A SMITH-PREDIKTOR ALKALMAZÁSA

Átírás

1 BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR MŰSZAKI MECHANIKAI TANSZÉK A SMITH-PREDIKTOR ALKALMAZÁSA DINAMIKAI RENDSZEREKRE IDŐ- ÉS FREKVENCIATARTOMÁNYBAN Készítette: Hajdu Dávid 2012 Konzulens: Dr. Insperger Tamás, egyetemi docens Műszaki Mechanikai Tanszék

2

3 NYILATKOZAT Alulírott, Hajdu Dávid, a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem hallgatója kijelentem, hogy ezt a szakdolgozatot meg nem engedett segítség nélkül, saját magam készítettem és a szakdolgozatban csak a megadott forrásokat használtam fel. Minden olyan részt, amelyet szó szerint, vagy azonos értelemben, de átfogalmazva más forrásból átvettem, egyértelműen a forrás megadásával jelöltem.... Hajdu Dávid

4

5 TARTALOMJEGYZÉK 1. BEVEZETŐ 1 2. MATEMATIKAI HÁTTÉR INGA ÉS INVERZ INGA IDEÁLIS INGA ÉS INVERZ INGA STABILITÁSA HAYES-EGYENLET INSTABIL GYÖKÖK KÉSLELTETETT OSZCILLÁTOR EGYENLETE SZABÁLYOZÁS KÉSLELTETETT VISSZACSATOLÁSSAL LINEÁRIS KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLET SMITH-PREDIKTOR A HAGYOMÁNYOS SMITH-PREDIKTOR AZ ÁTVITELI FÜGGVÉNY MEGHATÁROZÁSA ELSŐRENDŰ RENDSZER MÁSODRENDŰ RENDSZER ÁLLAPOTTÉR MODELL SZABÁLYOZÓERŐ IDŐFÜGGVÉNYE SZABÁLYOZÓERŐ DISZKRETIZÁLÁSA MOZGÁSEGYENLET AZ ÁTVITELI FÜGGVÉNYBŐL ÉS ÁTM-BŐL STABILITÁSVIZSGÁLAT A DISZKRETIZÁLT MOZGÁSEGYENLETTEL ÖSSZEFOGLALÁS ÖSSZEFOGLALÁS SUMMARY FÜGGELÉK I A. ROUTH-HURWITZ KRITÉRIUM... I 6. IRODALOMJEGYZÉK III

6

7 1. BEVEZETŐ A XX. században bekövetkezett technológiai robbanás az élet minden területét befolyásolta. A technológia fejlődésével az elektromos rendszerek beszivárogtak a hétköznapjaink minden területére, mára nemcsak az iparnak, hanem a háztartásunknak is szinte minden egyes terméke tartalmaz valamilyen integrált elektronikát. Ez meghatározza a működésüket, mindemellett automatikussá, megbízhatóbbá, gyorsabbá váltak. Az 1940-es években fejlődésnek indult irányításelmélet is drasztikusan megváltozott napjainkra. Korábban a robosztus, stabil rendszerek domináltak, de mára az instabil rendszerek szabályozása okoz nagyobb kihívást. Ennek oka, hogy az instabil rendszerek csak szabályozással stabilizálhatók, ugyanakkor sokkal gyorsabban, kisebb energia-befektetéssel képesek reagálni. Vegyük például az embert. Amikor fekszünk, felállunk, hosszú idő kell, mire ki tudunk egyenesedni és elindulni, azonban már álló helyzetből sokkal gyorsabban tudunk pozíciót változtatni. Azonban ez a pozíció egy instabil helyzet, csak folyamatos egyensúlyozással vagyunk képesek tartani magunkat, érzékszerveink nélkül egy helyben állni sem tudnánk. Ez igaz más dinamikai rendszerekre is, például vadászgépekre, a hadipar egyéb találmányaira, robotokra. Éppen ezért mára a fejlődés irányát az instabil rendszerek szabályozása határozza meg [1]. Modellalkotás során bizonyos jelenségeket és paramétereket elhanyagolunk, és ideális esetekkel foglalkozunk. De ezek gyakran nem írják le megfelelően a valóságot és nem elegendőek. Ennek következményeként a modelleket lépésenként bonyolítjuk, kiegészítjük újabb jelenségekkel, hogy megfelelően pontos eredményt kapjunk. Mikor egy szabályozókört tervezünk nem elegendő a szabályozandó rendszert ismerni, hanem a teljes szabályozókör elemeinek paramétereivel is tisztában kell lennünk. Egy gyakran elhanyagolt jelenség az időkésés, amely nemcsak ipari folyamatokban, de gazdasági és biológiai rendszerekben is meghatározó lehet [2]. A rendszerek helyzeteinek mérésére szenzorokat használunk, ezek azonban a legkevésbé sem ideálisak, nemlinearitásokkal és legtöbbször időkésésekkel terheltek. Az időkésés oka pedig lehet a véges információterjedési sebesség, illetve a digitális rendszerekben a mintavételezés. Az emberi szervezet is hasonló, hiszen a szenzorjaink az érzékszerveink, amelyek reflexkésése gyakran problémát okoz. Az időkésés így a dinamikai rendszerek szabályozótervezését is befolyásolja, ugyanis az instabillá teheti azokat. Célunk, hogy az időkésés ellenére egy stabilan működő, adott feladat számára optimális dinamikai tulajdonságokkal rendelkező rendszert hozzunk létre. A dinamikai rendszereink működését (így a szabályozott rendszerekét is) differenciálegyenletek írják le, amelyeket késleltetett tagok terhelnek. Az első ilyen matematikai modelleket is már 1940-ben megalkották, bár azóta igencsak sokat fejlődtek. Az első olyan szabályozási struktúrát, amely a késleltetett rendszereket hivatott stabilizálni, 1

8 O.J.M. Smith mutatta be 1957-ben (lsd. 3.1 alfejezet) [3]. Feltalálója után ez a szabályozó Smith-prediktor néven terjedt el, röviden SP. Szokás még Smith holtidős kompenzátornak is nevezni (Smith dead-time compensator, DTC). Ennek a struktúrának az elmúlt néhány évtizedben meghatározó szerepe volt az időkéséssel terhelt rendszerek problémáinak megoldásában. Valójában ez az elmélet adott kezdeti lökést a tervezésnek, és az ún. módosított Smith-prediktorok megalkotásának, amelyek szélesebb körben alkalmazottak, mint elődjük. Éppen ezért ma napig gyakran vizsgált téma az eredeti Smith-prediktor működése is, hiszen ennek ismeretében könnyebben érthetjük meg a modernebb szabályozók működését és kereshetünk megoldást a felmerülő problémákra. Addig nem érthetjük meg az emberi idegrendszer szabályozó mechanizmusát sem, amíg ezeket az egyszerű, idealizált modelleket nem tudjuk matematikailag megfelelően kezelni és tárgyalni. A további felfedezésekhez az alapok biztos és pontos ismeretére van szükség. A SP mellett egy sokat vizsgált szabályozótípus az ún. FSA szabályozó (Finite- Spectrum Assignment), amely hasonlóan időkésleltetett rendszerekre tervezett kontroller. Az eredeti SP csak stabil rendszerekre alkalmazható, módosított változatai instabil szabályozandó szakaszokra is kiterjednek. A legtöbb szakirodalomban a két kontroller különkülön taglalt téma, gyakran semmi párhuzamot nem vonnak közöttük. Valójában azonban az FSA szabályozó és a módosított Smith-prediktor (generalized SP) struktúrája megfeleltethető egymásnak. A kettő közötti ekvivalens működést a [4]-as irodalom bizonyítja be, a kettő rendszer obszerver-prediktor blokkdiagramja ugyanis ekvivalens egymással. A következőkben az eredeti Smith-prediktort vizsgáljuk. A 2-es fejezet a késleltetett differenciálegyenletek stabilitásvizsgálatának egy módszerét ismerteti, a prediktor működését pedig részletesebben a 3-as fejezet. A megismert matematikai módszereket alkalmazzuk a SP esetén is, miközben célunk a stabilitás meghatározása nemideális esetben. A dolgozatban részletesebben tárgyaljuk az analitikus és semi-diszkretizációs módszer eredményeinek összehasonlítását [5]. 2

9 2. MATEMATIKAI HÁTTÉR A jelent fejezetben bemutatásra kerülnek a különféle késleltetett differenciálegyenletek, azok megoldásának és stabilitásvizsgálatának módszerei. Az időkéséssel rendelkező szabályozókörök egyenleteit is késleltetett differenciálegyenletekkel írhatjuk le, ezért első lépésben ezeket mutatjuk be. A feladatok könnyebb érthetősége és kezelhetősége végett egy egyszerű mechanikai példával kezdődik a fejezet, amelyet demonstrációs célra használunk. Ez a mechanikai modell egy inga illetve inverz inga. Segítségével könnyebben tudjuk értelmezni majd az ideális és késleltetett esetek közötti eltéréseket és a stabilitás kérdését is INGA ÉS INVERZ INGA A stabilitás vizsgálatához a kiinduló modell egy inga lesz. Ehhez meghatározzuk az inga mozgásegyenletét, hogy annak a stabilitását megvizsgálhassuk (2-1. ábra). Az ingát felfordítva inverz ingát kapunk, aminek a mozgásegyenlete hasonló az ingáéhoz, levezetése megegyezik vele, de paraméterét tekintve egyetlen előjellel eltér. Éppen ezért nem szükséges a két modellhez két levezetést készíteni, csak a két paraméter közötti kapcsolatot megállapítani ábra: Inga (bal) és inverz inga (jobb) sematikus ábrája A mozgásegyenlet felírásához a Lagrange-egyenletet használhatjuk, amelynek általános alakja a (2.1.)-es egyenlet alapján írható fel [1]. Mivel a szabályozáshoz szükséges egy beavatkozó erő, hogy a mechanikai rendszer stabil maradjon, ezért egy motor segítségével hozzuk létre a szabályozó erőt. Ez lesz az általános erő, ami az egyenletben is szerepel. 3

10 + + = (2.1.) A Lagrange-egyenlethez szükség van a kinetikus energia ( ), a disszipációs energia () és a helyzeti energia () függvényeire, továbbá a mozgásegyenlethez a általános koordinátát is ki kell jelölnünk. Utóbbi jelen esetben egy két szabadságfokot tartalmazó koordinátavektor, a (2.2.)-es összefüggéssel megadva. = (2.2.) Mivel jelen esetben a viszkózus és a Coulomb-súrlódástól eltekintünk, ezért a (2.1.)-es egyenletben a disszipációs függvénytől eltekinthetünk. A többi egyenletet a súlypontra felírva kell meghatároznunk, amelynek a pillanatnyi sebessége a koordináták ismeretében a következők szerint adható meg: = + = cos ' + cos ' & = 2 & 2 sin % && 2 sin % && (2.3.) Az energiafüggvényekbe a súlypont sebességét helyettesítve a kinetikus energiára a (2.4.)-es, a helyzeti energiára pedig a (2.5.)-ös összefüggés adódik. = 1 2 ) Θ - + (2.4.) = ) cos (2.5.) 2 A két energiaegyenlet közül a kinetikus energia függvényét kell kicsit alakítanunk, hogy a megfelelő formára hozhassuk. Ehhez át kell rendezni a súlyponti sebességre kapott összefüggésünket a (2.3.)-as egyenletből kiindulva. A vektor abszolút értékét képezve, eredményképpen a (2.6.)-os összefüggés adódik, amely kifejtve és átrendezve a (2.7.)-es alakra hozható. + =./ cos sin 1 + (2.6.) + = + + cos (2.7.) Az egyenletek linearizálása nélkül, a (2.4.)-es egyenletbe helyettesítve a (2.7.)-es összefüggést, majd átrendezve azt, a kinetikus energia függvényére a következő egyszerűsített alak adódik: = 1 2 ) ) cos ) + + (2.8.) 4

11 A Lagrange-egyenlethez szükség van ezeknek az energiafüggvényeknek a megfelelő koordináta- valamint idő szerinti parciális deriváltjaira, amelyet a (2.9.)-(2.16.)-os egyenletek mutatnak. = 1 ) sin (2.9.) 2 = 1 2 ) cos ) + (2.10.) = 1 2 ) 5 cos 1 2 ) sin ) + 5 (2.11.) = ) sin (2.12.) 2 = 0 (2.13.) = ) + 1 ) cos (2.14.) 2 = ) ) 5 cos 1 2 ) + sin (2.15.) = 0 (2.16.) Mivel a beavatkozó erő teljesítménye csak az koordinátától függ, ezért a általános erővektor a (2.17.)-es egyenlet alapján írható fel a szabályozóerő ismeretében. = 0 (2.17.) Az energiaegyenletek, valamint azok deriváltjainak ismeretében felírható a két változó szerinti komponensegyenlet: + = 0 (2.18.) + = (2.19.) Így a (2.18.) és (2.19.)-es egyenletbe behelyezve a tagokra kapott részeredményeket, a két egyenlet leegyszerűsítés után egyetlen mátrixegyenletbe rendezhető, amelyet a (2.20.)-as kapcsolat mutat. 1 3 ) ) cos ) % && 1 2 ) cos ' 5 1 & ) sin ' 0 & ) sin & = 6 7 (2.20.) + & % 5

12 Az koordináta ciklikus koordináta, ezért az egyenletrendszerből átrendezéssel kiejthető, ha a második komponensegyenletet 8 cos -vel megszorozzuk, majd az első egyenletből + kivonjuk. A tagokat átrendezve a következő nemlineáris egyenlet adódik: 94 3 cos + ; sin 3 sin cos + = 6 cos (2.21.) ) A szabályozó erőt egy negatív visszacsatolással hozhatjuk létre, amely közben mérjük a pillanatnyi szöghelyzetet és szögsebességet, ezt pozíció-visszacsatolásnak (position feedback) nevezzük. A szabályozóerő ezek és egy PD szabályozó segítségével valósítható meg, melyhez két paraméterre, egy < -re valamint -re van szükségünk. Előbbit proporcionális-, míg utóbbit derivatív erősítési tényezőnek nevezzük. Így az alábbi összefüggés adódik, amelyet a későbbiekben is fogunk használni: 9; = 9,,; = < 9; + 9; (2.22.) A következő lépésben linearizálhatjuk a (2.21.)-es mozgásegyenletet, ha csak kis kitéréseket feltételezünk. Egyszerűsítések után a következő egyenlet adódik, amely a rendszer mozgását írja le kis kitérések esetén ( >?@ 5 ): 59; + 6 9; = 6 ) < 9; 6 9; (2.23.) ) A későbbi vizsgálatokhoz szükségünk van a mechanikai rendszer átviteli függvényére, amelyet a rendszert leíró differenciálegyenlet Laplace transzformáltjától határozhatunk meg. Ez csak a lineáris mozgásegyenletből adható meg. Ehhez először a könnyebb kezelhetőség érdekében új paramétereket vezetünk be az együtthatók helyett: 59; +D 9; = E 9; 9;, (2.24.) majd a két oldalt transzformálva az operátor tartományba, a (2.25.)-ös egyenlethez jutunk. A jobb oldal a bemenetnek tekinthető szabályozóerő, ezt helyettesíthetjük egyetlen 9F; függvénnyel. Az átviteli függvény a bemenet és kimenet Laplace transzformáltjának a hányadosa. s + Φ9F; + D Φ9F; = E Φ9F; F Φ9F; = 9F; (2.25.) H I 9F; = Φ9F; 9F; = 1 s + + D (2.26.) A végső összefüggés a (2.24.)-es és (2.26.)-os egyenlet, amely az egyszerű szabályozott inga linearizált mozgásegyenlete és átviteli függvénye. A fenti egyenletekben szereplő három paraméter, D, E és a rendszer stabilitása szempontjából lényeges. Cél ezeknek a paramétereknek a függvényében megvizsgálni a teljes rendszer működését, stabilitás feltételeit és körülményeit. D = 6 E = 6 ) < = 6 ) (2.27.) 6

13 A fentiekben levezett összefüggések az egyszerű ingára vonatkoznak. Abban az esetben, ha megfordítjuk az ingát, inverz ingát kapunk, amelynek a stabilitása megváltozik, de a mozgását leíró egyenletek hasonlók. A különbség csak az D paraméterben jelentkezik, mivel a két rendszer közötti kapcsolat felfogható úgy is, mintha a gravitáció irányát cserélnénk fel, vagyis helyett -vel számolnánk. Így az egyenletben láthatóan csak D előjele változik meg. 59; D 9; = E 9; 9; (2.28.) H I 9F; = 1 s + D (2.29.) A következőkben a most levezetett egyenleteket végeredményét alkalmazzuk, erre a fejezetre csak hivatkozunk IDEÁLIS INGA ÉS INVERZ INGA STABILITÁSA A 2.1-es alfejezetben levezetett összefüggések alapján a folytonos rendszerű, ideális PD szabályozó esetére könnyű a stabilitás feltételeit meghatározni [1], [5]. A jelen példára elkészíthető blokkdiagramot a 2-2. ábra szemlélteti. A visszacsatolt ág nem tartalmaz időkésést, mintavételezést, ezért a leíró egyenletek közönséges, jelen esetben másodrendű differenciálegyenletek. A vizsgálathoz a (2.24.) és a (2.28.)-as egyenletet használjuk (az előbbi az ingára, míg az utóbbi az inverz ingára vonatkozik). Rendezzük át az egyenlet tagjait egyetlen oldalra, majd gyűjtsük egybe az együtthatókat. Az így kapott átrendezett (2.30.)-as alak láthatóan egy másodrendű lineáris differenciálegyenlet, amire alkalmazható a Routh-Hurwitz kritérium (A Függelék). H K H I 2-2. ábra: Idealizált szabályozókör Jelen, másodrendű rendszer esetében egyszerűsödik a feltétel, és a Routh-Hurwitz determináns helyett csak az együtthatók előjelét kell megvizsgálnunk. 59; + 9; + 9E J D; 9; = 0 (2.30.) A fenti egyenlet két részre bontható, ha ingáról beszélünk, akkor a nulladrendű tag együtthatója 9E + D;, ha inverz inga a modell, akkor pedig 9E D;. Ezek alapján a stabilitás feltételeit a (2.31.)-(2.32.)-es egyenlőtlenség definiálja. 7

14 L 0 L 0 (2.31.) E L JD < L J) (2.32.) Láthatóan az aszimptotikus stabilitáshoz szükséges egy tag is a szabályozóhoz, nem elegendő egy egyszerű proporcionális tagot tartalmazó szabályozó. Éppen ezért minimálisan szükséges a PD kontroller, amiben nincs integráló tag. A PID-ben szereplő integrátor lényegesen elbonyolítaná a számításokat. A könnyű grafikai megjelenítés érdekében szokás a stabil tartományokat síkban, egy diagramon ábrázolni. A fenti példa egyszerű, a E- síkon kell a stabilitást kielégítő tartományokat megjelölni. Ezt mutatja a 2-3. ábra. Vagyis bármilyen E- kombinációt választva a stabil területen, a rendszer stabil marad, illetve stabilizálható, azon kívül pedig instabillá válik. Láthatóan mindkét esetben van stabil tartomány, pontosabban a stabil tartomány egy teljes negyedsík, de az inverz inga esetében a határ eltolva kezdődik ábra: Stabil tartományok az inga (bal) és inverz inga (jobb) esetében 2.3. HAYES-EGYENLET Az eddigiek során megnéztük az ideális, késleltetés nélküli szabályozó mozgásegyenletét és megvizsgáltuk annak stabilitását az időtartománybeli alakjában. Abban az esetben, ha a leíró egyenlet nem közönséges lineáris differenciálegyenlet, a Routh-Hurwitz kritérium nem használható (A Függelék), a szükséges determináns ugyanis csak polinomok esetén definiálható. Az egyszerűbb kezelhetőség kedvéért az első példa egy elsőrendű, skalár együtthatójú, késleltetett differenciálegyenlet, amelyet Hayes-egyenletnek nevezünk [5]. Ez a legegyszerűbb forma a késleltetett differenciálegyenletek bevezetésére, általános alakját a következő egyenlet mutatja: 9; = D 9; + N 9 O; (2.33.) 8

15 A megoldás során próbafüggvénnyel keressük a megoldást. Hasonlóan a folytonos esethez (2.34.), a késleltetett tag esetén is könnyen elvégezhető az idő szerinti deriválás (2.35.). 9; = P Q R 9; = S P Q R (2.34.) 9 O; = P Q 9RTU; 9 O; = S P Q R P TQ U (2.35.) Visszahelyettesítve ezt az egyenletbe, majd egyszerűsítve azt a megfelelő kikötésekkel, a (2.36.)-os kifejezéshez jutunk, amelyet karakterisztikus egyenletnek nevezünk. Az időkésés miatt a rendszer végtelen dimenziós rendszerként fogható fel, mert végtelen sok karakterisztikus exponens egyenlíti ki az egyenletet, amelyre már bonyolultabb a stabilitás feltételét meghatározni. 9S; = S D N P TQ U = 0 (2.36.) A D-görbe módszerrel (D-subdivision method) azonban lehetőségünk van meghatározni a határgörbéket, ahol a rendszer instabil exponenseinek számában változás jelentkezik [5]. Ezzel a módszerrel könnyen körbehatárolható a stabil terület, ha a kapott egyenletrendszer megoldható. Ehhez a S = V JW X, X 0 helyettesítést kell elvégeznünk. V + W X D N P T9Z[\ ; U = 0 (2.37.) V +W X D N P TZ U 9cos9X O; W sin9x O;; = 0 (2.38.) A karakterisztikus egyenlet így valós és képzetes részre bontható szét. A D-görbéket úgy kaphatjuk meg, hogy V = 0 feltételezéssel leegyszerűsítjük az egyenletet, majd a két együtthatóra, D-ra és N-re megoldjuk azt. ]9X; = ]P 9S;: V D N P TZ U cos9x O; = 0 (2.39.) _9X; = `) 9S;: X + N P TZ U sin9x O; = 0 (2.40.) Így két egyenletet kapunk, amelyet az X frekvencia függvényében értelmezhetünk. ha X = 0: N = D (2.41.) ha X O b c,b N: D = X cos9x O; sin9x O; X N = sin9x O; (2.42.) A megoldás az D-N síkon, X paraméterezéssel kirajzolható. A D-görbe módszer nem mutatja meg rögtön a stabil tartományt, azt különféle módszerekkel kell megállapítanunk, hol instabil és hol stabil a megoldás. A stabil tartomány megkeresésére több módszer van, például az instabil gyökök számát minden egyes tartományban meghatározhatjuk, de a karakterisztikus exponensek változását is számíthatjuk (exponent crossing direction) [5]. A tartományok instabil gyökeinek számát a Stépán formulákkal számíthatjuk ki egyszerűen [6]. Az eredményeket kis utólagos munkával jól szemlélteti a 2-4. ábra. A 9

