Scharcz Tbor KOMPUTERGRAFIKAI ALAPOK Dgtáls Flmtechka szakráú toábbképzés szak részére
Tartalom Beezetés... 3 2 Leképezések és etítő modellek... 4 2. Homogé koordáták... 4 2.2 Cetráls etítés.... 5 2.3 Párhuzamos etítés.... 6 2.4 Cetráls etítés 2.... 6 2.5 Párhuzamos etítés 2.... 7 2.6 I. Vetítés redszer... 7 2.7 II. Vetítés redszer... 0 2.8 III. Vetítés redszer... 2 2.9 IV. Vetítés redszer... 2 2.0 V. Vetítés redszer... 6 3 B-sple görbe előállítása... 7 4 Felületek... 8 4. Bleársa súlozott Coos-foltok... 8 4.2 Bkubkusa súlozott Coos-foltok... 20 4.3 Gordo felület... 2 4.4 Tezor-szorzat felületek... 23 4.4. Bezer felület... 23 4.4.2 Bezer felület mátrx-reprezetácó... 23 4.4.3 Iterpoláló Bezer felület... 24 2
Beezetés Jele egzet Dgtáls Flmtechka szakráú toábbképzés szak részére készült. Bár a egzet címe KOMPUTERGRAFIKAI ALAPOK, tartalmát tekte mégsem beezető ellegű smeretekről lesz szó. Iformatka alapképzése (Bsc) túlutott hallgatók általába taultak már Számítógép grafkát. Jele kurzus a beezető taaago túlmutat, feltételezé, hog a kurzus hallgató a megkíát grafka smeretekkel már redelkezek. A Debrece Egetem formatka alapképzésébe szerepel a Beezetés a számítógép grafkába című kötelező tárg. Eek aagát tektük kdulásak. 3
2 Leképezések és etítő modellek Ha raszteres képpé koertála a 3D-s tárgakat meg akaruk eleíte a motor képerőé, akkor ezeket a 3D-s modelltérből eg 2D-s ézetre kell leképez. Ezért a számítógépes grafkába kemelt eletőségű traszformácók a etítések. Vetítések eezzük azokat a dmezóeszteséggel áró pot-traszformácókat, amelekél a képpot és a ek megfelelő tárgpot eg egeese helezkedk el. A tárg- és képpotoko áthaladó egeest etítősugárak eezzük. A etítés eredmée a etület, am a képsíko képződk. Az eges tárgpotok képe a etítősugarak döféspota a képsíkkal. A etítés két alaptípusa a párhuzamos és a középpotos etítés. Párhuzamos etítésről beszélük, ha a etítősugarak egmással párhuzamosak. Ha eze kíül a etítősugarak még merőlegesek s a képsíkra, akkor merőleges a etítés, egébkét pedg a ferde etítés eleezést haszáluk. Középpotos etítés eseté a etítősugarak mdegke áthalad a etítés középpoto, a cetrumo. Perspektkus hatás elsősorba a tárg és a cetrum és a pot táolságától függ. Ha ez a táolság mde határo túl ő, a középpotos etítés párhuzamos etítésbe meg át. A etítőmodellek mmáls feladata, hog megfelelő paraméterek alapá traszformácók egmásutáá keresztül lehetőség ílo a 3D-s lágkoordáta-redszerbel obektumok potat a képsíkra leképez. 2. Homogé koordáták A traszformácók egséges kezelése matt úgeezett homogé koordátákat ezetük be. A 3 dmezós proektí teret a alós 4 dmezós ektortérbe ágazzuk be, a proektí tér potaak reprezetálása a zérus ektortól külöböző 4 dmezós ektortér ektoraak eg-eg osztáláal törték. Eg osztálba tartozak a leársa függő ektorok, ag másképp az egmással aráos számégesek ugaazt a potot reprezetálák. Ezeket a koordátákat eezzük homogé koordátákak. Ha a pot egedk koordátáa em zérus, akkor a pot 3 E -ak s pota, egébkét a potot égtele táol potak eezzük. A égesbe léő potok homogé koordátát megkapuk, ha a egedk 4
