A nagy skálás szerkezet statisztikus leírása

Átírás

1 A nagy skálás szerkezet statisztikus leírása Dobos László Komplex Rendszerek Fizikája Tanszék É április 7.

2 A nagy skálás szerkezet statisztikus leírása Össze akarjuk hasonĺıtani megfigyeléseket sötétanyag-szimulációkat kozmikus mikrohullámú háttérsugárzás fluktuációit Ehhez mindenképp valamilyen statisztikus leírás kell a szimulációk sosem magát a valóságot adják a KMHS csak elméleti úton kapcsolható össze a ma látható galaxisokkal

3 Statisztikai elemzésre alkalmas minta készítése Spektroszkópiai égtérképek készítésekor előzetesen csak becsülni lehet egy objektum vöröseltolódását spektroszkópiára kijelölés látszólagos fényesség alapján ezért a minta általában magnitúdó-limitált Malmquist-torzítás fluxuslimitált minta problémája a halványabb galaxisokat távol már nem látjuk közelebb nagyobb galaxissűrűséget látunk, mint távol

4 Vörös óriásgalaxisok Ideálisak a nagy skálás szerkezet tanulmányozására fényesek könnyű mérni a vöröseltolódásukat A vörös galaxisok evolválnak nincsen csillagkeletkezés a csillagaik passzívan öregednek a spektrumuk időben változik Evolúció-korrekció: modell alapján korrigáljuk a magnitúdókat a K-korrekció mellett egy e-korrekciót is ad

5 Magnitúdó-limitált minta: látszólagos magnitúdó m r [mag] z

6 Magnitúdó-limitált minta: abszolút magnitúdó M r [mag] z

7 Térfogat-limitált minta Explicit abszolút magnitúdó és vöröseltolódás vágás kell a minta jelentős részét elveszítjük cserébe a statisztika egyszerű M r [mag] z

8 Az együtt mozgó távolságok és a térfogat Mért koordináták: α, δ, z ezeket át kell számolni 3D koordinátákra z R = D C (z) kell De az Univerzum tágul nagy z tartományokat nézünk régen a galaxisok közelebb voltak egymáshoz (méterben!) ezért használjuk a D C együtt mozgó távolságot kitranszformáljuk a skálaparaméter Szerencsére az Univerzum majdnem pontosan sík a transzverzális távolságok megegyeznek a látóirányúval D M = D C V = D 3 C

9 A térbeli eloszlás jellemzése Elsődleges cél: minket elsősorban nem a galaxiseloszlás térképe érdekel arra vagyunk kíváncsiak, hogy hogyan alakult ki ez az eloszlás A galaxisok eloszlását össze akarjuk hasonĺıtani sötétanyag-szimulációkkal a kozmikus háttérsugárzás mintázatával Ehhez statisztikai leírás kell próbálkozzunk a statfizből ismert korrelációs függvénnyel ρ( r) ξ(r)

10 A párkorrelációs függvény r dv 2 dv 1 Mi annak a valószínűsége, hogy két r távolságban levő, véletlenül elhelyezett dv 1 és dv 2 térfogatú tércella mindegyikében találtunk galaxist?

11 A párkorrelációs függvény definíciója Az előbb definiált valószínűség: δp = n 2 [1 + ξ(r)] dv 1 dv 2 n a galaxisok átlagos számsűrűsége Mpc 3 ξ(r) az ún. párkorrelációs függvény, dimenziótlan A párkorrelációs függvény és a sűrűség korrelációja ρ(r) folytonos sűrűségeloszlás gond: a galaxiseloszlásból ezt nem tudjuk megmondani! most feltesszük, hogy igen

12 Összefüggés a folytonos sűrűségeloszlással Statisztikus fizikában valamilyen térmennyiség autokorrelációja: ρ(x)ρ(x + r) = 1 ρ(x)ρ(x + r) dx V V valami jól meghatározott térfogatra integrálunk az a térfogat, amiben megfigyeltük a galaxisokat ρ(x) folytonos, a galaxisok eloszlása nem az Ha feltesszük, hogy a galaxisok azonos M G tömegűek, akkor ρ(x) = i M G δ xi a galaxisok tömege természetesen nem azonos kellően nagy mintára ez akár ki is átlagolódhat

