Összetett hálózatok vizsgálata

Átírás

1 Összetett hálózato vizsgálata az Internet és a csomagfügg ségi hálózat példáján Horváth Árpád <horvath.arpad@are.uni-obuda.hu> 013. április 18. Összetett hálózato Nagyobb gráfo összetett tulajdonságoal. csúcs él 5 foszámú csúcs csomópont (nagy foszám) Összetett hálózato (complex networs) Hálózato gráfo, vagy azo id ben változó sorozata Összetett hálózato: szerezetü nem írható le egyszer en. Átmér Útvonal hossza, a benne szerepl éle száma. Az út hossza. Két csúcs távolsága: a özöttü vezet legrövidebb út hossza. d(1, 3) = mert van özöttü három hosszúságú út, de rövidebb nincsen Deníció Hálózat átmér je Példá hálózatora hálózat csúcso él van ha... ir. ismeretségi h. személye találozta Világháló weboldala van öztü lin Internet routere van vezeté özöttü cie h. cie hivatozi a másira fehérjeh. fehérjé özös ölcsönhatásban részt veszne szava h. szava ha szerepelne együtt a szinonímaszótárban színésze h. színésze szerepelte özös lmben 1

2 Határozzu meg az összes csúcspár esetén a öztü lév távolságot. Ezene a távolságona a maximuma a hálózat átmér je. D = max d(i, j) i j Átmér D 1 =. Bármelyi ett távolsága legfeljebb 4, és az alsó és fels özött pontosan annyi. 1. A foszámeloszlás D =. Bármelyi ett özött mehetün a özépen lév n eresztül ett hosszúságún, de egy hosszúságú út nincsen például az alsó és a fels özött. A foszám 1. deníció. A hálózat egy csúcsána foszáma (degree) alatt a hozzá csatlaozó éle számát értem. Ha nem engede meg többszörös éleet és a iinduló csúcsba visszatér huroéleet, aor ez a szomszédo számát is megadja. Irányított hálózato esetén ülön értelmezhetün befoszámot (a nyila hegyét számolju meg), és ifoszámot a nyila ezd pontját számolju meg be,7 = i,7 = 7 = Kapcsolat a hálózato alapvet tulajdonságai özött Az élene ép végpontja van, tehát minden egyes él ett csúcs foszámát növeli meg. Az átlagos foszám: Be-foszám esetén az átlagos foszám: Ki-foszám esetén szintén. Példá = M N be = M N

3 Meora az ábrán látható hálózatban az átlagfoszám, az átlagos ifoszám és az átlagos befoszám, a maximális és minimális foszám, 3 4 a maximális befoszám és maximális ifoszám? 1.1. Hálózatmodelle és foszámeloszlásu Erd s Pál és Rényi Alfréd Véletlen hálózato Véletlen hálózato Erd s Pál és Rényi Alfréd vizsgálta 1959-t l. Véletlen hálózatonál adott egy N csúcsszám és egy p valószín ség. Végigmegye az összes csúcspáron és p valószín séggel élt húzo özéjü. Éle száma és átlagfoszám a véletlen hálózatoban Ha a hálózat teljes hálózat lenne, benne M teljes = N(N 1) él lenne. (Minden csúcsból N 1 él, de aor mindet étszer számoltam.) Éle várható száma a véletlen hálózatban: E(M v ) = p N(N 1) p N ha N nagy 3

4 Az átlagfoszám várható értée: E( ) = p(n 1) p N ha N nagy Az utóbbi összefüggés étféleéppen is származtatható. Az egyszer bb módszer, hogy megnézzü hány él futhatna i maximálisan egy csúcsból: ha teljes lenne a hálózat, aor egy csúcs az összes többi N 1 csúccsal össze lenne ötve. Ha p valószín séggel választju i az éleet, aor nyilván p(n 1) fog eze özül létezni átlagosan, így az átlagfoszám ennyi lesz. A mási lehet ség, ha az átlagfoszám iszámításána = M/N épletébe behelyettesítem a várható értéét az éle számána a véletlen hálózatban. A foszámeloszlás. deníció. A p() foszámeloszlás (degree distribution) egy olyan függvény, amely az egyes foszámohoz hozzárendeli anna a valószín ségét, hogy egy véletlenszer en iválasztott csúcs foszámú, azaz p() = P rob(véletlen csúcs foszáma = ) Példá Megoldás a végén. Az ábrán látható hálózat foszámeloszlása: N p() Két hálózatmodell eloszlása (darabszám) Két eltérő modellből származó hálózat foszámeloszlása Barabási-Albert modell (m=3) Erdős-Rényi modell (p=0,006) p() valószínűség csúcso száma átlagos foszám b foszám 4

