X F i, Y F j, X I Y I X Y F i F j.

Átírás

1 ØÚ ÄÓÖ Ò ÌÙÓÑ ÒÝÝØÑ ÅØÑØ ÁÒØÞØ ÖÞ ÃÖ Ø ÖÓÖ Ò ÔÒ Ò Ö ØÖØ ¹ÑØÒ ÒÝ¹ÔÓÐ Ó ÑÒØØ b¹ñøòµ Ñò ÓØÓÖ ÖØÞ Ò ØÞ ÌÑÚÞØ ÖÒ ÒÖ ÅØÑØ ÓØÓÖ Á ÓÐ ÎÞØ ÄÞÓÚ ÅÐ ÐÐÑÞÓØØ ÅØÑØ ÓØÓÖ ÈÖÓÖÑ ÎÞØ ÅÐØÞÝ ÝÖÝ ÄÌ ÇÔÖ ÙØØ ÌÒ Þ ÅÌ¹ÄÌ ÖÚ ÖÝ ÂÒ ÃÓÑÒØÓÖÙ ÇÔØÑÐÞ Ð ÃÙØØ ÓÔÓÖØ ¾¼½ º ÙÔ Ø

2

3 ÚÞØ ÓØÓÖ ÖØÞ Ø ØÑ ÚÐ ÓÐÐÓÞ ÑÐÝ ÞÐ Þ Ð ÒÝ¹ÔÓÐ Ó Ö Öº ÃÙØØ Ò ÒÙÐÔÓÒØ ÑÓÒ ÞÙÒØ ÒÝ ØØÐ ÑÐÝ Þ Ð ÐØØÐØ k Ð ÞÙÒØ ÞØ r¹òý ÐØÞ Öº ÔÖÓÐÑ Ø Ö ÒÝÒ ÐØÐ ÒÓ ØØ ÝÖ ÞØ ÞÓÖØØ ÒÝÖ ÚÓÒØÓÞ Ð ÞÙÒØ ÑØ Ñ Ö ÞØ ÒÝ ÐØÐ ÞØØØ ÔÓÒØÓ ÐÑÞ ÞòØØº Å ÓÐÙ ÓÐÙ ÓÒÓÖØ ÑÐÐ Ö Ò Ð ÞÙÒØ ÒÝÖ ÚÓÒØÓÞ Ø Øº Ø k = 2 ØÒ Þ ÞØ Þ ÖÑÒÝØ ÐØÐ ÒÓ ØÙ Ö ÞÙÒØ ËØÒÖ ÒÝÖº ÄÒ Ö ò ÐÓÖØÑÙ Ø ÙÒ Ý Ô Ö Ð ÞÙÒØ ¹ ¹ÒÝ ÑØÐ Ð Ö ÐÙ Ö ÓÒº Ö ÒÝ ÐØÞ Ò ÐÒØ ÐØÐ Ò ÆÈ¹ØÐ ÔÖÓÐÑº ÐÓÖØÑÙ ÙÒ Ú ÞÚÞØ ÐØÓØ Ý Ô ÖÓ Ö Ò ÚÐ ÑÜÑ Ð Ô ÖÓ Ø ÔÖÓÐÑ Öº Ö Ò ÔÓÐÒÓÑ Ð ÐÓÖØÑÙ Ø ÙÒ ÓØØ ÓÒÚÜ ÐÑÞÓØ ÞØ Ð ÞÙÒØ ÒÝÚ Ñ¹ Ö Ö ÐÔØ ÓÐ ÖÒÐÞ Ö Òº ÅÓÐ ÙÒ ÒÝ¹ÔÓÐ Ó ÑØ Þ Ô ÖÐ¹ ÑÞÖÒ ÞÖ ÞØ ÞÓÖÓ Ô ÓÐØÓÒ ÐÔÙÐº ÅÙ ÒÝ¹ÔÓÐØ Ö ÞÖ Ó ÔÓÐÖ ÐÖ Ø ÞÓÐÙ ÓÝ ÔÓØØ ÖÒ ÞÖ ÌÁº ÞÓÒÝØ ÙÒ Ù ØØÐÒ ÞÓÒÝØ Ò ÑÐÒ Ô Ð Ô ÖÐÑÞ Ð Ó ÞÖÞØÒ ÐÔÙÐº ÓÐÓÞØ Ñ Ó ØÑÖ ØÐØÓØØ Ö ÞÖ ÓØ ÒÑ ØÖØÐÑÞ b¹ñøò ÚÞ ÐØ ÐÒ ØÒØØØÐ Þ ÝÒÚÞØØ C k ¹ÑÒØ 2¹ÑØÒÖº Á ÑÖØ ÓÝ C k ¹ÑÒØ 2¹ÑØÒ ÔÖÓÐÑ ÆÈ¹ ØÐ k 5 ØÒº Ô ÓÐ ÞØÒ C 3 ¹ÑÒØ C 4 ¹ÑÒØ 2¹ÑØÒ ÐÐØÚ K t,t ¹ K t+1 ¹ÑÒØ t¹ñøò ÔÖÓÐÑ Ø ÚÞ ÐÙ Ó Þ ÑÓÖÐ ØÓÞÓØØ Ö ÓÒº ÅÒ¹ÑÜ ØØÐØ ÐÓÖØÑÙ Ø ÙÒ ÒÝ Þ¹ÑÒØ 2¹ÑØÒ ÐØÖ ÞÙÙÙ Ö ÓÒº ÅÑÙØØÙ ÓÝ ÔÖÓÐÑ ÐÝÓÞÓØØ Ú ÐØÓÞØ Ñ Ö ÖÞÓÐØ Ô ÖÓ ÙÙ Ö ÓÒ ÆÈ¹ÒÞ ÙÝÒÓÖ ÔÓÒØ¹ÒÙ ÐØ ÐØ ÚÒÝ ØÒ ÔÓÐÒÓÑ Ð ÐÓÖØÑÙ Øº ÅÒ¹ÑÜ ØØÐØ ÐÓÖØÑÙ Ø ÙÒ K t,t ¹ K t+1 ¹ÑÒØ t¹ñøò ÐØÖ Ó Þ ÑÓÖÐ ØÓÞÓØØ Ö ÓÒº Þ ÔÖÓÐÑ ÒÒÝÒ Ð ØØÒ ÐØÐ ÒÓ Ø C 3 ¹ÑÒØ C 4 ¹ÑÒØ ÐÐØÚ C 4 ¹ ÑÒØ 2¹ÑØÒ ÔÖÓÐÑ Øº ÁÞÓÐÙ ÞÙÙÙ Ö Ó ÖÓÑ Þ¹ÑÒØ 2¹ÑØÒ ÔÓÐÖÒ ÐÖ Øº ÐÖ ÖÒ ÞÖØ ÀÖØÚ Ò Ä ØØØ Ñ ØÐ ÞÓÒÝØ ÒÑÖÒ ÐÒØ Ñº Ý ØÐÒ ÞÓÒÝØ Ø ÙÒ Þ ÑÐØØØ ÐÖ ÐÝ Ö ÑÐÝ Ý ÞÞ ÑòÚÐØÒ ÐÔÙÐº ÞÖØ ÙØÓÐ ÞØ ØØ ÞÐ ÖÓÑ Þ¹ÑÒØ Ö ÞÖ ÓÐ ÓÐÐÓÞ ÞÞ ÚÞ ÐØ Ö ÞÖ ÓÒ ÔÓÒØÓÖ ÚÓÒØÓÞ Ó Þ ÑÓÖÐ ØÓØ ÐÝÙº ÔÖÓÐÑ Ø Ñ ÑÖØ ØÖÐØØ ÖÒØÚ Ø ÖÝÐÙ ÑÒØ ÔÐ ÙÐ Þ ÖÒÝ¹ÖÒ ÞÖ ÚÝ ÌÙÖ Ò¹ Þ Ñº ÁÞÓÐÙ ÓÝ Ý k ÑÖØò ÐÔÐÑÞÓÒ ÖØÐÑÞØØ k ÐÑò ÑÙÐØÐÑÞÓ ÖÒ ÞÖ ÖÒÐÞ Þ ÝÒÚÞØØ ÔÐØØÒ ØÙÐÓÒ Ðº ÞÒ ÖÑÒÝÐ ÒÙÐÚ ÞÓÐÙÒ Ý ÓÑÒØÓÖÙ ÞÒÞ ØØÐØ ÑÐÝÐ ÞØ Ò ÌÙÞ¹ Ø Ý ÔÖÖ ÓÖ ÚÐ ÐØÐ ÒÓ Ø Ò ØÖØÖ ÒÝ ÝÒØ ÚØÞº ½