13 A sűrűség autokorrelációja és a párkorrelációs függvény Az előbbi definíció alapján az irányfüggő párkorrelációs függvény: ξ(r) = ρ(x)ρ(x + r) ρ(x) 2 1 Fel kell még összegezni az összes irányra, majd normálni: ξ(r) = 1 4πr 2 ξ(r) dr S(r)

14 A sűrűségfluktuáció Fourier-transzformáltja A sűrűségfluktuációt az átlagos sűrűségtől való eltéréssel definiáljuk: δ(x) = ρ(x) ρ ρ ξ(r) = δ(x)δ(x + r) A sűrűségfluktuációt kifejthetjük síkhullámok szerint δ(x) = δ(k)e ikx dk Ekkor δ(k) a hullámszám függvényében adott: δ(k) = 1 δ(x)e ikx dx V

15 A korrelációs függvény Fourier-transzformáltja Írjuk fel a korrelációs függvényt a Fourier-transzformáltakból: δ(x)δ(x + r) = 1 δ(k)δ(k ) e ikx e ik (x+r) dk dk dx V Kihasználva, hogy δ(k) = δ( k), és a bázisfüggvények ortogonálisak ξ(r) = δ(x)δ(x + r) = δ(k) 2 e ikr dr Ez definiálja a teljesítményspektrumot 1 : P(k) = δ(k) 2 Vagyis a párkorrelációs függvény a teljesítményspektrum inverz-fourier-transzformáltja 2. 1 más néven spektrális sűrűség, angolul power spectrum 2 Wiener Kkinchin-tétel

16 A teljesítményspektrum meghatározása Először ξ(r) meghatározása megfigyelésekből térfogat-limitált mintát készítünk minden galaxis távolságát megmérjük minden másiktól hisztogramot készítünk (általában csak 1D) ξ(r)-t Fourier-transzformálva kapjuk P(k)-t ez numerikusan diszkrét Fourier-transzformációt jelent általában FFT ezért érdemes a hisztogram felbontását kettő hatványának venni

17 A teljesítményspektrum és a párkorrelációs függvény Egymás Fourier-transzformáltjai. Mi a különbség? Párkorrelációs függvény jobbára csak galaxisokra határozható meg Teljesítményspektrum az elméleti számolások hullámszám-térben mennek ezekből a teljesítményspektrumot kapjuk a kozmikus háttérsugárzásnak is csak a spektrumát tudjuk mérni, ebből számolhatjuk vissza a korrelációs függvényt

18 A távolsághisztogram meghatározása A távolsághisztogram binjeit normálni kell minden galaxist minden másikkal össze kell párosítani naivan összegezve a hisztogram ξ(r) r 2 módon skálázna Pontosan kell ismerni a megfigyelt térfogat határait vöröseltolódás limitek megfigyelt terület az égen a széleken levő galaxisoknál figyelni kell az r sugarú gömb nincsen benne teljesen a megfigyelt térfogatban a szélek erős torzítást okoznak

19 Egy ötlet a különböző torzítások kiküszöbölésére A cél a hisztogram binjeinek megfelelő normálása tekintsük a megfigyelt mintát generáljunk egy teljesen random mintát azonos n-nel, ugyanabban a térfogatban Határozzuk meg a két mintában az r távolságokra levő galaxisok számát DD: a távolságokat a megfigyelt adatokban mérjük RR: a távolságokat a random mintában mérjük Ezzel becsülhető a korrelációs függvény: 1 + ξ(r) = DD RR

20 Landy Szalay-féle becslés Hisztogram meghatározásánál egy fő kérdés: mekkora az egyes binekben a hiba? ideális esetben Poisson-eloszlás Stephen Landy és Szalay Sándor (1993) az 1 + ξ(r) = DD RR becslés hibája túl nagy helyette mást javasoltak 1 + ξ(r) = DD 2DR + RR RR itt DR a mért és a random minta közötti korreláció ennek a varianciája effektíve a Poisson-hiba

