MÉRÉSI ADATOK KEZELÉSE ÉS ÉRTÉKELÉSE

MÉRÉSI ADATOK KEZELÉSE ÉS ÉRTÉKELÉSE

Köryezettudomáy alapo taöyvsorozat A öryezetta alapja A öryezetvédelem alapja Köryezetfza Köryezet áramláso Köryezet ásváyta Köryezet mtavételezés Köryezetéma Köryezetmősítés Köryezettudomáy terepgyaorlat Mérése tervezése és értéelése Talajta öryezettaosoa Evrometal Physcs Methods Laboratory Practces

Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáy Kar MÉRÉSI ADATOK KEZELÉSE ÉS ÉRTÉKELÉSE Írta: Havacsá Károly egyetem doces, Fza Itézet Letorálta: Kardo Béla 0

COPYRIGHT: 0-07, Dr. Havacsá Károly, Eötvös Lorád Tudomáyegyetem, Természettudomáy Kar Letorálta: Dr. Kardo Béla Creatve Commos NoCommercal-NoDervs 3.0 (CC BY-NC-ND 3.0) A szerző evée feltütetése mellett em eresedelm céllal szabado másolható, terjeszthető, megjeletethető és előadható, de em módosítható. ISBN 978-963-79-548-5 KÉSZÜLT: a Typotex Kadó godozásába FELELŐS VEZETŐ: Votsy Zsuzsa TÁMOGATÁS: Készült a TÁMOP-4..-08//A/KMR-009-0047 számú, Köryezettudomáy alapo taöyvsorozat című projet eretébe. KULCSSZAVAK: valószíűség, statszta, mérés adato, eloszláso, legsebb égyzete módszere, hsztogram, relatív gyaorság, valószíűség változó, várható érté, szórás, orrelácó, ormáls eloszlás, agy számo törvéye, mtavétel, emprus jellemző, becslés módszere, ombatora, halmazelmélet ÖSSZEFOGLALÁS: Ebbe a taöyvbe a véletle jelesége ezelésée alapjaval smeredhet meg az olvasó. A taöyv fő része: a mérés adato leíró jellemzése a leíró statszta módszerevel, a valószíűség-számítás eredméyee alalmazása a mérés adato tulajdoságaa mélyebb megértése érdeébe, a matemata statszta módszeree segítségével, agyszámú soaság jellemzése sebb számú mérés adat felhaszálásával. Az ayag feldolgozása sorá a halmazelmélet és a ombatora fogalmara és összefüggésere s szüség va, ezért a függelébe e ét témaör legfotosabb smerete s megtalálható. A taayag feldolgozása sorá mdg az alalmazhatóság a fő szempot, hsze a taöyv öryezettudomáy szaos hallgatóa észült, a a statsztáa em művelő, haem felhaszáló lesze. Ugyaaor a matemata egy ágáról lévé szó, a szerző felhaszálja a matemata jól bevált jelölésredszerét, töresz a szabatos fogalmazásra, és az esete többségébe az állításo (tétele) bzoyítását s megadja.

TARTALOMJEGYZÉK A TANKÖNYV TARTALMÁRÓL... 8 Bevezetés... 8 Törtéelm áttetés... 9 I. A MÉRÉSI ADATOK LEÍRÓ JELLEMZÉSE.... A mérés adato ezelése..... Mérés adato megjeleítése..... Hsztogram... 5.3. Kumulatív gyaorság... 8.4. Relatív gyaorság eloszláso... 9.5. A mérés adato egyszerűsített jellemzése....6. Számta özép... 3.7. A mérta özép... 6.8. Harmous özép... 6.9. Medá... 8.0. Az eloszlás módusza és terjedelme... 8.. Emprus szóráségyzet és szórás... 9. Összefüggése az smérve özött... 3.. Potdagram... 3.. Leárs regresszó... 3.3. A legsebb égyzete módszere... 34.4. Leárs orrelácó... 38.5. Nemleárs regresszó... 40 II. A VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ALAPJAI... 45 3. A valószíűség fogalmáa bevezetése... 46 3.. Az alapfogalma bevezetése... 46 3.. Gyaorság, relatív gyaorság, emprus agy számo törvéye... 48 3.3. A valószíűség ísérlet meghatározása... 50 3.4. A valószíűségelmélet axómá... 5 3.5. Az axómá övetezméye... 5 3.6. Klasszus valószíűség mező... 56 3.7. Geometra valószíűség mező... 58 3.8. Feltételes valószíűség... 6 3.9. Szorzás szabály... 65 3.0. A teljes valószíűség tétele... 65 3.. Bayes tétele... 67 3.. Eseméye függetlesége... 68 3.3. A Beroull-ísérletsorozat... 7 4. Valószíűség változó, várható érté, szórás... 74 4.. Valószíűség változó... 74 4.. A dszrét valószíűség változó eloszlása... 76 www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

6 Tartalom 4.3. A folytoos valószíűség változó esete... 78 4.4. Az eloszlásfüggvéy tulajdosága... 80 4.5. Az eloszlásfüggvéy dszrét valószíűség változó eseté... 8 4.6. A sűrűségfüggvéy... 83 4.7. A dszrét valószíűség változó függvéye... 86 4.8. A folytoos valószíűség változó függvéye... 87 4.9. Várható érté dszrét esetbe... 89 4.0. A várható érté folytoos esetbe... 90 4.. A várható érté tulajdosága... 9 4.. Szórás... 95 4.3. Szóráségyzet és szórás dszrét esetbe... 95 4.4. Szóráségyzet és szórás folytoos esetbe... 95 4.5. A szórás tulajdosága... 96 5. Több valószíűség változó együttes eloszlása... 98 5.. Dszrét valószíűség változó együttes eloszlása... 98 5.. Peremeloszláso dszrét esetbe... 99 5.3. Dszrét valószíűség változó függetlesége... 0 5.4. Feltételes eloszláso dszrét esetbe... 0 5.5. Folytoos valószíűség változó együttes eloszlása... 03 5.6. Együttes sűrűségfüggvéy... 05 5.7. Függetleség folytoos valószíűség változó eseté... 06 5.8. Valószíűség változó függvéyée várható értée... 07 5.9. Valószíűség változó összegée várható értée... 08 5.0. Valószíűség változó szorzatáa várható értée... 08 5.. Valószíűség változó összegée szórása... 09 6. Korrelácó... 6.. Kovaraca... 6.. Korrelácós együttható... 3 6.3. Leárs regresszó... 4 7. Nevezetes eloszláso... 6 7.. Az dátorváltozó eloszlása... 6 7.. Az egyeletes eloszlás... 7 7.3. A Beroull-eloszlás... 9 7.4. A Posso-eloszlás... 6 7.5. A geometra eloszlás... 9 7.6. Az expoecáls eloszlás... 3 7.7. A ormáls eloszlás (Gauss-eloszlás)... 33 7.8. A stadard ormáls eloszlás... 37 7.9. Függetle ormáls eloszláso össze... 4 7.0. Logartmus ormáls eloszlás... 4 8. Származtatott eloszláso... 44 8.. A χ -eloszlás... 44 8.. A χ-eloszlás... 45 8.3. A Studet-eloszlás... 46 8.4. Az F-eloszlás... 47 9. A agy számo törvéye... 48 9.. A agy számo törvéye (Beroull-törvéye)... 48 9.. A számta özépről szóló agy számo törvéye... 49 9.3. A özpot határeloszlás tétel... 49 www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

Tartalom 7 0. A matemata statszta eleme... 54 0.. Statszta mtavétel... 54 0.. Emprus eloszlásfüggvéy... 55 0.3. Emprus sűrűségfüggvéy... 56 0.4. Emprus várható érté... 56 0.5. Emprus szóráségyzet... 58 0.6. x és s eloszlása ormáls eloszlás eseté... 60. A becsléselmélet eleme... 6.. A mometumo módszere... 6.. A maxmum lelhood módszer... 65.3. Itervallumbecslés... 69.4. Statszta hpotézse vzsgálata... 73.5. A regresszós egyees becslése... 80 FÜGGELÉK... 85. A ombatora alapja... 86.. Permutácó (sorba raás)... 86.. Ismétléses permutácó... 86.3. Kombácó (választás, sorred élül)... 88.4. Ismétléses ombácó... 88.5. Varácó... 89.6. Ismétléses varácó... 89.7. A bomáls tétel és a bomáls együttható... 90.8. A bomáls együttható éháy tulajdosága... 9 3. Halmazelmélet alapfogalma... 93 3.. A halmazo defícója... 93 3.. Halmazo összege... 93 3.3. Halmazo szorzata... 94 3.4. Halmazo ülöbsége... 97 4. A gyors elleőrző feladato megoldása... 98 4.. Az. fejezethez... 98 4.. A. fejezethez... 99 4.3. A 3. fejezethez... 00 4.4. A 4. fejezethez... 04 4.5. Az 5. fejezethez... 07 4.6. A 7. fejezethez... 09 4.7. A. fejezethez... 5. Táblázato... 3 5.. A Posso-eloszlás táblázatáa haszálata... 3 5.. A Posso-eloszlás táblázata... 4 5.3. A stadard ormáls eloszlás táblázat haszálata... 5 5.4. A stadard ormáls eloszlás eloszlásfüggvéyée táblázata... 6 5.5. A Studet-eloszlás táblázatáa haszálata... 8 5.6. A Studet-eloszlás táblázata... 9 5.7. A χ -eloszlás táblázatáa haszálata... 0 5.8. A χ -eloszlás táblázata... 5.9. Az F-eloszlás táblázatáa haszálata... 5.0. F-eloszlás táblázato... 3 Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

A TANKÖNYV TARTALMÁRÓL Bevezetés A lasszus fza és egyéb lasszus tudomáyo taulmáyozása sorá hozzászou ahhoz, hogy a jelesége valamlye meghatározó o hatása alatt álla, és ezért a folyamato meetele egyértelműe meghatározott. Az lye folyamatoat determsztus (meghatározott) folyamatoa evezzü. Ha a determsztus folyamattal apcsolatos ísérletet végzü, aor a folyamat mdg azoos módo megy végbe, és a ísérlet végeredméye mdg azoos lesz. Klasszus példa az lye folyamatora a szabadesés, amelye végeredméyét a Newto mozgástörvéye egyértelműe megadjá. Persze lye esetebe s vaa zavaró örülméye, a lasszus fzáa azoba az a módszere, hogy eltet ezetől a zavaró örülméyetől, amt azért lehet megte, mert eze a hatáso léyegese sebbe a jeleség lefolyását meghatározó fő hatásál, és ezáltal csa ssé befolyásoljá az eredméyt. Mdazoáltal em mde folyamat lye. Vaa olya folyamato, amelyee végeredméye em egyetle meghatározott állapot, haem több, esetleg végtele so lehetséges meetel özül az egy. Az lye folyamatora mde által smert példa a szabályos játéoca dobása, melye hat lehetséges meetele va. Valaháyszor feldobju a ocát, mutá lees, a oca felső lapjá hat szám özül az egyet látju. Ha a ocadobást ísérlete tetjü, aor azt modhatju, hogy a ísérlete hat lehetséges meetele va. Az lye ísérleteet, amelyee több lehetséges meetele va, és a ísérlet sorá eze özül az egy valósul meg, véletle (vagy sztochasztus) ísérlete evezzü. A ocadobáso ívül számos más példa s hozható a véletle ísérletre. Ha egy érmét feldobu, aor az eredméy vagy fej, vagy írás lesz, azaz ee a ísérlete ét lehetséges meetele va. Ha 90 szám özül ötöt húzu (lottósorsolás), aor a lehetséges meetele száma 43 949 68, amt az a ombatora módszerevel öyűszerrel számolható. Az eddg említett véletle ísérletebe a végeredméy egy dszrét soaság értée özül az egy. Ha azoba például a límaváltozás hatására vagyu ívácsa, és mérjü a ap özéphőmérsélet alaulását, aor elvleg 0 K fo felett aármlye értéet mérhetü. A gyaorlatba természetese szűebb tartomáyba lévő értéeet mérü, de mdeéppe egy folytoos soaság özül erül a mért hőmérsélet értée. M a ülöbség a determsztus és a véletle folyamato özött? A véletle ísérlet megevezés semm esetre sem jeleet azt, hogy a véletle folyamatoa e lee oa. Azoba, míg a determsztus folyamato eseté va egy meghatározó o, am megszabja a folyamat lefolyását, addg a véletle folyamato eseté több, so esetbe agyo so, özel egyeértéű o vezet arra, hogy a végeredméy em egyetle jól meghatározott eseméy. A determsztus folyamatra már említett példa a szabadesés, vagy a Föld ergése a Nap örül, ahol mdét esetbe a gravtácós erő a folyamatot meghatározó hatás. Az érme feldobásaor számos együttese fellépő hatás az, amely meghatározza, hogy m lesz a ísérlet meetele: az érmée adott felfelé ráyuló ezdősebesség, a forgást elődéző forgatóyomaté, az oldalráyú ezdősebesség, a légmozgáso stb. www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

A TANKÖNYV TARTALMÁRÓL 9 Amor a fetebe azt állítottu, hogy léteze determsztus ísérlete, aor a meghatározó hatás mellett ezebe a ísérletebe s jelelévő, csy hatásotól eltetettü. Az elmélet megfotoláso sorá az elhayagoláso helyévalóa, és agyo serese vezete az alapjelesége leíró egyelete megtalálásához. Amor azoba méréseet végzü, aor természetese a csy hatáso s jele vaa, ame eredméyeéppe a determsztusa evezett ísérlete eredméye, ha smértébe s, de változó lesz. Ezt a jeleséget véletle (statsztus) mérés hbáa evezzü, és mde mérés folyamatba jele va. Így, bár feltételezzü, hogy a méredő meysége va meghatározott értée, ez az érté soha em mérhető meg teljes potossággal, legfeljebb a statszta módszerevel jó özelítéssel becsülhető. Még ább lye a helyzet az atomo, elem részecsé vlágába, ahol a vatummechaa törvéye írjá le a jelesége lefolyását. A vatummechaa törvéye valószíűség jellegűe. A mérése eredméye a lehetséges eredméye özül az egy. Az elmélet a meetele valószíűségét adja meg. Ha például azt mérjü, hogy egységy tömegű radoatív ayag atomja özül egységy dő alatt mey boml el, aor az smételt mérése sorá más-más eredméyt apu. A vatumtörvéye léyegüél fogva statsztus jellegűe. A fet godolatmeet sorá valam olyasmre jutottu, hogy a determsztus folyamato tulajdoéppe csa elmélet ostrucó, és valójába, ha méréseet végzü, aor lye vagy olya oo matt, de mdg véletle ísérlettel va dolgu. A véletle jelesége vzsgálatával a statszta és a valószíűség-számítás foglaloz. A fet bevezető soro talá rávlágította arra, hogy e tudomáyága eredméye agy jeletőségűe a ísérlete tervezése és az eredméye értéelése sorá. Ebbe a taöyvbe a véletle jelesége ezelésée alapjaval fogu megsmered. A taöyv fő része: a mérés adato leíró jellemzése a leíró statszta módszerevel, a valószíűség-számítás eredméyee alalmazása a mérés adato tulajdoságaa mélyebb megértésére, a matemata statszta módszeree segítségével agyszámú soaság jellemzése sebb számú mérés felhaszálásával. Mthogy az ayag feldolgozása sorá haszálju a halmazelmélet és a ombatora fogalmat és összefüggéset, ezért a függelébe e ét témaör legfotosabb smeretet s összefoglalju. A taayag feldolgozása sorá mdg az alalmazhatóságot tartju szem előtt, hsze e taöyv öryezettudomáy szaos hallgatóa észül, a a statsztáa em művelő, haem felhaszáló lesze. Ugyaaor em feledjü, hogy a matemata egy ágáról va szó, tehát felhaszálju a matemata jól bevált jelölésredszerét, töreszü a szabatos fogalmazásra, és az esete többségébe az állításo (tétele) bzoyítását s megadju. Törtéelm áttetés A leíró statszta tulajdoéppe régóta haszálatos eszöz agyszámú adat tömörítésére és egyszerű ezelésére. Már az óorba s volta épszámláláso, egy-egy brodalom földművelésével, állatállomáyával apcsolatos felmérése, ahol agyszámú adatot ellett ezel. A statszta szó s a lat status (állam, állapot) szavaból ered. A valószíűségelmélet (sztochaszta) a agyszámú mta elemzése sorá tapasztalt törvéyszerűsége absztrat matemata ezelésével foglalozó tudomáyág. A sztochaszta szó görög eredetű (στοχοςügyes találgatás, sejtés). Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

0 A TANKÖNYV TARTALMÁRÓL A valószíűséggel apcsolatos matemata megfotolásoal a 5 6. századba találozu először. A szerecsejátéo már aor s redívül épszerűe volta. A ocajátéoal apcsolatos, eseteét fogós érdéseel a or smert matematusahoz fordulta. Úgy tartjá, hogy a valószíűség-számítás egyes érdésere Pascal fgyelmét egy híres szerecsejátéos, de Méré lovag hozzá tézett érdése fordította. A érdés úgy hagzott, hogy mért valószíűbb, hogy egy ocával égyszer dobva legalább egyszer hatost dobu, mt ét ocával 4-szer dobva legalább egyszer dupla hatost dob? Paradoxoa tű a érdés, hsze a dupla hatosa hatoday az esélye, mt az egyszer hatos dobása, és a 4 éppe a 4 hatszorosa! A problémával Pascal (63 66) és Fermat (600 665) egyarát foglalozott, és ülöböző módszereel azoos eredméyre jutotta. A hagyomáy szert a valószíűség matemata megözelítése ee a problémáa a megoldásával ezdődhetett. A ésőbbe sorá megoldju majd ezt a feladatot. Pascal és Fermat eredméyee megsmerését övetőe Huyges (69 695) s foglalozott a valószíűség számításáa problémával, és Pascal bátorítására öyvet s írt a valószíűség elméletéről. A or eredméyet Jacob Beroull (654 705) foglalta össze Ars Cojectad (A sejtés művészete) című öyvébe. A 8. századba a valószíűségszámítás már a gazdaság életbe s fotos szerepet játszott. Életjáradéoal és bztosítással apcsolatos érdésebe alalmaztá az eredméyet. A tudomáyba eor dolgoztá a statsztus gázelméletet, melye sorá szté a valószíűségelmélet eredméyet haszáltá fel. A legfotosabb eredméye Laplace (749 85), Posso (78 840), Bayes (70 76) és Gauss (777 855) evéhez fűződe. Gauss foglalozott például a hbaszámítás elméletée dolgozásával. A 9. század másod felébe az orosz valószíűség sola agyja, Csebsev (8 894), Marov (856 9), Ljapuov (857 98) érte el jeletős eredméyeet. A 0. század első felébe a természettudomáyo, elsősorba a fza forradalm fejlődése met eresztül. Ebbe a folyamatba jeletős mértébe alalmaztá a valószíűség-számítás orábba elérte eredméyet. Ugyaaor a műsza tudomáyo, a techa és a gazdaság fejlődése újabb és újabb alalmazás területeet jeletette. Az atomelmélet, a vatummechaa, a telefoözpoto fejlesztése, a épesedés problémá, a geeta eredméye újszerű alalmazás problémáat vetette fel. A valószíűség-számítás új alapora helyezése elerülhetetleé vált. Ezt a muát Kolmogorov, orosz matematus (903 987) végezte el, a axomatus alapora helyezte a valószíűségelméletet. Ee eredméyeéppe megszűt az a orább bzoytalaság, amt a megfelelő alapo háya oozott. A valószíűségelmélet és a statszta a tudomáyo redívül haszos eszözévé válhatott. www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

I. A MÉRÉSI ADATOK LEÍRÓ JELLEMZÉSE

. A MÉRÉSI ADATOK KEZELÉSE.. Mérés adato megjeleítése Olya jeleségeel foglalozu tehát, amelyeel apcsolatba, ha méréseet végzü, aor általába ülöböző eredméyeet apu. Felmerül a érdés, hogy ha lye bzoytala egy mérés eredméye, aor tudomáyosa egyáltalá ezelhető-e ez a helyzet? A érdés jogos, ugyaaor va olya tapasztalat, am reméyel tölthet el beüet. Ha a véletle jeleségeel apcsolatba em egy, haem több mérést végzü, aor felfgyelhetü olya szabályszerűségre, amely alapot adhat a érdésör tudomáyos ezelésére. Lássu egy egyszerű példát! Ha egy érmét feldobu, aor étféle végeredméy születhet: fej vagy írás. Az lye ísérletbe hallgatólagosa mdg feltesszü, hogy az érme szabályos, tehát a ísérlet sorá egyforma eséllyel lehet fej vagy írás a végeredméy. Nézzü meg, hogy soszor elvégezve a ísérletet, mt tapasztalu? Legye a ísérlete száma. Az ísérlet sorá a feje száma legye fej, az írásoé írás, eze az ísérlet sorá az adott eseméy gyaorságát mutató értée. Az érmés ísérletbe természetese +. fej rás A tapasztalat az, hogy ha elég agyszámú ísérletet végzü, aor az íráso és a feje gyaorsága özel azoos lesz, vagys fej írás. A agyszámú ísérlet sorá szerzett ísérlet tapasztalatot ssé alaposabba s megvzsgálju. Ha a több ísérlet sorá a gyaorság vseledését aarju taulmáyoz, célszerű a g az ú. relatív gyaorság vzsgálata, ahol a lehetséges végeredméye özül az egy. A relatív gyaorság azt mutatja meg, hogy az ísérlet sorá mlye aráyba fordult elő az egy lehetséges végeredméy. Köyű belát, hogy gaza az alább összefüggése:, 0 ; és 0. (...) www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

. A mérés adato ezelése 3 Az.. ábrá érmés ísérlet sorá a fej relatív gyaorságáa változást látju a ísérletszám függvéyébe, egésze 000 ísérletg. Az ábrá az látsz, hogy ameddg a ísérlete száma cs, addg a relatív gyaorság 0 és özött aármlye értéet felvehet. Ahogya azoba ő a ísérlete száma, a relatív gyaorság értee egyre evésbé gadoz, és agy értéere álladó érté felé tart, am jele esetbe /. Tehát, ahogya a ísérlete száma ő, elegedőe agy érté mellett a relatív gyaorság stabltást mutat. Más véletle ísérlet apcsá s hasoló stabltást tapasztalá, esetleg más érté örül. Ez a tapasztalat a ísérlet agy számo törvéye. Erre a ísérlet tapasztalatra alapozód a valószíűség-elmélet, és a ésőbbe sorá vsszatérü még erre az eredméyre... ábra: Érmedobáso sorá a fej relatív gyaorságáa változása a ísérletszám függvéyébe Foglalozzu most azzal a érdéssel, hogy mérés adataat hogya rögzítsü, és hogya jeleítsü meg. Azt már láttu, hogy véletle ísérlet eseté em elegedő egyetle mérést végez. Általába több, soszor agyo so adattal va dolgu. Ezeet az adatoat célszerű már az adatgyűjtés dejé táblázatba foglal. Ilye 0 adatból álló adatsort látu az.. táblázatba, ahol a ocadobáso sorá rögzítettü a apott eredméyeet, és gyaorság táblázatot észítettü. lehetséges meet 3 4 5 6 gyaorság fej 4 6 3 4 relatív gyaorság fej/0 0,0 0,30 0,5 0,05 0,0 0,0.. táblázat: Kocadobás eredméye 0 ísérlet sorá Az adatoat ábrá s szemléltethetjü. Az.. ábra a táblázat relatív gyaorság adatat mutatja. A vízsztes tegelyre a lehetséges meete dszrét értéet rajzoltu. A függőleges tegelye pedg a relatív gyaorság értéeet tütettü fel. Amor a véletle ísérlet lehetséges meetele dszrét értée, aor az eredméyeet gyara lye, ú. pálcaábrá szemléltetjü, ahol a pálca hossza az adott meetel relatív gyaorságát mutatja. Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

4 I. A MÉRÉSI ADATOK LEÍRÓ JELLEMZÉSE.. ábra: Kocadobás relatív gyaorsága 0 ísérlet sorá Kssé más a helyzet, amor a lehetséges eredméye folytoos számhalmaz eleme lehete. Ilye adatoat tartalmaz az.. táblázat, ahol 0 felőtt magasságadatat láthatju. sorszám magasságadato [cm] redezett magasságadato [cm] 53 53 0 57 3 87 65 4 67 66 5 73 67 6 75 69 7 8 69 8 57 7 9 69 7 0 75 73 65 73 73 75 3 85 75 4 7 75 5 93 8 6 88 85 7 66 86 8 69 88 9 74 93 0 7 0.. táblázat: Magasságadato A táblázat másod oszlopa a yers adatoat tartalmazza. A jobb áttethetőség érdeébe a mérése elvégzése utá célszerű agyság szert sorredbe szed az adatoat. A táblázatba ez a harmad oszlopba látsz. Ilye sorredbe öye felfedezhető, hogy vaa adato, amelye többször szerepele. www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

. A mérés adato ezelése 5 Próbálju meg pálcaábrá ábrázol az adatoat! Ezt mutatja az.3. ábra. Az ábra vízsztes tegelyé a magasság értée, a függőleges tegelyé pedg egy-egy magasság érté gyaorsága szerepel..3. ábra: Magasságadato gyaorsága Mvel a magasságadato folytoosa helyezede el a számegyeese, ezért gyaor az, hogy egy érté csa egyszer, vagy csa éháyszor szerepel. Ezért a gyaorság soszor csa, és a gyaorság ábra lye formába em túl formatív. Az formácót ább az hordozza, hogy hol helyezede el sűrű az adato... Hsztogram Az előzőebe modotta értelmébe folytoos esetbe em a pálcaábra a célravezető, haem célszerű az adato sűrűségét ábrázol. De haladju sorjába! Első lépését az adatoat osztályoba ell gyűjte. Ez a jele esetbe azt jelet, hogy az ésszerű módo jelölt magasságtartomáyt tervallumora osztju, és megszámolju az tervallumoba jutó magasságadato számát (gyaorságát). 00 magasságadatot tartalmazó osztályora osztott adatsort tartalmaz az.3. táblázat. A táblázat első oszlopa az osztály sorszámát jelöl. A táblázat másod oszlopa az osztályhatároat (x ; x + ), a harmad oszlop az osztályhatáro számta özepét, az ú. osztályözepet ( (x +x + )/), a egyed oszlop pedg az osztályba eső mérés adato számát, azaz a gyaorságot ( ) mutatja. Megállapodhatu abba, hogy ha egy adat az osztályhatárra es, aor a agyobb osztályba sorolju. Az lye táblázat adatat általába oszlopdagrammal ábrázolju, ahogya ez a.4. ábrá látsz. Az oszlopdagram hézagmetese egymás mellé helyezett téglalapoból áll. A téglalapo szélessége megegyez az osztályo szélességével, magassága pedg a gyaorság, vagy a relatív gyaorság értéével. A téglalap özépvoala az osztályözép értéével es egybe. A statsztába az oszlopdagramot hsztograma evez. Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

6 I. A MÉRÉSI ADATOK LEÍRÓ JELLEMZÉSE sorszám (x ; x +) osztályhatáro [cm] (x +x +)/ osztályözép [cm] gyaorság relatív gyaorság x relatív gyaorság sűrűség [/cm] (5; 5) 0 0,005 0,0005 5; 35) 30 5 0,05 0,005 3 (35; 45) 40 3 0,05 0,005 4 (45; 55) 50 7 0,085 0,0085 5 (55; 65) 60 47 0,35 0,035 6 (65; 75) 70 6 0,30 0,030 7 (75; 85) 80 4 0,05 0,005 8 (85; 95) 90 6 0,080 0,0080 9 (95; 05) 00 6 0,030 0,0030 0 (05; 5) 0 0,005 0,0005 (5; 5) 0 0,005 0,0005 (5; 35) 30 0 0,000 0,0000 j x umulatív relatív gyaorság [/cm] 0,0005 0,0030 0,0045 0,030 0,0365 0,0675 0,0880 0,0960 0,0990 0,0995 0,000 0,000.3. táblázat: Osztályoba redezett magasságadato Ha a függőleges tegelyre a relatív gyaorságot rajzolju, aor ee értée a orábba modotta értelmébe: g, 0,,...m, (...) ahol az összes mért adato száma, m pedg az osztályo száma. Természetese gaz az, hogy m + +... + m hsze az egyes osztályoba elhelyezedő gyaorságo összege éppe a mérése számát adja., www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

. A mérés adato ezelése 7.4. ábra: 00 mérés adatot tartalmazó hsztogram Az.4. ábrá az osztályözö azoos szélességűe. Ez em ötelező, lehete ülöböző szélességű osztályo s. Ilyeor azoba, hogy az ábra aráya e torzuljaa, a függőleges tegelyre a gyaorság sűrűség értéét, vagy a relatív gyaorság sűrűség értéét rajzolju, vagys az tervallum Δx hosszával elosztju a gyaorság, vagy a relatív gyaorság értéét. Tehát gyaorság eseté a gyaorság sűrűség h értée: h, 0,,...m, (...) x a relatív gyaorság eseté pedg a relatív gyaorság sűrűség f értée: f x, 0,,...m. (..3.) Látsz, hogy lye esetbe a gyaorság, lletve a relatív gyaorság értéét em az oszlop magassága, haem az oszlop területe jellemz, hsze (...) átredezésével: lletve (..3.) átredezésével gyaorságoszlopmagasság osztályszélesség, relatív gyaorságoszlopmagasság osztályszélesség. Ezebe az esetebe sűrűség hsztogramról beszélü. Ilye sűrűség hsztogramot látu a.5. ábrá, ahol az.4. ábrá látható adatoat relatív gyaorság sűrűség dagramo ábrázoltu. A görbe faraál lévő osztályoat összevotu, tehát az osztályözö most em egyformá. Az adatsor azo részé célszerű szélesebb osztályözöet épez, ahol evesebb az adato száma. Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

8 I. A MÉRÉSI ADATOK LEÍRÓ JELLEMZÉSE Köye belátható, hogy a relatív gyaorság hsztogram görbe alatt területe egységy..5. ábra: 00 ember magasságeloszlását ábrázoló hsztogram.3. Kumulatív gyaorság A statsztába gyaorta az a érdés, hogy adott értéél sebb adato mlye gyaorsággal (relatív gyaorsággal) fordula elő a mérés adato özött. Ilyeor beszélü umulatív adatoról. A umulatív gyaorság (relatív gyaorság) görbét úgy szeresztjü meg, hogy adott osztályözép fölé olya magas téglalapot rajzolu, hogy magassága megegyezze az adott osztály és a megelőző osztályo gyaorságáa (relatív gyaorságáa) összegével. A orább példába a.3. táblázat utolsó oszlopa tartalmazza a relatív gyaorságo umulatív értéét. A relatív gyaorságo umulatív értée eseté a téglalapo magassága 0-ról mooto övesz, ameddg el em ér az értéet..6. ábra: A magasságadato umulatív relatív gyaorság görbéje www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

. A mérés adato ezelése 9 Gyors elleőrző feladato.. Lássu be, hogy valamey osztályra elvégezve a relatív gyaorság sűrűség hsztogram téglalapja területée összegzését, eredméyül -et apu. Ez azt jelet, hogy a összefüggést ell gazol. m x x.. Lássu be, hogy az m. (jele esetbe az utolsó) osztály elérése eseté a umulatív relatív gyaorság oszlopmagassága egyelő lesz -el!.4. Relatív gyaorság eloszláso Már az.. ábrá láttu, hogy a ísérlet agy számo törvéye értelmébe agyszámú ísérlet eseté a relatív gyaorság stabltást mutat. Ha elegedőe agyszámú ísérlet eredméyét dszrét eloszlás eseté, pálcaábráo rajzolju fel, aor láthatju, hogy a relatív gyaorság értée hogya oszlaa meg a lehetséges ísérlet meetele özött. A.7. ábrá 000 ocadobás eseté a relatív gyaorságo eloszlását rajzoltu fel. (Ilye ísérletet számítógépes szmulácóval bár öye elvégezhet.) Az ábrá az látsz, hogy szembe az.. ábrá tapasztaltaal, elegedőe agyszámú dobás eseté a ülöböző lehetséges meetele relatív gyaorsága egyeletese oszlaa el. A váraozásu s ez, hsze ha a oca szabályos, egy oldal scs tütetve..7. ábra: Kocadobás relatív gyaorságáa eloszlása 000 dobás eseté Folytoos eloszláso eseté ezt a tulajdoságot jól taulmáyozhatju a gyaorság sűrűség hsztogramo. Nézzü meg, hogya változ meg az.4. ábrá látható hsztogram jellege, ha em 00, haem 000 adatból szeresztjü meg a gyaorság sűrűség hsztogramot. Az.8. ábrára rajzoltu ezt a hsztogramot. Határozott tedecát fgyelhetü meg az eloszlás meetébe. Harag alaú eloszlást apu, amelyre aár folytoos függvéyala- Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

0 I. A MÉRÉSI ADATOK LEÍRÓ JELLEMZÉSE ot s lleszthetü. Ha tovább öveljü a mérése számát, a görbe már csa smértébe változ, am a relatív gyaorság stabltásáa övetezméye. Az ábrá látható folytoos függvéyala agyo jellegzetes, so egymástól fzalag ülöböző feladat esetébe apu hasoló sűrűségeloszlás görbét. A görbét első alalmazójáról Gauss-görbée evezzü. A ésőbbebe a Gauss-görbe matemata alaját s megadju majd..8. ábra: 000 mérés adatból felrajzolt gyaorság sűrűség hsztogram, és az llesztett folytoos görbe Tulajdoéppe már evesebb számú mérés eseté s felfedezhetjü a Gauss-alaú eloszlást. Lássu egy egésze másfajta adatsort. Fzatörtéet érdeessége va Mchelso (85 93) 879-be végzett féysebességmérésée. Mchelso 00 mérést végzett. Adatat agyság szert sorredbe a.4. táblázat tartalmazza, ahol helytaaréosság matt az adatoa csa a 99 000 m/s felett részét tütettü fel. 3 4 5 6 7 8 9 0 60 760 800 80 840 850 870 880 930 960 650 760 800 80 840 850 870 880 930 960 3 70 760 800 80 840 850 880 890 940 970 4 70 760 800 80 840 850 880 890 940 980 5 70 770 800 80 840 850 880 890 940 980 6 740 780 80 80 840 860 880 900 950 980 7 740 780 80 80 840 860 880 900 950 000 8 740 790 80 830 850 860 880 90 950 000 9 750 790 80 830 850 870 880 90 960 000 0 760 790 80 840 850 870 880 90 960 070.4. táblázat: Mchelso féysebesség mérés adata. A táblázatbel értéet m/s mértéegységűe, és a 99 000 m/s sebesség felett értéeet mutatjá www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

. A mérés adato ezelése Az adatoat a övetező osztályoba sorolju: (600; 650), (650; 700), (700; 750), (750; 800), (800; 850), (850; 900), (900; 950), (950; 000), (000; 050), (050, 00), ahol csa a 99 000 m/s felett részt írtu. Mchelso osztályoba sorolt adataa gyaorság értéet a.5. táblázat mutatja. osztályözép [m/s] gyaorság 99 65 99 675 0 99 75 7 99 775 6 99 85 30 99 875 99 95 99 975 300 05 0 300 075.5. táblázat: Mchelso adataa osztályba sorolása A gyaorság hsztogramot a.9. ábra mutatja. A vízsztes tegelyre most s csa a 99 000 felett részt írtu..9. ábra: Mchelso féysebesség mérésée adataból szeresztett gyaorság hsztogram Ha a mérés abszolút potosságú lee (lye persze em létez) aor mde egyes mérés adata azoosa ellee lee. Az adato azoba szóra, és ez a szórás a mérés hbával apcsolatos. A mérés hbát a hosszmérés bzoytalasága, a hőmérsélet változása, a mérőberedezés forgó türée frevecabzoytalasága stb. ooztá. Bár 00 mé- Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

I. A MÉRÉSI ADATOK LEÍRÓ JELLEMZÉSE rés em túl so, de a hsztogramo már elég jól rajzolód, hogy a hbával terhelt adato eloszlása a fetebe megsmert Gauss-alaú görbéhez özelít. A Gauss-görbe típusú gyaorság eloszlásoal (sűrűségeel) gyara találozu, ee oát az elmélet tárgyalás sorá majd elemezzü. Nézzü még egy példát, ahol a hsztogram alaja em harag alaú görbe. Egy hvatalba megfgyeljü, hogy az ügytéző mey deg foglaloz az ügyféllel. Megmérjü 00 ügyfél esetébe az ügytézés dejét. Az adatoat táblázatba redezzü, és osztályoba sorolju. Legye az osztályszélesség m. Az.0. ábrá a mérés eredméye látsz relatív gyaorság hsztogram formájába..0. ábra: Az ügyfélszám relatív gyaorság ügytézés dejée függvéyébe 00 ügyfél eseté mérve Az ábrá azoal látsz, hogy az eloszlás maxmum élül, és csöeő tedecájú. Az elmélet tárgyalás sorá fogju lát, hogy az dőtartammal, élettartammal apcsolatos folyamato gyaorta lye ú. expoecáls eloszlással jellemezhető. Természetese agyszámú mérést övetőe a umulatív gyaorság görbé s felrajzolható, és tapasztalhatju, hogy elég agy mérésszám eseté már léyegese em változ a görbe jellege. *.5. A mérés adato egyszerűsített jellemzése Méréseet em mdg aarju az összes adattal jellemez. A gyors és egyszerű jellemzéshez az adatsort valaméppe jellemző reprezetatív számértére va szüség. Az, hogy mlye reprezetatív számértéet válasszu az adatsor jellemzésére, a statszta egy fotos érdése. * Az tt letölthető szmulácó azt mutatja, hogy ocadobás eseté a relatív gyaorság, a relatív gyaorságo eloszlása és a umulatív relatív gyaorság hogya változ, mözbe a mérése száma övesz. www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

