. Halmazok, relációk, függvének.. Halmazelméleti alapfogalmak... A halmaz fogalma A halmazt a halmazelmélet alapfogalmának tekintjük és ezért nem definiáljuk. Szokás azt mondani, hog a halmaz különböző dolgok összessége. Ez nem definíció, hanem a halmaz más szavakkal való körülírása. A geometriában ugancsak definíció nélkül, alapfogalomként használjuk például a pont, az egenes és a sík fogalmát is. Valamel halmazt akkor tekintünk adottnak, ha bármel pontosan meghatározott dologról egértelműen el tudjuk dönteni, hog hozzátartozik-e a szóban forgó halmazhoz (eleme-e a halmaznak). A halmazt alkotó dolgok a halmaz elemei. A halmazokat nagbetűvel, elemeit pedig kisbetűvel jelöljük. Azt a tént, hog az A halmaz eleme, íg jelöljük: A. Ha valamel elem nem tartozik az A halmazba, akkor ennek jelölése: / A. Eg halmazban eg elem csak egszer fordulhat elő, de a felsorolás sorrendje tetszőleges lehet... Példa. Ha Q-val jelöljük a racionális számok halmazát, akkor: Q, / Q. Eg halmazt általában kétféle módon adhatunk meg: vag felsoroljuk a halmaz elemeit, vag a halmaz elemeinek pontos körülírását adjuk... Példa. A = {,,, 4} és B = { N < 5} az ötnél kisebb természetes számok halmazát jelöli... Példa. A C = { R 0 < 4} halmaz a 0 és 4 közé eső valós számok halmazát jelöli. A 0 hozzátartozik a C halmazhoz, a 4 viszont nem... Definíció. Ha az A halmaz minden eleme a B halmaznak is eleme, akkor az A halmazt az B halmaz részhalmazának nevezzük, és ezt a kapcsolatot íg jelöljük: A B vag B A (olv: A részhalmaza B-nek)... Definíció. Ha az A halmaz minden eleme a B halmaznak is eleme, és a B halmaznak van olan eleme, amel nem eleme A-nak, akkor az A halmazt az B halmaz valódi részhalmazának nevezzük, és ezt a kapcsolatot íg jelöljük: A B vag B A (olv: A valódi részhalmaza B-nek). A B A B
. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK A természetes számok N halmazára és az egész számok Z halmazára igaz, hog N Z. Minden halmaz részhalmaza önmagának, azaz A A... Definíció. A valós számok R halmazának olan részhalmazait, melek a és b két valós szám között vannak, intervallumoknak nevezzük. Nevezetesen: (a, b) = { R a < < b} nitott intervallum, [a, b] = { R a b} zárt intervallum, (a, b] = { R a < b} balról nitott jobbról zárt intervallum, [a, b) = { R a < b} balról zárt jobbról nitott intervallum. A.. Példa C halmaza felírható intervallumként is, C = (0, 4]..4. Definíció. Az A és B halmazt egenlőnek nevezzük, azaz A = B akkor és csakis akkor, ha A B és B A. Ha két halmaz egenlő, akkor az elemeik megegeznek. Az.7. Példa halmazaira tehát igaz, hog: A = B..5. Definíció. Üres halmazon az olan vag {} szimbólummal jelölt halmazt értjük, amelnek eg eleme sincs. Eszerint = { }..4. Példa. Tekintsük az A = { R + = 0} halmazt. Mivel R a valós számok halmazát jelöli, és + = 0 semmilen valós számra nem teljesül, íg az A halmaznak nincs eleme, azaz A üres halmaz. Ha figelembe vesszük, hog akárhogan is adjuk meg az üres halmazt, mindig uganarról a halmazról van szó (pontosan arról, ameliknek nincs eleme), akkor nilvánvaló, hog csak eg üres halmaz van. Az üres halmaz minden halmaznak részhalmaza. Ha valamilen halmazokról beszélünk, akkor általában ismertnek veszünk eg alaphalmazt, amelből a szemlélt halmazok elemeit vesszük. Például, ha a páros természetes számok halmazát tekintjük, vag a prímszámok halmazát szemléljük, akkor ezek a természetes számok N halmazának a részhalmazai. Hasonlóképpen bármilen nitott (a, b) vag zárt [a, b] intervallum a valós számtengelen a valós számok R halmazának a részhalmazai. Ezt az alaphalmazt gakran nem is említjük, de alapértelmezés szerint ismertnek vesszük. Nevezzük ezt az alaphalmazt univerzális halmaznak és jelöljük U-val..6. Definíció. A halmaz elemeinek számát a halmaz kardinális számának nevezzük. Az A halmaz kardinális száma jelölhető A, #A vag Card(A) módon. A halmazok jól szemléltethetők Venn-diagrammal, azaz zárt görbével határolt síkidommal, amelben a halmazhoz tartozó elemek a síkidom belsejében levő pontok..5. Példa. Az A = {,,, 4} halmaz Venn-diagrammal való ábrázolása: A 4
.. Halmazelméleti alapfogalmak... Műveletek halmazokkal Az alábbiakban olan műveleteket értelmezünk, amelek segítségével adott halmazokból meghatározott elemeket tartalmazó újabb halmazokat állíthatunk elő..7. Definíció. Az A és B halmazok unióján (egesítésén) azt a halmazt értjük, amelnek elemei az A vag B halmazok legalább egikének elemei, tehát A B = { A B}. A B A B.6. Példa. Ha A = {, 4, 6, 8} és B = {n N n < 5}, akkor A B = {,,, 4, 6, 8}. A definícióból nílvánvaló, hog A (A B) és B (A B). Az egesítés művelete kettőnél több halmaz esetén is értelmezhető. Az A, A,..., A n halmazok unióját az n A A... A n = szimbólummal jelöljük, és azokból és csakis azokból az elemekből áll, amelek az uniót alkotó halmazok közül legalább egnek elemei..8. Definíció. Az A és B halmazok metszetén (közös részén) azt a halmazt értjük, amelnek elemei A-nak is és B-nek is elemei, tehát A B = { A B}. i= A i A B.7. Példa. Ha A = {, 4, 6, 8} és B = {n N n < 5}, akkor A B = {, 4}. A definícióból nílvánvaló, hog (A B) A és (A B) B. A B.9. Definíció. Ha az A és a B halmazoknak nincs közös eleme, azaz A B =, akkor azt mondjuk, hog A és B diszjunkt halmazok. A közösrészképzés művelete kettőnél több halmaz esetén is értelmezhető. Az A, A,..., A n halmazok metszetét az n A A... A n = szimbólummal jelöljük, és azokból és csakis azokból az elemekből áll, amelek a metszetet alkotó halmazok mindegikének elemei. i= A i
4. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK.8. Példa. Az A = { R < } = [, ) és B = { R } = [, ] halmazok (intervallumok) uniója és metszete A B = [, ] és A B = [, )..0. Definíció. Az A és B halmazok különbségén azt a halmazt értjük, amel azokat és csakis azokat az elemeket tartalmazza, amelek A-nak elemei, de B-nek nem elemei, tehát A \ B = { A / B}. A B A B A definícióból azonnal látható, hog ha A és B diszjunktak, azaz A B =, akkor A \ B = A és B \ A = B..9. Példa. Ha A = {, 4, 6, 8} és B = {n N n < 5}, akkor A \ B = {6, 8} és B \ A = {, }..0. Példa. Ha A = { R < } = [, ) és B = { R } = [, ] adott halmazok (intervallumok), akkor A \ B = [, ) és B \ A = {}... Definíció. Legen A az U univerzális halmaz részhalmaza. Ekkor A-nak az U-ra vonatkozó komplementerén értjük az U \ A halmazt, amelet A vag A módon jelölünk. U A A Können belátható, hog A \ B = A B... Definíció. Legen A a B halmaz részhalmaza. Ekkor A-nak a B-re vonatkozó komplementerén értjük a B \ A halmazt, amelet A B módon jelölünk... Definíció. Az A és B halmazok szimmetrikus különbségén azt az A B módon jelölt halmazt értjük, amelnek elemei vag csak az A halmaz vag csak a B halmaz elemei, vagis A B = { A B}. A B A B
