LINEÁRIS ÉS NEMLINEÁRIS TERMELÉSI ÉS RAKTÁROZÁSI MODELLEK

LINEÁRIS ÉS NEMLINEÁRIS TERMELÉSI ÉS RAKTÁROZÁSI MODELLEK Vállalati modellek A mikroökonómiai vállalati alapmodell a neoklasszikus marginális elméleten alapul Egyetlen vállalati célnak az egyetlen termékkel elérhető profit maximalizálását tekinti Számos bírálat érte a közgazdászok részéről, amelyek közül néhány fontosabb: létezik, de ma már egyre ritkább az egytermékes vállalat; a vállalat számára mind a keresleti, mind a kínálati oldal folytonos, legalább kétszer differenciálható függvényekkel írható le (azért, hogy alkalmazni lehessen a marginális elméletet), ami messze áll a gyakorlattól; a vállalati célok között nem mindig a profit maximálása a legfontosabb; a vállalatot nem, mint rendszert, hanem csak, mint egyszerű termelőegységet írja le; a tökéletes verseny a valóságban nem létező konstrukció; a tökéletes informáltság, a csökkenő hozadék feltételezése irreális; a modell egyetlen értéke sem változik az érvényességi tartam alatt, azaz a modell statikus és egyben determinisztikus, stb A bírálatok ellenére az egytermékes alapmodell elméleti jelentősége nagy Ugyan nem a valóságot írja le, de mint az ideális gazdasági viszonyok leírása, tökéletes és nagy előnye, hogy egyszerű és könnyen

Egy probléma megoldásának menete - a probléma megfogalmazása - a modell felállítása - a modell megoldása - az eredmények összevetése a valósággal - az eredmények elemzése után a következtetések levonása Szimulációs modellek A szimulációs modellek olyan egyenletek és más matematikai relációk összességéből állnak, amelyekkel a rendszereket, mint egészeknek a viselkedését ábrázolják, azaz a vállalatnál érvényesülő főbb összefüggéseket próbálják feltárni úgy, hogy kevésbé kötődnek a rendelkezésre álló matematikai algoritmusokhoz Az ilyen jellegű modelleknél a szimulációt általában Monte-Carlo módszerrel végzik A módszer a rulettjátékosok hasonló célú nyerő eljárásáról kapta elnevezését : A rulettjáték egy egyszerű blokksémája az ábra felső sorában látható Az alsó ábrasor egy ipari projekt sémáját mutatja

A Monte-Carlo módszer a gyakorlatban A komplex vállalati modellekben a legmegfelelőbbek az algebrai egyenletek (vagy a differenciálegyenlet rendszerek); Ha a rendszer felírható A x = b alakban, akkor a feladat a paraméterek (az A elemeinek) meghatározására redukálódik A termelési modellek lineáris programozása Ezen modellek jellegzetessége, hogy bennük csak lineáris összefüggések találhatók, amelyekre két feltételnek kell teljesülnie: - az összegezésre: A(x + y) = A(x) + A(y) és - a skalárral való szorzásra: A(λx) = λa(x) (Ez a két feltétel a lineáris algebra alapfeltevése) A lineáris modellek mind a természet-, mind a társadalomtudományok-ban elterjedtek, mert - a valóságos folyamatok adott korlátokon belül jól közelíthetőek lineáris struktúrákkal - a lineáris programozás fejlett módszerekkel rendelkezik A lineáris egyenleteknél a feladat pusztán a paraméterek meghatározása (a paraméteridentifikáció ma már önálló tudományág)

