taanfékvezető ÁDÁM egyenlet előállítása. Ez a rendszerint transzcendens egyenlet az ún. frekvencia-egyenlet. Ha

Átírás

1 nemcsk NME Közleményei, Miskolc, III Sorozt, Gépészet, 27 (I 981) kötet, SZERKEZETEK REZGÉSI SAJÁTFREKVENCIÁINAK SZÁMÍTÁSA A F REKVENCIAEGYENLET NÉLKÜL BOSZNAY ÁDÁM l Bevezetés A szerkezetek mechniki számítás során újbbn egyre inkább kontinuummodelleket lklmznk A következőkben olyn feldtokt tekintünk, melyekben sjátfrekvenciák definiálhtók E dolgozt z ún frekvenciegyenletet nem igénylő sjátfrekvenci számítás néhány újbb irányvonlát muttj be Elsősorbn zokr módszerekre tér ki, melyek előírt számú egykét sjátfrekvenci számítását teszik lehetővé, s melyek z eljárás hibájár is dnk lehetőleg gykorltis felvilágosítást Nem fogllkozik dolgozt számítás kivitelezése során elődódó numerikus természetű problémákkl s zok megoldásávl 2 A frekvenciegyenlet Egyszerűbb lkú és vgy egyszerűbb peremfeltételeknek lávetett kontinuumok, vgy ilyenekből összeállított rendszerek esetén lehetséges sjátfrekvenciákt definiáló zárt lkú egyenlet előállítás Ez rendszerint trnszcendens egyenlet z ún frekvenciegyenlet H z rendelkezésünkre áll, szób kerülhet z egyenlet gyökeinek numerikus úton, pl léptetési technikávl,newtonmódszerrel, vgy ezek finomított vgy kombinált lklmzásávl vló meghtározás m DR BOSZNAY ÁDÁM egyetemi tnfékvezető tnár muslkl tudományok doktor BME VillmoskriMűszki chniki Tnszék 99

2 ledrendű mint nem esetekre A sjátfrekvenciszámításnk ezt módját nevezhetjük klsszikus eljárásnk Ezzel z eljárássl dolgoztunk zt z 1 pontbn említettük fogllkozik Az itt áttekintendő módszerek zonbn ezekre klsszikus eljárássl kezelhető is lklmzhtók 3 A PoincréRyleighRitzmódszer Tegyük fel, hogy z körfrekvenciájú, szinuszosn változónk vett időfktor leválsztásávl z lábbi, csk térbeli változóktól függő sjátértékfeldtr jutunk: Au2Bu=0, Ku=0 (l) A és B vlós együtthtós lineáris differenciáloperátorok; A szerkezet ruglms vissztérítő sjátságink, B tehetetlenségi (tömeg) htásoknk felel meg; K vlós lineáris operáció: homogén peremfeltételeket, ill h szerkezetet több részből összekpcsoltnk tekintjük, kkor még z ugyncsk homogén illesztési feltételeket fejezi ki A (1) differenciálegyenlet rendszám gykorlti esetekben páros; 2rel fouk jelölnj_ A perem és illesztési feltételeket egyes esetekben fel lehet bontni ún lényegesekre (melyek legfeljebb r deriváltkt trtlmznk) és dinmikikr (melyek z redik és mgsbbrendű deriváltkt trtlmzzák) u keresett o? sjátértékhez trtozó vlós elmozdulási mplitúdó mező függvény; h feldt úgy kívánj, u oszlopvektor; ez esetbena és B mátrix operátorok, K pedig mátrixos operáció Feltesszük, hogy A és B Öndjungált differenciáloperátorok, továbbá, hogy Ku = = 0 feltételnek eleget tevő, elegendő sokszor differenciálhtó, s nem zérus ukr (Au, u) ) 0, (Bu, u) ) 0 (2) A gömbölyű zárójel itt skláris szorzást jelent z (u, v) = fu*vd1' T (3) formul szerint, hol T szerkezet áltl elfogllt térbeli trtomány, s jelent * trnszponálást Az operátorok öndjungáltságánk feltevése mechniki értelmezésben nnk feltevésnek felel meg, hogy szerkezet egyes részei is, és perem és illesztési feltételeket létrehozó szerkezetek is olynok, hogy egy periódusidő ltt sem energielnyelés, sem betáplálás nem történik szerkezetbe A tett feltevések biztosítják, hogy z (1) feldtnk végtelen sok, egyenkint véges sokszorosságú pozitív sjátértéke vn Ezeket mindegyiket rmyiszor felírv, hányszoros z lábbi egyenlőtlenségláncb rendezhetjük: ííáínoig (4) 100