.. Halmazelméleti alapfogalmak 5.. Példa. Ha A = {, 4, 6, 8} és B = {n N n < 5}, akkor A B = {,, 6, 8}. Können belátható, hog A B = (A B) \ (A B)... Tétel. Az A, B és C tetszőleges halmazokra igazak a következő állítások:. A A = A, A A = A (idempotencia);. A B = B A, A B = B A (kommutativitás);. A (B C) = (A B) C, A (B C) = (A B) C (asszociativitás); 4. A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C) (az unió és a metszet kölcsönös disztributivitása); 5. A B = B A (kommutativitás), A (B C) = (A B) C (asszociativitás); 6. A = A, A =, A \ = A, \ A =, A A = ; 7. A = A (involúció), A A =, A A = U; 8. A B = A B, A B = A B (De Morgan-féle azonosságok)..4. Definíció. Az A halmaz összes részhalmazainak halmazát az A halmaz hatvánhalmazának vag partitív halmazának nevezzük. Ennek jelölésére a P (A) szimbólumot használjuk, tehát P (A) = {B B A}. Ha A elemeinek száma n, akkor P (A) elemeinek száma n... Példa. Ha A = {, { }} és B = {,, }, akkor P (A) = {, { }, {{ }}, {, { }}} és P (B) = {, {}, {}, {}, {, }, {, }, {, }, {,, }}..5. Definíció. Az és elemekből alkotott rendezett pár (, ), ahol a rendezett pár első komponense, pedig a második komponense. Rendezett párok egenlősége a megfelelő komponensek egenlőségét jelenti: (, ) = (u, v) = u = v. A rendezett pár fogalma általánosítható, íg beszélhetünk rendezett n-esek ről is, amelek alakja (,,..., n ), ahol i az i-edik komponens (i =,,..., n). Rendezett n-esek között az egenlőség komponensenkénti egenlőséget jelent: (,,..., n ) = (,,..., n ) i = i (i =,,..., n)..6. Definíció. Az A és B halmazok Descartes-féle szorzatán az (, ) rendezett párokból alkotott és az A B szimbólummal jelölt halmazt értjük, ahol A és B, azaz A B = {(, ) A B}. Ha A = B, akkor az A A = A jelölés használatos. Ha A vag B üres halmaz, akkor A B =. A Descartes-féle szorzat általánosítása: A A... A n = {(,,..., n ) A A... n A n }.
6. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK.. Példa. Ha A = {, } és B = {a, b, c}, akkor A = {(, ), (, ), (, ), (, )}, A B = {(, a), (, b), (, c), (, a), (, b), (, c)}, A A B = {(,, a), (,, b), (,, c), (,, a), (,, b), (,, c), (,, a), (,, b), (,, c), (,, a), (,, b), (,, c)}. A A B a b c B... Relációk, leképezések (függvének).7. Definíció. Legen A és B két nem üres halmaz. Az A és B halmazok elemei közötti ρ relációnak nevezzük az A B halmaz bármel részhalmazát, azaz ρ A B. A relációt alkotó rendezett párok első komponenseinek halmaza a reláció értelmezési tartomána, a második komponensek halmaza pedig a reláció értékkészlete..8. Definíció. Legenek A és B nemüres halmazok. Az A és B halmazok elemei közötti f A B relációt függvénnek (leképezésnek) nevezzük, ha az A halmaz minden eleméhez a B halmaz eg és csakis eg elemét rendeli hozzá, azaz ( A) ( B) (, ) f; (, ) f (, ) f = =. Ebben a leképezésben az A halmazt a függvén értelmezési tartománának (domenjének), a B halmazt pedig a függvén képtartománának (kodomenjének) nevezzük. A B halmaz azon elemei, amelek e hozzárendelésben részt vesznek (azaz a képelemek), a függvén f(a) értékkészletét alkotják. Az értékkészlet tehát része a képtartománnak. A függvén értelmezésekor szokás az a szóhasználat is, hog az f függvén az A halmazt a B halmazba képezi le. Ezért mondjuk a függvént leképezésnek is. Ennek egik jelölési módja: f : A B. Az f függvén értelmezési tartománának jelölése D f, az értékkészletének jelölése pedig R f. Az értékkészletet f(a) módon is lehet jelölni. Ha a függvént f jelöli és a D f, akkor az a-hoz rendelt R f -beli elemet f(a) = b jelöli, amit az f függvén a helhez tartozó helettesítési értékének nevezzük, és ezt jelölhetjük még f : a b vag (a, b) f módon is..4. Példa. Az A = {,, } halmaz B = {,,, 4 } halmazba való f = {(, ), (, ), (, )} leképezése nildiagrammal ábrázolva: A B 4
.. Halmazelméleti alapfogalmak 7 Az f függvén megadásához meg kell adni a D f értelmezési tartománt, az R f képtartománt és azt a hozzárendelési szabált, amelnek segítségével minden D f elemhez meghatározható (kiszámítható) a hozzátartozó R f elem. Ha az értelmezési tartomán véges halmaz, akkor a függvén megadható a leképezést definiáló rendezett párok halmazával, a rendezett párok táblázatával, vag eg formulával (képlettel)..5. Példa. Legen az A = {,,, 4} halmaz az f leképezés értelmezési tartomána, értékkészlete pedig a B = {a, b, c, d} halmaz. Mivel mindkét halmaz véges, ezért a leképezést megadhatjuk rendezett párok halmazával vag táblázattal a következő módokon: f = {(, a), (, c), (, b), (4, d)}, f = ( ) 4, a c b d 4 f() a c b d..6. Példa. Legen A = {, 0,,, } az f függvén értelmezési tartomána, Z a képtartomána, f() = pedig a leképezés szabála. Ekkor f( ) = 5, f(0) =, f() =, f() =, f() =, s íg f(a) = {5,,,, } az adott függvén értékkészlete, vagis f(a) Z. Ez az f leképezés rendezett párokkal és táblázattal is felírható: f = {(, 5), (0, ), (, ), (, ), (, )}, f = ( ) 0, 5 0 f() 5. Ha az értelmezési tartomán végtelen halmaz, akkor a függvén a leképezés szabálát kifejező képlettel adható meg..7. Példa. Legen f() = + az R halmaznak az R halmazba való leképezése. Ekkor az értelmezési tartománnak és az értékkészletnek is végtelen sok eleme van, tehát nem sorolható mind fel. A leképezési szabál segítségével azonban bármel eredeti elemhez meghatározható az f() képelem. Például, f(0) =, f(a) = a + és íg tovább..9. Definíció. Az f : A B és f : A B függvének egenlőek, ha megegezik az értelmezési tartománuk, azaz A = A és ha f () = f () minden A esetén..0. Definíció. Az f : A B függvén injektív (vag - leképezés), ha minden, A esetén igaz, hog: f( ) f( )..8. Példa. Az A = {,, } halmaz B = {,,, 4 } halmazba való f = {(, ), (, ), (, )} injektív leképezés níldiagrammal ábrázolva: A B 4
8. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK.. Definíció. Az f : A B függvén szürjektív (vag halmazra való leképezés), ha minden B elemhez van olan A elem, hog = f()..9. Példa. Az A = {,, } halmaz B = {, } halmazra való f = {(, ), (, ), (, )} szürjektív leképezés níldiagrammal ábrázolva: A B.. Tétel. Az f : A B függvén akkor és csak akkor szürjektív, ha f(a) = B, azaz a függvén értékkészlete egenlő a képtartománával... Definíció. Az f : A B függvént bijektívnek nevezzük, ha egidejűleg injektív és szürjektív..0. Példa. Az A = {,, } halmaz B = {,, } halmazra való f = {(, ), (, ), (, )} bijektív leképezés níldiagrammal ábrázolva: A B.. Definíció. Az i A : A A bijektív függvént az A halmaz A halmazra való identikus leképezésének nevezzük, ha minden A esetén i A () =. Ha egértelmű, hog melik halmaz identikus leképezéséről beszélünk, akkor az identikus leképezés jelölésére az i jelölést használjuk..4. Definíció. Legenek A és B adott halmazok. Ha az A halmaz bijektív módon leképezhető a B halmazra, akkor azt mondjuk, hog az A és B halmazok egenlő számosságúak vag számosságilag ekvivalensek..5. Definíció. Eg halmazt végtelen számosságúnak vag egszerűen végtelennek nevezünk, ha van olan valódi részhalmaza, amellel számosságilag ekvivalens. Eg halmazt véges számosságúnak vag végesnek nevezünk, ha nincs egetlen olan valódi részhalmaza sem, amellel számosságilag ekvivalens... Példa. Tekintsük a természetes számok N halmazát és a páros természetes számok P halmazát, ahol P N. Legen f : N P olan leképezés, hog f(n) = n. Mivel f bijekció, az N halmaz végtelen..6. Definíció. Eg halmazt megszámlálhatóan végtelennek nevezünk, ha a természetes számok halmazával számosságilag ekvivalens. Ha eg végtelen halmaz számossága nem megszámlálhatóan végtelen, akkor kontinuumszámosságról beszélünk.