. A mérés adato ezelése 3 Egy adatsor egyetle számmal törtéő jellemzésére gyara haszálju a özépértéet, vagy átlagot. Többféle özépérté létez: számta özép, mérta özép, harmous özép, égyzetes özép, medá, módusz. A feladat jellege döt el, hogy mely özépérté jellemz legjobba az adatsort. Az alábbaba a özépértée haszálatával smeredü meg..6. Számta özép Leggyarabba talá a számta özepet haszálju. Defícó. Legye darab mérés eredméyü: x., x, x3,..., x Az mérés eredméy x számta özepé defícó szert a övetezőt értjü: x x + x + x3 +... + x x. (.6..) A defícóból leolvasható, hogy a számta özép az a szám, amellyel ha az átlagoladó értéeet helyettesítjü, aor az összegü változatla marad. Nézzü egy orét példát! 0 darab ocadobás sorá a övetező sorozatot apju: x 5; x 5; x3 6; x4 ; x5 ; x6 ; x7 4; x8 5; x9 ; x0 Az adato számta özepe: 5 + 5 + 6 + + + + 4 + 5 + + x 3,3. (.6..) 0 Mvel egy-egy szám többször s szerepel az adatsorba (ettő darab -es, három darab -es stb.), az átlagot máséppe s számíthatju: + 3 + 0 3 + 4 + 3 5 + 6 x 3,3 0 Általáosíthatju s ezt a felsmerést. Ha az azoos mérés eredméye gyaorságát most s -vel jelöljü, a ülöböző lehetséges eredméye számát N-el, aor az átlagszámolás éplete az alább lesz: ; Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

4 I. A MÉRÉSI ADATOK LEÍRÓ JELLEMZÉSE x x + x + 3x3 +... + N xn x. (.6.3.) N Az lye átlagszámítást súlyozott átlaga, a gyaorság értéeet pedg súlyfatora evezzü. Az (.6.3) összefüggés alapjá egy más épletre s juthatu. Mvel a mérése száma, am a méréssorozat eseté álladó, ezért felírható az alább összefüggés s: N N N N 3 N x x + x + +... + xn x g x, (.6.4.) ahol g most s a relatív gyaorságot jelöl. Természetese a számta özép értée a számolás módjától függetle. A számta özepet a statsztába emprus várható értée s szoás evez. A számta özép tulajdosága. A számta özép defícójából özvetleül adód az alább tulajdoság: ( x x ) 0, (.6.5.) hsze x ) x x x x 0 ( x. Az így apott összefüggést átredezve éppe a számta özép defícójára jutu. Ez az összefüggés tulajdoéppe azt jelet, hogy a számegyeese a számta özéptől balra és jobbra elhelyezedő számo számta özéptől mért távolságaa összege megegyez.. Ha az átlagoladó értée mdegyéhez hozzáadu egy álladó számot, aor az átlag ezzel az álladó értéel változ meg: ( x + c ) x + c. (.6.6.) Ez a tulajdoság az összegzés elvégzésével azoal adód. Az (.6.6.) fejezés természetese voás eseté s gaz. www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

. A mérés adato ezelése 5 3. Ha az átlagoladó értéeet egy c álladóval megszorozzu, aor az átlag s megszorzód ezzel az álladóval: cx cx. (.6.7.) Ez a tulajdoság az összegzés dsztrbutív tulajdoságáa övetezméye. Az (.6.6) és (.6.7) tulajdoságo a számta özép számolása eseté soszor alalmazhatóa. Az átlagoladó értéeből álladó értéet levova, vagy álladóval osztva soszor egyszerűbb számohoz jutu, majd a végé hozzáadással, vagy szorzással megapju a helyes átlagértéet. Ha például 00, 3600 és 4800 átlagát aarju számol, aor elegedő, 36 és 48 számta özepét számol, majd a apott értéet megszoroz 00-zal. Haladóa 4. Ha az átlagoladó értéeből levou egy számot, és a ülöbséget égyzetre emeljü, aor a égyzete összegée mmuma éppe az átlagértéél lesz, azaz ( x x ) f ( x ) mmáls, ha x x. A tulajdoság úgy bzoyítható, ha megézzü, hogy f(x)-e x szert derváltja mlye x értéél egyelő ullával. Tehát ahoa f ( x ) ( x x ) x x és ez defícó szert éppe a számta özép. Gyors elleőrző feladato x 0, x, (.6.8.).3. Elleőrzzü, hogy a (.6.8) fejezés valóba mmum. Képezzü f(x) másod derváltját, és ézzü meg, hogy a apott érté poztív előjelű-e a szélsőérté helyé!.4. Számolju a övetező adato átlagát: 400; 00; 00; 500; 00. Haszálju fel az összefüggése özül a megfelelőt!.5. Az.4. táblázat adatat felhaszálva, alalmazva az (.6.6) és (.6.7) összefüggéseet, számítsu Mchelso féysebesség mérésee számta özepét (átlagát)! A feladat megoldása sorá célszerű táblázatezelő programot haszál! Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

6 I. A MÉRÉSI ADATOK LEÍRÓ JELLEMZÉSE.7. A mérta özép A számta özéppel em mdg tudju fejez, amt az átlagtól, vagy a özépérté fogalomtól elváru. Lássu egy példát! A csapadé éves meysége az első évbe %- ot, a másod évbe %-ot, a harmad évbe pedg %-ot öveedett. Meora a öveedés a három év alatt? A öveedés:,,0,0,538, vagys, a öveedés a három év alatt 5,38%-os. Az átlagtól most s elvárju, hogy vele helyettesítve az átlagoladó értéeet e változzé az összes öveedés mértée. Tehát ha az átlagos éves öveedés p, aor a három év alatt öveedés: ( + p ) 3,538. Megoldva p-re ezt az egyeletet, megapju az átlagos év csapadéöveedést: 3 + p,538,0488. Az átlagos éves öveedés tehát 4,88%. A három öveedés számta özepe 5%, tehát a jele esetbe a számta özép helytele eredméyre vezetett vola. Defícó. Általáosítva a modottaat, ha x, x,..., x adatlsta darab em egatív számból áll ( x 0 ), aor ezee a számoa a mérta özepe: x g x x... x. (.7..) A példából jól látsz, hogy a mérta özépet aor haszálju, amor az átlagoladó számo szorzatáa va értelme. Általába, ha éves öveedés rátából számolju a öveedést (amato, épesség, árdex, szeyezettségváltozás, eergaöveedés stb.), aor az átlag számításához mérta özepet haszálu..8. Harmous özép Más átlagot haszálu aor, ha például átlagsebességet ell számolu. Vegyü a övetező példát. Formula -es autó az s hosszúságú ört 00 m/h sebességgel tesz meg, míg a övetező örbe 300 m/h óra a sebessége. A érdés az, hogy meora átlagsebességgel ellett vola mee, hogy ugyaay dő alatt tegye meg a ét ört? A számolást a övetezőéppe végezzü: www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

. A mérés adato ezelése 7 v s s. t s s + t + + v v v v A orét példába az így számolt átlagsebesség 40 m/h. A számta özép 50 m/h lett vola. Általáosítva a felsmerést, az ú. harmous özép defícója: Defícó. Az x, x,..., x mérés adat harmous özepét a x h (.8..) x éplet alapjá számolju. Vegyü észre, hogy ez a éplet valójába azt jelet, hogy a harmous özép recproa egyelő a recproo számta özepével, hsze (.8.) s átalaításával azt apju, hogy x h x. So esetbe a harmous özép adja a megfelelő átlagértéet. Lássu éháy példát! A orább példába láttu, hogy ha az út azoos részet tesszü meg ülöböző sebességgel, aor az átlagsebességet a sebessége harmous özepe adja meg. (Ha azoos dő alatt haladu ülöböző sebességgel, aor a sebessége számta özepe ad helyes átlagot!). Ha ülöböző elleállásoat apcsolu párhuzamosa, és ezeet azoos elleállásoal aarju helyettesíte, aor s az elleállásértée harmous özepe ad helyes értéet. Ha azoos tömegű, de ülöböző sűrűségű folyadéoat elegyítü, aor az átlagos sűrűséget a harmous özép alapjá számolhatju. Köye belátható, hogy ha a mérés adato md egyformá, aor az eddg tárgyalt özépértée megegyeze, és értéü megegyez a mérés adato értéével. Egyébét özöttü az alább agyság vszoy áll fe: x x x. h g Gyors elleőrző feladato.6. Magyarország épessége 004-be 0 6 74 fő volt. A épesség éves csöeését az alább táblázat tartalmazza: év 005 006 007 008 009 csöeés,897,0765,0344,06,436.. táblázat: Magyarország éveét épességcsöeése Közpot Statszta Hvatal: http://portal.sh.hu Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

8 I. A MÉRÉSI ADATOK LEÍRÓ JELLEMZÉSE Meora volt Magyarország laosságáa létszáma 009. év végé? Meora volt ebbe az dőszaba az átlagos épességcsöeés?.7. Két, azoos tömegű, ülöböző sűrűségű folyadéot összeeverü. Kérdés, hogy meora lesz a everé sűrűsége?.8. R 00 Ω és R 00 Ω elleállásoat párhuzamosa apcsolu. Kérdés, meora azoos elleállásoal ellee helyettesíte a ét ülöböző elleállást, hogy az áramerősség az áramörbe e változzo?.9. Medá Az eddg tárgyalt özépértéee az a tulajdosága, hogy érzéeye a ugró értéere. Ha például azt hallju, hogy egy 5 főt foglaloztató cégél a bruttó átlagereset 3 000 Ft, aor ezt csábítóa érezzü. Azoba, ha utáaézü a részletee, aor derül, hogy a cégél 4 fő átlageresete bruttó 00 000 Ft, és a vezető eresete bruttó 3 000 000 Ft. Helyesebb lee lyeor azt moda, hogy a beosztotta átlageresete 00 000 Ft és a vezető 3 000 000 Ft-ot ap. A számta özép lye esetbe félrevezető értéet ad, mert a ugró értére érzéey. Defícó. A agyság szert redezett x, x,..., x mérés adato medájá az adato özépső értéét értjü. Ha páratla szám, aor a medá az adatlsta özépső értée. Ha páros, aor az adatlsta ét özépső értéée számta özepe adja meg a medá értéét. A fet fzetéses példába, ha valamey alalmazotta 00 000 Ft a fzetése, aor a medá értée s 00 000 Ft (függetleül a vezető ugróa magas fzetésétől). A defícóból látsz, hogy a medá olya özépérté, amely em érzéey a ugró adatora..0. Az eloszlás módusza és terjedelme Az eloszlás helyée jellemzésére haszált paraméter a módusz. Defícó. Dszrét eloszlás eseté az eloszlás módusza a leggyarabba előforduló mért érté. Más szóval, a gyaorság dagrama a móduszál va a maxmuma. Folytoos eloszlás eseté a módusz aa az osztálya az osztályözepe, ahol a gyaorsága maxmuma va. Példaét, az.8. ábrá a módusz értée 75 cm. A gyaorság eloszlás más fotos tulajdosága az eloszlás szélessége. A szélességet többféleéppe jellemezhetjü. Az egy lehetséges jellemzés az eloszlás terjedelmée a megadása. www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

. A mérés adato ezelése 9 Defícó. Az eloszlás terjedelmé a legagyobb és a legsebb adat ülöbségét értjü: t x max x m. Köye belátható, hogy a terjedelem érzéey a ugró adatora. Ezért az x mérés adato terjedelmét soszor úgy szereté jellemez, hogy fgyelembe vesszü valameyy adat eltérését valamely özépértétől. Leggyarabba a számta özéptől való x x eltérést vesszü. Mthogy azoba eze összege a (.6.5) összefüggés szert ullát ad, ezért ább az s x x átlagos abszolút eltérést veheté az eloszlás szélességée jellemzésére. Az abszolút értéel azoba ehézes a számolás, ezért ezt rtá haszálju. A egatív értéű eltérésetől azoba emcsa abszolút értéel, haem égyzetre emeléssel s meg lehet szabadul. Ezért a leggyarabba az átlagos égyzetes eltérést haszálju az eloszlás szélességée a mérésére... Emprus szóráségyzet és szórás Az eloszlás szélességét jellemző, leggyarabba haszált paraméter az emprus szórás. Defícó. Legyee x, x,..., x tetszőleges valós számo a mérés adatlsta eleme, amelye számta özepe x. Eor az s ( x x ) (...) fejezést átlagos égyzetes eltérése, vagy emprus (tapasztalat) szóráségyzete evezzü. Az emprus szóráségyzetet a statsztába emprus másod cetráls mometuma s evez. A fejezésből látsz, hogy az emprus szóráségyzet égyzetes dmezójú. Az eloszlás szélességét ezért jobba jellemz a (..) fejezés égyzetgyöe. Defícó. Az emprus szóráso az emprus szóráségyzet poztív égyzetgyöét értjü: s x ). (...) + s ( x + A égyzetgyövoása ét értée va: egy poztív és egy egatív. Mvel az emprus szórás az eloszlás szélességét jellemz, ezért a egatív megoldása tt cs értelme. Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

30 I. A MÉRÉSI ADATOK LEÍRÓ JELLEMZÉSE www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK Az emprus szóráségyzet számolása Az emprus szóráségyzetet számolhatju a (...) éplet alapjá, de a gyaorlatba egyszerűbb a számolás az alább tétel alapjá. Tétel. Legyee az adatlsta eleme az x, x,..., x valós számo. Számta özepü: x. A szóráségyzetre gaz az, hogy x x s. (..3.) Bzoyítás. + + x xx x ) x xx x ( ) x x ( s + + x x x x x x x x x, vagys az adato égyzetée átlagából vova az adato átlagáa égyzetét megapju az emprus szóráségyzetet. Gyors elleőrző feladato.9. Az.6. alfejezetbe számoltu 0 ocadobás számta özepét és 3 3, x értéet aptu. Számolju a 0 adat emprus szóráségyzetét és emprus szórását. Az adatlsta:. x ; x 5; x 4; x ; x ; x ; x 6; x 5; x 5; x 0 9 8 7 6 5 4 3.0. Az adatlsta eleme az x, x,..., x valós számo. Számta özepü:. x Készítsü gyaorság táblázatot az adatoból! Mthogy az adato özött vaa azoosa s, a táblázat eleme legyee a, a,..., a m, ahol m. Az a értée gyaorsága, relatív gyaorsága g. Lássu be az alább összefüggéseet: m x a s, m x a g s. Az összefüggése alapjá számolju smét az.9 feladatba 0 ocadobás sorá az emprus szóráségyzet értéét.

. ÖSSZEFÜGGÉSEK AZ ISMÉRVEK KÖZÖTT A statsztába azt a redszert, amt vzsgálu, amelye méréseet végzü, statszta soasága evezzü. A orább fejezetbe a soasáa csa egyetle smérvét tetettü, és vzsgáltu ee az smérve a gyaorság eloszlását. Példaét vzsgáltu az embere egy csoportja magasságáa gyaorság eloszlását. A példába a soaság az embere csoportja, az smérv pedg a magasság. A soasága azoba em csa egy smérve lehet. A fet példába például a magasság mellett valamlye mutatószám alapjá vzsgálható az embere öbzalma, mt a soaság más smérve. Értelmes felvet azt a érdést, hogy vajo függetlee-e egymástól eze az smérve, vagy va-e özöttü valamlye összefüggés? Tehát például függ-e az embere öbzalma a magasságutól? A tudomáyba gyaor az lye érdésfelvetés. Az smérve özött összefüggése taulmáyozása új felsmerése forrása lehet. Ebbe a fejezetbe a soaság ét smérve özött összefüggéseet vzsgálju. Ha az smérve számszerűsíthető, azaz mérés adata számo formájába jelee meg, aor az összefüggése vzsgálatára a regresszó- és orrelácószámítás jöhet szóba... Potdagram Ha a soaság eleme mérést végzü a ét smérvvel apcsolatba, aor (x,y ) adatpárohoz jutu. Az adatoat általába táblázatba gyűjtjü. A táblázatba azoba em látszaa a tedecá. Soal szemléletesebb, ha az adatoat derészögű oordátaredszerbe ábrázolju. Mde értépár egy-egy potot eredméyez a derészögű oordáta-redszer síjába. Az lye ábrát potdagrama evezzü. A potdagramo so esetbe már szemre s vehető, hogy va-e valamféle összefüggés az smérve özött. Ha a poto eloszlása olya, mt a.. ábrá, aor azt godolju, hogy cs összefüggés az adato özött. Ha pedg a poto eloszlása olya, hogy öréjü olya ellpszs rajzolható, melye főtegelye ullától ülöböző szöggel hajl az x tegelyhez (.. ábra), aor ez azt jelet, hogy összefüggés tapasztalható az smérve özött, azaz tedeca va a poto eloszlásába. www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

3 I. A MÉRÉSI ADATOK LEÍRÓ JELLEMZÉSE.. ábra: Az smérve özött cs összefüggés Az smérveet jellemző adato özött gyaorta leárs az összefüggés, vagy mt a ésőbbebe lát fogju, az összefüggés öye leárssá alaítható. Ezért először a leárs függés jellemzőe meghatározásával foglalozu... ábra: Az smérve özött összefüggés va.. Leárs regresszó Nézzü először példaét olya potdagramot, amely a 0. század tudomáytörtéetée egy jeles ábrája. Edw Hubble és Mlto Humaso a galaxsoat taulmáyozta, és 99-be özölté azt a potdagramot, amely a galaxso Földtől való távolságáa és a Földtől távolodó sebességée adatat tartalmazza. A.3. ábrá látható ez a potdagram. www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

. Összefüggése az smérve özött 33.3. ábra: A galaxso sebességée és Földtől való távolságáa adata A sebesség mértéegysége m/s, a távolság mlló (mega) parsec-be szerepel ( parsec3,6 féyév). A orábba modotta szert a poto öré rajzolható ellpszs, tehát az smérve özött va összefüggés. Az ábrá az látsz, hogy mél távolabb va egy galaxs a Földtől, aál agyobb a Földtől távolodás sebessége. Ez a felsmerés vezetett ésőbb a Nagy Bumm és a táguló vlágegyetem godolatához, am a moder asztroóma egy alapfelsmerése. Ha leárs összefüggést feltételezü a sebesség és a távolság özött, aor felmerül a érdés, hogy hogya határozzu meg ee az egyeese az adatat. Az első godolat az lehet, hogy szemre húzzu be a tredvoalat. Ez em rossz ötlet, soszor ezt s tesszü, amor a mérése utá gyors értéelést végzü. Hogya húzu voalzóval a potora legjobba lleszedő egyeest? Igyeszü úgy elhelyez a voalzót, hogy a meghúzott voal alatt és felett örülbelül azoos számú pot helyezedje el. A módszer em rossz, hátráya azoba, hogy valaháyszor szemre elvégezzü az llesztést, mdayszor ssé ülöböző eredméyt apu. Lehet objetívebb módszert s választa, amely tudomáyos módszerét jobba alalmazható. Meghatározhatju például a poto távolságaa összegét a lehetséges tredegyeesetől, és eze özül azt választju, amely esetébe a pottávolságo összege a legsebb. Mlye távolságoat válasszu? Választhatju a poto függőleges távolságát, ahogya azt a.4. ábra mutatja, vagy a vízsztes távolságoat, ahogya azt a.5. ábrá látju..4. ábra: A poto függőleges távolsága a tredegyeestől Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

34 I. A MÉRÉSI ADATOK LEÍRÓ JELLEMZÉSE.5. ábra: A poto vízsztes távolsága a tredegyeestől Választható lee még a poto geometra (merőleges) távolsága s, azzal azoba örülméyes számol, ezért azt em szotá választa. A távolság számolásál abszolút értéeel ellee dolgozu, am matematalag örülméyes, ezért ább a Gauss által javasolt égyzetösszegeel dolgozu, ahhoz hasolóa, ahogya azt az emprus szóráségyzet esetébe tettü. A módszert legsebb égyzete módszerée evezzü..3. A legsebb égyzete módszere A legsebb égyzete Gauss által javasolt módszerébe a mérés poto egy lehetséges tredegyeestől mért függőleges vagy vízsztes távolságaa égyzetösszegét számolju, majd megeressü azt az egyeest, amely esetébe ez a égyzetösszeg a legsebb. Az alábbaba matematalag fogalmazzu meg az tt leírt feltételt. Defícó. A legsebb égyzete módszerével az darab (x,y ) potpárra legjobba lleszedő egyeest határozzu meg. A még em smert, meghatározadó egyees meredesége legye a, tegelymetszete b, tehát az egyees egyelete: y ax + b. Az x mért értéhez y mért érté tartoz. Az x potba a meghatározadó egyees y oordátája: y( x ), ahogya azt a.6. ábrá láthatju. A mérés pot és az egyeese lévő pot távolsága tehát: y y( x ). A legsebb égyzete módszere szert ezee a távolságoa a égyzetösszegét ell számol: ( y y( x )) S ( a,b ). (.3..) www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

. Összefüggése az smérve özött 35.6. ábra: Magyarázó ábra a legsebb égyzete módszeréhez Úgy ell megválaszta a és b értéét, hogy a égyzetösszeg mmáls legye, vagys S( a,b ) ( y ( ax + b )) m A fet defícó alapjá a számolás az alábba szert törté. Az S ( a,b ) függvéy mmumát ell megeres, am özsmert módo a derválta ullhelyee meghatározását jelet. K ell tehát számolu az alább ét parcáls dervált értéét:. S( a,b ) 0 ; a S( a,b ) 0. b Elvégezve a derválás műveletét, ét egyeletre jutu: ( y ( ax + b ))( x ) 0 ( y ( ax + b ))( ) 0 Átredezve az egyeleteet (.3..)-ből és (.3.3.)-ból azt apju, hogy, (.3..). (.3.3.) x y a x + b x, (.3.4.) y a x + b. (.3.5.) Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

36 I. A MÉRÉSI ADATOK LEÍRÓ JELLEMZÉSE A eresett a és b paraméter ebből az egyeletredszerből, a mért x, y értéeel fejezhető. Számolásra alalmasabb és áttethetőbb formulát apu, ha bevezetjü a övetező új változóat (eze léyegébe a mérés poto oordátáa számta özepe): x x, (.3.6.) Ezeel fejezve a ét eresett meységet: y y. (.3.7.) x y xy a, (.3.8.) x x b y ax. (.3.9.) A másod derváltaal belátható, hogy az így apott a és b értéeél S( a,b ) -e mmuma va. A.4. ábrá a (.3.8.) és a (.3.9.) egyelete felhaszálásával számolt egyeest rajzoltu be. Ezt az eljárást leárs regresszóa evez. A függőleges távolságo felhaszálásával számolt legjobba lleszedő egyeest pedg első regresszós egyeese szotá evez. Természetese a legsebb égyzete módszerével számolható a vízsztes távolságo alapjá s a legjobba lleszedő egyees. Ilyeor az x x távolságo égyzetösszegét ell számol, és a mmumot megeres, ahol x( y ) a y + b. (.3.0.) Formálsa azoal adód, hogy a változó felcserélésével a megoldás alaja: x y xy a, y y b x a xy. www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

. Összefüggése az smérve özött 37 Ha a szoásos alara aarju hoz az egyees egyeletét, aor (.3.0.) s átalaításával azt apju, hogy b y x. (.3..) a a A.5. ábrára az így számolt paraméterű egyeest rajzoltu. A vízsztes távolságo alapjá számolt egyeest másod regresszós egyeese evez. A.7. ábrára özös oordáta-redszerbe rajzoltu az első és másod regresszós egyeest..7. ábra: Az ábra potjahoz lleszedő ét regresszós egyees Általába a ét egyees ülöböz egymástól. Meél jobba lleszede a mérés poto egy egyeesre, aál özelebb es egymáshoz a ét regresszós egyees. Ha a poto potosa egy egyeesre ese, aor ylvávaló, hogy mdét regresszós egyees eze az egyeese halad, hsze a poto egyeestől való mmáls távolsága így ulla. Ilyeor tehát a ét regresszós egyees megegyez. Meél jobba szóra a poto, aál ább ülöböz a ét regresszós egyees. A.. ábrá mutatott tred élül szóró poto esetébe az első regresszós egyees vízsztes, a másod regresszós egyees pedg függőleges, ahogy az a.8. ábrá látható..8. ábra: Tred élül szóró poto esetébe a ét regresszós egyees Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

38 I. A MÉRÉSI ADATOK LEÍRÓ JELLEMZÉSE.4. Leárs orrelácó A leárs orrelácóaalízs feladata az, hogy a orábba feltárt tulajdoságo felhaszálásával jellemezze, és számszerűsítse azt, hogy a ét mért smérv özött meyre leárs a apcsolat, vagys, hogy a poto a dagramo meyre lleszede egy egyeesre. Azt ell tehát vzsgálu, hogy a ét regresszós egyees meyre tér el egymástól, azaz hogy az első regresszós egyees meredesége hogya aráyl a másod regresszós egyees meredeségéhez. A orábbaba már láttu, hogy az első regresszós egyees meredesége m a, a másod regresszós egyees meredesége pedg m. a A jellemzéshez haszált háyados: r m a aa. (.4..) m a Ee gyöe r aa. (.4..) Vzsgálju meg r abszolút értéée vseledését! Ha a poto potosa egy egyeesre ese, vagys töéletes a ét smérv özött a leárs apcsolat, aor a ét regresszós egyees meredesége megegyez, vagys m m. Ilyeor tehát (.4..)-ből az övetez, hogy r. (.4.3.) A más véglet az, amor a ét regresszós egyees merőleges egymásra. Ilyeor, mt láttu, cs leárs apcsolat az smérve özött, és (.4..)-ből az övetez, hogy r 0. (.4.4.) Mde más esetbe r értée 0 és özött. Ha részletes felírju r alaját, aor az alább fejezést apju: www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

. Összefüggése az smérve özött 39 Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu y y xy y x x x xy y x r. Ee égyzetgyöe: y y x x xy y x r. (.4.5.) Ha most ezt tetjü r defícójáa, aor látsz, hogy r előjeles. A (.4.5.) fejezés részletesebb vzsgálata alapjá megmutatható, hogy r aor egatív, ha a regresszós egyees meredesége egatív, azaz az egyees lefelé halad, és aor poztív, ha az egyees meredesége poztív, vagys az egyees emeled. Az r meység elevezése emprus orrelácós együttható. A.4. ábrá mutatott adato esetébe r0,96, am még jó leárs apcsolatot mutat. Ellebe, ha r értée például 0,4, aor gyege a leárs apcsolat a ét smérv özött, és a legsebb égyzete módszerével meghatározott egyees paramétere bzoytala formácóval szolgála a tredet lletőe. Az emprus orrelácós együttható tehát arra haszálható, hogy az smérve özött leárs apcsolat erősségét vzsgálju. Az r abszolút értée mél özelebb va -hez, aál erősebb a leárs apcsolat. Gyors elleőrző feladato.. Lássu be, hogy a orrelácós egyees meredeségét leíró (.3.8.) fejezés evezője mdg poztív! Azt ell tehát belát, hogy 0 x x >!.. Bzoyítsu be, hogy ha a regresszós egyees meredesége egatív (a<0), aor ez r- re s gaz, vagys lyeor 0 r <..3. Igazolju, hogy az r emprus orrelácós együtthatóra talált (.4.5.) összefüggés és az alábbaba adott ala megegyez egymással: y ) y ( ) x x ( y ) y )( x x ( r. (.4.6.)

40 I. A MÉRÉSI ADATOK LEÍRÓ JELLEMZÉSE.5. Nemleárs regresszó Learzálás eljárás Az smérve özött soszor em leárs a apcsolat. Ez a mérés adatoat tartalmazó táblázat alapjá rtá derül, de vagy elmélet megfotolásoból tudju, vagy pedg a potdagram segítségével állapítju meg. Példaét lássu a.. táblázatot, amely eurázsa folyó hosszát és a hozzáju tartozó vízgyűjtő terület agyságát mutatja be. folyó hossz [m] vízgyűjtő terület [m ] Ob 540 97 000 Irts 448 643 000 Volga 369 40 000 Dua 850 87 000 Dyeper 90 56 000 Káma 805 507 000 Dyeszter 36 7 000 Raja 30 99 000 Elba 65 44 000 Vsztula 047 94 000 Tsza 96 57 000 Dráva 749 40 000 Ipoly 5 000.. táblázat: Eurázsa folyó hossza és vízgyűjtő területe agysága A táblázatból em látszaa a tedecá. Potdagramo ábrázolva a vízgyűjtő területet a folyóhossz függvéyébe, láthatóvá vál, hogy összefüggés va a ét jellemző özött, de az összefüggés em leárs. Ez látható a.9. ábrá..9. ábra: Eurázsa folyó hossza és vízgyűjtő területü agysága www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

. Összefüggése az smérve özött 4 Elmélet meggodolásoból sejthető, hogy a vízgyűjtő terület agysága égyzetese függ a folyó hosszától. Az s feltehető, hogy a 0 m hosszúságú folyóhoz 0 m vízgyűjtő terület tartoz. A függvéyapcsolat jellege tehát y ax alaú, ahol x folyó hosszát y pedg a vízgyűjtő terület agyságát jelöl. Ha gaz a feltevés, aor y-t x függvéyébe ábrázolva egyeest ell apu. Ezt az ábrázolás módot mutatja a.0. ábra..0. ábra: A folyó vízgyűjtő területe a folyóhossz égyzetée függvéyébe Ha tehát a soaság jellemző özött em leárs a apcsolat, aor az ábrá so esetbe leárssá tehető az összefüggés. Ezt övetőe pedg alalmazható a orábba megsmert leárs regresszó a legsebb égyzete módszerével. Ha elmélet megfotolásoból em smerjü a hatváyfüggvéy tevőjét, aor a övetező eljárás vezethet serre. Legye a függvéy alaja a y bx. Képezzü az egyelet mdét oldaláa természetes alapú logartmusát: Ha bevezetjü a övetező új változóat: aor azt apju, hogy l y lb + al x. ŷ l y, bˆ lb; xˆ l x, ŷ axˆ + bˆ. Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

4 I. A MÉRÉSI ADATOK LEÍRÓ JELLEMZÉSE tehát, ŷ -ot ábrázolva xˆ függvéyébe egyeest apu, amelye meredesége az smeretle tevő. Nézzü meg, hogya alalmazható a talált összefüggés például az előző, folyóal apcsolatos példába. Tegyü fel, hogy em smerjü a tevőt, és meg szereté határoz. Ehhez ábrázol ell a folyó hosszáa logartmusát (l x) a folyó vízgyűjtő területée logartmusa (l y) függvéyébe. Ez látható a.. ábrá, ahol mdét logartmus természetes alapú... ábra: A folyó vízgyűjtő területée logartmusa a folyóhossz logartmusáa függvéyébe Az ábrá a legsebb égyzete módszerével a potora llesztett egyees s látsz. Az egyees meredesége: a,96, am jó özelítéssel gazolja a meredeségre tett orább elmélet feltevésüet. Gyara expoecáls fejezéssel va dolgu (például élettartamo, radoatív bomláso dőpotja stb. sorá). Ilyeor tehát az (x,y ) jellemző özött y ax be ; x > 0 jellegű összefüggést eresü. Meghatározadó az a és a b paraméter. A övethető eljárás az alább. Képezzü mdét oldal természetes alapú logartmusát: Ha bevezetjü a l y lb ax. ŷ l y, bˆ l b www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

. Összefüggése az smérve özött 43 új változóat, és ábrázolju ŷ -ot x függvéyébe, aor egyeest apu, amelye meredesége a, tegelymetszete pedg l b. A fetebe vázolt learzálás eljárás a legtöbb függvéytípus esetébe serese alalmazható, és a gyaorlatba soszor haszálju s ezt a módszert. Haladóa Nemleárs legsebb égyzete módszere A jellemző özött emleárs apcsolat eseté a fetebe vázolt learzáláso ívül alalmazható a emleárs legsebb égyzete módszere. Az eljárást az alábbaba vázolju. Legye a ísérlete sorá apott darab (x,y ) (,,..., ) értépáru. Elmélet megfotolásoból, vagy a learzálás eljárás sorá megsmert módo tudju, hogy a poto özött y ϕ( x;a,a függvéyapcsolat va. Mthogy a mérés sorá statsztus jellegű hbá terhel a mérés potoat, ezért általába a mért y és a a éplet adta y ϕ( x ;a,a,...,am ) értée eltére egymástól: y ( x;a,a,...,am ),...,a ϕ ε, (,,..., ). m ) A legsebb égyzete módszere szert a feladat az, hogy a S( összeget mmalzálju. Keressü tehát a S( a a,a,...,am ) ε [ ] y ( x;a,a,...,am,a,...,am ) ϕ ) függvéy mmumát az a - függvéyébe. Ameybe a φ függvéy az a paramétere szert dfferecálható, aor a mmum szüséges feltétele: S a 0; S a S 0;...; a m 0. Az m számú egyeletből számolható az m darab a paraméter értée. Ezeet vsszaírva a φ függvéybe, megapju a potora legjobba lleszedő függvéyt. Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

44 I. A MÉRÉSI ADATOK LEÍRÓ JELLEMZÉSE Elméletleg belátható, hogy a learzálással és a emleárs legsebb égyzete módszerével apott függvéye em azoosa. Az eltérés általába em agy, és a gyaorlat számára általába elhayagolható. Fotos megjegyzés, hogy a legsebb égyzete módszerével apott függvéyalao, bár jól lleszede a potora, de em bztos, hogy a függvéyalaa va fza jeletése. Az így apott görbe általába emprus éplete tetedő! www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

II. A VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ALAPJAI www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

3. A VALÓSZÍNŰSÉG FOGALMÁNAK BEVEZETÉSE 3.. Az alapfogalma bevezetése A orább fejezetebe már láthattu, hogy a ísérlet adato ezeléséhez jól haszálható a leíró statszta módszere. Ahhoz azoba, hogy továbblépjü és mélyebbe megsmerhessü a véletle ísérlete sajátosságat, előbb meg ell smerü a valószíűségszámítás alapjat. A leíró statszta sorá találoztu már a véletle ísérlet fogalmával. Defálju most szabatosa ezt a fogalmat. Defícó. Az olya ísérletet evezzü véletle ísérlete, melye végeredméyét az általu fgyelembe vett oo em határozzá meg egyértelműe. A ísérlet meetele több, esetleg végtele so lehetséges eredméy özül az egy. Egyszerű példaét többször fogju emleget a ocadobást, vagy a pézérmés ísérletet, amelye meetele dszrét elemeből álló halmaz egy eleme. Más lehetséges példa a ap özéphőmérsélet alaulása, amor folytoos halmaz egy eleme a végeredméy. Defícó. A véletle ísérlet lehetséges meetelet elem eseméyee evezzü. A továbbaba az elem eseméyeet ω -vel jelöljü, ahol az dex a lehetséges eleme özül az -edet jelöl. A övetező fotos fogalom az eseméytér fogalma. Defícó. Az elem eseméye összességét eseméytére evezzü, és a továbbaba az eseméyteret Ω-val jelöljü, tehát { ω, ω, ω} Ω...., Látható, hogy az eseméytér egy halmaza fogható fel, amelye eleme az elem eseméye. A véletle eseméyeel apcsolatba más eseméye s megfogalmazható, például olyao, amelye több elem eseméyt tartalmaza. www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

3. A valószíűség fogalmáa bevezetése 47 Defícó. Az elem eseméye egy halmazát tartalmazó eseméyt véletle eseméye evezzü. A továbbaba a véletle eseméyeet A, B, C agy lat betűel jelöljü. Igaz tehát az, hogy A Ω, vagys halmazelmélet megfogalmazással, az A véletle eseméy az elem eseméye Ω terée egy részhalmaza. Egy ísérlet sorá a véletle eseméyt aor tetjü megvalósulta, ha a megvalósuló elem eseméy része az A halmaza. Természetese Ω s egy eseméy, és mvel az eseméytérrel apcsolatos mérés sorá Ω bztosa beövetez, ezért ezt az eseméyt bztos eseméye evezzü. Például a ocadobás eseté az eseméytér: {,, 3, 4, 5, 6} Ω. A páros számoat tartalmazó véletle eseméy: {, 4, 6} A, ahol az elem eseméye ω, ω 4, ω 3 6. A ocadobásos ísérlet sorá az A eseméy aor valósul meg, ha valamely páros számot dobju. Az eddgeből már látsz, hogy az elem halmazelmélet fogalmat és jelöléset fogju haszál. Ha vala ezere em emlész, aor tt az deje a téma átézésée (lásd a Függelébe a 3. fejezetet)! Haladóa Felvetődhet az a érdés, hogy egy eseméytérrel apcsolatba háy eseméy fogalmazható meg? Nézzü egyszerű példát! Egy urába égy golyó va,,, 3, 4 számoal ellátva: {,, 3, 4} Ω. A ísérlet abból állhat, hogy véletleszerűe golyóat húzu az urából. Írju fel az összes lehetséges eseméyt az elem eseméyeel: { 0 }; { } ; { } ; { 3} ; { 4} ; {,} ; {,3} ; {,4} ; {,3} ; {,4} ; { 3,4} ; {,,3 }; {,,4 }; {,3,4 }; {,3,4 } {,,3, 4}. A halmazelméletbe szoásos, hogy a ulleseméyt (jele esetbe, hogy em húzu golyót) mde halmaz részhalmazáa tetjü. Az összes véletle eseméye halmaza tehát ebbe az esetbe 6 eseméyt tartalmaz. Gyors elleőrző feladat ; Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

48 II. A VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ALAPJAI 3.. Lássu be, hogy általába gaz az, hogy ha Ω -a elem eseméye va, aor az összes lehetséges eseméye száma:. Művelete eseméyeel Láttu, hogy az eseméye halmazo, ezért mde olya művelet elvégezhető az eseméyeel, amely a halmazo özött defálva va. Tehát például a A összegeseméy az az eseméy, melye sorá legalább az egy A eseméy megvalósul. Vagy, a A szorzateseméy az az eseméy, melye sorá valamey A megvalósul. Ha A (A omplemeter eseméye) megvalósul, aor A em valósul meg stb. Gyors elleőrző feladato 3.. Legye A és B ét eseméyhalmaz. Eze olya halmazo, amelyee va özös részü, vagys AB Ø. Írju fel összegüet ét özös rész élül halmaz összegeét. 3.3. Mlye feltételeel gaz az egyelőség: (A+B) B A. 3.. Gyaorság, relatív gyaorság, emprus agy számo törvéye A leíró statsztáról szóló fejezetbe már megsmeredtü a gyaorság és a relatív gyaorság fogalmával. Eleveítsü fel, hogy a ísérlete sorá mlye tapasztalatoat szereztü a gyaorsággal apcsolatba, és ézzü meg a gyaorságo éháy tovább tulajdoságát! Legye az eseméyterü: { ω, ω, ω} Ω...., Láttu orábba, hogy ha véletle ísérletet végzü az eseméytére, aor a végeredméy az elem eseméye özül az egy. Egyetle ísérlet eseté eél agyobb bzoyosság cs! Azoba, ha soszor (-szer) hajtju végre a ísérletet, és ee sorá az A eseméy gyaorsága A, a B eseméy gyaorsága B, aor a ísérlet tapasztalat azt mutatja, hogy a A / B háyados, elég agy eseté, vszoylagos stabltást mutat. Ez azt jelet, hogy a gyaorságo háyadosa a ísérletszám függvéyébe már csa cst változ. Ezeet a s változásoat statsztus gadozásoa evezzü. Ez a vszoylagos stabltás az, amt emprus agy számo törvéyée eveztü. A tapasztalata alapjá mde által öye belátható példa az érmedobás esete. Nagyszámú dobás eseté www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