3 mint három Az egyes sjátértékekhez trtozó sjátfüggvényeket u1, u,, hogy (Aui, uj)= 0 és (Buj, uj) = 0, h í=#j, közvetítésével ált zz különböző indexű sjátfüggvények mind z A, mind B operátor lánosított értelemben ortogonálisok Továbbá sjátfüggvények teljes, uvveljelölve érvényes, rendszert lkotnk Az e pont Címében írt módszer klsszikus változtához úgy juthtunk el, hosy m számú, 2rszer differenciálhtó, peremfeltételeknek eleget tevő lineárisn független VI, _,, vm vlós függvényt válsztunk E függvényekkel következő egyenlet lkothtó meg: det[(av,, vj)?" (Bvi, vp]=, m gyökei z eredeti feldt első m sjátérté Ennek z egyenletnek z f = 1, 2, fm, kének felső korlátji: 0 (S) iéfzvmv, v=l,2,,m (6) m növelésével korlátok nem rosszbbodhtnk:, v=l,2,,m ÍHmHLUSÉmV (7) Ez finitízálásfjt tehát jvíthtó felső korlátokt d z első m sjátfrekvenciár H szerkezet olyn, hogy z Au = 0 egyenletnek vn (Ku = Onk is eleget tevő) u 59 0 megoldás, kkor e vektorokr (Au, u) = 0, és zérus z eredeti feldtnk sjátértéke Feltéve, hogy u mechniki értelmezése elmozdulás (mplitúdó), ez z eset fordul elő, h perem és cstlkozási feltételek merev testszerű vgy mechnizmus jellegű mozgást tesznek lehetővé úgy, hogy ruglms vissztérítő erők nem ébrednek Ennek folytán zérus sjátérték sokszorosság ebben z esetben csk véges lehet H létezik zérus sjátérték, kkor z (5) egyenlet legkisebb gyöke korlátj zérusnk lesz felá Jelöljük zérus sjátértékhez trtozó lineárisn független sjátfüggvényeket uo 1, uo nel Azt kívánv, hogy z (S) legkisebb gyöke z eredeti feldt legkisebb uo,, nem zérus sjátértékének legyen felső korlátj, kkor v!, hogy elégítsék z v," függvények ki kell,, zz lígyzleteket, or e (Auoi, vi)=0, i=l,2,,n; j=l,2,,m 4 A Végeselem módmer vjknek áltlánosított értelemben ortogonálisknk kell lenniük z SéEre vn A Végeselem módszer lklmzás során Szükség: Oliveir kiemeli fő tevékeny 101