.. Halmazelméleti alapfogalmak 9.. Példa. A természetes számok N, a páros természetes számok P, az egész számok Z és a racionális számok Q halmaza megszámlálhatóan végtelen, viszont a valós számok R halmaza, az egenes pontjai, a kör pontjai kontinuumszámosságúak..7. Definíció. Eg halmazt megszámlálhatónak nevezünk, ha vag véges, vag megszámlálhatóan végtelen..8. Definíció. Legenek A, B és C nemüres halmazok, f : B C és g : A B pedig adott függvének. Az A halmaznak a C halmazba való f g-vel jelölt leképezését összetett függvénnek (vag a függvének kompozíciójának, összetételének) nevezzük és (f g)() = f(g()) módon értelmezzük minden A elemre... Példa. Ha f() = + és g() =, R, akkor (f g)() = f(g()) = f( ) = +, R, (g f)() = g(f()) = g( + ) = ( + ), R. A fenti példából belátható, hog f g = g f általánosan nem érvénes, vagis a leképezések kompozíciója nem kommutatív művelet... Tétel. Legenek h : A B, g : B C és f : C D tetszőleges leképezések. Ekkor érvénes, hog (f g) h = f (g h), azaz a leképezések kompozíciója asszociatív művelet. Bizonítás. Mindkét leképezés, (f g) h és f (g h) is, az A halmazon értelmezett. Továbbá minden A elemre igaz, hog ((f g) h)() = (f g)(h()) = f(g(h())) = f((g h)()) = (f (g h))(), amivel állításunkat igazoltuk. Ha f : A B függvén bijektív, akkor minden B elemre van olan A elem, hog = f(). Ez azt jelenti, hog az f függvént megadó rendezett párok komponenseit felcserélve ismét függvént kapunk, ami lehetővé teszi az inverz függvén fogalmának bevezetését..9. Definíció. Legen f : A B bijektív függvén úg, hog f() =, ha A és B. Ekkor az f : B A leképezést az f függvén inverzének nevezzük, ha f () = minden B esetén. Az f függvén f inverzfüggvéne szintén bijektív. Minden A elemre érvénes, hog (f f)() = és minden B elemre (f f )() =..4. Példa. Legen az A = {,,, 4} halmaz az f leképezés ( értelmezési ) tartomána, 4 értékkészlete pedig a B = {a, b, c, d} halmaz. Az f = bijektív függvén ( ) a c b d a b c d inverze az f = függvén. Ezek f 4 f összetétele valóban az A halmaz identikus leképezése, mert ( ) ( ) ( ) a b c d 4 4 f f = =. 4 a c b d 4
0. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK.5. Példa. Az f() = + függvén inverzét változócserével a következőképen határozzuk meg: ha = +, akkor a változócsere után = +. Ebből =, azaz f () = az inverz függvén. Az f függvénre és f inverzére valóban teljesül, hog (f f)() = f (f()) = f ( + ) = + =, (f f )() = f(f ()) = f( ) = + =. Az f() = + függvén inverzét a definícióból kiindulva is meghatározhatjuk. Mivel a definíció szerint f (f()) =, ezért f ( + ) =. Legen + = t, ebből pedig = t. Ezt behelettesítve az f ( + ) = egenlőségbe adódik, hog f (t) = t, azaz t = esetén f () = a keresett függvén..0. Definíció. A G f = {(, f()) A} halmazt az f : A B függvén grafikonjának nevezzük. = f() a grafikon egenlete, ahol a független változó, pedig a függő változó. Ha az f : R R bijektív függvén grafikonja megrajzolható, akkor az f grafikonja is megrajzolható, és ez az f függvén grafikonjának az = egenesre vonatkozó tükörképe a Descartes-féle derékszögű koordinátarendszerben. Például az f() = + 4 függvén és f () = 4 inverzének grafikonja a koordinátarendszerben az alábbi ábrán látható. Megfigelhető a két grafikon szimmetrikussága az = egeneshez viszonítva. 4 4 4 4 4 4.. Definíció. Függvénegenletnek nevezzük az olan egenletet, amelben eg (vag több) ismeretlen függvén és az(ok) független változói szerepelnek.
.. Halmazelméleti alapfogalmak FELADATOK. Legenek f, f és f az A = {, 4, 6, 8} halmaz B = {a, b, c} halmazba való leképezései. Vizsgáljuk ki, hog közülük melek szürjektívek, azaz halmazra való leképezések, ha ( ) 4 6 8 f =, f a b c a = ( 4 6 ) 8 a b a b és f = ( ) 4 6 8. a a a a Megoldás. A feladat megoldásához azt kell megvizsgálni, hog az f(a) értékkészlet megegezik-e a B képtartománnal. Mivel ezért f szürjektív. Mivel f (A) = {f (), f (4), f (6), f (8)} = {a, b, c, a} = {a, b, c} = B, f (A) = {f (), f (4), f (6), f (8)} = {a, b, a, b} = {a, b} B, ezért f nem szürjektív. Mivel f (A) = {f (), f (4), f (6), f (8)} = {a, a, a, a} = {a} B, ezért f nem szürjektív.. Legenek f, f és f az A = {,, 5} halmaz B = {p, q, r, s} halmazba való leképezései. Vizsgáljuk ki, hog közülük melek injektívek, (- leképezések), ha ( ) ( ) ( ) 5 5 5 f =, f p q r = és f s r s =. q q q Megoldás. A feladat megoldásához azt kell megvizsgálni, hog vajon különböző eredeti elemek képelemei is különbözőek-e. Mivel f () = p, f () = q, f (5) = r, íg ha, akkor f ( ) f ( ), tehát az f leképezés injektív. Mivel f () = s = f (5), íg 5, de f () = f (5), tehát az f leképezés nem injektív. Mivel f () = f () = f (5) = q, íg 5, de f () = f () = f (5), tehát az f leképezés nem injektív.. Legen f az A = {a, b, c, d} halmaz B = {,,, 4, 5} halmazba való leképezése. Oldjuk meg az f() =, f() =, f() =, f() = 4 és f() = 5 egenleteket, ha ( ) a b c d f =. 5 Megoldás. f() = esetén = a vag = b. f() = és f() = 4 esetén nincs megoldás. Ha f() =, akkor = c. Amenniben f() = 5, = d a megoldás.
. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK 4. Legen f az A = {a, b, c, d} halmaz önmagába való leképezése. Oldjuk meg az f() = a, f() = b, f() = c, f() ( = d, f(f()) ) = b, f(f(f())) = d és a b c d f(f(f(f()))) = a egenleteket, ha f =. b b d a Megoldás. f() = a esetén = d. Ha f() = b, akkor = a vag = b. f() = c esetén nincs megoldás. Amenniben f() = d, a megoldás = c. Ha f(f()) = b, akkor f() = a vag f() = b, amiből pedig következik, hog = d vag = a vag = b. Ha f(f(f())) = d, akkor f(f()) = c, ezért most nincs megoldás. f(f(f(f()))) = a esetén f(f(f())) = d, ezért szintén nincs megoldás. 5. Legen f az A = {,,, 4} halmaz önmagába való leképezése és f = ( 4 4 a) Határozzuk meg az f és f 4 leképezéseket. b) Számítsuk ki mivel egenlő (f (f f))(), ((f f) f))(4) és ((f f) (f f))(). c) Oldjuk meg az (f (f f))() = 4 és az ((f f) (f f))() = egenleteket. Megoldás. a) f = (f f) f = f (f f) = (( ) ( )) ( ) 4 4 4 = = 4 4 4 ( ) ( ) ( ) 4 4 4 = = = f, 4 4 4 ). f 4 = (f f) (f f) = (( ) ( )) (( ) ( )) 4 4 4 4 = = 4 4 4 4 ( ) ( ) ( ) 4 4 4 = = = i. 4 4 4 b) (f (f f))() = f () =, ((f f) f))(4) = f (4) =, ((f f) (f f))() = f 4 () =. c) Az (f (f f))() = 4, azaz f () = 4 egenlet megoldása =. Az ((f f) (f f))() =, vagis f 4 () = egenlet megoldása =. 6. Adottak az A = {,,, 4}, B = {a, b, c, d} és C = {p, q, r, s} halmazok, valamint az f : A B, g : B C és h : C A leképezések. Határozzuk meg a g f, h g, f h és h (g f) leképezéseket, ha f = ( 4 b c d a ), g = ( a b c d s r q p ), h = ( ) p q r s. 4
.. Halmazelméleti alapfogalmak Megoldás. ( ) ( ) ( ) a b c d 4 4 g f = = s r q p b c d a r q p s ( ) ( ) ( ) p q r s a b c d a b c d h g = = 4 s r q p 4 ( ) ( ) ( ) 4 p q r s p q r s f h = = b c d a 4 c b a d ( ) (( ) ( )) p q r s a b c d 4 h (g f) = = 4 s r q p b c d a ( ) ( ) ( ) p q r s 4 4 = =. 4 r q p s 4 7. Adottak az A = {a, b, c} és B = {0, 0, 0} halmazok, valamint az f : A B és g : B C bijektív leképezések. Határozzuk meg az f és g inverzfüggvéneket, majd a g f, f g, f f, g g függvénkompozíciókat, ha f = ( a b c 0 0 0 ), g = ( 0 0 0 c b a Megoldás. ( ) ( ) 0 0 0 a b c f =, g =, c b a 0 0 0 ( ) ( ) ( ) a b c 0 0 0 0 0 0 g f = =, 0 0 0 c a b 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 a b c a b c f g = =, c a b 0 0 0 b a c ( ) ( ) ( ) 0 0 0 a b c a b c f f = = = i c a b 0 0 0 a b c A, ( ) ( ) ( ) a b c 0 0 0 0 0 0 g g = = = i 0 0 0 c b a 0 0 0 B. 8. Adott az A = {,, 0,, } halmazon értelmezett f() = 4 leképezés. Határozzuk meg az f(a) értékkészletet, írjuk fel az f leképezést és vizsgáljuk ki, hog az f : A f(a) leképezés bijektív-e. Megoldás. Mivel f( ) = ( ) 4 = 0, f( ) = ( ) 4 = 7, f(0) = 0 4 = 4, f() = 4 = és f() = 4 =, ezért f(a) = { 0, 7, 4,, }. Maga az f függvén íg írható le: ( ) 0 f =. 0 7 4 Mivel az értékkészlet is és a képtartomán is f(a), ezért a függvén szürjektív. Mivel minden eredeti elemhez más-más képelem tartozik, íg teljesül, hog ha, akkor f( ) f( ), tehát az f leképezés injektív is, amiből az következik, hog f bijektív. ).
4. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK 9. Adott az A = {,, 0,, } halmazon értelmezett f : A R függvén az f() = leképezési szabállal. Határozzuk meg az f(a) értékkészletet, írjuk fel az f leképezést és vizsgáljuk ki, hog az f : A R és f : A f(a) leképezések bijektívek-e. Megoldás. A függvénértékek f( ) = =, f( ) = = 0, f(0) = 0 =, f() = = 0 és f() = =, ezért az értékkészlet f(a) = {, 0, }. Az f függvén íg írható le: ( ) 0 f =. 0 0 Mivel f(a) R, ezért az f : A R függvén nem szürjektív. Mivel, de f( ) = f() =, ezért az f : A f(a) leképezés nem injektív, amiből az következik, hog egik leképezés sem bijektív. 0. Adott az A = {,, 0,, } halmazon értelmezett f : A R függvén az f() = 4 leképezési szabállal. Határozzuk meg az f(a) értékkészletet, írjuk fel az f leképezést és vizsgáljuk ki, hog az f : A R és f : A f(a) leképezések bijektívek-e. Megoldás. A függvénértékek f( ) = ( ) 4 = 0, f( ) = ( ) 4 =, f(0) = (0) 4 = 4, f() = 4 = és f() = 4 = 0, ezért az értékkészlet f(a) = { 4,, 0}. Az f függvén íg írható le: ( ) 0 f =. 0 4 0 Mivel f(a) R, ezért az f : A R függvén nem szürjektív. Mivel, de f( ) = f() =, ezért az f : A f(a) leképezés nem injektív, amiből az következik, hog egik leképezés sem bijektív.. Bizonítsuk be, hog az f() = 4 leképezési szabállal definiált f : R R függvén bijektív, majd határozzuk meg az f () inverzfüggvént. Megoldás. Eg függvén akkor bijektív, ha injektív is és szürjektív is. Vizsgáljuk először az injektivitást! Ha, akkor és 4 4, amiből következik, hog f( ) f( ), azaz az f függvén injektív. A szürjektív tulajdonság kivizsgálásához tekintsük az értékkészlet eg tetszőleges R elemét, amelet úg kaptunk, hog az értelmezési tartomán eg elemét az f függvénnel leképeztünk, azaz = 4, valamel R elemre. Ebből = + 4, tehát az R képelem az = + 4 eredeti elemnek a képe. Ez azt jelenti, hog az értékkészlet minden eges képeleméhez hozzárendelhető eg eredeti elem, tehát az f() = 4 leképezés szürjektív is. Mivel ezek szerint a függvén bijektív, ezért van inverze. Az inverz függvén meghatározása a definíció szerint: mivel f (f()) =, ezért f ( 4) =. Legen 4 = t, ebből pedig = t + 4. Ezt behelettesítve adódik, hog f (t) = t + 4, azaz t = esetén a keresett függvén f () = + 4.