5 A valódi hálózatonál általában nem az Erd srényi modell foszámeloszlását tapasztaltá. Az eloszlás fontos lehet a hálózaton történ folyamato (vírusterjedés, meghibásodás, célzott támadás, híre terjedése) és hatásai szempontjából. Vajon hogyan jön létre egy hálózat? A hálózato ialaulása 1. A hálózat növeszi.. Népszer ségi csatlaozás: a nagyobb foszámú csúcshoz nagyobb valószín séggel csatlaozna. A BarabásiAlbert modell szerint egy tetsz leges ezd hálózatból indulun i. Minden lépésben egy új csúcs eletezi, és adott m számú éllel apcsolódi a régi csúcsohoz. A apcsolódás valószín sége arányos a foszámmal. Barabási Albert-László, a Behálózva cím önyve és Albert Réa Az éle száma a BA-modellben A BarabásiAlbert-modellben az éle száma minden lépésben m-mel növeszi. Ha ezdetben N 0 csúcs volt, és M 0 él, aor N N 0 lépést ellett végrehajtani, amiben (N N 0 )m él jött létre, tehát az éle száma M = M 0 + (N N 0 )m Ha a végén a csúcso száma jóval nagyobb, mint ezdetben, aor jó özelít értéet aphatun az épletb l. M m N Tehát az átlagos foszám = M N m Ez nem meglep, hiszen minden lépésben m élvég jön létre. 5

6 1.. Az összegzett foszámeloszlás Az összegzett foszámeloszlás 3. deníció. A P () összegzett foszámeloszlás (cumulative degree distribution) egy olyan függvény, amely az egyes foszámohoz hozzárendeli anna a valószín ségét, hogy egy véletlenszer en iválasztott csúcs foszáma nagyobb vagy egyenl mint, azaz Kevésbé ugrál nagy foszámonál. P () = P rob(véletlen csúcs foszáma ) Ha az eredeti p() hatványfüggvény, aor a P () is az lesz. A itev eggyel isebb abszolútérté lesz. A hatványfüggvény étszer logaritmius sálán egyenes. Néhány hálózat összegzett foszámeloszlása (a) matematiai együttmûödése (b) hivatozáso (c) World Wide Web (d) Internet (e) eletromos hálózat Az el z oldalon a övetez szerepelne. Matematiuso együttm ödése (özös cie), cie hivatozásai, Világháló, Internet, eletromos hálózat, fehérjeölcsönhatáso. A fentie özül csa az eletromos hálózat nem sálafüggetlen. (Lineáris sála a vizszintes tengelyen.) Sálafüggetlen hálózato (f) fehérje ölcsönhatáso 4. deníció. Sálafüggetlen hálózatona nevezzü azoat a hálózatoat, melyene a foszámeloszlása hatványfüggvényt övet nagy foszámo esetén: p() γ P () (γ 1) A hatványfüggvényre igaz egyedül: f(c 1 x) = c f(x) c 1, c R 6

7 Ellenállóépesség 1. Véletlen meghibásodás: Ha véletlenszer en vesze el csúcsoat (pl. az Internet routereine véletlen meghibásodása) a sálafüggetlen hálózato soáig egyben maradna, nem esne szét omponenseere, például az Internet érzéetlen a véletlen routermeghibásodásoal szemben. A véletlen hálózato hamarabb esne szét.. Célzott támadás: Ha célzottan a legnagyobb foszámú csúcsoat törlöm i a sálafüggetlen hálózat hamar és rövid id alatt esi szét nagyon icsi darabora. A véletlen hálózato tovább egyben maradna. Egyi hatással szemben az egyi, másial szemben a mási ellenállóbb. Egyi sem töéletes.. Ubuntu szoftvercsomagjai omponense Az Ubuntu szoftvercsomagjai Az Ubuntu a GNU/Linux operációs rendszer egyi disztribúciója A Debianból származó deb szoftvercsomagoat használ A deb fájlo optiai diszr l vagy Internetes tárolóból érhet e el. Legtöbb csomag másiatól függ, tehát irányított hálózatot alotna. apt csomagezel rendszer: telepítés függ ségeel együtt, eltávolítás, frissítés, eresés A csomagfügg ségi hálózat egy részlete vim-latexsuite vim-vimoutliner vim vim-common python.5 vim-runtime libgpmg1 libncurses5 libc6 7