16 térképen az instabil gyökök száma is fel van tűntetve, amelyek kiszámítási módjáról a 2.4-es alfejezet szól ábra: Hayes-egyenlet stabilitása (τ = 1) 2.4. INSTABIL GYÖKÖK A legfontosabb stabilitáskritériumok alapja a karakterisztikus egyenlet gyökeire vezethető vissza. Mennyiségük és milyenségük nemcsak a stabilitást határozza meg, hanem a rendszernek a működését, dinamikai viselkedését is. Ezek határozzák meg a rendszer gyorsaságát, időállandóját, beállási pontosságát, túllendülését és a lengéseket is. Éppen ezért fontos, hogy ismerjük azoknak a számát és értékét. Ahol az instabil gyökök száma nullára adódik, ott a rendszer stabil, ha ez egy, vagy ennél nagyobb, akkor instabil. Az instabil gyökök meghatározására szolgáló egyik formula az ún. Stépán formula [6]. Ehhez szükség van a rendszert leíró karakterisztikus egyenlet valós és képzetes részre bontott alakjára, ]9X; és _9X; függvényekre. Ezt követően meg kell keresnünk ezen függvények gyökeit, ami gyakran önmagában sem egy egyszerű feladat, mivel általában csak közelítéssel oldhatók meg. Ezt követően a kapott gyököket a megfelelő formulába kell helyettesíteni, ennek eredményeképpen adódik az instabil gyökök száma. n g = ) + 9 1; > h9 1; i[8 sgn _k9l i ;m io8 (2.43.) g = ) ;> p ; sgn ]90; + h9 1; i[8 sgn ]9q i ; r (2.44.) T8 io8 10

17 Abban az esetben, ha a rendszer s szabadságfoka páros, vagyis s = 2), akkor a (2.43.)-ös összefüggés használható. A képlet használatához meg kell keresnünk az ]9X; = 0 egyenlet valamennyi pozitív valós 0 < l n l 8 gyökét. Ha ismerjük l n gyököket, akkor ezeket kell visszahelyettesíteni _9X; függvénybe, X n = l v alapján. A képlet ezt követően az instabil gyökszámot adja meg egyetlen zárt tartományra. Ha a rendszer páratlan szabadságfokú, vagyis s = 2), a (2.44.)-os összefüggésre van szükségünk. Hasonlóan az előzőekhez, most az _9X; = 0 egyenlet nemnegatív valós gyökeit kell meghatároznunk. Az így kapott 0 = q q 8 gyököket pedig az ]9X; függvénybe kell visszahelyettesíteni. Problémát a gyökök meghatározása jelenthet, hiszen a karakterisztikus egyenlet nem egyszerű polinom, analitikusan általában nem tudjuk megoldani. Egy megoldás az, hogy első lépésben kirajzoljuk az _9X; és ]9X; függvényeket X függvényében. Ekkor, ha lehetőségünk van, szemmel általában le tudjuk olvasni a gyökök helyét. Pontosabb megoldáshoz pedig numerikusan kereshetjük meg azok értékét, ha a leolvasott pont környezetében indítunk iterációs lépéseket. Különféle matematikai szoftverekben erre más-más parancsok állnak lehetőségre, de ezzel a módszerrel gyorsan meghatározhatók a szükséges értékek. A Stépán formula egyszerre csak 1-1 területre ad megoldást. A D-görbékkel feldarabolt stabilitási térképen minden felszabdalt területen ki kell választanunk egy pontot és ezeket a paramétereket kell visszahelyettesíteni a karakterisztikus egyenletbe. Tehát minden tartományra külön-külön, újra és újra el kell végeznünk ezeket a számításokat, amely igencsak időigényes. A továbbiakban a gyökök meghatározásánál csak a módszerre hivatkozunk, annak lépéseit nem tűntetjük fel, csak a térképeken ábrázoljuk az instabil gyökök számát. Ez alapján kiegészíthető a Hayes-egyenlet stabilitástérképe (2-4. ábra) és a további térképek is ettől a fejezettől kezdődően KÉSLELTETETT OSZCILLÁTOR EGYENLETE Hasonlóan a 2.3-as alfejezethez, megvizsgálható az ún. késleltetett oszcillátor egyenlete is [5], amely annyiban különbözik a Hayes-egyenlettől, hogy ez egy másodrendű rendszert ír le, de jelen esetben is csak egyetlen késleltetett taggal rendelkezik (2.45.). 59; + D 8 9; +D w 9; = N w 9 O; (2.45.) Hasonlóan a előzőkhöz, a D-görbe módszerrel határozzuk meg a stabilitás határát. Ehhez helyettesítsük a (2.45.)-ös egyenletet a (2.34.) és (2.35.)-ös összefüggések alapján, majd egyszerűsítsük le azt a megfelelő kikötésekkel. Ennek eredményeként a (2.46.)-as összefüggés adódik, amely már három együtthatót tartalmaz. A feladat megoldható így is, problémát viszont az ábrázolás jelent. Három paramétert egyetlen síkban nem tudunk 11

18 ábrázolni, de lehetőségünk van 1-1 paraméter lerögzítése mellett a másik kettőre a stabil tartományt meghatározni síkban. S + +D 8 S + D w = N w P TQ U (2.46.) Következő lépésben helyettesítsük a karakterisztikus egyenlet karakterisztikus exponensét az előzőekhez hasonlóan, vagyis S = V J W X, X 0, majd bontsuk szét az egyenletet valós és képzetes részre: ]9X;: V + X + + D 8 V +D w N w P TZ U cos9x O; = 0 (2.47.) _9X;: D 8 X + N w P TZ U sin9x O; = 0 (2.48.) Ezt a lépést követően azt kell meghatároznunk, hogy mely paramétersíkon szeretnénk ábrázolni a stabilitást, vagyis mely paramétert kívánjuk rögzíteni. Ez esetben legyen a rögzíteni kívánt paraméter D 8, amely a rendszer csillapítási tényezője. Így a megmaradó két együttható síkján (az D w -N w síkon) kirajzolhatók a D-görbék. ha X = 0: N 0 = D 0 (2.49.) ha X O b c,b N: D 0 = X 2 D 1 X cos9x O;, N sin9x O; 0 = D 1 X sin9x O; (2.50.) Egy speciális megoldás, ha a rendszer csillapítása nulla (D 8 = 0), ebben az esetben a szétválasztott karakterisztikus egyenletek megoldása a trigonometrikus összefüggések miatt a (2.51.) és (2.52.)-es alakra bontható szét. Ennek oka, hogy X O = b c helyen az összefüggésnek szingularitása van, minden más érték esetén pedig N w = 0. Az így kapott megoldás egyenesek sokasága, amelyek egymáshoz képest b-tól függően eltolódnak. ha X O b c,b N: N 0 = 0, D 0 = X 2 (2.51.) ha X O = b c,b N: N 0 = 9 1; b xd 0 0 b c O 1 2 y, D 0 = X 2 (2.52.) Ezeket az egyeneseket könnyen ábrázolhatjuk az D w -N w síkon. Az kapott térképet az ún. Hsu- Bhatt stabilitási térkép (2-5. ábra). Általános esetben, ha a rendszer csillapítást is tartalmaz, a stabilitási térkép elkezd torzulni és növekedni. A (2.49.)és (2.50.)-es egyenletek alapján kapott megoldást a 2-6. ábra mutatja. Ez az oszcillátor-egyenlet egy másodrendű rendszer működését írja le. Ha a paraméterek olyanok, hogy a rendszer az X = 0 görbén helyezkedik el, a megoldás statikus stabilitásvesztés helyzetébe kerül. Ha a rendszer itt helyezkedik el, az instabil gyökszám átlépéskor nulláról egyre változik. Ez azt jelenti, hogy egy tisztán valós részű gyök lépi át a stabilitási határt, a megoldás pedig exponenciálisan növekvő lesz. 12