3. A valószíűség fogalmáa bevezetése 49 azt várju, hogy özel azoos számú fej és írás lesz a végeredméy, azaz a ét eseméy gyaorságáa háyadosa: A B fej. írás Az Ω bztos eseméy gyaorsága megegyez a mérése számával. Ha tehát a B eseméy helyébe a bztos eseméyt tesszü, aor a háyados alaja: A Ω A. Ezt a háyadost eveztü relatív gyaorsága. Az így apott háyados s stabltást mutat az mérésszám öveedésével. A gyaorság száma em lehet agyobb a mérése számáál. Igaz tehát az, hogy 0 A. Ee az egyelőtlesége az átredezésével azt apju, hogy 0 A. (3...) A relatív gyaorság tehát 0 és özött értéet vehet fel, a határoat s beleértve. Mt tudu moda ét eseméy összegée relatív gyaorságáról? Legye a ét eseméy A és B. ísérlet sorá a gyaorságu A és B. A ét eseméy összege A+B, az összeg gyaorsága A+B. Általába gaz az, hogy + A+ B A B, (3...) hsze, ha a ét eseméyhalmaza va a ulleseméytől ülöböző özös része, aor azt A és B értéébe s beleszámítju, ugyaaor az lye eseméye A+B számolásaor csa egyszer számoladó. Nézzü egy egyszerű példát! 3.. Példa. A ocadobás esté az A eseméy legye a övetező: a B eseméy pedg: A {,, 3}, B { 3,4, 5}. Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

50 II. A VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ALAPJAI Az A+B eseméy pedg a övetező: {,,3,4, 5} A + B. Végezzü el egy 0 dobásból álló ocadobásos ísérletet, melye sorá az alább elem eseméye öveteze be:,, 3,6, 5, 5, 3,,, 4. Számolju meg, háyszor övetezett be az A, a B és az A+B eseméy! A övetezőet apju: 6, 5, + 8, A B A B vagys valóba a (3...) fejezésbe a sebb relácó teljesül, melye az oa az, hogy a özös elemeet az egyelőtleség jobb oldalá étszer számolju. Más a helyzet azoba aor, ha a ét halmaz dszjut, azaz cs özös részü ( AB Ø ). Eor és csa eor, gaz az, hogy + A+ B A B. (3..3.) Ha a (3..4.) egyelet mdét oldalát osztju -el, aor a relatív gyaorságora érvéyes összefüggésre jutu: A + B A B +. (3..4.) Szavaba megfogalmazva: ha ét eseméye cs özös része (dszjut halmazo), aor összegü relatív gyaorsága megegyez a relatív gyaorsága összegével. Gyors elleőrző feladat 3.4. Lássu be, hogy a (3..3) összefüggés gaz tetszőleges számú, özös résszel em redelező eseméy gyaorságára s! Alalmazzu a teljes ducó módszerét! 3.3. A valószíűség ísérlet meghatározása Az előző fejezetbe a relatív gyaorsággal apcsolatba leírt törvéyszerűsége alalmasa a valószíűség fogalmáa defálására. Mvel a relatív gyaorság agyszámú ísérlet eseté vszoylagos stabltást mutat, ezért a véletle ísérlete sorá célszerű ezt a meységet az adott eseméy jellemzésére haszál. Azt modju, hogy egy véletle eseméy valószíűségée ísérlet értée az adott eseméy agyszámú ísérlet eseté beövetező relatív gyaorsága. Jelöljü az A eseméy ísérlet valószíűség értéét P s (A)-val, aor www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

3. A valószíűség fogalmáa bevezetése 5 A Ps ( A ), ha elegedőe agy. (3.3..) Hogy m az elegedőe agy érté, azt adott ísérletbe a potosság géy szabja meg. A ésőbbebe még vsszatérü erre a érdésre. Az így defált valószíűség értére gaz, hogy 0 Ps( A ), (3.3..) vagys, ha így defálju a valószíűség ísérlet értéét, aor egyúttal a sálát s megszabtu. Nem feltétleül ell azoba a sáláa 0 és özött értéűe lee. A gyaorlatba soszor százaléba fejez a valószíűség értéét, am azt jelet, hogy a sála 0 és 00 özött. Ilyeor tulajdoéppe a (3.3..) defícóval apott értéet százzal szorozzu. A defícóból az s látsz, hogy mvel ísérlet sorá a bztos eseméy -szer övetez be, ezért a bztos eseméy ísérlet valószíűsége. Eddg meggodolása ísérlet tapasztalatora voatozta. Eze a megfgyelése teremtetté meg az alapját aa, hogy a valószíűségelmélet axomatus felépítése megostruálható legye. 3.4. A valószíűségelmélet axómá A. N. Kolmogorov orosz matematus 933-ba fetette le a valószíűségelmélet axomatus alapjat. Ez tette lehetővé, hogy a valószíűségelmélet a matemata bztos alapoal redelező része lehesse. Az általa felírt három axóma az alább.. axóma. Mde A Ω véletle eseméyhez hozzáredelhető egy P(A) szám, amelyre gaz, hogy 0 P( A ). (3.4..) A P(A) függvéyt az Ω eseméytér A részhalmaza értelmezett valószíűségeloszlása, vagy rövde az A eseméy valószíűségée evezzü.. axóma. A bztos eseméy valószíűsége, vagys P ( Ω ). (3.4..) 3. axóma. Ha A véges so, vagy megszámlálhatóa végtele so eseméy, ahol A A Ø ha j, aor j Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

5 II. A VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ALAPJAI P 3 3 + ( A + A + A +...) P( A ) + P( A ) + P( A )... Tömörebbe felírva ugyaezt: P A P( A ). (3.4.3.) A 3. axóma alaja ét eseméyre felírva: ha A A Ø, aor P + ( A + A ) P( A ) P( A ). Az axómá léyegéből övetez, hogy felírásu öéyes. Azoba, ha a belőlü övetező tételeet a valóság leírására íváju felhaszál, aor ez az öéyesség orlátozód. Vegyü észre, hogy a valószíűség axómá s orább ísérlet tapasztalatora alapozóda. A valószíűség axómá olya összefüggése, amelye ísérletleg bzoyítható módo a relatív gyaorságra gaza. Ha valószíűsége azt az értéet tetjü, am örül agy mérésszám eseté statsztusa gadoz a relatív gyaorság, aor az axóma megfogalmazásáa újdosága abba áll, hogy feltételez ezee az összefüggésee az gazát erre az értére s. Látju tehát, hogy az axómá az A eseméyehez egy-egy számot (a valószíűséget) redel hozzá. Ez az A P( A ) hozzáredelés hasoló a valós számo özébe megsmert x f ( x ) függvéyapcsolathoz. Az A eseméyeet és a hozzáju redelt P(A) számértéeet együttese valószíűség mezőe evezzü. 3.5. Az axómá övetezméye Az axómából a halmazelmélet és a matemata loga segítségével olya összefüggéseet vezetü le, amelyeet a valószíűség-számítás alaptételee evezhetü. Melőtt a tételere rátéré, defálju egy új fogalmat. Defícó. Az A, A,, A,... eseméye redszerét teljes eseméyredszere evezzü, ha az eseméye egymást pároét zárjá, és összegü a bztos eseméyt adja. Más szóval A + A +... + A +... Ω, A A Ø, ha. (3.5..) Megjegyzés: vegyü észre, hogy az eseméyredszer tartalmazhat véges számú eseméyt, de megszámlálhatóa végtele eleme s lehet. www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

3. A valószíűség fogalmáa bevezetése 53 Például a ocadobás eseté a páros számoat tartalmazó A eseméyhalmaz, és a páratla számoat tartalmazó B eseméyhalmaz teljes eseméyredszert alot: A {, 4, 6} és {, 3, 5} B. Eze utá rátérhetü az axómából övetező egyszerű tétele megfogalmazására.. tétel. Ha az A, A,, A eseméye teljes eseméyredszert alota, aor gaz az, hogy: P( A ) + P( A ) +... + P( A ) +.... (3.5..) Bzoyítás. A teljes eseméyredszer (3.5..) defícója tartalmazza azt, hogy a redszer eleme dszjut halmazo. Ezért alalmazható a 3. axóma, vagys P ( A A +... + A +...) P( A ) + P( A ) +... + P( A ) +... P( ) +. Ω A másod axóma szert vszot P ( Ω ), tehát P( és ez az, amt be ellett látu. A ) + P( A ) +... + P( A ) +...,. tétel. Az A eseméy A omplemeter eseméyée valószíűsége: P( Bzoyítás. A halmazelméletből smeretes, hogy valamt A ) P( A ). (3.5.3.) A + A Ω, A A Ø. Tehát, A és A teljes eseméyredszert alota! Ezért az. tétel (3.5..) állításából övetez, hogy P ( A ) + P( A ). Ie pedg már leolvasható a tétel állítása: Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

54 II. A VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ALAPJAI P( A ) P( A ). 3. tétel. A lehetetle eseméy valószíűsége ulla, vagys Bzoyítás. A halmazelméletből smeretes, hogy tehát A. tétel felhaszálásával: 4. tétel. Ha B A, aor gaz az, hogy P(Ø) 0. (3.5.4.) Ω Ø, P ( Ω ) P( Ø) P ( Ø) P( Ω ) -P(Ω ) 0. P( A B ) P( A ) P( B ). (3.5.5.) Ez azt jelet, hogy ameybe B eseméy része az A eseméye, aor (és csa aor) a ülöbségü valószíűsége egyelő a valószíűsége ülöbségével. Bzoyítás. A helyzetet jellemző Ve-dagramból (3.. ábra) látsz, hogy ( A B) + B A, valamt, az s látsz, hogy B és A-B özös rész élül halmazo, azaz B ( A B) Ø. Alalmazható tehát a 3. axóma: 3.. ábra: Segédábra a 4. tétel bzoyításához www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

3. A valószíűség fogalmáa bevezetése 55 ahoa P ( A B ) + P( B ) P( A ), P( A B ) P( A ) P( B ). A tétel övetezméye az, hogy ha B A, aor P( B ) P( A ), hsze P( A B ) 0, tehát ahoa az állítás már leolvasható. 0 P( A ) P( B ), 5. tétel. Ha A és B ét tetszőleges véletle eseméy, aor összegü valószíűsége: P( A + B ) P( A ) + P( B ) P( AB ). (3.5.6.) Bzoyítás. Ismét rajzolju fel a Ve-dagramot az általáos esetre. Ezt a 3.. ábra mutatja. 3.. ábra: Ve-dagram az 5. tétel bzoyításához Az A+B halmaz felírható ét özös rész élül halmaz összegeét, ahogy az a Vedagramo látsz: Mvel gaz az, hogy ezért alalmazható a 3. axóma: P( A + B A + ( B AB ). A ( B AB ) Ø, ( A + ( B AB )) P( A ) + P( B AB ) A + B ) P. (3.5.7.) Mthogy azoba AB B, ezért a 4. tétel értelmébe: Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

56 II. A VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ALAPJAI P( B AB ) P( B ) P( AB ). Ha az így apott összefüggést (3.5.7.)-be beírju, aor a tétel állításához jutu: P( A + B ) P( A ) + P( B ) P( AB ). Gyors elleőrző feladato 3.5. Az 5. tételhez hasoló tételt vezessü le ét tetszőleges eseméyhalmaz ülöbségére! Lássu be, hogy ha A és B ét tetszőleges eseméyhalmaz, aor P( A B ) P( A ) P( AB )! 3.6. Lássu be, hogy tetszőleges A és B eseméyhalmazo eseté gaz az, hogy P ( A + B ) P( A ) + P( B )! A övetező ét alfejezetbe egy-egy egyszerű valószíűség mezővel smeredü meg, amelyebe egyszerű elve alapjá számolható az eseméye valószíűsége. 3.6. Klasszus valószíűség mező Defícó. Klasszus valószíűség mezőe evezzü azt a valószíűség mezőt, amelybe az elem eseméye száma véges, és valameye azoos a valószíűsége. Egyszerű példa lasszus mezőre a pézérme példája. Az elem eseméye (fej, írás) száma ettő, és ha szabályos az érme, aor a ét elem eseméy valószíűsége azoos. Tétel. Ha a lasszus valószíűség mezőe elem eseméye va, aor eze p valószíűsége: p. (3.6..) Bzoyítás. A lasszus mező elem eseméye legyee ω, ω,..., ω. A lasszus mező defícójából övetez, hogy P( ω ) P( ω )... P( ω ) p. www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

3. A valószíűség fogalmáa bevezetése 57 Továbbá, mvel az elem eseméye egymást záró eseméye, vagys ω ω j Ø, tehát alalmazható a 3. axóma: P Ω) P( ω + ω +... + ω ) P( ω ) + P( ω ) +... + P( ω ) p. ( Ie az utolsó egyelőség felhaszálásával apju, hogy p. A lasszus mező elem eseméyt tartalmazó A eseméyée valószíűségéről szól a övetező tétel. Tétel. Ha a lasszus valószíűség mezőbe az A eseméy darab elem eseméyt tartalmaz, aor ee valószíűsége: P ( A ). (3.6..) Bzoyítás. Az előző tételhez hasolóa haszálju, hogy az elem eseméye egymást záró eseméye, tehát alalmazható a 3. axóma. Ha az A eseméy, és a részét épező elem eseméye az alábba: A ω + ω, + ω +... aor P( A ) P( ω + ω +... + ω ) P( ω ) + P( ω ) +... + P( ω ). A gyaorlatba, ha alalmaz aarju a (3.6..) épletet, aor természetese meg ell győződ arról, hogy valóba lasszus mezőről va-e szó, vagys, hogy valam doolja-e azt, hogy az elem eseméye valószíűsége azoosa. 3.. Példa. Példaét számolju aa valószíűségét, hogy a játéocával páratla számot dobu. Ha a játéoca szabályos, aor egy oldala scs tütetve a máshoz épest. Ez doolja azt, hogy lasszus mezőről va szó, vagys az elem eseméye számáa végessége mellett valamey oldal azoos valószíűséggel erülhet felülre. Az összes lehetőség száma 6, és eze özött az A eseméy részeét három páratla szám szerepel. Alalmazva a (4.7) épletet azt apju, hogy a edvező elem eseméye száma 3 P ( A). az összes elem eseméy száma 6 Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

58 II. A VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ALAPJAI Gyors elleőrző feladato 3.7. Két érmét dobu fel egyszerre. M a valószíűsége aa, hogy md a ét érme írással felfelé ér le? 3.8. Egy urába három pros, ét fehér és öt zöld golyó va. M a valószíűsége aa, hogy ha egy golyót véletleszerűe húzu az urából, aor az fehér lesz? 3.7. Geometra valószíűség mező So esetbe az Ω bztos eseméy valamlye geometra alazat (görbe, felület, térfogat, stb.). Ez em lasszus valószíűség mező, hsze az elem eseméye az Ω halmaz potja, eze száma pedg végtele. Az A eseméye Ω részhalmaza ( A Ω ). Hogya számolju az A eseméy P(A) valószíűségét? A valószíűség számításához feltételezzü, hogy az A eseméy P(A) valószíűsége aráyos az A halmaz mértéével (a hosszával, a felület agyságával, a öbtartalommal), azaz: P( A ) c m( A ), (3.7..) ahol c aráyosság téyező, m(a) pedg az A halmaz mértéét jelöl. Az axómá alapjá az aráyosság téyező agysága számítható, hsze a (3.7.) összefüggésbe A helyett Ω-t írva azt apju, hogy A. axóma szert P(Ω), tehát ahoa P( Ω ) cm( Ω ). cm ( Ω ), c. m( Ω ) Végeredméyéppe tehát az A eseméy valószíűsége: m( A ) P( A ). (3.7..) m( Ω ) Bár a geometra valószíűség mező az említett o matt em lasszus mező, de a valószíűsége számítását lletőe hasoló fejezésre jutottu, mt a lasszus mező esetébe, vagys edvező eseméy mértée valószíüs ég. bztos eseméy mértée www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

3. A valószíűség fogalmáa bevezetése 59 Megjegyzés A geometra valószíűség eseté az elem eseméye az Ω eseméyteret megjeleítő geometra alazat potja. Meora ezee az elem eseméyee (potoa) a valószíűsége? A (3.7..) éplet alapjá látsz, hogy bármely pot valószíűsége 0, hsze a számlálóba szerepel az eseméy (jele esetbe a pot) mértée. A pot mértée pedg zérus. Nullától ülöböző valószíűsége a végtele so potot tartalmazó tartomáya va, am lehet hosszúság, felület vagy térfogat. Lássu egy egyszerű példát a geometra valószíűségre! 3.. Példa. Tegyü fel, hogy véletleszerűe lövü egy R sugarú céltáblára. Feltéve, hogy a céltáblát bztosa eltalálju, m a valószíűsége aa, hogy a özépe lévő r sugarú 0-es örbe találu? Megoldás: Tehát: m ( A ) r π, m ( Ω ) R π. m( A ) r π P ( A ) m( Ω ) R π r R. (3.7.3.) A 8. századba Georges Buffo volt az, a a geometra valószíűség problémával foglalozott. Ő adta fel a övetező példát. 3.3. Példa. h oldalhosszúságú égyzetere beosztott lapra d átmérőjű érmét dobu, ahol d < h. A érdés az, hogy m a valószíűsége aa, hogy az érme hozzáér a égyzethálót alotó voalahoz (legye ez az A eseméy)? A 3.3. ábrára a h oldalhosszúságú égyzetháló egyetle égyzetét rajzoltu fel. 3.3. ábra: Ábra a égyzethálós példához Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

60 II. A VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ALAPJAI A probléma a geometra valószíűség módszerével oldható meg. Nylvávaló, hogy az érme özéppotja a égyzet bármely potjára eshet, tehát az összes eset mértée a égyzet területe, azaz: h. Az ábráról az s látsz, hogy az érme aor em ért a égyzetháló voalat, ha özéppotja a szaggatott voallal jelzett égyzete belül tartózod. Aa valószíűsége tehát, hogy az érme em ért a voalaat ( A eseméy): ( h d ) h hd + d hd d P( A ). (3.7.4.) h h h Felhaszálva a P( A ) P( A ) összefüggést, a eresett valószíűség: hd d P( A ). d Megjegyzés A példába a megoldáshoz elegedő egyetle égyzetet tete, ugyas aárháy égyzetet s tetü a (3.7.4.) fejezésbe ugyaaora számmal szorozzu a számlálót és a evezőt s, tehát az eredméy változatla marad. Gyors elleőrző feladat 3.9. Legye a sí felosztva egymástól h távolságra lévő párhuzamos voalaal. Ejtsü a síra d átmérőjű érmét (d < h). M a valószíűsége aa, hogy az érme ért a voala valamelyét? (d/h). Haladóa 3.4. Példa. Buffo a feteél érdeesebb feladatot s talált és megoldott. A feladat így szól: húzzu a sío egymástól egységy távolságra párhuzamos voalaat. Ejtsü erre az egyszerűség edvéért egységy hosszúságú tűt. M a valószíűsége aa, hogy a tűe va özös potja valamely voallal? Ez a probléma Buffo tűje éve voult be az rodalomba. A megoldás sorá smét elegedő egyetle voalat tete, és ee a voala ét oldalról az / szélességű öryezetét. Az egyszerű leíráshoz ét változót vezethetü be. Az egy a tű özéppotjáa távolsága a voaltól. Legye ez az x változó. Az x változó /-től +/-g változhat, A más változó legye a tű φ szöge a voalhoz épest. A φ szög 0 radától π radág változhat. Adott x > 0 eseté az értés feltétele az, hogy Ugyaez gaz egatív x-ere s. x sϕ, azaz sϕ x. (3.7.5.) / www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

3. A valószíűség fogalmáa bevezetése 6 3.4. ábra: Ábra a Buffo-tű feladat megoldásához A 4.4. ábra mutatja, hogy a edvező terület a besatírozott rész. Ee agyságát a görbe alatt terület számításával határozhatju meg: π t s x dx 0 π [ cos x] A teljes terület agysága pedg: π. A geometra valószíűség szert aa valószíűsége, hogy a tű értez voalaal (A eseméy): 0 edvező terület P ( A ) 0,63669.... (3.7.6.) teljest terület π. Ez az eredméy érdees lehetőséget ad a π értéée ísérlet becslésére, hsze (3.7.6.) átalaításával azt apju, hogy π. (3.7.7.) P( A ) Ha tehát ísérletleg meghatározzu P s (A) értéét, aor (3.7.7.) fejezésből adód π értée. Azóta többe elvégezté ezt a ísérletet, többe özött 90-be Maro Lazzar olasz matematus 3 408 számú dobást végzett, amvel meglehetős potossággal tudta a π Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

6 II. A VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ALAPJAI értéét becsül. Ma már em ell tű dobálásával ísérletezü, hsze számítógépes szmulácóval gyorsa elvégezhető a becsléshez szüséges agyszámú dobás. * 3.8. Feltételes valószíűség A feltételes valószíűség fogalmáa defálása előtt ézzü egy egyszerű példát. Számolju, hogy meora a valószíűsége aa, hogy a játéocával páratla számot dobu (A eseméy). A lasszus valószíűségél modotta alapjá ezt egyszerűe tudju számol: edvező eseméye száma 3 P ( A). összes eseméy száma 6 Más a helyzet azoba, ha tudju azt, hogy a dobás sorá 4-él evesebbet dobtu (B eseméy), vagy másét fogalmazva, csa az 4-él sebb értéű dobásoat tetjü. Ilye feltétel mellett, m a páratla dobáso (A eseméy) valószíűsége? Az összes eseméye száma most 3, a edvező eseméye száma pedg. Tehát, ha P( A B )-vel jelöljü az A eseméy valószíűségét abba az esetbe, ha a B eseméy bztosa beövetez, aor a eresett valószíűség: P ( A B ). (3.8..) 3 Általáosabba s felírhatju az eredméyt, ha B -vel jelöljü a B eseméy elem eseméyee számát, AB -vel pedg a B eseméyel együtt beövetező A eseméye számát, aor a fet éplet általáos megfogalmazása: AB P ( A B ). B Ez a éplet agyo hasolít a lasszus valószíűség fejezésére, csa az összes elem eseméye számát átvesz a B eseméy elem eseméyee száma. Általáosítható fejezésre jutu, ha elosztju a számlálót és a evezőt s -el, am az eseméytér összes elem eseméyée a száma. Eor azt apju, hogy AB / P( AB ) P( A B ). / P( B ) B Fgyelem! A számlálóba és a evezőbe a háyadoso em relatív gyaorságo, haem eseméye elem eseméyee száma osztva az összes elem eseméy számával. * A Buffo-tű problémát szmuláló amácó azt mutatja, hogy a ísérlete számáa öveedésével a megoldás hogya özelít a π értéét. www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

3. A valószíűség fogalmáa bevezetése 63 A lasszus valószíűség mezőre voatozó öye átlátható feladat utá most már em meglepő a feltételes valószíűség defícója. Defícó. Tetszőleges Ω eseméytére legye ét eseméyü A és B. Az A eseméy B eseméyre voatoztatott feltételes valószíűségét a övetező éplet adja meg: P( AB ) P ( A B ), ahol megöveteljü, hogy ( P ( B ) > 0). (3.8..) P( B ) Haladóa Köye belátható, hogy P ( A B ) feltételes valószíűség egy valószíűség-eloszlást ír le a rögzített B eseméy AB részhalmaza. P ( A B ) ugyas eleget tesz az alább összefüggésee:. 0 P( A B ). Ez oa övetez, hogy AB B, ezért a 4. tétel övetezméye alapjá: P( AB ) P( B ), vagys P( AB ) P( B ) 0 P( A B ). P( B ) P( B ). P ( B B ), vagys a bztos eseméy szerepét B vesz át, hsze 3. ( A A ) B) P( A B) P( A B) P + P( BB ) P( B ) P ( B B ). P( B ) P( B ) +, ha az A és A eseméye zárjá egymást. Bzoyítás. A bzoyítás első lépéseét lássu be, hogy ha A és A eseméye zárjá egymást, aor A B és A B eseméye s zárjá egymást. Felírható az alább azoosság ( A B )( A B ) B( A A )B, (3.8.3.) ahol a halmaz szorzás ommutatív és asszocatív tulajdoságat haszáltu. Mvel pedg A A Ø, ezért B A A ) B BØB Ø (. Eze utá felírhatju a feltételes valószíűség defícója alapjá azt, hogy Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

64 II. A VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ALAPJAI ( A + A ) B) ( A + A )B) P( A B + A B) P ( P( B ) P( B ) P( A B ) + P( A B ) P( A B ) P( B ) P( B ) P( A B ) P( B ), P + ahoa már leolvasható az állítás. Ez a három állítás léyegébe megegyez a valószíűség három axómájával, am azt s jelet, hogy a feltételes valószíűség defícójával valóba valószíűség eloszlást defáltu. A feltételes valószíűségre s érvéyese tehát a valószíűségre levezetett eddg tétele. Gyors elleőrző feladato 3.0. A harmad állítás általáosításaét teljes ducóval lássu be, hogy ha A, A... véges számú, vagy végtele so eseméy pároét zárja egymást, aor gaz az, hogy 3.. Lássu be, hogy P A B ) P( A B )! P( A B ) P( A B )! 3.. Lássu be, hogy ét tetszőleges A és A eseméyre gaz, hogy ( A A ) B) P( A B ) + P( A B ) P(( A A ) B ) P +. 3.5. Példa. A so étgyermees család özül véletleszerűe választu egyet. M a valószíűsége aa, hogy a családba va fú s (A eseméy), ha azt tudju, hogy legalább az egy gyerme láy (B eseméy)? Két gyerme eseté a gyermeeet lletőe az összes lehetséges a övetező: ff, fl, lf, ll. 3 A B eseméy (va láy a családba) valószíűsége: P ( B ). Aa valószíűsége, 4 hogy láy és fú s va a családba: P ( AB ). A feltételes valószíűség éplete 4 alapjá tehát aa valószíűsége, hogy va fú a családba, ha tudju, hogy va leáy a családba: P( AB ) 4 P ( A B ). P( B ) 3 3 4 www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

3. A valószíűség fogalmáa bevezetése 65 3.9. Szorzás szabály A feltételes valószíűség alalmazása sorá a feladat általába em abba áll, hogy P(AB) és P(B) smeretébe meghatározzu P ( A B ) feltételes valószíűséget. Éppe elleezőleg, általába soal egyszerűbb számol a feltételes valószíűségeet, és ebből számolju más eseméye valószíűséget. Ha a (3.8..) összefüggés evezőjével átszorzu a más oldalra, aor azt apju, hogy P ( AB ) P( A B )P( B ). (3.9..) Ez a fejezés a szorzás szabály, amely lehetővé tesz, hogy P(B) és P ( A B ) smeretébe számolju P(AB) értéét. 3.6. Példa. A 3.5. példa esetébe öye számolható özvetleül s a P ( A B ) feltételes valószíűség. A B eseméy valószíűsége (legalább az egy gyerme láy): 3 3 P ( B ). Ie a szorzás szabállyal határozható meg az AB szorzateseméy valószíűsége: 4 3 P ( AB ). 3 4 3.0. A teljes valószíűség tétele A teljes valószíűség tétele jeletőségée megértéséhez dulju egy példából. 3.7. Példa. Tegyü fel, hogy a HN vírusfertőzés mutatására fejlesztee egy teszteljárást. A teszteljárás bevzsgálása sorá arra juta, hogy vírusfertőzés megléte eseté a teszt 80% valószíűséggel mutatja a fertőzés meglétét. Ugyaaor, vírusfertőzés háya eseté 0%-os valószíűséggel poztív eredméyt mutat a teszt. Fordítsu le ezt a valószíűség-számítás yelvére! A teszt poztív eredméye legye a T eseméy, a vírusfertőzés megléte pedg legye a V eseméy! Tehát, ha cs vírusfertőzés, aor ez a V (omplemeter) eseméy. Felírható, hogy a T eseméy étféleéppe övetezhet be: T TV + TV. (3.0..) A feladat edvéért talált számérté ez és a több valószíűség s ebbe a feladatba. Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

66 II. A VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ALAPJAI Mvel V és V együttese teljes eseméyredszert alota ( V + V Ω ), ezért több lehetőség cs. (3.0..) alapjá felírju aa valószíűségét, hogy a teszt poztív eredméyt ad (T eseméy): P (T ) P(TV ) + P(TV ). (3.0..) A 3. axóma alalmazható, hsze V és V egymást záró eseméye, tehát TV és TV azo lásd a (3.0..) bzoyítást! Eze utá a szorzás szabály felhaszálásával apju az alább összefüggést: s P (T ) P(T V )P(V ) + P(T V )P(V ). (3.0.3.) Ha tudju azt, hogy a vírusfertőzöttség %-os valószíűségű, aor P (V ) 0,0, P (V ) 0, 98, P (T V ) 0, 8, P (T V ) 0,. Ie (3.0.3.) felhaszálásával számíthatju aa valószíűségét, hogy a teszt sorá poztív lesz az eredméy: P (T ) 0,8 0,0 + 0, 0,98 0,4. A (3.0.3.) összefüggés léyegébe a teljes valószíűség tétele, alalmazva egy orét példára. Most már megfogalmazhatju általáosa s a tételt. Tétel Legye A az Ω eseméytére egy tetszőleges véletle eseméy. Ugyaeze a tére a B, B,..., B eseméye alossaa teljes eseméyredszert, tehát B + B +... + B Ω, és B B j Ø, ha j. A teljes valószíűség tétele azt állítja, hogy lye eseméyere gaz az alább összefüggés: P( A ) P( A B )P( B ) + P( A B )P( B ) +... + P( A B )P( B ) P( A B )P( B ).(3.0.4.) Bzoyítás Abból dulu, hogy ha B és B j eseméye j eseté zárjá egymást (dszjut halmazo), aor AB és AB j s lyee lásd (3.0..). Másrészt A AΩ A( B +, (3.0.5.) + B +... + B ) AB + AB +... AB www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

3. A valószíűség fogalmáa bevezetése 67 Tehát az A eseméy valószíűsége a 3. axóma felhaszálásával: P( A ) P( AB ) + P( AB ) +... P( AB ). (3.0.6.) + Ie a szorzás szabály alalmazásával apju a tétel állítását: P( A ) P( A B )P( B ) + P( A B )P( B ) +... + P( A B )P( B ) P( A B )P( B ) Lássu egy más példát arra, hogy mét haszálható a teljes valószíűség tétele!. 3.8. Példa. Három urába fehér és feete golyó vaa. Az első urába fehér és 3 feete, a másod urába 3 fehér és 4 feete, a harmad urába 4 fehér és 5 feete golyó va. A ísérlet abból áll, hogy választu egy urát és a választott urából húzu egy golyót. A érdés az, hogy m a valószíűsége aa, hogy a húzás eredméye fehér golyó? Jelöljü az egyes urá választásáa eseméyet B, B, és B 3 eseméyeel. Legye az urá húzásáa egyforma a valószíűsége, vagys P( B ), 3 P( B ), 3 P( B 3 ). 3 A fehér golyó húzásáa eseméyét jelöljü A-val. A feltételes valószíűség fogalmáa felhaszálásával öye megadható a fehér golyó húzásáa valószíűsége az egyes urából: P( A B ), 5 3 P( A B ), 7 4 P( A B3 ). 0 A teljes valószíűség tételét felhaszálva számítható a eresett valószíűség: 3 4 ( A ) P( A B )P( B ) + P( A B )P( B ) + P( A B3 )P( B ) + + 0,4095.... 5 3 7 3 0 3 P 3 3.. Bayes tétele A tétel bevezetéseét tt s a 3.7. példát említjü. Példába azt a érdést tárgyaltu, hogy m a valószíűsége a poztív teszte. A érdés másét s feltehető. Poztív teszt eseté m a valószíűsége aa, hogy vírusfertőzött a vzsgált személy, vagys a P (V T ) valószíűséget eressü. A feltételes valószíűség defícója alapjá felírhatju, hogy Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

68 II. A VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ALAPJAI P(VT ) P(T V )P(V ) P (V T ) (3...) P(T ) P(T ) A evezőbe beírva P(T) (3.0.3.) fejezését: P(T V )P(V ) P(T V )P(V ) P(V T ). (3...) P(T ) P(T V )P(V ) + P(T V )P(V ) Ez Thomas Bayes által felírt megoldása a orét feladata. A számadatoal a példa eredméye: P (V T ) 0,4... Ezutá felírhatju Bayes tételée általáos megfogalmazását. Tétel. Ha A az Ω eseméytére egy tetszőleges véletle eseméy, és ugyaeze a tére a B, B,..., B eseméye teljes eseméyredszert alota, aor a Bayes-tétel állítása: P( A B P ( B A ). (3..3.) )P( B P( A B )P( B ) Bzoyítás. A bzoyítás lépése megegyeze az előzőebe véggszámolt feladat megoldásáa lépésevel. A feltételes valószíűség defícója alapjá: Ide beírva P(A) alaját (3.0.4.) alapjá: P( A B )P( B ) P( B A ). P( A ) ) P( B P( A B )P( B ) A ) P( A B )P( B ) + P( A B )P( B ) +... + P( A B )P( B ), és ez léyegébe a (3..3.) bzoyítadó ala. 3.. Eseméye függetlesége A hétözap életbe aor modju, hogy ét eseméy függetle, ha egy beövetezése cs hatással a más beövetezésére. A valószíűségelméletbe az eseméye függetleségét a feltételes valószíűség segítségével defálju. Defícó. Az A és B eseméyeet függetlee modju, ha www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

3. A valószíűség fogalmáa bevezetése 69 P ( A B ) P( A ). (3...) Vagys az A eseméye a B eseméyre voatoztatott feltételes valószíűsége em függ a B eseméytől. Az alábbaba a (3...) defícó övetezméyet tárgyalju. A defícó szert ahoa P( AB ) P ( A B ) P( A ), (3...) P( B ) P ( AB ) P( A )P( B ), (3..3.) vagys, ha az A eseméy függetle a B eseméytől, aor az AB szorzateseméy valószíűsége az A és B eseméy valószíűségee szorzatával egyez meg. Mt tudu moda a B eseméy A eseméyre voatoztatott feltételes valószíűségről, ha A függetle B-től? A feltételes valószíűség defícója szert: P( BA ) P( A )P( B ) P ( B A ) P( B ). (3..4.) P( A ) P( A ) Arra jutottu, hogy ha az A eseméy függetle a B eseméytől, aor a B eseméy s függetle az A eseméytől, ahogya azt el s várju. Mthogy (3...) és (3..4.) egyarát a (3..3.) összefüggésre vezet, általába a függetleség feltételeét az A és B eseméyere szmmetrus (3..3.) fejezést szotu haszál. Soszor em ettő, haem több eseméy függetleségée érdése merül fel. Ezzel apcsolatos a övetező defícó. Defícó. Az ugyaazo az eseméytére értelmezett A, A,..., A eseméyeet függetlee evezzü, ha özülü tetszőlegese választva eseméyt, gaz az, hogy az eseméye szorzatáa valószíűsége egyelő az eseméye valószíűségee szorzatával. Példaét A, B és C három eseméy eseté a fet defícó alapjá a függetleség feltétele: P ( AB ) P( A )P( B ); P ( AC ) P( A )P( C ), P ( BC ) P( B )P( C ) ; és P ( ABC ) P( A )P( B )P( C ). Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

70 II. A VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ALAPJAI Megjegyzése. A függetleség és a özös rész élülség (dszjut halmaz) fogalma em everedő! Tehát, ha ABØ, ebből em övetez, hogy a ét eseméy függetle, hsze legye A és B ét olya eseméy, amelyere gaz, hogy ABØ, tehát P(AB)0, de P( A ) 0 és P( B ) 0. Eor a ét eseméy szorzatáa valószíűségére azt apju, hogy P( AB ) 0 P( A )P( B ). Hsze ét ullától ülöböző poztív szám szorzata em lehet ulla, vagys a ét eseméy em függetle. A ét eseméy aor lee függetle s, ha vagy P(A)0 vagy P(B)0.. Az előző megjegyzésbe modottaból övetez, hogy az egymást záró A és A eseméye em függetlee egymástól. 3. A gyaorlatba a ísérlete sorá általába em smerte az eseméye valószíűsége, tehát a (3..3.) defícó alapjá em tudju eldöte a függetleség érdését. Ilyeor a valószíűség ísérlet defícóját hívhatju segítségül, vagys a relatív gyaorságo vzsgálata döthet a függetleségről. 4. A gyaorlat életbe soszor függetlee modu ét eseméyt, amor úgy érezzü, hogy egy eseméy cs hatással a másra. Például ét egymás utá ocadobást függetlee godolu. Ilye esetebe a relatív gyaorságo alapjá elleőrzve azt tapasztalju, hogy valóba teljesül a matemata függetleség s. Ugyaaor óvatosa ell leü, mert lehete rejtett összefüggése, amelye első ráézésre em szembeötlőe. 5. Ha játéocával dobu, majd utáa érmét dobu fel, aor a ocadobás végeredméyée A eseméyét és az érmedobás B eredméyét olyaa godolju, amelye csee hatással egymásra. M a helyzet a ét eseméy matemata függetleségével? A válasz azért em magától értetődő, mert ez a ét eseméy em ugyaaa az eseméytére az eleme. A függetleség eddg defícó pedg ugyaazo az eseméytére értelmezett eseméyere voatozott. A probléma feloldására megtehetjü azoba azt, hogy a ét eseméyteret egyesítjü. Az egyesített eseméytére mde elem eseméye ét elem eseméyt tartalmaz. Egyet az egy, és egyet a másod eseméytérből. A jele példa eseté tehát az egyesített tér egy elem eseméye egy 6 özött számból, és a fej vagy írás egyéből áll. Eze az egyesített tére már értelmezhető a ét eseméy függetleségée érdése. Lássu egy példá, hogy a függetleséggel apcsolatos eddgebe tault összefüggéseet hogya alalmazhatju! 3.9. Példa. Lássu be, hogy ha A és B eseméye függetlee egymástól, aor A és B eseméye s függetlee! A de Morga-azoosságo alalmazásával apju azt, hogy P ( AB ) P( A + B ) P( A + B ) P( A ) P( B ) + P( AB ). www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

