ábra: Ábra Bodó Bea, Simonné Szabó Klára Matematika. közgazdászoknak
III. modul: Egyváltozós valós üggvények 3. lecke: Függvénytani alapogalmak Tanulási célok: a üggvény ogalmához kapcsolódó kiejezések áttekintése, az értelmezési tartomány meghatározásához alkalmazott leggyakoribb eljárások gyakorlása. Elméleti összeoglaló Deiníció: Legyen A és B két nem üres halmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük a B halmaz egy-egy elemét, akkor az A halmazon egy üggvényt értelmeztünk. Az A halmaz a üggvény értelmezési tartománya, a B halmaz pedig a üggvény képhalmaza. B-nek azon elemei, amelyek a hozzárendelésben részt vesznek, a üggvény értékkészletét alkotják. Tehát az értékkészlet a képhalmaz része. Jelölés: az üggvény értelmezési tartománya D, az üggvény értékkészlete R (. ábra).. ábra Függvény értelmezési tartománya, képhalmaza, értékkészlete {á:3_.png} deiníció rész Deiníció: Ha a üggvényt jelöli és A, akkor az -hez rendelt B-beli elemet ( ) -szel jelöljük, amit az üggvény helyhez tartozó helyettesítési értékének nevezzük. Deiníció: Az változó neve üggetlen változó (vagy argumentum), az ( ) neve pedig üggő változó, amit szokás y ( ) -szel is jelölni. Deiníció: Azokat a üggvényeket, amelyek értelmezési tartománya és értékkészlete is valós számokból áll, egyváltozós valós üggvényeknek nevezzük. Deiníció: A P,, D pontok halmazát az üggvény graikonjának nevezzük, ahol végigutja az értelmezési tartományát.
normál rész A graikonok rengeteg különböző alakot ölthetnek, de ontos megjegyezni, hogy nem minden síkgörbe üggvény graikonja. Egy üggvény az értelmezési tartományának tetszőleges pontjához csak egyetlen y értéket rendel. Ez a tulajdonság könnyen ellenőrizhető, mivel a üggvény graikont az tengely bármely pontján átmenő üggőleges egyenes legeljebb egy pontban metszi (-3. ábra).. ábra Ez a görbe üggvénygraikon {á:3_.png} 3. ábra Ez a görbe nem üggvénygraikon {á:3_3.png} A üggvények ábrázolásakor sokszor elegendő egy jelleggörbe megrajzolása, mely egyértelműen mutatja a üggvény előjelviszonyait (az értelmezési tartomány mely részein halad a üggvény az tengely alatt és elett), a zérushelyeket, a szakadási helyek és a végtelen(ek) környezetében való viselkedését. A üggvények ábrájáról az értelmezési tartományt az tengelyről, míg az értékkészletet az y tengelyről olvassuk le. 3
{á:3_4.png} 4. ábra Az értelmezési tartomány és értékkészlet leolvasása a tengelyekről A üggvények értelmezési tartományának meghatározásakor láttuk, hogy mely üggvények esetében milyen kikötést kell tennünk. Nézzük meg most ezen üggvények ábráját, s ez alapján is olvassuk le az értelmezési tartományt az tengelyről. 5. ábra Gyöküggvény értelmezési tartománya {á:3_5.png} {á:3_6.png} 6. ábra Logaritmusüggvény értelmezési tartománya 4
7. ábra Törtüggvény értelmezési tartománya {á:3_7.png} Gyöküggvény értelmezési tartománya Egy üggvény megadásához meg kell adni az értelmezési tartományt, a képhalmazt és a hozzárendelési szabályt, melynek segítségével minden A elemhez meghatározható a hozzátartozó B elem. Általában a hozzárendelési szabályt képlettel adjuk meg. Például: 4 A gyakorlatban nem mindig adjuk meg az értelmezési tartományt és az értékkészletet. Ilyenkor azon számok halmazát értjük az értelmezési tartomány alatt, amelyekre a hozzárendelési utasítás elvégezhető, illetve azon y értékek halmazát értjük értékkészlet alatt, amelyek egy-egy számhoz tartoznak. Ebből kiolyólag, ha nem adunk meg értelmezési tartományt a lineáris üggvény, hatványüggvény, eponenciális üggvény, szinuszüggvény, koszinuszüggvény esetén, akkor a legbővebb halmaz, melyen ezek a üggvények értelmezve vannak, a valós számok halmaza ( ). Azonban néhány üggvény kivételnek számít. Ide tartozik a páros pozitív egész kitevőjű gyöküggvény, a törtüggvény és a logaritmusüggvény. Vegyük sorra, hogy melyik üggvény esetében milyen kikötést kell tenni. a) n, ahol n páros pozitív egész Negatív számokból nem tudunk gyököt vonni a valós számok halmazán, így az argumentum nagyobb egyenlő, mint 0, azaz 0., ahol a b) log a 0-nál nagyobb számoknak van csak logaritmusa, azaz a kikötés 0. c) 5
Egy tört nevezőjében nem szerepelhet 0, mivel 0-val nem tudunk osztani, azaz a kikötés 0. példa rész Kidolgozott eladatok. eladat: Határozzuk meg az üggvény értelmezési tartományát. Megoldás: A üggvény hozzárendelési utasítása egy tört. Tudjuk, hogy egy tört nevezője nem lehet nulla. Most tehát a valós számok közül azokat kell kizárni az értelmezési tartományból, amelyekre a nevező nulla. Megoldjuk tehát az 0 egyenletet. Használhatjuk a másodokú egyenlet megoldóképletét, vagy az bontást. 0 szorzatra Mivel egy szorzat akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla, azt kapjuk, hogy egyenletünk két megoldása: és 0. Ebből a két számból álló halmazt kell tehát a valós számok halmazából kivonni. Így az üggvény D -el jelölt értelmezési tartománya: D \,0 ],, 0[ ]0, [.. eladat: Határozzuk meg az üggvény értelmezési tartományát. Megoldás: Négyzetgyököt a valós számok körében csak nemnegatív számból vonhatunk. Ezért az a eltétel, hogy 0. Ennek az egyenlőlenségnek a megoldáshalmaza adja az értelmezési tartományt. A másodokú egyenlőtlenség megoldását a következőképp kaphatjuk meg. Először megoldjuk az 0 egyenletet. Szorzatra bontva a másodokú kiejezést 0, a két gyök tehát és. Persze a megoldóképletet is használhattuk volna. 6