19 ábra: Hsu-Bhatt stabilitási térkép csillapítás nélkül 9O = 2c, D 8 = 0; ábra: Hsu-Bhatt stabilitási térkép csillapítással (O = 2c, D 8 = 0,1) A többi, stabil tartományt határoló, X 0 görbét dinamikus stabilitásvesztési határgörbének nevezzük. Itt ugyanis egyszerre egy komplex konjugált gyökpár lépi át a stabilitási határt, amely egy exponenciálisan növekvő oszcillálójú lengést eredményez. A Smith-prediktornál későbbiekben bemutatunk két ilyen instabil megoldást (3-15. ábra). Fontos megemlíteni, hogy a stabil tartományokon is eltérő a rendszer viselkedése. A stabil gyököktől függően az időfüggvény különböző módokon áll vissza egyensúlyi helyzetébe, ezekről a későbbiekben lesz szó, de ezt is az határozza meg, hogy a stabil gyök tisztán valós-e, vagy komplex gyökpár. Előbbi exponenciális, utóbbi viszont exponenciálisan csökkenő oszcilláló beállást biztosít. 13

20 2.6. SZABÁLYOZÁS KÉSLELTETETT VISSZACSATOLÁSSAL A jelen alfejezet egy egyszabadságfokú, másodrendű, visszacsatolt rendszer vizsgálatát mutatja be. A zárt szabályozási körbe egy PD-szabályozó van beépítve, amelynek paraméterei most E és. A rendszert leíró egyenletek hasonlóak az oszcillátor-egyenletéhez, de ebben az esetben a visszacsatolásban két késleltetett tag szerepel (2.53.). Vegyük észre a hasonlóságot a 2.1-es alfejezet (2.28.)-as egyenletével. Abban az esetben, ha az D 8 együttható értéke zérus, vagyis a rendszerben nincs csillapítás és az időkésés zérus (O = 0), akkor a két egyenlet megfeleltethető egymásnak. 59; + D 8 9; + D w 9; = E 9 O; 9 O; (2.53.) A következőkben ezt az egyenletet fogjuk megvizsgálni a csillapítás nélküli esetben, mivel a későbbiekben ez meghatározó lesz a további eredmények értékelésében. A fenti megfontolásokkal a rendszer a 2-7. ábra szerinti blokkdiagramba írható át. H K H I O 2-7. ábra: Szabályozókör késleltetett visszacsatolással A korábbi fejezetekhez hasonlóan fejezzük ki a karakterisztikus egyenletet (2.54.), majd bontsuk szét. Ha a korábban említettek alapján a rendszerben csillapítás nincs, D 8 együttható értéke nulla. Ezzel szemben az ingához viszonyítva D w = D egy olyan paraméter, ami csak a geometriára jellemző paramétereket tartalmaz (2.27.), vagyis értéke állandónak tekinthető. Így a két paraméter, E- síkján ábrázolhatjuk a stabilitást. 9S; = S + + D w + E P TQ U + S P TQ U (2.54.) Az S = V J W X, X 0 helyettesítéssel tehát a következő egyenletek adódnak. ]9X;: V + X + + D w + EP TZU cos9xo; + VP TZU cos9xo; + XP TZU sin9xo; = 0 (2.55.) _9X;: 2VX EP TZU sin9xo; + XP TZU cos9xo; VP TZU sin9xo; = 0 (2.56.) Abban az esetben, ha V = 0, a D-görbéket kapjuk meg. ha X = 0: E = D 0, { (2.57.) ha X 0: E = 9X 2 D 0 ; cos9xo;, = X2 D 0 X sin9xo; (2.58.) A két paraméter ismeretében már elkészíthető a stabilitási térkép. Az instabil gyökök száma a Stépán módszerrel meghatározható, az ábrákon azok száma látható. 14

21 ábra: Késleltetett visszacsatolású inga stabilitási tartománya (D w = 0,5, O = 1) ábra: Késleltetett visszacsatolású inverz inga stabilitási tartománya (D w = 0,5, O = 1) A 2-8. ábra megfeleltethető az inga stabilitási térképének, míg a 2-9. ábra az inverz ingáénak. Látható, hogy az inverz inga esetén a stabil tartomány jóval szűkebb, de jellegre a kettő hasonló. Ennek az az oka, hogy a gravitáció az inga esetén stabilizálja az ingát, míg inverz ingánál éppen ellenkezőleg hat. A statikus stabilitásvesztési határgörbe éppen ezért a E = JD 0 pontokon helyezkedik el. Az is látható a tartományokon, hogy a statikus határgörbe átlépésekor az instabil gyökök száma mindig eggyel változik, míg dinamikus határgörbe esetén kettővel. Utóbbi egy komplex instabil gyökpár átlépését jelenti a képzetes tengelyen. 15

22 2.7. LINEÁRIS KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLET A következőkben a lineáris homogén és inhomogén differenciálegyenletek egy megoldási módszerét fogjuk bemutatni. Legyen adott egy homogén differenciálegyenlet-rendszer a (2.59.)-es egyenlettel jelzett mátrixegyenletben. Jelen esetben 9; és 9; egy s elemű vektor ( 9; { } ), míg ~ egy s s elemű mátrix. 9; = ~ 9; (2.59.) Ezen egyenletrendszer megoldása a kezdeti feltételekkel megadható: 9; = P ~R w (2.60.) Az így kapott megoldásban P ~R együttható, az ún. mátrixexponenciális, meghatározására különféle módszerek vannak. Kiszámítható a ~ mátrix sajátértékeinek és sajátvektorainak vizsgálatával, de a legtöbb matematikai szoftverben erre előre definiált parancsok vannak. P ~R meghatározható az exponenciális függvény Taylor-sorával is (2.61.). P ~R = exp9~; h 1 ~ i i (2.61.) b! iow A következőkben nézzük meg egy lineáris inhomogén differenciálegyenlet-rendszer megoldását. Legyen adott az egyenlet a következő, (2.62.)-es alakban, ahol 9; { }. 9; = ~ 9; + 9; (2.62.) A megoldás során az állandók variálásának módszerét használjuk. Keressük a megoldást a (2.63.)-as alakban megadott összefüggéssel, ahol 9; { } differenciálható függvény. Ennek a feltételnek a figyelembevételével deriváljuk a feltételezett egyenletet. 9; = P ~R 9; (2.63.) 9; = ~ P ~R 9; + P ~R 9; (2.64.) Visszahelyettesítve a (2.62.)-es egyenletbe, majd egyszerűsítve a kapott összefüggést, a következő alak adódik: P ~R 9; = 9; (2.65.) Ezt a formát átrendezve, majd integrálva azt, a (2.66.)-os összefüggéshez jutunk, ahol ˆ konstansvektor. R 9; = P T~ 9F;F + ˆ (2.66.) R Š Az így kapott megoldást a 9; függvényre visszahelyettesíthetjük a (2.63.)-as egyenletbe. Így az összefüggés a következőképpen alakul: R 9; = P ~R P T~ 9F;F + P ~Rˆ (2.67.) R Š 16

23 A kezdeti feltételek kielégítésével a ˆ konstansvektort is meghatározhatjuk, ez alapján: ˆ = P T~R Š RŠ (2.68.) A kezdeti feltétellel kapott általános megoldást a (2.69.)-es egyenlet mutatja. A későbbiekben erre az összefüggésre sokszor fogunk hivatkozni, levezetését nem fogjuk részletesen bemutatni. R 9; = P ~9RTRŠ; RŠ + P ~9RT; 9F;F (2.69.) R Š Ezt a módszert nem csak a közönséges differenciálegyenletek megoldásához, hanem a késleltetett egyenletekhez is használhatjuk. Az időfüggvény meghatározásánál és az állapottér modellnél többször fogjuk alkalmazni a fenti megoldás módszerét. 17