3. A valószíűség fogalmáa bevezetése 7 A és B függetlesége matt P ( AB ) P( A )P( B ), tehát P( ( PA )) AB ) P( A ) P( B ) + P( A )P( B ) P( A ) P( B ). Ie azt apju, hogy ( PA )) ( P( A ))( P( B )) P( A )P( B ) P ( AB ) P( A ) P( B ) am éppe a feladat érdésére adott válasz. Gyors elleőrző feladato 3.3. Ha A és B eseméye függetlee egymástól, aor lássu be, hogy A és B s függetlee! 3.4. Ha A és B eseméye függetlee egymástól, aor lássu be, hogy A és B s függetlee!, 3.3. A Beroull-ísérletsorozat Tegyü fel, hogy olya ísérletet végzü, amelye csa ét meetele va, A és A. A ét eseméy valószíűsége P(A)p, és P ( A ) p q. Ilye ísérlettel gyara találozu a gyaorlatba. A legegyszerűbb változata az lye ísérlete az érmedobás. De a ocadobásál s felvetődhet az a érdés, hogy -et, vagy pedg em -et dobu a ocával. Ez utóbb esetbe a valószíűsége: P ( ) p ; 6 5 P ( > ) q. 6 Az lye ísérletbe az eredméy gyara ser vagy udarc formájába jeletez. Ha az lye ísérletet egymásutá -szer megsmételjü úgy, hogy az egyes ísérlete függetlee egymástól, aor Beroull-ísérletsorozatról beszélü. A Beroull-ísérletsorozat apcsá gyara felmerül a övetező érdés: m a valószíűsége aa, hogy az függetle ísérlet sorá potosa -szor övetez be az A eseméy? Ezt a feladatot gyara Beroull-problémáa evezzü. A feladat megoldása sorá először tegyü fel, hogy az ísérlet sorá éppe azt apju, hogy az első ísérletbe az A eseméy, az azt övető - ísérletbe az A eseméy valósul meg. A függetle eseméye apcsá modott szorzás szabály alapjá az egyesített ísérlet valószíűségét öye megadhatju: P( AA...AAA...A ) P( A )P( A )...P( A )P( A )P( A )...P( A ) p q. Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

7 II. A VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ALAPJAI Ez azoba még em a probléma megoldása, hsze az, hogy az A eseméy -szor valósul meg még más sorredbe s létrejöhet. A lehetősége számát az adja meg, hogy pozícóból háyféleéppe lehet potosa ülöböző pozícót választa. A választ erre a ombatora segítségével aphatju meg: ez éppe elem -ad osztályú ombácója,! azaz. A Beroull-probléma megoldása tehát:!( )! B (, ) p p q. (3.3..) 3.0. Példa. Tegyü fel, hogy egy urába N darab golyó va. Az N golyó özül M fehér és N M feete golyó va. Kérdés, m a valószíűsége aa, hogy húzás sorá potosa alalommal fehér golyót húzu? A feladat csa aor oldható meg a Beroullprobléma megoldás épletével, ha bztosítju az egymás utá húzáso függetleségét. Ehhez mde húzás utá vssza ell te a húzott golyót, és alaposa össze ell ever a golyóat. Ebbe az esetbe a p valószíűség mde húzás sorá azoos lesz, és így p és q a lasszus valószíűség éplete alapjá számolható: M p ; N N M q. N Ezutá alalmazva a Beroull-probléma (3.3..) épletét, megapju a feladat megoldását: M N M B(, ). N N 3.. Példa. Most éreztü el oda, hogy megoldhatju a bevezetőbe már említett problémát, amelye megoldását de Méré lovag érte Pascaltól. A érdés az volt, hogy mely a valószíűbb, az hogy egy ocával dobva égy dobás özül legalább egyszer hatost dobu, vagy az, hogy ét ocával dobva 4 dobás özül legalább egyszer tzeettőt dobu? A megoldás sorá célszerű mdét esetbe a omplemeter eseméy valószíűségét számol, majd azt -ből vo. Tehát, aa valószíűsége, hogy egy ocával égyszer dobva egyszer sem dobu hatost a Beroull-éplet alapjá B p ( 4,0 ): 0 4 4 4 5 5 Bp ( 4,0 ) 0,48..., és Bp ( 4,0 ) 0,577.... 0 6 6 6 Aa valószíűsége, hogy ét ocával 4-szer dobva egyszer sem dobu hatost szté a Beroull-épletet haszálva B p ( 4,0 ) : www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

3. A valószíűség fogalmáa bevezetése 73 0 4 4 4 35 35 Bp ( 4,0 ) 0,5085..., és Bp ( 4,0 ) 0,494.... 0 36 36 36 (Célszerű a számítást logartmus segítségével végez!). Látsz, hogy a ülöbség meglehetőse cs. de Méré lovag gazá soat ocázhatott, ha lye s ülöbséget észrevett. Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

4. VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓ, VÁRHATÓ ÉRTÉK, SZÓRÁS 4.. Valószíűség változó Az eddgebe az eseméye valószíűségeről beszéltü. A gyaorlatba azoba általába a véletle eseméy egy ísérlet végeredméye. A ísérletebe pedg arra töreszü, hogy a végeredméy umerus formába jeleje meg. A véletle eseméye megvalósulásaor aa elem eseméye özül az egy jö létre. Tehát a ísérlet sorá az elem eseméyehez redelt számérté az, am a ísérlet végeredméyeét jeletez. A ocadobás eseté például az elem eseméy a oca lapjara írott szám. Persze a ocadobással apcsolatba más eseméye s megfogalmazható. Például az, hogy páros vagy páratla számot dobu. Ilyeor magu döthetjü el, hogy mlye számot redelü a páros és mlye számot a páratla eseméy beöveteztéhez; modju 0-t, ha páros, -et ha páratla a végeredméy. Általáosa fogalmazva az elem eseméyehez a ísérlet géyee megfelelőe számoat redelhetü hozzá. Mthogy a véletle ísérlet sorá véletleszerűe egy vagy más szám lesz a végeredméy, ezért az elem eseméyehez így hozzáredelt számot valószíűség változóa evezzü. A továbbaba a valószíűség változót a szoásoa megfelelőe ξ (sz), η (éta) stb. görög betűel fogju jelöl. Matemata értelembe az elem eseméyehez törtéő hozzáredelés ξξ(ω) függvéyszerű hozzáredelése felel meg, ahol a hozzáredelés értelmezés tartomáya Ω. Ie jól látsz, hogy ξ véletle változó, hsze az elem eseméye s véletle eseméye. A ísérlete sorá so esetbe az elem eseméye magu s számértée, és lyeor soszor ezt tetjü valószíűség változóa s. A számo hozzáredelése az elem eseméyehez azoba öéyes. A ísérletező maga döt el, hogy a ísérlet sorá mlye valószíűség változó értéeet alalmaz. A ocadobás eseté sem ötelező a ocára írt számot választa. Modhatju azt s, hogy a dobás sorá a felül lévő számhoz mt elem eseméyhez em ezt a számot redeljü hozzá valószíűség változó értéét, haem például a szám égyzetét. Sőt ülöböző elem eseméyehez ugyaazt a számot s hozzáredelhetjü. Célszerű mdg a ísérlet övetelméyee legjobba megfelelő számértéeet választa. Vaa olya feladato, amelyebe az elem eseméyehez em egy, haem több számértéet célszerű hozzáredel. Időjárás eseté például a ap özéphőmérsélet, és a ap csapadémeység. Ilyeor a valószíűség változó em egy, haem több számértéből áll, vagys a valószíűség változó lehet vetor jellegű s. Foglalozzu egyelőre azzal az esettel, amor a valószíűség változóa mde lehetséges értée egyetle számból áll! www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

4.Valószíűség változó, várható érté, szórás 75 A valószíűség változó lehet dszrét, mt például a ocadobás eseté, és lehet folytoos s, mt a ap özéphőmérsélet sorá. Defálju potosabba a dszrét valószíűség változót! Defícó. A valószíűség változót dszréte evezzü, ha ξ-e véges so, vagy megszámlálhatóa végtele so lehetséges értée va. A továbbaba ξ lehetséges értéet általába az betűel jelöljü. x,x,..., x,... Defícó. Ha a ξ valószíűség változó a valós számo egy tervallumá mde értéet felvehet, aor a valószíűség változót folytoosa evezzü. Természetese ez az tervallum lehet a teljes számegyees s. Va olya ísérlet, amelybe csa az egy elem eseméy beövetezése, vagy be em övetezése érdeel beüet. Például a ocadobás eseté hatost dobu, vagy em dobu hatost. Ilyeor célszerű az dátorváltozó alalmazása. Defícó. Ameybe egy véletle ísérletbe csa ét eseméy A és A fordulhat elő (vagy csa ét eseméy érdeel beüet), és a hozzáju redelt valószíűség változó az alább:, ξ 0, ha az A eseméy övetez be ha az A eseméy övetez be, aor ezt a ξ valószíűség változót dátorváltozóa evezzü. Nézzü éháy példát a valószíűség változóra. 4.. Példa. A ocadobás sorá az Ω eseméytér: {,, 3, 4, 5, 6} Ω. Az elem eseméye magu s számo. De em eze a valószíűség változó értée. A valószíűség változó értée hozzáredelése sorá természetese választhatju ezeet a számoat s, de mt modtu, választhatu más számoat s. Példába most ez utóbb lehetőséget választju. A páros számohoz redeljü 0-t, a páratlaohoz pedg -et. Tehát ξ ( ) ; ξ( ) 0; ξ( 3 ) ; ξ( 4 ) 0; ξ( 5 ) ; ξ(6 ) 0. Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

76 II. A VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ALAPJAI Ez esetbe ξ tulajdoéppe dátorváltozó. Lássu példát a folytoos valószíűség változóra s! 4.. Példa. A céltáblás ísérletbe az elem eseméye a céltábla (x,y) számpárral jellemzett potja. A potohoz hozzáredelhetü egy olya valószíűség változót, amely megadja a pota a özéppottól mért távolságát. Tehát, ha a ör alaú céltábla sugara R, aor ξ r x + y ; ahol [ 0, R] ξ tervalluma. Ebbe az esetbe ξ folytoos valószíűség változó. A céltábla esetébe megtehetjü azt s, hogy az R sugarú céltáblát felosztju R/0, R/0,..., 0R/0 sugarú öröel. A ξ valószíűség változó lehetséges értée pedg legyee a övetező: a belső örhöz a x 0, a belülről számítva első örgyűrűhöz a x 9,..., a legülső örgyűrűhöz a x 0 értéet redeljü hozzá! Ez a változat az, amt a gyaorlatba s alalmaz szota. Ez utóbb esetbe dszrét valószíűség változót defáltu. 4.. A dszrét valószíűség változó eloszlása A valószíűség változó defícójából övetez, hogy az elem eseméyehez redelt számérté. Az elem eseméye valószíűségét a orábbaba defáltu. Tehát a hozzáredelés alapjá a valószíűség változóhoz s redelhető valószíűség érté. Defícó. A valószíűség változó lehetséges értéehez redelt valószíűség azo elem eseméye valószíűségee összegével egyez meg, amelyehez az adott értéet redeltü, azaz P ( ξ x ) P( ω ), re, amelyre ξ( ω ) x. (4...) Látju, hogy összegzés aor jele meg, ha ülöböző elem eseméyehez azoos valószíűség változó értéet redelü hozzá. A valószíűség változó lehetséges értéehez redelt valószíűség értée együttesét a valószíűség változó eloszlásáa (vagy rövde valószíűség eloszlása) evezzü. Az értelmezés tartomáy tt a valós számegyeese az a tartomáya, ahol a ξ lehetséges értée elhelyezede. Soszor az egyszerűség edvéért értelmezés tartomáyét az egész valós számegyeest tetjü, és azoo a helyee, ahol ξ-e csee értée, a hozzáredelt valószíűség értée ulla (lehetetle eseméy!). Ezt úgy s értelmezhetjü, hogy az Ω eseméytér szerepét most a számegyees vesz át, az értéészlet pedg a [0,] tervallumba eső valós számo öre. Az eloszlás elevezést az doolja, hogy a hozzá- www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

4.Valószíűség változó, várható érté, szórás 77 redelés azt mutatja meg, hogy a valószíűség változóhoz redelt valószíűség értée hogya oszlaa meg a számegyees potja özött. 4.3. Példa. A 4.. példába defált valószíűség változóhoz redelt valószíűség értée, mvel valamey elem eseméy valószíűsége /6: P ( ξ ) P() + P( 3 ) + P( 5 ) 3 6, és 3 P ( ξ ) P( ) + P( 4 ) + P(6 ). 6 Mde lye esetbe a valós számegyees potjahoz redelü egy-egy számot, amely számo a [0, ] tervallum potja. A 4.3. példába a 0 és az pothoz egyarát a 3/6/ potot redeltü hozzá. Tethetjü ezt úgy s, hogy a számegyees több potjához pedg a 0 értéet redelhetjü. A példá az s látsz, hogy a hozzáredelt értée öszszege. A (4...) hozzáredelés szabályból látsz, hogy általába s gaz az, hogy a valószíűség értée összege, hsze P( ξ x ) P( ω ) P( ω j ) P ω j P( Ω ), j j ahol + az összes elem eseméye száma. A valószíűség változó bevezetésével léyegébe az alább ostrucót hoztu létre: ξ x, x,..., x,...; ahol : x. P( ξ ) : p( x ), p( x ),..., p( x ),... ; ahol 0 p( x ). Az x értée függvéyébe ábrázolhatju a hozzáju tartozó p(x ) értéeet. Dszrét esetbe ez az ábrázolás hasoló ahhoz, mt amt a dszrét relatív gyaorságo ábrázolása eseté tettü. Eredméyül pálcaábrát apu, és ez az ábra türöz a valószíűség értée eloszlását a ξ valószíűség változó lehetséges x értée özött. Példa gyaát tetsü a Beroull-problémájaét megsmert (3.3..) fejezést. 4.4. Példa. Ha a (3.3..) fejezést em teljese szabályos pézérme esetére alalmazzu, ahol az írás valószíűsége p0,4, aor megérdezhető, hogy meora a valószíűsége aa, hogy 4 dobás sorá az írás 0,,..., 4 esetbe le a dobás eredméye. Ebbe a példába a a valószíűség változó, amelye lehetséges értée 0,,, 3, 4. A (3.3.) fejezés alapjá a hozzáju tartozó valószíűség értée: p(0)0,3; p()0,346; p()0,346, p(3)0,54; p(4)0,06. A 4.. ábra mutatja a megfelelő pálcaábrát. Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

78 II. A VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ALAPJAI 4.. ábra: A Beroull-eloszlás függvéye 4 és p0,4 értéere Tethetjü úgy ezt a függvéyt, hogy a (, + ) tartomáyo mdehol ulla értéű, véve az ábrá megjeleített potoba, ahol a függvéyértée az adott valószíűség változóhoz redelt valószíűség értée. Gyors elleőrző feladato 4.. Szabályos oca dobása sorá legyee a valószíűség változó értée a oca oldalara írt számo. Rajzolju fel a feladathoz a valószíűség eloszlást ábrázoló pálcaábrát! 4.. Dobju egyszerre ét szabályos érmével! Az eseméytér eor az alább: Ω { ff, f, f, }. Az elem eseméyehez redelt ξ valószíűség változó legye az elem eseméy sorá a feje száma, azaz ξ ( ff ) ; ξ ( f) ; ξ ( f ) ; ξ ( ) 0. Adju meg a valószíűség változó lehetséges értéehez a valószíűség értéeet! Rajzolju fel a pálcaábrát! 4.3. A folytoos valószíűség változó esete Folytoos valószíűség változó eseté em eyre egyszerű a helyzet, ha grafusa aarju jellemez a valószíűség eloszlását. A orábbaba láttu már (a geometra valószíűség apcsá), hogy folytoos valószíűség változó eseté egy pot valószíűsége www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

4.Valószíűség változó, várható érté, szórás 79 0. Ha tehát a poto valószíűséget ábrázolá, mt dszrét esetbe, aor mdeütt 0 függvéyt apá, amvel em sora meé. Ehelyett ylvávalóa más utat ell választau. Választhatju például azt az ábrázolást, amt a umulatív relatív gyaorság esetébe tettü. Ábrázolju aa a valószíűségét, hogy a valószíűség változó valameora x értéél sebb! Legye az ezt megadó függvéy eve valószíűség eloszlás függvéy, és jelöljü ezt a függvéyt F(x)-el. Fogalmazzu meg mdezt matemata formába! Defícó. Az ( x) F ( x ) P ξ <, < x < (4.3..) függvéyt a ξ valószíűség változó eloszlásfüggvéyée evezzü. A defícóból övetez, hogy 0 F( x ) az egész értelmezés tartomáyo, hsze F(x) valószíűség. Folytoos esetbe az F(x) függvéy s folytoos. 4.5. Példa. R0 cm sugarú céltábla eseté adju meg az F(r) eloszlásfüggvéyt, amely megadja aa valószíűségét, hogy ha a céltáblát bztosa eltalálju, m aa a valószíűsége, hogy a találat a r sugarú, a özéppottal ocetrus örö belül va? A 3.. példába már számítottu ezt a valószíűséget, amely szert r P ( r < R ). R Az eloszlásfüggvéy defícója alapjá tehát a teljes függvéy: 0, r F( r ) 0,, ha r < 0 ha 0 < r < 0 ha r > 0. (4.3..) A (4.3.) függvéy grafus alaja az 4.. ábrá látható. 4.. ábra: A (4.3.) eloszlásfüggvéy alaja Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

80 II. A VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ALAPJAI 4.4. Az eloszlásfüggvéy tulajdosága Az eloszlásfüggvéy három tulajdoságát tétele formájába fogalmazzu meg.. tétel. Az eloszlásfüggvéy mooto övevő (em csöeő) függvéy, azaz ( x ) F( x ), ha x < x. (4.4..) F Bzoyítás. A tétel állítása a valószíűségelmélet 4. alaptételée övetezméye. Korábba bzoyítottu, hogy ha B A, aor P( B ) P( A ). Ha most a B eseméyét a ξ < x relácót, az A eseméyét a ξ < x relácót tetjü, aor P( B ) F( ξ < x ) és ( A ) F( ξ < x ) matt a tétel állítása már övetez. P A 4.. ábrára pllatva láthatju, hogy a (0,0) tartomáyo a függvéy szgorúa mooto emeled, míg az x<0 és az x>0 tartomáyoo az egyelőség teljesül.. tétel. Az eloszlásfüggvéyre gaza az alább határértée: lm F( x ) 0, és lm F( x ). (4.4..) x Bzoyítás. Ez a tétel s a valószíűségelmélet alaptételee övetezméye, hsze a hsze a hsze a ξ < ξ < lm F( x ) x x x lm P( ξ < x ) P( ξ < ) P( Ø) 0, eseméy a lehetetle eseméy. Hasoló módo lm F( x ) lm P( ξ < x ) P( ξ < ) P( Ω ), x x eseméy a bztos eseméy. 3. tétel. Legye a és b ét valós szám. Aa a valószíűsége, hogy a ξ valószíűség változó az (a,b) tervallumba es, számítható az F(x) eloszlásfüggvéy segítségével az alább módo: P( a ξ < b ) F( b ) F( a ). (4.4.3.) Bzoyítás. A ( ξ < b) eseméy felbotható ét özös rész élül eseméy összegére: ( ξ < a ) + ( a ξ < b ) ( ξ < b ). www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

4.Valószíűség változó, várható érté, szórás 8 A 3. axóma szert: ahoa átredezéssel azt apju, hogy P( a és ezzel az állítást bebzoyítottu. Gyors elleőrző feladato P ( ξ < a ) + P( a ξ < b ) P( ξ < b ), ξ < b ) P( ξ < b ) P( ξ < a ) F( b ) F( a ), 4.. A 4.5. példa adatat felhaszálva számolju aa valószíűségét, hogy ha véletleszerűe lövü az R0 cm sugarú céltáblára, m a valószíűsége aa, hogy az r5 cm és az r cm sugarú öröel határolt területre es a lövés? 4.. A számegyeese az (a,b) tervallumba véletleszerűe jelölü egy potot. Tegyü fel, hogy aa valószíűsége, hogy az (a,b) szaasz valamely résztervallumára es a jelölt pot, aráyos az adott résztervallum hosszával. Írju fel a probléma valószíűség eloszlásfüggvéyét! Legye a, b3! Rajzolju fel az eloszlásfüggvéy alaját! 4.5. Az eloszlásfüggvéy dszrét valószíűség változó eseté Bár az eloszlásfüggvéyt a folytoos valószíűség változó apcsá defáltu, azoba a defícó alapjá dszrét esetbe s fel tudju rajzol. Legyee a ξ valószíűség változó lehetséges értée agyság szert sorredbe x, x,..., x, a hozzáju redelt valószíűség értée pedg p, p,..., p. Az F(x) függvéy (4.3.) defícója alapjá határozzu meg a függvéy alaját! Mvel x<x esetbe a valószíűség változóa cs értée, ezért P(ξ < x )0, tehát F( x ) 0, ha x. (4.5..) x Fgyelem! A (4.5.) fejezés az xx potba s érvéyes (ezért szerepel a jel), hsze az eloszlásfüggvéy defícója szert F(x )P(ξ < x ). Ahogy átlépü az x poto, mde x < x x potba P(ξ < x)p, tehát F ( x ) p, ha x x x <. Az x határra tt s érvéyes az x pottal apcsolatos megjegyzés. Amor átlépjü az x potot, mde x < x x3 potba P(ξ < x)p +p, tehát F ( x ) p + p, ha x < x x3. Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

8 II. A VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ALAPJAI Most már látsz a ostrucó. A függvéy mde x potba balról folytoos, és ezebe a potoba ugrása va a függvéye. Az ugrás agysága mde x potba aora, ameora az adott pothoz redelt valószíűség értée. A függvéy alaját a 4.3. ábrá láthatju. 4.3. ábra: Dszrét eloszlás eloszlásfüggvéye Az x>x potoba a valószíűség értée P(ξ < x)p +p +...+p, tehát az eloszlásfüggvéy értée: F(x). Látju tehát, hogy dszrét esetbe az eloszlásfüggvéy em folytoos, haem ξ mde lehetséges x értééél szaadása (ugrása) va. Az ugrás értée az x potba éppe megegyez a p valószíűséggel. Azt s láttu, hogy az eloszlásfüggvéy defícójáa az a övetezméye, hogy a függvéy mde x potba balról folytoos. Az ábrá a tel örö ezt jelz. Megjegyzés Lehete az F(x) függvéy defícója a övetező s: F( x ) P( ξ x ). Ha így defálá az eloszlásfüggvéyt, aor dszrét esetbe, az ugráshelyee F(x) jobbról lee folytoos. Gyors elleőrző feladato 4.3. Rajzolju fel az eloszlásfüggvéyt szabályos ocával törtéő dobás esetére! 4.4. Rajzolju fel az eloszlásfüggvéyt a 4.4 példába meghatározott Beroull-eloszlás esetére! www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

4.Valószíűség változó, várható érté, szórás 83 4.6. A sűrűségfüggvéy Defícó. Legye a folytoos ξ valószíűség változó eloszlásfüggvéye F(x). Az eloszlásfüggvéy derváltját a ξ valószíűség változó sűrűségfüggvéyée evezzü, és f(x)-szel jelöljü, azaz f ( x ) F ( x ). (4.6..) A sűrűségfüggvéy tulajdoságat tétele formájába fogalmazzu meg.. tétel. Az f(x) függvéyre gaz, hogy sehol em egatív, azaz f ( x ) 0 ; < x <. (4.6..) Bzoyítás. Az F(x) függvéyről tudju, hogy em csöeő függvéy. A em csöeő függvéye derváltja em lehet egatív, tehát ha F ( x ) F( x ), x < x, aor F ( x ) 0.. tétel. Az f(x) sűrűségfüggvéy segítségével tegrálással számítható az F(x) eloszlásfüggvéy, azaz x F( x ) f ( x )dx. (4.6.3.) Bzoyítás. Az tegrálás Newto Lebtz-szabályából övetez, hogy x f ( x )dx Mvel F( ) lm F( x ) 0, ezért x x f ( F( x ) F( ). x )dx F( x ). 3. tétel. A sűrűségfüggvéy egész számegyeesre vett tegrálja, azaz f ( x )dx. (4.6.4.) Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

84 II. A VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ALAPJAI Ezt úgy s szoás moda, hogy a sűrűségfüggvéy -re ormált. Bzoyítás. f ( x )dx F( ) F( ) 0. 4. tétel. A folytoos ξ valószíűség változó (a,b) tervallumba esésée valószíűsége egyelő a sűrűségfüggvéyée a-tól b-g terjedő görbe alatt területével, azaz: b P( a < ξ < b ) f ( x )dx. (4.6.5.) a 4.4. ábra: A sűrűségfüggvéy (a,b) tartomáyáa görbe alatt területe Bzoyítás. A Newto Lebtz-szabályból övetez, hogy b f ( x )dx F( b ) F( a ). a A jobb oldalo szereplő ülöbségről pedg az eloszlásfüggvéy tulajdosága apcsá beláttu lásd a (4.6.5) fejezést, hogy F ( b ) F( a ) P( a ξ < b ). Folytoos esetbe egy pot valószíűsége 0, vagys P(a)0, tehát F ( b ) F( a ) P( a ξ < b ) P( a ) + P( a < ξ < b ) P( a < ξ < b ). www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

4.Valószíűség változó, várható érté, szórás 85 Folytoos esetbe ezzel beláttu a (4.6.5) állítás gaz voltát. Megjegyzés A sűrűségfüggvéy defícója és a sűrűségfüggvéy. tulajdosága együtt azt s jelet, hogy az eloszlás jellemzéséhez, elegedő vagy F(x)-et, vagy pedg f(x)-et smerü, hsze egy a más smeretébe számítható. 4.6. Példa. Határozzu meg a 4.4 példába megsmert céltáblás feladatba a valószíűség változó sűrűségfüggvéyét! A 4.4. példába meghatározott eloszlásfüggvéy: 0 ha r 0 r F ( r) ha 0 < r < 0. 0 ha r > 0 Ee a függvéye a derváltja a tartomáyoo ülö-ülö létez, éspedg: ha 0 0 r r f ( x) ha 0 < r < 0. 00 0 ha r > 0 A függvéy grafus alaja a 4.5. ábrá látsz. 4.5. ábra: A céltáblás példafeladat valószíűség sűrűségfüggvéye Az 4.5. ábráról s látsz, hogy a sűrűségfüggvéy ormáltságáról modotta szert a függvéy alatt terület egységy. Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

86 II. A VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ALAPJAI Gyors elleőrző feladato 4.5. Állapítsu meg, hogy az alább függvéy λ mlye értée mellett lehet sűrűségfüggvéy: f ( x ) 0 e x < 0 λ x! x 0 4.6. Határozzu meg a 4.5. elleőrző feladat sűrűségfüggvéyéből a valószíűség eloszlásfüggvéyt! 4.7. A dszrét valószíűség változó függvéye A gyaorlatba előfordula olya feladato, amelyebe a ξ valószíűség változó függvéyével ell dolgozu. Felvetőd a érdés, hogy a valószíűség változó függvéye tethető-e valószíűség változóa, és ha ge, aor mlye valószíűség értée redelhető hozzá, vagys mlye az eloszlása? Először a dszrét esettel foglalozu. Tetsü az yφ(x) valós függvéyt! Ez a függvéy a ξ valószíűség változóhoz az ηφ(ξ) értéet redel hozzá. Ez azt jelet, hogy az ω elem eseméyhez, most az y φ(ξ(ω )) értéet redeljü hozzá. Mvel a valószíűség változó defálása sorá azt modtu, hogy a hozzáredelés öéyes, ezért η-t s tethetjü valószíűség változóa, amelye lehetséges értée: y, y,..., y... A érdés eze utá az, hogy ha smerjü a ξ valószíűség változó P(ξx ) eloszlását, aor abból hogya apju meg az η valószíűség változó P(ηy ) eloszlását? Egyszerű a helyzet, ha a φ(x) függvéy szgorúa mooto ő, vagy csöe, hsze aor mde x értéhez egyetle y érté tartoz, amelye valószíűsége megegyez a megfelelő x érté valószíűségével, hsze ugyaahhoz az elem eseméyhez tartoz. Nézzü egy példát! 4.7. Példa. Legye a ξ valószíűség változó P(ξx ) eloszlása a övetező: x ; x ; x3 P( x ) ; P( x ) 6 0; ; x 4 ; P( x ) 3 x5 ; 4 P( x 4 ) ; 3 P( x 5 ). 6 Legye a traszformáló függvéy: yx+! Ie az η valószíűség változó lehetséges értée és a valószíűség eloszlása: y 3; y P( y ) ; 6 ; P( y y 3 ) ; ; y 4 P( y 3 ) 3; y5 ; 4 5; P( y 4 ) ; 3 P( y 5 ). 6 www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

4.Valószíűség változó, várható érté, szórás 87 A helyzet ssé boyolód aor, ha a φ(x ) függvéy ülöböző x értéehez azoos y értéet redel. Ilyeor az azoos y értéhez több x érté s tartoz, tehát eze valószíűséget össze ell ad ahhoz, hogy megapju az y -hoz redelt valószíűség értéet. Ilyeor tehát a valószíűség eloszlás: Erre az esetre s ézzü egy példát! P( η y. (4.7..) ) P( ξ x ) ϕ( x ) y 4.8. Példa. Legye a ξ valószíűség változó P(ξx ) eloszlása azoos a 4.7. példába defálttal. A traszformáló függvéy most legye: yx. Ie az η változó lehetséges értée: y ( ) 4; y( ) ; y(0 ) 0; y() ; y( ) 4. Látju tehát, hogy az η valószíűség változóa valójába három lehetséges értée va: y 0; y ; y 3 4. A traszformált változó eloszlása: 5 P ( η 0 ) ; P( η ) + ; P( η 4 ) +. 4 3 6 6 3 Haladóa 4.8. A folytoos valószíűség változó függvéye A ξ folytoos valószíűség változó ηφ(ξ) függvéye s valószíűség változóa tethető. A érdés most s az, hogy ameybe smerjü a ξ változó F(x) eloszlásfüggvéyét, abból hogya határozzu meg az η változó G(y) valószíűség eloszlásfüggvéyét? Tétel. Csa azzal az esettel foglalozu, amor az yφ(x) függvéy szgorúa mooto ő, vagy csöe. Ha a ξ valószíűség változó eloszlásfüggvéye F(x), aor az ηφ (ξ) valószíűség változó eloszlásfüggvéye: F ( ϕ ( y )) F( ϕ ( y )) G( y ) ha ϕ( x ) szgorúa mooto ő, ha ϕ( x ) szgorúa mooto csöe, (4.8..) ahol xφ - (y) az yφ (x) függvéy verze. Bzoyítás. Ha φ(x) szgorúa mooto ő, aor G(y) defícó szert a övetező: Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

88 II. A VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ALAPJAI ( < y) P( ϕ( ξ ) < y) P( ξ < ϕ ( y )) F( ( y )) G( y ) P η ϕ. Ameybe φ(x) szgorúa mooto csöe, aor G( y ) P ( η > y) P( ϕ( ξ ) > y) P( ξ > ϕ ( y )) F( ϕ ( y )) G( y ) F( ϕ ( y ))., tehát A most belátott éplete alapjá számíthatju az η valószíűség változó sűrűségfüggvéyét s. Tétel. Az ηφ(ξ) valószíűség változó g(y) sűrűségfüggvéye, ha a ξ valószíűség változó sűrűségfüggvéye f(x): g( y ) ( ( y )) dϕ ( y ) f ϕ. (4.8..) dy Bzoyítás. A sűrűségfüggvéy defícója, valamt az összetett függvéy derválás szabálya alapjá, ha φ(x) függvéy tehát φ - (y) s szgorúa mooto ő: g( y ) dg( y ) dy ( ϕ ( y )) dϕ ( y ) f ( ϕ ( y )) df dϕ ( y ) dy dϕ ( y ). dy Ha φ(x) függvéy tehát φ - (y) s szgorúa mooto csöe, aor Mthogy lyeor ( ( y )) dϕ ( y ) g( y ) f ϕ. dy dϕ ( y ) < 0, dy tehát, az abszolút értéel felírt összefüggés mdét esetbe helyes. 4.9. Példa. Legye a traszformáló függvéy yax+b alaú. Határozzu meg az η valószíűség változó g(y) sűrűségfüggvéyét, ha a ξ valószíűség változó sűrűségfüggvéye: 0 e f ( x ) x x < 0, x 0. Megoldás. A φ(x) függvéy verze, és aa derváltja: www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

4.Valószíűség változó, várható érté, szórás 89 y b x, a dx. dy a Ie a (4.8.) tétel alapjá: g( yb a y b y ) f e. a a a 4.9. Várható érté dszrét esetbe A ísérlet adato eloszlásáa jellemzése sorá már láttu, hogy számta özépe mlye szerepe va az eloszlás jellemzésébe. Ha az x, x,..., x méréssorozatot egyetle számmal aarju jellemez, aor legtöbbször a mérése számta átlagát adju meg. Korábba már láttu, hogy a számta özépet a övetező éplettel számolhatju: x N x, (4.9..) ahol a mérés eredméye száma, N a lehetséges végeredméye száma, x az összes lehetséges mérés eredméy, pedg a lehetséges meetele gyaorsága az adott méréssorozatba. A (4.9.) fejezésbe a / háyados a relatív gyaorság. A relatív gyaorságról tudju, hogy elegedőe agy mérésszám eseté, a agy számo törvéye alapjá stabltást mutat. Azt s modtu, hogy elegedőe agy mérésszám eseté a relatív gyaorságot tetjü a valószíűség ísérlet értéée. A valószíűség, mt elmélet ostrucó pedg em más, mt az a relatív gyaorság érté, amelyet végtele agy (a gyaorlatba természetese em megvalósítható) mérésszám eseté éré el a mérése sorá. (Erre a ésőbbebe még vsszatérü). Tehát lm x p. A várható érté a számta özéppel roo fogalom. A fet godolatmeet utá ez a rooság látsz a várható érté alább defícójából. Defícó. Legyee a ξ valószíűség változó lehetséges értée x, x,..., x. A lehetséges értéehez redelt valószíűség értée legyee redre p, p,..., p. Eor a ξ valószíűség változó M(ξ) várható értéét a övetező éplettel defálju: M (ξ ) x p. (4.9..) Ha véges so lehetséges értéü va, aor a (4.9.) összeg mdg létez. Ha megszámlálhatóa végtele so lehetséges x értéü va, aor M(ξ) csa aor létez, ha a Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

90 II. A VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ALAPJAI (4.9.) összeg overges, és a sorösszeg függetle a tago sorredjétől. Ee feltétele az, hogy a végtele sor abszolút overges legye, vagys, hogy teljesüljö a x p < feltétel. 4.0. Példa. Határozzu meg a ocadobásos ísérletbe a valószíűség változó várható értéét! A ξ valószíűség változó lehetséges értéet és a hozzáju tartozó valószíűség értéeet a 4.. táblázat tartalmazza. 3 4 5 6 x 3 4 5 6 p /6 /6 /6 /6 /6 /6 4.. táblázat: A ocadobás lehetséges értée és a hozzáju tartozó valószíűsége A várható érté (4.9.) alapjá: M( ξ ) p x + + 3 + 4 + 5 + 6 3,5. 6 6 6 6 6 6 A példa egyúttal azt s mutatja, hogy a dszrét esetbe maga a várható érté em feltétleül szerepel a lehetséges értée özött. Megjegyzés A (4.9.) defícós fejezés formalag azoos egyees meté elhelyezedő tömegpoto súlypotját defáló éplettel, ha x a tömegpoto orgótól mért távolságát, a p pedg az. tömegpot tömegée és az összes tömegpot együttes tömegée a háyadosát jelz. Az aalógából övetez, hogy a potra szmmetrus valószíűség-eloszlás várható értée a szmmetrategelye va, mt az egyszerű 4.0. példába s. Látju tehát, hogy a várható érté a valószíűség-eloszlás cetruma. Gyors elleőrző feladato 4.7. Adju meg a aratersztus valószíűség változó várható értéét! 4.0. A várható érté folytoos esetbe Defícó. Ha a ξ valószíűség változó folytoos sűrűségfüggvéye f(x), aor várható értée a övetező fejezéssel defálju: www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

4.Valószíűség változó, várható érté, szórás 9 + M( ξ ) xf ( x ) dx. (4.0..) A folytoos esetbe s az egyértelműség érdeébe meg ell övetel az abszolút tegrálhatóságot, vagys, hogy + x f ( x )dx <. Köye belátható, hogy a folytoos esetre érvéyes defícó em más, mt a dszrét eset defícójáa általáosítása. A valószíűség sűrűségfüggvéy apcsá már láttu, hogy aa a valószíűsége, hogy a ξ valószíűség változó az (a,b) tervallumba es, megegyez az f(x) függvéy a-b határoal vett görbe alatt területével. Ha tehát a számegyeest felosztju s Δx szaaszora, aor aa valószíűsége, hogy a ξ változó az. tervallumo belül va, a övetező: P( ξ x ) f ( x ) x, ahol x a Δx tervallum egy tetszőleges belső potja. Ha (4.9.) defícó alapjá az x változóra számítju a várható értéet, aor az alább fejezésre jutu: M( ξ ) x P( ξ x ) x f ( x ) x. Most ugyaúgy járhatu el, ahogya azt az tegrál bevezetéséél tettü, tehát mde határo túl fomítju a számegyees felosztását, azaz M( ξ ) lm x 0 x f ( x ) x xf ( x )dx. Ameybe a határérté létez, aor az f(x) tegrálható, tehát megadtu folytoos esetre a (4.9.) fejezés általáosítását. Fotos megjegyzés Az M(ξ) várható értéet a ξ valószíűség változó első elmélet mometumáa s szoás evez. Láttu, hogy a várható érté szoros rooságba va a számta özéppel. Ha a ξ valószíűség változóval jellemzett soaságo méréseet végzü, és a mérése eredméyee számta özepét épezzü, aor, mt már említettü, az emprus várható értéet apju meg. Az emprus várható értéet a statsztába szoás az első emprus mometuma evez. A ésőbbebe lát fogju majd, hogy a valószíűség-elmélet és a statszta az elmélet és az emprus mometumo apcsolatát potosabba s megadja. Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

