JÁRMŰDINAMIKA... 5 ELŐSZÓ...

Átírás

1 I JÁRMŰDINAMIKA Taralomjegyzék I JÁRMŰDINAMIKA 5 ELŐSZÓ 6 Bevezeé 7 Járművek mozgáformái 7 A járműdinamika vizgálai erüleei 8 3 A járműdinamika módzerei 9 4 Rendzerzemléle 0 5 A főmozgá dinamikája 3 A járműre haó eredő erő 6 Az eredő erő özeevői 6 Az alapellenállá-erő 7 3 A vonóerő 8 4 A fékezőerő 0 5 Haladá vízzine-egyene mozgápályán 6 Járuléko meneellenállá erők 7 Egy érbeli járműmozgá pályájának megadáa 5 7 A hoz-zelvény azaz az emelkedéi vizonyok) numeriku megadáa: 5 8 A mozgáegyenle megoldáa 8 8 Szakazonkén zár alakú megoldá 8 3 Kereke járművek vonóerő-kifejée é fékezée 34 3 A kerék é a ámazófelüle kapcolaa 34 3 Álló jármű eee a kerék nem mozog 34 3 A gördülőkapcola dinamikája A gördüléi ellenálláerő energeikai háere 43 3 A fékezé dinamikája 44 3 A ukó fék vizgálaa 45 3 A dobfék vizgálaa A árcá fék vizgálaa Termoelaziku jelenégek fékekben 50 4 Járműfüzérek dinamikája 54 4 A járműfüzér érelmezée 54 4 Az elemi járműfüzér vizgálaa 56 4 Az elemi járműfüzér felépíée 56 4 A mozgáegyenleek felíráa: Állapovekor bevezeée a mozgáegyenle-rendzer megoldáához 6 5 Járművek parazia mozgáai, gerjeze lengéek 63 5 A parazia mozgáok 63 5 Járműdinamikai mozgáegyenleek generáláa 64 5 A mozgáegyenleek zineiku zármazaáa 64 5 A mozgáegyenleek analiiku zármazaáa Lineári időinvarián járműdinamikai rendzer Sajáérék felada, a homogén rendzerre vonakozó KÉP Rendzerjellemző függvények Gerjeze lengéek 8 56 Vizgála az időarományban 8 56 Vizgála a frekvenciaarományban 84 6 Ábrajegyzék 93 Irodalomjegyzék 96 II HAJTÁSTECHNIKA 97 Zobory Iván, BME wwwankonyvarhu

2 ELŐSZÓ Az Járműdinamika é hajáechnika c árgy hei három óra előadáal é hei egy óra anermi gyakorlai foglalkozáal zerepel a BME Közlekedémérnöki é Járműmérnöki Karának a közlekedémérnöki BSc zak képzéére 006/007-ben bevezee anervében A 00/0-ben bevezee a járműmérnöki BSc zak anervébe a árgy válozalan időkereel épül be é a közlekedémérnöki BSc zak ezzel egyidejű anervi korrekciója orán a járműdinamika anyagréz válozalan formában marad Így a járműdinamikai ananyag feldolgozáa hei egy óra előadáal é egy óra gyakorlai foglalkozáal örénik Karuk képzéében A járműdinamika ananyaga az Álaláno járműgépan, a Mechanika é a Maemaika c árgyakban anul imereeke alkalmazza járművek ajáo mozgávizonyainak é az azoka kialakíó erőhaáoknak a anulmányozáára A közlekedé megvalóíó járműveknek a közlekedéi pálya menén megvalóuló rendeleézerű mozgáá főmozgának nevezzük A árgy ananyagának egyik fono réze a főmozgá folyamaának a vezérel dinamikai rendzerkén azonoíhaó jármű válazfolyamaakén örénő anulmányozáa A járműve vezeő ember a vonóerő é a fékezőerő megfelelő üemezéű adagoláával bizoíja a erveze időrendnek megfelelő járműmozgá, a közlekedéi pálya emelkedéi- é görbülei vizonyaival özhangban A mozgá- é erőhaá-folyamaokkal párhuzamoan fono a hajárendzerrel megvalóío energia-bevezeéi ill a fékrendzerrel megvalóío energia-elvonái folyamaok alakuláának kvaniaív jellemzée i A ananyag máik nem kevébé fono célja a jármű un parazia mozgáainak anulmányozáa, mely parazia mozgáok a járműnek, min öbb zabadágfokú lengőrendzernek a vonó- é fékezőerő válozáokból, valamin a jármű mozgáa orán a környezeéből érkező gerjezőhaáok zél, pályaegyenelenég, légköri urbulencia, víz hullámzá b) mia fellépő gerjeze lengéeinek analízié jeleni A járműdinamikában a fő felada a járműve felépíő ömegek mozgáegyenleeinek felállíáa é megoldáa A mozgáegyenleeke min differenciálegyenle-rendzer különöen nemlineári kapcolai erők eeén numerikuan célzerű megoldani, é i előérbe kerülnek a zámíógépe alkalmazáok A dinamikai vizgálaok elő lépéekén kialakíandó lineári dinamikai modelleke a ananyagban rézleeen árgyaljuk, a mozgávizonyok megíéléére alkalma ajá-körfrekvenciák é abiliáaralékok meghaározáához A gerjezőhaáokra ado mozgáválaz elemzéé árgyaljuk mind az időarományban mind pedig a frekvencia arományban Alapveően fono eredmények kerülnek imereére a járműre haó periodiku, aperiodiku é zochaziku gerjezőhaáokra ado mozgáválazok jellemzéére A jelen jegyze azon előadáaim anyagának íráo feldolgozáá aralmazza, amelyeke a BME Közlekedémérnöki Karán a máodéve hallgaóknak aroam a 007/008 anév avazi félévől kezdődően Közöne illei kollégáima, Iványi Zolán é Cázár Lázló anáregéd uraka, hogy a jegyze ábráinak gondo zámíógépi zerkezéé elvégezék Budape, 0 február A zerző wwwankonyvarhu Zobory Iván, BME

3 Bevezeé Járművek mozgáformái A járművek rendeleé zerini működée orán a közlekedéi pálya menén erveze időrendű mozgá megy végbe A jármű mozgá jellege: haladó mozgá Ezen mozgá kialakíáához vonóerő- é fékezőerő-generáló gépeze zükége Tudjuk, hogy megado ebeég-lefolyáú meneciklu kell megvalóíani Ez alapveően a ebeég időbeli alakuláá megadó v v) meneábra muaja A befuo ua a válozó felő haárú inegrálkifejezékén ado ) v ) d 0 függvény zolgálaja, amin az az Álaláno járműgépan é a Járműrendzerek ill Járművek é Mobil Gépek c árgyakban már megimere a hallgaóág A járművek rendeleézerű üzemében az alábbi mozgáformáka különbözejük meg: Főmozgá: haladó mozgá a közlekedéi pálya menén Parazia mozgá: gerjeze lengőmozgá, melynek forráai lehenek: - vezeéi behaáok hajá- é fékvezérlé) - környezei haáok okoza gerjezéek úegyenelenég, ínegyenelenég, zél, légköri urbulencia, víz hullámzá, b) A főmozgá cikluának) jellemzéére diagramok, azaz a meneábrák zolgálnak Ezek egy ideáli illeve való meneciklu eeében jellegüke ekinve az alábbi módon alakulhanak: a) Ideáli b) Valóágo v ΣF 0 v ΣF A parazia mozgáformák a jármű 6 zabadágfokának megfelelően a ér három egymára merőlege irányába örénő ranzlaoriku ill az egye irányoka leíró koordináa rendzer engelyei körüli roaoriku mozgáokkén i zuperponálódnak a jármű főmozgáára A parazia mozgáok legöbbzör valamilyen gerjező haára ado válazkén alakulnak ki Ezen gerjező haáok egyik réze a járműbe épíe hajó gépeze illeve fékberendezé működeéével kapcolao járművezeői beavakozáok kövekezményei A gerjező haáok máik réze a jármű üzemi környezeéből eredő különböző kényzeríő erőhaáokból é mozgáokból zármazik Például az úfelüle vagy a ínfe 0 0 ábra Ideáli é valóágo menecikluok mozgá- é erőhaá időfüggvényei Zobory Iván, BME wwwankonyvarhu

4 8 JÁRMŰDINAMIKA ÉS HAJTÁSTECHNIKA lüleek, illeve a kifuópálya felüleének geomeriai egyenelenégei, vagy a zél, illeve a légköri urbulencia okoza erőhaáok, ovábbá hajók eeén még a víz hullámzáa okoza, legöbb eeben előre nem megadhaó, zochaziku behaáok jönnek zóba A járművek vonó- é fékezőerő kifejéének irányíáa vezérlő behaáok eredményekén valóul meg Ezér min imeree, a járműdinamikában a járműve vezeő zemély a kövekező ké vezérlé adagolja megfelelő üemben a vonó- é fékezőerő-zükégle bizoíáához: ) Hajávezérlé: u vekoro lehe) ) Fékvezérlé: u vekoro lehe) A vezeő álal alkalmazo mindké vezérlő haá az idő függvényében jelenkezik, ezér az u = u ) é u = u ) időfüggő vezérlőfüggvények-ről bezélünk A vonóerő kialakíáá, annak műzaki leheőégei a Hajáechnika c anyagréz fogja módzereen árgyalni Legyen pl a vonóerő generáló vezérel erőgép egy villamomoor, amely erőávieli rendzer pl fogakereke hajá) aralmaz Jelen bevezeő rézben cupán az ábra zerini egyzerű haávázlaal zemlélejük a vonóerő kialakíáának folyamaá Láhaó, hogy az időben jelenkező F v ) vonóerő az időfüggő u ) hajávezérlő-függvény é a jármű ebeégének v) időfüggvénye haározza meg Hajávezérlé: u ) Járműebeég: v) Villamomoor Erőávieli rendzer Vonóerő: F v ) ábra Villamo moorral hajo erőáviel vonóerő-generáláa A járműdinamikai vizonyok vizahanak a hajárendzer folyamaaira Erre jellemző példa a kereke járműveknél zemléleheő, ahol a jármű függőlege kerékerő-válozáai ezálal a kifejheő vonóerő nagyágának válozáai) vizagerjezik a rugalma, lengéképe hajárendzer Ezek alapján ehá elmondhajuk, hogy a jármű függőlege lengéei vizahanak a hajádinamikai folyamaokra A járműdinamika anulmányozáának elődlege célja azon feléelek vizgálaában, özehangoláában, fogalmazhaó meg, amelyek bizoíják, hogy a jármű a megfelelő vezérléek haáára a erveze főmozgáfolyama megvalóíáával eljuahaó legyen az ado emelkedéi é irányvizonyok melle é ado idő ala a kiindulái A ponból a célkén kiűzö B ponba Nem kevébé fono, hogy a különböző gerjező haáok kövekezében kialakuló ovábbi mozgá é erőhaáfolyamaok mennyiégi jellemzői dinamikai módzerekkel, előorban zimuláció echnikával zármazani leheen Ez mind a járművek zerkezei rézeinek funkcionáli é zilárdági méreezée, mind az üzemi vizonyok megíélée zemponjából alapveő jelenőégű A járműdinamika vizgálai erüleei A járműdinamika feniekben nagy vonalakban felfee alkalmazái erüleei az alábbiakban rézleeebben meghaározzuk Előzör i idézzük fel, hogy a görög eredeű dinamika zó alapjelenéében erőan jelen Mindazonálal, álalánoabb érelemben dinamikának nevezzük az időben válozó folyamaok válozái jellegzeeégei, akár pl a gazdaági fejlődé dinamikájáról bezélheünk, i a folyama időbeli válozáának jellege, növekedée vagy cökkenée, periódu aralma, pl cikluok jelenlée b jön zóba A járműmérnöki munkában a kövekező konkréabb kérdéköröke öleli fel a járműdinamika vizgálai erülee: wwwankonyvarhu Zobory Iván, BME