4 módosult ) szerkezet áltl elfogllt trtomány résztrtományokr vló felosztásár: b) z egyes résztrtományokon megengedett mechniki mezők véges dime sokságánk definiálásár; c) résztrtományok cstlkozásánál z egyes mechniki mezőkre vontkozó lkozási (illesztési) feltétel előírásár Cst Aszerint, hogy milyen előírást teszünk b) és c) pontokbn mondottkr, véges el módszer különböző módosultit kpjuk Figyelmünket lehetséges módosultok em közül kettőre koncentráljuk, mert ezeknél z eredeti kontinuus modell sjátfrekvencián min egyoldli (felső) korlátot kpunk A többi, eddig számontrtott módosult hybrid vegyes elemek, gyűjtőnéven m? nemkonform elemek néven ismertek nem nyújt biztosít; kot sjátfrekvenciák egy oldlról vló megközelítésére Az egyik ilyen z ún elmozdulási (ez volt történetileg z első) z egyes résztrtományokon belül elmozdulásmezőket definiál, s illesztési feltételekül z elmozdulá sok folytonosságát (komptibilitását) írj elő A másik módosult, mely áttekintésünk körébe esik Freijs de Veubeke áltl ki dolgozott ún egyensúlyi módosult Ez z egyes résztrtományokon belül feszültségmezöket definiál, s z illesztéseknél egyensúlyi feltételek kielégítését írj elő A sjátfrekvenciák pproximációj z elmozdulási módosultnál e módszernél is (5) típusú determinánsegyenletre vezet Az eltérés klsszikus PoíncréRyleighRitzféle finitizáláshoz képest v,függvények másféle felvételében áll Az eltérések közül itt csk rr muttunk rá, hogy s ezt feldt vriációs megfoglmzásánk vizsgáltávl lehet megindokolni viktől elegendő csk rszeres differenciálhtóságot megkívánni, s peremfeltételek közül elegendő csk z ún lényegesek kielégítése Ez ngyon lényeges lehetőség nem véges elem eljárás értelmezésű PincréRyleighRítzmódszernél is kiknázhtó A (6) egyenlőtlenség ebben z esetben is fennáll; z elmozdulási módosulttl számolv is felülről közelítjük meg sjátfrekvenciákt Az egyensúlyi módosulttl dolgozv ugynnnál szerkezetnél közelítő sjátfrekvenciákt z (5)höz hsonltos determinánsegyenlet szolgálttj ugyn, most zonbn mások lesznek szereplő operátorok, mások peremfeltételek, és más jelentése z m számú lineárisn független, v,függvények helyébe lépő függvényeknek Ez utóbbik fiziki jelentése mivel z egyensúlyi módosult feszültségmezőkkel dolgozik vlójábn feszültség, zonbn célszerűbbnek látszott feszültség tenzormezőt vele egyértelmű kpcsoltb hozhtó írnpulzussűrűség tenzorrnezővel kifejezni (Fkeijs de Veubeke, Gerdín, Huck [9]) E módosulttl dolgozv is elődódht, hogy zérus is sjátfrekvenciák közé trwlík Ebben z esetben más ennek körülménynek fiziki jelentése, mint z elmozdulási módosulttl vló dolgozáskor Azt jelenti, hogy létezik olyn, nem zonosn zérus feszültségmelév mely ktív külső erők nélkül egyensúlyt tesz lehetővé Ilyen feszültségmező cskis sttikilg htároztln szerkezeteknél létezhet, de ilyenkor már végtelen sok lineárisn független ilyen mezők szám Az egyensúlyi módosulttl dolgozv tehát sttikilg htároztln szerkezet" nél lesz zérus sjátfrekvenci, s multiplicitás végteleng (B Tbrrok [l4]) 102