A paraméterek becslése - a technológiai (közvetlen) módszernél a paramétereket közvetlen méréssel határozzuk meg a folyamatokból és így determinisztikus egyenletrendszert kapunk - a globális (közvetett) módszernél az együtthatókat más determinisztikus értékekből számítjuk ki (például a később tárgyalandó ÁKM-ből: a technológiai együtthatók bevezetése) - a szabad becslések módszerénél a paramétereket mérlegeléssel becsüljük, például paraméterekként az utolsó megvalósult értékeket választjuk - a statisztikai becslések módszerénél a matematikai statisztika törvényszerűségeit használjuk fel paraméterbecslésre Az első két módszer inkább speciális összefüggések, például a termelésben fennálló kapcsolatok modellezésére használatos A vállalat, mint rendszer leírására az utolsó két módszer az alkalmasabb A szabad becslések módszerének előnye, hogy nincs különösebb számításigénye, a szükséges módosítások kísérletek során közvetlenül végrehajthatók, viszont a választott értékeknél nincs garancia, hogy helyes értékeket reprezentálnak, amelyek bizonyos trend eredményei A statisztikai becslés számításigénye nagy, de biztosítja a paraméterek reprezentatív jellegét lineáris programozás A feladat: a termelési érték maximumát adó termékösszetétel meghatározása adott korlátozó feltételek mellett Matematikai felírásban, keressük a megoldását az max Z = px = Σ p i x i Ax b x 0 korlátozó feltételek teljesülése esetén, ahol Z - a termékek termelési értéke, p - az ár- vagy nyereségvektor, x - a termékek vektora, A - a technológiai együtthatók n m-es mátrixa, b - az erőforrások rendelkezésre álló, maximális mennyisége (ha p - a termékek költségének vektora és Ax b a korlát, akkor költségminimalizálás a cél)

Ha megoldható a feladat, a megoldást szimplex módszerrel keressük A feladatot primális problémának is nevezik, mert létezik a feladatnak egy másik megfogalmazása, a duális probléma is, az eredeti tükörproblémája, amikor keressük a min K = qb A T q p q 0 megoldását, ahol K - az összköltség, q - az árnyékárak vektora, b - a erőforrás-felhasználás mennyiségi vektora, A T - a technológiai együtthatók mátrixának transzponáltja, p - a termékek ára A felírt primális és duális feladat megoldására teljesülnie kell, hogy max Z = min K Az árnyékárak értelmezéséhez használjuk fel a határtermelékenység fogalmát, amely megadja, hogy mennyivel nő a termelési érték, ha a termelési tényező felhasznált mennyisége egy egységgel növekszik Az árnyékár a fenti leírás értelmében maga a határtermelékenység Analitikus definíciója: Z q j = b j Annak az erőforrásnak az árnyékára, amely nincs teljesen kihasználva, nyilvánvalóan zérus, mert mennyiségének változtatása nem befolyásolja a termelési értéket A teljesen kihasznált erőforrásoknak pozitív az ára

A homogén termelési függvényekre érvényes Euler-tétel a lineáris programozási feladatokban is érvényes, így m optimális termelési program esetén Z Z = b j, j= b j tehát a felhasznált erőforrás mennyiségek és az árnyékárak szorzatának összege megadja a teljes termelési értéket m Z Emellett minden termékre érvényes, hogy pi = a ji j= b j, ami azt jelenti, hogy a technológiai együtthatók és az árnyékárak szorzatának összege megadja a termék árát (Termékár alatt valójában az önköltségi árat kell érteni) a primális és a duális feladat primális probléma változói X X X n q a a a n b primális probléma duális q a a a n b korlátozó feltételeinek probléma változói q m a m a m a mn b m p p p n duális probléma korlátozó feltételeinek állandói = primális probléma célfüggvényének együtthatói állandói = duális probléma célfüggvényének együtthatói

Példa Egy személy- és tehergépkocsikat gyártó cég optimális termelési programját kell meghatározni Egy személygépkocsin (X ) 300 $, egy tehergépkocsin (X ) 50 $ nyereség van Az üzemnek négy részlege van, amelyeknek havi teljesítményei az alábbi táblázatban találhatók: gépkocsi típus sajtoló motorszerelő szgk tgk összeszerelő összeszerelő szgk (db) - X 5000 33333 500 - tgk (db) - X 35000 6667-5000 Ekkor X a primális probléma a következő korlátozó egyenletekkel X X X X írható fel: + + X 5000 35000 33333 6667 500 5000 ; ; ; Keressük a Z = 300X + 50X a nyereségfüggvény maximumát A feladat megoldása: az optimális termékkombináció az X = 0370 db, X = 648 db termékmennyiségeknél található Ekkor a nyereség: Z = 3000370+ 50648= 77350 $ Grafikus megoldás A feladat egyszerű, grafikusan is megoldható, a célfüggvény berajzolásával