5 BEVEZETÉS 9 A járműmozgá befolyáoló erők ellenálláerő, vonó- é fékezőerő) meghaározáa a mozgáállapoól, a vezérléől való közvee időfüggéük, ill az időől való eelege direk függéük megadáával Különböző, jó közelíé adó dinamikai modellek kialakíáa a járművekben kialakuló jelenégek, folyamaok anulmányozáához 3 A dinamikai zimuláció eljáráok elvi alapjainak megimerée, az erőhaá é mozgáfolyamaok zámíógépe realizáláára 4 A járművekre haó gerjező haáok vizgálaa, maemaikai jellemzée a parazia mozgáok cökkenée érdekében 3 A járműdinamika módzerei A járműdinamikai vizgálaok lefolyaáában a kövekező három fő mozzana haárolhaó el: Mozgáegyenleek felállíáa az erőhaáok imereében Alapeeben, a ömeg haladó mozgáának vizgálaakor, a kineika alapéelének koordináánkéni alkalmazáával a koordináairányú erők eredőjé egyenlővé kell enni a ömeg é a koordináairányú gyorulá zorzaával A koordináairányú eredő erő özeevői azonban rendzerin mozgáállapo-függőek, ovábbá okzor vezérlé-függőek é direk időfüggé i muahanak Ebből a gondolameneből közvelenül adódik, hogy a mozgáegyenle valamely koordináairányú mozgájellemzőre felír közönége differenciálegyenle formájában jelenik meg Haonló a helyze, ha valamely koordináaengely körüli forgó mozgára irányul vizgálaunk Ezen uóbbi eeben a vizgál ere a ekine forgáengely körül forgaó eredő nyomaéko kell egyenlővé enni a forgó ömeg ekine forgáengelyre ve eheelenégi nyomaékának é a e zöggyoruláának zorzaával Az eredő nyomaék özeevői i mozgáállapo-függé, vezérléfüggé vagy direk időfüggé muahanak Így a forgó mozgá valamely jellemzőjére ezen eeben i közönége differenciálegyenle adódik Láni fogjuk a kéőbbiekben, hogy a haladó é forgómozgá a járműdinamikai feladaok nagy rézében caolába kerül, ezér a mozgáözeevők cak együ vizgálhaók, ami zimulán egyidejű) közönége differenciálegyenle-rendzer kezeléé ezi zükégeé Fellépnek olyan járműdinamikai feladaok i, amelyeknél a mozgá meghaározó erőhaáoknak nem cak a nagyága, de az iránya i függ az akuáli mozgáállapoól pl cúzóúrlódánál a úrlódái kölcönhaái erő mindig a cúzái ebeég irányába eik) A mozgáegyenleek megoldáa A mozgáegyenlekén meghaározo differenciálegyenleekre, ill differenciálegyenle-rendzerekre vonakozó kezdei érék problémák zár alakban örénő megoldáa az egyzerű a lineári problémák eeében, főképp azok homogén rézének megoldáakor jön zóba Még a lineári problémák eeén i az inhomogén gerjeze) rendzerek valamely kezdei feléel kielégíő parikulári megoldáának meghaározáa okzor komoly nehézégbe üközik Ez a nehézége azonban a korzerű zámíáechnika igénybevéelével már könnyen á lehe hidalni, ő a mozgáegyenleek elje megoldáá i numerikuan lehe elvégezni Napjainkban a mérnök feladaa alapveően a mozgáegyenleek helye megfogalmazáában jelölheő ki A vonakozó kezdei érék feladaok amelyek a keree mozgájellemzők meghaározáá űzik ki célul zámíógépe echnikával alkalma célzofverekkel könnyen megoldhaók 3 A megoldáfüggvények elemzée A mozgáegyenleek é a hozzájuk arozó kezdei feléelek figyelembe véelével kapo, egyérelműen meghaározo megoldáoka, melyek a járműdinamikában az eeek úlnyomó rézében időfüggvényekkén adódnak, bizonyo jellemzőik zerin ki kell érékelni A zóba ke- Zobory Iván, BME wwwankonyvarhu

6 0 JÁRMŰDINAMIKA ÉS HAJTÁSTECHNIKA rülő jellemzők zokáoan a kövekezők: a ekine vizgálai időinervallumban a vizgál időfüggvény maimáli é minimáli érékei, illeve a ekine inervallumra vonakozó inegrálálag éréke Fono ovábbi jellemzé ad a függvény frekvenciaaralma, mely információ Fourier ranzformáció elvégzéével adódik A mozgájellemző időfüggvényekből ok eeben a mozgáállapo-függő kapcolai é belő erők lefuáá vizgáljuk, illeve mechanikai fezülégfüggvényeke képezünk Az erőhaá é fezülégfüggvények kiérékelée maemaikai aizikai vizgála kereében örénik, legöbbzör a kifáradái élearam előrejelzééhez erheléi é fezülégkollekívák meghaározáa zükége 4 Rendzerzemléle A jármű min műzaki objekum, vielkedő rendzer A vielkedé az jeleni, hogy a járműre annak egye alrendzereire) pecifiku behaá működeve a dinamikai rendzer jól meghaározo pecifiku felépíéével meghaározo) válaz ad I a főmozgá-folyamara gondolva a hajá- é fékrendzerrel felzerel járműve, min özee dinamikai rendzer vizgálhajuk Például a hajárendzerrel vonóerő kifejve a járműre, az jól meghaározo módon mozgáegyenleének engedelmekedve) mozgába jön, gyorul Ha ado ebeéggel haladó járműre a fékberendezéel megfelelő nagyágú fékezőerő működeünk, akkor a jármű a kíván módon laulni fog Mivel a jármű dinamikai folyamaai öbb alrendzer együműködéével alakulnak ki, a elje járműve, min egyelen özee egyége vizgálva adódó eredő rendzerválaz az alrendzerekben kialakuló folyamaok kapcolódáával jön lére A árgyaláunk olyan ezközöke kíván, amelyek álalánoak é a járműve egézében vagy rézeiben képeek vielkedő rendzerkén ávieli rendzerkén) leképezni, modellezni Alapmodellek A legegyzerűbb vielkedő dinamikai rendzer az egy gerjező bemeneel é egy kimeneel rendzerválazal) bíró rendzer jellemzée az 3 ábra zerin blokkdiagrammal örénik A rendzer ávieli ulajdonágai az R rendzeroperáor jeleníi meg: ) bemene R y) válaz y ) R ) 3 ábra Egy bemeneű é egy kimeneű dinamikai modell A rendzer kimeneén megjelenő y) válazfüggvény a rendzerre működő ) bemenő függvénynek az R rendzeroperáor zerini képe Ez a jelené formalizálja az y)= R ) özefüggé: Az R rendzeroperáor ha az ) bemenő gerjező) függvényre é kialakul a rendzer y) válazfüggvénye Ily módon az R rendzeroperáorban özponoul a dinamikai rendzer belő özefüggéei álal meghaározo azon ranzformáló haá amely megvalóíja a bemene é a válaz kapcolaá Előnek a jármű főmozgá-folyamaával foglalkozunk Min már érineük az előző árgyaláunkban, a jármű főmozgáá ké alrendzer, a hajárendzer é a fékrendzer működée alakíja ki megfelelő vezérlőfüggvény lefuáok alkalmazáa melle A hajárendzer ké bemeneű é egy válazfüggvény kiadó alrendzerkén azonoíhajuk A ké bemenő jellemző a hajá u ) vezérlőfüggvénye é a jármű v) ebeégfüggvénye Ez a ké időfüggvény haáára hajárendzer belő özefüggéei zerin azuán kialakul a járműre haó F v ) vonóerő időfüggvény A hajárendzer haáávieli vizonyai az 4 ábrán felrajzol blokkdiagram wwwankonyvarhu Zobory Iván, BME

7 BEVEZETÉS jeleníi meg Hajávezérlé: u ) Járműebeég: v) H F v ) Vonóerő 4 ábra A hajárendzer blokkdiagramo megjeleníée A fékrendzer i ké bemeneű é egy válazfüggvény kiadó alrendzerkén azonoíhajuk A ké bemenő jellemző a fékezé u ) vezérlőfüggvénye é a jármű v) ebeégfüggvénye Ez a ké időfüggvény haáára fékberendezé belő özefüggéei zerin azuán kialakul a járműre haó F f ) fékezőerő időfüggvény A fékrendzer haáávieli vizonyai az 5 ábrán felrajzol blokkdiagram muaja Fékvezérlé: u ) Járműebeég: v) F F f ) Fékezőerő 5 ábra A fékrendzer blokkdiagramo megjeleníée Az alapellenállá-erő kialakuláában a jármű ebeége jázik alapveő zerepe Ily módon ebben az eeben a haááviel leíráára egy egy bemeneű, egy kimeneű blokkdiagram alkalma A vizonyoka az 6 ábra zerini blokkdiagram muaja Járműebeég: v) E F ea ) Alapellenállá-erő 6 ábra A jármű alapellenálláának ebeégfüggéé megjeleníő blokkdiagram A hajárendzer, a fékrendzer é az alapellenálláerő-generáló alrendzer özeépíééből előáll a hallgaóág zámára a Járműrendzerek ill a Járművek é mobil gépek I c árgyakban bevezee rendzermodell, amely a ík, egyene pályán üzemelő járműve jellemzi Az 7 ábrán felrajzoluk ez a modell Emlékezeünk arra, hogy a V blokk a járműve vezeő ember jeleníi meg A vezeő befolyáoló három fő folyono vonala nyilak) é három bizonyalan zaggao vonala nyilak) bemeneen érkező információ feldolgozáával alakíja ki a jármű mozgávizonyai alapveően meghaározó ké vezérlőfüggvény: az u ) hajávezérlé é az u ) fékvezérlé A haávázlaban zereplő öbbi jelformáló blokk zerepe Newon II örvénye, é a kinemaikai jellemzők inegrálkapcolaa alapján nem zorul ovábbi magyarázara Az ábrával kapcolaban emlékezeünk még arra, hogy a zereplő három fő bemene a külő vezérlé pl jelzők) c-vel jelöl, a vezeő időfelhaználáával kapcolao pl meneidő bearái örekvé) τ val jelöl é a vélelen forgalmi helyze megköveele r rel jelöl akció időfüggő bemenei jellemzőkkel kerül megjeleníére A modell kimenei jellemzője a jármű álal befuo ú ) időfüggvénye A három zaggao vonala bizonyalan vizacaolá arra ual, hogy a járművezeő a jármű gyorulááról, ebeégéről é helyzeéről információval bír, de ez az információ cak bizonyo, -nél kiebb valózínűéggel árgyiaul a énylege vezérlé kialakíái evékenyégében Zobory Iván, BME wwwankonyvarhu

8 JÁRMŰDINAMIKA ÉS HAJTÁSTECHNIKA VEZETŐ 7 ábra A ík, egyene pályán haladó jármű főmozgáának rendzermodellje Áérünk a parazia mozgáok dinamikai folyamaainak kérdékörére Az 8 ábrán felrajzoluk egy geomeriai egyenelenégekkel erhel pályán haladó jármű egyzerű dinamikai íkmodelljé, amely már alkalma a jármű úgerjezé okoza gerjeze lengéeinek anulmányozáára A modellben a jármű ömegközépponjának z) függőlege kiérée é a úlyponon ámenő, a rajz íkjára merőlege engely körüli ) zögkiérée adja a vizgál zabad koordinááka A közlekedéi pálya geomeriai egyenelenégeiből adódóan a járműve aláámazó elő rugó ala g ), a háó ala g ) időfüggő gerjezé rugóvégi mozgákényzer) érvényeül z) m, Θ v ) χ) l l gerjező pályaegyenelenégi függvény g g ) ) g ) g ) z) g ) g ) DINAMIKAI MODELL z) χ) χ) rázá bóliná 8 ábra A közlekedéi pálya álal gerjeze járműmozgá anulmányozáára alkalma íkbeli dinamikai modell A ekine modellnél ehá ké gerjező bemenei függvény é ké mozgá-válazfüggvény azonoíhaó A járműdinamikai vizgálaok kiinduló művelee az alkalmazo dinamikai modell bemenő jellemzőinek é válazjellemzőinek azonoíáa A kövekező jellegzee modell-válozao haználunk a járműdinamikában a be- é kimenőjellemzők zámáól függően ) bemene é kimene Single Inpu, Single Oupu) SISO Blokkvázlaban: SISO wwwankonyvarhu Zobory Iván, BME

9 BEVEZETÉS 3 ) bemene é öbb kimene Single Inpu, Muliple Oupu) SIMO Blokkvázlaban: SIMO 3) Több bemene é egy kimene Muliple Inpu, Single Oupu) MISO Blokkvázlaban: MISO 4) Több bemene é öbb kimene Muliple Inpu, Muliple Oupu) MIMO Blokkvázlaban: MIMO 5 A főmozgá dinamikája A főmozgá min a közlekedéi pálya meni rendeleézerű mozgá érelmezük A közlekedéi pálya menén mozgó járműve a főmozgá vizgálaához a ömegközépponjába koncenrál ömegnek ekinhejük, azaz a ömegközépponra, min anyagi ponra alkalmazzuk Newon II örvényé A vizgála célja a pályairányú haladó mozgá jellemzőinek meghaározáa Ezen a ponon az előző anulmányokkal özhangban Álaláno járműgépan, Járművek é mobil gépek, Járműrendzerek, Mechanika) imé hangúlyozni kell, a pályairányú haladó mozgá vizgálva nem zabad elfeledkezni a járműben lévő, a pályairányú haladó mozgá ebeégével arányo zögebeéggel forgó ömegekről, az uóbbiak gyoríához zükége nyomaékigényről, é a forgó ömegek kineiku energiaaralmáról Kereke járművek eeén ermézezerűen merül fel a kerekek forgáával kapcolao erő é energiaigény bizoíáa Amennyiben elfogadjuk, hogy a kerekek é a ámazófelüle úfelüle, ínfelüle) kapcolaában cúzámenee iza gördülé valóul meg, akkor a kerekek é az azokhoz kapcolódó hajá- é fékrendzerbeli forgó ömegek mechanikai haáai vizavezehejük az egyébkén i vizgál haladó mozgá mechanikai jellemzőire Márpedig a főmozgáal kapcolao kérdéek úlnyomó öbbégénél meneidő, vonóerő, fékezőerő zükégle, vonóerő-munka é fékezőerő-munka alakulá, b) a iza gördülé feléelezée elfogadhaó, é a ovábbiakban ezen feléelezé elfogadáával folyajuk vizgálaainka A feni megállapíáokhoz kapcolódóan a jármű ömegével kapcolaoan a kövekező meggondoláok megéele zükége: ) A dinamikai vizgálaokhoz imerni kell a jármű mérlegelheő ömegé, jele m, mérékegyége: [m] = kg ) A iza gördülé elfogadáa mia vizgálni kell a jármű ebeégével arányo zögebeéggel forgó ömegek j eheelenégi nyomaékai, é a különböző zögebeégű alkarézeke egyenkén ekinebe véve, a járműkerékkel való kapcolauk ij módoíáai figyelembe véve azoka a járműkerék kerüleére kell redukálni a kineiku energia megegyezőége elve alapján A j-edik fogó ömeg kineiku energiája az j zögebeégű forgá eeén E alakban meghaározo A jármű kerék k zögebeégé figyelembe j j j véve a járműkerék eheelenégi nyomaékához egy olyan eheelenégi nyomaéko j red kell hozzáadni, amelynek kineiku energiája a kerék k zögebeégével zámolva éppen E j -vel egyenlő Ennek alapján az E özefüggéből a j-edik forgó j j j jred k Zobory Iván, BME wwwankonyvarhu