24 3. SMITH-PREDIKTOR A következőkben a hagyományos Smith-prediktor kerül bemutatásra, amely a szakdolgozat témáját képezi. A legtöbb szakirodalomban megtalálható számításoktól eltérően a levezetések során a fentiekben bemutatott módszereket használjuk, vagyis az egyenleteket elsősorban időtartományban kezeljük az időkésés figyelembevételével. Első lépésben bemutatjuk a Smith-prediktort, majd egy ilyen prediktív típusú szabályozót tartalmazó, egyszerű, elsőrendű rendszeren alkalmazzuk a megismert módszereket és vizsgáljuk a stabilitást. Későbbiekben pedig a korábban levezetett ingára is bemutatjuk az eredményeket, de részletesebben kielemezve azokat, különböző módszereket, többet között a szemi-diszkretizációt alkalmazva [5] A HAGYOMÁNYOS SMITH-PREDIKTOR A valós rendszerekben jelentkező időkésés hétköznapi probléma, hiszen minden rendszert terhel, legyen az ipari, gazdasági vagy biológiai [2]. Folytonos rendszereknél gyakran elhanyagoljuk ezt, mivel az információterjedés sebessége jóval nagyobb, minthogy az érdemi befolyást jelentene. Vannak esetek, amikor azonban ez ténylegesen fontos lehet, például bonyolultabb elektronikai rendszereknél, vagy digitális mintavételes rendszereknél, ahol a mintavételezés időkéséshez hasonló jelenségeket okoz [7]. A már korábban többször említett Smith-prediktor nevet kapott szabályozási struktúrát O.J.M. Smith mutatta be 1957-ben [3]. Ez egy matematikai levezetése annak, hogyan lehetne az időkésést a rendszerből kivenni, majd az ideális szabályozóra visszavezetni azt. Az első próbálkozások annak gyakorlatba ültetésére kevés sikerrel jártak, részletesebb elméleti levezetésekre az 1970-es és 1980-as években került sor [2]. Ezek a levezetések sokban segítették a Smith-prediktor működésének megértését, tulajdonságainak megismerését, de legnagyobb előnye a következő években jelentkezett. A Smith-prediktor olyan szabályozót tartalmaz, amely az időkésést ideális esetben elméletileg képes kiemelni a szabályozási körből [2]. Valójában a szabályozó tartalmaz egy ún. prediktor tagot, amely a szabályozandó szakasz egy matematikai modellje. Ennek a prediktor modellnek az elkészítése analóg rendszerek esetén komoly nehézségekbe ütközik, többek között az időkésés megvalósítása miatt. Gyakorlatba ültetésére a digitális rendszerek elterjedése után került igazán sor, ahol az időkésés egyszerű shift-eléses utasítássá vált, a modell pedig egy számítógépes algoritmussá [2]. Habár a gyakorlatban a mintavételes SP az elterjedtebb, a dolgozat során a folytonos rendszert vizsgáljuk. Ennek oka, hogy úgy 18

25 tekintjük a mintavételezést, mint ami olyan nagy frekvencián történik, hogy az jó közelítéssel folytonosnak tekinthető, a mintavételezési hatásokat pedig elhanyagoljuk. N v H K Ž H I P HŒ I P TU P TU 3-1. ábra: Smith-prediktor általános blokkdiagramja A beavatkozás úgy történik, hogy a bemeneti jel hatására az eredeti visszacsatolt jellemzők mellett megjelenik két másik visszacsatolt tag is, ezt szemlélteti a 3-1. ábra. Az elmélet szerint, ha pontosan ismerjük a fizikai rendszert és el tudjuk készíteni annak a matematikai modelljét, akkor ismerjük annak dinamikai viselkedését is. Pontosabban bármely időpontban meg tudjuk határozni a rendszer állapotát a jelenlegi állapot ismeretében. Jelöljük a rendszert terhelő időkésés O-val. Tehát, ha ismerjük a rendszer állapotát w időpontban és ismerjük a matematikai modell minden egyes paraméterét pontosan, akkor meg tudjuk adni könnyen a w + O állapotot is. A Smith-prediktor esetében ez pontosabban úgy működik, hogy a késleltetett valós visszacsatolást egy nem késleltetett, ideális visszacsatolással cseréljük ki. Tehát ahelyett, hogy egy olyan jellel szabályoznánk a rendszert, amely elkésett, pontosan egy akkora jelet kap, amely a jelen állapotra vonatkozik és nincs elkésve. Ez a működésben úgy jelentkezik, hogy a késleltetett tagok ellentétes előjellel összeadódnak, valamint kiegészül egy prediktált állapottal. Ha minden paraméter ideális és pontosan ismerjük a rendszereket, akkor ezek a tagok valóban kiesnek és az időkésés kiemelhető. A problémát az jelenti, hogy sem a rendszert, sem az időkésést nem ismerjük pontosan, pedig a prediktor működésének alapja, hogy ezek teljesen megegyeznek. Már kis perturbáció (paramétereltérés) esetén is ezek a tagok nem egyszerűsíthetők le és figyelembe kell vennünk a hatásokat. A legtöbb szakirodalomban nem kezelik a valós és a prediktor rendszer eltéréseit, csak az időkésés bizonytalanságát [2], [8]. A probléma ezzel viszont az, hogy a dinamikai rendszerek esetén a paramétereket a tömeg, csillapítás, súrlódás, hossz, tehetetlenségi nyomaték stb. határozzák meg. Ezek közül egyiket sem ismerjük pontosan, ezért nem is mondhatjuk azt, hogy a rendszer és a modell megegyezik. Az időkésés 19

26 ismeretéről hasonló állítható. Éppen ezért célunk, hogy a stabilitás vizsgálásánál minél több bizonytalanságot figyelembe vegyünk, és így a valósághoz közelebb álló modellt készítsünk. A következőkben ezt szem előtt tartva vizsgáljuk meg a Smith-prediktor működését és határozzuk meg a stabil területeket elsősorban időtartománybeli vizsgálattal AZ ÁTVITELI FÜGGVÉNY MEGHATÁROZÁSA Az általános alakban megadott blokkdiagramot a 3-1. ábra mutatja, amelyen az átviteli függvények vannak megadva. H I átviteli függvény a mechanikai rendszer átviteli függvénye, HŒ I a prediktor modellé, H K a szabályozókörbe épített szabályozóé, vagy más szóval controller-é. A valós modell szögelfordulását egy szenzorral mérjük, amely jelen esetben nem ideális. Ezt egy O időkéséssel vesszük figyelembe, amely alapján a mérőeszköz átviteli függvényét egyetlen időkéséses tag, P TU jellemzi. Láthatóan a modell is tartalmaz egy nem ideális, O időkéséssel rendelkező tagot, ennek átviteli függvénye P TU. A szabályozókörben valamennyi tag visszacsatolva van jelen. Láthatóan a szenzor miatt a valós időfüggvény a rendszerben csak egy O időkéséssel van jelen, amelynek pontos értékét nem ismerjük. A késleltetett tagot, mint delayed tag jelzi. Ehhez képest a rendszerben visszacsatolva van a modell valós idejű és késleltetett tagja is. Abban az esetben, ha tökéletesen pontosan ismerjük a mechanikai modell paramétereit, valamint a rendszer időkésését és ezt pontosan be is tudjuk állítani a prediktor modellen, akkor az időkésés kiküszöbölhető, hiszen a két késleltetett tag ellentétes előjellel adódik össze (3.2.). Így ideális esetben a beavatkozás a modell alapján történik, nem pedig a valós rendszer alapján. Ez persze egy olyan ideális eset, amely csak matematikailag érhető el. A valóságban viszont sem a fizikai rendszer paramétereit nem tudjuk pontosan lemérni, sem pedig a prediktor modellen nem tudjuk azt pontosan beállítani. Éppen ezért a nem ideális eset kezelése írja le jobban a valóságos működést. A következőkben cél ennek a megvizsgálása elsőrendű és másodrendű rendszeren bemutatva. A blokkdiagram ismeretében meghatározható a rendszer átviteli függvénye, vagyis a bemenet és a kimenet közötti függvénykapcsolat. Ehhez ki kell fejeznünk a szükséges összefüggéseket, majd azokat a megfelelő formára hozni. Ezek az N beavatkozójel, az v rendelkező jel, P ellenőrző jel, valamint az Ž szabályozóerő. v = N P (3.1.) P = + (3.2.) Ž = v H K (3.3.) = Ž H I (3.4.) 20