8 Csomago, amit l so mási függ (nagy be-foszám in ) Átlagos be-foszám: éle száma/csúcso száma = 5,077. in csomagnév megjegyzés libc6 C standard önyvtár 330 libgcc1 C-fordító önyvtárai 3109 libstdc++6 C++ standard önyvtár 696 libx11-6 A graus felület önyvtára 1985 libglib.0-0 A GLIB önyvtár 1940 zlib1g Tömörít önyvtár 199 perl Perl programnyelv 1865 libxext6 A graus felület iterjesztései 1381 libgt.0-0 A GTK graus felület önyvtárai 196 python A Python nyelv :-) Er sen összefügg omponense (a másodi legnagyobb) libmono-posix.0-cil libmono-system.0-cil libmono-security.0-cil libmono-corlib.0-cil mono-runtime mono-.0-gac mono-gac 8

9 xserver-xorg-input-all Mindegyib l mindegyibe el lehet jutni nyila irányába. xserver-xorg-input-wacom xserver-xorg-input-evdev xserver-xorg-video-r18 xserver-xorg-video-mach64 xserver-xorg-video-vmware xserver-xorg xserver-xorg-input-synaptics xserver-xorg-video-geode xserver-xorg-video-s3 xserver-xorg-video-ati xserver-xorg-video-radeon xserver-xorg-video-i18 xserver-xorg-video-rendition xserver-xorg-video-siliconmotion xserver-xorg-video-sisusb xserver-xorg-video-chips xserver-xorg-video-tdfx xserver-xorg-core xserver-xorg-video-all xserver-xorg-video-trident xserver-xorg-video-openchrome xserver-xorg-video-mga xserver-xorg-video-nouveau xserver-xorg-video-s3virge xserver-xorg-video-fbdev xserver-xorg-video-vesa xserver-xorg-video-savage xserver-xorg-video-voodoo xserver-xorg-video-neomagic xserver-xorg-video-nv xserver-xorg-video-ar xserver-xorg-video-sis xserver-xorg-video-tseng xserver-xorg-video-i740 xserver-xorg-video-apm xserver-xorg-video-intel xserver-xorg-video-cirrus 3. Csoporter sségi együttható Csoporter sségi együttható Legtöbb valódi hálózatban egy csúcs szomszédjai nagyobb valószín séggel össze vanna ötve, mint tetsz leges ett. Szociológiai példa: ét ismer söm nagyobb valószín séggel ismeri egymást, mint tesz leges ét ember. Hogyan számszer síthet ez? Állítás Ha egy irányítatlan egyszer hálózatban az i. csúcs i szomszédja özött legfeljebb futhat. él Egyszer hálózat: nincs többszörös él, és a csúcsot önmagával összeöt huroél. Csoporter sségi együttható: példa Z-ne 5 ismer se van. Folytonos vonal (él): ismeri egymást. 9

10 Cili Bob Z Alice Dani Egon Z ismer sei özött lehetséges élb l létezi. Z csoporter sségi együtthatója. Csoporter sségi együttható Deníció Egy 1-nél nagyobb foszámú csúcs C i csoporter sségi együtthatója (angolul clustering coecient) C i = E i i ( i 1), ahol E i a csúcs szomszédjai özötti éle tényleges száma. A hálózat C csoporter sségi együtthatója eze átlaga. együtthatóját átlagolju.) (Csa az 1-nél nagyobb foszámú csúcso Példa C 1 = C 3 = C = 3 4 C 7 = C =? (otthon) Valódi hálózato csoporter ssége A szaggatott vonal mindenhol a 1-es itev ne felel meg. (a) (b) C() 10 1 C() a) Színésze, szerint szerepelte özös lmben (N = ) b) angol szava, Merriam Webster szótár szerint szinonímá (N = ) 10

11 Hierarchius hálózato 5. deníció. Egy hálózatot hierarchiusna nevezün, ha benne a csúcso csoporter sségi együtthatója a foszámmal nagyjából fordítottan arányos. C() 1 Valódi hálózato csoporter ssége (c) (d) C() 10 C() (c) Világháló (N = 35 79) (d) Internet tartomány-szinten, van-e özöttü router (N = 65 50) Valódi hálózato csoporter ssége (a) (b) 10 1 C() 10 C() (a) Internet router-szinten (N = ) 1 10 (b) Eletromos hálózat (N = 4941) Nem hierarchius Mindett földrajzilag meghatározott. Távolia özött a apcsolat iépítése öltségesebb. 11

12 A hierarcius modell, Ravasz E.Barabási A-L., 00 (a) n=0, N=5 (b) n=1, N=5 (c) n=, N=15 A hierarchius modell ( ) és a BarabásiAlbert modell ( ) összevetése (a) (b) (c) P() C() C(N) N 4. Megoldáso Az ábrán látható hálózat p() foszámeloszlása: N p() 0 1 0, ,1 0, 3 3 0, ,

13 p()