10 4 JÁRMŰDINAMIKA ÉS HAJTÁSTECHNIKA j ömeg járműkerékre redukál eheelenégi nyomaék a jred alakban adódik j k Ez az eljárá köveve a zereplő öze eheelenégi nyomaék a jármű kereke i beleérve) kerékre redukál éréke meghaározhaó é özegezheő Jelölje ez az özege, akkor meghaározhaó a járműkerék kerüleére redukál azon m r ömeg, amelynek j j red a jármű haladó mozgáá jellemző v ebeég mellei kineiku energiája megegyezik az R gördülőköri ugarú járműkerékre redukál öz eheelenégi nyomaékú forgó ömegben a v járműkerék k zögebeége eeén jelenlévő kineiku energiájával Az elmondoak- R ból a v mv r jred j R j ömeg kifejezéével a m r R kineiku energia-egyenlőég adódik innen pedig a redukál jred képlee kapjuk A feni levezeéünkből kövekezik, hogy ha a jármű mérlegelheő m ömegé megnöveljük a forgó ömegek kerék kerülere redukál m r ömegével, akkor az így adódó m + m r ömegnek a v haladái ebeéggel zámol kineiku energiája egyenlő lez a jármű ezen ebeégénél a elje haladó é forgó rendzerben árol kineiku energia érékével Tehá a ovábbiakban az m + m r ömeggel úgy zámolhaunk, minha a vizgál járművünk é minden alkaréze cak haladó mozgá végezne, mégi a gyoríáal fékezéel) kapcolao erőzükéglee helyeen fogjuk megállapíani A jármű haladó mozgáá leíró mozgáegyenleben ehá az m + m r ömege kell figyelembe venni Sok eeben célzerű az m + m r özege kié áalakíani az m red m m m m red m m red képleornak megfelelően A belépe = m az + ) özeg neve: forgóömeg-ényező hányado az ún forgóömeg-jellemző, míg A feniekben a jármű ömegével kapcolaban e meggondoláaink uán ráérheünk a jármű főmozgáá leíró mozgáegyenle konkreizáláára Newon II aiómája zerin az eredő erő egyenlő a ömeg é a gyorulá zorzaával A jármű főmozgáa eeén vekoro felíráal a kövekezőképp jelenkezik a newoni aióma a járműre haó mozgáirányú erővekorokkal képze F eredő erő i vekor zerepeleéével: F m a, i i ) ahol: m a jármű mérlegelheő ömege, γ a forgóömeg-jellemző, a a jármű pályirányú gyorulá vekora A mozgáegyenlebe belépe vekormennyiégek mindegyiké közö mozgáirányú e egyégvekorra min bázira nézve írjuk fel: F F ; a i e a e i i) i) Newon II aiómája a bázifelíráal a i ) wwwankonyvarhu Zobory Iván, BME

11 BEVEZETÉS 5 F = m ) a i e e i ) vekoro alakban adódik, majd a vekorok bázi-előállíáának egyérelműégére vonakozó éel alkalmazáával az egyégvekorok kalár zorzóinak megegyezééből kövekezően az előjele kalár nagyágokkal felír i ) F m a i mozgáegyenlee kapjuk Fono kiemelni, hogy a mozgáiránnyal azono érelmű erővekorok előjele nagyága poziív érékkel, míg a haladái iránnyal ellenée érelmű erővekorok előjele nagyága negaív érékkel lép be a feni özegbe A gyorulá előjele nagyága kiadódik: az erők előjele nagyágai algebrai özegének előjele fogja megzabni! Zobory Iván, BME wwwankonyvarhu

12 A járműre haó eredő erő Az eredő erő özeevői A mozgáegyenle bal oldalán megjelen előjele erőözeg legegyzerűbb eeé a ík, egyene mozgápályán kapjuk A zerepeleendő erők előjele kalár nagyágokkal lépnek be A kalár nagyágok előjele a már megárgyal módon a zándékol mozgá irányába az egyégvekor figyelembevéelével adódnak Az erőözeg mármo az alábbiak zerin alakul: F i F v F f F ea vonóerő F v 0 fékezőerő F f 0 alapellenállá erő F ea < 0 A mozgáegyenle bal oldalán megjelen előjele erőözeg özeeebb eeé az emelkedővel lejővel) é görbüleel bíró mozgápályán kapjuk, ahol járuléko ellenálláerő i fellép A járuléko erőke kalárnagyágaikkal jellemezve az F eje emelkedéi ellenálláerő é az F ejg görbülei ellenálláerő kell ekinebe venni Az emelkedéi ellenálláerő előjelvizonyai a kövekezőképp jellemezheők: < 0 ha a pálya emelkedő F eje = = 0 ha a pálya vízzine > 0 ha a pálya lej A görbülei ellenálláerő vizon mindig nem poziív: az alábbi formában adódik: F F F F F F i v f ea F eje ejg 0 Az eredő erő előjele nagyága mo Az erőözegek eddigi formáli felíráán úllépve elemeznünk kell a zereplő erőnagyágok vezérlé é mozgáállapo függéé A vonóerő, a fékező erő é az alapellenállá-erő függvények mindegyike indirek időfüggé i mua, azaz az időől való függé a vezérléi érékek időfüggéén é a ebeég időfüggéén kerezül érvényeül A korábbi anulmányokból az alábbi függvénykapcolaok imerek, melyek mindegyike nemlineári ) Vonóerő: F F u, v F ) F u ), v ), v v v v ) Fékezőerő: F F u, v f f F ) F u ), v ) f f, 3) Alapellenállá-erő: F F v ) ea ea F ) F v ) v 0 ea ea A járuléko ellenálláerők pedig a jármű álal befuo ú függvényekén adhaók meg Az e- melkedéi ellenálláerő é a görbülei ellenálláerő közvee időfüggé mua a befuo ú időfüggéén kerezül 4) Emelkedéi ellenálláerő: F eje = F eje ) F eje ) = F eje )), 5) Görbülei ellenálláerő: F ejg = F ejg ) F ejg ) = F ejg )) A kéőbbi árgyaláunkban láni fogjuk, hogy mind az emelkedéi ellenálláerő, mind pedig a görbülei ellenálláerő vizavezeheő lez a befuo ú függvényében zakazonkén lineári függvények alkalmazáára A kövekező ponban diagramok é áblázao adamezők megadáával jellemezzük a mozgáegyenlebe belépe kalári erőnagyágok gyakorlai kezeléé ejg wwwankonyvarhu Zobory Iván, BME

13 A JÁRMŰRE HATÓ EREDŐ ERŐ 7 Az alapellenállá-erő A mozgáegyenleben zereplő erők rézleeebb vizgálaá az alapellenállá-erő árgyaláával kezdjük, i ez az erő minden járműmozgá orán fellép A járműdinamikai vizgálaok nem zoríkozhanak cupán a zéruól különböző ebeégek melle érvényeülő meneellenállá-erő imereére, ezen vizgálaokban ugyani a jármű megindíáának é megállíáának eeében érvényeülő zéru ebeéghez i zükége az alapellenállá-erő egyérelmű megadáa Kéválozó függvénnyé kell fejlezenünk a korábban anul cak ebeégfüggő alapellenállá-erő függvény, é eezéválazáo függvénymegadáal a zéruól különböző ebeégérékekhez rendel máodfokú polinommal leír alapellenállá-erő melle meg kell adni a zéru ebeég eeén érvénye alapellenállá-erő, amely a járműre haó nem rezizív azaz nem ellenállá-jellegű) erők eredőjének a függvénye Egyelőre a rézleek kibonáa nélkül belépejük a kéválozó: F F v, F ea ea függvény, ahol v a ebeég é F a járműre haó egyéb, nem rezizív pályairányú erők eredője ) A v 0 eere a már emlíe máodfokú polinom együhaói alapellenállá méréekre ámazkodva haározhajuk meg A méréi elrendezé egy négyengelye vaúi kici alapellenállá méréére vonakozólag muajuk be a ábrán F ea mérendő jármű v dinamoméer erőmérő) ábra Négyengelye vaúi koci alapellenállá-erejének mérée a mozdony é a koci közé beépíe dinamoméerrel A méré orán mérjük az állandóul v i : i =,,, n ebeégekhez arozó F eai vonóerőérékeke A v ebeég függvényében mér alapellenállá-érékekre egy görbé illezünk a legkiebb négyzee módzerével, amely módzer az Álaláno járműgépan c árgyból már imeri a hallgaóág ) A v i > 0 ebeégekhez arozó alapellenállá-erő álaláno alakja a három együhaó érékével egyérelműen meghaározo F av bv c máodfokú polinom ea ) A legkedvezőbb a, b, c paraméerek meghaározáa az legkiebb négyzeek módzerével örénik, azaz kereük a n,, eai i i ) min! i a b c F av bv c háromválozó célfüggvény lokáli minimumá Min imeree ennek zükége feléele a parciáli deriváljainak együe elűnée, amiből a három lineári egyenle alkoa egyenlerendzer adódik az a b c aˆ, bˆ, c ˆ opimáli együhaók meghaározáára 3) A v = 0 ebeég eeé külön kell vizgálni, ugyani nyugalmi helyzeben az alapellenállá erő egyenúlyozza a kívülről eeleg működő F külő erő Ennek figyelembevéelével a v = 0 özefüggé adódik ebeég eeére az F ign F ) min c, F ea Zobory Iván, BME wwwankonyvarhu

14 8 JÁRMŰDINAMIKA ÉS HAJTÁSTECHNIKA A feni eredmények egyeíéével végül i az előjelhelye kéválozó alapellenállá-erő a kövekezőképp írhaó fel: F v, F ea ign v) av ˆ b v cˆ), ha v 0 ign F ) min cˆ, F, ha v 0 A mo megado kifejezé közvelenül alkalmazhaó zámíógépi program kézíééhez A megado alapellenállá-függvény jellegfelülee a ábrán láhaó ˆ F ea ΣF 45 ĉ v ma v v ma ĉ 3 A vonóerő ábra A jármű kéválozó alapellenállá-erő függvényének jellegfelülee A kéválozó F F u, v v v vonóerőfüggvény már korábban bevezeük A ké függelen válozó definíció zerin az u 0 a hajávezérlé é a v a ebeég Előző anulmányokból imer, hogy a vonóerő a jármű hajárendzere zolgálaja Azokban az eeekben amikor a hajárendzer álal leado vonóerő állandóul vagy igen laan válozik, a kváziaiku vonóerő-diagram-rendzer alkalmazhaó A 3 ábrán felrajzoluk a ebeég függvényében egy folyono vonóerőgörbékkel bíró jármű vonóerőgörbe orozaá az u hajávezérléi érékekkel paraméerezve F v a apadái haárerő valózínűégi válozó u vonóerő-vezérlőjel növekedée u = ma 0 u = 0 v ma v 3 ábra Kváziaiku vonóerőgörbe oroza a ebeég függvényében különböző u hajávezérléi paraméerek melle A megengede ebeégek inervalluma a [0, V ma ] inervallum A vonőerőkifejé felülről a kerék é a ámazófelüle kapcolaára jellemző apadái ényező korláozhaja Korábbi anulmányokból wwwankonyvarhu Zobory Iván, BME

15 m+ fokoza m+ fokoza A JÁRMŰRE HATÓ EREDŐ ERŐ 9 imer, hogy a apadái ényező valózínűégi válozókén kezelendő Ez a ény az ábrán felünee valózínűégi űrűégfüggvény harang görbe) jeleníi meg A kéválozó függvény álaláno megadáa u u fokozaonkén, képleel vagy numerikuan i azaz vége ok ponjának koordinááival é inerpoláció alkalmazáával) örénhe A vonóerőgörbe numeriku megadáa vége ok, célzerűen válazo jelleggörbe pon koordináa párjának áblázao megadáával örénik Vezérlé Ado vezérléhez arozó vonóerő n+ ebeég-ponban u F 0 0 u v F v F, 0, v0, v v v F n v n u v F v F v, m 0, vm 0, vm n F vmn n+ ebeég) pon Tábláza A vonóerő ebeég koordináapárok megadáa különböző vezérléi paraméerekhez Mivel a nulladik vezérléi pozícióhoz u 0 ) F 0 arozik, ezér n ) m darab koordináapár v kell megadni! F v u m u u 0 v 0 =0 v v v v n = v ma 4ábra A vonóerőgörbék ponjainak megadáa koordináapárokkal Inerpoláció: Elegendő ponűrűég eeén a lineári inerpoláció megfelelő, pl v v i, v ] é u j vj i ) vj eeén a vonőerő az F u, v) F v v F n+ ebeég) pon v j vji i v i F v i [ i özefüggéel zámíhaó 5 ábra) Zobory Iván, BME wwwankonyvarhu