Grafikus megoldás A feladat egyszerű, grafikusan is megoldható, a célfüggvény berajzolásával Az optimális termékkombináció a C pont, így a két egyenes metszéspontja az X = 0370 db, X = 648 db termékmennyiségeknél található A duális feladat Az X és X ilyen megosztásban való gyártása a sajtoló- és motorszerelő-üzem kapacitását teljesen kihasználja, így van árnyékáruk A gépkocsi szereldék kihasználatlanok, tehát nincs árnyékára az anyagnak, Z amit felhasználnak: Z q3 = = 0 q 0 és 4 = = b b A technológiai együtthatók Az egyenletek: Z 5000 b Ebből a = 5000 a = 35000 3 a = 33333 a = 6667 A q, q árnyékárak megadják, hogy az egyes üzemek kapacitásának egységnyi ( %-os) növelése mennyivel növelné a vállalat termelési értékét 4 a 3 = a 4 = 500 5000 Z Z Z Z + + 300 + + 33333 b 500 b 35000 b 6667 b 3 Z Z q = = 6805,6 $ q = = 95,9 $ b b 5000 Z b 4 50

Nem-lineáris termelésprogramozás A lineáris programozási modellekben a termelés volumene és a fizikai egységekben mért ráfordítások, a költségek, a nyereség, stb volumene között lineáris összefüggéseket tételezünk fel, holott az empirikus vizsgálatok szerint ezek nem lineárisak A nem-linearitás jól érzékeltethető grafikusan is, ahol a korlátozó feltételek (bal ábra) és/vagy a célfüggvények (jobb ábra) nem lineárisak A nem-linearitás következményei - nem lehet a lineáris programozási módszereket alkalmazni, mivel ott abból indulunk ki, hogy a megoldás a megengedett tartomány valamely csúcspontján helyezkedik el, tehát az optimális programban annyi erőforrás van teljesen kihasználva, ahány termék szerepel a modellben Nem-lineáris modellnél a megoldás nem helyezkedik szükségszerűen a megengedett tartomány határán, vagy sarokpontján - a lineáris programozásban a primál feladatra a duális megoldás egy ráadás, de a megoldás a duális feladat nélkül is meghatározható Nem-lineáris programozásnál általában a két feladat együttes megoldásából lehet csak meghatározni az optimális megoldást

Az előző, gépkocsikkal kapcsolatos példa könnyen átalakítható nem-lineáris feladattá: tegyük fel, hogy a személygépkocsik ára az értékesített mennyiséggel csökken és a tiszta termelési Xérték: P = 65 tehergépkocsiké pedig: P = 50 60 A célfüggvény: X X Z = 65 X + 50 X = 65 X + 50 60 60 A 8 m$ termelési értéket képviselő görbe érinti a motorszerelés korlátozó egyenesét és ez adja az adott feltételek mellett az optimális megoldást, ami 5 ezer db személygépkocsi és valamivel több, mint 9 ezer db tehergépkocsi gyártását teszi lehetővé Látni, hogy ebben az esetben csak a motorszerelde kapacitásának kihasználása teljes Az optimális megoldás tehát nem sarokpont, de a megengedett megoldások tartományának határán fekszik X, a Másik eset Tekintsük azt az esetet, amikor a tehergépkocsi ára s így a tiszta termelési értéke is függvénye az eladott mennyiségnek: X P = 400 A célfüggvény a követképpen módosul: 30 X X Z = 65 X + 400 X 60 30 Az optimális megoldás 8750 db személygépkocsi és 6000 db tehergépkocsi Ebben az esetben egyik részleg kapacitása sincs teljes mértékben kihasználva A termelés növelésének nem a rendelkezésre álló kapacitások (a korlátozó feltételek) szabnak határt, hanem a határbevétel és határköltség egyenlősége Matematikailag ez azt jelenti, hogy ott van a termelési optimum, ahol a termelési érték termelési d( P X ) mennyiség X szerinti deriváltja zérus: = 65 0 ; dx 30 = d( P X ) X = 400 0 dx 5 = Az egyenletekből könnyen számíthatók a megadott értékek A levonható következtetés: nem-lineáris célfüggvény esetében a megoldást (az optimális termékmennyiségeket) vagy a kapacitáskorlátok, vagy a határköltség és határbevétel egyenlővé válása határozza meg és nem biztosított a kapacitás-kihasználás egyik üzemrésznél sem