21 Mérési eredmények: a teljesítményspektrum

22 A párkorrelációs függvény szakaszai

23 Az SDSS mérési eredményei: párkorrelációs függvény

24 A párkorrelációs függvény modellezése Kis távolságokra (< 8 Mpc) a galaxisok párkorrelációs függvénye: ξ(r) r γ γ 1,75 Függ a galaxisok típusától is elliptikus galaxisok erősebben klasztereződnek avagy: az erősebben klasztereződött galaxisok inkább elliptikusak γ ell = 1,86 γ sp = 1,41

25 A Limber-egyenlőség Régen nem állt rendelkezésre elegendő vöröseltolódás mérése csak a projektált eloszlást látjuk szögkorrelációkat néztek: w = w(θ) kis vöröseltolódásokig D M θ Ki lehet-e találni a 3D γ exponenst a 2D eloszlásból? egymáshoz közel levő galaxisokra igen: Limber (1954) w(θ) θ 1 γ ξ(r) r γ

26 Az SDSS eredményei: párkorrelációs függvény

27 Barionikus akusztikus oszcillációk A párkorrelációs függvényen 100 h 1 Mpc-nél csúcs az SDSS vörös óriásgalaxisaiból sikerült kimutatni a vártál élesebb a csúcs A korai Univerzum hanghullámainak lenyomata az ősi plazmában legerősebb harmonikus a kozmikus mikrohullámú háttérsugárzásban is látjuk hullámhossza megfelel az akkori akusztikus horizont méretének

28 A Kaiser-effektus A galaxisok a Hubble-áramláshoz képest mozognak pekuliáris sebesség csak a látóirányba eső sebességet tudjuk mérni de ezt is csak a vöröseltolódással együtt Galaxishalmazokban jelentős sebességdiszperzió belül random mozgás kívül befelé zuhanás Nagy skálákon áramlás a filamentumok irányába filamentumok mentén a szuperklaszterekbe

29 A Doppler-eltolódás torzító hatásai valós térben áramlás ρ(x) áramlás vöröseltolódás-térben ρ(z)

30 Redshift-space distortion Bontsuk fel a párkorrelációs függvényt két irányra: π: galaxisok közti távolság látóirányban (z-ből) σ: galaxisok közti transzverzális távolság (szögekből + z-ből) ezzel a párkorrelációs függvény ξ = ξ(π, σ)

31 A redshift-space distortion korrigálása Redshift-space korrelációs függvény: ξ = ξ(s) valójában ez az, amit eddig néztünk Megkülönböztetjük a valódi térben vett r távolságtól mivel a Doppler-eltolódás torzítja a távolságmérést de Doppler csak látóirányban van transzverzálisan a valódi távolságokat mérjük Projektált korrelációs függvény: w p = w p (r p ) r p a két galaxis transzverzális távolsága ez redshift függő, nem simán a szögből jön

32 A galaxisok okozta torzítás A galaxisok eloszlása nem azonos az anyagsűrűséggel a sötét anyag folytonosan tölti ki a teret a galaxisok a potenciálgödrökben ez erős torzítást okoz a statisztikában Kérdések a galaxis mindig a potenciálgödör közepén van? hogyan függ a galaxis tömege a gödör mélységétől? A kozmológiai szimulációs csak a sötét anyagot szimulálják bele kell tenni a galaxisokat galaxiskeletkezési modellek tesztelése

33 Magasabb rendű korrelációs függvények A kétpont-korreláció nem mond sokat a topológiáról elsősorban csak a klasztereződésre érzékeny pl. az üregek méreteloszlásáról nem mond semmit Kettőnél több pont korrelációját is lehet definiálni Három pont esetén még egyszerű háromszögek paraméterek: a három oldal vagy két oldal és egy szög jól jellemezheti a mintázatban levő körök eloszlását