A másodokú kiejezés őegyütthatója pozitív, így graikonja egy elelé nyíló parabola, tehát a kiejezés a két gyökén kívül pozitív, és a két gyöke között negatív (8. ábra). Az értelmezési tartományt úgy kapjuk meg, hogy a valós számok közül elhagyjuk azokat, ahol a másodokú kiejezés negatív, azaz a ], [ nyílt intervallum pontjait. 8. ábra {á:3_8.png} Ezek alapján D \],, ] [, [. Figyeljünk a zárójelekre! Az előző eladatban a valós számok halmazából egy kételemű halmazt vontunk ki, ezért használtunk ott kapcsos zárójelet. A mostani eladatban egy nyílt intervallum összes elemét kellett elhagyni a valós számok halmazából. 3. eladat: Határozzuk meg az ln üggvény értelmezési tartományát. Megoldás: Most két dolog jelent korlátozást. Az első az, hogy logaritmusát csak pozitív számnak vehetjük, tehát teljesülnie kell az 0 egyenlőtlenségnek. A második az, hogy a nevezőben nem állhat nulla. Az értelmezési tartományt tehát úgy kapjuk meg, hogy a enti egyenlőtlenség megoldáshalmazából elhagyjuk a nevező gyökhelyeit. Megoldjuk az 0 egyenlőtlenséget. Mivel, a másodokú kiejezés minden -től különböző szám esetén pozitív (graikonja egy elelé nyíló parabola, zérushelye - ben). Tehát az egyenlőtlenség megoldáshalmaza H ],, [. A második eltételnek megelelően a nevező akkor lesz nulla, ha ln 0. Mivel a logaritmusüggvény csak -ben nulla, 7
, azaz, ha 0. Ennek a másodokú egyenletnek a két megoldása 0 és elhagyni a H halmazból.. Ezt a két számot kell tehát még Ezek alapján végül is D H \ 0, ], 0 0,,, [. 4. eladat: Mi az értelmezési tartománya az ln üggvénynek? Megoldás: Nyilván értelmesnek kell lenni külön a gyökös és külön a logaritmusos kiejezésnek is. Jelölje H azt a halmazt, ahol a gyökös kiejezés értelmes, H azt a részhalmazt, ahol a logaritmusos kiejezés értelmes. A D ennek a két halmaznak a metszete. Meghatározzuk először H -et. Az a eltétel, hogy 0, azaz legyen. Ez alapján H ], ]. H esetén az a eltétel, hogy 0, azaz legyen. Ebből H ], [. Ennek a két halmaznak a metszetéből kapjuk, hogy D ], ]. Egyváltozós üggvények értelmezési tartományát gyakran valós számok részhalmazainak metszeteként vagy uniójaként kapjuk meg. Metszetet használunk abban az esetben, ha egyik és másik eltételnek is egyszerre kell teljesülnie. Uniót használunk olyankor, mikor az egyik vagy a másik eltétel teljesül. 8
A valós számok részhalmazai ábrázolhatók a valós számegyenesen. Az ilyen részhalmazok metszeteit és unióit, különösen, ha azok tagjai több darabból állnak, graikusan célszerű meghatározni a következő módon. A metszet vagy unió minden tagját eltüntetjük egy valós számegyenesen, úgy, hogy a halmazhoz tartozó pontokat megvastagítjuk. Ezeket egymás alá rajzoljuk, úgy, hogy a origók egy üggőleges vonalban legyenek. Az egységet is mindegyik ábrán ugyanakkorának választjuk. Az üres kör azt jelzi, hogy az a szám nincs a halmazban, a teli kör azt, hogy benne van. Ezután a metszetet úgy kapjuk, hogy legalul elveszünk még egy számegyenest, ügyelve arra, hogy az origója és az egysége a entiek alá essen, és azon megjelöljük azokat a pontokat, amelyek mindegyik számegyenesen meg voltak jelölve. Az uniónál azokat a pontokat kell a legalsó számegyenesen megjelölni, amelyek valamelyik entin meg voltak jelölve. A eladatunk esetében ezt mutatja az alábbi ábra. {á:3_9.png} 5. eladat: Határozzuk meg az Megoldás: Annak kell teljesülni, hogy 0. üggvény értelmezési tartományát. Ez akkor igaz, ha a tört értéke nulla, ami a valós számok egy H részhalmazán teljesül, vagy ha a tört értéke pozitív, ami egy H részhalmazon teljesül. Most ennek a két halmaznak az uniója adja a et. D - Kezdjük H meghatározásával. Egy tört akkor nulla, ha a számlálója nulla, és a nevező pedig értelmes. Az 0 ha. Mivel -ben a nevező nem nulla, így ez a tört egyetlen zérushelye, vagyis H. eltétel teljesül, Rátérünk H meghatározására. Egy tört két esetben pozitív. Ha mind a számláló, mind a nevező pozitív, ez egy pontjaiban teljesül, vagy ha mind a számláló, mind a nevező negatív, ez egy Ezek uniója adja H -t. ' H halmaz '' H pontjaiban teljesül. 9
Meghatározzuk először 0, azaz, és 0, azaz. ' H -t. Annak kell teljesülni, hogy Ez a két egyenlőtlenség egyszerre az számokra teljesül, tehát ' H. ], [ '' H esetén annak kell teljesülni, hogy 0, azaz, és 0, azaz. Ez a két egyenlőtlenség egyszerre az számokra teljesül, vagyis '' H. ], [ Ezeket elhasználva, amint az az alábbi ábráról is leolvasható H H H. ' '' ], [ ], [ {á:3_0.png} Végül is D H H ], [ [, [. 0
Az D graikus előállítása szerepel a következő ábrán. {á:3_.png} 6. eladat: Hatátozzuk meg az ln üggvény értelmezési tartományát. Megoldás: A logaritmus argumentumára vonatkozó kikötés alapján teljesül az 0 egyenlőtlenség. Egy tört két esetben pozitív. Ha mind a számláló, mind a nevező pozitív, vagy ha mind a kettő negatív. Bevezetjük a következő jelöléseket. H -gyel jelöljük azt a halmazt, ahol a számláló és a nevező is pozitív. H -vel azt a halmazt, ahol mindkettő negatív. ' H jelölje azt a halmazt, ahol a számláló pozitív. '' H az a halmaz, ahol a nevező pozitív. ' H az a halmaz, ahol a számláló negatív. '' H az a halmaz, ahol a nevező negatív. Ezek metszete H H H. Ezek metszete ' '' H H H ' '' Ezek uniója adja az értelmezési tartományt. D H H Kezdjük H meghatározásával. Mivel a számláló és a nevező képe is elelé nyíló parabola, ezek a gyökeiken kívül pozitívak, és a gyökeik között negatívak. Egyenlővé téve a számlálót is és a nevezőt is nullával, és megoldva az egyenleteket, azt kapjuk, hogy a számláló gyökei és, a nevező gyökei pedig és. A lenti ábráról leolvashatjuk, hogy
H ], [ ], [. {á:3_.png} Térjünk rá H meghatározására. Mivel a számláló és a nevező képe is elelé nyíló parabola, ezért gyökeik között negatívak (Láttuk, hogy a számláló gyökei és, a nevező gyökei pedig és ). A lenti ábra alapján meghatározható a metszet. H ],[. {á:3_3.png} Végül, az uniót is graikusan meghatározva, az alábbi ábrából kapjuk, hogy D H H ], [ ],[ ], [. teszt rész Ellenőrző kérdések {á:3_4.png}. Mi az üggvény értelmezési tartománya? D ], 0[ ], [.