9 II. A VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ALAPJAI 4.. Példa. A 4.6. feladatba számítottu a céltáblás ísérlet valószíűség változójáa sűrűségfüggvéyét. Határozzu meg a valószíűség változó várható értéét! A (6.3) defícó szert a várható érté folytoos esetbe: + 0 M( ξ ) xf ( x )dx r 0 r 00 dr 00 r 3 3 0 0 6,66... 4.. A várható érté tulajdosága Mvel a várható értéet a számta özép fogalmából származtattu, ezért tulajdosága s hasolóa a számta özép már megsmert tulajdoságaval. A tételeet a dszrét esetre látju be, de ahol szüséges, a tételt felírju folytoos esetre s. Mvel az tegrált összegzés határértéeét vezettü be, ezért em csoda az, hogy hasoló tulajdosága vaa, mt az összegzése.. tétel. Kostas várható értée maga a ostas, azaz M ( c ) c. (4...) Bzoyítás. Ha a ξ valószíűség változóa egyetle lehetséges értée va, azaz ξc, aor ee az értée a valószíűsége: P(ξc). Tehát a várható érté (4.9.) alapjá: M ( c ) c c.. tétel. A ξ valószíűség változó álladószorosáa várható értée az M(ξ) várható érté álladószorosa, azaz A tétel folytoos esetre s gaz. M( cξ ) cm( ξ ). (4...) Bzoyítás. A ξ valószíűség változó álladószorosa azt jelet, hogy lehetséges értée szorzóda az álladóval, azaz cξ lehetséges értée: cx, cx,..., cx. Tehát a várható érté: p c x p cm( ξ ) M( cξ ) cx. Korábba már láttu, hogy a ξ valószíűség változó ηφ(ξ) függvéye s valószíűség változó. Az alább tétel az η változó várható értééről szól. www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

4.Valószíűség változó, várható érté, szórás 93 3. tétel. A ξ valószíűség változó lehetséges értée legyee x, x,..., x, és vegye fel a változó redre p, p,..., p valószíűséggel ezeet az értéeet. A ξ valószíűség változóa létez az M(ξ) várható értée. Továbbá legye yφ(x) tetszőleges valós függvéy. A tétel állítása az, hogy az ηφ(ξ) traszformált változó várható értée: ( ϕ( ξ )) M( η ) M ϕ( x ). (4..3.) Ha a ξ valószíűség változó folytoos, aor a ηφ(ξ) új valószíűség változó várható értée: ( ϕ( ξ )) p M( η ) M ϕ( x ) f ( x ) dx. (4..4.) Bzoyítás. A tételt öyű belát, ha a φ(x) függvéy szgorúa mooto függvéy. Ebbe az esetbe ugyas a φ(x) traszformácó mde x lehetséges értéhez egyetle y φ(x ) értéet redel hozzá. Mvel ez az új változó ugyaahhoz az ω elem eseméyhez tartoz, ezért az ehhez tartozó valószíűség érté s p. Tehát η várható értée: M( η ) y P( η y ) ϕ( x ) p. Ha a traszformáló függvéy em szgorúa mooto függvéy, aor az η valószíűség változó y φ(x ) lehetséges értée özött vaa azoosa. Ilyeor y valószíűségét úgy apju meg, hogy összegezzü az összes lye x -hez tartozó p értéet, azaz p P( η y ) p. (4..5.) ϕ ( x ) y Tehát η várható értée M ( ) yp( η ϕ( x )) η y p. (4..6.) A (4..6) fejezésbe már csa a ülöböző y értée szerepele. Ezzel smét a (4..3) összefüggésre jutu. 4.. Példa. A 4.7. példához hasolóa legye a ξ valószíűség változó P(ξx ) eloszlása a övetező: x ; p ; 6 x p ; x ; 3 p 0; x ; 4 3 4 p 4 ; x5 ; 3 p 5. 6 Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

94 II. A VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ALAPJAI A traszformáló függvéy legye a övetező: yx. Határozzu meg az ηξ új valószíűség változó várható értéét! A (6.7) defícó szert a várható érté: M( η ) ϕ( x )p 4 4 6 + + 6 6 + + 0 4 + + + 0, 75. 3 4 3 + 4 4. tétel. Ha az új valószíűség változót előállító traszformáló függvéy több függvéy összege, azaz φ(x)φ (x)+φ (x), aor az ηφ(ξ)φ (ξ)+φ (ξ)η +η új változó várható értée: 6 ( η ) M( ) M( η ) ϕ( x )p + ϕ( x )p M + η. (4..7.) Bzoyítás. A tétel állítása a összegzés leárs tulajdoságaból övetez. Hsze ( ϕ ( x ) + ϕ ( x )) p ϕ ( x )p + ϕ ( x )p M ( η ) M( η ) M( η ) ϕ( x )p + Az tegrálás az összegzéshez hasolóa leárs operácó, tehát a bzoyítás teljese hasoló módo törtéhet folytoos esetre s... megjegyzés Az.,. és 4. tétel együttes alalmazásából övetez, hogy ha smerjü a ξ valószíűség változó M(ξ) várható értéét, aor az η ax+b új változó várható értée: M ( η ) M( aξ + b ) am( ξ ) + b. A megjegyzés tulajdoéppe a ξ valószíűség változó leárs traszformáltjáa várható értééről szól.. megjegyzés Teljes ducóval belátható, hogy a 4. tétel emcsa ettő, haem több tag eseté s gaz. 4.3. Példa. Legye a traszformáló függvéy φ(x)aξ +bξ+c alaú! Határozzu meg az ηφ(ξ) új változó várható értéét! Alalmazva a (4..7) fejezést és a várható érté orábba megsmert tulajdoságat a megoldás a övetező: ( aξ + bξ + c) M( aξ ) + M( bξ ) + M( c ) am( ξ ) + bm( ) + c M( η ) M ξ. www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

4.Valószíűség változó, várható érté, szórás 95 4.. Szórás Az.5. Mérés adato egyszerű jellemzése című fejezetbe bevezettü az emprus szóráségyzet és szórás fogalmát. A szórással a ísérlet adatoa az emprus várható értétől való átlagos eltérését tudtu jellemez. Ezzel megegyező módo a valószíűségelméletbe a szórás a valószíűség változó lehetséges értéee a várható értétől való eltérését jellemz. Defícó. A ξ valószíűség változó szóráségyzetét az alább fejezés defálja: D ( ξ ) M ( ξ M( ξ )) ). (4...) A szóráségyzet poztív égyzetgyöe pedg a szórást adja, azaz ( ξ M( ξ )) ) D( ξ ) + M. (4...) A defícóból látsz, hogy a szóráségyzet a ξ valószíűség változó várható értéétől való eltérése égyzetée a várható értée. A szóráségyzetet tehát a várható érté segítségével defáltu. A várható érté számos tulajdoságával az előző fejezetbe megsmeredtü, tehát em lesz ehéz megsmer a szóráségyzet és a szórás tulajdoságat. 4.3. Szóráségyzet és szórás dszrét esetbe A szóráségyzet mt (4..) defícójából tű, léyegébe a ξ valószíűség változó függvéye, így maga s valószíűség változó. Ezért tehát a (4.9.) épletből övetez, hogy dszrét esetbe a szóráségyzet orét alaja: ( x M( ξ )) A szórás a (4.3.) fejezés poztív égyzetgyöe, azaz D ( ξ ) p. (4.3..) + ( x M( ξ )) D ( ξ ) p. (4.3..) 4.4. Szóráségyzet és szórás folytoos esetbe A dszrét esethez hasoló módo folytoos esetbe s alalmazható a valószíűség változó függvéyée várható értéét folytoos esetre meghatározó (4.0.5.) éplet. Ha a ξ valószíűség változó sűrűségfüggvéye f(x), aor a szóráségyzet: Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

96 II. A VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ALAPJAI ( x M( ξ ) ) D ( ξ ) f ( x ) dx. (4.4..) A szórás a (4.4..) fejezés poztív égyzetgyöe, azaz + ( x M( ξ ) ) D ( ξ ) f ( x ) dx. (4.4..) 4.4. Példa. Határozzu meg ocadobás eseté a valószíűség változó szórását! A 4.0. példába már számoltu a várható értéet: M(ξ)3,5. Alalmazva a (4.3..) épletet: D ( ξ ) + ( 3,5 ) + ( 3,5 ) + ( 3 3,5 ) + ( 4 3,5 ) 6 6 6 6 ( 5 3,5 ) + ( 6 3,5 ),96.... A szórás pedg: D(ξ),707... 6 6 + 4.5. A szórás tulajdosága Az alábbaba ét tétellel smeredü meg. Mdettő a szóráségyzet olya tulajdoságara mutat rá, amelyeet a gyaorlat számításo sorá gyara alalmazu. Tétel. D ( ξ ) M( ξ ) ( M( ξ )) M( ξ ) M ( ξ ), (4.5..) vagys a ξ valószíűség változó szóráségyzete számolható a ξ várható értée és a ξ várható értée égyzetée ülöbségeét. Bzoyítás. A bzoyítás sorá a (4.3.) defícós épletből dulu. A zárójele belül elvégezzü a égyzetre emelést, és haszálju a (4..7) tulajdoságot, mszert a várható érté tagoét számolható: ( ξ M( ξ )) ) M ξ ξm( ξ ) + ( M( ξ )) D ( ξ ) M M( ξ ) M( ξ )M( ξ ) + M és ezzel beláttu a (4.5..) fejezés gaz voltát. ( ) ( ξ ) M( ξ ) M ( ξ ), www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

4.Valószíűség változó, várható érté, szórás 97 Az M( ξ ) -et szoás a ξ valószíűség változó elmélet másod mometumáa evez. A gyaorlat számoláso sorá soszor ell a valószíűség változó leárs függvéyée szóráségyzetét számol. Erről szól a övetező éplet. Tétel. Ha a ξ valószíűség változó leárs függvéye ηaξ+b alaú, aor η szóráségyzete a övetező módo számolható: D ( η ) a D ( ξ ). (4.5..) Bzoyítás. A bzoyítás sorá a (4..) összefüggést és a várható érté számolásáa szabályat alalmazzu. D ( η M ) D ( aξ + b ) M [( aξ + b M ( aξ + b) ) ] M [( aξ + b am( ξ ) + b) ] [( aξ am( ξ )) ] M [ a ( ξ M( ξ )) ] a M [( ξ M( ξ )) ] a D ( ξ ). Gyors elleőrző feladato 4.8. Adju meg a aratersztus változó szórását! Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

5. TÖBB VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓ EGYÜTTES ELOSZLÁSA A ísérlet adato leírása részbe már láttu, hogy gyara ugyaazo vzsgált jeleséggel apcsolatba em egyetle jellemzőt vzsgálu, haem ettőt vagy többet. Soszor a érdés éppe az, hogy eze jellemző özött va-e összefüggés. A valószíűségelméletbe ez a probléma a valószíűség változó együttes eloszlásáa érdéseét merül fel. 5.. Dszrét valószíűség változó együttes eloszlása Egy ísérlettel apcsolatba fogalmazzu meg ét valószíűség változót, és jelöljü ezeet ξ és η betűel. A ξ valószíűség változó lehetséges értée legyee x, x,..., x,..., az η lehetséges értée pedg y, y,..., y,... Legye r j aa valószíűsége, hogy az x és y j értée egyszerre valósula meg, azaz r r x, y ) P( ξ x, η y ). (5...) j ( j A ét valószíűség változó lehetséges értéee együttes megvalósulása az x y sío egy-egy potét ábrázolható. Ha az (x,y j ) poto felett a z tegely ráyába r j hosszúságú pálcát rajzolu, aor rajzolód előttü e ét dszrét valószíűség változó együttes eloszlása. Az A j (x,y j ) eseméye egymást záró eseméye, és mözbe és j véggfut az összes lehetséges értée, megvalósul az összes eseméy. A teljes valószíűség tétele értelmébe tehát rj, j r. (5...) j j A grafus ábrázolás helyett soszor táblázatba jeleítjü meg a ét változó lehetséges értéet és a hozzáju tartozó eloszlást. ξ/η y y... y m Σ sor x r r. r m p(x ) x r r. r m p(x ).................. x r r. r m p(x ) Σ oszlop q(y ) q(y ) q(y m ) 5.. táblázat: A ξ és η változó együttes eloszlása www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

5. Több valószíűség változó együttes eloszlása 99 5.. Peremeloszláso dszrét esetbe Az 5.. táblázatba épezzü a soro összeget: m p. (5...) r j j Ez a sorösszeg az 5.. táblázatba az. sor végé szerepel. Hasoló módo a j. oszlop aljá az adott oszlopba szereplő eleme összege: q. (5...) j r j Ezee az összegee öálló jeletésü s va. Az (5...) p sorösszeg például megadja aa valószíűségét, hogy a ξ valószíűség változó mlye valószíűséggel vesz fel az x értéet, függetleül attól, hogy az η változóa mlye értée valósul meg. Matemata formába ötve tehát: p m m rj P( x, η y j ) P( ξ x ) j j ξ. Ezzel aalóg módo a q j oszlopösszeg megadja, hogy az η változó mlye valószíűséggel vesz fel az y j értéet, függetleül a ξ változó értéetől, azaz q j rj P( x, η y j ) P( η y j ) ξ. A p és q j eloszlásoat peremeloszlása evezzü. Természetese gaz az, hogy ha az összes sorösszeget (peremeloszlás a soro végé) vagy oszlopösszeget (peremeloszlás az oszlopo végé) összeadju, aor az összeg, vagys lletve m m p rj P( ξ x, η y j ), j m j m q r P( ξ x, η y ). j j j j Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

00 II. A VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ALAPJAI 5.. Példa. Háromszor dobu egymás utá egy érmével, és ezt tetjü egy eseméye. Az elem eseméye 3 darab f és -ből álla. Az alább táblázat első sora tartalmazza az összes elem eseméyt. A ξ valószíűség változó lehetséges értée az elem eseméyebe szereplő feje száma, ezeet a táblázat másod sora mutatja. Az η valószíűség változó értée egy, ha az íráso száma ettő, mde más esetbe 0. Ω { f f f, f f, f f, f f, f, f, f, } ξ { 3,,,,,,, 0 } η { 0, 0, 0, 0,,,, 0 } 5.. táblázat: Az eseméytér és a valószíűség változó értée az 5.. példához Készítsü táblázatot a ξ és η valószíűség változó együttes eloszlásáról az 5.. táblázatból számolható valószíűség értée felhaszálásával! Az Ω eseméytére 8 elem eseméye va, a lasszus valószíűség alapjá ezee egyeét /8-ad a valószíűségü. A táblázatba azoba a valószíűség változó együttes megvalósulásáa valószíűséget ell megadu. Példaét a ξ0 és az η0 értée egyszerre csa egyszer szerepele lehetséges értéét, ezért ee valószíűsége /8. A ξ és az η háromszor redeltü hozzá elem eseméyehez, a táblázatba tehát 3/8 valószíűség szerepel stb. ξ/η 0 Σ sor 0 /8 0 /8 0 3/8 3/8 3/8 0 3/8 3 /8 0 /8 Σ oszlop 5/8 3/8 5.3. táblázat: A ét valószíűség változó együttes eloszlása és a peremeloszláso az 5.. példához A soro és oszlopo végé a táblázatba szerepele a peremeloszláso s. Az η valószíűség változó peremeloszlását az utolsó sor adja. Például, az első oszlop aljá szereplő 5/8 érté adja meg aa valószíűségét, hogy az η valószíűség változó 0 értéet vesz fel, azaz: P ( η 0 ) 5 / 8. Hasoló módo a ξ valószíűség változó peremeloszlását az utolsó oszlop értée adjá. Látsz a táblázatból az s, hogy ha a peremeloszlás soroba szereplő értéeet összeadju (az utolsó oszlop értéee összege), aor -et apu. Hasoló módo az utolsó sor összege s. Gyors elleőrző feladato 5.. A ξ és η valószíűség változó együttes eloszlását tartalmazza az alább táblázat. ξ/η - 0 - /8 / /4 3/8 /4 3/4 www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

5. Több valószíűség változó együttes eloszlása 0 Határozzu meg a ét változó eloszlását ülö-ülö! 5.. Az alább táblázat ét valószíűség változó együttes eloszlását adja meg. ξ/η - 0 - p 3p 5p p 4p 6p Adju meg p értéét! 5.3. Dszrét valószíűség változó függetlesége Ahogya a bevezetőbe említettü, a gyaorlatba soszor felmerül a ét változó függetlesége vagy függőségée a érdése. Az alábbaba ét valószíűség változó függetleségée feltételét defálju. Defícó. A ξ és η dszrét valószíűség változó lehetséges értée legyee x, x,..., x,... és y, y,..., y,... A ξ és η változóat függetlee modju, ha mde -re és j-re teljesül, hogy P( ξ x, η y ) P( ξ x )P( η y ), (5.3..) j vagy a fetebe már haszált egyszerűbb jelöléseel: j r p q. j j Köye belátható, hogy a fet defícó összhagba va az eseméye függetleségére voatozó defícóval. Ha a ξx eseméyt A-val jelöljü, az ηy eseméyt pedg B- vel, aor az (5.3.) összefüggés eseméyeel felírva: P(AB)P(A)P(B). Ez pedg éppe az eseméye valószíűségevel megfogalmazott függetleség feltétele. A valószíűség változó függetleségére most adott defícó tehát összhagba va a orábba az eseméye függetleségre adott defícóval. Gyors elleőrző feladato 5.3. Állapítsu meg, hogy az 5.. példába felírt valószíűség eloszláso függetlee-e? 5.4. Állapítsu meg, hogy az 5.. gyors elleőrző feladatba defált ét valószíűség változó függetle-e? Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

0 II. A VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ALAPJAI Haladóa 5.4. Feltételes eloszláso dszrét esetbe Az eseméye apcsá már defáltu az feltételes valószíűség fogalmát. A eseméy B eseméyre voatoztatott feltételes valószíűségét úgy defáltu, hogy P( AB ) P ( A B). P( B ) Ezzel a defícóval összhagba most a valószíűség változó eloszlása apcsá defálju a feltételes eloszlás fogalmát. Defícó. A ξ és η dszrét valószíűség változó lehetséges értée legyee x, x,..., x,... és y, y,..., y,... A ξ valószíűség változó ηy j feltételre voatozó feltételes valószíűség-eloszlásáa evezzü az alább fejezést: P( ξ x, η y ) P ( j j ξ x η y j ). (5.4..) P( η y j ) q j r A függetleség defícójával apcsolatba modotta most s érvéyese. Látsz, hogy összhagba vagyu az eseméye feltételes valószíűségével apcsolatba orábba adott defícóval. Egy orét példa apcsá belátju, hogy az (5.4..) defícó valóba valószíűségeloszlást defál, mözbe és j az összes lehetséges értéet felvesz. 5.. Példa. Az 5.3. táblázatba megadott valószíűség-eloszlás eseté számítju az (5.4..) defícó alapjá a P( ξ x η y j ) feltételes eloszlás táblázatát. A táblázat első eleme: r 8 P( ξ x η y ). q 5 5 8 A táblázat másod soráa másod eleme: 3 r P( ξ x y ) 8 η. q 3 8 www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

5. Több valószíűség változó együttes eloszlása 03 Hasoló módo számolható a több elem s. Tehát a ξ valószíűség változó η változó szert feltételes valószíűség-eloszlása: ξ/η 0 0 /5 0 0 3/5 0 3 /5 0 Σ oszlop 5.5. Folytoos valószíűség változó együttes eloszlása Ha a ξ és η valószíűség változó folytoosa, aor az együttes eloszlásu folytoos eloszlásfüggvéyel jellemezhető, ahhoz hasolóa, ahogya egy változó esetébe tettü. Defícó. Az F ( x,y ) P( ξ < x, η < y ) (5.5..) étváltozós függvéyt a ξ és η valószíűség változó együttes eloszlásfüggvéyée evezzü. Az egydmezós eloszlásfüggvéyéhez hasolóa bebzoyítható, hogy a F(x,y) étváltozós függvéyre s érvéyese az alább tulajdoságo:. A F(x,y) függvéy mdét változójáa mooto (em csöeő) függvéye, azaz ha x x és y y, aor. A F(x,y) függvéy határértée: F ( x, y ) F( x, y ). (5.5..) F (,y ) F( x, ) 0; F(, ). (5.5.3.) Emléeztetőül: az egyváltozós eloszlásfüggvéy harmad tulajdosága arról szól, hogy a valószíűség változó adott tervallumba esésée valószíűségét hogya lehet számíta az eloszlásfüggvéy felhaszálásával. A étdmezós esetbe s megtehető ez, azoba az összefüggés ssé összetettebb, ezért tt ezt ülö tételét adju meg. Tétel. Ha a ξ és η valószíűség változó együttes eloszlásfüggvéye F(x,y), aor a P(a ξ b, c η d) valószíűség az alább módo számolható: Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

04 II. A VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ALAPJAI P ( a ξ b; c η d ) F( b,d ) F( a,d ) F( b,c ) + F( a,c ). (5.5.4.) Bzoyítás. A bzoyítás megöyítésére haszálju az 5.. ábrát. 5.. ábra: Ábra a étváltozós eloszlásfüggvéyel apcsolatos tétel bzoyításához Legye A eseméy az, hogy a ξ és η változó a (b,d) csúccsal redelező síegyedbe vaa, vagys A ( ξ < b, η < d ). Az eloszlásfüggvéy defícója alapjá ee az eseméye a valószíűsége: P( ξ < b, η < d ) P( A ) F( b,d ). Hasoló módo az az eseméy, hogy a ξ és η változó a más három csúccsal redelező téregyedbe ese redre legye a övetező: A ( ξ < a, η < d ); A 3 ( ξ < a, η < c ) ; A 4 ( ξ < b, η < c ). Az eseméyhalmazora gaz, hogy ( A A ) A ( A ) A A. 3 3 4 A3 Az 5.. ábrá látsz, hogy az A A 3 és az A 4 A 3 sísáva megfelelő, valamt az A 3 síegyede megfelelő eseméye egymást záró eseméye, valószíűségere tehát alalmazható a 3. axóma. Ee megfelelőe: ( A A ) P( A P( A ) P( A) P( A A. ) P 3 3) 4 3 www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

5. Több valószíűség változó együttes eloszlása 05 Mvel A3 A és A3 A4 ezért a ülöbséghalmazo valószíűsége egyelő a valószíűségeel, azaz P( A ) P( A ) P ( A ) + P( A ) P( A ) P( A ) + P( A ) P( A ) P( A ) P( A ) + P( A ). 4 Ha a fet fejezésbe a valószíűségeet az eloszlásfüggvéyel fejezzü, aor éppe a (5.5.4.) tétel állítására jutu. 3 3 3 4 3 5.6. Együttes sűrűségfüggvéy Az egydmezós eloszláso esetébe a sűrűségfüggvéyt az eloszlásfüggvéy derváltjaét defáltu. Ezzel aalóg módo defálható a étdmezós eloszláso eseté a sűrűségfüggvéy. Defícó. Ha a ξ és η együttes eloszlásfüggvéye F(x,y), aor az f ( x,y ) F( x,y ), (5.6..) x y vegyes másod parcáls derváltat a ξ és η együttes sűrűségfüggvéyée evezzü. Természetese a defícó csa aor érvéyes, ha létez ez a parcáls dervált. Megmutatható, hogy ameybe létez az f(x,y) sűrűségfüggvéy, aor az F(x,y) eloszlásfüggvéy előállítható a sűrűségfüggvéy ettős tegráljaét, azaz x y F ( x,y ) f ( x,y )dxdy. (5.6..) A étdmezós sűrűségfüggvéyre s belátható, hogy a sí mde tartomáyá és a ormáltság s gaz, vagys Gyors elleőrző feladato f ( x.y ) 0, < x <, < y <, f ( x,y )dxdy. 5.5. Legye a ξ és η változó együttes eloszlásfüggvéye az alább: Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

06 II. A VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ALAPJAI F( x,y ) 0, x y ( e )( e ), ha x 0, egyébét. y 0, Adju meg aa valószíűségét, hogy 0 ξ és 0 η! 5.6. Adju meg az 5.5. feladatba defált eloszlásfüggvéy sűrűségfüggvéyét! 5.7. Lássu be, hogy az 5.6. feladatba számított sűrűségfüggvéy eleget tesz a sűrűségfüggvéye tulajdoságaa! 5.7. Függetleség folytoos valószíűség változó eseté Az eseméye függetleségét a P(AB)P(A)P(B) összefüggéssel defáltu. Ezzel teljes összhagba va a ét folytoos valószíűség változó függetleségée defícója. Defícó. Az ξ és η valószíűség változóat függetlee evezzü, ha az A(ξ<x) és a B(η<y) eseméye függetlee, azaz P ( ξ < x, η < y ) P( ξ < x )P( η < y ). Az egy és étváltozós eloszlásfüggvéye defícót felhaszálva ez a övetezőt jelet: F ( x,y ) F( x )G( y ), (5.7..) ahol F(x,y) ξ és η együttes eloszlásfüggvéye, F(x) a ξ változó, G(y) pedg az η változó eloszlásfüggvéye. A folytoos valószíűség változó függetleségée fet defícójából már övetez függetleség eseté a sűrűségfüggvéyere voatozó tétel. Tétel. A ξ és η valószíűség változó aor és csa aor függetlee, ha a sűrűségfüggvéyere feáll az alább összefüggés: f ( x,y ) f ( x )g( y ), (5.7..) ahol f(x,y) a ξ és η változó együttes sűrűségfüggvéye, f(x) és g(y) pedg ülö-ülö a változó sűrűségfüggvéye. Bzoyítás. A tételt csa arra az esetre bzoyítju, ha a függetleség feáll, aor gaz (5.7.). F ( x,y ) F( x )G( y ) gaz, tehát www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

5. Több valószíűség változó együttes eloszlása 07 f ( F( x,y ) F( x )G( y ) F( x ) G( y ) x,y ) f ( x )g( y ). x y x y x y Itegrálással hasolóa egyszerű belát, hogy a tétel állítása vsszafelé s gaz. Gyors elleőrző feladato 5.9. Állapítsu meg, hogy az 5.5. gyors elleőrző feladatba megadott eloszlásfüggvéy függetle valószíűség változóat defál-e! 5.0. Igaz-e az 5.5. feladat sűrűségfüggvéyére az (5.7..) állítás? 5.8. Valószíűség változó függvéyée várható értée A valószíűség változó függvéyée várható értééről már volt szó a 4.. alfejezetbe. A valószíűség változó függvéyée várható értéére voatozó tétel többdmezós valószíűség változóra s gaz. Dszrét változó esete Legye ξ és η ét dszrét valószíűség változó, x, x,..., x,... és y, y,..., y,... lehetséges értéeel. Legye továbbá adott a ét valószíűség változó P(ξx, ηy j )r j együttes eloszlása. Ameybe a ét változó függvéye ζφ(ξ,η), aor ee az új valószíűség változóa a várható értée: ( ( ξ, η) ϕ( x, y j ) M ϕ r. (5.8..) j j Folytoos változó esete Legye ξ és η ét folytoos valószíűség változó, amelye együttes sűrűségfüggvéye f(x,y). A ét változó függvéye legye most s ζφ(ξ,η). A (4..4) fejezést alalmazva a folytoos valószíűség változó függvéyée várható értée: Gyors elleőrző feladato ( ( ξ, η) M ϕ ϕ( x,y ) f ( x,y ) dxdy. (5.8..) 5.. Számolju az 5.3. táblázatba megadott együttes eloszlás alapjá a ζφ(ξη)ξ+η új változó várható értéét! 5.. Számolju az 5.3. táblázatba megadott együttes eloszlás alapjá a ζφ(ξη)ξ η szorzatfüggvéy várható értéét! Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

08 II. A VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ALAPJAI 5.9. Valószíűség változó összegée várható értée Az előző alfejezetbe általába beszéltü arról, hogya lehet számol valószíűség változó függvéyée várható értéét. Az általáos éplet alapjá összeg várható értée s számolható, ahogya azt az 5.. feladatba meg s tettü. Ugyaaor, mthogy a valószíűség változó összege gyara szerepel a gyaorlatba, ezért most az összeg várható értéére egy egyszerűbb és gyorsabb megoldást s adu. Tétel. A ξ és η valószíűség változó összegée várható értée egyelő a valószíűség változó várható értéée összegével, azaz M( ξ + η ) M( ξ ) + M( η ). (5.9..) Bzoyítás. A bzoyítást csa dszrét esetre mutatju meg, folytoos esetre teljese hasoló a meete. A bzoyítást az (5.8..) fejezés alapjá végezzü. Az általáos épletbe a függvéy helyére beírju a változó összegét: ( x + y j )rj xrj + M( ξ + η ) y r. j j j A másod tagba felcserélve az összegzés sorredjét, valamt felhaszálva az (5...) és (5...) azoosságoat, azt apju, hogy j j M( ξ + η ) x p + y q j j x r + j j j y r j j M( ξ ) + M( η ). x rj + y jrj j j Megjegyzés Teljes ducóval bebzoyítható, hogy ha ξ, ξ,..., ξ valószíűség változóa létez várható értée, aor összegü várható értée: M( ξ + ξ +... + ξ ) M( ξ ) + M( ξ ) +... + M( ). (5.9..) ξ 5.0. Valószíűség változó szorzatáa várható értée Az általáos (5.8..) fejezés alapjá természetese ét valószíűség változó szorzatáa várható értée s számolható. Ha a valószíűség változó em függetlee, aor jobb megoldás em s létez. Ha azoba a szorzadó valószíűség változó függetlee, aor a szorzat várható értéére egyszerűbb megoldás s adód. www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

5. Több valószíűség változó együttes eloszlása 09 Tétel. Ha a ξ és η valószíűség változó függetlee, aor a szorzatu várható értée egyelő a várható értée szorzatával, azaz M( ξη ) M( ξ ) M( η ). (5.0..) Bzoyítás. A bzoyítást most s dszrét esetre végezzü, de az tegrál és az összegzés hasoló tulajdosága matt folytoos esetre teljese hasoló a bzoyítás meete. Ismét az (5.8..) általáos éplet alapjá dulu el, tehát M( ξη ) x y r. (5.0..) j Most haszálju a változó függetleségét, tehát r j p q j. Ezt beírva (5.0.)-be azt apju, hogy Megjegyzés M( j j j j j j j j ξη ) x y p q x p y q M( ξ )M( η ). Teljes ducóval bebzoyítható, hogy ha ξ, ξ,..., ξ valószíűség változó függetlee és létez várható értéü, aor szorzatu várható értée: Gyors elleőrző feladato M( ξ ξ... ξ ) M( ξ )M( ξ )... M( ). (5.0.3.) ξ 5.3. Az 5.. feladatba tűzött számolást végezzü el az (5.9.) összefüggés alapjá s! Megyugodhatu, ha az eredméy egyez az 5.. feladat eredméyével. 5.4. Az 5.. feladat számolását végezzü el az (5.0.) fejezés alapjá s! Az eredméy mért em azoos az 5.. feladat eredméyével? Mely a helyes eredméy? 5.. Valószíűség változó összegée szórása A ξ és η valószíűség változó összegée szóráségyzete a defícós egyeletből öyye számolható. Tétel. Ha ξ és η valószíűség változó függetlee, és létez a szórásu, aor összegü szóráségyzete megegyez a szóráségyzete összegével, azaz D ( ξ + η ) D ( ξ ) + D ( η ). (5...) Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

0 II. A VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ALAPJAI Bzoyítás. A bzoyításhoz először egy segédtételt látu be, evezetese azt, hogy ha ξ és η valószíűség változó függetlee, aor [( M( ξ ))( η M( η ))] 0 M ξ. (5...) A zárójel felbotásával azt apju, hogy M [( ξ M( ξ ))( η M( η ))] M [ ξη M( ξ ) η ξm( η ) + M( ξ )M( η )] Khaszálva a várható érté tulajdoságat, a tagoét várható érté épzés utá adód a segédtétel állítása, ha haszálju a függetleségből adódó M( ξη ) M( ξ )M( η ) azoosságot. Hozzáláthatu most már az eredet tétel bzoyításához! A szóráségyzet defícójából dulva: [( ξ + η ( ξ )) ] D ( ξ + η) M M + η. Khaszálva a várható érté épzésée szabályát: majd beírva ezt a zárójelbe, azt apju, hogy M M( ξ + η ) M( ξ ) + M( η ), [( ξ M( ξ ) + η M( η )) ] D ( ξ + η ) M. A szögletes zárójele belül a égyzetre emelést végrehajtva: [ + ( η M( η ) ] [( ξ M( ξ ) + ( η M( η )) ] M ( ξ M( ξ )) ( ξ M( ξ )( η M( η )) A várható érté épzést tagoét végrehajtva látju, hogy a özépső tag a segédtétel állítása matt zérus, tehát a végeredméy: [( ξ M( ξ )) ] + M ( η M( η )) [ ] D ( ξ ) D ( η ) D ( ξ + η ) M +, és ez volt a bzoyítadó állítás. Megjegyzés. Az (5...) összefüggés teljesüléséhez elegedő feltétel a függetleség, de em szüséges (azaz létez más eset s, amor feáll). A fet tétel gaz voltához tehát evesebb s elegedő, mt a függetleség. Elég, ha (5...) teljesül... www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

5. Több valószíűség változó együttes eloszlása. Teljes ducóval belátható, hogy az összeg szóráségyzetére voatozó (5...) tétel emcsa ettő, haem tetszőleges számú függetle valószíűség változóra s gaz, vagys D ( ξ + ξ +... + ξ ) D ( ξ ) + D ( ξ ) +... + D ( ξ ). (5..3.) Példa. Legye darab függetle valószíűség változó, amelye szóráségyzete azoos, vagys D ( ξ ) σ,,,...,. Határozzu meg a változó összegée szóráségyzetét és szórását! Alalmazzu az (5..3.) azoosságot! Azt apju, hogy D ( ξ + ξ +... + ξ ) σ. (5..4.) Ie a szórás gyövoással apható: D( ξ + ξ +... + ξ ) σ. (5..5.) Az eredméyből látsz, hogy a szórás lassabba övesz (gyööse), mt a ísérlete száma. Ee a gyaorlat alalmazásoba jeletősége va! Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

6. KORRELÁCIÓ 6.. Kovaraca A mérés adato özött összefüggése tárgyalásaor már bevezettü az emprus orrelácós együtthatót. Aor láttu, hogy ez a paraméter alalmas a mérés jellemző özött leárs apcsolat jellemzésére. Most ugyaezt a problémát, evezetese a valószíűség változó özött apcsolat problémáját fogju tárgyal, a valószíűség-számítás eddg megsmert apparátusa segítségével. Mdeeelőtt emléezzü az előző fejezet (5...) segédtételére, ahol beláttu, hogy ameybe a ξ és η valószíűség változó függetlee, aor gaz az alább összefüggés: [( M( ξ ))( η M( η ))] 0 M ξ. Ez doolja azt, hogy a változó özött apcsolat szorosságáa mértééül más esetbe s ezt a szorzatot válasszu. Defícó. A [( ξ M( ξ ))( η M( η ))] cov( ξ, η ) M (6...) várható értéet a ξ és η valószíűség változó ovaracájáa evezzü. Megjegyzés Ha a lehető legszorosabb a apcsolat ét változó özött, vagys ξη, aor a ovaraca a D (ξ) szóráségyzettel egyez meg. Tétel. A ovaraca számolására a defícós összefüggésél alalmasabb az alább éplet: cov( ξ, η ) M( ξη ) M( ξ )M( η ). (6...) Bzoyítás. A bzoyítás sorá a ovaraca defícójából dulu, majd a szögletes zárójele belül felbotju a zárójeleet: M cov( ξ, η ) M [( ξ M( ξ ))( η M( η ))] [ ξη ξm( η ) M( ξ ) η + M( ξ )M( η )] M( ξη ) M( ξ )M( η ). www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

5. Több valószíűség változó együttes eloszlása 3 A ovaraca értéée agyságát jeletőse befolyásoljá a ét valószíűség változó lehetséges értée. Ee üszöbölésére vezetjü be a orrelácós együtthatót. 6.. Korrelácós együttható Defícó. Ha a ξ és η valószíűség változó ovaracája és szórása léteze, aor a ξ és η változó orrelácós együtthatójá a cov( ξ, η ) M( ξη ) M( ξ )M( η ) R( ξ, η ) (6...) D( ξ )D( η ) D( ξ )D( η ) éplettel meghatározott számértéet értjü. Ez az érté csa aor létez, ha a evezőbe szereplő szóráso egye sem zérus. A orrelácós együttható s a ξ és η valószíűség változó függőségét, apcsolatáa szorosságát mér valamlye értelembe. Erre voatoza az alább tétele. Tétel. Ha ξ és η függetle valószíűség változó, aor R0. Bzoyítás. Az R( ξ, η ) defícójából adód, hsze függetle változó eseté a számláló ulla. Megjegyzés Az állítás em megfordítható, vagys abból, hogy R0 em övetez a ét változó függetlesége. Ilyeor csa ayt modhatu, hogy a ét változó orrelálatla. Tétel. Ha a ét valószíűség változó özött leárs a apcsolat, vagys ηaξ+b, aor R ( ξ, η ) ±. (6...) Az előjel a előjelétől függ. Bzoyítás. A ovaraca számolás (6...) épletéből dulu. cov( ξ, η ) M( ξη ) M( ξ )M( η ). Látsz, hogy ell számolu ξη és M(ξη) értéeet, valamt meg ell adu M(η) értéét s. ξη aξ + bξ, M( aξ + bξ ) am( ξ ) + bm( ξ ), Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

