Geomtk Közleméyek XVII 4 NÉHÁNY ALENAÍV MEGOLDÁSI LEHEŐSÉG A D NEMLINEÁIS HASONLÓSÁGI DÁUM- ANSZFOMÁIÓ ALKALMAZÁSÁA A BUSA-WOLF MODELL VISZONYLAÁBAN Závot Józef Klmár Jáo Some ltertve olte for the oluto of D o-ler mlrty dtum trformto omred to the Bur-Wolf model he reet work del wth mortt theoretl rolem of geodey: we re lookg for mthemtl reltoh etwee two tl oordte ytem utlzg ommo r of ot whoe oordte re gve oth ytem. I geodey d hotogrmmetry the mot ofte ued roedure to move from oe oordte ytem to the other the D 7 rmeter Helmert trformto. U to reet tme th tk w olved ether y terto or y lyg the Bur-Wolf model. Produer of GPS/GNSS reever tll thee lgorthm to ther ytem to heve uk roeg of dt. But owdy lger method of mthemt gve loed form oluto of th rolem whh reure hgh level omuter tehology kgroud. I everydy uge the loed form oluto re muh more mle d hve hgher reo th erler roedure d thu t e redted tht thee ew oluto wll fd ther le the rte. he er due vrou method for lultg the le ftor d t lo omre oluto ed o utero wth thoe tht re ed o rotto mtrx defed y kew-ymmetr mtrx. Keyword: D or 7-rmeter dtum trformto olute oretto A tulmáy geodéz egyk foto elmélet rolémáját tárgylj: két térel koordát redzer között kereük mtemtk özefüggét két redzere koordátákkl megdott közö otárok felhzáláávl. A geodézá fotogrmmetrá két koordát-redzer között áttéré orá legáltláo hzált eljárá D 7 rmétere Helmert trzformáó lklmzá. Ezt feldtot közelmúlt vgy teráóvl vgy Bur-Wolf modell ljá oldották meg. A GPS/GNSS vevők gyártó ruglm dtfeldolgozá érdekée ezeket z lgortmuokt zoftveree eéítk redzerüke. Mág mtemtk lger módzereek felhzáláávl jelető zámítátehk tudá rtoká zárt formulákkl meg lehet d rolém megoldáát. A zárt lk előállított megoldáok mde hzált okkl egyzerűek otok zoyulk mt korá eljáráok ezért rogoztzálhtó hogy jövőe ezek z új megoldáok ekerülek gykorlt. A kk külööző eljáráokt d meg méretráy-téyező kzámítáár é özeholítj kvteró luló megoldát ferdé zmmetrku mátrxzl dott forgtá mátrxo lulóvl. Kulzvk: D vgy 7 rmétere dátumtrzformáó zolút tájékozá Bevezeté A D 7 rmétere Helmert dátum trzformáó hgyomáyo jellegű tárgylá Grfred é Krumm (995 Grfred é Kmm (996 é Grfred é Sh (997 tulmáyok tlálhtó meg kéő Awge et l. (4 tulmáy kterjezt megoldá módokt. Závot (999 mukáj korlátozott feltételekkel L ormá oldott meg feldtot. A dátumtrzformáók zámítógée lger redzerekkel törtéő tárgyláá Awge é Grfred ( éveke megjelet tulmáy új ráyt dtk tém kuttáák. A hz zkrodlom Závot (5 tulmáy z elő lger megközelítée feldt megoldáák mely egyúttl jvítát jvolt mtemtk modellhez. A Závot é Jó (6 tulmáy jó lötletet dott lerzálár mt Závot ( kk dolgoz k lo- * MA SFK GGI 94 Soro tk u. 6-8. E-ml: zvot@ggk.hu