27 = Ž HŒ I (3.5.) = P TU (3.6.) = P TU (3.7.) A (3.1.)-(3.7.)-es összefüggésekből kifejezhető a rendszer fenti egyenleteket kell kifejezni a következő alakra hozni: 9F; = N 9F; átviteli függvénye. Ehhez a (3.8.) = Ž H I = v H K H I = H K H I 9N + ; (3.9.) Ž = H I = HŒ I = H Œ I H I (3.10.) A következő lépésben az,, elemeket kell kifejeznünk segítségével, hogy az átviteli függvény megadható legyen. Az így kapott egyenlet átrendezhető és kiemelhető mindkét oldalról a keresett változó. = H K H I xn H Œ I H I + H Œ I H I P TU P TU y (3.11.) H K H I N = + H K HŒ I + H I H K P TU H K HŒ I P TU (3.12.) 9F; = N = H K H I 1+H K HŒ I + H I H K P TU H K HŒ I P TU (3.13.) Az egyenletek helyes átrendezését követően a kapott (3.13.)-as alak a rendszer általános esetben megadott átviteli függvénye. Ez azonban nem egyezik meg a stabilitásvizsgálathoz szükséges karakterisztikus egyenlet formulával, ehhez a fenti átviteli függvényeket a megfelelő formával helyettesíteni, majd átalakítani kell. A legtöbb szakirodalomban szokás egy zavarójelet figyelembe venni a rendszer előtt, amellyel valamiféle egyensúlyi megzavarást, vagy kezdeti feltételt vehetünk figyelembe [2], [8]. Ezt szemlélteti a 3-2. ábra. Mivel a N -vel jelzett bemenet jelen esetben az egyensúlytartás miatt nulla, ezért célszerű a zavarást feltételezni külső bemenetnek, amelyet a szabályozókör kompenzálni kényszerül. Ezzel a megfontolással az átviteli függvényt újra fel kell írnunk a zavarójel és a kimenet között. 21

28 N v H K Ž H I P HŒ I P TU P TU 3-2. ábra: Smith-prediktor általános blokkdiagramja zavarással kiegészítve Ebben az esetben csak egy egyenletet kell újradefiniálnunk, a többi változatlan. Így a (3.4.)- es összefüggést a (3.14.)-essel cserélhetjük ki. Ezt azért célszerű megtennünk, mert a valóságos szemléletnek ez utóbbi ábra jobban megfelel. Így ugyanis a gerjesztés csak a valós fizikai rendszert éri, a beavatkozás pedig a szenzor jele alapján történik. Ennek hatására a prediktor modellbe is már a mért jel csatolódik vissza, a valós rendszer nem kerülhető meg. = 9Ž + ; H I (3.14.) Ezen megfontolások alapján az átviteli függvényt könnyen felírhatjuk újra. Az egyenleteket átrendezve és áthelyettesítve, ez előzőekhez hasonlóan, a következő összefüggés adódik: H I = H K H I x x H Œ I H I H I y + x H Œ I H I H I y P TU P TU y (3.15.) Ebből könnyen kifejezhető a zavarójel és a kimenet közötti átviteli függvény, ezt mutatja a (3.13.)-as kifejezés. 9F; = = H I H K H I HŒ I P TU + H K H I HŒ I 1 +H K HŒ I + H I H K P TU H K HŒ I P TU (3.16.) Az így kapott átviteli függvények között láthatóan csak a számlálóban van különbség, a rendszer karakterisztikus egyenlete, amely a nevezőből képezhető, változatlan. A kettő között azonban van eltérés, ezt a 3.3-as alfejezetben vizsgáljuk meg részletesebben. 22

29 3.3. ELSŐRENDŰ RENDSZER Elsőrendű rendszerről akkor beszélhetünk, a fizikai rendszer átviteli függvényének karakterisztikus egyenlete elsőrendű. Mivel valós fizikai rendszereknél az átviteli függvény számlálójának rendszáma maximum annyi lehet, mint a nevező rendszáma, az átviteli függvény például a (3.17.)-es alakban írható. Ebben az esetben a magára hagyott rendszer instabil lenne, ha az D paraméter értéke pozitív. H I = 1 F D (3.17.) Ebben az alfejezetben ennek az egyszerűsített rendszernek a példáján fogjuk megvizsgálni a stabilitást. A következőkben csak az ideális esetet vizsgáljuk, a paraméterek perturbációjával később foglalkozunk. Az elsőrendű rendszer esetén elegendő a szabályozáshoz egyetlen E paraméter, vagyis a szabályozót egyetlen proporcionális tag képezi: H K = E (3.18.) A fenti egyenleteket behelyettesítetjük például a (3.13.)-as eredeti átviteli függvénybe, vagy a (3.16.)-os zavarással kiegészítettbe. Ezt követően rendezzük mind a számlálót, mind a nevezőt kvázipolinom (exponenciális polinom) alakra. Ezt mutatja az alábbi átrendezés: 9F; = 1 E 9F; = F D E F D + E 1 F D 1 (3.19.) PTU E F D PTU E 9F D ; 9F D; 9F D ; + E 9F D; + E 9F D ; P TU E 9F D; PTU (3.20.) Hasonlóan a zavarással figyelembevett átviteli függvény is megadható így: 9F; = 9F D ; E P TU + E 9F D; 9F D ; + E 9F D; +E 9F D ; P TU E 9F D; PTU (3.21.) A (3.20.)-as és (3.21.)-es összefüggés között csak a számlálóban van különbség. Az átviteli függvényt képező nevező gyökeit nevezzük pólusoknak, a számláló gyökeit zérusoknak. Ha egy zérus pontosan megegyezik egy pólussal, abban az esetben az átviteli függvény egyszerűsíthető, hiszen egy gyök kiejthető. Ezt nevezzük pólus-zérus egyszerűsítésnek (pole-zero cancellation). Ez csak abban az esetben állhat fent, ha például a számlálóból és a nevezőből is egyszerűen kiemelhető ugyanaz a gyök. Jelen esetben az ideális esetet tárgyalhatjuk egyszerűen, ezért tegyük meg azt az egyszerűsítést, miszerint D = D és O = O. Vagyis a rendszer és a prediktor modell minden paramétere megegyezik. Nézzük első esetben a (3.20.)-as összefüggést. Látható, hogy az 9F D; együttható kiemelhető mindkét 23

30 esetben, a késleltetett tagok pedig kiesnek. Eredményképpen az ideális, késleltetés nélküli P szabályozóval szabályozott rendszer egyenletét kapjuk vissza: 9F; = H K H I = H K E = 1 + H K H I 1 +H 9F D; + E (3.22.) H K I Ez az egyszerűsítés nem végezhető el a (3.21.)-es egyenleten, mivel abból nem emelhető ki ilyen együttható. Ennek következménye, hogy a két esetben két karakterisztikus egyenletet vizsgálhatunk meg, az egyszerűsítettet és a teljeset. Elsőként az eredeti karakterisztikus egyenletet vizsgáljuk meg az ideális esetben, amikor a paraméterek megegyeznek. Ezt a következő egyenletek mutatják. 9F; = 9F D; 9F D ; +E 9F D; + E 9F D ; P TU E 9F D; P TU (3.23.) 9F; = F + + 9E D D ;F +D9D E; EP TU F + EP TU F +DEP TU D EP TU (3.24.) ha D = D és O = O: 9F; = F + + 9E 2D;F + D9D E; (3.25.) A Smith-prediktor esetében általánosan igaz az, hogy ha a paraméterek nem egyeznek meg, vagy átalakítás után egyszerűsítjük a karakterisztikus egyenletet, a rendszer fokszámát kétszeresére növeli, vagyis jelen elsőrendű rendszer esetében másodfokú lesz a karakterisztikus polinom. A fenti, (3.25.)-ös összefüggés a Routh-Hurwitz kritériummal ellenőrizhető, amely jelen esetben csak az együtthatók előjelének vizsgálatát jelenti. E 2D L 0 D9D E; L 0 (3.26.) A fenti két feltétel három további feltételre bontható szét. E L 2D D < 0 és D < E D L 0 és D L N (3.27.) Az így nyert (3.27.)-es feltételek egyértelműen meghatároznak egy stabilitási tartományt az D -E síkon, ezt mutatja a 3-3. ábra jobb oldali képe. A bal oldali képen a zérussal leegyszerűsített eset látható. A két térképen jól összehasonlíthatók a kapott eredmények, de ne felejtsük el, hogy ez csak a rendszerparaméterek egyezése esetén áll fent így. Látható, hogy abban az esetben, ha a bemenet és kimenet között felírt átviteli függvényt a zérussal leegyszerűsítjük, egy gyök kieseik a rendszerből. Ez nem probléma akkor sem, ha ez a gyök instabil, vagyis maga a szabályozandó rendszer instabil. Ebben az esetben is lesz stabil tartomány, ezt mutatja a bal oldali ábrán a jobb oldali félsíkon megtalálható stabil terület. Ha az átviteli függvényt nem egyszerűsítjük le, vagy a kimenet és a zavarás között írjuk fel, akkor a stabilitási tartományt a jobb oldalon látható ábra mutatja. Ebben az esetben a jobb oldali félsík instabil tartománnyá válik. A kiinduló példában instabil rendszert feltételeztünk, ezt mutatja a (3.17.)-es átviteli függvény. Így minden D L 0 rendszerparaméter instabil rendszert eredményez. A levezetés 24