4 ÒÝ ÔÓÐ Ý D = (V,A) Ö ÒÝØÓØØ Ö Ò ÞØ r¹òýò ÚÙÒ Ý ÓÐÝÒ Ö ÒÝØÓØØ Ø ÑÐÝÒ ÑÒÒ ÔÓÒØ ÐÖØ ÐÐØ r ÝÖÔÓÒØÐº ÞØ ÑÓÒÙ ÓÝ D ÝÖ Ò k¹ð Þ ÑÒÒ v V ÔÓÒØÖ ÐØÞ k Ð ÞÙÒØ Ö ÒÝØÓØØ Ø r¹ð v¹º ÑÓÒ ÒÚÞØ ØØÐ Ñ k Ð ÞÙÒØ ÞØ r¹òý ÐØÞ Ò Þ Ð ÐØØÐØ ½ º ½º ÌØÐ ÑÓÒ µº Ý D = (V,A) Ö ÒÝØÓØØ Ö Ò ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ ÐØÞ k Ð ÞÙÒØ ÞØ r¹òý D ÝÖ Ò k¹ð Þº ÑÓÒ ØØÐÒ Ý ÐØ ÐØÐ ÒÓ Ø ÒÝ ÐØÐ ÞØÒ ÔÓÒØÓ ÐÑÞ Ø ¹ ÒØº ÍÝÒÓÖ ÒÝ ÑÖØÒ ÒØ ÑÖ ÒÞ ÔÖÓÐÑ ÓÞ ÚÞØØ ÓÝ ÞØ ÚØÞ ÖÑÒÝ ÑÙØØ º ¾º ÌØÐ º ÖÒ ¾ µº ÄÝÒ D = (V,A) Ö ÒÝØÓØØ Ö ÑÐÝÒ V Ø Ö ÞÐ ÐÐ Þ R = {r 1,...,r q } ÝÖÔÓÒØÓ ÐÑÞ Ð Ý T ØÖÑÒ ÐÐÑÞÐº ÌÝ Ð ÓÝ R ÔÓÒØ ÒÑ ÐÔ Ðº ÓÖ ÒÒ ÐÒØ ÓÝ ÐØÞ¹ k Ð ÞÙÒØ ÒÝ ÐÒÞ R¹Ð ÝÖÔÓÒØÓÐ ÑÐÝ ÑÒÝ ÞØ T ¹Ø ÆÈ¹ØÐ º º ÌØÐ º ÖÒ ¾ µº ÄÝÒ D = (V,A) Ö ÒÝØÓØØ Ö u 1,u 2,v 1,v 2 V ÐÝÒ U 1 = V, U 2 = V v 1 º ÓÖ ÒÒ ÐÒØ ÓÝ ÐØÞÒ¹ Ð ÞÙÒØ F 1,F 2 ÒÝ Ý ÓÝ F i ÞØ U i ¹Ø ÝÖ u i ÆÈ¹ØÐ º ¾¼¼¹Ò ÃÑÝÑ ÃØÓ ÌÞÛ ÑÓÒ ØØÐÒ Ý ÑÐÔ ÐØÐ ÒÓ Ø Ø Ø ½ ÑÐÝÒ Þ Ð ÚÚÐÒ Ð Ø Ù ÓÐÑÞØ Ñº ÔÓÒØÐÑÞ X Y ÞÙÒØ Ö ÞÐ¹ ÑÞÖ Y ÐÖØ X¹Ð ÐØÞ ÓÐÝÒ Ö ÒÝØÓØØ Ø D¹Ò ÑÐÝÒ ÞÔÓÒØ X¹Ò ÚÔÓÒØ Y ¹Ò ØÐ ÐØº ÔÓÒØÓ Ý U Ö ÞÐÑÞ Ø ÓÒÚÜÒ ÒÚÞÞ ÒÒ ÓÐÝÒ v V \ U ÔÓÒØ ÑÐÝÖ vðöø U¹Ð U ÐÖØ v¹ðº º ÌØÐ ÃÑÝÑ ÃØÓ ÌÞÛ Ù µº ÄÝ D = (V,A) Ö ÒÝØÓØØ Ö R = {r 1,...,r k } V Ô ¹ÒÑ ÐØØÐÒÐ ÐÒÞ¹ ÝÖÔÓÒØÓ Ý Ð Ø º ÌÝ Ð ÓÝ ÑÒÒ 1 i k¹ö ÓØØ ÔÓÒØÓ Ý U i ÓÒÚÜ Ö ÞÐÑÞ ÑÐÝÖ r i U i º ÓÖ ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ ÐØÞ k Ð ÞÙÒØ ÒÝ Ý ÓÝ Þ iº ÒÝ ÝÖ r i ÞØ U i ¹Ø D(Z) p 1 (Z) ÑÒÒ Z V ØÒ ½µ ÓÐ p 1 (Z) ÐÐ ÞÓÒ U i ÐÑÞÓ Þ Ñ Ø ÑÐÝÖ U i Z r i Zº Ý F r¹òýò Þ u ÔÓÒØ F ¹ v ÔÓÒØÒ v ÐÖØ Ö ÒÝØÓØØ F ¹Ð ØÓÒ u¹ðº ÞØ Þ ÝÖØÐÑò u v ÙØØ F(u,v)¹ÚÐ ÐÐº Ý w ÔÓÒØ ÓÑÒ Ð v ÔÓÒØÓØ ÑÒÒ Ö ÒÝØÓØØ r v Ø ØÖØÐÑÞÞ w ÔÓÒØÓØº ÃØ Ö ÒÝØÓØØ Ð ÞÑÑØÖÙ ÚÔÓÒØ ÑÝÞÒ ÐÐÒØØ Ö ÒÝØ º ÃØ r¹òý F 1 F 2 Ö Ò Ð ÞÙÒØ Þ F 1 (r,v) F 2 (r,v) ÙØ ÙÒ ÒÑ ØÖØÐÑÞ ÞÑÑØÖÙ ÐÔ ÖØ ÑÐÝ v V ÔÓÒØÖº º ËØ ÓÐÙ ÓÒÓÖØ ÑÐÐµº Ý D = (V,A) Ö ÒÝØÓØØ Ö Ò ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ ÐØÞ k Ô ÖÓÒÒØ Ö Ò Ð ÞÙÒØ ÞØ r¹òý D ÝÖ Ò k¹ð Þº Ø Ø k = 2 ØÖ ÞÓÐØ ½¼ k 3 ØÒ ÞÓÒÒ Þ ÐÐØ ÒÑ Þ ÑÐÝÖ ÓÐÓÞØÒ ÐÐÒÔÐ Ø ÙÒº ÍÝÒÓÖ k = 2 Ø ÐØÐ ÒÓ ØØ Ö ÞÙÒØ ËØÒÖ ÒÝÖº ÓØØ T V ¾

5 ØÖÑÒ ÐÐÑÞ ØÒ Ý T ¹Ø ÞØ r¹òýø ËØÒÖ¹ÒÝÒ ÒÚÞÒº Þ F 1,F 2 ËØÒÖ¹ÒÝ ÐØÐÒ Þ F 1 (r,t),f 2 (r,t) ÙØ Ð ÞÙÒØ ÑÒÒ t T ØÖÑÒ ÐÔÓÒØÖº ÃØ ÐØÐÒ ËØÒÖ¹ÒÝ Ö ÞÙÒØ ÑÒÒ t T ÔÓÒØÖ Þ F 1 (r,t) F 2 (r,t) ÙØ ÙÒ ÒÑ ØÖØÐÑÞ Ö ÒÝØÓØØ ÖØº º ÌØÐ º ÃÓÚ µº ÄÝÒ D = (V,A) Ö ÒÝØÓØØ Ö r ÝÖÔÓÒØ T V Ô Ý ØÖÑÒ Ð¹ ÐÑÞº ÈÓÒØÓ Ò ÓÖ ÐØÞ Ø Ö ÞÙÒØ r ÝÖò ËØÒÖ¹ÒÝ D ÝÖ Ò 2¹Ð Þº ÅÓ ØÒØÐ ÒÝÒ Ø ØÔÙ Ø ÐÒÞØØ Ñ ¹ÒÝ ÐØØ Ñ Ö ÞÒ ÐØ ÒÝ ÓÐÑ Ø ÖØ Ñ ¹ÒÝÒ ÒÚÞÒ Ý ÓÐÝÒ Ö ÒÝØÓØØ Ø ÑÐÝÒ ÐØ ÑÓÖØÚ Ý ¹ ÒÝØ ÔÙÒº Á ÑÖØ ÓÝ Ý Ð ÞÙÒØ r 1 ¹¹ÒÝ r 2 ¹¹ÒÝ Ô Ö ÐØÞ Ò ÐÒØ ÆÈ¹ ØÐ ÐØº ÞØ ÔÖÓÐÑ Ø ÐÙ Ö ÒÝØÓØØ Ö ÓÒ ÚÞ ÐÙ ÐÒ Ö ÙØ ò ÐÓÖØÑÙ Ø ÙÒ ÐØÖº º ÌØÐ º Ù ÃÑÝÑ µº Ý D = (V,A) Ö ÒÝØÓØØ Ö Ò O( A ) Ò ÐÒØØ ÓÝ Þ r 1,r 2 V ÝÖÔÓÒØÓÖ ÒÞÚ ÐØÞ¹ Ý Ð ÞÙÒØ r 1 ¹¹ÒÝ r 2 ¹¹ÒÝ Ô Öº À Ö ÒÝ ÐØÞÒ ÓÖ O( A ) Ò ÑØÐ ÐØº ÅØ Þ Ô ÖÐÑÞÖÒ ÞÖ ÓØØ V ÐÔÐÑÞ ØÒ Þ X = (X O,X I ) Ö ÞÐÑÞÓÐ ÐÐ Ô ÖØ Ô ÖÐÑÞÒ ÒÚÞÞ X I X O V º ÓÖ X O Ô ÖÐÑÞ Ð X I Ô Ð Øº È ÖÐÑÞÓ ÑØ ÞØ ÙÒ ØÖÑ ÞØ Ò Ò ÐØ X Y := (X O Y O,X I Y I ) X Y := (X O Y O,X I Y I )º ÃØ Ô ÖÐÑÞ ÑØ Þ X I Y I º È ÖÐÑÞÓ Ý Ð Ø ÑØ ÞÒ ÒÚÞÞ ÖÑÐÝ Ø ÑØ Þ Ø Ò ÑØ ÞØ Þ ÙÒ Ð ÓÞ ØÖØÓÞº Ý Ö ÒÝØÓØØ Ð ÐÓ Þ X Ô ÖÐÑÞØ X I ¹ Ò ØÚ X O ¹Ò ÚÐ ÐÝÞ Ðº À ÓÒÐÒ Ò ÐØ Ô ÖÐÑÞÓ Ý ÖÒ ÞÖÒ ÐÓ Ý ÐÐÑÞÞÐº ÑÓÒ ØØÐÒ Ý Ñ Ö ÒÝ ÐØÐ ÒÓ Ø Ø ÔÙ ÒÝ ÔÓÐ ÐÝØØ Ô ÖÐÑÞÖÒ¹ ÞÖ Ò ÔÖÓÐÑ Ø ÚÞ ÐÙº Þ F 1,...,F k Ô ÖÐÑÞÖÒ ÞÖ ÖÒÐÞÒ Þ ÝÒÚÞØØ Ö ÞØØÙÐÓÒ Ð X F i, Y F j, X I Y I X Y F i F j. Ý X Ô ÖÐÑÞÖ ÐÐ p 2 (X) Þ Ø ØÖØÐÑÞ F i ÖÒ ÞÖ Þ Ñ Øº ËÞ ÑØ Þ ÐÑÞÖÒ ÞÖ ÖÐ ÞÐ ØØÐ ØÖ ÞØØ Ô ÖÐÑÞÓÖ Ý ÚØÞ ØØÐ Øº º ÌØÐ º ÖÒµº ÄÝÒ F 1,...,F k ÑØ Þ Ô ÖÐÑÞÖÒ ÞÖ D = (V,A) Ö ÒÝØÓØØ Ö ÔÓÒØÐÑÞ Ò ÑÐÝ ÖÒÐÞÒ Ö ÞØØÙÐÓÒ ÓØº ÓÖ D ÐØ ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ ÐØ k Ö ÞÖ ÔÖØÓÒ ÐÒ Ý ÓÝ Þ iº Ö Þ ÐÓ F i ¹Ø D(X) p 2 (X) ÑÒÒ X Ô ÖÐÑÞÖ. ¹Ò ÑÑÙØØØÙ ÓÝ º ÌØÐ ÚØÞ º ÌØÐÐº Ô ÖÐÑÞÓ ÞÒ ÐØ ÞÑ¹ ÞÐ Ò ØÒØ Ø ÓÒÚÜ ÐÑÞÓ ØÖÙØÖ º ÞÓÒÝØ ÓÖ Ò ÞÒ ÐØ Ô Ð Ô ÖÐ¹ ÑÞÖÒ ÞÖ Ø ÚÐ Ö Ò ÔÓÐÒÓÑ Ð ÐÓÖØÑÙ Ø ÓØØ ÝÖÞØò ÓØØ ÓÒÚÜ ÐÑ¹ ÞÓØ ÞØ ÒÝÚ ÑØÐ Ð Ö Ý ÐÔØ ÓÐ ÖÒÐÞ Ö ÒÝØÓØØ Ö Òº

6 º ÌØÐ º ÖÒ ¾ µº ÄÝÒ D = (V,A) Ý Ö ÒÝØÓØØ Ö g : A Z + Ý ÔØ ÚÒÝ Þ ÐÒ R = {R 1,...,R k } ÝÖÐÑÞÓ U = {U 1,...,U k } Ô ÓÒÚÜ ÐÑÞÓ Ý Ð Ø Ý ÓÝ R i U i º ÄÝÒ ØÓÚ m : R Z + Ý ÒÝ ÚÒÝº ÓÖ Ö Ò ÔÓÐÒÓÑ Ð ÐÓÖØÑÙ Ø m(r) Ð ÞÙÒØ ÒÝÚ ÑØÐ Ð Ö ÐØÞÒµ ÑÐÝ ÞÐ m(r i ) ÝÖÐÑÞ R i ÞØ U i ¹Ø ØÓÚ ÑÒÒ e A Ð ÐØ ÐÐ g(e) ÒÝÚ ØÖØÐÑÞº Þ ÑÐØØØ Ô Ð Ô ÖÐÑÞÖÒ ÞÖØ Ð ÞÒ ÐÚ ÔÓÐÖ ÑØ ÒÝ¹ÔÓÐØ Ö Þ¹ Ö Ó ÔÓÐÖ ÐÖ ÑÐÝ Ö ÙÐ ÌÁº ½¼º ÌØÐ º ÖÒ ¾ µº Þ x R A ¹Ö ÚÓÒØÓÞ {0 x g, x(z) p 1 (Z) ÑÒÒ ÒÑÖ Z T ¹Ö} ¾µ ÖÒ ÞÖ ÌÁº ËÔ Ð Ò ÒÝ¹ÔÓÐØ Ö ÞÖ Ó ÒÒÚØÓÖÒ ÓÒÚÜ ÙÖ ÚØÞ {x R A : 0 x 1, x(z) p 1 (Z) ÑÒÒ ÒÑÖ Z T ¹Ö}. µ C 4 ¹ÑÒØ 2¹ÑØÒ Ý G = (V,E) Ö ÒÝØØÐÒ Ö ÔÓÒØÒ ÐÝÒ ÓØØ Ý b : V Z + Ð ÓÖÐ Ø ÚÒÝº Ð Ý F E Ö ÞÐÑÞ Ø b¹ñøòò ÒÚÞÞ d F (v) b(v) ØÐ Ð ÑÒÒ v V ÔÓÒØÖº ÎÐÑÐÝ t 2 Þ Þ ÑÖ t¹ñøò ÐØØ ÓÐÝÒ b¹ñøòø ÖØÒ ÑÐÝÖ b(v) = t ÑÒÒ v V ÔÓÒØÖº À ÑÒÒÓÐ d F (v) = b(v) ÐÐ ÓÖ F ¹Ø b¹øóöò ÒÚÞÞº Þ ÖØÞ Ñ Ó ØÑ C k ¹ÑÒØ ÐÐØÚ C k ¹ÑÒØ 2¹ÑØÒ ÔÖÓÐÑ ÚÞ ÐØº Ý M E 2¹ÑØÒ C k ¹ÑÒØ ÒÑ ØÖØÐÑÞ k Ó Þ C k ¹ÑÒØ ÒÑ ØÖØÐÑÞ ÐÐ k Ó Þ ÖØº ÈÔÑØÖÓÙ ÑÑÙØØØ ÓÝ ÑÜÑ Ð ÑÖØò ÐÝÒ ØÙÐÓÒ ÐÐÑÞÓ Ñ¹ ØÐ Ð Ñ Ö k 5 ØÒ ÆÈ¹ØÐ ½½ Ñ k = 3 ØÖ ÀÖØÚ Ò ÓØØ ÖÒÚÐ ÓÒÝÓÐÙÐØ ÚØ ÙØ ÐÓÖØÑÙ Ø ½ º C 4 ¹ÑÒØ ÚÐÑÒØ C 4 ¹ÑÒØ 2¹ÑØÒ ÔÖÓÐÑ ØÓÚ Ö ÒÝØÓØØº ÒØ ÔÖÓÐÑ Ø Ø Ö ÑÓØÚ Ðº ÝÖ ÞØ ÀÑÐØÓÒ¹Ö ÔÖÓÐÑ ØÖÑ ÞØ ÖÐÜ ÐØ ÞÓÖÓ Ò Ô ÓÐÒ Þ Ö ÒÝØØÐÒ ÔÓÒØ Þ ¹ÒÚÐ Þ º Þ ÙØ Ö Ý Ö Ô Ð Ø Þ Þ ÝÐ ÚÐ ÒÚÐ ÔÖÓÐÑ ÑÐÝ ÚØÞ Ý(k 1)¹ÔÓÒØ Þ Ö ÒÝØØÐÒ Ö ÓØ ØÝÒ k¹ôóòø ÞÚ ÑÒÑ Ð Þ Ñ Ð ÓÞÞ ÚØÐÚÐº ÃÙØØ ÙÒ ÞÔÔÓÒØ Ò Þ ÝÐ ÚÐ ÒÚÐ ÔÖÓÐÑ ÐÐØ k ÒÝ ÖØÖ ½ º ÃÒÒÝÒ Ð ØØ ÓÝ k = n 1¹Ö Ö ÓØ Ý ÞÖòÒ Ý ØÐ Ö ÐÐ ÞØÒ k = n 2¹Ö Ô ÔÖÓÐÑ Ú¹ ÚÐÒ Ý ÑÜÑ Ð Ô ÖÓ Ø Ö ÚÐ Ö ÓÑÔÐÑÒØÖÒº ÅÓÒÓÐØ ÓÝ k = n 3¹Ö Þ Þ ÝÐ ÚÐ ÒÚÐ ÚÚÐÒ Ý ÑÜÑ Ð ÑÖØò C 4 ¹ÑÒØ 2¹ÑØÒ ÑØ ÖÓÞ ¹ ÚÐ Þ ÖØ Ö ÓÑÔÐÑÒØÖÒ ÑÐÝ ¹ÐÚÒ (k 1)¹ Þ¹ ÞÙÙÙ º Þ ÖØÞ Ò ÔÓÐÒÓÑ Ð ò ÐÓÖØÑÙ Ø ÑÒ¹ÑÜ ØØÐØ ÙÒ C 4 ¹ÑÒØ 2¹ÑØÒ ÔÖÓ¹ ÐÑ Ö ÞÙÙÙ Ö ÓÒº ÂÐÐ γ 1 b¹øóö ÔÖÓÐÑ ÑÓÐ ÓÞ Þ ÙØ Ø ÑÓÖ b(v) 2 ØÐ Ð ÑÒÒ v V ÔÓÒØÖº ½½º ÌØÐ º ÃÓÝ µº ËÞÙÙÙ Ö ÓÒ C 4 ¹ÑÒØ 2¹ÑØÒ ÔÖÓÐÑ O(n 3 γ 1 ) Ò ÑÓÐØº Ð ÝÐ ÔÓÐÒÓÑ Ð ò ÐÓÖØÑÙ Ø ÔÙÒ Þ ÑÐØØØ Þ ¹ÒÚÐ ÔÖÓÐÑ Ö º ½ ÔÓÒØ Þ ÝÐ ÚÐ ÒÚÐ Ò ÔÖÓÐÑ Ø ÞØ Î ÑÓÐÓØØ ¾ º

7 ½¾º ÌØÐ º Ò ÃÓÝ µº Ý (n 4)¹ Þ Ö (n 3)¹ ÞÚ ÒÚÐ Ò ÔÖÓÐÑ O(n 3 γ 1 ) Ò ÑÓÐØº ÐÓÖØÑÙ ÙÒ ÞÓÒ ÐÔÙÐ ÓÝ Ý Ý ÞÖò ÞÙÙÙ Ö Ò C 4 ¹ÑÒØ 2¹ÑØÒ Ó¹ Þ Ñ ÓÖÓÞØ Ý ÑØÖÓ¹ ÞÖò ØÖÙØÖ Ø ÝÒÚÞØØ ÙÑÔ Ý ØÑ³¹Ø ÐÓØÒº ÒØ ÔÖÓÐÑ ÐÝÓÞÓØØ Ú ÐØÓÞØ ÞÒØÒ Ö º ÓØØ (k 1)¹ Þ G = (V,E) Ö Ý w : Ē R + ÐÝÓÞ ØÒ Ē ÓÑÔÐÑÒØÖ Ö ÐÐÑÞ Ø ÐÐµ ÓÖ ÚØÞ Ö ÔÙ ÑÒÑ Ð Þ ÐÝ ÐÐÑÞ ÓÞÞ ÚØÐÚÐ ØÝÒ Ý(k 1)¹ Þ G Ö ÓØk¹ ÞÚº Á ÑÖØ ÓÝ Þ ÔÖÓÐÑ ÆÈ¹ÒÞ k 2 ØÒº ÑÓÖ ÒÙÐ Ö (n 4)¹ Þ ÐÒÝÒ Ý ÑÜÑ Ð Þ ÐÝ C 4 ¹ÑÒØ 2¹ÑØÒØ ÐÐ Ö ÒÒ Ý ÞÙÙÙ Ö Òº ÃÖ ÐÝ º ÑÑÙØØØ ÓÝ ÑÜÑ Ð ÐÝ C 4 ¹ÑÒØ 2¹ØÓÖ ÔÖÓÐÑ Ñ Ö Ô ÖÓ Ö ÓÒ ¼ ½ ÐÝÓÞ ØÒ ÆÈ¹ÒÞº ÍÝÒÓÖ ÑÖØ ÓÝ ÐØ ÑÓÐØ Ò Ô Ð ØÒ ÑÓÖ ÐÝÚÒÝ ÑÒÒ C 4 ¹Ò ÔÓÒØÒÙ ÐØº G Ö Ý H = (V(H),E(H)) Ö ÞÖ Ö ÞØ ÑÓÒÙ ÓÝ w ÔÓÒØÒÙ ÐØ H¹Ò ÐØÞ ÓÐÝÒ π H : V(H) R ÚÒÝ ÑÐÝÖ w(e) = π H (u) + π H (v) ÑÒÒ e = uv E(H) ÐÖº ÅÑÙØØÙ ÓÝ ÑÜÑ Ð Þ ÐÝ C 4 ¹ÑÒØ 2¹ÑØÒ ÔÖÓÐÑ ÔÓÐÒÓÑ Ò ÑÓÐØ ÞÙÙÙ Ö ÓÒ ÐÝÚÒÝ ÔÓÒØÒÙ ÐØº ÌÝ Ð ÓÝ Ý G Ö Ò w Ð ÐÝÓÞ ÑÐÐØØ Ý x {0,1,2} V ÚØÓÖÖ γ 2 Ò Ñ ØÙÙÒ ØÐ ÐÒ Ý ÑÜÑ Ð ÐÝ F E ÐÐÑÞØ ÑÐÝÖ d F = xº ½ º ÌØÐ º ÃÓÝ µº Ý w Ð ÐÝÓÞÓØØ ÞÙÙÙ G Ö Ò ÓÐ w ÔÓÒØÒÙ ÐØ ÑÒÒ C 4 ¹Ò ÐÝÓÞÓØØ C 4 ¹ÑÒØ 2¹ÑØÒ ÔÖÓÐÑ O(n 3 γ 2 ) Ò ÑÓÐØº ÅÑÙØØÙ ØÓÚ ÓÝ ÔÖÓÐÑ ÆÈ¹ÒÞ ÐØÐ ÒÓ ÐÝÓÖº ½º ÌØÐ º ÃÓÝ µº ÐÝÓÞÓØØ C 4 ¹ÑÒØ 2¹ÑØÒ ÔÖÓÐÑ ÆÈ¹ÒÞ Ñ Ö ÙÙ Ô ÖÓ ÖÞÓÐØ Ö ÓÖ º ÐÝÓÞÓØØ ÔÖÓÐÑ Ö ÓØØ ÐÓÖØÑÙ ÙÒ ÅÙÖÓØ Å¹ÓÒ Ú Å¹ÓÒÚÜ ÚÒÝÖÐ ÞÐ Ö¹ ÑÒÝÒ ÐÔÙÐº K t,t ¹ K t+1 ¹ÑÒØ t¹ñøò C 4 ¹ÑÒØ 2¹ÑØÒ ÔÖÓÐÑ Ò Ø ØÖÑ ÞØ ÐØÐ ÒÓ Ø º Þ Ý Þ ÝÒÚÞØØ K t,t ¹ÑÒØ t¹ñøò ÔÖÓÐÑ Ñ Ñ K a,b ¹ÑÒØ t¹ñøò ÔÖÓÐÑ Þ a+b = t+2 ÖØ ÑÐÐØØº Þ ÙØ ÔÖÓÐÑ ÚÚÐÒ Ö ÔÓÒØ Þ Ò ÑÒÑ Ð Þ Ñ Ð ÓÞÞ ÚØÐÚÐ ØÖØÒ n t 1¹Ö ÚÐ ÒÚÐ ÚÐº Þ ÖØÞ Ò Ñ Þ Ð ÐØ Ø ÚÞ ÐÙº ÄÝÒ K ØÐØÓØØ K t,t ØÐ Ô ÖÓ Ö 2t ÔÓÒØÓÒµ K t+1 ØÐ t + 1 ÔÓÒØ Ö µ Ö ÞÖ Ó Ý Ð Ø º ÅÒ¹ÑÜ ØØÐØ ÙÒ K¹ÑÒØ b¹ñøò ÑÖØÖ Ý ÔÓÐÒÓÑ Ð ÐÓÖØÑÙ Ø Ö ÐÐÑÞ ÑÖ Öº ÞÓÒÝØ ÓÖ Ò ÐØ Þ ÓÝ ÖÑÐÝ K K ÖÑÐÝ v K ØÒ V K ÒÑ ÞØ Ô ÖÙÞÑÓ ÐØ b(v) = t d G (v) t+1. µ µ µ

8 ÒØ ÐØØÐ ÑÐÐØØ Þ ÐØ ÐØÐ ÒÓ Ø C 3 ¹ÑÒØ C 4 ¹ÑÒØ C 4 ¹ÑÒØ 2¹ÑØÒ ÔÖÓÐÑ Ø ÞÙÙÙ Ö ÓÒº Ý ØÐ ÒÝÔÓÒØ Ö ÓØ ØÐØØØÒ ÚÙÒ ÑÒ ÖÓÑ C 4 ÑÐÝØ ØÖØÐÑÞ ØÐØÓØØº µ ÐØØÐ ÑØØ ÑÒÒ ØÐØØØ K 4 Ý Þ ÓÑÔÓÒÒ Ø ÐÓØ G¹Òº ÂÐÐ Þ ÐÝÒ ÓÑÔÓ¹ ÒÒ Þ Ñ Ø t = 2 ØÒ S(G) ÝÒØ ÐÝÒ S(G) = 0º ½º ÌØÐ º Î µº ÄÝÒ G = (V,E) Ý Ö ÒÝØØÐÒ Ö b : V Z + Ý Ð ÓÖÐ Ø ÔÓÒØÓÓÒ K ØÐØÓØØ K t,t K t+1 Ö ÞÖ Ó Ý Ð Ø Ý ÓÝ µ µ µ ØÐ Ðº ÓÖ ÑÜÑ Ð K¹ÑÒØ b¹ñøò ÑÖØ ÝÒÐ b(u)+ E[W] K[W] + T P 1 2 (b(t)+ E[T,W] K[T,W] ) S(G) Þ ÑÒÑÙÑ ÚÐ ÓÐ U W ÞÙÒØ Ö ÞÐÑÞ V ¹Ò P G U W Þ ÓÑÔÓ¹ ÒÒ Ò Ý ÔÖØ K K ÔÓÒØ ÞÙÒØ ØÐØÓØØ Ö ÞÖ Ó Ý ÐÑÞº Ñ ÞÓÖØ ÐØØÐ ÞÐ µ µ ØÖÑ ÞØ ÞÒ ÑÜÑ Ð K t,t ¹ÑÒØ t¹ñøò ÔÖÓ¹ ÐÑ ØÒ ÒÒ ÐÐÒº ÍÝÒÓÖ µ Ó Þ ÑÓÖÐ Ø Ý ÒÝÓÒ Ö ÜØÖ ÑØ ÑÐÝ ÐÔÚØ ÒÞ Ø Þ Ö º ÞÓÒÝØ ÙÒ ÒÝÒ Ø Ñ ÞÓ ÖÖ ÑØ Ö Ý Ú ÖØÒ ÒÑ ØÖ ÞØØ Ó Þ ÑÓÖÐ Ø ÒÐÐ ØÖº µ ÖÓÑ Þ¹ÑÒØ 2¹ÑØÒ ÔÓÐÖ Ô ÖÓ Ø Ó ÐÑÐØÒ Ý ÐÓÒØÓ ÖÑÒÝ ÑÓÒ ØØÐ ½¾ ÑÐÝ Ñ ØÐ Ô ÖÓ Ø Ó ÒÒÚØÓÖÒ ÓÒÚÜ ÙÖ Ø ÐÖ ÖÒ ÞÖØº ÑÓÒ ÝÒ b¹øóö ÔÓÐÖØ ÖØÖÞ ÐØº ÝK V ÔÓÒØÐÑÞ F δ(k) ÐÐÑÞ Ý Ô ÖØ ÐÓØº Ô Ö Ô ÖØÐÒ b(k)+ F Ô ÖØÐÒº ½º ÌØÐ ÑÓÒ µº b¹øóö ÔÓÐÖ ÚØÞ ÖÒ ÞÖÖÐ ÖØ Ð (i) 0 x e 1 (e E), (ii) x( δ(v)) = b(v) (v V), P 2 µ (iii) x(δ(k)\f) x(f) 1 F ((K,F) Ô ÖØÐÒ). b¹ñøò ÔÓÐÖ ÐÖ ÒÒÝÒ ÐÚÞØØ ½º ÌØÐÐº ½º ÌØÐº b¹ñøò ÔÓÐÖ ÚØÞ ÖÒ ÞÖÖÐ ÖØ Ð (i) 0 x e 1 (e E), (ii) x( δ(v)) b(v) (v V), P 3 µ (iii) x(e[k])+x(f) b(k)+ F 2 ((K,F) Ô ÖØÐÒ). À C k ¹ÑÒØ 2¹ÑØÒ ÔÖÓÐÑ ÐÝÓÞÓØØ Ú ÐØÓÞØ Ø ÚÞ ÐÙ ÐÒÝ ÐÒ ÝÐØ Ñ ÖÓÑ Þ¹ ÒÝ Þ¹ÑÒØ Ø ÞØØº ÃÖ ÐÝ º ÞÓÒÝØÓØØ ½ ÓÝ ÐÝÓÞÓØØ C 4 ¹ ÑÒØ ¾¹ØÓÖ ÔÖÓÐÑ ÆÈ¹ÒÞ Ñ Ö Ô ÖÓ Ö ÓÒ ¼ ½ ÐÝÓÞ ÑÐÐØØ º ËÞÙÙÙ Ö ¹ ÓÒ ÀÖØÚ Ò Ä ½ ÚÐÑÒØ ÃÓÝ ½ ÓØØ ÔÓÐÒÓÑ Ð ÐÓÖØÑÙ Ø ÖÓÑ Þ¹ÑÒØ 2¹ÑØÒ ÔÖÓÐÑ Öº Þ ÐÔ Ò ÒÑ ÖÑÐØÒ ÞÔ ÐÖ Ø ÒÝ Þ¹ÑÒØ ØÒ ÙÝÒÓÖ ÖÓÑ Þ¹ÑÒØ Ø ÑÓÐØ ÚÓÐØ ÙØØ Ò Ý ÑÓØÚ º