.. Halmazelméleti alapfogalmak 5. Legen f() = az f : R R függvén leképezési szabála. Bizonítsuk be, hog az f függvén se nem injektív, se nem szürjektív, majd határozzuk meg a D f és R f halmazokat úg, hog az f függvén bijektív legen. Keressük meg az íg kapott függvén f () inverzét. Megoldás. Az f függvén nem injektív, mert például az = 0 értéket a függvén = -ben is és = -ben is felveszi, azaz, de f( ) = f(). Uganakkor a függvén nem szürjektív, mert -nál nagobb értékeket az f függvén nem vesz fel. Íg például nincs olan valós érték, amelre f() = 4. Ha az értelmezési tartománt és az értékkészletet leszűkítjük D f = [0, + ) és R f = (, ] tartománokra, akkor az f : D f R f függvén bijektív. Ekkor az f függvén leképezési szabála f() =, ennek inverze pedig f () =, (, ].. Legen f() = 4 az f : R R függvén leképezési szabála. Bizonítsuk be, hog az f függvén se nem injektív, se nem szürjektív, majd határozzuk meg a D f és R f halmazokat úg, hog az f függvén bijektív legen. Keressük meg az íg kapott függvén f () inverzét. Megoldás. Az f : R R függvén nem injektív, mert például az = 0 értéket a függvén = -ben is és = -ben is felveszi, azaz, de f( ) = f(). Uganakkor a függvén nem szürjektív, mert 4-től kisebb értékeket az f függvén nem vesz fel. Íg például nincs olan valós érték, amelre f() = 5. Ha az értelmezési tartománt és az értékkészletet leszűkítjük a D f = [0, + ) és az R f = [ 4, + ) tartománokra, akkor az f : D f R f függvén bijektív. Ekkor az f függvén inverze az f () = + 4, [ 4, + ). 4. Állítsuk össze az f () =, f () =, f () = és f 4() = függvének összetételének (kompozíciójának) táblázatát. Megoldás. Mivel az f () = = i(), íg megállapíthatjuk, hog f f k = f k f = f k, k =,,, 4. A többi esetben a következő számításokat végezhetjük el: (f f )() = f (f ()) = f ( ) = ( ) = = f (), ( ) ( ) (f f )() = f (f ()) = f = = f 4 (), ( (f f 4 )() = f (f 4 ()) = f ) ( = ) = = f (), (f f )() = f (f ()) = f ( ) = ( ) = = f 4 (), ( ) (f f )() = f (f ()) = f = = = f (),
6. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK (f f 4 )() = f (f 4 ()) = f ( ( )) ( ) = = f (), = (f 4 f )() = f 4 (f ()) = f 4 ( ) = = = f (), ( ) (f 4 f )() = f 4 (f ()) = f 4 = = = f (), ( (f 4 f 4 )() = f 4 (f 4 ()) = f 4 ) = = = f (), A keresett táblázat: f f f f 4 f f f f f 4 f f f f 4 f f f f 4 f f f 4 f 4 f f f 5. Legen az f () = és f n+() = f (f n ()), n N. Számítsuk ki az f 009 (00) függvénértéket. Megoldás. ( ) f () = f (f ()) = f = ( ) f () = f (f ()) = f = f 4 () = f (f ()) = f (), f 5 () = f (f 4 ()) = f (f ()) = f (), =, = = i(), f 6 () = f (f 5 ()) = f (f ()) = f () = i(), és íg tovább. Ebből következik, hog f n () =, f n+ () = és f n+() =. Mivel 009 = 699 +, ezért f 009 () = f 699+ () = és f 009 (00) = 00 00 = 009 00. 6. Ha az f n (), n N függvének sorozatát az f () =, f () =, f n+ () = f n+ (f n ()), n N szabállal képezzük, akkor számítsuk ki mennivel egenlő f 00 (00). ( ) Megoldás. f () = f (f ()) = f = =, ( ) f 4 () = f (f ()) = f = = = f (),
.. Halmazelméleti alapfogalmak 7 f 5 () = f 4 (f ()) = f 4 ( ) = =, ( ) f 6 () = f 5 (f 4 ()) = f 5 = =, ( ) f 7 () = f 6 (f 5 ()) = f 6 = = = f (), ( ) f 8 () = f 7 (f 6 ()) = f 7 = = = f (), f 9 () = f 8 (f 7 ()) = f (f ()) = f (), és íg tovább. Észrevehető, hog bár az identikus leképezés nem jelenik meg, mégis kialakult eg hatos ciklus. Az f 7 () = f () és f 8 () = f (), ami a ciklus újra indulását jelenti az f 6 () függvén után. Mivel 00 = 6 5, ezért f 00 () = f 6 () = és f 00(00) = 00. 7. Legen f () = + ( ) + és f n+() = f (f n ()), n N. Számítsuk ki az f 00 ( ) értékét. Megoldás. ( + ) f () = f (f ()) = f ( = + ) +, ( ) + f () = f (f ()) = f = + + ( + ) +, ( + ) + f 4 () = f (f ()) = f ( = + ) +, ( f 5 () = f ) = ( + ) +, ( ) f 6 () = f (f 5 ()) = f ( = + ) + +, ( f 7 () = f (f 6 ()) = f = + + ( ) +, ( ) + f 8 () = f (f 7 ()) = f ( = = i(), ) + ezért ) f 9 () = f (f 8 ()) = f (i()) = f (), f 0 () = f (f 9 ()) = f (f ()) = f (),
8. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK és íg tovább. Ebből következik, hog minden n N esetén, f 8n () =, f 8n+ () = + ( ) +, f 8n+() = +, f 8n+ () = + + ( + ) +, f 8n+4() =, f 8n+5() = ( + ) +, f 8n+6 () = +, f 8n+7() = + ( ) +. Mivel 00 = 8 5 +, ezért f 00 () = f 8 5+ () = f () = + és f 00( ) = 0. 8. Oldjuk meg az f( ) = 5 függvénegenletet. Megoldás. Vezessük be a = t helettesítést. Ebből = t +. Behelettesítve ezeket a kifejezéseket az f( ) = 5 függvénegenletbe adódik, hog f(t) = t + 5 = t 7. Visszatérve t helett az független változóra kapjuk, hog f() = 7. 9. Oldjuk meg az f( + ) = + függvénegenletet, ha 7. + 7 Megoldás. Vezessük be a + = t helettesítést. Ebből = t. Behelettesítve ezeket a kifejezéseket az f( + ) = + függvénegenletbe adódik, hog + 7 f(t) = t + t + 7 = t t + 5, illetve visszatérve az független változóra, f() = + 5, 5. 0. Oldjuk meg az f( ) = 4 + függvénegenletet. Megoldás. Vezessük be a = t helettesítést. Ebből = t +. Behelettesítve ezeket a kifejezéseket az f( ) = 4 + függvénegenletbe adódik, hog ( ) t + f(t) = 4 t + + = t + t +, illetve, hog f() = + +.