4 II. A VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ALAPJAI Tehát: M ( η ) am( ξ ) + b. ( M( ξ ) M ( ξ )) ad ( ξ ) cov( ξ, η ) am( ξ ) + bm( ξ ) am ( ξ ) bm( ξ ) a Most számolju (6...) evezőjébe D(η) értéét: ahoa D ( η ) a D ( ξ ), D( η ) a D( ξ ). Beírva a apott értéeet (6...) fejezésbe: cov( ξ, η ) D( ξ )D( η ) R ad ( ξ ) a D ( ξ ) a a ±. (6..3.). Megjegyzés. A fordított állítás s gaz, vagys ha R(ξ,η)±, aor a ét változó özött leárs a apcsolat. Ezt em bzoyítju.. Belátható, hogy általába gaz az, hogy R. 3. Ha a ét változó özött em leárs a apcsolat, aor < R < aármlye lehet, még 0 s. A orrelácós együttható tehát em azt mutatja meg, hogy va-e valamlye függvéyapcsolat a ét változó özött, haem azt, hogy va-e leárs apcsolat, lletve azt, hogy a apcsolat mlye erőse leárs jellegű. 6.3. Leárs regresszó A.. és a.. fejezetbe már láttu, hogy a mérés adato özött lehet összefüggés, és gyaorta ez a függés leárs, vagy leársra vsszavezethető. Nézzü meg, hogy mt tudu moda ugyaerről a témáról a valószíűség-elmélet eddg megsmert tétele segítségével. A probléma általáosa s ezelhető, m azoba megmaradu a leárs összefüggés vzsgálatáál. Feltételezzü tehát hogy a ξ és η valószíűség változó özött az alább öszszefüggés érvéyes: η a ξ + b, www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

5. Több valószíűség változó együttes eloszlása 5 de em smerjü az egyees a és b paraméterée értéét. A valószíűség-számítás yelvére lefordítva eressü az a és b paraméteree azt az értéét amelye mellett az aξ+b értée a lehető legjobba megözelít η értéét, vagys legye a övetező várható érté mmáls: M [( ( aξ + b )) ] S( a,b ) m η. A feladat megoldásáa első lépéseét a zárójele belül elvégezzü a jelölt műveleteet, majd tagoét épezzü a várható értéet. M [( η aξ b) ] M [ η aξη bη aξη + a ξ + abξ bη + abξ + b ] M ( η ) am ( ξη) bm ( η) am ( ξη) + a M ( ξ ) + abm ( ξ ) bm ( η) + abm ( ξ ) + b M η am ξη bm η + a M ξ + abm ξ bm η + b. S( a,b ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A mmum megtalálásához épez ell a és b szert parcáls derváltaat, amelyeet egyelővé ell te ullával. S( a,b ) M( ξη ) + bm( ξ ) + am( ξ ) 0, a S( a,b ) am( ξ ) M( η ) + b 0. b Egyszerűsítés és redezés utá azt apju, hogy A ét egyeletből a és b fejezhető: am( ξ ) + bm( ξ ) M( ξη ), am( ξ ) + b M( η ). M( ξη ) M( ξ )M( η ) cov( ξ, η ) D( η ) R( ξ, η ), M( ξ ) M ( ξ ) D ( ξ ) D( ξ ) (6.3..) b M( η ) am( ξ )), (6.3..) a ahol felhaszáltu a ovaraca (6..) és a orrelácós együttható (6..) épletet. Tehát, ha megbzoyosodu, hogy a ξ és η változó özött leárs a apcsolat, aor az így megtalált a és b értéeel számolt az aξ+b valószíűség változó özelít meg legjobba η értéét. A fejezésebe szereplő függvéye (ovaraca, orrelácós együttható, szóráso, várható értée) a ét változó együttes eloszlásából számolható. Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

7. NEVEZETES ELOSZLÁSOK Az alábbaba olya valószíűség eloszlásoat tárgyalu, amelye az adato statsztus ezelése és a mérés eredméye feldolgozása sorá gyara előerüle. Többet özülü az eddge sorá már megsmertü, most azoba redezett formába ezee s áttetjü a tulajdoságat. Amor ábrázolju s az eloszlásoat, aor a dszrét eloszlásoat pálcaábráal jeleítjü meg, a folytoos eloszlásoat pedg általába a sűrűségfüggvéy ábrázolásával adju meg. 7.. Az dátorváltozó eloszlása Korábba már megsmeredtü az dátorváltozóval. Most feldézzü a defícót és megadju az eloszlás jellemzőt. Legye egy ísérlet ét meetelű, melye végeredméye A vagy A. Az A eseméy valószíűsége p, az A eseméy valószíűsége q p. A ísérlethez redelt ξ valószíűség változó, az ú. dátorváltozó, amely az alább értéeet vesz fel: ha a ísérletbe A valósul meg, ξ (7...) 0 ha a ísérletbe A valósul meg. A fet értéehez redelt valószíűsége tehát: ( 0) p q P ( ξ ) p. P ξ, Legye p0, és q0,8. Az eloszlás pálcaábrája a 7.. ábrá látható. 7.. ábra: A aratersztus változó pálcaábrája p0, eseté A aratersztus változó eloszlásfüggvéyét p0, eseté a 7.. ábrára rajzoltu. www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

7. Nevezetes eloszláso 7 7.. ábra: A aratersztus változó eloszlásfüggvéye p0, eseté A aratersztus valószíűség változó várható értée: szóráségyzete pedg: D ( ) 0q + p p M ξ, (7...) ( ) M( ξ ) M ( ξ ) 0q + p p p p p( p) pq ξ. (7..3.) 7.. Az egyeletes eloszlás Dszrét eset A ξ dszrét valószíűség változó egyeletes eloszlású, ha az x, x,,..., x lehetséges értéee valószíűsége azoos. Az lye valószíűség változót eveztü lasszus változóa. A lasszus változóval apcsolatos meggodolása szert a valószíűsége: P( ξ x ),,,,. (7...) Az egyeletes eloszlás várható értée és szóráségyzete: D M ( ξ ) px x, (7...) ( ) ( x M ( ξ )) ξ x x. (7..3.) 7.. Példa. A ocadobás eseté, ha a valószíűség változó értée a oca lapjara írt számo, aor ee a valószíűség változóa egyeletes az eloszlása. Az eloszlás pálcaábráját mutatja a 7.. ábra. Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

8 II. A VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ALAPJAI Gyors elleőrző feladato 7.3. ábra: Az egyeletes eloszlás pálcaábrája ocadobás eseté 7.. A ocadobás esetére rajzolju fel az eloszlásfüggvéyt! 7.. A ocadobás esetére számolju a várható értéet és a szórást! Folytoos eset A folytoos ξ valószíűség változót egyeletes eloszlásúa evezzü az (a,b) tervallumo, ha sűrűségfüggvéye az alább: A sűrűségfüggvéy alaja: ha a < x < b, f ( x) b a (7..4.) 0 egyébét. 7.4. ábra: A folytoos egyeletes eloszlás sűrűségfüggvéye www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

7. Nevezetes eloszláso 9 A folytoos egyeletes eloszlás eloszlásfüggvéye, a defícó alapjá: x x x a F ( x ) f ( x )dx dx x, ha a x b (7..5.) a b a b a b a b a ha x<a, aor F(x)0, ha x>a, aor F(x), ahogya azt a 7.5. ábra s mutatja. 7.5. ábra: A folytoos egyeletes eloszlás eloszlásfüggvéye A várható érté és a szóráségyzet folytoos esetbe: b x b + a M ( ξ ) dx, (7..6.) b a b a ( b a) x b + a D ( ξ ) dx. (7..7.) b a a 7.3. A Beroull-eloszlás Mt a Beroull-ísérletsorozatba, a ísérlete legye ét meetele, A és A. Az A eseméy valószíűsége: P ( A) p, az A eseméy valószíűsége pedg: P ( A ) p q. Végezzü el a ísérletet -szer, egymástól függetleül. Legye a ξ valószíűség változó az számú ísérlet özül azo száma, amelyebe A övetezett be. Korábba már láttu, hogy lyeor aa valószíűsége, hogy ísérlet sorá az A eseméy -szor övetez be: P( ξ ) Bp (, ) p q ; 0,,,...,. (7.3..) Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

0 II. A VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ALAPJAI Ezt az eloszlást Beroull-eloszlása, vagy soszor bomáls eloszlása evezzü, amely dszrét eloszlás. Az alábbaba az eloszlás tulajdoságat smerjü meg részletesebbe. Mdeeelőtt be ell látu, hogy a (7.3.) fejezés valóba valószíűség eloszlás, azaz ormált, am azt jelet, hogy az összes lehetséges értére összegezve a valószíűség értéeet -et apu. Normáltság 0 B p (, ) p q. 0 Bzoyítás A bzoyítás sorá felhaszálju a bomáls tételt, mszert ( a + b ) a b. (7.3..) 0 Ha most a (7.3.) épletbe végrehajtju az ap és bq helyettesítést, aor azt apju, hogy és éppe ezt aartu belát. Az eloszlás alaja p q ( p + q ) ( p + p ), 0 Az alább ábra p0, és 00 eseté mutatja a Beroull-eloszlás alaját pálcaábra formájába. www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

7. Nevezetes eloszláso 7.6. ábra: A Beroull-eloszlás alaja p0, és 00 eseté A Beroull-eloszlás tehát dszrét eloszlás, amelye eloszlásfüggvéyét a 7.7. ábra mutatja. 7.7. ábra: A Beroull-eloszlás eloszlásfüggvéye p0, és 00 eseté Reurzós éplet A reurzós éplet alapjá az eloszlás -. értééből számolható a. értée, tehát + p Bp(, ) Bp(, ). (7.3.3.) p Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

II. A VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ALAPJAI www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK Bzoyítás ( ) ( ) ( ) ( ) p p )! )!( (! )!!(! p p p p, B, B p p + +. Az egyszerűsítése utá éppe a bzoyítadó (7.3.3) összefüggésre jutu. A Beroull-eloszlás várható értée Tétel. A Beroull-eloszlás várható értée p ) ( M ξ. (7.3.4.) Bzoyítás. A várható érté számítására ét módszert s megmutatu. a. A várható érté defícója alapjá a Beroull-eloszlás várható értée: 0 0 q p )!!(! q p ) ( M ξ. Mvel 0 eseté az első tag maga s ulla, ezért az összegzés -től dulhat, tehát q p )! )!( ( )! ( p q p )!!(! ) ( M ξ, ahol -val egyszerűsítettü, és az összegzésből emeltü -et és p-t. Vegyü észre, hogy az összegzése belül most ( ), B q p p. Ha most bevezetjü a új változót, aor erre átírva az összegzést 0 q p )!!( )! ( p q p )! )!( ( )! ( p ) ( M ξ p q ) p p( +.

7. Nevezetes eloszláso 3 Itt az utolsó lépésbe alalmaztu a bomáls tételt, és azt, hogy (p+q) -. b. A várható érté számítható az dátorváltozó segítségével s. Az mérés sorá mde egyes méréshez redeljü hozzá egy η dátorváltozót, ahol,,...,. Tehát η, 0, ha ha az. ísérletbe az. ísérletbe az A A eseméy valósul valósul meg. meg, Mvel a ísérleteet egymástól függetleül végezzü, ezért az η változó függetle valószíűség változó. Adott ísérletsorozatba az dátorváltozó értéee összege éppe t ad, tehát az η változó összege éppe ξ, vagys ξ η +. + η +... η Számítsu a várható értéet! M( ξ ) M( η + η +... + η ) M( η ) + M( η ) +... + M( ). (7.3.5.) η Az dátorváltozó várható értéét már orábba számítottu (7..), vagys tehát a (7.3.5) összege: M( η ) p re, M( ξ ) M( η ) + M( η ) +... + M( η ) p. Ezzel smét a orábba apott várható értéhez jutottu. A Beroull-eloszlás szórása Tétel. A Beroull-eloszlás szórását az alább összefüggés adja: D ( ξ ) pq. (7.3.6.) Bzoyítás. Természetese most s választhatá a özvetle bzoyítást, azaz a szóráségyzet és a szórás defícója alapjá a szórás özvetle számítását. Ehelyett soal öyebbe célhoz érü az dátorváltozó segítségével. Ismét felhaszálju, hogy ξ a fetebe defált darab függetle valószíűség változó összege. Szóráségyzete tehát: ( η + η +... + η ) D ( η ) + D ( η ) +... D ( η ) D ( ξ ) D +. Az dátorváltozó szóráségyzetére voatozó (7..3) éplet szert D ( η ) pq re, Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

4 II. A VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ALAPJAI tehát A szórás pedg: és ez az, amt be aartu lát. A Beroull-eloszlás módusza D ( ξ ) D ( η ) + D ( η ) +... + D ( η ) pq. D ( ξ ) pq, A Beroull-eloszlása ét paramétere va: és p. Adott eloszlás eseté és p orét számértée. Mözbe változ, a hozzáredelt valószíűség értée ezdetbe öveszee, majd csöee, ahogya azt a 7.6. ábra eseté láthatju s. Kérdés, hogy mlye értéél lesz az eloszlása maxmuma? Ameddg öveszee a valószíűség értée, addg gaz, hogy B (, ) B (, ). p < Amor csöee a valószíűség értée, aor B (, ) B (, ), p > A csúcs özelébe esetleg az egyelőség s megegedett B (, ) B (, ). p A fet három összefüggés úgy s írható, hogy p p p B (, ) B (, ) p p, am a (7.3.3) reurzós formula szert megegyez azzal, hogy Bp(, ) B (, ) p + p p. Átredezve az egyelőtleséget, azt apju, hogy (+) p. www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

7. Nevezetes eloszláso 5 A maxmum ereséseor, tehát azt ell vzsgálu, hogy öveedésével mor vált a relácó sebbről agyobbra. Két eset lehetséges: a. (+)p em egész szám, vagy pedg b. (+)p egész szám. Tetsü először az a. esetet: Mözbe övesz, ezdetbe az (+)p> egyelőtleség teljesül. Eddg a B p (,)>B p (,-) relácó teljesül. Ahogy ő, va olya értée -a, amor megfordul a relácó, azaz etől ezdve a B p (,)<B p (,-) relácó lesz az gaz. Ez a érté, ahol ez a váltás beövetez az (+)p egész részével lesz egyelő, azaz [( )p] +. (7.3.7.) Eél a értéél lesz az eloszlása a maxmuma, vagys ez a az eloszlás módusza. Tetsü a b. esetet: Ha törtéetese az (+)p érté egész szám, aor va olya érté, ahol az egyelőség teljesül, vagys ( + )p. Itt maxmuma lesz az eloszlása, vszot eor gaz az s, hogy B (, ) B (, ), p am azt jelet, hogy ét maxmáls értée s va az eloszlása a értéeél. Ilyeor bmodálsa evezzü az eloszlást. p (+)p és (+)p (7.3.8.) 7.. Példa. Zárthely a hallgató tesztet oldaa meg. 5 tesztérdésre ell válaszol, mde érdésre három lehetséges megoldást íál a teszt, de eze özül csa egy a helyes. Ha vala egyáltalá em észült, és a érdésere véletleszerűe válaszol, úgy hogy a válaszo függetlee egymástól, aor m aa a valószíűsége, hogy legalább három érdésre helyes választ ad? Egy érdésre a helyes válasz valószíűsége: p/3. Legalább három érdésre adott helyes válasz azt jelet, hogy vagy három, vagy égy, vagy md az öt érdésre helyes a válasz. A Beroull-eloszlás szert, aa valószíűsége, hogy öt özül potosa három érdésre lesz helyes a válasz: 3 5 P( ξ 3 ) B ( 5,3 ) 3 3 3 p 0,646... Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

6 II. A VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ALAPJAI Hasoló módo aa valószíűsége, hogy potosa égy feladat megoldása lesz helyes: 4 5 P( ξ 4 ) Bp ( 5,4 ) 0,04..., 4 3 3 Aa valószíűsége, hogy md az öt megoldás helyes: 5 0 5 P( ξ 5 ) B ( 5,5 ) 5 3 3 p 0,004... Tehát, hogy legalább három feladat megoldása helyes, ee a három valószíűsége az összege, azaz P ( ξ 3 ) 0,098... Gyors elleőrző feladato 7.3. A 7.. példa adata alapjá számítsu aa valószíűségét, hogy véletleszerű válaszadás eseté egyetle feladat megoldása sem lesz helyes? (0,368) 7.4. A 7.. példába m aa a valószíűsége, hogy legalább egy feladat megoldása helyes? (-0,3680,8683) 7.4. A Posso-eloszlás A műsza és tudomáyos gyaorlatba számos olya véletle folyamat va, amelye leírását a Posso-eloszlás adja (ejtsd Poászo!). A Posso-eloszlás dszrét eloszlás. Általába azt lehet moda, hogy s valószíűségű eseméye térbel elredeződését, vagy dőbel lefolyását gyara Posso-eloszlás írja le. A térbe lye jeleség például az erdőbe adott területe a fá száma, a távcső látómezejébe található csllago száma, a vörös vérsejte száma a mroszóp látómezejébe, adott területe bzoyos övéy egyedee a száma stb.. Időbel lefolyásra példá: a telefoözpotba bzoyos dő alatt beérező telefohíváso száma; adott dő alatt atomo radoatív bomlásáa száma; a Geger- Müller-számlálóba adott dő alatt beérező ozmus részecsé száma stb. A Possoeloszlása eleget tevő dőbe lejátszódó folyamatoat Posso-folyamata evezzü. Az első smert alalmazása a Posso-eloszlása a porosz hadseregbe az egy évbe lórúgásotól meghalt atoá számáa becslése volt. Defícó. A ξ dszrét valószíűség változó eloszlását λ paraméterű Posso-eloszlása evezzü, ha a valószíűség változó lehetséges értée 0,,,... egész számo, és a ξ eseméy valószíűsége: www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

7. Nevezetes eloszláso 7 Normáltság λ P( ξ ) e! λ e! λ e λ λ 0 0 ahol felhaszáltu az smert hatváysor alaot:, ahol λ > 0. ( 7.4..) λ e! e λ λ, 0 λ λ e, ha λ > 0.! A Posso-eloszlás várható értée és szórása Tétel. A λ paraméterű Posso-eloszlás várható értée M ( ξ ) λ. (7.4..) Bzoyítás. λ λ λ ( ξ ) λ λ λ λ λ ( ) M e e e, 0!! ( )! λ e hsze helyettesítéssel: λ e 0! Tétel. A λ paraméterű Posso-eloszlás szóráségyzete D ( ξ ) λ, (7.4.3.) és szórása D( ξ ) λ. (7.4.4.) Bzoyítás. D ( ξ ) M( ξ ) M ( ξ ) e λ λ λ. λ,! 0 Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

8 II. A VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ALAPJAI 0 tehát a szórás: λ! 0 ( ) λ +! λ λ! λ! + ( ) 0 0 D λ λ λ λ, ( ξ ) λ e e + λe e λ λ D ( ξ ) λ. λ λ e! λ + λe Arra jutottu tehát, hogy a Posso-eloszlás λ paramétere egyúttal az eloszlás várható értée és szóráségyzete s. Az eloszlás alaja A Posso-eloszlás alaja hasoló a Beroull-eloszlás alajához. Meél sebb a p és meél agyobb, mözbe pλ, a Posso-eloszlás aál özelebb es a Beroulleloszláshoz. Ilye feltétele mellett a Posso-eloszlást a Beroull-eloszlás özelítésére s lehet haszál. A 7.8. ábrá a λ0 paraméterű Posso-eloszlás (tel voal), és a p0,, 00 paraméterű Beroull-eloszlás (potozott voal) összehasolítása látsz. λ 7.8. ábra: A Posso-eloszlás (tel voal) λ0, és a Beroull-eloszlás (potozott voal) p0,, 00 paramétereel 7.3. Példa. Radoatív ayag bomlásáa méréseor a Geger Müller-számlálóval perceét átlagosa 0 [db/m] beütésszámot mérü. M aa a valószíűsége, hogy fél perc alatt em érez beütés a számlálóba? Megoldás: fél perc alatt a beütés várható értée: λ0 [/m] 0,5 [m]5. A beütésszámra Posso-eloszlást feltételezve, aa valószíűsége, hogy fél perc alatt egyetle bomlás sem törté: 0 5 P( ξ 0 ) e 0! 5 0,0067... www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

7. Nevezetes eloszláso 9 Gyors elleőrző feladato 7.5. A fet példa adatat felhaszálva adju meg a beütésszám szórását! 7.6. Adju reurzós formulát a Posso-eloszlásra! 7.5. A geometra eloszlás Egy ísérlete ét meetele va A és A. Eze valószíűsége: P ( A ) p és P( A ) q p. A ísérletet egymástól függetleül soszor elvégezve, és ezt a so ísérletet tetsü egy ísérlete. A ísérletet addg végezzü, ameddg az A eseméy először beövetez. A ísérlet meetele tehát A -ból és A-ból álló sorozat. A ξ valószíűség változó legye aa a ísérlete a sorszáma, amelybe először fordul elő az A eseméy. Tehát ξ lehetséges értée:,, 3,... Aa valószíűsége tehát, hogy ξ, vagys, hogy az A eseméy a. ísérletbe fordul elő először: P P( ξ ) q p, ahol,,..., ( 7.5..) Ezt az eloszlást geometra eloszlása evezzü. Normáltság p P( ξ ) pq q p, q q ahol haszáltu a geometra sorra voatozó összegépletet: q q. (7.5..) q Az eloszlás alaja 7.9. ábra: A p0,3 paraméterű geometra eloszlás pálcaábrája Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

30 II. A VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ALAPJAI A geometra eloszlás várható értée Tétel. A geometra eloszlás várható értée: M ( ξ ). (7.5.3.) p Bzoyítás ξ q p p, ( ) M ( q) p ahol felhaszáltu azt a függvéysorora érvéyes szabályt, hogy ( x) f ( x) f ( x) f ( x) A geometra eloszlás szóráségyzete f. Tétel. A geometra eloszlás szóráségyzete: q ξ. (7.5.4.) p ( ) D Bzoyítás felhaszálva, hogy q ξ, p p ( ) M( ξ ) M ( ξ ) q p D M( + q ξ ) pq, ( q ) amt (7.5.) étszeres derválása utá apott ( )q, ( q ) fejezés s átalaításával yerhetü. www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

7. Nevezetes eloszláso 3 7.6. Az expoecáls eloszlás Defícó. A ξ folytoos valószíűség változó λ paraméterű expoecáls eloszlású, ha sűrűségfüggvéye: f ( x) λ e 0, λx ha x 0 ha x < 0. (7.6..) A sűrűségfüggvéy smeretébe az eloszlásfüggvéy már számolható. Ee megfelelőe a ξ valószíűség változó eloszlásfüggvéye: F( x ) P( e x λx λt ξ < x ) λe dt (7.6..) 0, ha x < 0., ha x 0 Az eloszlás alaja 7.0. ábra: A λ0,45 paraméterű expoecáls eloszlás sűrűségfüggvéye Normáltság Az hogy a (7.6.) függvéy valóba valószíűség sűrűségfüggvéy a ormáltság elleőrzésével látható be. f ( x )dx 0dx + 0 [ e λx] 0 x λe λ dx. 0 Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

3 II. A VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ALAPJAI 7.. ábra: A λ0,45 paraméterű expoecáls eloszlás eloszlásfüggvéye Normáltság Az hogy a (7.6.) függvéy valóba valószíűség sűrűségfüggvéy a ormáltság elleőrzésével látható be. f ( x )dx 0dx + 0 A expoecáls eloszlás várható értée M ( ξ ) xf ( x) 0 [ e λx] 0 x λe λ dx. dx λ xe ahol az tegrál parcáls tegrálással számolható. Szóráségyzet és szórás D 0 0 dx, (7.6.3.) λ λx λx ( ξ ) x λe dx Az tegrál tt s parcáls tegrálással számolható. Tehát a szórás: 0 λ. (7.6.4.) λ D ( ξ ). (7.6.5.) λ www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

7. Nevezetes eloszláso 33 Az expoecáls eloszlás élettartamoat leíró valószíűség változó leírására alalmas. Az lye élettartamora az jellemző, hogy ha az élettartam x dőpotg em ért véget, aor úgy tethető, mtha a folyamat x dőpotba ezdőde. Soszor ezt úgy fejez, hogy elfelejtőd a múlt, és az élettartam a megfgyelés ezdeté ezdőd el, vagys az lye valószíűség változó öröfjú tulajdosággal redelez. A fzából smeretes, hogy egy radoatív atom élettartama expoecáls eloszlású. Hasoló módo expoecáls eloszlású egy lámpa vagy egy mroprocesszor élettartama. 7.4. Példa. A Mössbauer-effetus mérése sorá haszált Co 57 atomo felezés deje 0,75 év (70 ap). Határozzu meg, hogy egy atom élettartamáa meora a várható értée? Megoldás: Az élettartam expoecáls eloszlást övet. Az eloszlás függvéy tehát F( x ) e λx alaú. A felezés dő azt jelet, hogy az atom az x dőpotg F(x)/ valószíűséggel elboml. Tehát: ahoa e λ x, l x. λ Ez a fejezés adja meg a felezés dő és az eloszlás paramétere özött apcsolatot. A feladat adataval: l λ 0,94. 0, 75 év év Mvel a várható érté M(ξ)/λ, e a feladat megoldása, azaz egy atom élettartamáa várható értée: M(ξ),08 év. 7.7. A ormáls eloszlás (Gauss-eloszlás) A statsztába az egy leggyaorbb eloszlás a ormáls eloszlás, amelyet soszor Gauss-eloszlása s evezü. A ésőbbebe még vsszatérü arra, hogy mért fordul elő a ormáls eloszlás olya gyara. Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

34 II. A VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ALAPJAI Defícó. A ξ valószíűség változó ormáls eloszlású, ha sűrűségfüggvéye: f ( x) ( xm) σ e, ahol < < σ π x. (7.7..) A eloszlása ét paramétere va m és σ. Az m tetszőleges valós szám, σ pedg poztív álladó. A ormáls eloszlás szoásos jelölése: N(m,σ). A ormáls eloszlás eloszlásfüggvéye Az eloszlásfüggvéy a sűrűségfüggvéyből tegrálással apható meg: Normáltság x x ( t m) F( x ) σ f ( t) dt e dt σ π. (7.7..) A ormáls eloszlás folytoos eloszlás, tehát az alább tegrálról ell belát, hogy értée egységy: ( xm) σ f ( x) dx e dx. σ π Az tegrált új változó bevezetésével hozzu egyszerűbb alara. Az új változó: Az új változóval fejezve az tegrált: f ( x m dx u ; du. σ σ + u x )dx σ e du e σ π π + u du, és ez az amt be aartu lát. Itt felhaszáltu az alább evezetes tegrál értéet: + x e 0 dx π. (7.7.3.) Az eloszlás alaja Az m5 és σ,5 paraméterű ormáls eloszlás sűrűségfüggvéye a 7.. ábrá látható. www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

7. Nevezetes eloszláso 35 7.. ábra: Az m5 és σ,5 paraméterű ormáls eloszlás sűrűségfüggvéye Az m5 és σ,5 paraméterű ormáls eloszlás eloszlásfüggvéye a 7.3. ábrá látható. 7.3. ábra: Az m5 és σ,5 paraméterű ormáls eloszlás eloszlásfüggvéye Várható érté Tétel. Az m és σ paraméterű ormáls eloszlás várható értée m, vagys + ( xm) σ M ( ξ ) xe dx m σ π. (7.7.4.) Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

36 II. A VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ALAPJAI Bzoyítás Első lépését smét új változót vezetü be, azaz amvel az tegrál egyszerűbbé vál: ( ) x m dx u ; du, σ σ ( m) x + u u M ξ σ m xe dx ue du + e du m σ σ π π π, (7.7.5.) hsze (7.7.5)-be az első tegrál ulla, mert atszmmetrus függvéy tegráljáról va szó az egész valós tartomáyo. A másod tegrál értée m, felhaszálva a (7.7.3) azoosságot. Ezzel beláttu, hogy gaz a várható értére voatozó tétel. Szóráségyzet Tétel D ( ) ( x m) ( xm) + σ ξ e dx σ π σ. (7.7.6.) Bzoyítás Ismét bevezetjü a fetebe már megsmert új változót: x m dx u ; du. σ σ Ezzel fejezve a (7.7.6) fejezés tegrálját: ( ) ( x m) ( xm) + + u D ξ σ e dx u e du σ σ π π. Most haszálva azt, hogy u u e ue, majd parcálsa tegrálva a apott fejezést, éppe a (7.7.6) fejezésre jutu. www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

7. Nevezetes eloszláso 37 Egyszerű függvéyaalízssel belátható, hogy az N(m,σ) ormáls eloszlás sűrűségfüggvéyée maxmuma m-él va, a függvéy flexós potja pedg az m σ és az m+σ potoba vaa. Az F(x)/ egyelet megoldása s xm. Az m tehát emcsa az eloszlás várható értée, haem szmmetrategelye, módusza és medája s. 7.8. A stadard ormáls eloszlás A statsztába tütetett szerepe va aa a ormáls eloszlása, amelye paramétere: m0 és σ. Az lye ormáls eloszlást stadard ormáls eloszlása evezzü és szoásos jelölése N(0,). A tütetett szerepe megfelelőe a sűrűségfüggvéy jelölése φ(x), az eloszlásfüggvéyé pedg Ф(x). A stadard ormáls eloszlás sűrűségfüggvéye A paramétere behelyettesítésével azt apju, hogy a stadard ormáls eloszlás sűrűségfüggvéye: x ϕ ( x) e, ahol < x <. (7.8..) π A sűrűségfüggvéy alaja a 7.4 ábrá látható. 7.4. ábra: A stadard ormáls eloszlás sűrűségfüggvéye A stadard ormáls eloszlás eloszlásfüggvéye Az eloszlásfüggvéy fejezését megapju az m0 és a σ paramétere beírásával a (7.7.) fejezésbe: Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

38 II. A VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ALAPJAI x x t Φ ( x ) ϕ( t) dt e dt. (7.8..) π Az eloszlásfüggvéy alaját a 7.5 ábrára rajzoltu. 7.5. ábra: A stadard ormáls eloszlás eloszlásfüggvéye A stadard ormáls eloszlás tulajdosága A stadard ormáls eloszlás várható értée ulla, és sűrűségfüggvéye szmmetrus függvéy, azaz amről behelyettesítéssel öye meggyőződhetü. Az eloszlásfüggvéyre gaz az alább azoosság: ϕ ( x ) ϕ( x ), (7.8.3.) Φ( x ) Φ( x ), (7.8.4.) am szté a sűrűségfüggvéy szmmetrus voltából övetez, hsze x ϕ( t )dt + ϕ( t )dt + ϕ( t )dt ϕ( t )dt ϕ( t )dt + ϕ( t )dt. x x Az tegrálo fejtésével azt apju, hogy x x Φ ( x ) + Φ( x ) Φ( x ), ahoa átredezéssel adód a (7.8.4) azoosság. x x www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

7. Nevezetes eloszláso 39 A φ(x) és Φ(x) függvéye értéet táblázatba szotá megad. A szmmetratulajdoság oá elegedő x 0 értéere megad a táblázatot. A stadard ormáls eloszlásra gaz az alább tétel. Tétel Ha a ξ valószíűség változó N(0,) eloszlású, aor gaz az, hogy P( x ξ x ) Φ ( x ). (7.8.5.) Bzoyítás A tétel bzoyítása a (7.8.4) azoosság segítségével egyszerű, hsze P( x ξ x ) x x A ormáls eloszlás tovább tulajdosága ϕ( t )dt Φ( x ) Φ( x ) Φ( x ) ( Φ( x )) Φ ( x ) Tétel. A ormáls eloszlás sűrűségfüggvéye fejezhető a stadard ormáls eloszlás sűrűségfüggvéyével, az alábba szert: x m f ( x ) ϕ. (7.8.6.) σ σ. Bzoyítás u ϕ ( u ) e, π ahoa x m u helyettesítéssel azt apju, hogy σ x m ϕ σ e π ( xm) σ. Ie látsz, hogy σ-val osztva éppe a ormáls eloszlás sűrűségfüggvéyét apju. Hasoló módo a ormáls eloszlás eloszlásfüggvéye s fejezhető a stadard ormáls eloszlás eloszlásfüggvéyével az alább tétel szert. Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

40 II. A VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ALAPJAI Tétel x m F ( x ) Φ. (7.8.7.) σ Bzoyítás F( x ) x ( t m) σ e σ π dt. Ie t m u és σ du dt helyettesítéssel azt apju, hogy σ xm σ F( x ) π e hsze orábba már beláttu, hogy Φ ( ) 0. u, x m x m du Φ Φ( ) Φ σ σ A fet ét tétele gyaorlat szempotból az a jeletősége, hogy elegedő a stadard ormáls eloszlás táblázatoat megad, amből tetszőleges paraméterű ormáls eloszlás értée már számítható. A Függelé 4.4. fejezetébe megtalálható a stadard ormáls eloszlás eloszlásfüggvéyée táblázta. Egy tovább fotos tételt vezetü le az N(m,σ) eloszlásra voatozóa. Tétel Ha a ξ valószíűség változó eloszlása N(m,σ), aor a várható értére szmmetrus (m λσ, m+λσ) tartomáyba esés valószíűsége a övetezőéppe számolható: Bzoyítás P( m P( m λσ ξ m + λσ ) Φ ( λ ). (7.8.8.) m + λσ m m λσ m λσ ξ m + λσ ) F( m + λσ ) F( m λσ ) Φ Φ σ σ Φ ( λ ) Φ( λ ) Φ ( λ ), ahol haszáltu a (7.8.7) és a (7.8.4) azoosságoat. A ormáls eloszlása a statsztába özpot szerepe va, amt a ésőbbebe még tárgyal fogu. www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

7. Nevezetes eloszláso 4 Gyors elleőrző feladato 7.7. A stadard ormáls eloszlás eloszlásfüggvéyée táblázata segítségével számolju, hogy meora aa a valószíűsége, hogy az N(m,σ) eloszlású ξ változó a várható érté örül (m λσ, m+λσ) tartomáyba es λ, λ és λ3 esetebe? (0,687, 0,9545, 0,9973). 7.8. λ mlye értée mellett es a N(m,σ) eloszlású ξ változó a várható érté örül (m λσ, m+λσ) tartomáyba p0,99 valószíűséggel? (λ,575) 7.9. Bzoyítsu be, hogy ha ξ eloszlása N(m,σ), aor az η x m σ új változó eloszlása N(0,). A η változót ezért stadardzált változóa evezzü. A bzoyítás sorá haszálju fel a (4.8.) és (4.8.) összefüggéseet. A továbbaba ormáls eloszlásból származtatott eloszlásoat vzsgálu. 7.9. Függetle ormáls eloszláso össze Tétel. Ha ξ és η valószíűség változó függetle valószíűség változó, ξ eloszlása N(m,σ), η eloszlása N(m,σ), aor a ζξ+η valószíűség változó eloszlása N(m +m, σ + ). Az összeg valószíűség változó sűrűségfüggvéye tehát: σ f ( x ) + σ ) e π ( xm m ) ( σ + σ ). (7.9..) ( σ Bzoyítás. Nem bzoyítju azt az állítást, hogy az eloszlás ormáls eloszlású. Vszot, ha már tudju, hogy az eloszlás ormáls, aor az általáos tétele alapjá öye számolhatju a várható értéet és a szórást. Tudju ugyas, hogy a valószíűség változó összegée várható értée: M ( ζ ) M( ξ ) + M( η ) m + m, és azt s bebzoyítottu, hogy a függetle valószíűség változó összegée szóráségyzete: D ( ζ ) D ( ξ ) + D ( η ) σ + σ. Ie már övetez a várható értére és a szórásra voatozó állítás. Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

4 II. A VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ALAPJAI 7.0. Logartmus ormáls eloszlás Defícó. A ξ valószíűség változót logartmus ormáls (rövde logormáls) eloszlásúa evezzü, ha a logartmusa ormáls eloszlású, vagys ha a belőle épezett η lξ új változó ormáls eloszlású. A defícó alapjá számolhatju a logormáls eloszlás eloszlásfüggvéyét. Az η változó eloszlásfüggvéye ormáls, tehát tehát G( y ) Felírható vszot a övetező összefüggés: y ( t m ) σ P( η < y ) e dt. σ π F ( x ) P( ξ < x ) P(lξ < l x ) P( η < y ), F( x ) l x ( t m ) σ e σ π dt. (7.0..) Megaptu tehát a logormáls eloszlás eloszlásfüggvéyét. Ie derválással jutu a sűrűségfüggvéyhez: f ( (l xm ) σ x ) F ( x ) e ( x 0 ) (7.0..) σx π A logormáls eloszlás várható értée és szóráségyzete D ( ξ ) M ( ξ ) M 0 (l xm ) σ m+ σ M( ξ ) e dx e. (7.0.3.) σ π ( ξ ) xe σ π 0 (l xm) σ dx e m+ σ e m+ σ ( e σ ). (7.0.4.) www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

7. Nevezetes eloszláso 43 A logormáls eloszlás alaja 7.6. ábra: A logormáls eloszlás sűrűségfüggvéye M(ξ)3 és D(ξ)0,5 paramétereel A logormáls eloszlás véletleszerű törés, osztódás, őrlés folyamato eseté a végtermé valamely méretée, hosszáa, térfogatáa, súlyáa eloszlása. Példaét a golyósmalomba őrölt ayag mérete, lebomló moleulá agysága, a őtörésor eletező törmelé mérete stb. so esetbe logormáls eloszlást övet. Tétel. Ha a ξ valószíűség változó logormáls eloszlású, aor a belőle épezett ηbξ a változó s logormáls eloszlású. Bzoyítás. A logormáls eloszlás defícója alapjá az lξ változó ormáls eloszlású. Ha η logartmusát épezzü, aor azt apju, hogy l η alξ + lb, márpedg a ormáls eloszlás leárs traszformáltja s ormáls eloszlás, am azt jelet, hogy az η valószíűség változó s logormáls eloszlású. A tételből övetez, hogy ha egy termé leárs mérete logormáls eloszlást övet, aor a termé felszíe, térfogata, súlya s logormáls eloszlású, hsze eze a jellemző a leárs méret hatváyfüggvéye. Gyors elleőrző feladat 7.0. Ha a ξ valószíűség változó N(m,σ) eloszlású aor lássu be, hogy az ηaξ+b új változó szté ormáls eloszlású m am + b, σ aσ paramétereel! Haszálju a (4.8.) összefüggést! Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