16 0 JÁRMŰDINAMIKA ÉS HAJTÁSTECHNIKA F v F v F v0 β= hiperbola β=0,75 u j F vji F vji+) β=0,5 β=0,5 u = ma v i v i+ v ma v u = 0 v ma v 5 ábra Az inerpoláció eljárá 6 ábra Vonóerő eplici megadáa Speciáli eeekben a vonóerőgörbe eplici képleel i megadhaó Példakén a def u Pnévl F u, v m in F, v m a v0 u v képlee muajuk be, ahol 0; a relaív vonó-erőkivezérléi arány lád a 6 ábrá) Az ábrán vázol hiperbola-zakazokon a vonóerő úgy válozik a ebeég függvényében, hogy közben β=áll eeben a kifeje eljeímény i állandó marad Áérünk a ranzien vonóerő kifejlődé kérdéének vizgálaára A probléma abból adódik, hogy a hajávezérlé közel ugrázerű u válozáa időben némiképp elhúzódó vonóerő-válozá von maga uán a vonóerő kifejlődée ehá cak kééel kövei a vezérlé), ezér ranzien relaív vonóerőhiány lép fel! Azaz i j vezérléválozá eeén α i α j vonóerő-felfuá valóul meg A vonóerő alakuláába mo direk időfüggé i belép a kváziaiku eeben jellemző indirek időfüggé mellé A ranzien vonóerő a 7 ára zerini F u ), v ), v háromválozó függvény adja meg, ahol u ) é v) indirek időfüggé kváziaiku), pedig direk időfüggé ranzien) azonoí F v u j ranzien relaív vonóerő-hiány F u ), v ), v u i α j α i v ma v 4 A fékezőerő 7 ábra Tranzien vonóerő-kifejlődé A fékezőerő a jármű fékrendzere zolgálaja lád a: Járművek é mobil gépek I, ill Jármű- wwwankonyvarhu Zobory Iván, BME

17 m+ fokoza A JÁRMŰRE HATÓ EREDŐ ERŐ rendzerek c árgyakban anulaka) A fékezőnyomaék generáláá kéőbb rézleezzük A járműre haó fékezőerő F F v, u kéválozó függvénnyel adhaó meg, ahol a függelen válozók f f a jármű v ebeége é a definíció zerin nem-poziív u 0 fékvezérlé A kváziaiku fékezőerő közelíő megadáára jól kezelheő közelíő formula adódik azon feléelezé elfogadáával, hogy a úrlódáo fék működéekor a cúzóurlódái ényező a cúzái ebeégől eponenciálian függ Ez az jeleni, hogy nagyobb cúzái ebeégnél a cúzóurlódái ényező kiebb éréke vez fel A fékezőerő ebeégfüggée ermézezerűen kövei a úrlódái ényező ebeégfüggéé Az elmondoak alapján a fékezőerő megadá a kövekező képleel örénhe: u v F v, u F F F e 0 0, f f f f u m a ahol F a legnagyobb u fékerőkivezérléhez arozó fékezőerő függvény zéru ebeégnél f 0 ma adódó jobb oldali haáréréke, F pedig ugyanezen fékezőerő függvény v eeén adódó haáréréke Az eponenciáli függvény válozáának inenziáá a 0 paraméer beállíáával lehe f meghaározni pl ha = 0, akkor a ebeégfüggé megzűnik) A képleben zorzóényezőkén megjelen ε = u / u hányado neve: relaív fékerő-kivezérléi arány, é éréké a [-,0] inervallumban vehei m a fel A fékezőerő megadáa numerikuan: A fékező erő numeriku megadáa a vonóerő numeriku megadáával megegyező módon végezheő el a kövekező lépéek zerin: F f n+ ebeég) pon v 0 =0 u 0 =0 v v v n = v ma v u u = ma u m u növekedée 8 ábra A fékezőerő jelleggörbe ponjainak numeriku megadáa koordináapárokkal ) Képezzük a v n i ebeég-felozá, é kijelöljük az ellenőrzö jelleggörbe ponoka amelyeke méré vagy má módon konkréan meg kívánunk 0 haározni) ) Elkézíjük az n ) m koordináapár aralmazó áblázao 3) Elvégezzük a lineári inerpoláció ld a vonóerő megadáánál!) 5 Haladá vízzine-egyene mozgápályán Az előző három fejeze alapján vízzine-egyene mozgápályán mozgó jármű eeére megvan az öze pályairányú erőözeevő, így a a jármű mozgáfolyamaa a már anulmányozo mozgáegyenle alapján meghaározo: Zobory Iván, BME wwwankonyvarhu

18 JÁRMŰDINAMIKA ÉS HAJTÁSTECHNIKA a F F F v f ea m Az erők mozgáállapo é vezérléfüggéé rézleező felírában ez az egyenle az ) ), ) ), ) ), m v F u v F u v F v F, v f ea alako öli, ahol ahol F F v F F f u ), v ) F u ), v ) v f Mág ömörebb alakba írva: m v ) f v ), u ), u ), ahol f alkalma háromválozó nemlineári függvény Az m+) érékkel elozva az uóbbi differenciálegyenle mindké oldalá akkor v 0 eeére a jellegzee v ) f v ), u ), u ) diffegy v ) v kezdei érék 0 0 előrendű kezdei érék probléma adódik a 0 időponban v 0 ebeégről induló imerelen v) ebeégfüggvény meghaározáára 6 Járuléko meneellenállá erők A járuléko meneellenállá erők a közlekedéi pálya emelkedéi vizonyaival ill görbülei vizonyaival vannak meghaározva Mozgáállapo-függéük a befuo pályaívhozal min függelen válozóval adhaó meg ) Emelkedéi ellenállá Az járműre működő F eje ) emelkedéi ellenállá a közlekedéi pálya ívhozal jellemze helyén az oani lokáli emelkedéi jellemzővel, a pálya érinővekorának a vízzineől mér előjele felfelé poziív) ) hajlázögének angenével van meghaározva Az m ömegű járműre haó emelkedéi ellenálláerő előjele nagyágá a kövekező képleel kapjuk: F ) mg in ) mg g ) eje ahol g a nehézégi gyorulá ha kici F eje α m m g 9 ábra A lejőn felfelé mozgó járműre haó pályairányú erő Kivéele eeekől elekinve a főmozgá vizgálaakor elfogadhaó a ki zögekre vonakozó közelíé Tekineel arra, hogy a angen függvény előjele, a képle helyeen ükrözi viza az a ény, hogy poziív ) zögnél emelkedő pályán) az emelkedéi ellenállá a jármű mozgáá gáolni igyekzik, míg negaív ) zög eeében lejőn lefelé) a fellépő poziív erőhaá járuléko vonóerőkén működik Legyen adva a válozó emelkedéű mozgáapálya ívhoz függvényében megado z z ) függvénye, melynek diagramja az un hoz-zelvény: wwwankonyvarhu Zobory Iván, BME

19 A JÁRMŰRE HATÓ EREDŐ ERŐ 3 z α) 0 ábra A közlekedéi pálya emelkedéi vizonyainak jellemzée a lokáli irányangen zámérékével a befuo ú függvényében d z ) Ha a lokáli emelkedéi zög angené e ) -el jelöljük: e ) = g ), akkor az emelkedéi ellenálláerő zokáo jelölée adódik: ) mg e ) Az e) függvényből kiindulva d a F eje mérnöki gyakorlaban zokáo a lokáli emelkedé zázalékban vagy ezrelékben megado érékének haználaa az alábbiak zerin: e% e g ) e ) ábra A közlekedéi pálya emelkedé megadáa zázaléko érékkel é ezreléke érékkel ) Görbülei ellenálláerő: Az ado méreekkel kialakío járműre működő F ejg ) görbülei ellenállá a közlekedéi pálya ívhozal jellemze helyén az oani lokáli görbüleel van meghaározva Az F ejg ) görbülei ellenállá erő mindenkor nem poziív nagyágú, zéru éréke cak az egyene mozgápályán vez fel Az F ejg ) ellenállá erő a pályagörbüle monoon növekvő függvénye, képlezerű megadáa az F ) mg f G ) kifejezéel örénik, ahol G) a pálya ívhoznál fennálló görbülee, ejg % m m 00 m 000 m f G ) pedig a fajlago görbülei ellenállá A zereplő f függvény a jármű konrukció kialakíáával van meghaározva A konkré görbülei ellenálláfüggvényre vonakozó példa árgyaláa elő fordíuk figyelmünke a görbüle meghaározáára íkbeli görbék eeén Az ado ívhoznál érvénye görbüle az oani imulókör R ugarának reciprokával van érelmezve A görbüle körpálya eeén: G, G Álaláno, y y ) függvénnyel meg- R m ado íkbeli görbe eeében a G görbüle az függelen válozó függvényében válozó érék lehe a G ) y ) 3 R ) y ) özefüggé zerin A görbüle előjele mennyiég Az előjelzabály megjegyzéé egyzerűvé ezi az y) = origó-cúcponú máodfokú normál) parabola eeében adódó előjel megjegyzée A parabola elő deriválja az y ) = függvény Ennek négyzee az y )) = 4 függvény, amely nem negaív Ezér minden -re haározoan poziív az + y )) függvény, é ennek /3-kievőre emel éréke i Kapuk, hogy a görbüle kifejezéében a nevező mo minden -re poziív A görbü- Zobory Iván, BME wwwankonyvarhu

20 4 JÁRMŰDINAMIKA ÉS HAJTÁSTECHNIKA le előjelé ehá az y) máodik deriváljának előjele fogja meghaározni A máodik derivál azonban: y ) = > 0 Tehá a felülről konve parabola görbülee az origóban é annak bármely környezeében poziív Érelemzerűen a felülről nézve konkáv parabola görbülee minden -re negaív A közlekedéi pálya menén haladva ehá az ívhoz függvényében a görbüle poziív ha jobbra kanyarodik az ív é a görbüle negaív, ha balra kanyarodik az ív Ez a zabály kell figyelembe vennünk a mozgápálya görbülei vizonyai leíró diagramok rajzoláakor A járműdinamikában a jármű mozgápályájá a kövekező három jellegzee görbeféleég egymához örénő ima folyonoan differenciálhaó) kapcoláával állíjuk elő: i) egyene pályazakazok, ii) köríve pályazakazok, valamin iii) ámenei íve válozó görbüleű) zakazok A közlekedéi pályákon ámenei ívkén a klooid görbe alkalmazáa célzerű, mer ennek kezelée egyzerű, ugyani a klooid görbüle függvénye az ívhozól lineárian függ: G ) c, ahol c a görbüleválozá inenziáára jellemző konan A ábrán felrajzoluk a elje klooid diagramjá Jól áhaó a ké konvergenciapon, melyek az - é az haáreeekhez aroznak y G > 0 G < 0 ábra A elje klooid görbe A közlekedéi pálya ámenei íveikén ermézeeen a elje klooidnak cak az origó-közeli rézei jöhenek zóba Amennyiben a közlekedéi pályá a mondo három görbeféleég egymához kapcoláával konruáljuk, akkor az eredő görbülefüggvény az ívhoz függvényében zakazonkén lineári lez Az egyene zakazokhoz ugyani zéru görbüle, a köríve zakazokhoz konan előjele) nemzéru görbüle arozik, az ámenei íve zakazokhoz pedig a ké calakozó zomzédo állandó görbülei éréke lineárian válozó görbüle-függvény zakaz köi öze A görbülei függvény ehá zakazonkén lineári, folyono függvény lez, az ámenei ívek kezdő- é végponjában a görbülefüggvénynek öréponja van A közlekedéi pálya görbüleé az ívhoz függvényében leíró, zakazonkén lineári függvény numeriku kezeléével egy kéőbbi ponban foglalkozunk Magyarázaunk alapján az le lehe zögezni, hogy ezőlege ívhozhoz rendelkezére áll az oani görbüle, é ha a vizgál pon nem egyeneen fekzik, akkor az R) = /G) képle alapján a helyi lokáli) görbülei ugár i megado Vizaérve a járuléko emelkedéi ellenálláerő kérdééhez, pl vaúi pálya eeére a kövekező, Röckl-ől zármazó méréekre alapozo) képleel adhajuk meg az ívhoz függvényében az F ejg ) görbülei ellenálláerő: wwwankonyvarhu Zobory Iván, BME

21 A JÁRMŰRE HATÓ EREDŐ ERŐ 5 F ejg ) 0 ha G / m m g ha G )> / m G ) Az emelkedéi é irányvizonyok kövekezében fellépő emelkedéi ellenálláerő é görbülei ellenálláerő min az ívhoz függvénye beépül a jármű mozgáegyenleébe a kövekező formában: ) ), ) ), ) ), ) ) v f ea eje ejg m F u F u F F F F A kapo egyenleben zereplő F min ugyancak mozgáállapoól é a vezérléekől függő erő kifejezé, beépíheő az alábbi özevon, eplici alakú felírá alkalmazáával é a kezdei érékek felüneéével: ) ), ), u ), u ), 0 ) é ) v Ezzel egy máodrendű, nemlineári kezdei érék probléma KÉP) adódik, amely egy máodrendű, nemlineári differenciálegyenleből é a megado előír) kezdei érékekből áll öze Kiemeljük, hogy a mo megjelen négyválozó nemlineári Φ függvényben már benne foglalaik a pályaemelkedők é a pályagörbüleek okoza járuléko ellenálláerők dinamikai haáa i! A mo e elvi megállapíá melle azonban az i fono lánunk, hogy a gyakorlai numeriku zámíáokhoz perze nem lehe nélkülözni a jármű bármely ) helyzeéhez arozó e)) emelkedéi irányangen é G)) érékeke! Ezen kérdéel foglalkozik a kövekező pon 7 Egy érbeli járműmozgá pályájának megadáa 7 A hoz-zelvény azaz az emelkedéi vizonyok) numeriku megadáa: Az e) függvény a pálya hoza menén konan e-vel bíró zakazokból előjeleek) é az ezek közöi függőlege íkban fekvő nagyugarú körökkel való lekerekíéekből áll A numeriku kezelé egyzerűíéére a mo mondo lekerekíő köríveke célzerű olyan a máodfokú parabolákkal közelíeni, amelyek a cúcponbeli imulókörei épp a megado lekerekíő körök Egyelen lejöré lekerekíéének egyzerű példájá láhajuk a 3 ábrán: Ha a függőlege íkbeli lekerekíé máodfokú parabolával közelíjük, akkor ezeken a zakazokon az e) = d z d deriválfüggvény az ívhoz függvényében lineári, a konan emelkedőjű vagy lejéű zakazokon pedig d z e con i d lez Zobory Iván, BME wwwankonyvarhu