x koordátáal elosztuk a pot első három koordátáát: =, ahol x4 0. A x síkbel homogé koordátákat hasolóa értelmezzük, a potokat és az egeeseket alós számhármasok eg-eg osztáláal ellemezzük. 4 2.2 Cetráls etítés. A legegszerűbb eg paraméteres modell esetébe a lág és a razkoordátaredszer em álk szét. A képsík lege a lágkoordáta-redszer {x,} koordátasíka, a etítés cetrum pedg a z tegel poztí felé helezkedk el (. ábra). A leképezés egetle mátrxszal leírható. A megfelelő hasoló s s háromszögekből: x = x ; = ; s z s z P (x,,z ) P (x,,0) x x z x s C z. ábra Uga ez homogé koordátákkal mátrx-reprezetácóba: s 0 0 0 x x x x s z 0 0 0 s = 0 0 0 0 = z = 0 z s z z 0 0 0 s s 5
2.3 Párhuzamos etítés. A képsík a cetráls esethez hasolóa az{x,} koordátasík. Lege a etítés ráa a ektorral megada. Ekkor: P = P + λ alapá x = x + λ, = + λ, z = z + λ = 0,amből x z z z z λ = x = x, = x z z z x 0 0 z x x x z x z z = 0 0 = 0 z z z 0 0 0 0 0 0 0 0 2.4 Cetráls etítés 2. Helezzük el a etítés cetrumot a lágkoordáta-redszer kezdőpotába. A képsík lege a lágkoordáta-redszer {x,} koordátasíkáal párhuzamos, attól d táolságra, azaz a képsík egelete lege z=d. A képsíko értelmezett koordátaredszer a lágkoordáta redszer tegelel párhuzamosa A megfelelő hasoló háromszögekből leolasható (2. ábra): P (x,,d) x d = = ; x z d d x = x ; = ; z = d z z P(x,,z ) x C z x x Képsík d z 2. ábra 6
Homogé koordátás alak mátrx-reprezetácóba: d 0 0 0 x x x x z 0 0 0 d = 0 0 0 = z = z z z z 0 0 0 d d d 2.5 Párhuzamos etítés 2. A képsík elhelezése ugaaz, mt a 2. típusú cetráls etítésél. A etítés rá smét a ektorral adott. A kép az orgót a etítedő pottal összekötő egeesek és a képsíkak a metszésekét áll elő. P = P + λ alapá x = x + λ, = + λ, z = z + λ = d,amből x z d z x λ = x = x + ( d z), = + ( d z), z = d z z z d z 0 d x x z + z x z 0 d d z = = z z z z + z 0 0 0 d d 0 0 0 x x x Ha d értékét ulláak álasztuk, azaz a képsík az {x,} koordátasík, természetese sszakapuk a 2.3-as esetet. 2.6 I. Vetítés redszer A kamera-koordátaredszert a lág-koordátaredszer 3 paraméterrel leírható mozgatásáal hozzuk létre. A kamera-redszer kezdőpotát gömb koordátákkal aduk meg. A kamera-redszer z tegele a lágkoordátaredszer kezdőpotába mutat. 7
Képsík Képsík 4. ábra 3. ábra A kamera-koordátaredszer meghatározó paraméteret a 3. ábrá látuk. A kamera-koordátaredszer kezdőpotáak koordátá: O µ cosθ sφ = µ sθ sφ µ cosφ. Eltolás O -be 0 0 µ cosθ sφ 0 0 µ sθ sφ T = 0 0 µ cosφ 0 0 0 A megfelelő koordáta-traszformácó lépése és a szükséges koordáta- traszformácók mátrxa: π 2. Forgatás z tegel körül θ szöggel az óramutató ár rásáak megfelelő 2 rába. Íg az ú x tegel merőleges lesz a z-t és az ú kezdőpotot tartalmazó síkra). 8
T 2 sθ cosθ 0 0 cosθ sθ 0 0 = 0 0 0 0 0 0 3. A koordátaredszer forgatása π φ szöggel az óramutató árásáal elletétes rába az ú x tegel körül 4. Oretácó áltás 0 0 0 0 cosφ sφ 0 Τ 3 = 0 sφ cosφ 0 0 0 µ 0 0 0 0 0 0 Τ 4 = 0 0 0 0 0 0 5. A teles összetett traszformácó: T T T T T sθ cosθ 0 0 cosφ cosθ cosφ sθ sφ 0 sφ cosθ sφ sθ cosφ µ 0 0 0 e = 4 3 2 = Ezek utá alkalmazhatuk a 2.4 cetráls etítést ag a 2.5 párhuzamos etítést. A leképezés síka merőleges z -re és a ézőpottól d táolságra helezkedk el. Cetráls etítés esetébe egetle mátrxba sűríte az eredmé: 0 0 0 sθ cosθ 0 0 0 0 0 cosφ cosθ cosφ sθ sφ 0 T = 0 0 0 T e = sφ cosθ sφ sθ cosφ µ sφ cosθ sφ sθ cosφ µ 0 0 0 d d d d d 9
