V. Differenciálegyenletek

Átírás

1 V. Differenciálegyenletek A differenciálegyenletek megoldásának ismerete az élet nagyon sok területén, beleértve a fizikát, a kvantumkémiát, a fizikai kémiát és a kémiai reakciókinetikát is elsőrendű fontosságú. Nagyon sok törvény differenciálegyenletek megoldását igényli, vagy azon alapul. A fizikában például minden, a mozgásegyenletben fellépő erő differenciálegyenletre vezet és ennek megoldását igényli. A kvantummechanika alapegyenletei, az időtől függő, illetve az időtől független Schrödinger-egyenlet is differenciálegyenlet. Mi egyelőre alapvetően a fizikai kémián belül is a reakciókinetikára koncentrálunk a feladatválasztásoknál. Előfordulnak a másodrendűnél magasabb rendű differenciálegyenletek is (pl. 0 ), de ritkán, így elsősorban az első- és másodrendű differenciálegyenletekkel és azok megoldási lehetőségeivel kell megismerkednünk. Fogalmak A differenciálegyenlet (DE) olyan függvényegyenlet, amely az ismeretlen (meghatározandó) függvény deriváltjait is tartalmazza a független változó egyazon értékénél (kivételt képeznek a késleltetett differenciálegyenletek, pl. a szaporodási egyenletek). Differenciálegyenletek különböző osztályozási szempontjai: (a) közönséges parciális (egy több független változó) (b) állandó ill. függvény együtthatós (ha a függvényt és deriváltjait tartalmazó tagok együtthatói állandók, akkor a DE állandó együtthatós) (c) rend szerinti (egyenletben szereplő legmagasabb derivált rendűsége) (d) lineáris ill. nemlineáris (y és deriváltjai hatványai szerint, lineáris esetben az ismeretlen függvény és annak deriváltjai legfeljebb első hatványon fordulnak elő és szorzatuk nem szerepel) (e) homogén inhomogén (állandó vagy a független változó szerinti tagot tartalmaz-e) ( n) Az y, y, y,..., y kifejezéseket gyakran alkalmazzuk az y függvény független változója szerinti, első, második, harmadik,, n-edik derivált (differenciálhányados) jelölésére. A zárójel alkalmazása szükséges, hogy a deriváltat a hatványtól megkülönböztethessük. Amennyiben a független változó az idő (általában t), úgy többnyire y, y, y jelöli 3 3 a dy dt, d y dt, illetve d y dt deriváltakat. Amennyiben a differenciálegyenlet egyetlen változótól függ, közönséges differenciálegyenletről (ODE, ordinary differential equation) beszélünk. Gyakoribb eset, hogy a differenciálegyenletek két vagy több változótól függenek és az ezek szerinti parciális deriváltakat is tartalmazzák, ekkor parciális differenciálegyenletről (PDE, partial differential equation) beszélünk. Az n-edrendű, állandó együtthatós, lineáris DE általános alakja ( n) ( n) f an f a f... a0 f b, ahol f a keresett (ismeretlen) függvény és a DE (n) rendjét az egyenletben szereplő legmagasabb derivált ( f ) határozza meg. 6

2 n n d y d y A lineáris homogén DE-kre (a lineáris f(... f ( y g( n n n ODE-k dx dx esetében a g( = 0 választás mellett beszélünk homogén DE-ről; ahogy látható, minden derivált illetve a függvény maga is csupán első rendben szerepel az egyenletben) fennáll a szuperpozíció elve: az egyedi megoldások tetszőleges lineárkombinációja is megoldás. Nemlineáris DE-kre (pl. y y x ) a szuperpozíció elve nem áll fenn. 6