D ], 0[ ]0, [ ], [. D ], 0[ [0, ] ], [. D [0, ].. Mi az értelmezési tartománya az D ], ] ]0, [. üggvénynek? D \ 0. D, ]0, [. \, 0 D. 3. Legyen ln. Ekkor D ]0, [. ], 0[. 0,. ]0, ]. 4. Az 3 ln üggvény értelmezési tartománya ], 0[ ]0, 3]. ], 0[ ]0, 3[. ], 3[. ], 3]. 3
5. Mi az értelmezési tartománya az ln 3 üggvénynek? D ], 3[. D ] 3, [. D ], 3] [, ]. \ 3, D. 4
4. lecke: Függvénytranszormációk Tanulási célok: lineáris üggvénytranszormációk áttekintése, a transzormációk hatásának ábrázolása a üggvénygörbén, üggvényekkel végzett műveletek graikonjának ábrázolása. Elméleti összeoglaló Sokszor egy-egy üggvény ábráját egy már ismert elemi üggvény görbéjéből eltolással, tükrözéssel, nyújtással vagy zsugorítással, azaz transzormációval kapjuk meg. Tekintsük át a leggyakrabban előorduló üggvénytranszormációkat, s azok hatását a üggvénygörbére. Transzormált üggvény Transzormáció hatása a üggvénygörbére a eltolás a-val az y tengely irányában a előjelének megelelően {á:4_t.png} ( ) tükrözés tengelyre {á:4_t.png} 5
c c y tengely irányú c-szeres nyújtás á:4_t3.png} { c 0c y tengely irányú c-szeres zsugorítás Érték transzormáció új táblázat Transzormált üggvény Transzormáció hatása a üggvénygörbére á:4_t4.png} { ( a ) eltolás a-val tengely mentén a előjelével ellentétes irányban {á:4_t5.png} 6
( ) tükrözés y tengelyre {á:4_t6.png} c c tengely irányú -szeres zsugorítás c g} {á:4_t7.pn c 0c tengely irányú -szeres nyújtás c Változó transzormáció {á:4_t8.png} Érdemes megjegyezni, hogy ha egy üggvény esetében több transzormációt kell elvégezni, akkor először a változó transzormációkat, majd az érték transzormációkat kell elvégezni. A változó transzormációk az értelmezési tartományra, míg az érték transzormációk az értékkészletre hatnak, s azt változtatják meg. példa rész Kidolgozott példák. eladat: Ábrázolja az 3 üggvényt. Megoldás: Függvényábrázoláskor érdemes először az értelmezési tartományt megvizsgálni a tanult módon, s az ábrázolást követően pedig ellenőrizni, hogy az ábra valóban megelel az értelmezési tartomány miatt tett kikötéseknek. Ebben az esetben a lineáris üggvény értelmezési tartományára nem kell kikötést tenni, a üggvény a teljes Az ábrázolás előtt egy átalakítást kell elvégezni 3 3. -en értelmezve van. 7
Ebből az alakból már látható, hogy egy lineáris egyenes lesz a üggvény képe. Az együtthatója adja 3 a meredekséget ( m ), és a konstans tag pedig, hogy hol metszi a üggvény az y tengelyt (y tengely menti eltolás pozitív irányba -del). Ezek alapján a üggvényt a. ábra mutatja. {á:4_.png}. ábra 3 üggvény ábrája. eladat: Ábrázolja lineáris üggvénytranszormációk segítségével az ( 3) 5 üggvényt. Megoldás: A másodokú üggvény értelmezési tartományára nem kell kikötést tenni, a üggvény a teljes -en értelmezve van. A üggvényt a következő transzormációs sorrendben érdemes ábrázolni:.. 3. 4. ( 3) (Az alapüggvényt az tengely mentén 3-mal balra eltoljuk) ( 3) (Az előző görbét az y tengely mentén elére zsugorítjuk) ( 3) 5 (Az előző görbét az y tengely mentén negatív irányba 5-tel eltoljuk) (. ábra) 8
. ábra Függvénytranszormáció több lépésben {á:4_.png} 4 6 3. eladat: Ábrázolja lineáris üggvénytranszormációk segítségével az üggvényt. Megoldás: A másodokú üggvény értelmezési tartománya. Ez a másodokú üggvény az előző üggvény elírásától abban különbözik, hogy nem olvashatóak le róla közvetlenül a üggvénytranszormációs lépések (a üggvényben több helyen szerepel az változó). Ehhez először teljes négyzetté kell alakítanunk: 4 6 3 4 8 Ez alapján a üggvényt a következő transzormációs sorrendben érdemes ábrázolni:.. (Az alapüggvényt az tengely mentén -gyel jobbra eltoljuk) (Az előző görbét az y tengely mentén kétszeresére nyújtjuk) 3. (Az előző görbét az tengelyre tükrözzük) 4. 8 (Az előző görbét az y tengely mentén pozitív irányba 8-cal eltoljuk) (3-4. ábra) 5. 9
{á:4_3.png} 3. ábra Függvénytranszormáció első három lépése {á:4_4.png} 4. ábra Függvénytranszormáció utolsó két lépése 4. eladat: Ábrázolja lineáris üggvénytranszormációk segítségével az majd az ábráról olvassa le, hogy hol van a üggvénynek aszimptotája. 3 4 üggvényt, Megoldás: A törtüggvény esetében a nevezőre kikötést kell tennünk, mégpedig a nevező nem lehet 0, azaz 40, amiből 4. Tehát az értelmezési tartomány \{ 4}. A üggvényt a következő transzormációs sorrendben érdemes ábrázolni:.. 4 (Az alapüggvényt az tengely mentén 4-gyel balra eltoljuk) 0
3. 3 4 (Az előző görbét az y tengely mentén háromszorosára nyújtjuk) 4. 3 4 (Az előző görbét az tengelyre tükrözzük) 5. 3 4 (Az előző görbét az y tengely mentén pozitív irányba -vel eltoljuk) (5-6. ábra) A 6. ábrán jól látszik, hogy a üggvény valóban nincs az 4-ben értelmezve, üggőleges aszimptotája van ott. Valamint vízszintes aszimptotát látunk az y -ben. 5. ábra Függvénytranszormáció első három lépése {á:4_5.png} 6. ábra Függvénytranszormáció utolsó két lépése {á:4_6.png} 5. eladat: Ábrázolja lineáris üggvénytranszormációk segítségével az 3 üggvényt. Megoldás: A törtüggvény esetében a nevezőre itt is kikötést kell tennünk, mégpedig a nevező nem lehet 0, azaz 30, amiből 3. Tehát az értelmezési tartomány \{3}.