.. Halmazelméleti alapfogalmak 9. Legen a tetszőleges valós szám. Ha f( + a) = + + a, akkor határozzuk meg menni f( a). Megoldás. A feladatot két lépésben oldjuk meg. Először meghatározzuk az f() szabált, majd kiszámítjuk az f függvén a helen vett helettesítési értékét. Az + a = t helettesítésből = t a, ahonnan következik, hog illetve hog Az f függvén értéke a-ban f(t) = (t a) + (t a) + a = t + ( a)t + a, f() = + ( a) + a. f( a) = ( a) + ( a)( a) + a = + ( 4a) + 4a a.. Oldjuk meg az f ( ) + = + Megoldás. Vezessük be a + = t helettesítést. függvénegenletet, ha,. Ebből + = t( ), ahonnan rendezés után az = t + kifejezést kapjuk. t Következik, hog t+ t f(t) = t+ + = t t, t vagis f() =,. ( ). Oldjuk meg az f() + f = függvénegenletet, ha. Megoldás. Vezessük be az = t helettesítést. Ekkor = t( ), ahonnan rendezés után = t t. Ezeket behelettesíve a fenti egenletbe adódik, hog ( ) t f + t f (t) =. t t A kapott egenletben nevezzük át a t változót -re. eredetivel egütt a következő egenletrendszert adja: f() + f ( ) ( ) f () + f Az íg kapott egenlet az = =
0. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK A második egenletet beszorozva ( )-szel, a következő egenletrendszert kapjuk: f() + f f () f ( ) ( ) = = A két egenletet összeadva kapjuk, hog amiből ) ( f () =, ( + ) f() = ( ), rendezés után pedig a keresett függvén alakja f() = ( ),. 4. Oldjuk meg az adott függvénegenletet, ha, : f ( ) + + f ( ) =. + Megoldás. Vegük észre, hog ha Uganakkor, ha a helettesítés + = t, akkor + = t és = + t t. + = t, akkor + = t és = t + t. Mindkét helettesítést alkalmazva az adott egenletre, a következő egenletrendszert kapjuk: f(t) + f f (t) + f ( ) t ( ) t = + t t = t + t
.. Halmazelméleti alapfogalmak A második egenletet beszorozva ( )-vel, majd a két egenletet összeadva, rendezés után kapjuk a f(t) = + t t + t + 4 t egenletet, amiből illetve áttérve az változóra, a megoldás f(t) = 4t + 5 (t ), f() = 4 + 5 ( ),. 5. Oldjuk meg az adott függvénegenlet-rendszert, majd határozzuk meg az (f g)() függvénkompozíciót, ha : f f ( ) ( ) + g ( + ) = g ( + ) = Megoldás. Összeadva a két egenletet, rendezés után adódik, hog ( ) f =. Ha és f (t) = = t, akkor = t t t t, vagis f() = ( ). Vonjuk ki az egenletrendszer első egenletéből a másodikat. Ekkor rendezés után kapjuk, hog g( + ) =. Ha és + = t, akkor = t g (t) = t 4, vagis g() =. 4 A keresett függvénkompozíció pedig ( ) (f g)() = f(g()) = f = 4 4 ( ( ) ) = ( 5). 4
. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK.. Elemi függvének A következőkben azokkal a függvénekkel ismerkedünk meg, amelekre később az általánosabb függvének vizsgálatát alapozni fogjuk. Mivel ezek a függvének már az elemi matematikában is szerepelnek, ezért elemi alapfüggvéneknek nevezzük őket. Azokat a függvéneket amelek az elemi alapfüggvénekből a nég alapművelet (összeadás, kivonás, szorzás, osztás) és az összetett függvén képzésének véges számú alkalmazásával nerhetők, elemi függvéneknek nevezzük. Az alábbi fejezetekben bemutatjuk az elemi alapfüggvéneket és foglalkozunk néhán fontosabb elemi függvénnel.... Lineáris függvén.. Definíció. Legenek a és b tetszőleges valós számok. Azt az f : R R valós függvént, melet az f() = a + b hozzárendeléssel adunk meg, lineáris (vag elsőfokú) függvénnek nevezzük. A lineáris függvén minden valós számra értelmezett és minden valós értéket felvesz, azaz értelemzési tartomána D f = R, és értékkészlete is uganez, vagis R f = R. Az f lineáris függvén grafikonja a G f = {(, ) R R és = a + b} ponthalmaz, amel a Descartes-féle derékszögű koordinátarendszerben mindig eg egenes. Ha a = 0, akkor a lineáris függvén f() = b alakú. Mivel ebben az esetben a képletben nem szerepel az független változó, ezért ezt a függvént konstans függvénnek nevezzük. A konstans függvén minden eges pontjának ordinátája (-koordinátája) b-vel egenlő, ami azt jelenti, hog grafikonjának minden eges pontja b távolságra van az -tengeltől, ezért az = b egenletű függvéngrafikon eg vízszintes helzetű, azaz az -tengellel párhuzamos egenest határoz meg. b, b 0 b M,b M,b b, b 0 b, b 0 Ha M (, ) és M (, ) az = b egenes különböző pontjai, ahol és olan valós számok esetén, hog <, = = b lesz érvénes. Az ilen helzetű egenes se nem növekszik, se nem csökken, hiszen bármel valós számra uganazt az értéket veszi fel. Az f : R R, f() = b konstans függvén se nem injektív, se nem szürjektív, tehát nem is bijektív, ezért nincs inverz függvéne.
.. Elemi függvének Legen most a 0. Ekkor az f() = a + b lineáris függvén bijektív és grafikonja eg ferde helzetű egenes, amelnek egenlete = a + b. Felvetődik a kérdés, hog vajon a sík bármel egenese eg lineáris függvén grafikonja-e? A válasz nem, uganis az = m egenletű függőleges helzetű, azaz -tengellel párhuzamos egenesen olan pontok találhatók, mint az (m, ) és (m, ). Ez pedig azt jelenti, hog az = m hozzárendelési szabál nem tesz eleget a leképezés definíciójának (mivel eg eredetihez nem csak eg értéket rendel hozzá), íg nem is függvén. m, m, m m Az f() = a+b, a 0 lineáris függvén minden valós számra értelmezett, azaz D f = R. Az f függvén értéke nullában egenlő a lineáris függvén állandó tagjával, azaz f(0) = b. Az f függvén grafikonján tehát mindig rajta van a (0, b) koordinátájú pont, ami egben azt is jelenti, hog az = a + b egenes a b pontban metszi az -tengelt. Azt a pontot, ahol az = a+b egenes metszi az -tengelt, az f függvén nullahelének nevezzük. Mivel ebben a pontban = 0, íg = b ( a. Ezért N b ) a, 0 az f() = a + b lineáris függvén nullahele. Az f függvén előjele az a konstans előjelétől függ. o Legen a > 0. Az f függvén pozitív, azaz grafikonja az -tengel felett helezkedik el, amenniben > b, és az f függvén negatív, azaz grafikonja az -tengel alatt a helezkedik el, ha < b a. o Legen a < 0. Ebben az esetben viszont fordított a helzet, vagis az f függvén pozitív, ha < b a, és az f függvén negatív, amenniben > b a. Az f() = a + b lineáris függvén képletében az a 0 állandót az = a + b egenes iránténezőjének nevezzük. Vizsgáljuk meg az iránténező geometriai jelentését. Legenek M (, ) és M (, ) az = a + b egenes különböző pontjai, ahol és tetszőleges valós számok, valamint = a + b és = a + b. Ha a második egenletből kivonjuk az elsőt, akkor az = a( ) összefüggést kapjuk, és mivel, ezért a = (= tg α), ahol az = a + b egenes α szöget zár be az -tengel pozitív iránával. Az f függvén növekedése, illetve csökkenése szintén az a konstans előjelétől függ. o Tekintsük először az a > 0 esetet. Ha most és olan valós számok, hog <, akkor < és ebben az esetben azt mondjuk, hog a függvén szigorúan monoton Α b M M
4. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK növekvő a teljes értelmezési tartománon. Vegük észre, hog a függvén grafikonja és az -tengel pozitív irána által bezárt α szög heges szög. o Az a < 0 esetet vizsgálva megállapíthatjuk, hog ha és olan valós számok, hog <, akkor > és ebben az esetben azt mondjuk, hog a függvén szigorúan monoton csökkenő a teljes értelmezési tartománon. A függvén grafikonja most az -tengel pozitív iránával α tompa szöget zár be. b M M Ha b = 0, akkor az = a egenes áthalad az origón. a = esetén az = egenes az első és harmadik neged szimmetriatengele, a = esetén pedig az = egenes a második és negedik neged szimmetriatengele. Tekintsük az f () = a + b és f () = a + b függvének grafikonjait. Mivel az f függvén iránténezője és grafikonjának az -tengel pozitív iránával bezárt szöge összefüggésben állnak egmással, ezért érvénes a következő, párhuzamos egenesekre vonatkozó tétel..4. Tétel. Két különböző egenes akkor és csakis akkor párhuzamos, ha iránténezőik megegeznek, azaz a = a, vag ha mindkettő merőleges az -tengelre. Merőleges egenesek esetén a következő állítás érvénes..5. Tétel. Két különböző egenes akkor és csakis akkor merőleges egmásra, ha iránténezőik kielégítik az ) a a =, (a = a feltételt, vag ha az egik egenes merőleges az -tengelre, a másik pedig párhuzamos az -tengellel. A síkbeli egenes egenletének eplicit alakja = a + b, a, b R, a 0. A síkbeli egenes egenletének implicit alakja az Α A + B + C = 0, A, B, C R kétismeretlenes egenlet, amelből B 0 esetén felírható az egenes egenletének eplicit alakja, ahol a = A B és b = C B, azaz = A B C B. A B = 0 esetben az -tengellel párhuzamos egenesek egenletét kapjuk, azaz ekkor = C A.