5 ' mint mindkét dodnk ' sikerült mint ' A kpott determinánsegyenlet megoldási ebben z esetben is kielégítik (6) egyenl nségeket, tehát most is felső korlátok lot e Egyes sttiki feldtoknál ugynrr kontinuum modellre először z elmozdulási, d z e ensúlyi módosultot lklmzv, zz z ún duális nlízissel ruglm] lulról és felülről behtárolni (Snder, Fierjs de Veubeke [l2]) Rész lmozdulásokt 1pozv kísérletek történtek sjátfrekvenciák kétoldli behtárolásár is (Gerdin, [ik E kisérletek stt g roz, etek sjátfrekvenciit ) e veges elem módszer egyensulyi l'zérus végtelen multcilpltifziikázlú Síljfítfrhé: letilt r tl n szer k eze tekk l ltk k 1 t k 11 szer k e vő pcso os modosultvl keresve yen láttuk álásh h ált f" k áltl 'rt l b A 3, pontbn mon o e pjn mi 1Z oz szn uggvenye nos e e em en kell, hogy legyenek?cefre h" 10, 15 l "Mmolgfgkguc zérusjátértéknek megfelelő Ez Veu sjátfüggvényekre ortogonálisk beke és Gemdm egy meegyzese lpjn megoldhtó nnk ellenére, hogy e fuggvenyek végtelen sokn vnnk A már említett dolgoztok rról numerikus tpsztltról be, elhgyv z számolnkhogy Ortogonlitás kielegitéset máshonnét ismert sját lso korlátok Szerzok jelenség megszámlálhtón frekvencikkl kisebbfszmok iszerzökszerint további elmeleti vizsgltt trtják szükségesnek A sjátértékek vriációs megfoglmzásából következik, hogy z említett számértékek nem lehetnek sjátfrekvenciák lsó korláti, csk sjátfrekvenciák felső korlátink lsó korláti A véges elem módszernek ugynis láttuk módosult felső korlátot szolgáltt zérustól különböző sjátértékekre zérus sjátfrekvenci létezése esetén, h finitizáláshoz szükséges függvények megfelelő ortogonlitási feltételeket elégítenek ki A ortogonlitási feltételek elhgyásávl e függvények hlmz nő, közelítő sjátértékek tehát csk csökkenhetnek, zz felső korlátokr dódnk lsó korlátok A fent idézett numerikus kísérletek csk zt muttják, hogy vizsgált esetekben felső korlátok lsó korláti olyn kicsinyre dódtk, hogy már pontos sjátértékek lá kerültek 5 A közbenső operátoros módszer A Weínstein áltl bevezetett és Bzley és Fx, vlmint mások áltl továbbfejlesztett cimbeli módszer bból indul ki, hogy z eredeti sjátértékfeldthoz sok esetben tlálhtó egy Olynmásik sjátértékfeldt(z ún lpfeldt), melynek sjátértékei z eredetieknek dlfrj/ lsó korláti, és mellett még elég egyszerű hhoz, hogy elegendő sok sjátértéke és Slfwelttor (sjátfüggvénye) numerikusn kiszámíthtó legyen Az lpfeldtból kiindulv szerkesztik úgy, hogy z íedik feldt egy sjátértéke Zitán d kozbenső feldtok egysoroztát _EYenkisebb, mint z zliké, de mégis mrdjnk sjátértékek kisebbek, mint z ereeh feldt megfelelő keresett sjátértékei M dt közbensőfeldtok megszerkesztésénél éppúgy projektoroperátorok játsznk szere 9 mint PomcréRylerghRítzmódszemél Ajkflzlfenávfelátdtokt úgy lkítják ki, hogy elegendő sok sjátértéküket z lpfel Sltertekeibol ki lehessen számítni 103