8 ZÁVOI J KALMÁ J. A Btth é Závot (9 9 kkek edg kterjeztették zámítógée lger lklmzáák területét geodézá ú.. előmetzé rolémkét mert feldtr. A fotogrmmetr külő tájékozá eetée Závot é Frth ( tulmáy teljee új megoldá módzert jvol mt hgyomáyo megoldá eljárá. Az zolút tájékozá rolém kvterókkl törtéő megoldáát Hor (987 tulmáy elők között tárgylj de megoldá eltér Závot ( kke leírtktól. A Klmár é Závot ( tulmáy jól özefogllj két megoldá külöözőégét. A D 7 rmétere holóág trzformáó új megoldáák modellje együk fel hogy dott két külööző koordátredzere mért közö ot koordátákkl. A D 7-rmétere (Helmert térel túlhtározott holóág trzformáó következő modellel dhtó meg: kereük z elődlege (él (X Y Z- é máodlgo (tárgy (x y z koordát-redzerek között Eukldéz tére dott otok között lekéezét z lá formá ( t z eltolá-vektor forgtá mátrx é kálrméter vgy méretráy-téyező: X Y Z hol [ ] [ Y Z ] t... ( élotok koordát értéke t X z meretle eltolá-vektor z meretle méretráy-téyező ( α β γ forgtá mátrx [ x y z ] tárgyotok koordát értéke. Az forgá mátrxot három tegely körül elforgtál három függetle meretle α β é γ rd-zöggel Awge ( z lá módo dt meg: ( ( β ( γ α. ( ermézetee fzk geodézá hzálto forgtá orredtől eltérő forgtá orred vgy ellekező ráyú tegely körül forgtá má-má eredméyre vezet. Például forgá mátrx elemeek meretée forgá zögek z lá özefüggéel meghtározhtók: r r α rt β r( r γ rt ( r r hol r j érték z forgtá mátrx -edk orák é j-edk ozloák eleme. éluk tehát forgtá mátrx meghtározá. A D 7 rmétere Helmert trzformáó lger megoldá érdekée Awge é Grfred ( z forgtá mátrxot ferdé zmmetrku mátrx (5 evezetéével következő módo írt fel: hol I három dmezó egyégmátrx é ( I ( I H z ( egyeletet (4 özefüggé ljá z ( I következő lk dódk: (4 mátrx z é rméterekkel meghtározott:. (5 mátrxzl lról zorozzuk kkor Geomtk Közleméyek XVII 4
NÉHÁNY ALENAÍV MEGOLDÁSI LEHEŐSÉG A D NEMLINEÁIS HASONLÓSÁGI DÁUMANSZFOMÁIÓ ALKALMAZÁSÁA 9 X Y Z X Y Z x y.... (6 z A fet egyeletek kéezk D 7 rmétere Helmert trzformáó lger megoldáák lját. A D 7 rmétere holóág trzformáó méretráy-téyezőjéek meghtározá három módzerrel Závot ( tulmáyá megmuttt hogy úlyot koordáták evezetéével mlye módo lehetége z eltolá rméterek elmálá. Ugyeze tulmáy z egzolódott hogy túlhtározott egyeletredzer megoldá orá z é rméterek kküzööléével eze rméterek keek é rméterre egy egy meretlee máodfokú túlhtározott egyeletredzer áll elő z lá formá: hol X ( x y z X Y Z... (7 X X Y Y Y Z Z Z... x x x y y y z z z.... (Megjegyezzük hogy Awge é Grfred ( tulmáyuk méretráy-téyezőre egy egyedfokú egyelet dódott. A (7 egyeletredzer túlhtározott megoldá tö féle módo megdhtó: I. Megoldá: A fet egyeletredzert lkítuk zorzttá következő módo: x y z X Y Z x y z X Y Z.... (8 ektük (8 formulá zerelő zorztok elő téyezőt. Megolddó z lá egyeletredzer: x y z X Y Z.... (9 Adjuk öze vlmey egyeletet! Ekkor túlhtározott egyeletredzer megoldá orá méretráy-téyező értékére zámukr fzk jeletéel író oztív gyök ljá z lá Závot ( kke megdott tztltól mert özefüggé dódk: X Y Z. ( x y z A fotogrmmetr zkrodlom mert Alertz é Krelg (975 ulkáój ljá hogy méretráy-téyező zámolhtó otok úlyot redzerel távolágok özegeek háydokét. ehát (7 máodfokú egyeleteket előfokú egyeletekre vezettük vz zkrodlomól mert (Awge é Grfred ( egyedfokú olom gyökeek ehézke zétválztá eljáráávl elletéte. Geomtk Közleméyek XVII 4
ZÁVOI J KALMÁ J II. Megoldá ektük mételte (7 egyeletredzert é djuk öze vlmey egyeletet. Így z lá özefüggé dódk: ( x y z ( X Y Z. ( A fet egyelet zorzttá lkítá élkül egyzerűe megoldhtó ( emegtív vló zámok fölött. A méretráy-téyező értékére zámukr fzk jeletéel író oztív gyök ljá z lá Hor (987 tulmáyá kvterókkl levezetett özefüggé dódk mely Bur-Wolf modell megoldá : ( X Y Z (. x y z ( ehát jele eete méretráy-téyezőt máodfokú egyeletekől egyértelműe meghtározhtjuk zkrodlomól mert (Awge é Grfred egyedfokú olom gyökeek oyolult zétválztá eljáráávl zeme. III. Megoldá Iduljuk k mét (9 egyeletredzeről. Kereük megoldát értékére kegyelítéel legke égyzetek módzeréek elve ljá közvetítő egyeletek felhzáláávl. Elem meggodoláok utá értékre következő eredméy dódk (rézlete levezeté (-(6 özefüggéeke tlálhtó: ( x y z ( X Y Z. ( ( x y z ehát külööző levezetéek dhtók D 7 rmétere Helmert trzformáó méretráytéyezőjéek megoldáár. 4 A forgtá é eltolá rméterek meghtározá A méretráy-téyező meghtározá utá feldt leárr redukálhtó é megdhtó leár rolém kegyelítő zámítá modellje. Eze módo tetzőlegee ok egyeletől (közö otól dódó álló egyeletredzer megoldhtó z é rméterekre. A teljeég kedvéért Závot ( ljá megdjuk feldt ormál mátrxát é ormál vektorát: [ ( y Y ( z Z ] ( x X ( y Y ( x X ( z Z ( x X ( z Z (A ormál mátrx zmmetrku elemet em tütettük fel. [ ] ( y ( [( ( ] Y z Z x X y Y. (4 Geomtk Közleméyek XVII 4
NÉHÁNY ALENAÍV MEGOLDÁSI LEHEŐSÉG A D NEMLINEÁIS HASONLÓSÁGI DÁUMANSZFOMÁIÓ ALKALMAZÁSÁA Holó módo dódk ormálvektor : ( yz zy ( z X xz. (5 ( xy y X A méretű ormál-egyeletredzeről z é rméterek zámo eljárál meghtározhtók m tltá mtt játérték felotá (SVD módzert hzáltuk. A ormál mátrx eál tuljdoágát khzálv ( özefüggée kereett forgtá rméterek meghtározhtók. A még meretle X Y é Z eltolá rmétereket z ( özefüggé úlyotr felírt lkjáól lehet meghtároz: X Y Z X Y Z x y. (6 z A modell lklmzá orá otoág vr é kovr rméterek zámítá hgyomáyo módo törték 5 Az eltolá vektor é méretráy-téyező meghtározá Bur-Wolf modelle A ( formulához következőké eljuthtuk ( két koordát redzere é úlyotot jelöl:. (7 Vzírv trzformáó ( kéletée kjuk: Átredezé utá dódk: ( t..... (8 t..... (9 A (9 kélet közee elhgyhtó mert z ( özefüggé z é úlyotokr gz így mrd:..... ( Az meretle t eltolá-vektortól így átmeetleg megzdultuk mrdk még é változók. Az ( formul ljá Bur-Wolf modelle zerelő t eltolá-vektort z dott otok koordáták átlgoláávl z forgtá mátrx függvéyée előállíthtjuk: t Nylvávló hogy ( kélet ekvvle (6 özefüggéel tehát két módzer z eltolávektorr ugyzt megoldát zolgálttj. Áttérve méretráy-téyező vzgáltár z egyzerű özeholíthtóág végett ktulzáljuk ( kéletet Bur-Wolf modell jelöléevel: ( Geomtk Közleméyek XVII 4