8. SZÁRMAZTATOTT ELOSZLÁSOK A statszta gyara haszál olya valószíűség változóat, amelyeet a stadard ormáls eloszlásból származtatu. Ezeet az eloszlásoat em tárgyalju olya részletességgel, mt a orábbaat. Megelégszü a valószíűség változó defícójával, és a sűrűségfüggvéy meetével. Az eloszláso sűrűségfüggvéye vagy eloszlásfüggvéye általába táblázato formájába áll redelezésre, lletve a statszta számítógépes programo s szolgáltatjá ezee a függvéyee az értéet. 8.. A χ -eloszlás Defícó. Legye ξ, ξ,..., ξ darab függetle, N(0,) eloszlású valószíűség változó. Ezeből épezzü a χ valószíűség változót, a ξ + ξ + ξ (8...) χ... + defícóval. A χ -eloszlását szabadság foú χ -eloszlása evezzü. Az eloszlás sűrűségfüggvéye a 8.. ábrá látható 5 és 5 értée mellett. A χ valószíűség változóa csa x 0 értée lehete, ezért a sűrűségfüggvéy értelmezés tartomáya csa a poztív valós számo halmaza, a 0-t s beleértve. A χ -eloszlás várható értée Mvel em adju meg a sűrűségfüggvéy alaját, ezért várható értéét s csa özöljü: ( ) M χ. A 8.. ábrá látsz, hogy öveedésével a görbe (és vele a várható érté s) egyre ább jobbra tolód. Mvel a függvéy em szmmetrus, ezért a várható érté és a módusz em es egybe. A χ-eloszlás szóráségyzete A χ -eloszlás szóráségyzete: D ( χ ). A sűrűségfüggvéy ábrájá látsz, hogy övevő -el a függvéy egyre szélesed. A ésőbbebe belátju majd, hogy ahogy övesz, a χ -eloszlás sűrűségfüggvéye egyre ább özelít a ormáls eloszlás sűrűségfüggvéyéhez. www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

8. Származtatott eloszláso 45 8.. ábra: A χ -eloszlás sűrűségfüggvéye 5 (g(x)) és 5 (f(x)) eseté 8.. A χ-eloszlás A χ -eloszlásból származtatju a χ-eloszlást. Defícó. A χ valószíűség változóból létrehozott χ... + ξ + ξ + ξ (8...) új valószíűség változó eloszlását szabadság foú χ-eloszlása evezzü. A χ-eloszlás sűrűségfüggvéyée meete hasoló, mt a χ -eloszlásé. Azt godolhatá, hogy a χ-eloszlás ostrucója ayra mesterélt, hogy távol áll a gyaorlat alalmazásotól. Ez em így va. Példaét megemlítjü, hogy az deáls gáz sebességeloszlását leíró Maxwell-eloszlás 3 szabadság foú χ-eloszlás. Ebbe az esetbe a ξ, ξ és ξ 3 valószíűség változó a sebességompoeseel apcsolatosa v v vz ξ, v x y ; ξ ; ξ3 vmax vmax max és N(0,) eloszlásúa. Ha a sebességet v-vel jelöljü, aor v v + v + v, x y z v max pedg az a sebesség, ahol az eloszlása maxmuma va. Ha bevezetjü a v v max x Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

46 II. A VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ALAPJAI jelölést, aor a Maxwell-eloszlás sűrűségfüggvéye: d f ( x) 4 x e π x, amely megadja, hogy az összes gázatomból d-e va a dv tartomáyba eső v sebessége. Megjegyzedő, hogy ugyalye eloszlása va egy hőtartállyal (moderátorral) egyesúlyba lévő eutrooa, vagy szlárd testbe az ahlácó előtt termus egyesúlyba jutó poztrooa. 8.3. A Studet-eloszlás Defícó. Legyee η, ξ, ξ,, ξ függetle, N(0,) eloszlású valószíűség változó. Ezeből épezü egy új valószíűség változót az alább éplet szert: η t. (8.3..) ξ + ξ +... + ξ A t valószíűség változó eloszlását szabadság foú Studet-eloszlása evezzü. Az eloszlást éha t-eloszlása s evez. A Studet-eloszlás sűrűségfüggvéye a 8.. ábrá látható. 8.. ábra: Az N(0,) eloszlás (f(x)) és az 5 szabadság foú Studet-eloszlás (g(x))sűrűségfüggvéye A Studet-eloszlás a 0 potra szmmetrus eloszlás. Értelmezés tartomáya az egész valós számegyees. Az Studet-eloszlás sűrűségfüggvéye egyre agyobb értéere tart a stadard ormáls eloszlás sűrűségfüggvéyéhez. A 8.. ábrá a Studet-eloszlás és a stadard ormáls eloszlás sűrűségfüggvéyee összehasolítása s látsz. A Studet-eloszlás várható értée M(t)0, de csa eseté létez. Belátható, hogy eseté em létez a várható érté. www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

8. Származtatott eloszláso 47 A Studet-eloszlás szóráségyzete D ( t) M ( t ) M ( t) M ( t ), ha 3. 8.4. Az F-eloszlás Defícó. Legyee a ξ, ξ,, ξ m és az η, η,, η valószíűség változó függetlee és N(0,) eloszlásúa. Az ezeből épezett F új valószíűség változót az alább összefüggés defálja: F m m ξ η. (8.4..) Az F valószíűség változó eloszlását m, szabadság foú F-eloszlása evezzü. Az 5, m5 szabadság foú F-eloszlás sűrűségfüggvéyée alaja a 8.3. ábrá látható. Az ábra az összehasolítás edvéért az 5 szabadság foú χ -eloszlás sűrűségfüggvéyét s mutatja. A függvéy értelmezés tartomáya az x 0 valós számo öre. 8.3. ábra: Az 5, m5 szabadság foú F-eloszlás (g(x)) és az 5 szabadság foú χ -eloszlás (f(x)) sűrűségfüggvéye Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

9. A NAGY SZÁMOK TÖRVÉNYEI Ez a fejezet abba ülöböz a többtől, hogy tételeet modu, de a bzoyítást mellőzzü. A tétele jeletéset azoba részletese dszutálju, mert md elvleg, md gyaorlatlag ge agy jeletőségűe. A fejezet címe azért, a Nagy számo törvéye, mert olya tételeről lesz szó, amelyebe agyszámú valószíűség változó szerepel. 9.. A agy számo törvéye (Beroull-törvéy) A véletle jelesége apcsá már megsmeredtü a ísérlet agy számo törvéyével. A ísérlet tapasztalatora épülő állítás szert elegedőe agyszámú ísérlet eseté a relatív gyaorság stabltást mutat, és egy álladó érté örül egyre sebb gadozásoat mutat. A agy számo most smertetedő törvéye azt modja, hogy a valószíűség az az érté, amhez a relatív gyaorság tart. Tétel. Ha egy eseméy valószíűsége p, és ε tetszőlegese csy szám, valamt számú függetle ísérletet végezve a ísérlete sorá az eseméy gyaorsága, aor gaz az, hogy lm P p ε 0. (9...) Szavaba megfogalmazva a tétel állítását, a ísérlete számáa öveedésével, egyre sebb aa a valószíűsége, hogy a relatív gyaorság és a valószíűség ülöbsége agyobb legye mt ε. Más szóval, a relatív gyaorság agy valószíűséggel a valószíűséghez tart. Ez a tétel a agy számo törvéyée precíz megfogalmazása. Szoás ezt rövde úgy ír, hogy p. Ugyaaor ez valószíűség tétel, vagys az állítás az, hogy öveedtével a relatív gyaorság agy valószíűséggel tart a valószíűség értééhez, és em az, hogy a relatív gyaorság tart a valószíűség értééhez. Fotos azt lát, hogy a (9..) fejezésből em övetez az, hogy lm p ε 0, www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

9. A agy számo törvéye 49 hsze a tétel csa a zárójelbe lévő fejezés valószíűségére mod állítást. A valószíűség-számítás segítségével, csa valószíűség tételere juthatu! 9.. A számta özépről szóló agy számo törvéye Tétel. Ha ξ, ξ,, ξ függetle valószíűség változó, amelyee várható értée és szórása azoos, azaz M(ξ )m,,,,, aor ξ + ξ +... + ξ m, (9...) vagys az említett feltétele mellett a valószíűség változó számta özepe sztochasztusa tart a özös várható értéhez. Az 5.0. fejezetbe szereplő példába beláttu, hogy ha M(ξ )m,,,,, aor ξ + ξ +... + ξ M m. A (9..) állítás azoba többet mod eél. A valószíűség változó számta özepée emcsa a várható értée egyez meg a özös várható értéel, haem az átlag agy valószíűséggel tetszőleges özelségébe s jut a várható értée. Ez valóba többet modó állítás, hsze orábba a várható érté apcsá már láttu, hogy a várható érté épzésbe résztvevő eleme aár távol s lehete a várható értétől. Ezzel szembe most azt látju, hogy a valószíűség változó számta özepe, ha elegedőe agy, aor agy valószíűséggel a várható érté tetszőleges özelségébe jut. 9.3. A özpot határeloszlás tétel Az alábbaba modadó tétel emeledőe fotos szerepet játsz a valószíűségelméletbe, ezért hívjá özpot határeloszlás tétele (soszor cetráls határeloszlás tétel éve szerepel). Tétel. Ha ξ, ξ,, ξ azoos eloszlású függetle valószíűség változó, amelyee várható értée és szórása azoos, azaz M(ξ )m és D(ξ )σ (,,, ), aor ξ + ξ +... + ξ m lm P < x e du Φ( x) σ π. (9.3..) Botsu részletesebbe a tétel állítását! A tétel bármlye eloszlású valószíűség változóból épezett új η valószíűség változó sorozatáról tesz redívül fotos állítást, ahol x u Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

50 II. A VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ALAPJAI ξ + ξ +... + ξ m η,,,... (9.3..) σ Az állítás az, hogy az η valószíűség változó sorozatáa F( η ) eloszlásfüggvéye sztochasztusa tart az N(0,) stadard ormáls eloszlás Φ(x) eloszlásfüggvéyhez, azaz F( η ) Φ( x ). Mvel a fet tétel övetezméye a tudomáyoba agy jeletőségűe, vzsgálju meg ssé részletesebbe a tétel állítását. A tételt ugya em bzoyítju, de azt öye beláthatju, hogy M(η )0 és D(η ), hsze és M( ξ ) + M( ξ ) +... + M( ξ ) m m m M( η ) σ σ σ ( D ( ξ ) + D ( ξ ) +... + D ( ξ )) ξ + ξ +... + ξ m D ( η ) D σ σ σ Ezzel legalább azt beláttu, hogy teljesüle az N(0,) eloszlás várható értéére és szórására voatozó értée. Az η változót az η ξ + ξ +... + ξ összeg stadardzáltjáa evezzü. Általába s gaz az, hogy a ξ valószíűség változóból épezett ξ M ( ξ ) ξ (9.3.3.) D( ξ ) új változó a ξ stadardzáltja, amelyre gaz az, hogy ( M ξ ) 0, és D ( ξ ). Vsszatérü a özpot határeloszlás tétel első ráézésre meglepő állítására, hogy tudll tetszőleges eloszlású ξ valószíűség változó összegéből épezett η valószíűség változó eloszlása stadard ormáls eloszlás. Ee az állítása a övetezméye, hogy az ξ + ξ + + ξ σ η + η... változó vszot özelítőleg N( m, σ ) ormáls (Gauss-) eloszlású (lásd a 7.0. gyors elleőrző feladatot!). A gyaorlat azt mutatja, hogy ez az állítás már vszoylag s érté mellett s jó özelítéssel teljesül. Ezt mutatja a 9.. ábra, ahol a (,) tervallumo egyeletes eloszlású ξ valószíűség változó f sűrűségfüggvéyét, lletve ugyalye el- m 0,. www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

9. A agy számo törvéye 5 oszlású ξ és ξ 3 változóal épezett f és f 3 sűrűségfüggvéye látszaa, amelye a ξ +ξ és a ξ +ξ +ξ 3 változó sűrűségfüggvéye. 9.. ábra: Az ábrasorozat egyeletes eloszlású valószíűség változó összegée eloszlását mutatja * Látsz tehát, hogy a özpot határeloszlás tétel redívül fotos állítása az, hogy az azoos eloszlású valószíűség változó összege özelítőleg ormáls eloszlású. A gyaorlatba ezért találozu olya gyara a ormáls (Gauss-) eloszlással, mert so esetbe fordul elő, hogy egy jeleség több folyamat összegée eredméyeéppe alaul. Tpus példája ee a mérése statsztus hbája. Már orábba volt szó arról, hogy a statsztus hba so jeleség együttes hatásából (összegződése révé) oozza a mérése sorá a mérés adato szórását. Mchelso féysebesség mérése sorá láttu s (lásd.9. ábra), hogy 00 mérés adatból felrajzolt hsztogram özelíthető a Gauss-eloszlás harag alaú görbéjével. A özpot határeloszlás tételéből övetez az s, hogy a bomáls eloszlás (amely a aratersztus valószíűség változó összege) özelíthető a ormáls eloszlással. Hasoló módo a χ -eloszlás defícó szert valószíűség változó összege, tehát elég agy szabadság fo eseté a χ -eloszlás s özelíthető a ormáls eloszlással. Vaa olya folyamato, ahol so véletle hatás érvéyesül, de eze a hatáso em összegződe, haem szorzóda. Az így létrejövő valószíűség változó logartmusára * Az tt letölthető szmulácó azt mutatja, hogy az egyre agyobb számú egyeletes eloszlású valószíűség változó összegée eloszlása hogya özelít a ormáls eloszláshoz. Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

5 II. A VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ALAPJAI gaz, hogy özel ormáls eloszlású, hsze a hatáso logartmusa összegződ. Tehát maga a változó logartmus ormáls eloszlású lesz. Megjegyzés A cetráls határeloszlás tételée több megfogalmazása létez. Eze ssé ülöböző feltételeel fogalmazzá meg azt az állítást, hogy a valószíűség változó összege stadardzált változatáa eloszlása stadard ormáls eloszlás. Egyes megfogalmazásoba az sem feltétel, hogy az összegbe szereplő valószíűség változó eloszlása azoos legye. Példa. A gyaorlatba soszor felmerül az a érdés, hogy háy mérést ell végezü ahhoz, hogy a mérés adato átlaga a várható értéet előre megadott s ε értéél jobba megözelítse p valószíűséggel (ahol p egy s szám)? Tetsü a ξ, ξ,, ξ mérés adatoat azoos eloszlású függetle valószíűség változóa, amelye várható értée M(ξ )m, szórásu pedg D(ξ )σ (,, ). A 9.3.. éplet szert defált η valószíűség változó özelítőleg stadard ormáls eloszlású, tehát (7.8.5) szert Most azt szereté, hogy legye, ahoa P( η λ ) Φ( λ ). Φ( λ ) p p Φ( λ ). A stadard ormáls eloszlás táblázatából a p értéée smeretébe λ vsszaereshető. Tehát oda jutottu, hogy ξ + ξ +... + ξ m σ λ teljesül p valószíűséggel, ahoa s átalaítással ξ + ξ +... + ξ λσ m s p valószíűséggel teljesül. Ha most az egyelőtleség jobb oldalára megöveteljü, hogy teljesüljö a www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

9. A agy számo törvéye 53 feltétel, aor -re azt apju, hogy λσ ε λ σ. ε Tehát, lye számú mérés eseté a mérés adato átlaga p valószíűséggel a várható érté ε özelségébe erül. Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

0. A MATEMATIKAI STATISZTIKA ELEMEI A matemata statszta a valószíűség-számítás öálló fejezete, amely mérése eredméyeből, az ú. statszta adatoból öveteztet a véletle eseméye valószíűségere, a valószíűség változó smeretle eloszlásfüggvéyere és eze paraméterere. A matemata statszta fejezete: a mtavétel elmélete, becsléselmélet, hpotézsvzsgálat, orrelácó- és regresszóaalízs, szóráselemzés, ísérlete tervezése, hbaszámítás. 0.. Statszta mtavétel A vzsgálat tárgyát épező eleme összességét a hozzáju tartozó számértéeel együtt statszta soasága evezzü. Például golyóscsapágy golyó halmaza, valamt a golyó átmérője. A statszta soaság tartalmazhat véges vagy végtele so elemet. A statszta soaság felfogható valószíűség mezőe s. A ξ valószíűség változó lehetséges értée a soaság elemehez redelt számértée. ξ valószíűség eloszlását a soaság eloszlásáa evezzü. A statszta vzsgálat célja az, hogy mtavétellel (ísérlete végzésével) a soaság eloszlására voatozóa formácót szerezzü. A mtavétel a övetezőet jelet. A soaságból számú elemet véletleszerűe választu, és a választott elemee a beüet értő jellemzőjét megmérjü (például a golyóscsapágy golyó halmazából választott számú golyó átmérőjét megmérjü). Legyee az ezehez tartozó számértée a választás sorredjébe: x, x, x3,, x. Ez egy elemű mta. Mvel a választás véletleszerű egy övetező választás más eredméyt adat. Például x, x,, x. Ematt x, x, x3,, x mtaeleme valószíűség változóa tethető. Vegyü észre, hogy az x jelölése ét jeletése lehet. Vagy egy elemű mta egy orét elemét jelet, és lyeor egy számértéet helyettesít, vagy pedg mt valószíűség változó az elemű mta egy elemét jelépez. Ez a ét jeletés em everedő, de a továbbaba s meghagyju az azoos jelölést, hsze a szövegösszefüggésből mdg vlágosa derül, hogy éppe mely jeletést haszálju. Választhatu vsszatevéssel vagy vsszatevés élül. Ha vsszatevéssel választu (mdg ugyaolya módo), aor az x, x, x3,, x valószíűség változó függetlee, azoos eloszlásúa és eloszlásu megegyez a ξ valószíűség változó eloszlásával. So esetbe, ha a választás vsszatevés élül, aor s teljesül a függetleség. Például ha a soaság elemee a száma olya agy, hogy evés számú elem választása az eloszlást em befolyásolja. A statszta mtavétellel szembe alapvető övetelméy, hogy reprezetatív mtavétel legye, vagys hűe türözze a soaságot, amelyből való. Általába reprezetatív a www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

0. A matemata statszta eleme 55 mtavétel, ha a mtaeleme eloszlása azoos és az alapsoaságéval megegyező, továbbá ha az eleme függetle valószíűség változó. Ez így jeletve egyszerűe tű, azoba a gyaorlatba godosa ell ügyel arra, hogy a reprezetatvtás bztosítva legye, és a rejtett függőségeet s elerüljü. Ha például az ország laosságáa magasságeloszlását szereté 300 elemű mta segítségével jellemez, aor em a osárlabdacsapato tagjaa magasságát ell mtaelemee választa. Ha a mtaelemeet megfelelőe választottu, aor segítségüel öveteztet tudu a soaság eloszlására és az eloszlás paraméterere. 0.. Emprus eloszlásfüggvéy A soaság eloszlásfüggvéyét például özelíthetjü a mtaeleme segítségével létrehozott emprus eloszlásfüggvéyel. Defícó. Tetsü az x, x, x3,, x elemű mtát. Legye F (x) a soaság elmélet eloszlásfüggvéye. Ha az x, x, x3,, x poto mdegyéhez hozzáredelü / valószíűséget, aor dszrét valószíűség-eloszlást apu. Az ehhez tartozó eloszlásfüggvéy F (x) emprus eloszlásfüggvéy, amt úgy rajzolu fel, ahogy a dszrét eloszlás eseté orábba eljártu: ahol azo x - száma, melyere x < x. F ( x), (0...) A defícóból látsz, hogy az F (x) emprus eloszlásfüggvéy a ξ<x eseméy relatív gyaorságát adja. Korábba a mérés adato leíró jellemzése sorá már láttu, hogy a umulatív relatív gyaorsággal jellemezhetjü a mérés adato eloszlását. A valószíűségelmélet smeret brtoába most még többet s állíthatu. A (0..) fejezésből övetez, hogy am a ξ<x eseméy gyaorságát adja. F ( x), Korább smerete alapjá a ξ<x eseméy elmélet valószíűsége: P ( ξ < x) F( x). Ha most -t mt valószíűség változót tetjü, aor azt s tudju, hogy bomáls eloszlású (Beroull-eloszlású) valószíűség változó, melye paramétere: pf(x). Ie a Beroull-eloszlás várható értéét felhaszálva az övetez, hogy M ( F ) F( x), Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

56 II. A VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ALAPJAI vagy -el elosztva az egyelet mdét oldalát ( F ( x) ) F( x) M. A agy számo Beroull-féle törvéyéből még az s övetez, hogy F ( x) F( x), vagys az emprus eloszlásfüggvéy sztochasztusa tart az elmélet eloszlásfüggvéyhez. Azt aptu tehát, hogy az emprus eloszlásfüggvéy olya jó tulajdoságú statszta függvéy, amellyel jól özelíthető az elmélet eloszlásfüggvéy. 0.3. Emprus sűrűségfüggvéy Az emprus eloszlásfüggvéyhez hasolóa defálhatju az emprus sűrűségfüggvéyt s. Defícó. A valószíűség sűrűségfüggvéy s özelíthető a tapasztalat sűrűségfüggvéyyel, amelyet az ú. sűrűséghsztogrammal ábrázolható. Ismét egy x, x, x3,, x elemű mtából dulu. Osszu fel azt az tervallumot, amelybe az x értée ese so s x hosszúságú szaasz összegére. A j-ed x j szaasz fölé rajzolju téglalapot, amelye magassága legye: j x j j re, (0.3..) ahol a mtaeleme száma, j / a j. tervallumba eső mtaeleme relatív gyaorsága, amelyet elosztva az tervallum hosszával sűrűség jellegű meységet apu. Valameyy tervallum fölé emelt téglalapo együttese rajzolja az f (x) sűrűséghsztogramot. A sűrűséghsztogram tulajdoságat már láttu az.. alfejezetbe. A sűrűséghsztogramról az emprus eloszlásfüggvéyhez hasolóa belátható, hogy sztochasztusa tart az elmélet sűrűségfüggvéyhez, vagys f ( x) f ( x). 0.4. Emprus várható érté Az s. x,, x, x3, x elemű mta segítségével özelíthetjü a soaság más paraméteret Defícó. Az elmélet várható érté özelítésére haszálatos az x emprus várható érté, amelye defícója: www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

0. A matemata statszta eleme 57 x x + x + + x x. (0.4..) Ezt a defícót a mérés adato leíró jellemzése sorá már láttu. Most azoba a valószíűség-számítás megsmert módszerevel az emprus paramétere tulajdoságat mélyebbe s megsmerhetjü. Mvel x, x, x3,, x mtaeleme valószíűség változó, így a belőlü épezett függvéye s valószíűség változó, ezért az emprus jellemző valószíűségelmélet módszereel ezelhető (pl. számolható várható értéü, szórásu, stb.). Az emprus várható érté elmélet várható értée Tegyü fel, hogy a soasága létez az elmélet várható értée, vagys M ( ) m ξ, amely az elmélet eloszlás várható értée. Kérdés, hogy az emprus várható érté várható értée hogya vszoyul az elmélet várható értéhez? Tétel. Az x emprus várható érté várható értée megegyez az eloszlás m elmélet várható értéével. Bzoyítás. A várható érté épzésée szabályaval épezzü x várható értéét. A bzoyítás sorá haszálju, hogy valamey mtaelem eloszlása azoos, és várható értéü azoos, és megegyez a soaság elmélet várható értéével, vagys M ( x ) m mde értére. Tehát M és ezzel beláttu a tétel állítását. x ( x) M M x M ( x ) m m, (0.4..) Az x valószíűség változóa em csa a várható értéét, de a szórását s számolhatju. Az emprus várható érté elmélet szórása Tegyü fel, hogy a soasága létez a szóráségyzete, azaz ( ) meora az emprus várható érté szórása? D ξ σ. Kérdés, hogy Tétel. Az emprus várható érté szórása a soaság elmélet szórása osztva -el, ahol a mtaeleme száma. Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

58 II. A VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ALAPJAI Bzoyítás. A szóráségyzet épzés szabályat alalmazzu, és felhaszálju, hogy a mtaelem szóráségyzete azoos és megegyez a soaság szóráségyzetével, vagys D ( ) σ, mde eseté. x D ( x) σ D x σ, és e gyövoással apju az emprus várható érté szórását: D ( x) σ. (0.4.3.) 0.5. Emprus szóráségyzet Az emprus várható értéhez hasolóa az x, x, x3,, x elemű mta elemee segítségével épezhető az emprus szóráségyzet s, ahogya az már orábba láttu a mérés adato leíró jellemzése sorá. Most megsmételjü a defícót, majd a valószíűségelmélet módszerevel az emprus szóráségyzet újabb tulajdoságat mutatju meg. Defícó. Az emprus szóráségyzet jele s, és a defícója: s ( x x) + ( x x) + + ( x x) ( x x). (0.5..) Mvel a valószíűség változóa tetett mtaelemeből épezett emprus szóráségyzet maga s valószíűség változó, ezért épezhető az elmélet várható értée. Az emprus szóráségyzet elmélet várható értée Tétel. Az emprus szóráségyzet várható értée a soaság szóráségyzetée ( )/szerese, vagys ). (0.5..) M ( s σ Bzoyítás. Az emprus szóráségyzettel apcsolatba orábba már beláttu (..3) az alább összefüggést: s ( x x) x x. www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

0. A matemata statszta eleme 59 z A továbbaba bevezetjü a z z x m;,, meységet, melye átlaga,. Felhaszálva z defícóját, gaz az alább összefüggés s: Ie s fejezhető a z -el: z z x m s ( z z) Ie már adód a tétel bzoyítása: x + m / x x. / z z ( s ) M z M ( z ) M z M σ σ M z zz j + σ < j σ. σ σ. Itt haszáltu, hogy j z, z függetle valószíűség változó, j -re. Ebből övetez, hogy a zárójelbe lévő fejezés másod tagjáa várható értée zérus, hsze a zárójelbe lévő másod tag várható értée éppe a ét változó ovaracája, amelyről tudju, hogy függetle változó eseté értée zérus. A tétel alapjá tehát látju, hogy az emprus szóráségyzet szépséghbája, hogy várható értée em egyelő az elmélet szóráségyzettel. Ezért a gyaorlatba s helyett az s s ( x x) (0.5.3.) ú. orrgált emprus szóráségyzettel dolgozu. Erre már teljesül, hogy ( s ) σ M. (0.5.4.) Látsz, hogy agy -re s és s eltérése elhayagolhatóvá vál. Megmutatható az s, hogy s σ, amből vszot s defícója alapjá övetez, hogy s σ, hsze határértébe s és s megegyez. Az emprus várható érté és az emprus szóráségyzet defícóhoz hasolóa az x, x, x3,, x elemű mta elemee felhaszálásával defálható az emprus medá, az emprus terjedelem, a. emprus mometum stb. Például a. emprus mometum defícója: Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

60 II. A VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ALAPJAI x A. emprus cetráls mometum defícója pedg az alább:. (0.5.5.) ( x x). (0.5.6.) Az emprus eloszlásfüggvéy és az emprus jellemző a soaság eloszlásfüggvéyée és jellemző adataa (elmélet jellemzőe) özelítésére haszálatos. Az alalmazáso sorá gyara felmerül az a érdés, hogy az emprus jellemzőe mlye az eloszlásu. Általáosa em válaszolju meg a érdést, de a gyaorlat életbe gyaor N(m, σ) ormáls eloszlású soaság eseté megadju x és s eloszlását. 0.6. x és s eloszlása ormáls eloszlás eseté Tétel. N(m,σ) eloszlású soaság eseté x eloszlása: σ N m,. Bzoyítás. Az x eloszlását öyű megtalál, hsze x függetle ormáls eloszlású valószíűség változó összege, am, mt orábba láttu, maga s ormáls eloszlású. σ Korábba azt s láttu, hogy M ( x) m, D( x). Tehát x eloszlása: σ N m,. (0.6..) Az s eloszlásáa megeresése eél evésbé egyszerű, ezért tt bzoyítás élül adju meg. Tétel. N(m,σ) eloszlású soaság eseté az foú χ eloszlású. s σ valószíűség változó szabadság Megjegyzése: χ eloszlású való-. Mvel s s, ezért az σ σ szíűség változó. s σ s szabadság foú. Belátható az s, hogy x éx s függetle valószíűség változó. Mvel s és csa ostasba ülöböze, ezért x és s s függetlee. s www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

. A BECSLÉSELMÉLET ELEMEI A műsza és tudomáyos gyaorlatba soszor előfordul, hogy a vzsgáladó soaság elmélet eloszlásfüggvéyée alaja smert (tudju például, hogy a soaság ormáls eloszlású), de em smerjü az eloszlás paraméteret (pl. ormáls eloszlás eseté az m és σ paramétereet). A becsléselmélet tárgya az smeretle paramétere becslése, amelyet a mtavétel sorá apott adato felhaszálásával végzü el. Ha az smeretle paramétert számértéel becsüljü, aor potbecslésről beszélü, ha pedg tervallumot adu meg, amely a szóba forgó paramétert agy valószíűséggel tartalmazza, aor tervallumbecslésről beszélü. Az egyszerűség edvéért tegyü fel, hogy az eloszlásfüggvéy csa egy paramétertől függ. Ismert tehát az F(x,a) eloszlásfüggvéy, de em smerjü az a paraméter értéét. Mt ahogy az előző fejezetbe az emprus mometumo esetébe tettü, az a paraméter becslésére az x, x,, x mtaelemeet haszálju. A mtaelemeből épzett a ˆ aˆ( x, x,..., x ) függvéy szolgálhat az a paraméter becslésére. Általába a mtaelemeből épezett függvéyeet statszta függvéyee, vagy rövde statsztáa evezzü. Mvel a statszta valószíűség változó függvéye, ezért maga s valószíűség változó. Kérdés azoba, hogy hogya válasszu meg a statszta függvéyt? Az a paraméter jó becsléséhez haszált statszta em lehet tetszőleges, haem bzoyos jó tulajdoságoal ell redeleze. Hogya juthatu jó becslésehez? Az eléggé ylvávaló, hogy az â statsztát aor tetjü az a paraméter jó becslésée, ha eloszlása mél jobba ocetrálód az a paraméter valód értée örül. A potosabb fogalmazás érdeébe felhaszálju az alább defícóat. Defícó. Az a paraméter becslésére haszált â statsztát torzítatlaa evezzü, ha várható értée egyelő a-val, vagys M ( aˆ) a. Példaét, az elmélet várható értée az emprus várható érté torzítatla becslése. Az elmélet szóráségyzete az emprus szóráségyzet torzított becslése, vszot a orrgált emprus szóráségyzet már torzítatla becslés. Defícó. Két â és â statszta özül azt tetjü hatásosabba, amely szórása sebb. Tehát, ha www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

6 II. A VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ALAPJAI D aˆ ) < D ( aˆ ), ( aor az â becslés hatásosabb, mt az â becslés. Defícó. Az a paramétere egy aˆ, aˆ,..., aˆ becsléssorozatát ozsztese evezzü, ha â sztochasztusa tart a-hoz, vagys: aˆ a. Például az emprus várható érté ozsztes becslése a várható értée, hsze x m. Hasoló módo az emprus szóráségyzet, bár em torzítatla, de ozsztes becslése a szóráségyzete, hsze s σ. Felvetőd a érdés, hogya lehet olya becsléseet létrehoz, amelye redeleze a fet tulajdoságoal, és azo özül mél többel? Több lye módszer létez, eze özül az alábbaba a mometumo módszerével és a maxmum lelhood módszerrel smeredü meg... A mometumo módszere Elmélet mometumo A orábbaba defáltu már a statszta soaság elmélet és emprus mometumat. Most összefoglalju a mometumoal apcsolatos eddg smereteet. A ξ valószíűség változó. elmélet mometuma: α M( ξ ). (...) A. elmélet mometumot dszrét esetbe az alább éplet alapjá számolu: α x p, (...) ahol az x értée a ξ valószíűség változó lehetséges értée, a p -számo pedg a hozzáju redelt valószíűség értée. Folytoos esetbe az elmélet. mometum számolása az alább: x α f ( x ) dx. (..3.) A defícós egyeleteből látsz, hogy az első elmélet mometum a valószíűség változó várható értée: www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

. A becsléselmélet eleme 63 α M( ). ξ Az elmélet. cetráls mometum defícós egyelete: ( ξ M( ξ ) M ) µ. (..4.) Dszrét esetbe az elmélet. cetráls mometum számolása: ( x M( ξ )) µ p. (..5.) Folytoos esetbe az elmélet. cetráls mometum számolása: ( x M( ξ ) ) µ f ( x ) dx. (..6.) A defícós egyeletből látsz, hogy az elmélet másod cetráls mometum a valószíűség változó szóráségyzete: Gyors elleőrző feladat µ D ( ). ξ.. Mutassu meg, hogy a µ első cetráls mometum értée ulla!.. Mutassu meg, hogy a µ másod cetráls mometum fejezhető az α és az α mometumoal! Emprus (tapasztalat) mometumo Az x, x, x3,, x elemű mta elemee felhaszálásával defálható az emprus mometumo s. Mt már orábba láttu a. emprus mometum defícója: α. (..7.) x A. emprus cetráls mometum defícója pedg az alább: µ ( x x). (..8.) Felhívju a fgyelmet arra, hogy az elmélet mometumo esetébe az x értée a valószíűség változó lehetséges értéet jelöl, míg az emprus mometumo eseté az x értée az elemű mta eleme. Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

64 II. A VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ALAPJAI A mometumo módszere Eze utá rátérhetü a mometumo módszerée tárgyalására. A módszer léyege az, hogy az elmélet mometumoat a eresett paraméterrel fejezve egyelővé tesszü a megfelelő emprus mometumoal. Az így apott egyeletből általába fejezhető a eresett paraméter a mtaeleme segítségével. A mometumo módszere tehát potbecslés. Példa x ( x) λe λ sűrűségfüggvéyel jellem- Határozzu meg a mometumo módszerével az zett expoecáls eloszlás λ paraméterét. Korábba már láttu, hogy f M ( ξ ) xf ( x) dx. λ 0 Ez az elmélet első mometum. A λ becslésére haszált λˆ -t tehát úgy eressü meg, hogy a λˆ -pal fejezett elmélet mometumot egyelővé tesszü az emprus első mometummal: Tehát a λˆ paraméter ˆ λ x x. ˆ λ. (..9.) x Példa A mometumo módszerével adju becslést a ormáls eloszlás m és σ paraméterére! A mometumo módszere alapjá a várható értére úgy adhatu a becslést, hogy az első elmélet mometumot egyelővé tesszü az első emprus mometummal: α, α és mvel ezért m becslésére a mtaeleme átlagát haszálhatju: α m és α x x, (..0.) www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

. A becsléselmélet eleme 65 mˆ x x. (...) A mometumo módszere alapjá a σ szóráségyzetre úgy adhatu becslést, hogy a másod elmélet mometumot s egyelővé tesszü a másod emprus mometummal. Tehát α α. (...) Mvel µ, α α és e ˆ σ α α x p x ( x x) s. Azt aptu tehát, hogy a mometumo módszere alapjá a szóráségyzetre az emprus szóráségyzet ad becslést... A maxmum lelhood módszer A maxmum lelhood (maxmáls valószíűség) módszert először dszrét valószíűségeloszláso mutatju be. Legye P ( ξ x) p( x, a), vagys szorítozzu egy a paraméter becslésére. Adott x, x,, x elemű mta eseté aa valószíűsége, hogy éppe ez a mtasorozat jö létre, a mtaeleme függetlesége matt: L( x, x,..., x, a) p( x, a) p( x, a) p( x, a). (...) Az L függvéyt lelhood függvéye evezzü. A módszer léyege az, hogy eressü az a paramétere azt az â értéét, amely mellett L-e maxmuma va, vagys a fet apott mta megvalósulásáa valószíűsége maxmáls. Látsz, hogy a maxmum lelhood módszer s potbecslést ad. A maxmum megeresését általába a dfferecálszámítás módszere szert végezzü el. Ismeretes, hogy a maxmum megereséséhez a függvéy a paraméter szert derváltját ell ullával egyelővé teü. Azoba a (..) függvéy szorzótéyezőből áll, a szorzat derváltja pedg boyolult fejezés. Egyszerűbbé vál a feladat, ha em L, haem ll maxmumát eressü. A logartmusépzés sorá a szorzat összeggé vál, és az összeg Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

66 II. A VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ALAPJAI derválása egyszerűbb fejezésre vezet. Mvel a logartmusfüggvéy mooto övevő, ezért a maxmumhelye a logartmusépzés matt em változa, tehát ugyaott vaa, ahol az L függvéy maxmuma. Ilyeor tehát az l L( â ) összeg maxmumát eressü, azaz megoldju a l p( x,â ) d l L( â ) 0 (...) dâ egyeletet. Természetese az egyelet megoldását övetőe meg ell vzsgál, hogy a talált szélsőérté helye maxmumo-e, vagys, hogy teljesül-e a megoldás helyé a feltétel. d l L( â ) < 0 d â Ha az L függvéy több paramétertől függ, aor a maxmumeresést valamey paraméter függvéyébe ell elvégezü, és lyeor a (..3) fejezésbe parcáls derválta szerepele. Példa. A Posso-eloszlás eseté adju becslést a λ paraméterre a maxmum lelhood módszerrel. A Posso-eloszlás eseté a valószíűség értéeet a λ P( ξ, λ) e! fejezés adja. Végezzü függetle ísérletet, melye sorá a ξ változó mért értée:,,,. A lelhood függvéy tehát: λ ( ˆ λ) λ ( ˆ λ) λ ( ˆ λ) λ L(,,...,, ˆ) λ e e... e!!! A lelhood függvéy logartmusa: ( l ˆ λ l! ˆ λ) l L(,,...,, ˆ) λ. A lelhood függvéy logartmusáa derváltja:. www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

. A becsléselmélet eleme 67 ahoa d l L(,,...,, ˆ) λ ˆ ˆ dλ λ ˆλ. Azt aptu tehát, hogy a Posso-eloszlás λ paraméterére a lelhood becslés alapjá apott λˆ a mérés eredméye számta özepe, amely a várható érté torzítatla becslése. A maxmum lelhood módszer folytoos esetbe Folytoos eloszlás eseté a lelhood-függvéy alaja: 0, L f x, a) f ( x, a) f ( x, ). (..3.) ( a Egyébét az a paraméter becslésére haszált â megeresése ugyaúgy megy, mt dszrét esetbe. Példa. Tetsü ugyaazt a feladatot, amelyet a mometumo módszerével orábba már megoldottu. Tehát most a maxmum lelhood módszerrel adju becslést az expoecáls eloszlás λ paraméterére. A sűrűségfüggvéy alaja: f ( x) λe λ. A (..3) feje- x zés alapjá a lelhood-függvéy: L ( ˆ) λ ˆ λx ˆ λx ˆ λx e e e. Vesszü a lelhood függvéy természetes alapú logartmusát: x l L l ˆ λ ˆ λ. Képezzü ee a függvéybe a derváltját, és tegyü egyelővé ullával: l L ˆ λ ˆ λ x 0. Ie fejezhető a eresett λˆ paraméter: Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