6 mint E sorok írój változó keresztmetszetű egyenes rudkból tetszés szerinti módon ösz szetett, áltlános peremfeltételeknek eleget tevő rúdszerkezet rezgési sjátfrekvenciáit ki vánt e módszerrel pproximálni Tekintetbe vette z egyes rudk longitudinális, két sík bn végbemenő trnszverzális és csvró rezgéseit is [l] A közbenső operátoros módszerrel e próbálkozás előtt egyetlen, egyszerű peremfe] tételeknek lávetett egyenes rúd, vlmint egyszerű peremgörbéjű sík lemez és membrán _ kpcsán oldottk meg mechniki rezgéstni területre eső sjátértékfeldtot Az említett szerkezetre vló kiterjesztés részben zért jelentett bonyolultbb feld tot, mert egyegy rúd többféle lengését is tekintetbe kívánt venni, részben perem és illem tési feltételek _bonyolultbb volt mitt, továbbá zért is, mert sjátfrekvenciák jvíthtó felső korlátit is közbenső operátoros módszerrel szándékozott meghtározni Az lpfeldtnk megfelelő szerkezet z eredeti szerkezettel zonos trtományt el foglló, megfelelően (másképpen felső, és másképpen z lsó korlátok számításánál) meg válsztott állndó keresztmetszetű rudkból áll; perem és illesztési feltételeket ugyn zok szerkezetek vlósítják meg, mint z eredeti rúdszerkezetnél Az lpfeldt sjátértékproblémájánk numerikus megoldásánál jó szolgáltot tett Czeglédí dolgozt [6] A közbenső operátoros módszer gykorlti lklmzásánk további nehézségét (köz benső feldtok előállításához szükséges) projektor operátorok bázisink BAZLEYféle speciális megválsztását is sikerült megoldni, s explicit módszert dni ezek felvételére Az eljárást számpéld is illusztrálj [2] 6 Az ortogonális invriánsok módnere Defftz egy módszerét továbbfejlesztve Ficher z eddig ismertetettekből lényegesen eltérő, új módszert dott sjátfrekvencíák jvíthtó lsó korlátink számításár Módszere olyn esetben lklmzhtó, melyben z (1)beli operátorok olynok, hogy A'1B szigorún pozitív kompkt operátor; gykorlti esetek ez többségében fennáll Fíchernál B z identitás operátor ([7]) A jvíthtó lsó korlátok számításár dott Ficherféle formul hsználtához sjátfrekvenciák jvíthtó felső korlátit kell ismerni, továbbá lg (A" B)t, z A'1B operátorhoz rendelhető sedrendű, nedfokú ortogonális invriánst Ez utóbbit nem lehetséges áltlábn esetünkben zárt formulávl kifejezni, pproximálni kell Ficher formulájánk sjátfrekvenci lsó korlát dó tuljdonságát bizonyosn csk kkor nem rontjuk el, h l?(a'1b)t felülről közelítjük esetben Romno [l l ] prizmtilcus rudkból álló keretekre lklmzt F ícher elméletét; ebbe" z 1:(A" B) explicite előállíthtó Stumpf [13] módszert dott l?(a'1 B) felülről történő megközelítésére Módszere szerkezet Kelvináll" PL igényli, hogy z eredeti szerkezethez hozzárendelt végtelen kiterjedésű potához rendelt feszültségfüggvényt explicite, előre ismerjük Speciális esetekben z állndó vstgságú, homogén lemeznél z egyértelmű hozzárendelés lehetősége áll fem s szükséges feszültségfüggvény is ismeretes Változó vstgságú, vgy inhomogén lemezhez nem tudjuk, hogy milyen vstgságú és inhomogenitású végtelen kiterjedésű lemezt kell zt 104