2.7 II. Vetítés redszer Adott a C pot, ez lesz a kamera-koordátaredszer kezdőpota és az F pot, eze pot defála a kamera-rát, azaz a kamera-redszer z tegele fog a CF rába mutat. Jelöle ( a, b, c) a CF ráú egség hosszúságú ektort. Első lépéskét elforgatuk a redszert a lágkoordáta redszer z tegele körül úg, hog az x tegel forgatotta fedésbe kerülö a ektor {x,} síkra eső merőleges etületéel. A forgatás ( a, b, c) szögéek koszusza és szusza egszerűe számolható a megfelelő derékszögű háromszögekből. Fgelembe ée, hog 2 2 2 a + b + c =. adódk: s( α) = b b = 2 2 2 a + b c cos( α) = a a = a + b c 2 2 2 A megfelelő forgatás mátrx: 5. ábra a b 0 0 2 2 c c b a T 0 0 = 2 2 c c 0 0 0 0 0 0 A köetkező lépésbe tegel körül forgatuk megfelelő β szöggel az óramutató árásáal megegező rába. Íg az ú z tegel párhuzamos lesz az adott ráal. A β szög szusza és koszusza az ábra alapá, fgelembe ée, hog =: 0
2 s( β ) c, cos( β ) = = c A koordáta traszformácó mátrxa: 2 c 0 c 0 0 0 0 T 2 = 2 c 0 c 0 0 0 0 Oretácót áltuk, hog redszerük bal-sodrású lege: 0 0 0 0 0 0 T 3 = 0 0 0 0 0 0 Bztosítuk, hog a kamera forgatható lege az ú z tegel körül. Jelöle θ a forgatás szögét, ekkor az ehhez tartozó mátrx: cos( φ) s( φ) 0 0 s( φ) cos( φ) 0 0 T 4 = 0 0 0 0 0 0 Végül eltoluk a redszert a kamera-redszer C kezdőpotába. Ehhez azoba meg kell határozuk C koordátát az ú bázsra oatkozóa. Jelöle c, c2, c3 a C pot eredet koordátát. A traszformácós mátrx: T = T4 T3 T2 T. Az ú előállítás: C e = TC, és mel koordáta-traszformácóról a szó, eek --szerese lesz az eltolás ektor. A T és -C e -hoz tartozó eltolást leíró mátrxok szorzatakét kapuk a etítés traszformácó mátrxát. Az eredmé a mellékletbe megtalálható.
2.8 III. Vetítés redszer Léegébe megegezk a II. etítés redszerrel. Adott a kamerakoordátaredszer kezdőpota, C. A etítés rát a II. redszertől eltérőe eg N egségektorral aduk meg. Ezzel lesz párhuzamos a etítés redszer tegele. A leképezés síka merőleges N-re, cetráls etítés esetébe pl. a 2.4 bel szokásos elredezés szert. Megaduk még eg felfelé mutató rát a V egségektorral, amel merőleges N-re. Ezt a merőlegességet bztosíta kell alkalmas felhaszáló terfésze keresztül. Eek eg lehetséges móda, hog a felhaszáló megad eg körülbelül V -el elölt felfelé rát, amből a redszer számola k a téleges V ektort: V = V - (V N)N. A kamera-redszer harmadk ektora U = N V. Léegébe tehát eg egszerű koordátatraszformácót leíró mátrx az eredmé: z T e U x U U z U xcx U C U zcz V V V V C V C V C x z x x z z = N x N N z N xcx N C N zcz 0 0 0 2.9 IV. Vetítés redszer Kdulás redszerük a kamera-koordátaredszer lesz. A etítés cetrum eze redszer orgóa. Az orgótól d táolságra a z tegelre merőleges a képsík, am egbe a közel ágósík s. Megaduk eg táol ágósíkot, mel