68 II. A VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ALAPJAI www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK x x ˆ λ. Látju, hogy ugyaarra az eredméyre jutottu, mt a mometumo módszerével. Lássu egy példát ét paraméter becslésére a maxmum lelhood módszerrel. Példa. Legye a ξ valószíűség változó N(m,σ) eloszlású. mérés alapjá adju becslést az m várható értére és a σ szórásra. Az eloszlás valószíűség sűrűségfüggvéye ) ( ) ( σ π σ m x e x f. A lelhood-függvéy tehát ˆ ) ˆ ( ˆ ) ˆ ( ˆ ) ˆ ( ˆ... ˆ ˆ ˆ) ˆ,,,...,, ( σ σ σ π σ π σ π σ σ m x m x m x e e e m x x x L. A lelhood-függvéy logartmusa: m x m x x x L ˆ ˆ ) ( l ˆ l ˆ) ˆ,,,...,, ( l σ π σ σ. A parcáls dervált mˆ szert: 0 ˆ ˆ ) ( ˆ ˆ ) ( ˆ ˆ) ˆ,,,...,, ( l m x m x m m x x x L σ σ σ, ahoa mˆ fejezhető: x m ˆ. A várható értére tehát az emprus várható érté ad jó becslést a maxmum lelhood módszer szert. A parcáls dervált σˆ szert:

. A becsléselmélet eleme 69 ahoa ˆ σ fejezhető: l L( x, x,..., x ˆ σ, mˆ, ˆ) σ 3 ˆ σ ˆ σ ( x ˆ ) m 0, ( x mˆ ) σ s. ˆ A maxmum lelhood módszer szert tehát σ -re a legjobb becslést az emprus szóráségyzet adja. A szórás becslése tehát: ( x mˆ ) ˆ σ..3. Itervallumbecslés Az â statszta becslés és az elmélet a érté özött még a legjobb tulajdoságú statsztá eseté s va véletle jellegű eltérés. Lehetőség va azoba az x, x,, x mtára támaszodva olya â és â statsztá létrehozására, amelyere teljesül, hogy az a paraméter értée agy valószíűséggel az ( a ˆ, a ˆ ) tervallumba található. Ezzel apcsolatos a övetező defícó. Defícó. Legye p ullához özel, s valószíűség. Az x, x,, x, elemű mta segítségével általába létrehozható olya â és â statszta, amelyere teljesül az, hogy P aˆ a aˆ ) p (. Az ( a ˆ, a ˆ ) véletle helyzetű tervallumot ofdeca (megbízhatóság)- tervalluma evezzü. Az ( p) 00%-ot a megbízhatóság sztjée evezzü. Az tervallum ezdő és végpotját ofdeca határoa evezzü. Általába p0,; p0,05; p0,0. Az alábbaba éháy, a gyaorlatba gyara előforduló példá eresztül mutatju be a ofdeca-tervallum eresésée módszeret. Kofdeca-tervallum az m várható értére N(m, σ) eloszlás eseté, ha σ smert. Legye Az x, x,, x elemű mta, és vezessü be az u új valószíűség változót: x m x m u. (.3..) σ σ Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

70 II. A VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ALAPJAI Korább smerete alapjá x egy N( m, σ / ) eloszlású valószíűség változó. Azt s látju, hogy u stadardzált valószíűség változó, tehát u N(0,) eloszlású valószíűség változó. Az N(0,) eloszlás táblázata alapjá meghatározható az az u p szám, amelyre teljesül az, hogy: u p x ( p u u p ) e π u P u A orábba taulta alapjá u p x π e u p dx Φ( u p p ) Φ( u p dx p. (.3..) ) Φ( u ahoa (.3.) és (.3.3) egybevetésével azt apju, hogy p Φ ( u p ). p ), (.3.3.) Például p0,05 eseté az Φ(x) táblázatából: u p,96 (lásd a Függelé 4.4 fejezetét!). Mvel p valószíűséggel érvéyes az alább összefüggés: u x m σ p u p a jobb és bal oldal egyelőtleség ülö-ülö megoldásával m-re a övetező egyelőtleségere jutu:, σ σ x u p m x + u p. (.3.4.) Ez azt jelet, hogy az m várható érté p valószíűséggel az x u p σ, x + u p σ tervallumba va. Ez tehát m-re az ( p) 00% sztű ofdeca-tervallum. Soszor úgy vetőd fel a érdés, hogy előírt p eseté meoráa ell lee a mta elemszámáa ahhoz, hogy a ofdeca tervallum félhossza legfeljebb d legye. Ilyeor a d u p σ www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

. A becsléselmélet eleme 7 egyelőtleség megoldása megadja, hogy mlye számál ell -e agyobba lee. Az egyelőtleség megoldásával azt apju, hogy σ u p. (.3.5.) d Kofdeca-tervallum az m várható értére N(m, σ) eloszlás eseté, ha σ em smert. Legye x, x,, x elemű mta, és vezessü be a t új valószíűség változót: x m t. s A t valószíűség változó átírható a övetező formára: A számlálóba lévő x m t σ /. s σ x m, mt láttu N(0,) eloszlású változó. A evezőbe σ / s, a orábba alapjá szabadság foú χ -eloszlású valószíűség változó. σ Ie övetez, hogy t szabadság foú Studet-eloszlású valószíűség változó. Az szabadság foú Studet-eloszlás F(t) eloszlásfüggvéyée smeretébe adott p-hez megadható az a t p érté, amelyre P( t t t ) F( t ) F( t ) p. p p A számoláso öyítése érdeébe általába em az F(t) eloszlásfüggvéy táblázatát szotá megad, haem olya táblázatot, amely p-hez t p -t redel hozzá. A t változó defícóját fgyelembe véve ez azt jelet, hogy a táblázatból megapju az a t p értéet, amelyre a p p x m t p t p, s egyelőtlesége p valószíűséggel teljesüle. A ét egyelőtleségből az m várható értéet fejezve azt apju, hogy: s s x t p m x + t p. (.3.6.) Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

7 II. A VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ALAPJAI Ez azt jelet, hogy az m várható érté p valószíűséggel bee va az tervallumba, vagys s s x t p, x + t p (.3.7.) s s P( x t p m x + t p ) p. Kaptu tehát az m paraméterre egy ofdeca tervallumot az ( p)00% megbízhatóság szte. Kofdeca tervallum a szórásra A módszer léyege megegyez a orábbaal. Legye a soaság N(m, σ) eloszlású! Legye p csy szám, és eressü a σ szórásra ( p)00% megbízhatóság szete ofdeca tervallumot. Legye x, x,, x elemű mta, és vezessü be a ν új valószíűség változót: s ν. σ Korább smerete alapjá a ν valószíűség változó szabadság foú χ eloszlású valószíűség változó. Adott p valószíűséghez az szabadság foú χ eloszlás eloszlásfüggvéye segítségével találhatu olya tervallumot (lye soféleéppe választható, tehát a választás em egyértelmű), amelyre gaz, hogy P ν ν ν ) F( ν ) F( ) p. ( ν A χ -eloszlás em szmmetrus, tehát a szoásos szmmetrus tervallumválasztás em megoldható. A szoásos tervallumválasztás az alább: p F ( ν ), p F( ν ). Az lye választás teljesít azt a feltételt, hogy s ( ν ν ) F( ν ) F( ν ) p. σ P A szoásos táblázato a p értéhez azt a v értéet adjá meg, amelyre gaz, hogy www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

. A becsléselmélet eleme 73 P( ν < ν ) p. Ezért, ha a táblázatbel értéet a szoásoa megfelelőe χ -vel jelöljü, aor: ν χ és ν χ. p p A zárójele belül átredezve az egyelőtleséget, arra az evvales állításra jutu, hogy s P σ χ s χ ( p p A szóráségyzet ofdeca tervalluma tehát: s s ; χ p χ p ) p. a σ szórás ofdeca tervalluma égyzetgyövoás utá:, s ; χ p χ s p..4. Statszta hpotézse vzsgálata A statszta hpotézsvzsgálato sorá feltevéseet teszü az eseméye valószíűségére, várható értéére, varacájára, ét változó függetleségére stb. Ezeet a feltevéseet evezzü statszta hpotézsee. A hpotézsvzsgálat a hpotézse elfogadásáa vagy elvetésée módszerevel foglaloz. A hpotézseet statszta módszereel elleőrzzü. Eze az ú. statszta próbá. Melőtt a statszta próbáal megsmeredé, defálu ell éháy új fogalmat. Defícó. Azt a feltevést, amelyet gaza tételezü fel, ullhpotézse evezzü, és H o -lal jelöljü. Például, ha feltesszü, hogy a ξ valószíűség változó várható értée m o, aor a ullhpotézs: H o : M(ξ)m o. (.4..) Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

74 II. A VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ALAPJAI Ezzel szembe az ú. ellehpotézs, amelyet H-val jelölü: H: M(ξ)m m o. (.4..) A ét hpotézst mdg úgy ell megalot, hogy egymást záró feltevése legyee. A hpotézsvzsgálat meete Legye a ξ valószíűség változó elemű statszta mtája x, x,, x. Az a paraméter becslésére az x, x,, x mtaeleme egy a ˆ aˆ( x, x,..., x ) statszta függvéyét haszálju. A dötés úgy törté, hogy a megadott 0<p< számhoz a statszta összefüggése segítségével olya T R elfogadás tartomáyt eresü, amelyre gaz az, hogy a H o ullhpotézs feállása eseté az â statszta függvéy értée p valószíűséggel bee va a T tartomáyba. Abba az esetbe tehát, ha P( â T H o ) p, aor 00( p)% szgfaca szte elfogadju a H o ullhpotézst. Ha elvetjü a H o hpotézst, vagys a H ellehpotézst fogadju el. Az egymtás u-próba aˆ T, aor Adott az N(m,σ) ormáls eloszlású soaság. Elleőrz aarju, hogy m egyelő-e adott m o számmal. Ismerjü (például orább statszta vzsgálatoból) σ értéét. Kérdés, hogy az x mtaátlag meora eltérése eseté feltételezhetjü, hogy a várható érté m o? A ullhpotézs: Az ellehpotézs: H o : M(ξ)m o. H: M(ξ)m m o. Az u-próba meete a övetező. Készítü egy próbafüggvéyt (statszta függvéyt): x m u, σ www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

. A becsléselmélet eleme 75 amelyről a orábba alapjá tudju, hogy u N(0,) stadard ormáls eloszlású valószíűség változó. A ofdeca tervallum apcsá beláttu, hogy az u valószíűség változóa p valószíűséggel megadható a ofdeca tervalluma, azaz P( u p x m u σ p ) p. (.4.3.) Az u p érté a stadard ormáls eloszlás eloszlásfüggvéyée táblázatából meghatározható. Ha most feltesszü, hogy gaz a ullhpotézs, vagys mm o, aor u-ba behelyettesítve ezt az értéet, számíthatju az alább u s értéet: u s x mo. σ A ullhpotézs gaz volta eseté (.4.3) szert fe ell álla, hogy us u p. Ebbe az esetbe tehát 00( p)% bztoság szte elfogadju a ullhpotézst. Ha azt találju, hogy u s > u p, aor 00( p)% bztoság szte elutasítju a ullhpotézst, vagys a H ellehpotézst fogadju el. Mdét dötésü a véletle folytá lehet hbás. Elsőfajú hbát övetü el, ha H o gaz, de elvetjü, mert úgy találju, hogy u > u. Másodfajú hbát övetü el, ha a H o hpotézs em gaz, de a véletle folytá elfogadju, mert úgy találju, hogy u < u. s p s p Egymtás t-próba A gyaorlatba általába a ormáls eloszlású változóa emcsa a várható értée, haem a szórása s smeretle. Ilye esetbe tudju számíta a s ( x x) orrgált szóráségyzetet. A ullhpotézs most s: H o : M(ξ)m o, amelye elleőrzésére a Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

76 II. A VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ALAPJAI t x m s próbafüggvéy haszálható. A orábba alapjá tudju, hogy t egy szabadság foú Studet-eloszlású valószíűség változó. A Studet-eloszlás táblázata alapjá p-hez megadható az a t p táblázat érté, amelyre gaz, hogy P( t t t ) p. p Ha most az u-próbához hasolóa behelyettesítjü a próbafüggvéybe a ullhpotézs által feltételezett mm o értéet, aor t s próbastatsztát apu: t p x m s o s, amelyre H o feállása eseté gaza ell lee, hogy t s x m s t o p. (.4.4.) Ha ez az egyelőtleség teljesül, aor 00( p)% bztoság szte elfogadju a H o hpotézst. Ha (.4.4) em teljesül, vagys azt találju, hogy t s > t p, aor a H o ullhpotézst elutasítju, és a H ellehpotézst fogadju el. F-próba Az F-próba alalmazásával eldöthető, hogy ét ormáls eloszlású, smeretle várható értéű statszta soaság szórása azoos-e. A ét valószíűség változó legye ξ és η. Legye ξ eloszlása N(m,σ ), η eloszlása pedg N(m,σ ), továbbá legye x, x,, x a ξ változóhoz tartózó mta, és y, y,..., y az η változóhoz tartozó mta! A ét mta legye függetle egymástól! A ullhpotézs: H o : D (ξ)d (η) (azaz σ, vagys σ σ ). σ Jelölje s a ξ változóhoz tartozó mta emprus szóráségyzetét, és s az η változóhoz tartozó mta emprus szóráségyzetét. A orábbaba láttu, hogy www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

. A becsléselmélet eleme 77 σ s szabadságfoú χ -eloszlású valószíűség változó, és hasolóa σ s szabadságfoú χ -eloszlású valószíűség változó. Mvel a mtá függetlee, eze a valószíűség változó s függetlee. Ebből a ét valószíűség változóból épezhető egy új F valószíűség változó az alábba szert: F s σ s σ σ σ s s. (.4.5.) A orább smerete alapjá az F valószíűség változó (, ) szabadság foú F-eloszlású. Az F eloszlás alapjá meghatározható azo az F és F értée, amelyere gaz, hogy és p P( F < F ), p P( F > F ). (.4.6.) Tehát az F valószíűség változó p valószíűséggel tartózod az ( F, ) ívül, azaz p valószíűséggel tartózod a tartomáyo belül. F tartomáyo Ha most feltesszü a ullhpotézs érvéyeségét, vagys hogy σ σ, aor (.4.5) alapjá az F s próbastatszta: F s s. (.4.7.) s Általába olya táblázatu va, amvel a (.4.6) relácóhoz tartozó értéet tudju meghatároz. Ilye a Függelé 5.9. fejezetébe található táblázat s. Ha most (.4.7)- be a számlálóba tesszü a agyobb orrgált emprus szóráségyzet értéet, aor F s értée agyobb lesz -él. A táblázatból meghatározzu F értéet, és megézzü, hogy teljesül-e az F s F Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

78 II. A VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ALAPJAI relácó. Ha teljesül, aor ez már elegedő 00( p)% szgfaca szte a H o ullhpotézs elfogadásához. Ee oa az, hogy a más feltétel a övetező: P ( F < s > F ) P. (.4.8.) Fs F Ha vszot F s -t úgy választottu, hogy F s, aor /F s. Ha megézzü az F táblázatot, aor láthatju, hogy a gyaorlatba haszálatos s p értée eseté a táblázat értée md agyobba, mt. Követezéséppe /F >, tehát (.4.8) a gyaorlat számára léyeges esetebe mdg teljesül. Az F-próbát tehát az alábba szert végezzü. Első lépésbe meghatározzu F s értéét. Az F s értéét úgy ell veü, hogy a számlálóba va a agyobb s érté. Nem szabad eltéveszte a szabadság foo sorredjét. Ha s s szabadság foa, aor, szabad- s s és az szabadság foa, pedg az ság foról va szó. Másod lépését az F-eloszlás táblázata alapjá meghatározzu a 00( p)% szgfaca szthez tartozó F értéet (a táblázat. soráa és. oszlopáa értéét ell ve). A harmad lépésbe összehasolítju F s és F értéét. Ha gaz az, hogy F s F p, aor a H o hpotézst 00( p)% szgfaca szte elfogadju, vagys elfogadju, hogy σ σ. Elleező esetbe a H o hpotézst 00( p)% szgfaca szte elvetjü, azaz σ σ, mert az eltérést szgfása tetjü. Illeszedésvzsgálat χ -próbával A matemata statsztába gyara előfordul, hogy azt ell vzsgál, valamely mta származhat-e adott, smert paramétereel redelező eloszlásból. Ezt a érdést vzsgáló statszta próbát lleszedésvzsgálata evezzü. A próba az smert eloszlás alapjá várható gyaorságo és a mta gyaorsága özött eltérés vzsgálatából áll. Nézzü, hogya megy ez dszrét valószíűség változó eseté. Legye A, A,, A r teljes eseméyredszer és vzsgáladó az, hogy gaz-e az eseméye valószíűségere P ( A ) p,,,, r. A ullhpotézs: Az ellehpotézs: H o : P( A ) p,,..., r. www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

. A becsléselmélet eleme 79 H :, amelyre P( A ). p Végezzü el a ísérletet -szer (tehát észítsü egy elemű mtát!). Az eredméy szert A -szer, A -ször... A r r -szer övetez be. Nylvá r A gyaorságo valószíűség változó, méghozzá orábba beláttu, hogy bomáls eloszlást övete. A bomáls eloszlás várható értée alapjá tehát smerjü elmélet várható értéét:. M ( ) p. A megfgyelt és az elméletleg várt gyaorság eltéréséből próbastatsztát észítü az alábba szert: r ( p ) χ. p Belátható (ezt most em tesszü meg), hogy ha mde határo túl ő, aor a χ -el jelölt valószíűség változó r szabadság foú χ -eloszlású (a gyaorlatba a megfelelő özelséghez már elegedő, ha p 0 mde -re). A próbát eze utá a övetező módo végezzü el. Megadju a ívát p szgfaca sztet és a χ táblázatból eressü az ehhez tartozó χ p értéet, amelyre Ha a mtából számolt értére gaz, hogy P( χ χ p ) p. χ p p r ( ) sz χ sz χ p, aor a H o ullhpotézst elfogadju. Elleező esetbe a a H o ullhpotézst elvetjü, és a H ellehpotézst fogadju el. Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

80 II. A VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ALAPJAI.5. A regresszós egyees becslése Leárs regresszó eseté a regresszós egyeesre a és b paraméterére apott értée a (6.3.) és a (6.3.) alapjá a övetező: M( ξη ) M( ξ )M( η ) cov( ξ, η ) D( η ) R( ξ, η ), M( ξ ) M ( ξ ) D ( ξ ) D( ξ ) (.5..) b M( η ) am( ξ )). (.5..) a Ha smerjü a ét változó együttes eloszlását, aor a paraméterebe szereplő fejezése számolható. Soszor a mérése sorá em smert az együttes eloszlás. Ebbe az esetbe a paramétere becslése úgy végezhető, hogy az elmélet orrelácós együtthatót, az elmélet várható értéeet és a szórásoat becsüljü azo emprus megfelelővel. Ilyeor megapju az a paraméter egy â becslését, lletve a b paraméter egy bˆ becslését. Emléeztetőül felírju az emprus orrelácós együtthatóra apott (.4.5) fejezést: Az emprus szóráso pedg ( x x )( y y ) r. (.5.3.) y y ) ( x x ) ( s x ( x x), és s y ( y y). Ha most a (.5.) és a (.5.) fejezésebe beírju a megfelelő emprus értéeet, aor a apott becsült paramétere az alábba: x y xy â, (.5.4.) x x bˆ y âx. (.5.5.) A statszta becslés alapjá apott paramétere becsült értée megegyeze a orábba a legsebb égyzete módszerével apott a (.3.8) és b (.3.9) értéeel. Megyugtató, hogy orább eredméyüet vsszaaptu, de a statszta segítségével a fet becslés tulajdoságaról eél többet s modhatu. Nem általáosa fogju a problémát ezel, www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

. A becsléselmélet eleme 8 haem olya esetere orlátozzu a meggodolásaat, amlyeeel a ísérlete végzése sorá gyaorta találozu. A duló feltevés az, hogy az egy változó szórása soal sebb, mt a más változóé. Legye ez a ξ változó, és tetsü úgy, hogy ee x értéet potosa smerjü. A ísérlete sorá gyaor helyzet, hogy a mérés sorá Yax+b függést tételezü fel, az x értéet beállítju (tehát potosa smerjü), és mérjü, hogy az adott x érté mellett y mlye értéet vesz fel. Bár a függvéy alaját smerjü az elméletből, de a mdg jelelévő statsztus hbá matt a mért y érté szórást mutat. A fetebe jellemzett helyzetet írju le a statsztába defált fogalmaal. Tehát a ξ em valószíűség változó. A mérés sorá orét x, x,, x értéet m választju meg, és potosa smerjü s ezeet az értéeet. Az y ϕ( x ) függvéy leárs, vagys: Y ax + b. Nem smerjü vszot az a és b paramétereet, de (.5.4) és (.5.5) alapjá már elészítettü becslésüet. Mvel az y - valószíűség változó, véletle hbát tartalmaza, ezért értéü eltér az elmélet Y ax b értétől. Igaz az, hogy + y + ε, Y ahol az ε - függetlee, és M(ε )0 re. Ez úgy s írható, hogy M ( y x ) Y. A mérés hbá esetébe a cetráls határeloszlás tétel értelmébe általába feltehető, hogy ε ormáls eloszlású σ szórással, tehát az eloszlás: N(0, σ ). Tegyü fel azt s, y hogy, σ y σ y re, vagys a szórás az egész tartomáyo álladó. Ha a mérés tartomáy em túl széles, aor a szórásora tett feltevés általába teljesül. y y 0 * y 6 y értée 8 y 4 0 0 4 6 8 0 x értée x.. ábra: A legsebb égyzete módszerével apott regresszós egyees Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

8 II. A VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ALAPJAI Ilye feltevése mellett a legsebb módszereel a-ra és b-re apott â és bˆ becslése tulajdoságara voatozóa a statszta módszerevel formácót aphatu. Az â és bˆ valószíűség változó, számolható tehát várható értéü és szórásu. Az â és bˆ várható értée Az â becslés várható értéée számolásához felhaszálju, hogy y + ε és M( ε ) 0, Y tehát M( y ) M(Y ) + M( ε ) ax b, + hsze x em valószíűség változó. Továbbá az s gaz, hogy és y Y + ε, í M( y ) M(Y ) + M( ε ) M(Y ) ax + b. í í Tehát az â becslés várható értée: M( â ) xm( y ) ax bx a x + b x ax bx a. (.5.6.) x x x x A bˆ becslés várható értée: M ( bˆ ) M( y ) xm( â ) ax + b xa b. (.5.7.) Vagys â és bˆ torzítatla becslése a és b-e. Az â és bˆ szórása Ha az y értée σ y szóráségyzete valahoa smert (például oa, hogy egy potba soszor mértü, és az így meghatározott emprus szórást felhaszálju a szórás becslésére), és ez mde y potba ugyaaz az álladó érté, aor a szóráségyzet számolás www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

. A becsléselmélet eleme 83 szabálya alapjá (.5.4)-ből és (.5.5)-ből egyszerűe számolhatju az â és bˆ becsült értée szóráségyzetét: D ( â ) x σ y x, (.5.8.) felhaszálva, hogy D ( y ) D D ( y ) σ y. σ y és ( y ) Továbbá x D ( bˆ ) σ + y. (.5.9.) x x Mvel x x ( x x ), (.5.0.) ezért látható, hogy öveedtével â és bˆ szórása ullához tart, tehát a becslés ozsztes. A (.5.8) és (.5.9) fejezéseből (.5.0) fgyelembe vételével az s látsz, hogy adott mérésszám eseté a szóráségyzete aál sebbe mél távolabb feszee a mérés poto x értéétől. A ísérlet terv a hba szempotjából tehát aor optmáls, ha az x poto a vzsgált tervallum szélé helyezede el. Igaz, lyeor em elleőrzhető a vzsgált függvéy leárs jellege. Aor célszerű így tervez a mérést, ha a leárs függvéyapcsolat feállását orábba már elleőrztü. Megjegyzés Ha az y mérés poto σ szórása em smert, aor ee jó özelítése az y s r ( y ŷ ), (.5..) Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

84 II. A VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ALAPJAI a ülöböző x potoba mért y étée alapjá számolt ú. rezduáls szóráségyzet. A evezőbe tt azért szerepel, mert a számlálóba szereplő darab ülöbségégyzet em md függetle, özöttü a (.5.4) és (.5.5) ét egyelet apcsolatot teremt. A függetle adato száma. www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

FÜGGELÉK www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

. A KOMBINATORIKA ALAPJAI A ombatora a sorba raás és választás érdésevel foglaloz... Permutácó (sorba raás) Egymástól ülöböző elem meghatározott sorredjét az elem egy permutácójáa evezzü. Kérdés, háyféleéppe lehet egymástól ülöböző elemet sorba ra, vagys mey elem összes permutácóa P száma? Tétel: P!, (! 3... ( - ) ; 0!). Bzoyítás. A bzoyítás teljes ducóval törtéhet.. Az első lépésbe öye belátható, hogy ha, aor P!.. A másod lépésbe feltesszü, hogy P - ( )!. 3. A harmad lépésbe belátju, hogy P a P - -ből úgy apható, hogy az. elemet egy permutácó mde lehetséges pozícójába elhelyezzü. lye pozícó va... ábra: Ábra a permutácó számáa meghatározásához Ezt megtehetjü md az (-)! permutácó esetébe, vagys: P P ( )!! (...).. Ismétléses permutácó Ha az elem özött azoos, aor az azoos eleme egymás özött cseréje em változtat az elredezése. Ha az elem özött azoos elem va aor smétléses permutácóról ( ) beszélü, és lyeor a permutácó számát P -val jelöljü. Látsz, hogy P ( < P (ha >). ) www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

. A ombatora alapja 87 Nézzü az alább példát: a a b; a b a; b a a. ( ) Az 3 elem özül ettő azoos, és a permutácó száma P 3, és em P 3! 6, hsze például a a b em ülöböz az a a b permutácótól. Általáosa megfogalmazva az smétléses permutácóra voatozó tételt: Tétel: Ha elem özül azoos, aor az smétléses permutácó száma: ( )!. (...)! P Bzoyítás. Az smétléses esetet vsszavezetjü az smétlés élül esetre. Az azoos elemeet átmeetleg ülöböztessü meg valahogy (például sorszámozással). Eze egymás ( ) özött!-féleéppe permutálható. Tehát lyeor mde P permutácóból! permutácó épezhető. Az összes lye megadja az smétlés élül permutácó számát. Tehát!, P ( ) P vagys P P!.!! ( ) ( ) Tehát a fet példába 3,, azaz!6,!, tehát P 3. Ha elem özül több egymás özött azoos smétlődő elem s va, aor az smétléses permutácó számát az alább éplet alapjá számolju. Tétel. Ha elem özül azoos, majd a femaradó elemből azoos, stb., aor az smétléses permutácó száma: (,,..., )! P!!...!, ahol... + + +. (...) A bzoyítás teljes ducóval törtéhet. Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

88 FÜGGELÉK.3. Kombácó (választás, sorred élül) Ha elem özül elemet választu, azt az elem egy -ad osztályú ombácójáa evezzü. A érdés az, hogy eleme háy -ad osztályú ombácója ( C ) va? () Tétel. elem -ad osztályú ombácóa száma: C ( )!. (.3..)!( )! Bzoyítás. A bzoyítás úgy törtéhet, hogy a problémát vsszavezetjü az smétléses permutácóra. Jelölje az ülöböző elemet a a a 3 a - a - a. A választás jelölése úgy törté, hogy a választott elem alá -et íru. elem cs választva, aláju 0-t íru. a a a 3 a - a - a 0 0 0. Mde választás megfelel az -ese és a 0- egy elredezésée (sorredjée). Ez száma megegyez elem smétléses permutácóa számával, ahol és azoos elem va. Eze száma az smétléses permutácó (..) éplete alapjá: C () P (,)!.!( )!.4. Ismétléses ombácó Az smétléses ombácó az a strutúra, amor ülöböző elemből -t választu, de () egy elem aárháyszor felhaszálható. Az smétléses ombácó jelölése: C. Például,sm az a, b, c három elem eseté a -od osztályú smétléses ombácó: a a, a b, a c, b b, b c, c c. A harmad osztályú smétléses ombácó: a a a, a a b, a a c, a b b, a b c, a c c, b b b, b b c, b c c, c c c. Kérdés, hogya adhatju meg a -ad osztályú smétléses ombácó számát? Tétel. A -ad osztályú smétléses ombácó száma: + (, sm. (.4..) C ) Bzoyítás. Feltesszü, hogy a ombácóat,, 3,..., elemeből (tehát számoból) észítjü. A választott elemeet egy ombácó belül raju agyság szert sorred- www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

. A ombatora alapja 89 be! (Ez mdg megtehető.) Tetsü egy smétléses ombácót, és az elemehez adju redre 0,,..., -et! Az így apott szám özött cs egyforma, és agyság szert sorba redezett. Tehát ombácót aptu, de smétlés élült. Kérdés: mely eleme ombácót? A legsebb elem: +0, a legagyobb elem: +, és mde öztü lévő szám szerepel. Ilye módo az,,..., elem smétléses ombácóhoz egyértelműe hozzáredeltü,,...,+ elem egy -ad osztályú smétlés élül ombácóját. A megfeleltetés ölcsööse egyértelmű, tehát C (), sm + ( + )! ( )...( + ).!( )!!.5. Varácó Varácóa evezzü azt a strutúrát, amor ülöböző elemből -t választu, de a sorredet s fgyelembe vesszü. Kérdés hogy mey a varácó száma? Tétel. elem -ad osztályú varácóa száma V () + ( )...( ). (.5..) Bzoyítás. Vsszavezetjü a varácóat a ombácóra. Láttu, ha elemből elemet választu, aor ezt C ( ) -féleéppe tehetjü. Mde ombácóhoz vegyü a elem valamey permutácóját. Ez a (..) éplet szert: P!. A sorredet s fgyelembe vevő választás (varácó), tehát az így apott ét szám szorzataét apható meg. Tehát: V ( )! C!!! ( ) ( ).!( )! ( ) +.6. Ismétléses varácó Ez az eset abba ülöböz az smétlés élültől, hogy a választás utá az elemet vszszatesszü, és megegedjü, hogy újból válasszu. Kérdés, hogy lye módo háyféle ülöböző választás lehetséges? Tétel. elem -ad osztályú smétléses varácóa száma Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

90 FÜGGELÉK V. (.6..) (), sm Bzoyítás. Va,,...,, elem, és va,,..., pozícó. Mde pozícóba választhatju az elem valamelyét. Az első pozícóba va választás lehetőség, a másodba smét, stb. Összese tehát a választás lehetősége száma:, vagys V. (), sm.7. A bomáls tétel és a bomáls együttható A ombatorába gyara találozu a bomáls együtthatóval. Célszerű tehát áttete a bomáls együttható tulajdoságat. Mdeeelőtt ezdjü a bomáls tétellel, ahol szté megjelee a bomáls együttható, és a bzoyításhoz s a választás törvéyszerűségee smerete szüséges. Tétel. A bomáls tétel. Ha egész szám, a és b pedg tetszőleges valós (vagy omplex) számo, aor ( a + b ) a b. (.7..) 0 Bzoyítás. Képezzü a P(a+b )(a+b )...(a+b ) segédszorzatot! Felbotju a zárójeleet, és a tagoat a hatváya szert redezzü. A tago téyezős szorzato, melye téyező redre P első, másod stb. téyezőjéből való. Tehát P a + Ba + Ba +... + B. Kérdés, hogy B téyező mlye b értéeet tartalmaza? B b + b +...+b hsze darab a - -et tartalmazó tag va. B b b +b b 3 +...+b b +b b 3 +...+b - b, ahol a-t veszü, és mde lehetséges módo ét b szorzatát.... B b b...b, tt csa egy tag va. A érdés az, hogy B -ba háy tag va? Vegyü észre, hogy B -ba éppe ay tag va aháyféleéppe az elemből elemet tudu választa. Tehát a tago száma: www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

. A ombatora alapja 9 Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu C. ha most a b értéeet em ülöböztetjü meg, tehát ha b b... b, aor b B. Ie övetez, hogy: + + + + + 0 b a b... b a b a a 0 b ) a (. A bomáls tételhez hasolóa belátható a polomáls tétel, amely r elem összegée -d hatváyát adja meg. Tétel. A polomáls tétel szert: + + + + + +... r r r r r a a a!!!! ) a... a a (. (.7..) A bzoyítás elvégezhető a bomáls tételből dulva, teljes ducóval..8. A bomáls együttható éháy tulajdosága Az bomáls együttható az ú. Pascal-háromszögbe redezhető. 0. sor. sor.. 3 3. 4 6 4 5 0 0 5 6 5 0 5 6

9 FÜGGELÉK www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK 7 35 35 7.. ábra: A Pascal-háromszög első yolc sora Az együttható tulajdosága leolvasható a háromszögből: a. Szmmetra, azaz. b. Egy elem egyelő a felette lévő ét elem összegével: + + + + c. Egy elem egyelő a felette lévő soro eggyel sebb sorszámú elemee összegével: + + + + + +.... d. A Pascal-háromszögbe az. sor elemee összege. Vagys 0. Ez a bomáls tétel alapjá s azoal látsz, hsze: + 0 b a b ) a (, és ha elvégezzü a övetező helyettesítést: ab, aor azt apju, hogy + 0 ) (.

3. HALMAZELMÉLETI ALAPFOGALMAK A halmazoo végzett művelete Boole-algebráa evezzü, George Boole agol matematus (85 864) tszteletére. 3.. A halmazo defícója A halmazo defícója legye az alább. Defícó. Halmaza az eleme összességét tetjü. Halmazelem pedg lehet valamlye objetum, személy, de aár eseméy s. A halmazoat agybetűvel, a halmazelemeet pedg sbetűvel jelöljü, és apcsos zárójelbe tesszü. Például ha az A halmaza az eleme a, b, c, valamt B halmaza eleme a, b, c, d, e, aor ee jelölése: továbbá A { a,b,c }, B { a,b,c,d,e }, a A, d A azt jelöl, hogy a eleme A-a, de d em eleme A-a. Az A halmaz részhalmaza B-e, azt jelet, hogy A halmaz mde eleme B halmaza s eleme (mt a fet példába). Ezt úgy jelölhetjü, hogy A B. A fet defícóa övetezméye az, hogy ha A halmaz B részhalmaza, és B halmaz a C halmaza részhalmaza, aor ebből övetez, hogy az A halmaz a C halmaza s részhalmaza. A jelöléseel ugyaez az állítás: ha A B és B C A C. 3.. Halmazo összege A halmazo összeadását az algebrába szoásos + jellel jelöljü, de felhívju a fgyelmet, hogy a halmazösszeadás tulajdosága émleg ülöböze az algebrába megszoott összeadás tulajdoságotól. Defícó. Az A+B összeghalmaz azo eleme összessége, amelye legalább A-a vagy B-e eleme. Például legye A{,}; B{, 4, 6, 8}, eor az összeghalmaz A+ B{,, 4, 6, 8}. www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

94 FÜGGELÉK A defícóból övetez, hogy a elemet em vesszü étszer az összeghalmazba! Szoás a halmazoat ábrá, az ú. Ve-dagramo megjeleíte. A halmazo összeadását Ve-dagramo a 3.. ábra mutatja. Az ábrá az összeghalmazt a vastago húzott voal mutatja. Az összeadás tulajdosága 3.. ábra: Az A+B halmaz ábrázolása Ve-dagramo Az összeadás tulajdosága a művelet defícóból öveteze: A+AA dempoteca, A+BB+A ommutatvtás, A+(B+C)(A+B)+C asszocatvtás. Az asszocatvtásból övetez, hogy az A+B+C em félrevezető írásmód, hsze három halmaz bármlye sorredbe összeadható, az eredméyt a sorred em ért. A defícóa az s övetezméye, hogy ha A B, aor A+BB. Ha több halmazt adu össze, aor szoásos jelölés mód az alább: + A +... + A A A. 3.3. Halmazo szorzata Defícó. Az AB szorzat azo eleme összessége, melye A-a és B-e egyarát eleme (halmazo özös része). A szorzás jele tehát a téyező özött pot, amt soszor em íru, ahhoz hasolóa, ahogya azt az algebrába s tesszü. Mdazoáltal a szorzás tulajdosága ülöböze az algebrába megszoott tulajdoságotól. Például vegyü a övetező A és B halmazo szorzatát: A{,, 3};B{, 3., 4, 5}. www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK

3. Halmazelmélet alapfogalma 95 A szorzat a ét halmaz özös elem lesze, tehát AB{, 3}. Ha A és B ét halmaz szorzatát a 3.. ábra Ve-dagramjá láthatju. 3.. ábra: Az A és B halmazo szorzata Ve-dagramo ábrázolva A szorzás tulajdosága a művelet defícóból öveteze: AAA dempoteca, ABBA ommutatvtás, (AB)CA(BC) asszocatvtás. A defícó övetezméye: Ha A B, aor ABA. Az téyezős szorzat eseté szoásos felírás: A A A... A. Az összeadás és szorzás özös tulajdosága a dsztrbutvtás: A(B+C)AB+AC. A dsztrbutvtást szemléltető Ve-dagramo (3.3. ábra) látsz, hogy a jobb és bal oldal szert elvégzett művelete azoos halmazhoz vezete. Több halmazra általáosítva a dsztrbutvtás szabályát: A B AB. Havacsá Károly, ELTE TTK www.taoyvtar.hu

96 FÜGGELÉK 3.3. ábra: A dsztrbutvtást szemléltető ábra Melőtt továbbmeé a művelete sorába, smeredjü meg új fogalma defícóval. Defícó. Üres halmaza evezzü azt a halmazt, amelye cs eleme. Az üres halmaz jele: Ø. Megállapodás szert az üres halmaz mde halmaz részhalmaza. Az üres halmaz defícójáa övetezméye: Ha A és B halmazoa cs özös eleme, aor ABØ. Az lye özös elem élül halmazoat dszjut halmazoa evezzü. A+ØA. A ØØ. Defícó. Az A halmaz I halmazra voatoztatott omplemeter (egészítő) halmazáa evezzü azt az A halmazt, amely azo eleme összessége, amelye az I halmaza eleme, de em tartoza az A halmazhoz. 3.4. ábra: Az A omplemeter halmaz ábrázolása Ve-dagramo A omplemeter halmaz defícójáa övetezméye: A + A I, A A Ø, I Ø, Ø I. www.taoyvtar.hu Havacsá Károly, ELTE TTK