7 ' * hozzárendelni, Rúdszerkezet, vgy lemezszerkezet esetén ugyncsk nem világos, hogy de ettől függetlenül sem ismeretes már szükséges feszültségfüggvény ehhez hozzárendelt végtelen kiterjedésű szerkezeten mit értsünk Ficher l? (A'1B) felülről vló megközelítését rr z esetre oldj meg, melyben B z identitásoperátor, és z eredeti (változó együtthtósa operátorrl leírhtó) szerkezeth egy o1yn másikt lehet hozzárendelni, melyikről tudjuk, hogy hozzá trtozó ortogonális invriáns keresettnek durv felső korlátj, továbbá hozzárendelt szerkezet Greenfék függvénye (ill mátrix) explicite ismeretes [8] E sorok írój F icher elméletét olyn szerkezetekre lklmzt, melyeknél A változó együtthtós differenciáloperátor és B változó együtthtós szorzó operátor [3, 4] A gykorltbnnnyir összetett szerkezetekkel is tlálkozunk, melyeknél nem sikerül z eredeti szerkezethez olyt hozzárendelni, milyet Fícher imént említett elmélete megkíván Az ilyen esetekre lklmzhtó jelen sorok írójánk elgondolás Az elgondolás részlétezését szerző másutt fejtette ki [4, 5] IRODALOM 1 BOSZNAY Á: Algebríc eígenvlue problems brcketing eíngenfrequencies of structures consisting ofmds of vryíng cross section Lecture 13th Congress IUTAM, Moscow, 2126 Aug, BOSZNAY, Á: Improvble brcketing of the eígenfrequencies of spce frme structure consisting of rods with vrying cross section Prt I, Prt II, Prt III Act Tech Acd Sci Hung 83 (1976), 3148, , BOSZNAY Á: Improvble brcketing of eigenfíequencíes of structures by FICHERÁS theory of orthogonl invrínts 14th [UTAM Congress Delft, BOSZNAY Á: Lower bounds for ergenfrequencíes by the fínite element method Proceedings 3d Bulgrin Nt Conf on Theor nd Appl Mech, Vrn 1318 Sept,' 1318, BOSZNAY, Á: Un tere Schrnkenfűr die Eigenfrequenzen kontínuierlícher Systeme mittels der Methode der jiníten Elemente Koll über neuere Arbeiten uf dem Gebiete der Mechnik und der Strömungslehre, Technische Universitát Wien, Nov CZEGLEDI, G: Náherungsverfhren zur Bestimmung der Eigenfrequenzen von Stbwerken Per Pdytechníc, Elect Eng 18, (1974), FICHERA, G: Liner elliptic dífferentzhl systems nd eígenvlue problems Leeture Notes in Mth, 8: Springer Verlg Berlin Heidelberg New York, 1965, 3 G: FIFIHERA, Upper bounds for orthogonl invrints o f some positive Iiner opertors Rendicontí Mtemtico Universit Trieste l (1965), 18 9 Lsltzituto 10 u SÍRADIN, Liemp?" DE VEUBEKE, BGERADIN, MHUCK, A: Structurl dynmícs CISM lecture Udine, Compu ttíonl effíciency of equílibrütm models in eígenvlue nlysis [UTAM Hlgh Speed Computing of Elstic Structures, Les Congres et Colloques de L'Unive'rsité de 8% 1 (1971), (Editor: B Freijs de Veubeke) Tome 2, R OMANq M" UPPer nd lower bounds to the eigenfrequencies of elstic frmes Meccnic, ), 2o3_2o9_ SA GjFlIAEIJ by , AFFDL glyszs S DE VEUBEKE, B: Upper nd lower bounds to structurl deformtions m finite elements Air Force Flight Dynmics Lbortory Technicl Report R"65*199 Wright Ptterson Air Foree Bse, Ohio,

8 13 STUMPF, H: Zum Eigenwertschrnkenverfluen nch TrefftzFicher, Rev Roum, scl T Mech Appl 16 (1971), ech" 14 TABARROK, B: Some remrks on the zeto frequency modes The Aeronuticl J 72_ ) 15 TABARROK, KSAKAGUCHI, R L: Clcultion of plte frequencies from commemen formultion Int J for Num Methods ín Eng 2 (1970), try "úgy COMPUTATION OF STRUCTURES VIBRATIONAL EIGENFREOUENCIES WITHOUT USING FREOUENCY EOUATION by A BOSZNAY Summry Frequency eqution defining eigenfrequencies of more complicte structtue cnnot be oonw ructed even implicitely Computtion cn be performed ccordingly only without using this eqution It is n importnt clim in oonnection with this clculísion to hve n error estimtion for these ppg ximte eigenfrequencies in compríson with the,,exct eigenfrequencies defmed by the structuxe (non sídered s continuum model) nd the boundry conditions This rticle shows bsis principleg m CM rctersítics of such newet relevnt computtionl methodsiming t giving summry nd compmmn by which it is possible n xbiury close pproximtion of prescribed number of eigenfrequencies, DIE BERECHNUNG DER EIGENFREOUENZ VON KONSTRUKTIONEN von Á BOSZNAY Zusmmenfssung Die Eigenfrequenzen der komplizierten Konstruktionen bestimmende Frequenzgleichung ist ín implizierten Form nicht herstellbr Die Berechnung ist nur ohne die Frequenzgleichung geschriebene! Weise durchführbx ln Zusmmenhng mit dieser Berechnung ist es ein wichtiger Anspruch, die 50 erhltene Gleichung soll eine Fehlerschátzung uf die nnühemde Eigenfrequenz uch geben, gegen den defmierten "genuen" Eígenfrequenz de: Konstruktion (ws wir ls Kontinuum nnehmen) De: AIIW stellt die prinzipiellen Grundsátze und Eigenschften solcher neuen Berechnungsmethoden vor, welche die vorgeschriebcne Eigenfrequenzen der Konstruktion nch Wunsch nnáhem können PACHET COBÜBEHIIHX HACTOT KOIIEBAHHÍIÍ MEXAHPISMOB BEB YPABHEHPIH A B BOCHAI/I Pexoue WACTOTH YpBHeHne qcrom, onpenenxlomee coőcrnenrme ucrom öonee CJIOXHLDK MeXHHSMOB Hllbn npencrnnn m: n HesmHoM nune CnenoBTeImHo pcllet Moxmo nponnecru öe nonom 106