Ez a tört üggvény az előző üggvény elírásától abban különbözik, hogy nem olvashatóak le róla közvetlenül a üggvénytranszormációs lépések (a üggvényben több helyen szerepel az változó). Ehhez először a következő átalakításokra van szükség (a nevezőt kialakítjuk a számlálóban, majd egyszerűsítünk): 3 5 3 5 5 3 3 3 3 3 Erről a elírásból már egyértelműen leolvashatóak a üggvénytranszormációs lépések, melyeket a következő sorrendben érdemes elvégezni:.. 3. 3 5 3 (Az alapüggvényt az tengely mentén 3-mal jobbra eltoljuk) (Az előző görbét az y tengely mentén ötszörösére nyújtjuk) 4. 5 3 (Az előző görbét az y tengely mentén pozitív irányba -gyel eltoljuk) (7-8. ábra) A 8. ábrán jól látszik, hogy a üggvény valóban nincs az 3-ban értelmezve, üggőleges aszimptotája van ott. 7. ábra Függvénytranszormáció első három lépése {á:4_7.png}
8. ábra Függvénytranszormáció utolsó két lépése {á:4_8.png} 6. eladat: Ábrázolja lineáris üggvénytranszormációk segítségével az üggvényt. ln( ) 4 3 Megoldás: A logaritmusüggvény argumentumára kikötést kell tennünk, mégpedig az argumentumnak 0-nál nagyobbnak kell lennie, azaz 0, amiből 0. Tehát az értelmezési tartomány,0. A logaritmusüggvény ábrázolásakor mindig meg kell néznünk a logaritmus alapját, mert az alap határozza meg a üggvény monotonitását. Itt a logaritmus alapja e, ami -nél nagyobb ( e, 7), így a logaritmusüggvény ebben az esetben szigorúan monoton növekvő lesz. A üggvényt a következő transzormációs sorrendben érdemes ábrázolni:. ln( ). ln( ) (Az alapüggvényt az y tengelyre tükrözzük) 3. 4. ln( ) (Az előző görbét az y tengely mentén -szorosára zsugorítjuk) 3 3 ln( ) 4 (Az előző görbét az y tengely mentén negatív irányba 4-gyel eltoljuk) (9. ábra) 3 A 9. ábrán jól látszik, hogy a üggvény valóban csak negatív értékekre van értelmezve, s az 0 - ban üggőleges aszimptotája van. 3
9. ábra Függvénytranszormáció több lépésben {á:4_9.png} 7. eladat: Ábrázolja lineáris üggvénytranszormációk segítségével az üggvényt. Hol metszi a üggvény az y tengelyt? 5 3 Megoldás: Az eponenciális üggvény értelmezési tartományára nem kell kikötést tennünk, így a üggvény a teljes -en értelmezve van. Az eponenciális üggvény esetében is hasonlóan a logaritmusüggvényhez mindig meg kell vizsgálnunk az alapot, mert az alap itt is meghatározza a üggvény monotonitását. Ebben az esetben az eponenciális kiejezés alapja, ami -nél kisebb, de 0-nál nagyobb, így az eponenciális 3 üggvény szigorúan monoton csökkenő lesz. A üggvényt a következő transzormációs sorrendben érdemes ábrázolni:.. 3. 4. 5. 3 3 5 3 (Az alapüggvényt az tengely mentén elére zsugorítjuk) 5 3 (Az előző görbét az y tengely mentén ötszörösére nyújtjuk) (Az előző görbét az tengelyre tükrözzük) 5 (Az előző görbét az y tengely mentén pozitív irányba -gyel eltoljuk) (0. ábra) 3 A 0. ábráról leolvasható, hogy a üggvény az y 4-ben metszi az y tengelyünket. (Egyszerűen végiggondolható, hogy miért. Az alapüggvény az y -ben metszi az y tengelyt. A. transzormációs lépés ezt a metszéspontot nem változtatja, míg a következő lépésben az ötszörösét 4
kell venni, azaz elkerül a metszéspont az y 5 -be. A tükrözés során y 5-be kerül, s az utolsó lépésben -et hozzáadva y 4-et kapunk.) Egy lépéssel kevesebbet is végezhettünk volna, ha egy hatványazonosságot alkalmazunk az ábrázolás előtt, mégpedig. 3 3 9 Ezzel az átalakítással a második transzormációs lépés kihagyható, s alapüggvényként az kerül ábrázolásra, a többi lépés megegyezik az előzővel. 9 {á:4_0.png} 0. ábra Függvénytranszormáció több lépésben 8. eladat: Ábrázolja lineáris üggvénytranszormációk segítségével az 3 6 5 üggvényt. Az ábráról olvassuk le a globális szélsőértéket. Megoldás: A gyöküggvény esetében a gyök alatti kiejezésnek nemnegatívnak kell lennie, azaz 3 6 0, amiből. Tehát az értelmezési tartomány,. Az ábrázolás előtt az argumentumon átalakítást kell végezni a következőképp 3 6 5 3( ) 5 Ezt követően már leolvashatóak a üggvénytranszormációs lépések:. 5
. 3 (Az alapüggvényt az tengely mentén harmadára zsugorítjuk) 3. 3( ) (Az előző görbét az tengely mentén -vel balra eltoljuk) 4. 3( ) 5 (Az előző görbét az y tengely mentén pozitív irányba 5-tel eltoljuk) (. ábra) A. ábrán jól látszik, hogy a üggvény valóban csak az értékekre van értelmezve. A. ábráról leolvasva a globális minimum helye, értéke y 5. (Egyszerűen végiggondolható, hogy miért. Az alapüggvénynek az origóban van globális minimuma. Az első transzormációs lépés nem változtat ezen, a következő viszont eltolja balra -vel, azaz átkerül az, y 0 -ba. Az utolsó transzormáció során a elelé tolással a minimum y értéke megváltozik, így lesz a minimum helye, értéke 5 y.). ábra Függvénytranszormáció több lépésben {á:4_.png} 9. eladat: Ábrázolja lineáris üggvénytranszormációk segítségével az cos üggvényt. Megoldás: A koszinuszüggvény értelmezési tartományára nem kell kikötést tennünk, így az értelmezési tartomány. Az ábrázolás előtt itt is az argumentumon átalakítást kell végezni a következőképp cos cos ( ) A üggvényt ilyen alakban már a következő transzormációs sorrendben érdemes ábrázolni:. cos 6
. cos (Az alapüggvényt az tengely mentén elére zsugorítjuk) 3. cos ( ) (Az előző görbét az tengely mentén -vel balra eltoljuk) 4. 5. cos (Az előző görbét az y tengely mentén elére zsugorítjuk) cos ( ) (Az előző görbét az y tengely mentén negatív irányba -gyel eltoljuk) (-3. ábra). ábra Függvénytranszormáció első három lépése {á:4_.png}.png} 3. ábra Függvénytranszormáció utolsó két lépése {á:4_3 teszt rész 7
Ellenőrző kérdések. Melyik ábra tartozik az 3 6 9 üggvényhez? {á:4a.png} {á:4b.png} {á:4c.png} 8
{á:4d.png}. Hol van globális szélsőértéke az 4( 5) üggvénynek? globális maimum helye 5, értéke y globális minimum helye 5, értéke y globális minimum helye, értéke y 5 globális maimum helye, értéke y 5 3. Hol van aszimptotája az 8 4 üggvénynek? 4 -ben üggőleges aszimptotája, y 8 4-ben üggőleges aszimptotája, y 8 4 -ben üggőleges aszimptotája, y 8 4-ben üggőleges aszimptotája, y 8 -ban vízszintes aszimptotája -ban vízszintes aszimptotája -ban vízszintes aszimptotája -ban vízszintes aszimptotája 9
4. Melyik ábra tartozik az 5 üggvényhez? {á:44a.png} {á:44b.png} {á:44c.png} 30
{á:44d.png} 5. Melyik ábra tartozik az 3log 5 üggvényhez? {á:45a.png} {á:45b.png} 3
{á:45c.png} {á:45d.png} 6. Hol metszi az 4 e üggvény az y tengelyt? y y y 4 y 4 7. Melyik ábra tartozik az sin üggvényhez? {á:47a.png} 3
{á:47b.png} {á:47c.png} {á:47d.png} 8. Melyik hozzárendelési szabály tartozik a következő üggvényábrához? {á:48.png} 3 3 5 5 3 5 3 5 33
5. lecke: Függvény tulajdonságok és az elemi üggvények Tanulási célok: a legontosabb üggvénytulajdonságok áttekintése, az elemi üggvények ezen tulajdonságok alapján való jellemzése. Elméleti összeoglaló A következő részben elsoroljuk azokat a ogalmakat, amelyeket a üggvények vizsgálata során a leggyakrabban használunk. deiníció rész Deiníció: Az üggvénynek az 0 helyen globális maimuma van, ha az értelmezési tartományba ( ) ( ) (. ábra). eső minden esetén 0. ábra Globális maimum deiníciója {á:5_.png} deiníció rész Deiníció: Az üggvénynek az 0 helyen globális minimuma van, ha az értelmezési tartományba ( ) ( ) (. ábra). eső minden esetén 0. ábra Globális minimum deiníciója {á:5_.png} Deiníció: Az ( 0) globális maimumot és globális minimumot globális szélsőértéknek, az 0 helyet pedig globális szélsőértékhelynek nevezzük. Ha az ( 0) csak az 0 hely valamely 34
környezetében maimális, illetve minimális, akkor lokális maimumról, illetve lokális minimumról beszélünk, 0 pedig lokális maimumhely, illetve lokális minimumhely, közös néven lokális szélsőértékhely (3. ábra). 3. ábra Példa lokális és globális szélsőértékekre {á:5_3.png}, 4 lokális minimumhely, 3, 5 lokális maimumhely 5 globális maimumhely 4 globális minimumhely Deiníció: Az üggvény monoton nő az ] a, b[ D intervallumon, ha minden, ] a, b [ és esetén teljesül, hogy ( ) ( ) (4. ábra). 4. ábra Monoton növekvő üggvény deiníciója {á:5_4.png} Deiníció: Az üggvény monoton csökken az ] a, b[ D intervallumon, ha minden, ] a, b [ és esetén teljesül, hogy ( ) ( ) (5. ábra). 35
5. ábra Monoton csökkenő üggvény deiníciója {á:5_5.png} Tehát a monoton növekedés (és monoton csökkenés) deiníciója megengedi, hogy a üggvény graikonjában legyenek olyan szakaszok, ahol azok párhuzamosak az tengellyel (tehát konstansok). Deiníció: Hasonlóképp ogalmazhatóak meg a üggvények szigorú monotonitására vonatkozó deiníciók is. Az üggvény szigorúan monoton nő az ] a, b[ D intervallumon, ha minden, ] a, b [ és esetén teljesül, hogy ( ) ( ) (6. ábra). {á:5_6.png} 6. ábra Szigorúan monoton növő üggvény deiníciója Deiníció: Az üggvény szigorúan monoton csökken az ] a, b[ D intervallumon, ha minden, ] a, b [ és esetén teljesül, hogy ( ) (7. ábra). 36
{á:5_7.png} 7. ábra Szigorúan monoton csökkenő üggvény deiníciója Deiníció: Az üggvényt páros üggvénynek nevezzük, ha minden D esetén is az értelmezési tartományban van és ( ) ( ) (8. ábra). Deiníció: Az üggvényt páratlan üggvénynek nevezzük, ha minden D esetén is az értelmezési tartományban van és ( ) (9. ábra). 8. ábra Páros üggvény {á:5_8.png} 37
9. ábra Páratlan üggvény {á:5_9.png} Megjegyzés: A páros üggvény görbéje az y tengelyre, a páratlan üggvény görbéje az origóra n n szimmetrikus. Az (ahol n páros), cos üggvények párosak, az (ahol n páratlan), sin,, tg, arcsin, arctg üggvények páratlanok. A többi elemi üggvény se nem páros, se nem páratlan. Deiníció: Minden olyan 0 érték, amelyre az üggvény helyettesítési értéke 0, azaz 0, az üggvény zérushelye. Azaz a zérushely az üggvény tengellyel való metszéspontjá(i)t adja meg. normál rész Elemi üggvények Lineáris üggvény m b b az y tengellyel való metszéspont m a meredekség {á:5_.png} 38
ha m 0, akkor szigorúan monoton nő ha m 0, akkor szigorúan monoton csökken D R nincs globális szélsőérték Hatványüggvény {á:5_.png} n, n páros pozitív egész D R 0, szigorúan monoton csökken ],0] tartományon szigorúan monoton nő [0, [ tartományon globális minimum helye 0, értéke y 0 páros üggvény Hatványüggvény {á:5_3.png} 39
n, n páratlan pozitív egész D R szigorúan monoton nő nincs globális szélsőértéke páratlan üggvény Gyöküggvény -en {á:5_4.png} n, n páros pozitív egész D R [0, [ [0, [ szigorúan monoton nő az értelmezési tartományon globális minimum helye 0, értéke y 0 Törtüggvény {á:5_5.png} 40
n, n páratlan pozitív egész D R \ 0 \ 0 szigorúan monoton csökken a ], 0[ és a ]0, [ tartományokon nincs globális szélsőértéke páratlan üggvény Eponenciális üggvény a, a {á:5_6.png} D R ]0, [ szigorúan monoton nő -en nincs globális szélsőértéke Fontos kiemelni az e alapú eponenciális üggvényt (más néven természetes alapú eponenciális üggvény), ahol e egy irracionális szám, melynek értéke,788884, jelölése: e. 4
Eponenciális üggvény {á:5_7.png} a, 0a D R ]0, [ szigorúan monoton csökken nincs globális szélsőértéke -en Példa: radioaktív elemek elezési ideje eponenciális üggvényt követ, a Föld légkörében a nyomás a magasság üggvényében eponenciálisan csökken Logaritmusüggvény log, a D ]0, [ a {á:5_8.png} R 4