3 VI. Közönséges differenciálegyenletek Nevezetesebb közönséges differenciálegyenlet (ODE) típusok: dy n (a) Bernoulli-egyenlet: P( y y Q(, n 0 vagy, nemlineáris ODE dx dy (b) Riccati-egyenlet: p( y q( y r( dx Az ODE-k főbb megoldási technikái: (a) Egyszerű integrálás: legegyszerűbb eset, észre kell venni, hogy a függő és független változót tartalmazó tagok egymástól azonnal elkülöníthetők. (b) Változók szeparálása: amennyiben a kiválasztott differenciálegyenlet f ( g( dx f( g( dy 0 alakú, úgy osszunk g( f( -szel és integráljunk, f ( g( az eredményt dx dy C adja. f ( g ( (c) Egzakt differenciállá átalakítás: amennyiben az ODE M ( x, dx N ( x, dy 0 M N alakú, ahol fennáll, hogy, úgy alakítsuk át az egyenletet az alábbi alaknak y x megfelelően: Mdx Ndy du ( x, 0, azaz U ( x, C. (d) Integrálási tényező alkalmazása: amennyiben a differenciálegyenlet alakja M N M ( x, dx N ( x, dy 0, ellenben, úgy az egyenletet át lehet írni egzakt y x differenciállá a integrálási tényezővel, Mdx Ndy 0, és itt már ( M ) ( N ) fennáll, azaz az előző mgoldási technika alkalmazható. y x érdemes az egyenletet a dy (e) Inhomogén lineáris differenciálegyenletek, P( y Q( : általában igaz, hogy dx exp P ( dx integrálási tényezővel megszorozni a megoldás elősegítése érdekében, hiszen ekkor az egyenlet y Q így a megoldás y Qdx C alakú. d dx alakba írható és 63

4 Vannak speciális alakú ODE-k, melyek főbb megoldási technikáit a következőkben foglalhatjuk össze: (a) Amennyiben az elsőrendű, lineáris, állandó együtthatós, inhomogén y py q 0 ODE esetében a homogén (q( = 0) ODE megoldását már ismerjük (ez integrálási tényező segítségével oldható meg), úgy az inhomogén egyenletet az u y q / p helyettesítéssel homogénre vezetjük vissza. (b) Az y py q 0 másodrendű ODE megoldása során célszerű az u( : y( helyettesítés alkalmazásával azt visszavezetni egy elsőrendű DE megoldására. (c) Amennyiben y ( az inhomogén y py qy f ( differenciálegyenlet egy tetszőleges megoldása, akkor az összes megoldás y y C y C y alakú, ahol C y C az y py qy 0 homogén ODE általános megoldása. y Az integrálási tényező megtalálásánál hasznosak lehetnek az alábbi összefüggések: xdy ydx y d x x xdy ydx y d y x xdy ydx y d tan x y x xdy ydx x y dln x y x y xdy ydx dln x y x y 64

5 Mintafeladatok Oldjuk meg az x differenciálegyenletet. Az y( x cx c függvény megoldása a fenti másodrendű közönséges differenciálegyenletnek, mint arról behelyettesítéssel könnyen megbizonyosodhatunk. Jellemezzük az f ( differenciálegyenletet, majd keressük meg azon x megoldásait, melyekre f ( 0). A felírt közönséges differenciálegyenlet (ODE) ( f ( xf ( 0 ) elsőrendű, inhomogén, függvény együtthatós. A megoldást egyszerű integrálással df kereshetjük: df dx f ln x C az általános megoldás. dx x x A megadott feltételből következik, hogy f ( 0) ln C C, azaz C =. A partikuláris megoldás ekkor f ( ln x. Jellemezzük és oldjuk meg a f ( f ( sin x differenciálegyenletet. x Közönséges, lineáris, elsőrendű, függvény együtthatós, inhomogén differenciálegyenlet. A DE megoldásához vegyük észre, hogy az átírható az xf ( f ( x sin x alakba, ahol a bal oldal nyilvánvalóan ( xf ) alakú. Ekkor xf ( x sin xdx, melyet parciális integrálás segítségével számíthatunk: C sin x xf ( x sin xdx x cos x sin x C, azaz f ( cos x. x dy cos y Oldjuk meg a változók szeparálásával a differenciálegyenletet. dx x dy f ( x, Általában a ODE nem lineáris, de lehet szeparábilis, ami nagy dx g( x, dx előny. Jelen esetben sec ydy C, melyből C = ln A mellett tan y ln x ln A x y arctan ln( A., azaz Oldjuk meg a 3 x / differenciálegyenletet. y xy x e Az integrálási tényező ezen inhomogén DE megoldásánál exp x / azaz 3 e x x 3 x 3, 3 e y xe y x. A bal oldal most már teljes differenciállá alakítható, x 4 3 y x x. Ennek alapján az ODE általános megoldása y( e C. 4 65