22 6 JÁRMŰDINAMIKA ÉS HAJTÁSTECHNIKA z dz e= d 3 ábra A közlekedéi pálya emelkedé irányangenének közelíée örövonallal, ha a lekerekíő köríve máodfokú parabolával közelíjük Ezzel a feni meggondoláal álaláno mozgápálya eeén i e) zakazonkén lineárian közelíheő; azaz azon helyeken amelyekhez lineári e) zakaz arozik, o lineári inerpolációval végezheő el a helyi lokáli) emelkedéi irányangen meghaározáa A 4 ábrán felrajzoluk egy mozgápálya énylegeen jellemző zakazonkén lineári emelkedéi irányangen függvényé Az emelkedéi vizonyoka ehá a zereplő örö vonala a öréponok n koordinááiból képze i i 0 ívhoz oroza é e i i 0 emelkedéi irányangen oroza reprezenálja dz e= d n j+ e j+ 0 e 0 e e j e j n e n 4 ábra Az emelkedéi irányangen numeriku megadáa a elje befuo ú fele a örövonal öréponi koordináapárjaival A közlekedéi pálya ezőlege helyen kereük az emelkedéi irányangen éréké 0 n Ehhez a kövekező lépéeke kell elvégezni: ) Meg kell kereni az ado éréke közrefogó ké ívhoz ozópono j j ), ) Az, j j é a hozzájuk arozó e, e j j irányangen érékek imereében j j eeén a keree e) emelkedé lineári inerpolációval zámíhaó: e e j j ) e j j j e j wwwankonyvarhu Zobory Iván, BME

23 A JÁRMŰRE HATÓ EREDŐ ERŐ 7 A görbülei vizonyok numeriku megadáa: Ha a közlekedéi pálya imán calakozó egyene zakazokból, lineárian válozó görbüleű klooid ámenei ívekből é állandó ugarú körív-zakazokból épül fel, akkor a G) görbülefüggvény zakazonkén lineári függvény lez, az egyene zakazok ponjaiban a görbüle zéru, a klooid ámenei ívek fele a görbülefüggvény lineárian válozik, míg a konan ugarú köríve zakazokon a görbüle előjele) állandó éréke vez fel Felülnézeből mindez a 5 ábrán láhaó Az ábrában zereplő egyene zakazokon G) = 0, ezek az [ 0, ], [ 4, 5 ], [ 8, 9 ] é [, 3 ] ívhozinervallumok Az [, 3 ], [ 6, 7 ] é [ 0, ] ívhoz inervallumok fele köríve a pálya van állandó görbüleel, a görbüle pedig G i ) =/R i, i=,, 3 Az ámenei íve ívhoz inervallumok rendre: [, ], [ 3, 4 ], [ 5, 6 ], [ 7, 8 ], [ 9, 0 ], [, ] A klooid ámenei íveknek megfelelő - ben lineári görbülefüggvények a zükége eloláok figyelembevéelével poziív c ij érékekkel rendre: G ) = -c - ), G 34 ) =c 34-4 ), G 56 ) = c 56-5 ), G 78 ) = -c 78-8 ), G 90 ) = -c 90-9 ), G ) =c - ), 3 0 R 4 9 R R ábra A közlekedéi pálya görbülei vizonyaira jellemző helyzínrajz az egyene zakazok, az ámenei ívek é a köríve zakazok haárponjainak felüneéével A helyzínrajzi ábra zerini pálya görbülefüggvényé az ívhoz zerin kieríve a 6 ábra zerini örö vonal diagram adódik G 6 G 0 3 G G ábra A görbüle numeriku megadáa a elje befuo ú fele a örövonal öréponi koordináapárjaival A zakazonkén lineári függvény mo i a öréponi koordináák alkoa vége elemzámú orozaokkal jellemezhejük Így ehá az é G n i i i n ívhoz- é görbüle-orozaokra ámazkodva lineári inerpolációval zámíhajuk bármely [ 0, n ] inervallumbeli ívhozhoz arozó helyi 0 i 0 lokáli) görbüle éréke Az inerpoláció eljárá módzere mo i a kövekező: ) Meg kell kereni az ado éréke közrefogó ké ívhoz ozópono j j ), ) Az, j j é a hozzájuk arozó G, G j j görbüle érékek imereében j j eeén a Zobory Iván, BME wwwankonyvarhu

24 8 JÁRMŰDINAMIKA ÉS HAJTÁSTECHNIKA keree G) előjele görbüle lineári inerpolációval zámíhaó: az, ; G, G imereében eeén inerpolációval zámolhaó: j j j j j j G ) G j G j j G j j j A feniekben árgyalak alapján a jármű mozgáegyenleében zerepelee Φ iránymező függvényünkbe beépülő emelkedéi irányangen é görbüle függvény meghaározo, é így a ) ), ), u ), u ) differenciálegyenle ado u ) é u ) vezérléi függvények melle megoldhaó a jármű álal befuo ua megadó imerelen )-re A 7 ábrán zemlélejük az a ény, hogy a járműre haó erők közé a jármű helyzeé megadó ) befuo ú függvény vizacaolódáával beépülnek emelkedéi é görbülei ellenálláerők i V u ) u ) JÁRMŰ ) befuo ú e) G) 7 ábra A befuo úól függő járuléko ellenálláerőke meghaározó emelkedéi é görbülei jellemzők vizacaoláa 8 A mozgáegyenle megoldáa A jármű mozgáegyenleének kéféle megoldáá árgyaljuk: ) Szakazonkén zár alakban kézi megoldá ) Numerikuan zámíógépe megoldá 8 Szakazonkén zár alakú megoldá A módzer alapja az, hogy vége ebeéginervallum felozá felvéve a ebeég időfüggvényé zakazonkén imer ípuú közelíő függvényekből az egye ebeéginervallumok felei megoldáok folyono egymához fűzéével konruáljuk meg a) Konan gyoríóerő-lépcők alkalmazáa A módzerről előzee áekinében a kövekező mondhaó el A jármű [0, v ma ] megengede ebeégarományá ekvidizán ozóponokkal egyforma hozú elemidegen zakazokra ozjuk, majd az így kapo ebeéginervallumok felezőponjaiban meghaározzuk az o érvénye vonóerő é a meneellenállá érékek különbégekén a ebeég-inervallum közepeknél fennálló é a vizgál inervallumban konannak ekine gyoríó-vonóerő érékeke Ezen gyoríó-vonóerő érékekből a ömeg é a forgóömeg ényező imereében meg udjuk haározni a ekine ebeéginervallum középponokbeli gyoruláoka Az igy adódo a, a,,a n gyoruláérékek imereében a zéru ebeégől kiindulva orozaoan meghaározhaók az azono hozúágú v ebeéginervallumok befuáához zükége = v/ a, = v/ a,,, n = v/ a n, időaramok Az így imeré vál i időérékek é v ebeégnövekmény figyelembe véelével origóból induló örövonalkén kiadódik a jármű ebeég időfüggvényének közelíő lefuáá ábrázoló meneábra darab Vizgáljunk például egy egyzerű eee: vízzine egyene pálya, ahol cak az alapellenállá-görbe érdeke, ermézeeen az ado vonóerő-görbe melle wwwankonyvarhu Zobory Iván, BME

25 A JÁRMŰRE HATÓ EREDŐ ERŐ 9 A megoldá menee rézleeebb árgyalában zámozo lépéekre bonva: ) A v v i v ebeégközökben lehe egyenközű ozá i) ekinjük F vi közepe vonóerő é i F eai közepe alapellenállá-erő ) Tekinjük az i-dik Δv-hez arozó F gyi közepe gyoríóerő: F v F ea lépcő durvíá F gyi F vi F eai i,,, n 3)Meghaározzuk az i-dik Δv-hez arozó gyorulá: a i F gyi m i,,, n 4) Meghaározzuk az i-dik Δv befuáának idejé: vi v a, i,,, n i i i a 5) Ezzel pedig előáll a v v) meneábra: zakazonkén lineári közelíéel 6) Az = ) függvény meghaározáa a ebeégfüggvény inegráláával adódik az i v 0 v v v n 0 v egy v v ) 0 v ) d inegrál kizámíáával Mo a meghaározo zakazonkén lineári v) függvény kell a i inervallumok fele inegrálni é a kapo függvényzakazoka folyonoan differenciálhaó kapcolódáal egymához fűzni Az eredmény zakazonkén máodfokú parabola-közelíében mivel v) zakazonkén lineári vol) kapjuk, é az inervallumhaárokon a kapcolódó parabola-zakazok érinői zükégképp megegyeznek! n zakazonkén lineári 8 ábra A v) meneábra közelíő zámíáa konan gyorulálépcőkkel b) Lineári gyoríóerő-zakazok Ennél a módzernél az előzőhöz haonlóan, a jármű vonóerő-görbéjének é a meneellenállágörbéjének v zakazonkén ve különbégfüggvényé a gyoríó-vonóerő-függvény lineárian közelíjük A v inervallumok felle így adódó lineári gyoríó-vonóerő függvény zakazoka vezük figyelembe a jármű mozgáegyenleének a vonakozó v inervallum felei megoldáakor A vizgál inervallum fele érvénye mozgáegyenlere vonakozó kezdei érék feladao orozaoan megoldva előáll a időől eponenciálian függő függvényzakazokból felépülő közelíő meneábra A kapo meneábra újabb idő zerini inegráláával előállíhaó a befuo ú közelíő időfüggvénye i A mo imeree eljárá lépéei formalizál megfogalmazában a kövekezőképp foglalhaók öze: Zobory Iván, BME wwwankonyvarhu

26 30 JÁRMŰDINAMIKA ÉS HAJTÁSTECHNIKA F v F ea zakazonkén lineári Fgyi-) Fgyi v 0 v v i- v i v n v 9 ábra A gyoríóerő zakazonkén lineári közelíée ) A gyoríóerő meghaározáa ado Δv zakazra): F Ez a gyoríóerőre egy jelenkezik F F gyi gy i ) v) F v v gy gy i ) i F gy v i v ) A mozgáegyenle felállíáa: m F v) i v) A Bv alakú lineári közelíé, a diagramban örö vonallal d v d gy 3) A mozgáegyenle megoldáa egy ado Δv zakazra: Bevezeve az F gy v) = A + Bv új válozó a dv F v) m gy d dv A Bv m zéválazhaó válozójú differenciálegyenlee nyerjük Ha peciálian valamely 0, akkor a megoldá könnyen adódik: d A A v, C ) d C C m ) m ) v eeén B = Ekkor ehá a megoldá a ekine v inervallum fele az idő lineári függvénye A C inegrálái konan a ekine v inervallum kezdei ponjában fennálló ebeég imereében könnyen meg lehe haározni Ha a vizgál v fele B 0, akkor az alapeeben levezee egyenleben a gyoríóerő függvényre bevezee A B v lineári kifejezére az új u válozó bevezeve é az v-zerin deriválva a d u d u B d v, majd a d v özefüggé adódik A kapo eredmények figyelembe véelével a ebeégfüggvény meghaározáára az d zeparál válozójú diffe- B d u B u m renciálegyenle adódik, melynek mindké oldalá a ajá válozója zerin inegrálva előbb az wwwankonyvarhu Zobory Iván, BME

27 A JÁRMŰRE HATÓ EREDŐ ERŐ 3 ln u B kifejezé, majd rendezéel az m C B ln u BC m képle adódik A kapo egyenle mindké oldalá e alapra emelve, kapjuk u ezőlege C érek mellei egyparaméere kifejezéé: B B BC m m BC u, C ) e e e Az alkalmazo helyeeíé u A B v helyeeíé figyelembe véve é a bal oldalra beírva a keree v,c) egyparaméere megoldáerege v-re rendezve kapjuk: B m BC v, C ) e e A) B A zereplő C konan meghaározáa mo i a ebeéginervallumonkén érvénye kezdei feléelek kielégíéével végezheő el Például a 9 ábra elő [v 0, v ] ebeéginervallum felei megoldázakazhoz a 0 = 0 ponban v 0 0) = 0 indíá) kezdei feléelek figyelembevéelével a C konan a kövekező meggondoláok alapján adódik B m 0 BC BC BC v0) e e A) 0, v0) e A) 0, e A, B B C ln A B Az elő v inervallum felei megoldázakaz az ezen inervallumban érvénye A = F gy0 > 0 é B < 0 paraméerek melle: B B B ln A m B m ln A v ) e e A) e e A) B B B B m A m e A A ) e ) B B A bemuao eljárá orozaoan elvégezve az egye v ebeéginervallumok fele, a kapo rézmegoldáoka folyonoan calakozava előző v -beli végebeég = a kövekező v -beli kezdei ebeég), adódik a elje v) meneábra zakazonkén eponenciáli függvényzakazokból felépülő közelíée 8 Numeriku megoldá A hajá- é fékvezérléel irányío, ado emelkedéi é irányvizonyokkal bíró mozgápályán megvalóuló járműmozgá meghaározáának kérdéé vizgálva korábban az ) ), ), u ), u ) ) é ) v Zobory Iván, BME wwwankonyvarhu