szigorúan monoton nő az értelmezési tartományon nincs globális szélsőértéke Fontos kiemelni a természetes logaritmus üggvényt (más néven e alapú logaritmus üggvény), ahol a logaritmus alapja az eponenciális üggvénynél már látott e irracionális szám. Jelölése: ln (más jelöléssel log e ) Logaritmusüggvény log, 0a D ]0, [ a {á:5_9.png} R szigorúan monoton csökken az értelmezési tartományon nincs globális szélsőértéke Szinuszüggvény sin {á:5_0.png} D R [,] 43
szigorúan monoton nő a, k k tartományokon, k szigorúan monoton csökken a 3, k k tartományokon, k periodikus szerint globális maimum helye k, értéke y globális minimum helye 3 k, értéke y páratlan üggvény Koszinuszüggvény {á:5_.png} cos D R, szigorúan monoton nő a szigorúan monoton csökken a periodikus szerint k, k tartományokon, k 0 k, k tartományokon, k globális maimum helye 0k, értéke y globális minimum helye páros üggvény k, értéke y 44
Tangensüggvény {á:5_.png} tg D \ k k R szigorúan monoton nő az értelmezési tartományon periodikus szerint páratlan üggvény deiníció rész Deiníció: Az aszimptota egy olyan görbe, többnyire egyenes, amelyet egy üggvény graikonja tetszőlegesen megközelít (hozzásimul), de soha el nem éri. normál rész Például: Az log ábra). üggvénynek üggőleges aszimptotája a 0 a egyenletű egyenes (0. 0. ábra Logaritmusüggvény üggőleges aszimptotája {á:5_0.png} 45
a üggvénynek vízszintes aszimptotája az 0 Az y egyenletű egyenes (. ábra).. ábra Eponenciális üggvény vízszintes aszimptotája {á:5_.png} Az üggvénynek két aszimptotája van, a üggőleges 0 -ban, a vízszintes aszimptota y 0-ban (. ábra).. ábra Törtüggvény aszimptotái {á:5_.png} üggvénynek végtelen sok üggőleges aszimptotája van az k, k Az tg pontokban (3. ábra). 46
3. ábra Tangensüggvény üggőleges aszimptotái {á:5_3.png} 47
6. lecke: Függvény műveletek, kompozíció Tanulási cél: a üggvényekkel végzett műveletek, kiemelt hangsúllyal a kompozíció műveletének gyakorlása. Elméleti összeoglaló A üggvényekkel különéle műveleteket végezhetünk. Értelmezzük az és g egyváltozós valós üggvények összegét, különbségét, szorzatát, hányadosát, melyek csak azokban a pontokban értelmezettek, amelyekben és g is értelmezett (azaz értelmezési tartományuk közös részein)., h g ahol D D D h g, h g ahol D D D, h g h g ahol D D D h g ( ) h, ahol Dh D Dg és g ( ) 0 g ( ) A entieken túlmenően egy újabb művelettel ismerkedünk meg. A üggvények kompozícióját tekintjük a legontosabb üggvényműveletnek. deiníció rész Deiníció: Az és g üggvényekből g módon konstruált üggvényt összetett üggvénynek ( és g kompozíciójának) nevezzük. A g ( )-üggvényt belső üggvénynek, az ( ) üggvényt külső üggvénynek nevezzük. Az másodszorra alkalmazzuk -et g ( )-re (. ábra). g kiértékelésekor először a g -et számoljuk ki, majd. ábra Összetett üggvény megalkotása {á:6_.png} normál rész Az összetett üggvény másik szokásos jelölése g. Mi az első jelölést ogjuk használni. Ha kettőnél több üggvény elhasználásával alkotunk meg egy összetett üggvényt, akkor többszörösen összetett üggvényről beszélünk. Például, g, h üggvények esetén többszörösen összetett üggvény alkotható. g h 48
A üggvényeket tetszőleges sorrendben is egymásba ágyazhatjuk, azonban ezen összetételek eredménye általában különböző: példa rész Kidolgozott eladatok g g.. eladat: Tekintsük az és a g üggvényt. Határozzuk meg a h g összeg üggvényt és a k g szorzat üggvényt. Megoldás: Az üggvény mindenütt értelmezve van ( vagy egyenlő számok halmazán ( D [, [ ), ezért g D ), a g üggvény az -nél nagyobb D D D D [, [ [, [. h k g h g, A h üggvény hozzárendelési utasítása. a k üggvény hozzárendelési utasítása pedig. eladat: Legyen és k g. g. Határozzuk meg a h g és a k g üggvényeket. Megoldás: Kezdjük a különbséggel. Mivel mindkét üggvény értelmezési tartománya a valós számok halmaza, így Dh D D g. A hozzárendelési utasítás pedig h g. A k üggvény értelmezési tartományába a g üggvény zérushelye nem tartozik bele, így D \ ],, [. A hozzárendelési utasítás pedig k k g. 3. eladat: Tekintsük az 3 üggvényt. Mivel egyenlő és? Megoldás: Egy üggvény hozzárendelési utasítása mondja meg, hogy az mit rendel az argumentumához. Most a hozzárendelési utasítás azt mondja, hogy az argumentum négyzetéhez hozzá kell adni az argumentum háromszorosát és abból levonni kettőt. Bármi is az argumentum, eltéve persze, hogy az 49
értelmezési tartományban van. Ez most a valós számok halmaza, ezzel tehát nem lehet gond. Ezért 3 3. 4 Hasonlóan, eltéve, hogy 0 3 3. 4. eladat: Tekinsük az és a g és az Megoldás: A g üggvények hozzárendelési utasítását. g kompozícióban a g üggvény az g üggvényeket. Határozzuk meg a -re, azaz az -re ejti ki hatását. Mivel a g üggvény hatása az, hogy gyököt von az argumentumából és abból még levon -et, azt kapjuk, hogy g g. Megjegyezzük, hogy így is számolhattunk volna: g. Hasonlóan g, mivel az úgy hat, hogy az argumentumából levon -et. Mindez a másik elírási móddal: g g. 5. eladat: Legyen e és g Megoldás:. Írjuk el mind a két sorrendű kompozíció képletét. g g e e e, vagy a másik elírási móddal 50
g e e Hasonlóan g e vagy,. g g e e. A kétajta elírási mód közül használja az olvasó a számára természetesebbet. Mi a továbbiakban csak az egyiket adjuk meg. 6. eladat: Legyen. Határozzuk meg Megoldás: képletét. 4 3 6 5 8. 7. eladat: Tekintsük az és a g üggvényeket. Írjuk el g képletét. Megoldás: g g Noha a kompozíció általában bonyolultabb üggvény, mint a külső és a belső üggvény, a példánk mutatja, hogy ez ordítva is lehet.. 8. eladat: Tudjuk, hogy 3. Mivel egyenlő? Megoldás: Az a eladatunk, hogy kiejezzük 3-et az üggvényeként. Amit -vel csinálni kell, hogy belőle 3 legyen, az a keresett hozzárendelési utasítás. Mivel könnyen látható, hogy 3 4 6, 5