31 végeredményeképpen megmutatható, hogy a Smith-prediktor nem alkalmas instabil rendszerek szabályozására, mivel D L 0 esetén a stabil tartomány megszűnik. Valójában a bal oldali esetben is van egy instabilitást okozó gyökünk, de a speciális paraméteregyezés miatt ez megegyezik egy zérussal, így az kiejthető ábra: Elsőrendű rendszer stabilitási tartománya az eredeti átviteli függvény (bal) és a zavarás figyelembevételével felírt átviteli függvény esetén (jobb) A két eredmény azt mutatja, hogy pontosabb megoldáshoz a teljes karakterisztikus egyenletet kell vizsgálunk, nem pedig annak a zérusokkal egyszerűsített alakját MÁSODRENDŰ RENDSZER A másodrendű rendszer példájának bemutatására a 2.1-es alfejezetben, az ingára illetve inverz ingára levezetett átviteli függvényt fogjuk használni. Vagyis a Smithprediktorral próbáljuk meg a rendszer időkésés okozta instabilitását megoldani. Ehhez a rendszer átviteli függvényéhez, amely jelen esetben az inga függvénye, a (3.28.)-as egyenletet használjuk. A prediktor modell ez alapján hasonlóan másodrendű tag, paramétere D helyett azonban D, amit a (3.29.)-os egyenlet mutat. Továbbá a szenzort jellemzi a O, valamint a prediktor modellt a O időkésés. H I = 1 F + + D HŒ I = 1 F + + D (3.28.) (3.29.) A szabályozókörben ezek mellett egy PD szabályozó is szerepel, amelynek E és paraméterei mellett határozzuk meg a stabilitási tartományokat. Mindeközben D és O értékét lerögzítjük, további a prediktorra megadott eltérést engedünk meg D -ra és O -ra nézve. Vagyis célunk a nem ideális, paraméterek eltérése melletti eset vizsgálata. 25

32 Jelen esetben tehát a beszerelt PD szabályozót nem időtartományban definiáljuk, hanem operátortartományban, vagyis a Laplace transzformáltjával megadva. L9E 9; + 9;; H K = E + F (3.30.) Ezt követően, mivel minden átviteli függvényt ismerünk, a (3.13.)-as egyenletbe visszahelyettesítve, megadhatjuk a másodrendű, Smith-prediktorral szabályozott rendszer átviteli függvényét (3.31.). A következő lépésben hozzuk a kifejezést kvázipolinom alakra: 1 9E + F; 9F; = F + + D 1 1+9E + F; F + + D + 1 F + + D 9E +F; 1 (3.31.) PTU 9E +F; F + + D PTU 9E + F;9F + +D ; 9F; = 9F + +D ;9F + + D; +9E + F;k9F + + D; + 9F + + D ; P TU 9F + + D; P TU m (3.32.) Az átviteli függvény nevezőjéből képezhető a karakterisztikus egyenlet, amelyet a stabilitásvizsgálatra használhatunk itt is. Első lépésben bontsuk fel a (3.32.)-es tört nevezőinek szorzatait, hogy a helyettesítést könnyebben elvégezhessük. Ezt követően a korábbi fejezetekhez hasonlóan meghatározhatjuk a D-görbéket közvetlenül, ha jelen esetben F = W X, X 0 helyettesítéssel élünk. Szétválasztva az egyenletet valós és képzetes részre, a következő egyenletek adódnak. ]9X;: DD + DE DX + D X + EX + + X +D Ecos9XO; EX + cos9xo; DEcos9XO ; + EX + cos9xo ; + D Xsin9XO; X sin9xo; DXsin9XO ; + X sin9xo ; = 0 (3.33.) _9X;: DX X +D Xcos9XO; X cos9xo; DXcos9XO ; + X cos9xo ; D Esin9XO; + EX + sin9xo; + DEsin9XO ; EX + sin9xo ; = 0 (3.34.) A paraméteres D-görbék meghatározásához ezt a két egyenletet kell megoldanunk E és paraméterekre (3.36.). Így a stabilitási tartományok megrajzolhatók a szükséges D és O értékek megválasztását követően. ha X = 0: E = D, { (3.35.) ha X 0: E = 9D X + ;9D X + ;k9 D + X + ;cos9xo; + 9D X + ;9 1 +cos9xo ;;m /92D + + D + 4DX + 2D X + + 3X + 29D X + ;9D X + ;cos 9OX; + 29D X + ;9 D + X + ;cos 9X9O O ;; 2D + cos 9XO ; + 4DX + cos 9XO ; 2X cos9xo ;; = 9D X + ;9D X + ;k9 D + X + ;sin9xo; + 9D X + ;sin9xo ;m /9X92D + + D + 4DX + 2D X + + 3X + 29D X + ;9D X + ;cos9xo; + 29D X + ;9 D + X + ;coskx9o O ;m 2D + cos9xo ; + 4DX + cos9xo ; 2X cos 9XO ;;; (3.36.) Abban az esetben, ha a prediktált és a valós paraméterek megegyeznek, az egyenletek az ideális PD szabályozó egyenleteire egyszerűsödnek le (2.2-es alfejezet), ez a Smith- 26

33 prediktor működésének a lényege. Ha azonban a paraméterek nem ideálisak, a fenti egyenletek érvényesek, a következőkben ezt fogjuk vizsgálni. A módszerrel csak a D-görbék határozhatók meg, a stabil tartomány ezen belül közvetlenül nem. Ehhez a Stépán módszert használhatjuk itt is, amellyel minden tartományon egyenként kell meghatározzuk az instabil gyökök számát. Ahol az instabil gyökök száma nullára adódik, stabil tartományt kapunk. A 3-4. ábra és 3-5. ábra ezeket a gyököket is mutatja. Látható, hogy jelen estben is, ha a statikus határgörbét lépjük át, az instabil gyökszám eggyel változik, míg a dinamikus határgörbe esetén mindig kettővel ábra: Stabilitási térkép (D = 0,5, O = 1, D = 0,8D, O = 0,5O) ábra: Stabilitási térkép (D = 0,5, O = 1, D = 1,2D, O = 0,5O) A stabil tartományok ismeretében elkészíthető egy olyan diagram, amely a paraméterérzékenységet mutatja (lsd ábra és 3-7. ábra). Látható, hogy az időkésés változása jóval kisebb hatással van a rendszerre, mint a rendszerparaméter. Ez utóbbi ugyanis minőségi ugrást jelent a stabil tartományok változásában. Ha az D paraméter 27