T egy olyan izometria, amire T (0) = 0.
Affin transzformációk 46 of 71 R n hasonlóságai R n HASONLÓSÁGAI I Megjegyzés Egy S : R n R n hasonlóság az Euklideszi norma segítségével így írható fel: T(x) T(y = r x y, ahol r > 0 tetszőleges valós szám. Tétel Ha S : R n R n r-arányú hasonlóság, akkor S a következő alakban írható: S (x) = rqx + b, ahol Q egy ortogonális mátrix, b pedig egy vektor. Bizonyítás Legyen T (x) = 1 r (S (x) S (0)). Belátható, hogy ekkor T egy olyan izometria, amire T (0) = 0.
Definíciók DEFINÍCIÓK Definíció Egy f C([0, 1], S) függvényt S -beli folytonos görbének nevezünk. Ha f R n -beli folytonos görbe és létezik olyan 0 = a 0 < a 1 < < a n = 1 felosztása a [0, 1] intervalumnak, hogy f affin minden [a i, a i+1 ] részintervallumon, akkor szakaszonként affinnak nevezzük. Ekkor f értékkészlete poligon vagy poligonális görbe. Folytonos görbék 47 of 71
Definíciók DEFINÍCIÓK Definíció Egy f C([0, 1], S) függvényt S -beli folytonos görbének nevezünk. Ha f R n -beli folytonos görbe és létezik olyan 0 = a 0 < a 1 < < a n = 1 felosztása a [0, 1] intervalumnak, hogy f affin minden [a i, a i+1 ] részintervallumon, akkor szakaszonként affinnak nevezzük. Ekkor f értékkészlete poligon vagy poligonális görbe. Megjegyzés A szakaszonként affin függvények folytonosak. Folytonos görbék 48 of 71
A Koch-görbe A KOCH-GÖRBE Tétel A görbe konstrukciójában szereplő poligonsorozat egyenletesen konvergál a Koch-görbéhez. Folytonos görbék 49 of 71
A Koch-görbe A KOCH-GÖRBE Tétel A görbe konstrukciójában szereplő poligonsorozat egyenletesen konvergál a Koch-görbéhez. Folytonos görbék 50 of 71
A Koch-görbe A KOCH-GÖRBE Tétel A görbe konstrukciójában szereplő poligonsorozat egyenletesen konvergál a Koch-görbéhez. Bizonyítás A k-adik lépésben 4 k darab vonaldarabból áll a görbe; jelöljük őt P k -val.(p k P k+1 és a fordítottja sem áll fenn.) Osszuk a [0, 1] intervallumot 4 k darab azonos hosszúságú részintervallumra; definiáljuk a g k : [0, 1] R 2 függvényeket úgy, hogy minden részintervallumon a P k megfelelő szakaszát rendeljük hozzá, g k (0) a P k bal végpontja. Ez nyilván szakaszonként affin függvény lesz. Folytonos görbék 51 of 71
A Koch-görbe A KOCH-GÖRBE Tétel A görbe konstrukciójában szereplő poligonsorozat egyenletesen konvergál a Koch-görbéhez. Bizonyítás A k-adik lépésben 4 k darab vonaldarabból áll a görbe; jelöljük őt P k -val.(p k P k+1 és a fordítottja sem áll fenn.) Osszuk a [0, 1] intervallumot 4 k darab azonos hosszúságú részintervallumra; definiáljuk a g k : [0, 1] R 2 függvényeket úgy, hogy minden részintervallumon a P k megfelelő szakaszát rendeljük hozzá, g k (0) a P k bal végpontja. Ez nyilván szakaszonként affin függvény lesz. Nyilván P 1 minden pontja távolsága P 0 -tól nem lehet 1-nél nagyobb, ezért ρ u(g 0, g 1 ) 1. Folytonos görbék 52 of 71