ezért a keresett hozzárendelési utasítás: 4 6. 9. eladat: Ha, mivel egyenlő? Megoldás: Most azt keressük, hogy mit kell az Vegyük észre, hogy -szel csinálni, hogy belőle legyen., ahonnan. Tehát. 0. eladat: Bontsuk el két üggvény kompozíciójára h üggvényt. Megoldás: Az egyik lehetséges megoldás a következő: Legyen és g. Ekkor h g, hiszen g g. De eljárhattunk volna máshogy is. Legyen u és v. Ekkor h v u, 5
hiszen v u u. Látjuk tehát, hogy összetett üggvényt általában többéleképpen lehet egyszerűbb üggvények kompozíciójára bontani. Hogy a lehetőségek közül melyiket célszerű választani, azt az dönti el, hogy a továbbiakban mire akarjuk használni a elbontást. Ez az eljárás, tehát egy összetett üggvény elbontása egyszerűbb üggvények kompozíciójára, a későbbiekben igen ontos lesz, és nagyon gyakran og szerepelni.. eladat: Bontsuk el a 3 h e üggvényt két üggvény kompozíciójára. Megoldás: Először egy jelöléssel kapcsolatos megjegyzés. Az ez c b b a, vagy c 3 8 64 a rövidítése-e, ez a kettő ugyanis nem ugyanaz. Például. Az a konvenció, hogy Most már egy lehetséges elbontás 3, 3 g e. Ekkor valóban h g, hiszen 3 3 3 3 3 g g e e. c b a c a b. (Az volt itt a lényeg, hogy mivel az eredeti üggvényben bel.) c b a alakú hatványoknál elmerül, hogy 3 9 5, de 3 és is szerepel, kiejeztük az -et 3 - u sin. eladat: Bontsuk el az üggvényt három üggvény kompozíciójára. Megoldás: Most is több megoldás van, ezek közül talán a legtermészetesebb az alábbi. Legyen sin, g és Ekkor hiszen u h g, h. 53
h g h g sin h sin sin. teszt rész Ellenőrző kérdések. Legyen 5. Ekkor 5 5 5 0. Legyen 5. Ekkor 5 4 5 5 4 5 3. Legyen 3. Ekkor 9 8 9 9 8 9 4 54
4. Legyen és g. Ekkor g 4 5. Legyen sin és g. Ekkor g sin sin sin sin sin 6. Ha g 5 és g 5, akkor 5 5 5 7. Ha g és g, akkor 55
56
7. lecke: Inverz üggvény Tanulási cél: az inverz üggvény ogalmának megismerése, graikonjának képzése, egyszerűbb üggvények esetében az inverz üggvény képletének előállítása. Elméleti összeoglaló Deiníció: Egy üggvény kölcsönösen egyértelmű, ha bármely (. ábra). normál rész esetén ( ). ábra Nem kölcsönösen egyértelmű üggvény {á:7_.png}. ábra Kölcsönösen egyértelmű üggvény {á:7_.png} Példa néhány értékre kiszámítva a enti üggvények: 57
3 5, 3 5 4 4, 4 4 3 5 4, 3 3, 3 3 3, 4 4 4 3 3 3, 4 A szigorúan monoton üggvények kölcsönösen egyértelmű üggvények. deiníció rész Deiníció: Ha az üggvény kölcsönösen egyértelmű, akkor létezik mely az értékkészletét képezi le az értelmezési tartományára, tehát : D R -gyel jelölt inverz üggvénye, : R D továbbá teljesül, hogy bármely D esetén (3. ábra). normál rész 3. ábra Inverz üggvény deiníciója {á:7_3.png} Tehát az inverz üggvény értelmezési tartománya az eredeti üggvény értékkészlete, és értékkészlete az eredeti üggvény értelmezési tartománya. R D D R Megjegyzés: Az jelölés könnyen megtévesztő lehet. Ha a egy szám, akkor a -gyel az a reciprokot szoktuk jelölni, de az nem -et jelöl. ( ) 58
Ha az üggvény nem kölcsönösen egyértelmű, de az értelmezési tartományának van olyan részhalmaza, ahol e eltétel teljesül, akkor az üggvény ezen a részhalmazon értelmezett leszűkítésének a deiníció alapján létezik inverze. Erre példa a, üggvény, amely nem invertálható, de például [0, [ leszűkített intervallumon már létezik inverze (mert itt már szigorúan monoton), mely a lesz (4. ábra). üggvény {á:7_4.png} 4. ábra üggvény értelmezési tartományának leszűkítése, majd invertálása Technikailag az inverz üggvény képletét az y egyenlet -re való rendezésével lehet előállítani. Fontos még megjegyezni, hogy az inverz üggvény inverze az eredeti üggvény. Mivel az és üggvényeknél az értelmezési tartomány és az értékkészlet helyet cserél, ezért a üggvény ábrázolásánál a koordinátatengelyek is szerepet cserélnek. Ennek következtében az és görbék egymás tükörképei, az y egyenesre nézve. Az elemi üggvények között több üggvény inverz üggvény pár található (5-7. ábra). Néhány példa: 59
5. ábra Hatványüggvény és gyöküggvény {á:7_5.png} {á:7_6.png} 6. ábra Eponenciális és logaritmusüggvény ( a ) {á:7_7.png} 7. ábra Eponenciális és logaritmusüggvény ( a 0) példa rész 60
Kidolgozott eladatok. eladat: Határozzuk meg az 3 üggvény inverz üggvényét. Megoldás: Először az eredeti üggvény értelmezési tartományát és az értékkészletét határozzuk meg, amiből az inverz üggvény értelmezési tartományára és értékkészletére következtetünk, valamint megvizsgáljuk a üggvény monotonitását, amiből az inverz üggvény létezésére következtetünk (ahogy láttuk csak szigorúan monoton üggvényeknek van inverze). Ebben az esetben az értelmezési tartománya a valós számok halmaza, szigorúan monoton növő (graikonja egy emelkedő egyenes), értékkészlete szintén a valós számok halmaza. Így létezik az inverz üggvénye és az is a valós számok halmazán van értelmezve. Az inverz üggvény képletének előállításához megoldjuk az y 3 egyenletet -re, hiszen most azt keressük, hogy mit kell az y 3-mal csinálni, hogy belőle visszakapjuk az -et. Rendezéssel azt kapjuk, hogy 3 y. Ebből az inverz üggvény képletét úgy kapjuk, hogy az y helyére -et írunk, mivel a üggvények argumentumát -szel szoktuk jelölni. Tehát az inverz üggvény képlete: 3 3. 3. eladat: Határozzuk meg az üggvény inverz üggvényét. 3 Megoldás: Az üggvény elemi alapüggvény, mind az értelmezési tartománya, mind az értékkészlete a valós számok halmaza, és szigorúan monoton növő. Ugyanezek igazak az 3 üggvényre is. Létezik tehát az inverz üggvény, ami szintén minden valós számra értelmezett. Előállítjuk a képletét. Megoldjuk -re az 3 y egyenletet. Kapjuk, hogy 3 y, 6