az orgótól f táolságra a, szté a z -re merőleges. Adott toábbá eg 2h oldalhosszúságú égzet a képsíko, a 6. ábrá látható módo szmmetrkusa elheleze, középpota a z tegelre esk. Eze égzet cetrumból törtéő etítő gúláából az elülső és hátsó határoló síkok kágak eg csoka gúlát. A céluk az, hog több lépésbe ola traszformácó-sorozatot aduk meg, melek eredméeképpe a etítés gúla eg specáls hasábbá traszformálódk. A cetráls etület számítása helett a kép a potok z koordátáak elhagásáal keletkezk, a etítősugarak pedg a z tegellel leszek párhuzamosak. Eze traszformácó eletős hatékoság-öelő eszköz akár a Z-pufffer, akár a sugárköető algortmusok teré. 2
6. ábra Első lépéskét beezetük eg skálázás traszformácót, mel a 2h oldalú égzetet 2d oldalú égzetbe sz. Ezt köet eg z ráú d faktorú zsugorítás, a képsíkot a z= síkba sz. A két traszformácó egütt: 0 0 0 h 0 0 0 T = h 0 0 0 d 0 0 0 3
Eltolás köetkezk z meté, a gúla csúcspota (0,0,-), a képsík pedg az {x,} koordátasík lesz. 0 0 0 0 0 0 T 2 = 0 0 0 0 0 A etítősugarakat párhozamossá traszformáluk, a gúla égzet alapú hasábbá traszformálódk. Fgelük meg, hog s=- mellett csakem a 2.2 bel cetráls etítés mátrxát haszáluk, a külöbség csak a 3. sorba a, csupa ulla helett a harmadk oszlopba -es áll. 0 0 0 0 0 0 T 3 = 0 0 0 0 0 Utolsó lépéskét a táol ágósíkot hozzuk egség táolságra a képsíktól, a skálázás faktor f f d : 0 0 0 0 0 0 T 4 = f 0 0 0 f d 0 0 0 Végül az eredmé: 4
0 0 0 h 0 0 0 h T = T4 T3 T2 T = f f 0 0 ( f d) d f d 0 0 0 d A T traszformácót hattata a ágás ge leegszerűsödk, a ágás határok az alábbak leszek: x 0 z 5
2.0 V. Vetítés redszer Hasoló a IV. redszerhez. A külöbség a kdulásba a. A képsík em egezk meg az elülső határoló síkkal, de ugaúg helezkedk el, mt a IV.-es redszerbe. Az ábra elöléseek megfelelőe a képsík, elülső határoló sík, alamt a hátsó határoló sík orgótól ett táolsága redre d,,f. Adott toábbá a képsíko eg a koordátategelekkel párhuzamos oldalú téglalap, melet a balalsó és obb felső csúcsa határoz meg, az ( xm, m, d) és ( xmax, max, d) koordátákkal. A megadott paraméterek alapá a ormalzált etítés traszformácó mátrxa az alább: T 2 xmax + xm 0 0 xmax xm ( xmax xm ) d 2 + max m 0 0 max m ( max m ) d = f f 0 0 ( f ) d ( f ) d 0 0 0 d A részletes számítások a mellékletbe találhatóak. 6
3 B-sple görbe előállítása Legeek t és t + skalárok úg, hog t,,,..., t+ t R = Az alább rekurzí függét ormalzált b-sple bázs ag alap függéek eezzük: N ( t) = 0 t t < t + egébkét t t t t N ( t) = N ( t) + N ( t) k k + k k + t+ k t t+ k t+ k Az N ( t) tehát eg legfelebb k--ed fokú polom. Az előforduló 0 háadost 0-0 ak tektük. Lege adott a P 0, P,..., P.potsorozat, azaz + pot. ( ) ( ), P görbét k-ad redű (k--ed fokú) b-sple k A Q t = N t tk t t+ = 0 görbéek eezzük. Tétel: k ( ) = 0,ha [, ] N t t t t + k k Tétel: N ( t) 0, t Tétel: = 0 k N ( t), k 7