28 3 JÁRMŰDINAMIKA ÉS HAJTÁSTECHNIKA kezdei érék problémára KÉP) juounk Ez az imerelen ) függvény meghaározáára zolgáló, ké vezérlőfüggvénnyel vezérel, nemlineári máodrendű differenciálegyenle áírhaó ké előrendű differenciálegyenleből álló differenciálegyenle-rendzerré a mozgáállapo-vekor bevezeéével az alábbiak zerin Előzör i definiáljuk a mozgó jármű mozgáállapo-vekorá, az def ) ) ) ebeé- időfüggő kédimenzió vekorfüggvény, melynek elő koordináafüggvénye a jármű ) ge, máodik koordináafüggvénye pedig a jármű álal befuo ) ú időfüggvénye Az állapovekor idő zerini deriválja az előzmények figyelembevéelével mármo a kövekező lez: ) ) ) ), ), u ), u ) F ), u ), u ) ) F ) ahol a jobb oldali vekorfüggvény elő koordináafüggvénye a jármű mozgáegyenleéből adódik, figyelembe véve, hogy az ) é ) függvények megadáa egyenérékű az ) állapovekor megadáával Ilymódon ehá vekoro írámóddal a kövekező előrendű, nemlineári differenciálegyenle-rendzerre vonakozó kezdei érék problémá kapjuk az imerelen ) mozgáállapovekor időbeli alakuláára vonakozóan: ) F ), u ), u ) ; v A feni differenciálegyenle-rendzer megoldáa numerikuan örénik az iránymező leapogaáával, az alábbi algorimu zerin: ) A 0 kezdei időponhoz elő van írva az 0 kezdei vekor kezdei ebeég é ú érékpár) időponhoz hozzárendeljük az 0 0,, ) A 0 h h a zámíá időbeli lépéköze 3) A 0 h időponhoz ugyanígy hozzárendeljük az vekor h F u u h vekor, ahol,, h h F h u h u h h 4) A 0 3h időponhoz ugyanígy hozzárendeljük az vekor, b 3, , 0 h h F h u h u h h A feniekben vázol eljárá az Euler-féle megoldái módzer, amely a 0 ábrán vázolak zerin zolgálaja a mozgó jármű h ozáközű időponorozaon kialakuló ebeég é befuo ú függvényeinek örövonala közelíéé, wwwankonyvarhu Zobory Iván, BME

29 A JÁRMŰRE HATÓ EREDŐ ERŐ 33 =v = h h h h 0 =0 0+h 0+h 0 =0 0+h 0+h 0 ábra Az Euler-módzerrel az idő függvényében nyer közelíő zakazonkén lineári ebeég é befuo ú függvények Az Euler módzer alkalmazáakor ehá zakazonkén lineárian, örö vonallal közelíjük a megoldáfüggvényeke A közelíé annál jobb vagyi a megoldá annál ponoabb é numerikuan abilabb), minél kiebb a h > 0 lépéköz A lépéköz ajánlo nagyágára nézve az alábbiak lehenek irányadók: a) főmozgá leíráakor: b) parazia mozgáoknál: h = 0, 0,0 h = 0,00 0,0000 Zobory Iván, BME wwwankonyvarhu

30 3 Kereke járművek vonóerő-kifejée é fékezée 3 A kerék é a ámazófelüle kapcolaa 3 Álló jármű eee a kerék nem mozog v = 0 R ω = 0 A y A a 3 ábra A nyugalomban lévő =0 é v=0) rugalma kerék é a rugalma ámazófelüle érinkezéi felüleének paríciója A a adhézió é A zliparományra A kerék é a ámazófelüle érinkezée az A felülere erjed ki, ezen felüle belő ponjaiban az érinkezéi nyomá poziív Az A érinkezéi felüle konak felüle) ké rézarományra paricionálhaó, az A a adhézió aromány é az A zliparomány különbözeheő meg Az adhézió aromány ponjaiban az érinkező felülei ponok cúzámeneen érinkeznek, de a környezei anyagrézek rugalma alakválozáa kövekezében a felüle érinőíkjába eő megozló nyugalmi úrlódái erő ávielre kerül A zliparomány ponjaiban az érinkező felülei ponok cúzá jelenléében érinkeznek, ennek megfelelően megozló cúzóurlódái erő áviele valóul meg a ké e zliparománybeli ponjaiban Az A konakfelüle ké rézarománya közö minden eeben fennáll, hogy A A a A é A 0 a A Az érinkezé-mechanikában konakmechanika) a konakfelüleen fellépő nyomáelozlá normáli rakcióelozlának nevezzük A legegyzerűbb eben a ké érinkező e eeén kialakuló normáli rakcióelozlá a Herz-féle elméle alapján zármazahaó Herz-féle érinkezé eeén az A konakfelüle ellipzi-aromány, é a kialakuló normáli rakció elozlá a konakfelüle fele félellipzoid alakú y pma a b 3 ábra A normáli rakció elozláa a Herz-féle érinkezéi ellipzi fele A 3 ábrán felrajzoluk az a nagyengely-félhozal é b kiengely-félhozal jellemze konakellipzi é a hozzá arozó normáli rakcióelozlá ellipzoid alakú jellegfelüleé a p ma maimáli érék bejelöléével A Herz-féle fél-ellipzoid normáli rakcióelozlá az A konakfelüle ponjaiban wwwankonyvarhu Zobory Iván, BME

31 3 KEREKES JÁRMŰVEK VONÓERŐ-KIFEJTÉSE ÉS FÉKEZÉSE 35 nemnegaív: p, y ) 0 ;, y ) A [p]=n/m A p ma maimáli é az álago p nyomá kapcolaa: p, 5 p, ahol ma p A A p, y ) d A A 3 ábra zerini nyugvó kerék eeében az A a adhézió aromány az A konakfelüle belejében, középen helyezkedik el Az A zliparomány pedig körbevezi az adhézió aromány A arományok ilyen alakuláá az magyarázza, hogy nyugalmi helyzeben a konakfelüle kerülei ponjaihoz közeledve a normáli rakció gyoran cökken é a felüleeke özezoríó erőhaá az A felüleen már nem elegendő a deformálódó anyagrézek közöi, a konakfelüle lokáli érinőíkjába eő megozló angenciáli erőhaá a angenciáli rakció) elcúzámene ávielére 3 A gördülőkapcola dinamikája A jelen fejezeben a kerék-ámazófelüle kapcola angenciáli erőázármazaáá vizgáljuk, amikor a kerék a rá haó erők) é nyomaékok) haáára állandóul gördülőmozgában van Előzör i hangúlyozni kell, hogy a gördülé közben érinkező kerék é a ámazófelüle rugalma A függőlege kerékerő működée közben mind a kerék mind pedig a ámazófelüle deformálódik A kerékerő mia a kerék eredeileg kör alakú kerüleének a konakfelülebe eő réze az érinkezé orán megrövidül Ezzel zemben az eredeileg erhelelen állapoban) ík ámazófelüle a kerékerhelé haáára enyhén görbül bemélyed) alako vez fel é ezér az eredei egyene haároló vonalhozához képe nagyobb ívhozú enyhén görbül vonal jellemzi az érinkező felüle erhel alakjá A mo végigvi gondolamene mia azonnal adódik, hogy a kerék é a ámazófelüle érinkezéi felülebe eő rézének elérő érelmű deformációja mia keréknél ívhoz cökkené, ámazófelülenél ívhoz növekedé) a konakfelüleen a gördüléi irányban cúzának kell jelen lennie Állandóul gördülőmozgá orán = áll, v = áll) a jelze cúzáo érinkezé jellemző A zliparomány a konakfelüle gördüléi iránnyal az irány) ellenée zélén helyezkedik el, míg az elcúzámene érinkezéi ponoka aralmazó A a adhézió aromány a konakfelüle gördüléi iránnyal egyező végén lévő un vezeőéléhez zárkózik fel R Hajá v ω Fékezé R v ω M h M f A y A a A y A a 33 ábra A rugalma ámazófelüleen gördülő rugalma kerék konakfelüleének é a kerékre működő angenciáli rakciójának alakuláa hajá é fékezé eeén A 33 ábrán egymá melle rajzoluk fel az állandóul gördülőmozgá végző hajo é fékeze jármű- Zobory Iván, BME wwwankonyvarhu

32 36 JÁRMŰDINAMIKA ÉS HAJTÁSTECHNIKA kerék ábrájá A hajo kerék eeében felüneük az M h hajónyomaéko, a fékeze kerék eeében pedig az M f fékezőnyomaéko Mindké ábrarézen zerepeleük a kerekek nyomaékáviel hiányában eredeileg radiáli vonalainak a nyomaékáviel mia deformálódo alakjá, ovábbá a ámazófelülenek a konakfelüleen ávi angenciáli rakcióelozlá miai deformálódáá Ugyancak mindké eehez arozóan felrajzoluk a konakfelüle adhézió é zliparományra örénő paríciójának alakuláá, berajzolva a kerékre haó angenciáli rakcióelozláok érelemhelyeen felrako vekorelozláai A angenciáli rakció az A a adhézió arományban a a,y) kéválozó függvény, az A zliparományban pedig a,y) kéválozó függvény jellemzi Valamely,y) koordináájú pono aralmazó da elemi felüleen az o érvénye a,y) angenciáli adhézió rakcióból df a = a,y)da hozirányú elemi kerülei erő, a,y) angenciáli zliprakcióból pedig df =,y)da hozirányú elemi kerülei erő ébred Nyilvánvaló, hogy az eredő kerülei erő a elje konakfelülere kierjeze inegráláal fog kiadódni A angenciáli rakcióelozláok egíégével mind hajá, mind pedig fékezé eeén felírhajuk a kerékre a kerüleen működő erő özeevőke Konan F n kerékerhelé melle hajá eeében a angenciáli rakcióval ávi kerülei erő a kerékre haó F v vonóerő Az adhézió angenciáli rakcióval ávi vonóerőréz F va -val, a zliprakcióval ávi vonóerőréz F v -el jelöljük A elje ávi vonóerő ilymódon: F v = F va + F v Fono hangúlyozni, hogy a konakfelülei rakciók alakuláa é az azok haáakén adódó vonóerő özeevők alakuláa alapveően függ a kerékre haó M h hajónyomaék =gördíő-nyomaék) nagyágáól, ezér célzerű felünei a vonóerőre felír egyenlőégben az M h argumenumo, é a zereplő vonóerő özeevőknek a rakcióelozláokból való zármazaáá i megadni: F v M h )= F va M h ) + F v M h ), y ) d A +, y ) da Aa a Haonlóképp, konan F n kerékerhelé melle fékezé eeében a angenciáli rakcióval ávi kerülei erő a kerékre haó F f fékezőerő Az adhézió angenciáli rakcióval ávi fékezőerőréz F fa - val, a zliprakcióval ávi fékezőerőréz F f -el jelöljük A elje ávi fékezőerő ilymódon: F f = F fa + F f Imé fono hangúlyozni, hogy a konakfelülei rakciók alakuláa é az azok haáakén adódó fékezőerő özeevők alakuláa alapveően függ a kerékre haó M f hajónyomaék =gördülé akadályozó nyomaék) nagyágáól, ezér a fékezőerőre felír egyenlőégben i i megadjuk az M f argumenumo, é a zereplő fékezőerő özeevőknek a rakcióelozláokból való zármazaáá: F f M f )= F fa M f ) + F f M f ), y) d A, y) d A Mh A Mh a Aa M A f M f A gördülőkapcolaon ávi angenciáli erőhaáok rövid érinkezé-mechanikai jellemzée uán a gyakorlai járműdinamikai vizgálaokhoz alkalma formulázá adunk A korábbi anulmányok orán, a Járművek é mobil gépek I c árgyban ill a Járműrendzerek c árgyban megimere a hallgaóág a feniekben leír, a gördülőérinkezében rézvevő rugalma eek a kerék é a ámazófelüle) alakválozáának fajlagoíáával é időegyégre veíéével érelmeze hozirányú kúzá fogalmá Ha a jármű kerekére a ámazófelüleről erő kerül áadára, akkor o ez az erőhaá a kerék kimérékű angenciáli alakválozáá okozza A kerékre ávi erő ellenereje, amely a ámazófelülere az érinkezéi felüleen működik, a ámazófelüle kimérékű pályahoz-irányú alakválozáá okozza A kerék előregördüléekor mind a kerék kerüleről, mind a ámazóíkba eő gördüléi nyomvonalról újabb é újabb deformálalan anyagrézek lépnek be az előremozgó konakfelülebe, épül fel rajuk a angenciáli rakcióelozlá, é lép fel a rakcióval meghaározo angenciáli alakválozá A mo mondo folyama végeredményekén az lehe elmondani, hogy a vonóerőkifejé közben előregördülő kerék kerüleén legördül ívhoz éppen a aglal rugalma alakválozáok kumuláló- wwwankonyvarhu Zobory Iván, BME