9 "emut K "OMV PWeTY xnnxercx nxqm M Tpeőonuuem 10 s "o 65: n non W emmx npuönummuux coöcm emmx qcmt no cm mm yknumoro ypn ouehk Mexm Kk n c 06 mennim ucmrm, onpenmehmm xourpuwymon Zircinm x y omuöxn rk Ivánun Anrop noxuneg mm, K oölgmom, De ycnonnsmu) H cpgnemm ' Teopenmecxue ocxxon u oooöeuuocm omocxunxcg c HOBBIX pcúethlix Mevron 03' "Pummim: IUIJI Jnoöoro HPHŐ vxcror Mexuum, m: coómemmx m n

10

11 4 A NEHÉZIPARI MÜSZAKI EGYETEM KÖZLEMÉNYEI III sorozt GÉPÉSZET 27 KÖTET, l FÜZET A,,6 MECHANIZMUSOK Es HAJTÓMÜVEK" SZIMPÓZIUM (MISKOLC, 1978 SZEPT 57) ELŐADÁSAI A szimpózium idegennyelvű elődásit Publictions of the Techn Univ for Hevy Ind Series C Mchinery Vol 35 Fsc 2v4 trtlmzz MISKOLC, 1981

12 Szente Picsso Gádor Príolo TARTALOMJEGYZÉK Rössner Wolfgng: A kétkrú bolygóművek rendszerezéséhez Terplán Zénó: A fogskerék bolygóművek hzi lklmzási széles köű elterjedésének kdályi Vtterott KH' A kényszermozgású, teljesítményelágzásos ÁÍfogskerékhjtóművek kiegyenlítő mozgásához Dmbni József József sebességének kiegyenlítése István: A belső fogztú fogskerékpár csúszási Dvitsvilí N Sz: A négycsuklós gömbi mechnizmus nlízise és szintézise FíIemon Józsefné: Szkszos mozytó bütykös mechnizmusok Kposvári Zoltán: A műszermechnizmusok vlószínűségelméleti modellje Moskov Milko Dimitrov: A csuszkás semmidmechnizmus szintézise Steiskl Vlddímír: Adott terhelésű mechnizmusok szintézise Boszny Ádám: Szerkezetek rezgési sjátfrekvenciáink számítás frekvenciegyenlet nélkül Czeglédi Gyul: Ruglms szerkezetek dinmiki jellemzőinek számítás Ginesu Frncesco Píerlugí: Polárisn ortotrópikus Mrűs tárcs rezgéstni nlízise Brunos Tomszewskí/Krol: A térfogtkiszorítású hidrulikus gépek rezgésforrási Frgó Károly: Szerszágépfőorsók szíjhtásánk nemlineáris trnszverzális rezgései Zblonszkz)", K 1: F ogskerékkpcsoltok terheléskoncentrációjánk vizsgált Mkhult Mihály: Tpsztltok egy fogskerékszámító progrmml Kovács László: Hjtómíífogskerekek tervezése élettrtmr Hegyháti József: Nem ortogonális hengereskúpos hjtások interferenciproblémái Szot György: A kenés htásosságánk értékelése folydéksúrlódási állpotú siklófelületpároknál Richter wolfgng: A hidroszttikus cspágyk Koprowski Tdeusz: A nehézkivitelű gépekbe beépített ruglms Jkubowicz Antoni tengelykpcsolók dinmiki sjátossági,