9 ÄÝÒ T ØÐØÓØØ ÖÓÑ Þ Ý Ð Ø º ÀÖØÚ Ò Ä ÚØÞ ÔÓÐÖ ÐÖ Ø Ø T ¹ ÑÒØ ¾¹ØÓÖ ÔÓÐÖÖ ÞÙÙÙ Ö ÓÒ ½ º ½º ÌØÐ ÀÖØÚ Ò Ò Äµº Ý ÞÖò ÞÙÙÙ Ö ÓÒ T ¹ÑÒØ b¹øóö ÔÓÐÖ ÚØÞ ÖÒ ÞÖÖÐ ÖØ Ð (i) 0 x e 1 (e E), (ii) x(δ(v)) = 2 (v V), P 5 µ (iii) x(δ(k)\f) x(f) 1 F (K V,F δ(k), F Ô ÖØÐÒ), (iv) x(e T ) = 2 (T T ). ÞÖÞ T ¹ÑÒØ 2¹ÑØÒ ÔÓÐÖ ÐÖ Ö Ú ÓÐØ Ý ÖÒ ÞÖØ Ú ÞÓÐÚ ÞÓÒÝØ ÐÔØÐØØ ØÐ ÞÓÒÝØ ÒÑÖÒ ÐÒØ Ñ ½ º ÃÓÖ Ò Ð ØØÙ ÓÝ b¹ñøò b¹øóö ÔÓÐÖ ÐÖ ÒÝÓÒ ÓÒÐº ÅÐÔ ÑÓÒ Þ ÒÑ Þ ÖÓÑ Þ¹ÑÒØ ØÒº ÞØ ÑÓÒÙ ÓÝ Ý T T ÖÓÑ Þ ¾¹ÐÐ Þ Ý K V ÐÑÞÖ V T K = 2º ÓÖ T Ô Ð Ð Þ Þ e E T ÑÐÝÒ ÒÒ ÚÔÓÒØ K¹Òº ÞØ Þ ÐØ e T ¹ÚÐ ÐÐº K¹Ö ¾¹ÐÐ Þ ØÐØÓØØ ÖÓÑ Þ ÐÑÞ Ø TK 2 ¹ÚÐ ÐÐº ½º Òº (K,F,T) ¾¹ ØÔÙ ÖÓÑ Þ¹ ò ½º K V F δ(k) T T i K º ¾º F E T = º º ÖÓÑ Þ T¹Ò Ð ÞÙÒØº Ý ÖÓÑ Þ¹ ò Ô ÖØÐÒ F + T Ô ÖØÐÒº ÀÖØÚ Ò Ä ÚØÞØ ÞÓÒÝØÓØØ ½ ½ º ¾¼º ÌØÐ ÀÖØÚ Ò Äµº Ý ÞÖò ÞÙÙÙ Ö ÓÒ T ¹ÑÒØ b¹ñøò ÔÓÐÖ ÚØÞ ÖÒ ÞÖÖÐ ÖØ Ð (i) 0 x e 1 (ii) x(δ(v)) 2 (e E), (v V), (iii) x(e[k])+x(f)+ T T x(e T) K + F +3 T 2 ((K,F,T) Ô ÖØÐÒ P 6 µ (iv) x(e T ) 2 ¾¹ ØÔÙ ), (T T). ÐÓÖØÑÙ ÞÓÒÝØ Ù ØÐØÓØØ ÖÓÑ Þ ÑÐ Ø Ò³ Ý Þ ÑÓÒ ÑÜÑ Ð Ô ÖÓ Ø ÐÓÖÑÙ Ò ÞÒ ÐØÓÞ ÓÒÐ ÐØÖÒ Ð Ö ÐÔØ Ò ÐÔÙÐº Þ ÖØÞ Ò ÀÖØÚ Ò Ä ØÐ ØÐÒ ÞÓÒÝØ Ø ÙÒ ½º ¾¼º ÌØÐ Ý Ø ÐØÐ ÒÓ Ð Öº ËÔÐØØÒ ØÙÐÓÒ ÖÒÝÖÒ ÞÖ P = (P, ) Ö ÞÒ ÖÒÞØØ ÐÑÞ Ý H P Ö ÞÐÑÞ Ö Þ U(H) = {x P : h H : x h} L(H) = {x P : h H : x h} ÐÑÞÓØ H Ð Ð ÖÒÝ Ò ÒÚÞÞº Ý A ÑÜÑ Ð ÒØÐ Ò ÖÒÐÞ ÔÐØØÒ ØÙÐÓÒ Ð Ø Ö ÞÖ ÔÖØÓÒ ÐØ Ý ÓÝ A 1 A 2 = A U(A 1 ) L(A 2 ) = P º Þ ÒØÐ Ò òöò ØÐ Ø ÚØÞØ ÖÑÐÝ a A x,y P x a y ØÒ ÐØÞ a A\{a} ÑÐÝÖ x a yº ÚØÞ ÖÑÒÝ ¹Ò ÐÒØ Ñº

10 ¾½º ÌØÐ Ð Û Ö ÖÑµº Ý Ú Ö ÞÒÖÒÞØØ ÐÑÞÒ ÑÒÒ òöò ÑÜÑ Ð ÒØÐ Ò ÖÒÐÞ ÔÐØØÒ ØÙÐÓÒ Ðº Þ ÖØÞ Ò k ÐÑò ÐÔÐÑÞÓÒ ÖØÐÑÞØØ ÑÙÐØÐÑÞÓÐ ÓÐÐÓÞÙÒº ÓÖÑ Ð Ò Z k ÓÔÓÖØ ÐÑÖ ÞÒÒØ ÓÒÓÐÙÒ Z k Z ÚØÓÖÓØ k¹ ÞÒÑÒØ Ò ÚÙ ÐÑÞÙØ M k ¹ ÚÐ ÐÐº ÞÒ ÐÑÞÓÒ Ò ÐØÙÒ Ý ØÖÑ ÞØ ÖÒÞ Ø a,c M k ¹Ö a c a i c i ÑÒÒ i Z k ¹Ö a cº ÓÖ ÞØ ÑÓÒÙ ÓÝ a ÖÒÝ c¹òº ÂÐÐ Þ r ÐÑò k¹ ÞÒÑÒØ ÐÑÞ Øº M r k = {x M k, i Z k x i = r}. Þ ÖØÞ ÙØÓÐ ÞØÒ Ý ÖÑÒÝ ÔÐØØÒ ØÙÐÓÒ ÞÓÐ Þ M k k ÒØÐ ÒÖº ¾¾º ÌØÐ º Ú Ö ÃÓÚ Î ½ µº Þ (M k, ) Ö ÞÒÖÒÞØØ ÐÑÞÒ Þ Mk k ÑÜÑ Ð ÒØÐ Ò ÖÒÐÞ ÔÐØØÒ ØÙÐÓÒ Ð ÞÞ Mk k Ø Ö ÞÖ ÔÖØÓÒ ÐØ ÓÐÝ ÑÓÒ ÓÝ A = A 1 A 2 U(A 1 ) L(A 2 ) = M k º ÃÒÒÝÒ Ð ØØ ÓÝ Mk k ÒÑ òöò Ý ¾½º ÌØÐÐ ÒÑ ÚØÞ Þ ÐÐØ º Þr t n ÔÓÞØÚ ÞÖ ÌÙÖ Ò (n,t,r)¹öò ÞÖ ÐØØ Ý ÓÐÝÒ n ÔÓÒØÓÒ ÖØÐÑÞØØ r¹ùòóöñ ÔÖÖ ÓØ ÖØÒ ÑÐÝÒ ÖÑÐÝ t ÐÑò ÔÓÒØÐÑÞ ÞØ ÐÐ Ý ÔÖÐØº Þ ÐÝÒ ÔÖÖ Ó ÑÒÑ Ð ÑÖØØ T(n,t,r) ÌÙÖ Ò¹ Þ ÑÑÐ ÐÐ ÔÓÒØÓ ÖØÒ ÑØ ÖÓÞ Ø Ð ÒØ ÌÙÖ Ò È Ð ÚØØØ Ð ¾½ º T(n,t,r) t(t,r) = lim ( n n r) Ø ÖØ ÞØ Þ ÓÝ Þ Þ r ÐÑò ÔÖÐ ÑÓÖ Ö ÞØ Þ ÚÒÒ Ý ÌÙÖ Ò (n,t,r)¹ ÖÒ ÞÖº ÅÐÔ ÑÓÒ ÑÑÐÝÒ t > r > 2 ÖØÖ ÒÑ ÑÖØ ÔÓÒØÓ Ú Ð Þ ¹½½¹Ò Ö È Ð ¼¼¹Ó ÙØÐÑØ ÒÐÓØØ Ð ÝØÐÒ Ô Ð Ø ½¼¼¼¹Ó ÙØÐÑØ Þ ÐØÐ ÒÓ Ø ÑÓÐ ÖØº ÐÒÐ ÑÖØ ÐÓ Ð ÓÖÐ Ø ËÓÖÒÓ ÒÚÞ òþ ¾¼ º ¾ º ÌØÐ ËÓÖÒÓµº t(t,r) ( r 1 t 1) r 1. µ ¾¾º ÌØÐÐ A 1 Mk k ÐÑÞÒ ÑÒÒ c Mk+1 k ÚØÓÖÖ ØÖØÐÑÞÒ ÐÐ c¹ò ÐÐ Ý ÖÒÝ Øº ÞØ ÐØÐ ÒÓ ØÒ r < t ØÒ Þ A Mk r ÐÑÞØ (t,r;k)¹ ÖÒÝÖÒ ÞÖÒ ÒÚÞÞ ÑÒÒ c M t k ÚØÓÖÖ ØÖØÐÑÞÞ c¹ò ÐÐ Ý ÖÒÝ Øº ÞÞÐ ÐÐ Ð ¾¾º ÌØÐÐ A 1 ÐÑÞ Ý (k + 1,k;k)¹ ÖÒÝÖÒ ÞÖº ÌÒØ Ò ÑÓ Ø Ý s Z r k ÚØÓÖØº Þ a = M(s) Mr k ÞÒ¹ÔÖÓÐ ØÖÑ ÞØ ÑÓÒ Ò ÐØ ÐÝÒ a i Þ s¹ò ÞÖÔÐ i¹ Þ Ñ ÑÒÒ 1 i k ØÒº ýöòý¹öò ÞÖ Ø ÚÐ ÞÓÒÝØ Ø ÙÒ ÒØ ÓÖÐ ØÖ Ð ÞÒ ÐÚ Þ Ð ÓÑÒ¹ ØÓÖÙ ÞÒÞ ØØÐØº ¾º ÌØÐ º Ú Ö ÃÓÚ Î ½ µº ÄØÞ ÓÐÝÒ (t,r;t 1)¹ ÖÒÝ¹ÖÒ ÞÖ ¹ÐÐ ÞØ A t r M r t 1 ¹ ÑÐÝÖ Ý ÚÐØÐÒ Ú Ð ÞØÓØØ s Zr t 1 ÚØÓÖÖ ÒÒ ÚÐ ÞÒò ÓÝ M(s) At r (r 1 t 1) r 1º ÓÐÓÞØÒ ÚÞØ ÌÙÖ Ò¹ Þ Ñ Ý ØÖÑ ÞØ ÐÝÓÞÓØØ Ú ÐØÓÞØ Ø V ÐÔÐÑÞ r ÐÑò Ö ÞÐÑÞÒ ÓØØ w ÒÑÒØÚ ÐØ ÚÒÝ ØÒ ÐÐ w Þ r ÐÑò Ö ÞÐÑÞÓ Þ ÐÝ Øº

11 T w (n,t,r)¹öð ÐÐØ ÌÙÖ Ò¹ ÐÝ Ý ÑÒÑ Ð Þ ÐÝ ÌÙÖ Ò (n,t,r) ÖÒ ÞÖ ÐÝ Ø ÐÐº Ñ Ö Ð ØÓØØ t(t,r) ÖØÞ ÓÒÐÒ Ò ÐØÙ tw(t,r) = lim sup T w (n,t,r) n w w Ø ÖØØº Ð ØÙ ÓÝ tw(t,r) = t(t,r) ÞÞ ÓÖÐ ØÓØ ÒÑ ÓÐÝ ÓÐ ÐÝÓÞ º ¾º ÌØÐ º Ú Ö ÃÓÚ Î ½ µº tw(t,r) = t(t,r) Ý tw(t,r) ( r 1 t 1) r 1º ÌÙÖ Ò¹ÖÒ ÞÖ ÞÓÖÓ Ô ÓÐØÒ ÐÐÒ ÌÙÞ Ö Ø ÚÐ ¾¾ ÑÐÝ ÞÖÒØ ØØ ÞÐ Ö ÒÝ¹ ØØÐÒ Ö Ò ÖÓÑ ÞØ ÐÓ Ð ÑÒÑ Ð Þ Ñ ÐÐ Ø ÞÖ Þ Ð ÞÙÒØ ÖÓÑ¹ Þ ÑÜÑ Ð Þ Ñ Òº ÑÒÑ Ð ÐÐÑÞ ÑØÐ Ð Ý G = (V,E) Ö Ò ÚÚÐÒ T w (n,3,2) ÖØ ÑØ ÖÓÞ ÚÐ ÓÐ n = V w(e) = 1 e E w(e) = 0 ÝÒØº ÄÝÒ ÑÓ Ø H = (V,E) Ý Ý ÞÖò (r 1)¹ÙÒÓÖÑ ÔÖÖ w : E R + Ô Ý ÐÝÓÞ ÔÖÐÒº Ý r ÔÓÒØ ØÐ Ö ÞÔÖÖ ÓØ r¹ðóò ÚÙÒº Þ r¹ðóóø ÔÖÐ ÑÒ¹ Ñ Ð Þ ÐÝ Ø τ w (H)¹ÚÐ Ñ ÑÒÒ e E ÔÖÐØ ÐÐ w(e)¹ ÞÖ r¹ðóó ÑÜÑ Ð Þ Ñ Ø ν w (H)¹ÚÐ ÐÐº ÚØÞ Ø ÌÙÞ Ø Ò ÐÝÓÞÓØØ ÔÖÖÙ ØÖ ÞØ º ¾º ËØ º Ú Ö ÃÓÚ Î ½ µº Ý H = (V,E) Ý ÞÖò (r 1)¹ÙÒÓÖÑ ÔÖÖ Ò w : E R + ÐÝÓÞ Ö ÒÞÚ τ w (H) r+1 2 ν w(h)º Ø ÒÝØÓØØ Ñ ÖÐØ Ý ØÖØÖ ÒÝ ÝÒØ Ø ÞÓÐÒÙÒº ¾º ÌØÐ º Ú Ö ÃÓÚ Î ½ µº Ý H = (V,E) Ý ÞÖò (r 1)¹ÙÒÓÖÑ ÔÖÖ Ò w : E R + ÐÝÓÞ Ö ÒÞÚ τ w (H) (r 1)τ w(h)º ¾º ÌØÐ ÃÖÚÐÚ Ý ÓÒÐ ÖÑÒÝØ ÐØÐ ÒÓ Ø ÞÓÒÝØ Ò