6 Egy csónak v0 kezdeti sebességgel halad. Mozgásegyenlete, ahol m a csónak tömege, k a súrlódási tényező, v a sebesség és t az idő. Írjuk fel a v(t) függvényt! ln 0 vagyis. Így. Egy áramkörben sorba kapcsolunk egy L önindukciójú tekercset és egy R ellenállást. Ekkor, ha E egyenfeszültséget kapcsolunk be és I az áram,. Mi az I(t) függvény alakja, ha kezdetben nem volt áram? a differenciál egyenlet inhomogén, így a megoldásnak két része van. a. homogén megoldás 0 ln b. inhomogén megoldás, ekkor c=c(t). Visszahelyettesítjük az eredeti egyenletbe az I-re és I -re kapott kifejezést: = 66

7 Ezt visszaírjuk az I-re kapott kifejezésbe: Kezdeti érték: 0 0 0, vagyis. Egy halállomány m(t) időbeli változása / ; ahol,. Mi az m(t) függvény alakja, ha m(0)=0? / / 3 / 3 / Átrendezve: Kezdeti érték: Ez alapján a keresett függvény: Magasról elejtünk egy golyót v0 kezdősebességgel. Mozgásegyenlete, ahol g a közegellenállási tényező, m a tömeg és g a gravitációs állandó. Mi a v(t) és az s(t) függvény alakja, ha s(0) = 0? lineáris differenciálegyenlet 67

8 a) homogén megoldás 0 b) inhomogén megoldás c = c(t) Visszahelyettesítve az eredeti egyenletbe: Kezdő érték 0 s(t) alakjának meghatározása: Kezdeti érték: 0 0 A keresett s(t) függvény alakja:

9 Newton II. törvénye szerint. Mi az s(t) függvény alakja, ha?. Egy gitárhúr rezgését a " 5 0 differenciálegyenlet írja le. Mi az y(t) függvény alakja? és " , így , Egy részecske x irányú mozgását a 36 differenciálegyenlet írja le. Mi az u( függvény alakja? ln63 3 ln

10 Egy gáz x irányú diffúzióját a differenciálegyenlet írja le, ahol p a gáz parciális nyomása. Mi a p( függvény alakja? A keresett jobb oldali integrál a parciális integrálás szabályai szerint határozható meg az és választás mellett: Az ; típusú egymás utáni revezibilis reakciókra az A komponens koncentrációjának időbeli változását a " kinetikus egyenlet adja meg. Mi a koncentráció időfüggése? " és " , így 860,

11 Egy gyorsan szaporodó baktérium számának (N) időbeli változására két modellt alkottak a kutatók. Ez első szerint a baktériumok számának napban mért változását a 3 egyenlet írja le, míg a második szerint Melyik modell a helyes, ha az első napon 00 baktériumot számoltak, míg 30 nap múlva több mint milliót? a. homogén megoldások I. 0 II b. inhomogén megoldások I. ln ln 3 0 ln 3 0 Visszahelyettesítve az eredeti egyenletbe:

12 Ezek alapján: II. 3 0 Visszahelyettesítve az eredeti egyenletbe: Most megnézzük, hogy a mérési eredményeket melyik modell adja vissza reális integrálási konstans mellett. t = 30 nap, 0 db baktérium. I. II A számítások szerint a második modell jobb leírást ad. Az egyetem segítségét kérte Superman, aki szeretné megmenteni volt középiskolás évfolyamtársát. A mára gonosszá vált Canduit gyerekkorában egy szörnyűséges kryptonit mérgezésnek lett kitéve, melynek hatására mutálódott. Megmentése érdekében kísérleteket végeztünk a vérében található mutáns sejtekkel. Úgy találtuk, hogy a megfelelő szérum hozzáadása során a mutálódott sejtek egészségessé változnak az 6 dc 3 alábbi kinetika szerint: kc, ahol k = 7 (dm) 0,5 0. Sajnos a szérum rendkívül drága, így csak akkor adjuk be Canduit-nak, ha még élete során biztosan meggyó- dt mol s gyul tőle. Feladatunk tehát annak megállapítása, hogy nagyjából mennyi idő múlva gyógyul meg Canduit a szérumtól (azaz mikor csökken a vérében lévő mutáns sejtek 7

13 alá), ha vérében jelenleg a mutálódott sejtek koncent- 4 koncentrációja c = 0 moldm 3 rációja c0 = moldm év. 73

14 Gyakorló feladatok Jellemezze és oldja meg az f x f f 0 differenciálegyenletet. Oldja meg az y sin x differenciálegyenletet! Adja meg az általános megoldását a következő közönséges differenciálegyenletnek: 4x xy dx y x y dy. 0 3 Mutassa meg, hogy 3 y cos xdx sin x 4y dy 0 x egy egzakt differenciálegyenlet. Adja meg az ODE általános megoldását. dy y Oldja meg változó szeparálás segítségével a ODE-t. dx x y x Oldja meg integrálási faktor bevezetésével az y a y e ODE-t. Oldja meg integrálási faktor bevezetésével a 3 ydx x y xdy 0 xy ODE-t. Oldja meg a következő differenciálegyenletet: r cos dr tg d 0. Mutassa meg, hogy a ydx xdy 0 differenciálegyenlet egzakttá tehető mind a ( y, mind a ( x, ( x integrálási tényezővel. A szimpatikusabb választás segítségével oldja meg az ODE-t. Sorolja be a tanult szempontok alapján az alábbi differenciálegyenleteket, majd oldja meg a (c) feladatot: 4 du t ( xt, ) ( xt, ) ( a) sin u e, ( b) c 0, cr 4 dt x t () c y x y 0, ( d) y x3y 0. Amint azt jól ismerjük, az x koordináta mentén vertikálisan, a gravitáció ellenében fellőtt m tömegű golyó mozgását leíró egyenlet alakja m x mg. Milyen egyenlet vonatkozik x(t)-re, amennyiben x(0) = x0 és v(0) = v0? dy Egy kémiai reakció sebességét a k( a ( b egyenlet jellemzi. Oldja meg ezt dt az ODE-t. Egy víztisztító-berendezés működése során a szennyezőanyag y(t) mennyiségét az y ( t) ky( t) M differenciálegyenlet írja le, ahol k és M > 0 állandók, míg t az eltelt idő. (a) Adja meg ODE általános megoldását (y(t) > M minden t esetén). (b) Egy adott anyag esetén k = 0,05 és M = 0,08, valamint a szennyezőanyag kezdeti mennyisége y(0) =,8 m 3 és az időt percben mérjük. Mennyi szennyezőanyag lesz 40 perc múlva? 74