A készletezés (raktározás) programozás modelljeiről A kérdés, amelyre választ kell adniuk az, hogy mekkora legyen a raktárkészlet és mennyi időnként szükséges feltölteni a készleteket A nyers- és alapanyag, félkésztermék, ill a késztermék raktározás szoros kapcsolatban áll a termeléssel, hiszen mind a termelés, mind az értékesítés folytonossága megkövetel bizonyos készleteket, amelyek léte viszont költség Determinisztikus raktározási modell A termékek raktározási költsége fixnek tekinthető, a termelési költségek viszont függnek a sorozat nagyságától Input oldalról már a megrendeléseknek van költsége és a beérkező mennyiségeknek biztosítani kell a folyamatos termelést Minél nagyobb a termelés volumene, annál nagyobb mennyiségű input tárolása válik szükségessé Az input oldalhoz hasonlóan, az output oldalon a nagyobb késztermék sorozat egységköltsége kisebb, viszont nagyobb mennyiségű terméket kell tárolni hosszabb ideig, így a raktározás időegységre jutó egységköltsége lesz nagyobb Determinisztikus raktározási modell Közelítsük meg a kérdést a költségek oldaláról Keressük az egységnyi termékre jutó K = K t + K r termelési és raktározási (beszerzési) költségek minimumát A raktározási költség felírható: X X D Kr = krtn = krt X ahol X - az egy ciklusban megrendelt árumennyiség (a sorozatnagyság) és így X/ az átlagos raktárkészlet; k r - a raktározás egységköltsége; t - két megrendelés (két egymás utáni sorozat) közötti idő; D - az éves kereslet T TX t = = A két megrendelés közötti idő a sorozatnagyságtól függ: D, X D ahol T a megrendelés (sorozatindítás) k rtx K éves sűrűsége Ezt r = visszahelyettesítve: A termelési (kereskedelmi) költséget fix (k fc = FC), azaz megrendelés-feladási Dk fc (sorozatbeindítási) és változóköltség (k vc = K AVC) összegeként t = + D k felírva: vc X

Így a teljes költség: k r TX Dk fc K = + Dk vc + X Ennek minimuma adja az optimális megrendelési tétel- (sorozat-) nagyságot: dk kr T Dk fc = = 0 amiből: dx X X opt = Dk k r T fc Sztochasztikus raktározási modell A termelésben és a kereskedelemben is gyakori, hogy bizonytalan a várható kereslet, a megrendelés és az áru beérkezése közötti idő, a raktárkészlet hiányából adódó veszteség és még sok, a raktározással kapcsolatos tényező Ha ismerjük ezek valószínűségi eloszlását, akkor készíthetünk sztochasztikus modellt Példa az ilyen típusra: tegyük fel, hogy a vállalat ki szeretné elégíteni egy terméke iránti összes keresletet, de a pontos értékek helyett csak a valószínűségi eloszlását ismeri Ha többet termel (rendel), mint amennyit el tud adni, raktározási, kamat és egyéb veszteségek érik, ha kevesebbet, akkor fennáll a piacvesztés lehetősége A kérdés az, hogy mennyit termeljen (rendeljen) a legkisebb veszteség érdekében

Legyen R - a (keresletnek megfelelő) tervezett raktárkészlet, X - a normál termelés A normál termelés költsége: K = k X, ahol k - a normál termelés egységköltsége A veszteségelemzés szempontjából két eset lehetséges: a A tervezett raktárkészlet kisebb a keresletnél az adott időszakban, R X A költséget a többlettermelés magasabb (pl túlóra) költsége okozza: K = k (X R) ahol k - a többlettermelés egységköltsége b A tervezett raktárkészlet nagyobb vagy egyenlő a kereslettel az adott időszakban, R X A raktározási többletköltség: K 3 = k 3 (R X), ahol k 3 - a raktározás egységköltsége Jelölje F(x) a kereslet sűrűségfüggvényét és f(x) az eloszlásfüggvényt Esetünkben x = R mellett az összes költség várható értéke, ha R a termelés maximuma M: M K = [ kr + k3(r X) ]f (x)dx + [kr + k ( X R) ]f (x) dx mivel 0 R-ig X = R, ezért deriválási szempontból konstansnak R tekinthető, így k Rf (x)dx = C = 0 = konstans A költségegyenletet az alábbi formában felírva a: R ott van minimuma, ahol a várható értékére R M dk = 0 = k 3 f (x)dx + (k k ) f (x) dx dr 0 R Az eloszlásfüggvény definíciója alapján R M és, f (x)dx = F(R) f (x)dx = F(R) kapjuk, hogy 0 R ( X R) K = C + k3(r X)f (x)dx + [kr + k ]f (x) dx 0 0 F(R) = k 3 M R k k + k k R = k3 + k k -nek