.. Elemi függvének 5 FELADATOK.. Írjuk fel annak a lineáris függvénnek az egenletét, amel áthalad az M (0, ) és M (4, ) pontokon, majd ábrázoljuk a grafikonját és írjuk le a tulajdonságait. Megoldás. A lineáris függvén általános alakja f() = a + b. Ha az M és M pontok rajta vannak az f függvén grafikonján, akkor ezek a pontok kielégítik a megfelelő egenes egenletét, vagis az alábbi egenletrendszert: = a 0 + b = a 4 + b Az első egenletből b =, a másodikból pedig a =, íg a keresett függvén egenlete f() =. Az = függvéngrafikonról leolvashatjuk a következő tulajdonságokat:. A függvén értelmezési tartomána D f = R.. A függvén értékkészlete R f = R.. A függvén nullahele =, = 0 esetén pedig az értéke. Ez azt jelenti, hog a függvén grafikonja az N(, 0) pontban metszi az -tengelt, s az M(0, ) pontban metszi az -tengelt. 4. a = > 0 miatt a függvén szigorúan monoton növekvő a teljes értelmezési tartománon. 5. f() > 0, ha (, + ), illetve f() < 0, ha (, ).. Határozzuk meg azt a lineáris függvént, amel párhuzamos az = 5 egenessel és áthalad a P (, ) ponton. Megoldás. Az = 5 egenes iránténezője a = 5. A párhuzamosság miatt a keresett f() = a + b lineáris függvén iránténezője is anni kell, hog legen, azaz a = 5. Az f() = 5 + b lineáris függvénnek tartalmaznia kell a P (, ) pontot, tehát teljesülnie kell a = 5 ( ) + b egenletnek, ahonnan b =. A keresett lineáris függvén tehát f() = 5 +.. Az f() = (m ) + m lineáris függvénben határozzuk meg az m valós paraméter értékét úg, hog a) a függvén grafikonja az -tengelt az 5-ben messe, b) a függvén nullahele = -ban legen.
6. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK Megoldás. a) Az = a + b egenes b-ben metszi az -tengelt, ezért most b = 5 kell legen. Az adott függvénből ennek alapján m = 5, ahonnan m =, azaz m =. Mivel m = =, ezért a keresett függvén képlete f() = + 5. b) Ha = a nullahel, akkor az N(, 0) pont rajta van a keresett függvén grafikonján. Ekkor 0 = (m ) ( ) + m, illetve 0 = m + 6 + m. Innen 5m = 9 és m = 9. A keresett függvén grafikonjának eplicit alakja tehát 5 = 5 5, implicit alakja pedig + 5 + = 0. 4. A k + ( k) + = 0 egenes egenletében határozzuk meg a k valós paraméter értékét úg, hog az egenes párhuzamos legen a 4 + = 0 egenessel. 5. Megoldás. Mivel az egenes iránténezője az egenes egenletének eplicit alakjából olvasható ki, ezért alakítsuk át az implicit alakot eplicit alakra. Ekkor adódik, hog = 4+, illetve = +, íg a keresett iránténező a =. A paraméteres egenletet pedig átalakíthatjuk a következő módon: (k ) = k +, illetve = k k + k. Íg az iránténezőket kiegenlítve az alábbi egenletet kapjuk: k k =, ahonnan k = k, vagis k =. A keresett egenes egenletet tehát implicit alakban + = 0, illetve eplicit alakban = +. Írjuk fel annak az egenesnek az egenletét, amel áthalad az M(5, ) ponton és merőleges a + 4 = 0 egenesre. Megoldás. Ha + 4 = 0, akkor ebből = + 4, íg az adott egenes iránténezője a =. Ha a keresett egenes egenletét = a +b alakban írjuk fel, akkor a = a =, vagis = + b. Ennek az egenesnek át kell haladnia az M(5, ) ponton, ezért = 5 + b, ahonnan b =. A keresett egenes egenletének eplicit alakja tehát =, implicit alakja pedig = 0.
.. Elemi függvének 7... Szakaszonként egenesvonalú függvén E függvének egszerűségük ellenére nem elemi függvének. Az abszolút érték függvén. Az a, a R abszolút érték értelmezése alapján az f() = abszolút érték függvént íg definiáljuk: {, ha 0, =, ha < 0. Az f abszolút érték függvén értelmezési tartomána D f = R, értékkészlete R f = [0, ). Az f függvén grafikonja =, ha 0 és =, ha < 0..6. Példa. =, 0 = 0, =. Az előjel (vag szignum) függvén. Az előjelét megadó f() = sgn előjel (vag szignum) függvént a következőképpen definiáljuk:, ha > 0, sgn = 0, ha = 0,, ha < 0. sgn Az f előjel függvén értelmezési tartomána D f = R, értékkészlete R f = {, 0, }. Az f függvén grafikonja =, ha > 0, = 0, ha = 0 és =, ha < 0..7. Példa. sgn =, sgn ( ) =, sgn 0 = 0. Az egészrész (vag entier) függvén. Az R egész részét megadó f() = [] egészrész (vag entier) függvén definíciója a következő: [] = ma{n Z n }, vagis [] jelenti az -nél kisebb vag vele egenlő legnagobb egész számot. Az f egészrész függvén értelmezési tartomána D f = R, értékkészlete pedig R f = Z. Az f függvén grafikonja két egész szám között olan egenesszakaszokból áll, amelek párhuzamosak az -tengellel, s végpontjaik közül csak a baloldaliak tartoznak a grafikonhoz..8. Példa. [.] =, [.00] =, [.4] =, [] =.
8. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK A törtrész (vag frac) függvén. Az R tört részét megadó f() = {} törtrész (vag frac) függvén definićiója a következő: {} = [] = [] ma{n Z n }. Az f törtrész függvén értelmezési tartomána D f = R, értékkészlete pedig R f = [0, ). Az f függvén grafikonja két egész szám között az -tengellel 45 o -os szöget bezáró egenesszakaszokból áll, a végpontjaik közül csak az -tengelen levők tartoznak a grafikonhoz..9. Példa. {.} = 0., { } = 0, {.4} = 0.6, {} = 0. FELADATOK.. Írjuk fel abszolút érték nélkül, majd rajzoljuk meg az f() = 4 függvén grafikonját, majd a segítségével rajzoljuk meg az = 4 grafikont is. Megoldás. Az abszolút érték definíciója alapján következik, hog { { 4, ha 4 0, 4, ha, 4 = = ( 4), ha 4 < 0. + 4, ha <. Behelettesítve a megfelelő egenletbe és rendezve a kifejezést, valamint megoldva a megfelelő egenlőtlenségeket adódik, hog { 7, ha, = 4 = +, ha <. Ennek grafikonja és az = 4 függvéngrafikon a következő két ábrán látható. Az abszolút érték a második grafikon esetében azt jelenti, hog ha a grafikon íve az -tengel felett van, akkor ott is marad, ha pedig a grafikon íve az -tengel alatt van, akkor azt a pozitív félsíkra tükrözzük az -tengelhez való tengeles szimmetriával. 4 4 4 4 4
.. Elemi függvének 9. Rajzoljuk meg az f() = + + függvén grafikonját és határozzuk meg a nullahelét. Megoldás. Mivel { +, ha + 0, + = ( + ), ha + < 0 { +, ha, =, ha < ezért rendezés után felírható, hog {, ha, f() =, ha <. A függvén nullahelét az f() = 0 egenlet megoldása adja. = 0 akkor és csakis akkor, ha = és mivel a hozzátartozik a [, ) intervallumhoz, ez valóban nullahele a függvénnek. = 0 akkor és csakis akkor, ha = 0, és mivel a 0 nem tartozik hozzá a (, ) intervallumhoz, ezért nem nullahele a függvénnek. A függvénnek tehát csak eg nullahele van, az N(, 0) pont. N,0 4 4 5 6 7 8. Oldjuk meg az = (5 ) egenletet. Megoldás. Oldjuk meg grafikusan a feladatot ol módon, hog megrajzoljuk az 4 = és = + 5 M függvéngrafikonokat uganabban a koordinátarendszerben és megkeressük a metszéspontjaikat. M 5 4 5 6 Mivel = {, ha 0, ( ), ha < 0 = {, ha, +, ha < ezért az egik megoldást az = és az = + 5 egenesek metszéspontjából,
0. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK a másik megoldást pedig az = és az = + 5 egenesek metszéspontjából olvashatjuk le. Mivel ezek a metszéspontok az M (, ) és M (, ) pontok, ezért az egenlet megoldásai = és =. 4. Oldjuk meg az + ( + 5) egenlőtlenséget. Megoldás. Rajzoljuk meg uganabban a koordinátarendszerben az = + és = + 5 függvéngrafikonokat, majd számítsuk ki a metszéspontokat és olvassuk le, hog mel intervallumon van az = + 4 5 5 4 grafikonja az = + 5 grafikonja alatt. Az egik metszéspontot az + = + 5 egenletből számítjuk ki, ahonnan =, a másik metszéspontot az = + 5 egenlet megoldása adja, ahonnan =. A grafikonról leolvashatjuk, hog az = + függvén grafikonja a [, ] intervallumon az = + 5 függvén grafikonja alatt van, ezért az + ( + 5) egenlőtlenség megoldása a [, ] intervallum, azaz a megoldáshalmaz M = { R }. 5. Hán megoldása van a + = a egenletnek az a valós paraméter különböző értékeire? Megoldás. Mivel az abszolút érték felbontása után {, ha, + = +, ha <, ezért ha megrajzoljuk az = + függvén grafikonját, valamint az = a vízszintes helzetű egeneseket különböző a R értékekre, akkor a grafikonról leolvashatjuk a megoldást: a, a a, a 6 5 4 4 a, a
.. Elemi függvének o a > esetén az egenletnek nincs megoldása, o a = esetén az egenletnek megoldása van, o a < esetén az egenletnek megoldása van.... Hatvánfüggvén.. Definíció. Azt az f : R R valós függvént, melet az f() = n, n N hozzárendeléssel adunk meg, természetes kitevőjű hatvánfüggvénnek nevezzük. Tekintsünk először néhán kokrét esetet. Az f() = függvén grafikonja az = egenletű egenes. Az f() = függvén grafikonja parabola. Készítsünk értéktáblázatot és a kapott pontok segítségével rajzoljuk fel ezt a görbét. 0.5 0 0.5 4 0.5 0 0.5 4 7 4 6 5 4 4 Az f() = függvén értelmezési tartomána D f = R, értékkészlete R f = [0, ), nullahele pedig az origó, azaz az N(0, 0) pont. Az f függvén jellegzetes tulajdonsága, hog f( ) = f(), ami miatt a függvén grafikonja szimmetrikus az -tengelre. Uganilen tulajdonságokkal rendelkezik minden f() = n, azaz páros kitevőjű hatvánfüggvén, ha n N. A mellékelt ábrán megfigelhetjük az = és az = 4 parabolák közötti viszont. A páros kitevőjű függvénre érvénes, hog minden valós számra f( ) = f(), és emiatt nevezünk minden olan f függvént párosnak, amelekre f( ) = f() teljesül. A páros függvének grafikonja szimmetrikus az -tengelre.
. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK Rajzoljuk most fel az f() = függvén grafikonját, amelet harmadfokú parabolának is szokás nevezni. Készítsünk értéktáblázatot és a kapott pontok segítségével rajzoljuk fel ezt a görbét. 0.5 0 0.5 8 0.5 0 0.5 8 8 7 5 6 5 4 4 5 6 7 8 Az f() = függvén értelmezési tartomána D f = R, értékkészlete R f = R, nullahele pedig az origó, azaz az N(0, 0) pont. Az f függvén jellegzetes tulajdonsága, hog f( ) = f(), ami miatt a függvén grafikonja szimmetrikus az origóra. Uganilen tulajdonságokkal rendelkezik minden f() = n, azaz páratlan kitevőjű hatvánfüggvén, ha n N. A mellékelt ábrán megfigelhetjük az = és az = 5 harmadfokú parabolák közötti viszont. A páratlan kitevőjű függvénre érvénes, hog minden valós számra f( ) = f(), és emiatt nevezünk minden olan f függvént páratlannak, amelekre f( ) = f() teljesül. A páratlan függvének grafikonja szimmetrikus az origóra. Bővítsük ki a hatvánfüggvén fogalmát negatív egész kitevőkre, azaz tekintsük az f() = n = n, n N függvéneket. Értelmezési tartománuk D f = R \ {0}, nullahelük nincs. Páros kitevők esetén a függvének párosak és értékkészletük R f = (0, ), páratlan kitevők esetén pedig a függvének páratlanok és értékkészletük R f = R \ {0}.
.. Elemi függvének A következő két ábrán az n = és n = 4, valamint az n =, n = és n = 5 eset látható. 4 5 Tekintsük az f() = függvént a D f = [0, ) értelmezési tartománon. Ekkor az f függvén értékkészlete R f = [0, ) és f bijektív, vagis létezik inverze. Az f inverz függvént az = ( f () ) egenletből kapjuk, ahonnan f () =. Az f függvén grafikonját az f függvén grafikonjának = tengelre való tükrözésével kapjuk. Az = függvéngrafikonról leolvashatjuk, hog a függvén csak nemnegatív számokra értelmezett, szigorúan monoton növekvő és pozitív a teljes értelmezési tartománon. Hasonlóan jutunk el az = n függvéngrafikonok fogalmához is, melek tulajdonságaikban is teljes hasonlóságot mutatnak az = grafikon tulajdonságaival. Tekintsük most az f() = függvént a D f = R értelmezési tartománon. Ekkor az f függvén értékkészlete R f = R és f bijektív, vagis létezik inverze. Az f inverz függvént az = ( f () ) egenletből kapjuk, ahonnan f () =. Az f függvén grafikonját az f függvén grafikonjának = tengelre való tükrözésével kapjuk. Az = függvéngrafikonról leolvashatjuk, hog a függvén minden valós számra értelmezett, szigorúan monoton növekvő a teljes értelemzési tartománon, az origóban van nullahele és grafikonja középpontosan szimmetrikus az origóra, vagis páratlan függvénről van szó. Hasonlóan jutunk el az = n+ függvéngrafikonok fogalmához is, melek tulajdonságaikban teljes hasonlóságot mutatnak az = grafikon tulajdonságaival. Bővítsük most a hatvánfüggvén fogalmát racionális kitevőjű hatvánfüggvénekre, azaz tekintsük az f() = n = n, n N típusú függvéneket. A következő két ábrán az n = és n = 4, valamint az n = és n = 5 eset látható.
4. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK 4 5..4. Másodfokú függvén.4. Definíció. Legenek a, b, c R és a 0. Az f : R R valós függvént, melet az f() = a + b + c hozzárendeléssel adunk meg, másodfokú függvénnek nevezzük. Azt a síkgörbét, amelnek az egenlete = a + b + c, másodfokú parabolának, vag röviden csak parabolának nevezzük. A másodfokú függvén legegszerűbb alakja a =, valamint b = c = 0 esetén az f() = függvén, amelnek grafikonját már rajzoltuk, s amelből különböző függvéntranszformációk segítségével az összes többi parabola is felrajzolható. Az alábbi ábrán a már ismert = parabola látható, s erről leolvashatjuk az f() = függvén tulajdonságait.. Értelmezési tartomána: D f = R.. Értékkészlete: R f = [0, ).. Nullahele: = 0. 4. Előjele: f() > 0, ha 0. 5. f szigorúan monoton csökkenő, ha < 0, f szigorúan monoton növekvő, ha > 0. 6. = 0-ban a függvénnek minimuma van és f min (0) = 0. 7 6 5 4 7. A grafikonnak az -tengel szimmetriatengele. 8. A függvén grafikonja felfelé níló (konve) parabola. 4 Az f() = k, f() = k + n, f() = ( + m) és f() = k( + m) + n függvének grafikonjai olan parabolák, meleket az = parabola transzformációival kaphatunk -, illetve -tengelek iránában történő eltolásokkal, valamint zsugorítással és nújtással.