A Koch-görbe A KOCH-GÖRBE Tétel A görbe konstrukciójában szereplő poligonsorozat egyenletesen konvergál a Koch-görbéhez. Bizonyítás A k-adik lépésben 4 k darab vonaldarabból áll a görbe; jelöljük őt P k -val.(p k P k+1 és a fordítottja sem áll fenn.) Osszuk a [0, 1] intervallumot 4 k darab azonos hosszúságú részintervallumra; definiáljuk a g k : [0, 1] R 2 függvényeket úgy, hogy minden részintervallumon a P k megfelelő szakaszát rendeljük hozzá, g k (0) a P k bal végpontja. Ez nyilván szakaszonként affin függvény lesz. Nyilván P 1 minden pontja távolsága P 0 -tól nem lehet 1-nél nagyobb, ezért ρ u(g 0, g 1 ) 1. Mivel a lépések során minden részintervallumot 3 k oldalhosszúságú sátrakkal helyettesítünk, indukcióval következik, hogy ρ u(g k, g k+1 ) 3 k. Folytonos görbék 53 of 71
A Koch-görbe A KOCH-GÖRBE Tétel A görbe konstrukciójában szereplő poligonsorozat egyenletesen konvergál a Koch-görbéhez. Bizonyítás A k-adik lépésben 4 k darab vonaldarabból áll a görbe; jelöljük őt P k -val.(p k P k+1 és a fordítottja sem áll fenn.) Osszuk a [0, 1] intervallumot 4 k darab azonos hosszúságú részintervallumra; definiáljuk a g k : [0, 1] R 2 függvényeket úgy, hogy minden részintervallumon a P k megfelelő szakaszát rendeljük hozzá, g k (0) a P k bal végpontja. Ez nyilván szakaszonként affin függvény lesz. Nyilván P 1 minden pontja távolsága P 0 -tól nem lehet 1-nél nagyobb, ezért ρ u(g 0, g 1 ) 1. Mivel a lépések során minden részintervallumot 3 k oldalhosszúságú sátrakkal helyettesítünk, indukcióval következik, hogy ρ u(g k, g k+1 ) 3 k. {g k } Cauchy-sorozat, mivel: ρ u(g n, g m) m 1 j=n 3 j < 3 k+1 2 Folytonos görbék 54 of 71
A Koch-görbe A KOCH-GÖRBE Tétel A görbe konstrukciójában szereplő poligonsorozat egyenletesen konvergál a Koch-görbéhez. Bizonyítás A k-adik lépésben 4 k darab vonaldarabból áll a görbe; jelöljük őt P k -val.(p k P k+1 és a fordítottja sem áll fenn.) Osszuk a [0, 1] intervallumot 4 k darab azonos hosszúságú részintervallumra; definiáljuk a g k : [0, 1] R 2 függvényeket úgy, hogy minden részintervallumon a P k megfelelő szakaszát rendeljük hozzá, g k (0) a P k bal végpontja. Ez nyilván szakaszonként affin függvény lesz. Nyilván P 1 minden pontja távolsága P 0 -tól nem lehet 1-nél nagyobb, ezért ρ u(g 0, g 1 ) 1. Mivel a lépések során minden részintervallumot 3 k oldalhosszúságú sátrakkal helyettesítünk, indukcióval következik, hogy ρ u(g k, g k+1 ) 3 k. {g k } Cauchy-sorozat, mivel: ρ u(g n, g m) m 1 j=n 3 j < 3 k+1 2 Mivel C([0, 1], R 2 ) teljes, {g k } konvergens az uniform metrikában, ezért a határértéke folytonos. Folytonos görbék 55 of 71
A Cantor-halmaz A CANTOR-HALMAZ Adottak E = {0, 1} és E ω Folytonos görbék 56 of 71
A Cantor-halmaz A CANTOR-HALMAZ Adottak E = {0, 1} és E ω Definiáljuk a g k : E ω R függvényeket a következőképp: Folytonos görbék 57 of 71
A Cantor-halmaz A CANTOR-HALMAZ Adottak E = {0, 1} és E ω Definiáljuk a g k : E ω R függvényeket a következőképp: 1 g 0 (σ) = 0. Ekkor g 0 (E ω ) = L 0 2 g 1 (0σ) = 0, g 1 (1σ) = 2 3. Ekkor g 1(E ω ) = L 1 és g 1 folytonos, mivel [0] és [1] nyíltak. 3 g k+1 (0σ) = g k(σ) 3 és g k+1 (1σ) = g k(σ)+2 3 Folytonos görbék 58 of 71
A Cantor-halmaz A CANTOR-HALMAZ Adottak E = {0, 1} és E ω Definiáljuk a g k : E ω R függvényeket a következőképp: 1 g 0 (σ) = 0. Ekkor g 0 (E ω ) = L 0 2 g 1 (0σ) = 0, g 1 (1σ) = 2 3. Ekkor g 1(E ω ) = L 1 és g 1 folytonos, mivel [0] és [1] nyíltak. 3 g k+1 (0σ) = g k(σ) 3 és g k+1 (1σ) = g k(σ)+2 3 A következők láthatók be : g k folytonos, Cauchy-sorozat, így konvegál, a határérték folytonos. Folytonos görbék 59 of 71