ZÁVOI J KALMÁ J Geomtk Közleméyek XVII 4. ( A méretráy-téyező ( é ( özefüggée ljá v egy léyege külöég: ( kélete elő v gyökvoá é utá özegzé míg ( formulá fordítv ezért megállíthtjuk hogy ( é ( özefüggéek em ekvvleek vgy méretráy-téyezőre két kélet émleg eltérő értéket zámolht. Vzot ( é ( kéletek egyrát ttztk eléek méretráy-téyezőre (eltéréük hegyeletek felírááól zármzk mert fxotjuk megegyezk. Iduljuk k ugy ól hogy z deál Helmert trzformáó orá mde távolág é kééek háydo fx ( m gz úlyot koordátákr ugy trzformáó orá úlyotot áthelyeztük vgy úlyot koordátákól úlyottól vló távolágok levezethetők:... ( é távolágok között özefüggét méretráy-téyezővel írhtjuk fel hmete eete:.... (4 Ezt követőe eláthtó hogy (4 özefüggé ehelyetteítée ( kélete lletve ( formulá zooághoz vezet vgy két ttztk elé fxotj (z elmélet méretráy megegyezk. Ameye (4 kélet ljá felírjuk közvetleül hegyeleteket: ν.... (5 kkor kegyelíté z lá (de ugyzo fxotú koráktól eltérő ttztk eléhez vezet: ( (. (6 A fetek ljá megállíthtjuk hogy (6 özefüggé telje megegyezét mutt ( formulávl. A ( é (6 kéletek ljá gz következő özefüggé: ( (. (7 6 Az meretleek meghtározá zélőérték feldtól Htározzuk meg ( formul mrdék vektort: ν.... (8 ektük következő otmlzálá feldtot: ( ( ν ν m m. (9 Mvel ortogoál mátrx ( I z egyelet következő lk felírhtó: ( ( m. ( A élfüggvéy zélőértékét zert rál dervált eltűée eeté vez fel így kjuk hogy ( ( (
NÉHÁNY ALENAÍV MEGOLDÁSI LEHEŐSÉG A D NEMLINEÁIS HASONLÓSÁGI DÁUMANSZFOMÁIÓ ALKALMAZÁSÁA Geomtk Közleméyek XVII 4 A (7 kélet mtt teljeül.... ( Ezért ( özefüggé felírhtó ( ( ( lk mől zkrodlom mert Hor-féle kélet dódk: ( (. (4 A meretée ( formul zélőértéke már k z forgtá mátrx függvéye így z elő é hrmdk (kot özegek elhgyhtók máodkól vzot z előjelváltá mtt mxmum zámítdó zto oztív kot evező elhgyhtó így mrd: ( mx. (5 7 A zélőérték zámítá megoldá kvteró-lgerávl A kvterókr votkozó legfoto özefüggéek: k j ( ( hoz kojugáltj * * ( ( ( ( I Q I Q. (6 Kvterókr (4 dmezó ( ( vektorokr áttérve (5 leár lk z meretle forgtá mátrx helyett z meretle ( kvteróvl felírhtó hol kereett forgtá mátrx é zámított kvteró között z lá özefüggé v (She et l. 6: ( ( ( I. (7 Mot már mde dott (5 özefüggé átíráához: ( ( N P Q mx mx mx * (8 hol N (4 4 mátrx következő lkú : ( ( ( ( N. (9
4 ZÁVOI J KALMÁ J Geomtk Közleméyek XVII 4 A (8 kvdrtku lk kkor ér el mxmumát h játvektor N mátrxk ekkor értéke megegyezk N játértékével tehát mxmlzálá feldt N mátrx mxmál χ játértékéek lletve hozzá trtozó egyégy χ játvektork ( kereett kvteró meghtározáár vezet. A kvteró meretée (7 ljá z ( r j forgtá mátrx már felírhtó é forgázögek ( ljá kzámíthtók. A t eltolá-vektort ezutá ( ljá átlgolál htározhtjuk meg. 8 Kolt két módzer megoldáák rmétere között Az ferdé zmmetrku mátrx z (5 kélet ljá kvteró edg (6 kélet ljá írj le emleár holóág trzformáó forgtá mátrxát. Előzör kfejtettük forgtá mátrxot z (5 kélet ljá: ( ( ( ( ( (. (4 Azutá felírtuk forgtá mátrxot kvteró komoeevel (6 ljá: ( ( ( ( ( (. (4 Felmerül z kérdé hogy (4 é (4 kéletekkel dott forgtá mátrxok mlye eete egyezek meg? Legye. (4 Helyetteítük (4 özefüggéekkel dott é rmétereket (4 formulá z lá özefüggéekhez jutuk:. (4 A (4 kélete z forgtá mátrx vlmey eleméek evezőjéől kemelve értéket mátrx klárzorzóják zámlálóját értékkel egyzerűítve é felhzálv hogy ée (4 özefüggéel dott zooághoz jutuk zz (4 özefüggéől (4 formulát ktuk meg. Legye mot. (44