3 y. Innen az inverz üggvény 3. 3. eladat: Határozzuk meg az üggvény inverz üggvényét. Megoldás: Először is D ], [ ], [, hiszen a nevező nem lehet nulla. Az értékkészlet meghatározása egy kicsit bonyolultabb. Egy üggvény értékkészlete azokból az y számokból áll, amelyekhez található olyan hogy y. D -beli, A mi esetünkben ez azt jelenti, hogy y benne van az értékkészletben, ha megoldható -re az y egyenlet. Persze csak olyan jöhet szóba, amelyre. Az látszik, hogy y nem lehet nulla, hiszen a törtünk számlálója soha nem nulla. De y bármely nullától különböző szám lehet. (Egy tört értéke akkor lehet 0, ha a számlálója 0. Itt a számláló, így a tört értéke nem lehet 0. A nevező bármilyen nullától különböző értéket elvehet, így a tört étéke (y) is bármilyen nullától különböző érték lehet.) Ezért R ], 0[ ]0, [ Az üggvény nem szigorúan monoton, de kölcsönösen egyértelmű, létezik tehát az inverz üggvény. Hátra van még a képletének előállítása. Ennek érdekében megoldjuk -re az y egyenletet, eltételezve, hogy y 0,. Kapjuk, hogy y. Ebből az inverz üggvény. 4. eladat: Határozzuk meg az 3 üggvény inverz üggvényét. 6
Megoldás: A üggvényünk mindenütt értelmezett és értékkészlete R ]3, [, továbbá szigorúan monoton növő. Létezik tehát az inverz üggvény. Az inverz képletének előállításához megoldjuk az y 3 egyenletet, eltéve, hogy y 3. Ekkor 3 y, majd mindkét oldal kettes alapú logaritmusát véve, és elhasználva a logaritmus egyik azonosságát n (log ( ) nlog ) azt kapjuk, hogy a log log y 3, log log 3 y, a log y 3, log y 3. Végül is az inverz üggvény képlete log 3. 5. eladat: Határozzuk meg az ln 7 3 üggvény inverz üggvényét. Megoldás: A logaritmus argumentumára kell kikötést tennünk, 70 Ezt rendezve 7 kell, hogy teljesüljön, azaz D ] 7, [ értékkészlete. A logaritmus üggvény értékkészlete is ez lesz. Megoldjuk -re az y 3 ln 7 y3 ln 7 y ln 7 3 egyenletet. Mindkét oldalt e alapra emeljük és logaritmus azonosságot a e e y 3 ln 7.. Ez lesz az inverz üggvény, így az inverz üggvény értelmezési tartománya loga b b alkalmazva kapjuk, hogy 63
e y 3 7 e y 3 7 Ez alapján az inverz üggvény e y3 7 6. eladat: Tekinsük az megszorításának az inverz üggvényét. Megoldás: Az ( 4 4 üggvényt. Határozzuk meg egy alkalmas 4 4 elírásból látszik, hogy a üggvénynek egy zérushelye van 0 egyenlet megoldásából), mégpedig az -ben. Mivel a őegyüttható pozitív, így a üggvény képe egy elelé nyíló parabola, mely a 8. ábrán látható. 8. ábra {á:7_8.png} Látszik, hogy a üggvény nem szigorúan monoton az egész értelmezési tartományán, de ha megszorítjuk a kettőnél nagyobb vagy egyenlő számokra, a megszorítás már az lesz. Tekintsük tehát a g 4 4, D [, [ üggvényt (mely az eredeti üggvény megszorítása) (9.ábra), és ennek határozzuk meg az inverzét. g 9. ábra {á:7_9.png} A 9. ábra alapján g értékkészlete R [0, [. Ez lesz az inverz értelmezési tartománya. Megoldjuk az y 0, eltételek mellett -re az g 64
y 4 4 egyenletet. y, y, (tudjuk, hogy 0, ezért nem kell itt -t írnunk), y. A g inverz üggvénye tehát g. 7. eladat: Tekintsük az meg az inverzét. üggvényt és alkalmas megszorításának határozzuk Megoldás: A üggvény ábrázolásához először a megoldóképlet segítségével kiszámítjuk a gyököket:, 4, 0, 4. Ezek lesznek a üggvény zérushelyei. Mivel a üggvény őegyütthatója negatív, így egy leelé nyíló parabola lesz a üggvényünk graikonja (0. ábra). A parabola csúcsának koordinátája a gyökök átlaga, mivel azonos távolságra található a két zéruhelytől. A csúcs y koordinátája pedig a üggvény képletébe való helyettesítéssel kapható meg: ( ). (Megjegyzés: az ábrázolás egyszerűbb módjáról a Függvény transzormációk című leckében tanulunk majd.) 0. ábra {á:7_0.png} A 0. ábra alapján látszik, hogy ha megszorítjuk a üggvényünket a -nél nagyobb, vagy egyenlő számokra, akkor egy szigorúan monoton csökkenő üggvényt kapunk. g, D [, [ üggvényt (mely az eredeti üggvény Tekintsük tehát a megszorítása) és határozzuk meg az inverzét (. ábra). g 65
. ábra {á:7_.png} A. ábra alapján világos, hogy R ], ]. Megoldjuk tehát az y, eltételek mellett -re az y egyenletet. y, y, g (az abszolút értéket megint nem kell kitenni, hiszen a eltételek miatt 0). Ebből y. Ez alapján az inverz üggvény g. teszt rész Ellenőrző kérdések. Az 3 üggvény inverz üggvénye 3 3 3 3 66
3 3 3 3 5. Az üggvény inverz üggvénye 5 5 5 5 3. Az üggvény inverz üggvénye e üggvény inverz üggvénye? 4. Mi az ln ln ln ln 67
5. Mi az log 3 4 üggvény inverz üggvény-e? 6 y 6 3 y y4 6 3 6 4 3 y 6 0 üggvény szigorúan monoton növő az alábbi intervallumon: 6. Az [3, [, 4 ], 6[ ], 3[ 4, D [, [ üggvény inverze az alábbi üggvény: 7. Az 68
Modulzáró ellenőrző kérdések. Az ( ) ln( 6) 4 üggvény értelmezési tartománya, 3, 4 4,.,3., 3, 4 4,. \, 3 {4}. pont. Mi az ln 5 üggvény értelmezési tartománya? D 5, D 0, 5 D 0, 5 D, 5 pont 3. Tekintsük az üggvényt. Ekkor az üggvény képlete 3 4 4 8 8 3 4 4 8 8 3 4 8 8 3 4 4 8 pont 69
4. Ha g 9 3 és ( ) 3, akkor g 3 3 3 3 ( )( ) (3)( ) pont 5. Az 4, D üggvény inverze pont ln üggvény inverz üggvénye? 6. Melyik az e e e e pont 70
7. Melyik hozzárendelési utasítás tartozik a következő üggvényábrához? {á:m35.png} lg(5 0) lg( ) 0 0 4 8 pont 8. Melyik ábra tartozik az 6 üggvényhez? {á:m36a.png} 7
{á:m36b.png} {á:m36c.png} {á:m36d.png} pont 9. Hol van aszimptotája az 3 8 üggvénynek? 8-ban üggőleges aszimptotája, y -ben üggőleges aszimptotája, y 8 -ben üggőleges aszimptotája, y 3 -ben vízszintes aszimptotája -ban vízszintes aszimptotája -ban vízszintes aszimptotája 7
3-ban üggőleges aszimptotája, y 8 -ban vízszintes aszimptotája pont 0. Melyik állítás igaz az 3 5 4 üggvényre? lokális maimum helye =5, értéke y=4 lokális minimum helye =5, értéke y=-4 lokális minimum helye =-4, értéke y=5 lokális maimum helye =-4, értéke y=5 pont 73