Ð ÞÒ ÐÙ Þ ÖÒÝÖÒ¹ ÞÖÖ ÔÓØØ ÖÑÒÝÒØº Þ ÖØÞ ÐÔ ÙÐ ÞÓÐ Ð ÞÐÑÒÝ ½ Ãº ÖÞ Èº Ú Ö º Êº ÃÓÚ Ò Äº º Îº ËÔÐØØÒ ÔÖÓÔÖØÝ Ú ÓÛ Ý ØÑ º ÌÒÐ ÊÔÓÖØ ÌÊ¹¾¼½ ¹¼¾ ÖÚ ÖÝ Ê Ö ÖÓÙÔ ÙÔ Ø ¾¼½ º ÛÛÛº ºÐØºÙ»Ö º ¾ Ãº ÖÞ Ò º ÖÒº ÈÒ ÖÓÖ Ò º ÄØÙÖ ÆÓØ Ò ÊÁÅË ÃÓÝÙÖÓÙ Ø Ù ¾ ½ ½ ¾¼¼º ¾ Ãº ÖÞ Ëº Ù Ò Æº ÃÑÝÑº ÐÒÖ¹ØÑ ÐÓÖØÑ ØÓ Ò ÔÖ Ó Ö¹ ÓÒØ ÔÒÒÒ Ò¹ÖÓÖ Ò Ò ÓÙØ¹ÖÓÖ Ò Ò ÖØ ÝÐ ÖÔº ÁÒÓÖÑØÓÒ ÈÖÓ Ò ÄØØÖ ½¼ ¾ µ½¾¾ ½¾ ½ ¾¼¼º Ãº ÖÞ Ò º ÃÓÝ º Ò ÐÓÖØÑ ÓÖ(n 3)¹ÓÒÒØÚØÝ ÙÑÒØØÓÒ ÔÖÓÐÑ ÂÙÑÔ Ý ØÑ ÔÔÖÓº ÂÓÙÖÒÐ Ó ÓÑÒØÓÖÐ ÌÓÖÝ ËÖ ½¼¾ µ ¾¼½¾º Ãº ÖÞ Ò º Êº ÃÓÚ º ÒÓØ ÓÒ ØÖÓÒÐÝ ¹ ÓÒØ ÖÓÖ Ò º ÁÒ ÈÖÓÒ Ó Ø ÂÔÒ ¹ ÀÙÒÖÒ ËÝÑÔÓ ÙÑ ÓÒ ÖØ ÅØÑØ Ò Ø ÔÔÐØÓÒ Ô ½¼½ ÃÝÓØÓ ¾¼½½º Ãº ÖÞ Ò Äº º Îº Ê ØÖØ b¹ñøò Ò Ö¹ÓÙÒ ÖÔ º ÁÒ º ÒÖÒ Ò º ËÔ¹ Ö ØÓÖ ÁÒØÖ ÈÖÓÖÑÑÒ Ò ÓÑÒØÓÖÐ ÇÔØÑÞØÓÒ ÚÓÐÙÑ ¼¼ Ó ÄØÙÖ ÆÓØ Ò ÓÑÔÙØÖ ËÒ Ô º ËÔÖÒÖ ¾¼½¼º

12 ÀÚØÓÞ Ó Êº Ð Û Èº Ö Ò Æº ÖÑº ÔÐØØÒ ÔÖÓÔÖØÝ Ó ÑÜÑÐ ÒØÒ º ÓÑÒØÓÖ ½ µ ¼ ½º Âº Ò¹ÂÒ Òº ¹ ÓÒØ Ò¹Ò ÓÙØ¹ÖÒÒ Ò ØÓÙÖÒÑÒØ Ò ÖÐØ ÔØ ÔÖÓÐÑ º ÂÓÙÖÒÐ Ó ÓÑÒØÓÖÐ ÌÓÖÝ ËÖ ½ ½µ½¾ ½½º Ãº ÖÞ Ò º ÖÒº ÎÖØÓÒ ÓÖ ÄÓÚ Þ³ ÙÑÓÙÐÖ º ÙÐÒ Ö Ô ½ ½ ¾¼¼º ½¼ Äº ÓÐÙ Åº ÓÒÓÖØ Ò º ÑÐÐº ÓÒØ ÔØ Ò ÖÓÖ Ò º ÖØ ÑØÑØ ¾¾ ½µ½ ½½ ¾¼¼º ¾ ½½ º ÓÖÒÙÓÐ Ò Ïº ÈÙÐÐÝÐÒº ÑØÒ ÔÖÓÐÑ ÛØ ÓÒØÓÒ º ÖØ ÅØÑØ ¾ ¾µ½ ½ ½¼º ½¾ Âº ÑÓÒ º ÅÜÑÙÑ ÑØÒ Ò ÔÓÐÝÖÓÒ ÛØ 0,1 ÚÖØ º ÂÓÙÖÒÐ Ó Ê Ö Ó Ø ÆØÓÒÐ ÙÖÙ Ó ËØÒÖ ½¾½ ¼ ½º ½ Âº ÑÓÒ º ¹ ÓÒØ ÖÒÒ º ÓÑÒØÓÖÐ ÐÓÖØÑ ½ ½ º ¾ ½ º ÀÖØÚ Òº ÜØÒ ÓÒ Ó ÑØÒ ØÓÖÝº È Ø ÖÒ¹ÅÐÐÓÒ ÍÒÚÖ ØÝ ½º ½ º ÀÖØÚ Ò Ò º Äº ÌÖÒÐ¹Ö ÑÔÐ ¾¹ÑØÒ Ò ÙÙ ÖÔ ÜØÒ ØÖØµº ÁÒ Åº ¹ ØØ Ò º ÏÐÐÑ ÓÒ ØÓÖ ÁÒØÖ ÈÖÓÖÑÑÒ Ò ÓÑÒØÓÖÐ ÇÔØÑÞØÓÒ ÚÓÐÙÑ ½ Ó ÄØÙÖ ÆÓØ Ò ÓÑÔÙØÖ ËÒ Ô ¾º ËÔÖÒÖ ¾¼¼º ½ º ÀÖØÚ Ò Ò º Äº ÈÓÐÝÖÓÒ Ó ØÖÒÐ¹Ö ÑÔÐ ¾¹ÑØÒ Ò ÙÙ ÖÔ º ÅØÑØÐ ÈÖÓÖÑÑÒ Ô ½¼ ¾¼½¾º ½ Æº ÃÑÝÑ Æº ÃØÓ Ò º ÌÞÛº Ö¹ ÓÒØ Ò¹ØÖ Ò ÖØ ÖÔ º ÁÒ ÈÖÓÒ Ó Ø ÒÒØÒØ ÒÒÙÐ Å¹ËÁÅ ÝÑÔÓ ÙÑ ÓÒ ÖØ ÐÓÖØÑ Ô ½¾º ËÓØÝ ÓÖ ÁÒÙ ØÖÐ Ò ÔÔÐ ÅØÑØ ¾¼¼º ¾ ½ º ÃÖ ÐÝº Ê ØÖØ t¹ñøò Ò ÔÖØØ ÖÔ º ÌÒÐ ÊÔÓÖØ ÉÈ¹¾¼¼¹¼ ÖÚ ÖÝ Ê Ö ÖÓÙÔ ÙÔ Ø ¾¼¼º ÛÛÛº ºÐØºÙ»Ö º ½ º ÃÓÝ º ÑÔÐ ÐÓÖØÑ ÓÖ ÒÒ ÑÜÑÙÑ ØÖÒÐ¹Ö ¾¹ÑØÒ Ò ÙÙ ÖÔ º ÖØ ÇÔØÑÞØÓÒ µ½¾¼¾ ¾¼½¼º ¾¼ º ËÓÖÒÓº ËÝ ØÑ Ó Ø ØØ Ú Ø Ì¹ÔÖÓÔÖØÝº Î ØÒ ÅÓ ÓÚ ÓÓ ÍÒÚÖ ØØº ËÖÝ Áº ÅØÑ¹ Ø ÅÒ Ô ½¾¾ ½½º ¾½ Èº ÌÙÖ Òº Ê Ö ÔÖÓÐÑ º ÅÝÖ ÌÙÓÑ ÒÝÓ Ñ ÅØÑØ ÃÙØØ ÁÒØÞØ ÃÞÐÑÒÝ ½ ¾ ½½º ¾¾ º ÌÙÞº ÓÒØÙÖº ÁÒ ÒØ Ò ÁÒÒØ ËØ ÈÖÓº ÓÐÐÓÕº ÅØº ËÓº Â ÒÓ ÓÐÝ Ô º ÆÓÖØ¹ ÀÓÐÐÒ ½½º ¾ Äº º Îº ÙÑÒØÒ ÙÒÖØ ÒÓ¹ÓÒÒØÚØÝ Ý ÓÒº ÁÒ ÈÖÓÒ Ó Ø ¾Ò Å ÝÑÔÓ ÙÑ ÓÒ ÌÓÖÝ Ó ÓÑÔÙØÒ Ô ¾º Å ¾¼½¼º ½¼