15 Egy tekercs-kondenzátor rezgőkörében az I(t) áramerősséget a t idő függvényében az LI ( t) RI( t) I( t) f ( t) differenciálegyenlet írja le. Legyen L =, R = 5 és C = C 0,5. Adja meg (a) f(t) 0 esetén az I(0) = 0, I (0) = kezdeti feltételeket teljesítő 4t megoldást, és (b) f ( t) e esetén az általános megoldást. A Newton-féle hűtési törvény kimondja, hogy egy test hőmérsékletének változási sebessége arányos a test és alacsonyabb hőmérsékletű környezete hőmérséklet különbségével. Ha megfigyeljük, hogy egy test 0 perc alatt hűl le 80C-ról 60C-ra 0C-os környezeti hőmérséklet mellett, állapítsa meg a test hőmérsékletét 40 perc múlva. A folyadékcsepp a felszínével arányos sebességgel párolog el. Határozza meg a gömb alakú folyadékcsepp sugarát az idő függvényében. A rádium bomlási sebessége minden időpillanatban egyenesen arányos a jelen lévő tömegével. Határozza meg, hogy az m0 kezdeti tömegű rádium hány százaléka bomlik el 00 év alatt, ha tudjuk, hogy a rádium felezési ideje (az az idő, ami alatt a rádium fele elbomlik) 590 év. A rádium bomlásának sebessége arányos a pillanatnyilag jelen levő minta mennyiségével. Ha a rádium felezési ideje t / év, adja meg, hogy mekkora mennyiség lesz jelen a mintában t év múlva. 5 dkg cukrot szórunk nagy mennyiségű vízbe. Amennyiben az oldódás sebességét arányosnak tekintjük a még fel nem oldódott cukor mennyiségével, úgy mennyi lesz a fel nem oldott cukor mennyisége t másodperc múlva? Írja fel a szabadon eső m tömegű test mozgásegyenletét és jellemezze, majd oldja meg az így kapott differenciálegyenletet. Egy élesztőgomba-tenyészetben az aktív fermentum mennyisége a pillanatnyi mennyiséggel arányosan növekszik. Ha 40 perc alatt ez a mennyiség megkétszereződik, hányszorosa lesz a fermentum mennyisége a jelenleginek 3 óra múlva? Egy 00 literes teli víztartályban 4 gramm klórmész van oldott állapotban. A tartályba 5 l/perc sebességgel tiszta víz folyik be és az oldat ugyanilyen sebességgel folyik ki a túlfolyón. Mennyi lesz a víz klórmésztartalma fél óra múlva, amennyiben a klórmész egyenletes eloszlását állandó keveréssel biztosítjuk? Egy kémiai reakció melléktermékét szeretnénk a lehető leggyorsabban elbontani (a koncentrációját 0 5 mol dm 3 alá csökkenteni). Erre két lehetőségünk is van. Az első dc reakció esetében nulladrendű a kinetika ( k, k = mol dm 3 s ), a második dt dc esetben pedig másodrendű ( k c, k = mol dm 3. s ). Melyik reakciót dt válasszuk, ha kezdetben c0 = mol dm 3 a melléktermék koncentrációja? 75

16 Egy kémiai reaktorba két reaktánst adagolunk, koncentrációjukat jelölje x és y. Mi csak y értékét tudjuk befolyásolni, x nagyságát egy korábbi vegyipari folyamat határozza meg. A végtermék koncentrációja x kis dx változására e x y xy dx módon, míg y kis dy változására e x y x dy módon változik. Keresse meg, hogy milyen összefüggés szerint állítsuk be y-t x változása során, hogy a kijövő végtermék koncentrációja állandó maradjon. Egy kétállapotú, E és E energiaszintekkel rendelkező kvantumrendszer esetén a stimulált abszorpció sebessége ahol az ún. sebességi együttható (abszorpciós Einstein-koefficiens B), N az -es állapot populációja, pedig az energiasűrűség eloszlási függvénye, azaz hogy mennyi adott frekvenciájú sugárzás éri a rendszert. A -es állapotból -be történő visszatérés (stimulált emisszió) sebessége. A spontán emisszió sebessége. Egyensúlyt feltételezve a változási sebességek összege nulla kell legyen. Mutassa meg, hogy a Planck-féle sugárzási formula, érvényessége, esetén egyensúlyban fenn kell állnia, hogy, valamint. 76