33 3 KEREKES JÁRMŰVEK VONÓERŐ-KIFEJTÉSE ÉS FÉKEZÉSE 37 dáa mia nagyobb lez min a kerék középponjának mozgápálya irányú előremozduláa Ha ez a ávolág-különbége elozjuk a mozgá időaramával, akkor egy lázólago cúzái ebeég adódik, ami nem egyéb, min a kerék R kerülei ebeégének é a kerékközéppon v haladái ebeégének R - v > 0 különbége Figyeljük meg, hogy a ilyen poziív cúzái ebeég merev eek kapcolaa orán cak akkor léphene fel, ha a konakfelüle egézén cúzá lenne jelen, vagyi az A zliparomány kiölené a elje konakfelülee, é így A = A eljeülne Min láuk, hajo rugalma kerék é rugalma ámazófelüle eeén az R - v > 0 ebeégkülönbég az özzegződő rugalma alakválozáok mia áll elő Amennyiben a rugalma eek gördülőkapcolaában olyan nagy erő kellene ávinni a kerékre, amely meghaladja apadóúrlódáal áviheő F 0 = 0 F n haárerő, akkor bekövekezik a kerékperdülé, mikori az A zliparomány már kierjed a rugalmaág jelenlée melle i a elje A konakfelülere Fékeze kerék eeén a konakfelüleen érinkező anyagrézek alakválozái iránya megfordío a hajá eeéhez képe A fékezé orán fellépő alakválozái folyama végeredményekén elmondhaó, hogy a fékezé közben előregördülő kerék kerüleén legördül ívhoz éppen a aglal ellenée előjelű rugalma alakválozáok kumulálódáa mia kiebb lez min a kerék középponjának mozgápálya irányú előremozduláa Ha ez a ávolág különbége elozjuk a mozgá időaramával, akkor egy lázólago cúzái ebeég adódik, ami nem egyéb, min a kerék R kerülei ebeégének é a kerékközéppon v haladái ebeégének különbége, ami a fékezé eeében negaív: R - v < 0 I i elmondhaó, hogy ilyen negaív cúzái ebeég merev eek kapcolaa orán cak akkor léphene fel, ha a konakfelüle egézén cúzá uralkodna, vagyi az A zliparomány kiölené a elje konakfelülee, é így A = A eljeülne A fékezé eeében rugalma kerék é rugalma ámazófelüle eeén az R - v < 0 ebeégkülönbég i i az özegződő rugalma alakválozáokból adódik Amennyiben a fékeze kerék gördülőkapcolaában olyan nagy erő kellene ávinni a kerékre, amely meghaladja apadóúrlódáal áviheő F 0 = 0 F n haárerő, akkor bekövekezik a kerékcúzá, majd blokkolá eee, mikori az A zliparomány már kierjed a rugalmaág jelenlée melle i a elje A konakfelülere, é a cúzái ebeég abzolú éréke éppen a kerék haladái ebeégével azono A feniekben mind hajára mind fékezére érelmeze R - v ebeégkülönbég helye annak a v ebeéggel normál éréké, a hozirányú kúzá haználjuk a járműdinamikai vizgálaok orán A hozirányú kúzá érelmezée cak v 0 eere leheége, képlezerű felírában: R v v def Figyeljük meg, hogy a kerék mozgáára a haladái irányban poziívnak feléeleze é v eeében a feni képleel érelmeze hozirányú kúzá hajái üzemállapoban poziív előjelű éréke, fékezéi üzemállapoban pedig negaív előjelű éréke zolgála Annak az egyzerű énynek a meggondoláával, hogy nagyobb kerülei erők eeén nagyobb lokáli konakfelülei alakválozáokkal kell zámolnunk, adódik, hogy a kerékalpra haó F v vonóerő é F f fékezőerő a konakfelülei alakválozáokkal monoon függvénykapcolaban lévén a hozirányú kúzá függvénye kell, hogy legyen A kerékre haó vonóerő a hozirányú kúzá poziív érékeihez poziív érékkén rendeljük hozzá, míg a kerékre haó fékezőerő a hozirányú kúzá negaív érékeihez negaív erőnagyágkén rendeljük hozzá Tehá F v = F v ) 0 é F f = F f ) 0 v 0 Zobory Iván, BME wwwankonyvarhu

34 38 JÁRMŰDINAMIKA ÉS HAJTÁSTECHNIKA F f fékerő) R v F n - kerékerő kerékerhelé) M f fékezőnyomaék) R F n - kerékerő kerékerhelé) v M h hajónyomaék) F v vonóerő) 34 ábra A gördülőkapcolaban a kerékalpra ávi angenciáli erő alakuláa fékezé é hajá eeén A énylege járműdinamikai vizgálaok orán a feni indokláal a árgyalába bevezee F v ) é F f ) hozirányú kúzáól függő erőfüggvényeke a függőlege kerékerővel elozo normál) válozaban zokuk haználni Ez a normálá veze a angenciáli é a normáli erő hányadoával érelmeze, é μ-vel jelöl hozirányú erőkapcolai ényező fogalmához Vonóerő kifejéi hajái) üzemállapookban a feniek zerin 0 hozirányú kúzáok melle: def F v > 0, F n mivel a F n kerékerő mindig poziív Haonlóképp, a fékezőerő kifejéi fékezéi) üzemállapookban a feniek zerin 0 hozirányú kúzáok melle: F def f < 0 F n A 35 ábrán felrajzoluk a feniek zerini előjelzabálynak megfelelő erőkapcolai ényező függvény Mind a poziív, mind a negaív jellegzee kúzái állapookhoz arozóan zemlélejük konakfelülei vizonyoka, bejelölve az adhézió é a zlip aromány kierjedéé Ezen a ponon újra hangúlyozzuk, hogy az A a adhézió aromány mindenkor a haladái irány zerin elől elhelyezkedő belépőélre zárkózik fel Az A zliparomány ki abzolú érékű kúzáoknál a konakfelüle kilépő élének környezeében alálhaó, majd az ávi kerülei erő abzolú érékének növekedéével jelenően kierjed, é végül a makrozkopiku cúzá beállakor kierjed az egéz A konakfelülere Az erőkapcolai ényező függvény a maimáli éréké a makrozkopiku cúzá haáreeéhez érkezve éri el, ekkor éréké apadái haárnak nevezzük é 0 -lal jelöljük Alapeeben a ) függvény páralan függvénynek ekinhejük, azaz - ) = - ) érvénye Az ábra cenráli zimmeriája már muaja a jelze ulajdonág érvényeüléé Fono kiemelnünk, hogy a énylege járműüzemben érvényeülő erőkapcolai ényező érékek jelenő bizonyalanággal erhelek, é ezér valózínűégi válozónak bizonyulnak Ez a problémá árgyaláunkban kéőbb vezük elő Tárgyaláunk ezen ponján hangúlyoan húzzuk alá, hogy ha 0, akkor 0 é így F 0 é F 0 v f i fennáll Mindig idézzük emlékezeünkbe a kövekező mondao: zéró kúzá = zéró hozirányú angenciáli) erő! wwwankonyvarhu Zobory Iván, BME

35 3 KEREKES JÁRMŰVEK VONÓERŐ-KIFEJTÉSE ÉS FÉKEZÉSE 39 ν <0 Fékezé A A a μ = 0, kerékperdülé A= A A a =0 ν A= A A a =0 kerékcúzá =- 0, Hajá ν >0 35 ábra A gördülőkapcola angenciáli erőázármazaáá jellemző erőkapcolai ényező a hozirányú kúzá függvényében A járműdinamikai vizgálaokhoz különöen a korzerű zámíógépe zimulációk megvalóíáához zükége a ) erőkapcolai ényező függvény legalább i közelíő megadáa képlezerű uaíáal A BME Vaúi Járművek é Járműrendzeranalízi Tanzékén korábban kifejlezére kerül egy a ) megadáára nagyon jól haználhaó közelíő függvény A jelze közelíő leírában zámo méréi eredmény jellegzeeégének figyelembevéelével a ) függvény ké jellegzee függvényzakazból konruáljuk meg: ) az origó-közeli függvényzakaz máodfokú parabola darabokból állíjuk elő, ) a diagram végei eponenciáli függvényzakazal írjuk le valamely vége haárérékhez arava azoka a kúzá abzolú érékének növeléekor A feniekben bevezee ké függvényípu görbéi imán =folyonoan differenciálhaóan) kapcoljuk egymához a 0 ill - 0 apadái haárhoz arozó 0 é - 0 kúzánál némiképp nagyobb abzolú érékű e é - e kúzá ordinááknál Ezzel előáll a 35 ábra zerini oor-alakú erőkapcolai ényező függvény A függvény feniekben körvonalazo módon örénő előállíáához 4 jellemző paraméer megadáa imeree) zükége, ezek a 0 apadái haár, a apadái haárhoz arozó 0 abzciza, a ké függvényzakaz ima kapcolódái ponjának e abzcizája, é az erőkapcolai ényező haáréréke, midőn a kúzá minden haáron úl nő A mo felorol paraméereke egy négydimenzió p paraméervekorba foglaljuk: p R 4 T 0 0 e μ Infleió pon μ 0 μ e Δ μ ν ) μ ν ) μ ν 0 ν e ν 36 ábra Az erőkapcolai ényező kúzáfüggéé megadó négy paraméer érelmezééhez Zobory Iván, BME wwwankonyvarhu

36 40 JÁRMŰDINAMIKA ÉS HAJTÁSTECHNIKA Ezzel az erőkapcolai ényező egy négyparaméere függvénnyé vál, írhaó ehá, hogy 4, p, ahol p R A 36 ábrán zemlélejük a megado paraméervekor komponeneinek jelenéé, é az oorgörbé alkoó ) é ) függvényzakazoka A elje ν engely fele imerni kell alakjá képle formájában, zámíógépre közvelenül programozhaó megadáal A kíván köveelmény jól eljeíi az alábbi megadá:, p ign 4 ha parabola ág ) 0 e 0 0 e T e ha ep ág ) e e Előzör a ) parabola zakaz felépíéé árgyaljuk, lépéenkén konruálva meg a zükége paraméerfüggé beállíáá ) A konrukció peciáli, a ν = 0 é ν = helyen zéru érékű máodfokú parabolá meghaározó g 0 alapfüggvény felvéelével kezdjük: g, 0 ) A konrukció máodik lépéében a g 0 -ból olyan máodfokú parabolá kézíünk, melynek gyökhelyei az előbb meghaározoak, de ν = 0,5-nél maimuma μ 0 : g 4 g 4, ) Végül konrakció ranzformáció hajunk végre, amivel bizoíjuk egy alkalma c konan egíégével, hogy a függvény ami ulajdonképpen a elje, oorzerű függvény elő, parabola-zakazal leír réze) cúcéréke ν 0 -hoz een Könnyű beláni, hogy ilyen c- éréke zolgála a c képle 0, Ezen lépéek uán előáll a kíván g c c c A 37 ábrán bemuajuk a feniekben árgyal ) 3) lépéek orán előálló függvényeke 37 ábra Az erőkapcolai ényező paraboliku rézének paraméer-beállíáához Áérünk a ) eponenciáli függvényzakaz felépíéének árgyaláára, lépéenkén muava be a zükége paraméer-beállíáoka Az egye lépéeke a 38 ábra négy diagramja é a zerepelee függvénykifejezéek muaják Az ábra rézében a negaív kievő eponenciáli függvény nemnegaív függelen válozók eeén érvénye diagramja zerepel Az ábra mezejében az mezőben zereplő függvénynek egy 0 < < zorzóval örén bezorzá uán adódó diagramjá lájuk Az 3 mezőben annak a függvénynek a képleé é diagramjá lájuk, amely a mezőbeli függ- wwwankonyvarhu Zobory Iván, BME

37 3 KEREKES JÁRMŰVEK VONÓERŐ-KIFEJTÉSE ÉS FÉKEZÉSE 4 vényből egy 0 < < konan érék hozzáadáával kelekeze Az ábra 4 mezejében 3 mezőbeli függvényből e > 0 érékkel jobbra örén eloláal kapo függvény képlee é diagramja zerepel e Δ e 3 Δ e 4 Δ e ) e 38 ábra Az erőkapcolai ényező eponenciáli rézének paraméer-beállíáához A feni előkézüleek uán ekinük mo a paraboliku ) é az eponenciáli ) függvényzakaz ima folyonoan differenciálhaó) kapcolódáá A ima kapcolódá e abzcizájú ponjában ké feléelnek kell eljeülnie: a) a ké függvényzakaz helyeeíéi éréke egyezzen meg a = e helyen, azaz álljon fenn a e ) = e ) egyenlőég, b) a ké függvényzakaz = e helyi elő differenciálhányadoa egyezzen meg, azaz álljon fenn a d d d d e e egyenlőég Jól érzékelheő, hogy ké egyenle áll rendelkezéünkre a korábban bevezee T é egédválozóknak a paraméervekorbeli koordináákkal örénő kifejezéére A folyono kapcolódá a) feléelé vizgálva a a ) Δ e helyeeíéi érékek egyenlőégéből a 4 e 0 e e 0 0 é 4 0 e e 0 0, eredmény adódik A ima kapcolódá b) feléeléből a, ) / T e derivál helyeeíéi érékek egyenlőégé felírva előbb a derivál é a e 0 0 e 0 0 Zobory Iván, BME wwwankonyvarhu