4 Felületek 4. Bleársa súlozott Coos-foltok Adott 4, egmást párokét metsző térgörbe, melekek smerük a skalárektoros előállítását. Ezek a görbék legeek: 2 2 [ ] [ ] a ( u), a ( u), u 0, és b ( ), b ( ), 0, Ezek eg térbel égszöget alkotak, amelre lleszte akaruk az r ( u, ) felületet, ahol u, [ 0,]. A felületet úg kell meghatároz, hog a határoko potosa a határoló görbéket ada ssza. Vags: r r ( u ) ( u ) ( ) ( ),0 = a ( u), = a ( u) r 0, = b ( ) r, = b ( ) 2 2 A coos-foltot 3 felületből állítuk elő. Ebből kettő az a ésa 2, alamt a b és b 2 által meghatározott oalfelület, a harmadk pedg eg eregfelület. Voalfelületek leírása: Adott a( u) és a 2( u) térgörbe, melek ugaazo az terallumo kell hog legeek defála, ez általába: u [ 0,], de tetszőleges [a,b] terallum s lehet. A két görbe adott u értékekhez tartozó potat kötük össze, azaz a paraméteroalak egees szakaszok. A két térgörbe által kfeszített [ ] I ( u, ), ahol u, 0, felület egeesekből áll és gaz rá, hog a A felület az a ( u ) és ( ) 2 u ( ) ( ) I ( u,0) = a u, és I ( u,) = a u a a 2 a térgörbék leárs terpolácóa, melek egelete: 8
A felület az a ( u ) és a ( ) 2 u ( ) ( ) I ( u, ) = ( ) a u + a u a 2, egmással szembe fekő két görbét terpolála, de a másk két határoló görbé b ( ), b ( ) 2 - lá em halad át.a b ( ), b ( ) 2 által meghatározott oalfelület hasolóképpe állítható elő. Eek egelete: ( ) ( ) I ( u, ) = ( u) b + ub b 2 A ég görbe metszéspota ég potot határozak meg a térbe, melek meghatározak eg eregfelületet, a ktérő egeesek aff potsora megfelelő elemeek összekötése által. A ég metszéspot bleárs terpolácóa: I ab r(0, 0) r(0,) ( u, ) = [ u u] (,0) (,) r r A coos-foltot a 3 felületből úg kapuk meg, hog a két oalfelület összegéből kouk a eregfelületet: ( ) r u, = I ( u, ) + I ( u, ) I ( u, ) a b ab 9
Azaz: r(0, ) r(0, 0) r(0,) r( u, ) = [ u u] + [ ( u,0) ( u,) ] [ u u] (, ) r r (,0) (,) r r r Ha a leárs súlfüggéek helett tetszőleges súlfüggéeket alkalmazuk, melekre f( u) + f2( u) és g( ) + g2( ) telesedk, akkor az bleársa súlozott Coos-folt általáos alakát kapuk: r(0, ) g( ) r(0,0) r(0,) g( ) r( u, ) = [ f( u) f2( u) ] [ ( u,0) ( u,) ] [ f( u) f2( u) ] (, ) + r r g2( ) (,0) (,) g2( ) r r r 4.2 Bkubkusa súlozott Coos-foltok Adott 4, egmást párokét metsző térgörbe, alamt ezek meté az a ( u), a ( u) alamt b ( ), b ( ) értő-szalagok. Meghatározadó ola 2 u 2u r( u, ) felület, amelekek az adott görbék a határoló görbé, és ezek meté a másk rához tartozó derálta a megadott értőszalagok leszek. Azaz ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u ( ) ( ) ( ) r u,0 = a ( u) r u,0 = a ( u) r u, = a ( u) r u, = a ( u) 2 2 r 0, = b ( ) r 0, = b ( ) u r, = b ( ) r, = b ( ) 2 u 2u A bleárs Coos-foltba szereplő oalfelületek helett harmadredű felületeket haszáluk, a görbe-terpolácóál szereplő két pot és két értő által meghatározott Hermte í segítségéel. Az íhez tartozó M H mátrx: M H 2-3 0-2 3 0 0 = -2 0-0 0 Ez alapá: 20