17 VI. Parciális differenciálegyenletek Amint azt Lagrange megmutatta, a két független változót tartalmazó elsőrendű u u parciális, kvázilineáris differenciálegyenlet (mely felírható a P Q R, illetve a x y Pp Qq R alakokban, ahol P, Q és R az x és y független és az u függő változó dx dy du függvényei) megoldása visszavezethető a közönséges differenciálegyenletrendszer (DER) megoldására. A DER megoldása általában úgy történik, hogy a három P Q R felírható egyenletből alkalmas rendezéssel két integrálható változatot keresünk. A másodrendű PDE-k három fő osztályát különítjük el: (a) elliptikus PDE, melyben vagy a vagy a c / t operátorok vannak jelen; (b) parabolikus PDE, melyben megjelenik az a / t operátor; és (c) hiperbolikus PDE, mely tartalmazza a c / t operátort. Ezek a kanonikus operátorok (az egyszerűség kedvéért két dimenzióban tárgyalva) az alábbi lineáris operátor kapcsán jönnek létre, L a b c d e f, s mely a kanonikus alakokra redukálódik x xy y x y amennyiben a D ac b diszkrimináns a >0, 0, <0 értékeket veszi fel. A hiperbolikus eset egyik iskolapéldája a hullámegyenlet, mely az egyszerűség kedvéért + dimenzióban felírva 0 alakú. c t x Nevezetesebb parciális differenciálegyenlet (PDE) típusok: (a) Laplace-egyenlet: ( x ) 0, mely fellép például az elektromágneses jelenségek, a hidrodinamika, a hőáramlás, vagy a gravitációs jelenségek tárgyalása kapcsán (b) Poisson-egyenlet (elektrosztatika): / 0, ahol skalárpotenciál, a töltéssűrűség; a homogén Laplace-egyenlettel ellentétben a DE inhomogén és a / 0 forrástagot tartalmazza (c) Helmholtz (hullám) egyenlet és az időfüggetlen diffúziós egyenlet: k 0, ezek az egyenletek például a hullámmozgásoknál, az akusztikában, az elektromágneses hullámoknál, valamint a magkémiában (atomerőművek) fordulnak elő (d) időfüggő diffúziós egyenlet: a t Megoldási típusok: általános partikuláris szinguláris. A másodrendű PDE-k (melyekben a több változótól függő megoldásfüggvény legfeljebb második parciális deriváltjai szerepelnek), mint a fenti példák is mutatják, megkülönböztetett fontosságúak a fizikában és a fizikai kémiában. 77

18 Mintafeladatok f f Oldjuk meg a 0 másodrendű parciális differenciálegyenletet. x y Ismerjük, hogy az y ( ky( másodrendű ODE általános megoldása k x k x C e kt Ce, míg az y ( t) ky( t) elsőrendű ODE általános megoldása C e. Keressük most a megadott PDE analitikus megoldását a változók szeparálásának segítségével, azaz legyen a keresett megoldásfüggvény f ( x, ( ( alakú. A PDE ( ( új alakja 0, azaz. Minthogy a bal oldal csak x-től és a jobb ( ( oldal csak y-tól függ, így a legáltalánosabb eset az, hogy a két oldal egy azonos C skalárral Cx lesz egyenlő. Ekkor két ODE-t kapunk, ezek megoldásai alapján ( e és C y ( e, tehát a megoldásfüggvényt ezek szorzatai adják. A konkrét megoldás függ C értékétől, amennyiben C = 0, csak triviális megoldást kapunk, míg C < 0 esetében x-ben periodikus megoldásokat kapunk. Gyakorló feladatok u( x, Jellemezze és oldja meg a x 3y parciális differenciálegyenletet. x u Keressük meg azokat az u ( x, függvényeket, melyek eleget tesznek a x parciális differenciálegyenletnek. Javasolt irodalom Scharnitzky Viktor: Differenciálegyenletek, Műszaki Könyvkiadó,