A kapott eredmény értékelésekor feltehető, hogy a tervezett feletti termelés fajlagos költsége nagyobb a normál termelés fajlagos költségénél (k > k ) Ekkor a tört értéke 0 és közé esik, tehát valóban valószínűségi változóról van szó Minél kisebb a raktározási többletköltség a túlmunka költségénél (ami a raktárhiány költsége), annál nagyobb a valószínűsége az esemény bekövetkezésének, vagyis minél nagyobb a raktárhiányból származó veszteség a raktártöbbletből származó veszteségnél, annál nagyobb raktárkészlet szükséges Példa: legyen a kereslet valószínűségi sűrűségfüggvénye az alábbi táblázattal adott Ennyi % a valószínűsége 0 30 40 50 60 70 80 hogy a kereslet 90 00 0 0 30 40 50 Legyen k = 0, k =, k 3 = 3 A többlettermelés többletköltsége így: k = k k = A tervezett optimális raktárkészlet valószínűsége, F (R) = = 40% 3 + 0 tehát a táblázatból - R 0 az optimális raktárkészlet Megjegyzések - ha a raktártöbblet vesztesége nagyobb (mert esetleg romlandó az áru), k 3 = 8, így F(R)=0 %, tehát R 90 az optimális raktárkészlet, vagy - ha a túlmunka költsége nagy, k = 4,5, így F(R) = 60 %, tehát R 30 az optimális raktárkészlet Vegyük észre, hogy 0 F(R), tehát F(R) valóban valószínűségi változó azzal a megszorítással, hogy k > k, tehát a túlmunka költsége magasabb, mint a reguláris munkáé s ez egy nem túl erős megszorítás R 00 Egy másik megközelítés: F = 0,4 Ha F(x) normális eloszlású, átlaga 00 0 és szórása 0, az egységköltségek R 00 megegyeznek a fentiekkel és 0 40 % ahol a normális eloszlás standardizált értéke A vonatkozó táblázatból a 40 %-os valószínűségnek 0,43 érték felel meg, így R = 97,57 98 db az optimális készlet

A Just-In-Time (JIT) rendszer A jelenlegi gazdasági környezetben a fő szabály a következő: KIELÉGÍTENI AZ ÜGYFÉL IGÉNYÉT, azaz a megígért határidőn belül a kért minőségi szinten a legjobb áron leszállítani a megrendelt terméket és mindezt változékony piacokon s a termékek növekvő változatossága és múlandósága mellett Miért nem működnek már a klasszikus szabályok A személyre szabás követelménye rosszul illeszkedik a gazdaságos mennyiségek és a belső optimalizálás fogalmaihoz, melyek a termékek standardizálása felé hatnak A közép és hosszú távú előrejelzések még bizonytalanabbakká válnak A gyakori programkorrekciók még szervezetlenebbé teszik a termelésprogramozást A termelési kockázatok elfogadása odavezet, hogy majdnem mindenütt költséges puffer készleteket vezetnek be, ami növeli az elavulás veszélyét A nyomott áramlások technikája - a végsőkig menve az ilyen környezetben - oda vezet, hogy hatalmas elcsúszás következik be a ciklusidő és a technológiai idő között és a minőségi problémákra történő reagálás is legyöngül A növekvő minőségi követelmények költséges korrekciókhoz és többletkésésekhez vezetnek A piac fejlődéséből következik a fő cél: Az új játékszabályok LERÖVIDÍTENI A CIKLUSIDŐKET Azok a szabályok, amelyekkel azt elérhetjük azok a következők: Áttérni a gazdaságos sorozatok gyártásáról a megrendelésre történő gyártásra, minden ésszerű alkalommal Ha nem lehetséges, csökkenteni a gyártási sorozatok méretét a jobb reagáló képesség érdekében és elkerülni a készleteket Eleve előnyt biztosítani a minőségnek és bevezetni minőségbiztosítási eljárásokat a termelési folyamatok valamennyi szakaszában Visszautasítania meghibásodások végzetszerűségét és fokozni a megelőzésüket minden lehetséges alkalommal A minőségbiztosítási követelmény egyaránt érvényes az adminisztratív funkciókra és a managementre is A JIT rendszer alapvető feladata, hogy a következőket biztosítsa: nulla hiba nulla készlet nulla tévedés nulla meghibásodás