[ ] C ( u, ) = a ( u) a ( u) a ( u) a ( u) MV, a 2 2 b( ) 2( ) ( u, ) b T C b = UM b u ( ) b2u ( ) Mátrxos elöléssel a harmadredű Hermte-felület: T T C ( u, ) = U M G M V, ahol u H H r(0,0) r(0,) r (0,0) r (0,) r(,0) r(,) r (,0) r (,) G= ru (0,0) ru (0,) ru (0,0) ru (0,0) ru (,0) ru (,) ru (,0) ru (0,0) Végül a felület előállítása: r( u, ) = C ( u, ) + C ( u, ) C ( u, ) a b ab 4.3 Gordo felület a u ( = 0,,2,... m) és a b ( = 0,,2,... ) görbeseregek alamt Adottak az ( ) ( ) a 0 0 u, u,..., u és,,..., skalárok. A görbék egmást redre párokét metszk az ( u, ) paraméterpárhoz tartozó potokba. m Ola felületet kíáuk meghatároz, melek u és ráú paraméteroala redre a megadott görbék, azaz ( ) ( ) r u, = b ( ) és r u, = a ( u) A megoldás: a Coos-foltál haszált ötlet alapá eg terpoláló felületet llesztük a ráú paraméteroalakra, ehhez hozzáaduk eg az u ráú paraméteroalakra llesztett felületet, mad kouk belőlük a paraméteroalak metszéspotara lleszkedő felületet. Lege L ( u ) = és L ( u ) = 0, ha 2
b ( ) = = =0 =0 r u, b ( )L ( u) r ( u, )L ( u) alamt Végül a Gordo felület előállítása: m m m a ( ) = = =0 =0 r u, a ( u)l ( ) r ( u, )L ( u) m ab ( ) = r =0 =0 r u, ( u, )L ( u)l ( ) m m ( u, ) = ( u, ) + ( u, ) ( u, ) r r r r a b ab Az eredet megoldásba Gordo a oalfelületek általáosítása képe Lagrageterpolácót haszált, melet az alább egelőség defál: = 0, = 0, ( u u ) L ( u) = ( u) ( u u ) Természetese más terpolácós módszer s szóba öhet, például Hermte-féle. 22
4.4 Tezor-szorzat felületek 4.4. Bezer felület Eg (,m) redű Bezer felületetet (+) x (m+) kotrollpottal (kotroll háló) aduk meg. A felületet előállító 2 áltozós ektor-skalár függé az alább: m = 0 = 0 m ( ) ( ) [ ] r( u, ) = B u B P, u, 0,, A képletbe szereplő Berste polomok defícóa: B ( u) = u ( u) Általába tezor-szorzat felületről beszélük, ha a Berste-polomok helett más bázs-függét haszáluk, pl. Lagrage, B-sple, racoáls B-sple alapfüggéeket. Az s megegedett, hog a külöböző ráú paraméteroalakhoz külöböző fata alap-függéek tartozzaak. 4.4.2 Bezer felület mátrx-reprezetácó Az -ed fokú Berste polomok az -ed fokú polomok teréek eg bázsát alkoták. Eze tér természetes bázsa és a polomok bázsa között kapcsolat (bázs traszformácó) mátrxa lege M. Ekkor t t. B0 ( t) B ( t)... B ( t) = M.. Bzoítható, hog ekkor az M mátrx, elemére fe áll: 23
, ( ) m = A felület előállítása a bkubkus felületekhez hasolóa törték. Eg (,m) redű Bezer felület T T r( u, ) = U N G M V, ahol U,V eletk a megfelelő -ed llete m-ed fokú polom-tér természetes bázsat oszlopektorba redezette, N és M pedg a megfelelő x-es llete mxm-es kadratkus traszformácós mátrxokat. 4.4.3 Iterpoláló Bezer felület Lege ada (+) x (m+) kotrollpot, melet elölö P,, alamt a hozzáuk tartozó ( u, ),( = 0,,..., ; = 0,,..., m) paraméterek. Keressük azt a, B kotrollhálót, melhez tartozó r( u, ) Bezer-felület lleszkedk az adott potokra, azaz: m m k l ( ) ( ), k, l = 0 = 0 r( u, ) = B u B B = P, k = 0,,... ; l = 0,,... m Vezessük be az alább elöléseket: 24
P0,0 P0,0... P0, m B0,0 B0,0... B0, m P P... P B B... B,0,, m,0,, m.... P =, B =........ P,0 P,... P, m B,0 B,... B, m B0 ( u0) B ( u0)... B ( u0) B0 ( u) B ( u)... B ( u).. U =,.... B0 ( u) B ( u)... B ( u) m m m B0 ( 0 ) B0 ( )... B0 ( m ) m m m B ( 0) B ( )... B ( m ).. V =.... m m m Bm ( 0) Bm ( )... Bm ( m ) A elölésekek megfelelőe a köetkező egeletredszert kapuk a B, smeretleekre éze: P = UBV,amből B = U PV - - 25