NÉHÁNY ALENAÍV MEGOLDÁSI LEHEŐSÉG A D NEMLINEÁIS HASONLÓSÁGI DÁUMANSZFOMÁIÓ ALKALMAZÁSÁA 5 Ekkor z egyeletől kjuk z lá egyelőéget: ( (45 ±. (46 Helyetteítük mot (44 é (46 özefüggéeket (4 formulá kkor z forgtá mátrxr z lá lk dódk: (47 mely láthtólg megegyezk (4 özefüggéel. ehát özefogllv Bur-Wolf modell é kvteró komoeeke luló megoldá é ferdé zmmetrku mátrx é rmétere között z. tálázt özefogllt özefüggéek állk fe. 9 Özefogllá ulmáyuk D 7-rmétere (Helmert térel emleár holóág trzformáó megoldáár oly áltláo eljárát dtuk meg melyől méretráy-téyezőre tö külööző megoldá levezethető. A módzer léyege méretráy-téyezőre kott túlhtározott egyeletredzer má-má módo törtéő megoldáá rejlk. Megdtuk méretráy-téyező legke égyzetek elvé luló oly új levezetéét mely Bur-Wolf modell kvteróvl előállított megoldáák megfelelő rméterével (leggyo játérték umerku zooágot mutt. A méretráy-téyező meghtározáávl z eredetleg emleár rolém leár feldt megoldáár vezethető vz. Megmutttuk zt hogy Bur-Wolf modelle evezetett kvterók é z Awge- Grfred zerzők áltl evezetett ferdé zmmetrku mátrx eleme között fukoál kolt v ezáltl két eljárá egymá átvhető.. tálázt. Özefüggéek kvterók é z é rméterek között Geomtk Közleméyek XVII 4
6 ZÁVOI J KALMÁ J Hvtkozáok Alertz J Krelg W (975: Photogrmmetr Gude. Herert Whm Verl. Krlruhe 58-6. Awge JL (: Gröer Be Multolyoml eultt d the Gu-Jo omtorl Algorthm- Adjutmet of Noler GPS/LPS Oervto. Dertto Geodäthe Ittut der Uvertät Stuttgrt. Awge JL Grfred EW (: Lerzed Let Sure d oler Gu-Jo omtorl lgorthm led to the 7 rmeter dtum trformto 7( rolem. Zethrft für Vermeugwee 7 9-6. Awge JL Grfred EW (: loed form oluto of the overdetermed oler 7 rmeter dtum trformtot. Allgemee Vermeughrhte -49. Awge JL Grfred EW (: Exlt Soluto of the Overdetermed hree-dmeol eeto rolem Jourl of Geodey 76 65-66.. Awge JL Grfred EW (: Poloml Otmzto of the 7-Prmeter Dtum rformto Prolem whe Oly hree Stto Both Sytem re Gve Zethrft für Vermeugwee 8 66-7. Awge JL Grfred EW Fukud Y (4: Ext oluto of the oler 7-rmeter dtum trformto y Groeer Bul. d Geode e Seze Aff 6 7-7. Btth L Závot J (9: Soluto of the tereto rolem y the Sylveter-reultt d omro of two oluto of the D mlrty trformto. At Geod. Geoh. Hug. 44(4 49-48. Btth L Závot J (9: Az előmetzé rolém é D holóág trzformáó. Geomtk Közleméyek 9-6. Grfred EW Kmm G (996: (: he te rmeter oforml grou dtum trformto threedmeol Eulde e. Zethrft für Vermeugwee 68-77. Grfred EW Krumm F (995: urvler geodet dtum trformto. Zethrft für Vermeugwee 4-5. Grfred EW Sh J (997: Etmle utte rojetve etwork. Zethrft für Vermeugwee -. Hor BKP (987: loed form oluto of olute oretto ug ut utero. Jourl of the Otl Soety of Amer 4 69-64. Klmár J Závot J (: A D 7-rmétere dátumtrzformáó megoldá Gröer-áz é Bur-Wolf modelle Dmezók Mtemtk Közleméyek 7-44. P E (: Geodéz dátumtrzformáó kvteróvl. Geomtk Közleméyek 6 7-8. Závot J (999: A geodéz korzerű mtemtk módzere. Geomtk Közleméyek 49. Závot J (5: A 7 rmétere D trzformáó egzkt megoldá. Geomtk Közleméyek 8 5-6. Závot J Jó (6: he oluto of the 7-rmeter dtum trformto rolem wth- d wthout the Gröer. At Geod. Geoh. Hug. 4( 87-. She YZ he Y Zheg DH (6: A utero-ed geodet dtum trformto lgorthm. J Geod 8 9 Závot J Frth D (: A frt ttemt t ew lger oluto of the exteror oretto of hotogrmmetry. At Geod. Geoh. Hug. 46 7-5. Závot J (: A mle roof of the oluto of the Helmert- d the overdetermed oler 7-rmeter dtum trformto. At Geod. Geoh. Hug. 47(4 45-464. Závot J (: A D é D emleár holóág (Helmert trzformáók megoldáák új levezetée. Geomtk Közleméyek 6 7-6. Függelék: Numerku éld D 7 rmétere holóág trzformáó külööző tíuú megoldáár A módzer gykorlt lklmzáák emuttáához z Awge é Grfred ( tulmáy közölt Závot ( kke megmételt éldát vezük. A két koordát redzer közö otj WGS84 é egy lokál redzere dottk. A umerku zámítáok elleőrzée éljáól MALAB köryezete ját rogrmot írtuk mely lehetővé tez hogy ooál válzt lehet méretráy-téyező levezetéée tárgylt I. II. é III. megoldá között. Kemeljük hogy méretráy-téyező meghtározá utá z áltluk emuttott eljárá mdhárom eete leárr vzvezetett modellt hzálj. ehát forgtá é z eltolá rmétereket Bur-Wolf modell eetée leár modellől htározzuk meg de két eljárá egyeértékűége már P ( é Závot ( tulmáyok ljá ezoyoodott. Amt láthtó em zükége kezdőértéket megd em kell z egyeleteket or fejte zükégtele terál é z eljárá tetzőlege zögelforduláok eeté hzálhtó. A tulmáy mertetett lgortmuokkl emleár feldt megoldáár. tálázt megdott eredméyeket ktuk. Geomtk Közleméyek XVII 4
NÉHÁNY ALENAÍV MEGOLDÁSI LEHEŐSÉG A D NEMLINEÁIS HASONLÓSÁGI DÁUMANSZFOMÁIÓ ALKALMAZÁSÁA 7. tálázt. A umerku zámítáok eredméye Imeretle I. Megoldá Imeretle II.-III. Megoldá.47879.5585.9999999999.44.44 -.664 -.664 -.47 -.47 X 645.8 t x 64.884 Y 69.9 t y 68.655 Z 4.9 z σ.786486 t 46.98 σ.77668 Mdkét módzer rd zögekre z lá zoo értékeket dj zámítá otoágo elül: α.998497679 ["] β.896957645[" ] γ.9987798 ["]. A méretráy-téyező levezetéée tárgylt II. é III. megoldá ugyzo umerku értékeket zolgálttj ezért. tálázt fejléée Bur-Wolf felírá ltt eze közö értékeket k egyzer dtuk meg. Megjegyezzük hogy é kvterók é ferdé zmmetrku mátrx é rmétere k zámítá éleég htár elül egyezek meg. A tová tzede jegyeke ézlelt eltéré (4 formulávl mgyrázhtó. Ngyo külöég tztlhtó két módzer méretráy-téyezőjéek é eltolá rmétereek értékee. A méretráy-téyezők eltéréére mgyráztot d ( é ( kéletek eltérő zámítá módj z eltolá rméterek vzoylg em egyezée következméy lehet. Hogy teljee em érdektele méretráy-téyező ( kélettel törtéő zámítá módj rr jó okot d zo ézrevétel hogy már kevé dott ot (7 eeté két σ közéh k. értékkel tér el egymától. H edg σ közéh helyett közee zolút eltérét zámoljuk kkor. értékkel ke értéket khtuk. A Bur-Wolf modell kfejezette legke égyzetek módzere ljá mmlzálj méré hákt míg jvolt modell má mértékek eeté lklmzhtó. Geomtk Közleméyek XVII 4
8 Geomtk Közleméyek XVII 4