38 4 JÁRMŰDINAMIKA ÉS HAJTÁSTECHNIKA 0 0 e 0 0 Δ T egyenlőég, ebből pedig a T Δ 0 0 e 0 0 eredmény adódik A nyer özefüggéek alapján mo már egyérelműen megado a, p négyparaméere erőkapcolai ényező függvény Az előző árgyaláunkban már ualunk rá, hogy az erőkapcolai ényező függvény éréke valamely akuáli kúzái érék eeén bizonyalanággal erhel, é így az valózínűégi válozónak ekinendő Ez a kérdé mo kici rézleeebben i vizgáljuk A közlekedéi pálya befuáa orán a ámazófelüleen végiggördülő járműkerék igen válozao ribológiai körülményekkel alálkozik Az elérő mikrogeomeriai vizonyok, a különböző, válozó minőégű é geomeriai kierjedéű zenynyező anyagok jelenlée, a környező hőmérékle é páraaralom jelenő válozáa mind befolyáolja az erőkapcolai ényező alakuláá A mo felorol jellemzők a közlekedéi pálya menén nem előre megadhaó zabályoág zerin valóulnak meg, é maga a járműmozgá folyamaa i eelegeégekkel jellemezheő Ebből adódik, hogy valamely konkré kerék/ámazófelüle érinkezéi eemény körülményei bizonyalanok, ezér az erőkapcolai ényező éréke valózínűégi válozó lez Ez az jeleni, hogy valamely kúzá éréke felvéve az ezen kúzá érékhez arozó erőkapcolai ényező éréke cak a leheége maimáli é minimáli érékek álal meghaározo inervallum fele érelmeze valózínűégi űrűégfüggvénynyel udjuk jellemezni A vizonyoka a 39 ábra muaja μ μ 0 Felő Tapadái haár μ = μ 0 = μ 0 /3 Aló μ ν 0 ν 0 = ~3 ν 0 ν Bizonyalanági áv 39 ábra Az erőkapcolai ényező ado kúzánál valózínűégi válozónak bizonyul é bizonyalanági áv rajzolódik ki A bizonyalanág jelenléé a maimáli é minimáli erőkapcolai ényező érékek alkoa függvényvonalak közi zürke ónuú áv zemlélei A minimáli é maimáli érékek közö realizálódó erőkapcolai ényezőkre nézve a berajzol haranggörbe alakú valózínűégi űrűégfüggvény adha ájékozaá Az ábrán cupán egy ilyen haranggörbé rajzolunk be, azonban minden kúzái érékhez arozik egy egy haranggörbe A legnagyobb é a legkiebb apadái haárra vonakozó durva wwwankonyvarhu Zobory Iván, BME

39 3 KEREKES JÁRMŰVEK VONÓERŐ-KIFEJTÉSE ÉS FÉKEZÉSE 43 ökölzabály jellegű - özefüggé fogalmazhaó meg a 0min = /3) 0ma formulával Ponoabb jellemzé lehe adni az erőkapcolai ényező gördülé pálya meni vélelen ingadozááról a kuaái zinen már kidolgozo vekorparaméere zochaziku folyama modellel Ez a modell az erőkapcolai ényező a keréknek a pályán elfoglal ívhozban mér helyzeéől é a hozirányú kúzáól függően adja meg egy vélelenől függő w) érékkel A vélelenől való függé a w elemi eemény bekövekezée indikálja Ily módon a,, w képaraméere zochaziku mező kell vizgála árgyává enni A jelen árgyalában ninc leheőég a elje kérdé kifejéére, azonban a 30 ábrán felrajzoluk az erőkapcolai ényező válozái probléma gyakorlai zemléleéére alkalma diagramo μ µ ingadozik menén Ma Min ν µν,,w) ν,) ν ) ν i ingadozik menén 30 ábra Az erőkapcolai ényező é a hozirányú kúzá bizonyalanágának zemléleée a befuo ívhoz függvényében Az ábra alapíkjában zemlélejük a hozirányú kúzá pályahoz-meni ingadozáá megjeleníő ) realizáció függvény Ezen függvény fele pedig az pályahoz menén jelenő ingadozá muaó, erőkapcolai ényező realizáció függvény rajzoluk fel Ezen uóbbi realizáció függvény jobb oldali végponjához arozó képaraméere valózínűégi válozó a,, w zochaziku mező ado paraméerpárhoz arozó kimeneeli éréké realizációjá) Máképp fogalmazva: ado w kimeneel indikáló elemi eeményhez arozóan az ado úhoz é kúzához az alapíkra merőlegeen felmér ordináa az erőkapcolai ényező w kimeneelhez arozó megvalóul realizálódo) éréké adja Özefoglalva: minden, koordináapárhoz hozzá van rendelve az erőkapcolai ényező ávzerűégé jellemző,, w valózínűégi válozó, ez az erőkapcolai ényező vélelen ingado- záai megjeleníő vélelen zochaziku) mező 33 A gördüléi ellenálláerő energeikai háere A gördülőkonakuban a gördüléi ellenálláerő lérejöének energeikai vonakozáá árgyaljuk A 3 ábrán felrajzoluk a kerék/ámazóík A konak ellipzié, amely A a adhézió é A zliparományra bonhaó Bejelölük a angenciáli rakció vekorok elozláá i Az ábrán láhaó a már megimer A érinkezéi konakfelüle, mely A a adhézió é A zliparományra bonhaó Mivel A 0, a rendzerből cúzóurlódái eljeímény ávozik A cúzóurlódái eljeímény meghaározáához ekinük az A aromány,y) koordináapárú ponjá aralmazó da elemi felüleelemé A jelze felüleelemen jelenlévő, y) zliprakció é v, y) cúzái ebeég alapján adódik az elemi energiaáram, ami a úrlódá mia a környezebe ávozik a felüleről: d P, y) v, y) da Zobory Iván, BME wwwankonyvarhu

40 44 JÁRMŰDINAMIKA ÉS HAJTÁSTECHNIKA v A da δv y τ A a 3 ábra A gördüléi ellenálláerő kialakuláában zerepe nyerő zliparományi úrlódái energiaáram érelmezééhez A kerékből ávozó elje úrlódái energiaáram az A ziparományra vonakozó inegráláal adódik: P A dp τ,y) v, y) da A Az ilyen energiavezeég jelenléében a kerék konan ebeégű gördüléé cak úgy lehe fennarani, ha az elvezee energiaáramo a vonóerő-kifejéel bevi eljeímény póolja A konakfelülei zliparományon megvalóul energiaáram vezeége úgy i ekinhejük, hogy az az F eag gördüléi ellenálláerő v gördüléi ebeég mellei P eag = F eag v eljeíményéből adódik A ké eljeímény egyenlővé éve előbb az F eag v = τ, y) v, y) da özefüggé, majd az gördüléi ellenálláerőre vonakozó A F eag = τ, y) v, y) da v A kifejezé kapjuk Kirajzolódik ehá, hogy a zliparományi eljeímény vezeég a gördülőellenállá-erő lényege meghaározója A levezee inegrál kifejezé énylege numeriku meghaározáa konakmechanikai zofver egíégével pl a CONTACT zofverrel) valóíhaó meg, mivel a arományi inegrálá kizámíáához zükég van a zliprakció é a mikrocúzá ebeégi mezejének A -beli elozláának imereére 3 A fékezé dinamikája Ebben a fejezeben a fékezédinamikai vizgálaoka a leglényegeebb fékezéi módra a járművek kerékfékezéének kérdéeire irányíva végezzük A fékezé alapmozzanaa a kerekek forgáával ellenée érelmű nyomaék a fékezőnyomaék ráviele a jármű kerekeire, vagy a kerekeke hordozó engelyre A kerékfékezékor megvalóuló nyomaékkifejé ekinve árgyaláunkban cak a úrlódónyomaék generáláán alapuló fékekkel foglalkozunk, ezeke úrlódáo kerékfékeknek nevezzük A úrlódáo fékezé mindenkor dizipaív jellegű, a úrlódáal feleméze mozgái energia úrlódáal generál hő formájában a járműkörnyezebe ávozik, ovábbi haznoíáa nem leheége A mondo ulajdonága mia a úrlódáo fékek nem gazdaágoak A jelen anárgyban a úrlódáo fékek három jellegzee reprezenán rendzerének dinamikájával foglalkozunk Ezek a ukó fékek, a dobfékek é a árcá fékek wwwankonyvarhu Zobory Iván, BME

41 3 KEREKES JÁRMŰVEK VONÓERŐ-KIFEJTÉSE ÉS FÉKEZÉSE 45 3 A ukó fék vizgálaa A ukó fék eeén a fékarukba behelyeze fékukóka a kerék ké áellene oldalán radiálian működő F fékukóerővel nekizoríjuk a kerék fuófelüleének A 3 ábrán felrajzoluk a fékrendzer vázlaá é bemuajuk a fonoabb geomeriai jellemzőke, valamin a ukóerő lérehozáá a függőlege fékemelyűre működee vízzine F fü erő egíégével A fékukó- fékarú rendzer bővíe aikai vizgálaához ekinük a ukó alai nyomáelozlá a zöghelyze jellemző függvényében megadó: p ) ; [ ; ] függvény, ahol Φ a ukó úrlódó felüle áfogái zögének féléréké jeleni F f fékezőerő 3 ábra A ukó fék zerkezee é erőhaávizonyai Ennek imereében a 3 ábra jelöléei figyelembe véve az alábbi differenciáli özefüggéeke írhajuk fel: ) A ukóra működő elemi normálerő a da felüleelemen: d ) p ) da, ) A ukóra működő elemi úrlódóerő a da felüleelemen: df ) ) df ), 3) A kerék forgáengelyére zámío elemi úrlódónyomaék: dm ) R df ) Figyeljünk fel arra, hogy i a a kerék é a ukó cúzó érinkezéére) a zöghelyze-jellemző d F ) függvényében megado ) úrlódái ényező a ) özefüggéel érelmeze dif- d F ) ferenciáli v lokáli) úrlódái ényező A fen megado három differenciáli özefüggé figyelembevéelével az elemi úrlódónyomaék dm ) R ) p ) da alakban adódik, ahol d A b Rd é b a fékukó vaagága az ábrára merőlege méree) Végül i a behelyeeíéek uán az elemi d zögarományon generál úrlódónyomaékra a F n n n d M ) R ) p ) br d br ) p ) d formula adódik A kerék forgáengelyére működő elje úrlódónyomaéko az elemi úrlódó felüleeken generál elemi úrlódónyomaékok özegzéével, azaz a elje [-,] áfogái zögre vonakozó inegráláal kapjuk: M br ) p ) d - Zobory Iván, BME wwwankonyvarhu

42 46 JÁRMŰDINAMIKA ÉS HAJTÁSTECHNIKA Kihaználva a egyenlőége, a feni egyenle célzerűen áalakío válozaá kapjuk: M br ) p ) d df ny df n φ) df n df φ) φ +y +φ φ df y + 33 ábra A fékuó/kerék érinkezéi felüle zöggel azonoío ponjában a fékukóra haó erők Bevezeve úrlódái ényező é a p érinkezéi nyomá zorzaának a elje [-,] áfogái zöginervallumra zámío p inegrál-álagá, a elje úrlódónyomaékra a df ) p ) d M br p ömör kifejezé nyerjük A kövekezőkben a fékukó cúzófelüleére haó erőke elemezzük kiindulva a zöghelyzeben lévő elemi d zögarományhoz arozó felüleelemre haó nyomából zármazó df n ) normáli é cúzóurlódából zármazó df ) angenciáli erőből A módzere aikai elemzéhez zükége a jelze elemi erőhaáok vízzine é függőlege veüleeinek meghaározáa A 33 ábra zerini poziív irányok figyelembevéelével a veülei jellemzők rendre meghaározhaók df df df df n ny y ) ) df ) ) df n df df n ) co ) in ) in ) co A feni infiniezimálian ki növekményi erők veüleeinek özegzée azaz inegráláa) elveze a fékukó-fékaru rendzer aikai egyenúlyi egyenlerendzeréhez Az egyenúlyi egyenleek az -irányú veülei erők é az y-irányú veülei erők előjele özegének zéru volá, valamin a ík egy ponjára mo célzerűen ez a kerék forgáponja ve eredő nyomaék zéru volá írják elő ) Az -irányú veülei erők özege zéru, azaz F 0 Az elemi veülei erők özegé inegráláal ekinebe véve a kövekező egyenúlyi egyenle adódik: i i wwwankonyvarhu Zobory Iván, BME

43 3 KEREKES JÁRMŰVEK VONÓERŐ-KIFEJTÉSE ÉS FÉKEZÉSE 47 F d F ) d F ) 0 n Figyelembe véve a bevezeőben felír ), ) é 3) egyenleeke, az egyelőre imernek feléeleze p) nyomáelozlá é ) úrlódái ényező elozlá melle az alábbi egyenlee kapjuk: p ) co ) p ) in d F br ) Az y-irányú veülei erők özege zéru, azaz F 0 Az elemi veülei erők özegé inegráláal ekinebe véve a kövekező egyenúlyi egyenle adódik: F d F ) d F ) 0 y ny i y Figyelembe véve a bevezeőben felír ), ) é 3) egyenleeke, az egyelőre imernek feléeleze p) nyomáelozlá é ) úrlódái ényező elozlá melle az alábbi egyenlee apjuk: p ) in ) p ) co d F y br 3) A aika egyik alapéele, hogy valamely íkbeli egyenúlyi erőrendzernek a ík bármely A ponjára zámío eredő nyomaéka zérual egyenlő, azaz M 0 Mo az A ponnak a A kerék forgáponjá célzerű válazani, mivel a ukókra a felülei nyomából haó erők haávonalai mind ámennek ezen a forgáponon é ezek nyomaéka ezér eleve zéru A zóban forgó eredő nyomaék alakuláába ehá cupán a arucapra működő függőlege F y erő nyomaéka é a úrlódó felüleen megozló elemi dm ) = R df ) nyomaékok R d F ) eredője zól bele A mo elmondoak képleben a kövekezőképp formulázhaók a nyomaékok előjelének figyelembevéelével: F R ) R d ) 0, y F ahol Δ jelöli a arucap é a hengere úrlódó-felüle ávolágá Figyelembe véve a é 3 ponban felír elemi özefüggéeke adódik a rézleeebb nyomaéki egyenle: F y R ) br ) p ) d yi A ) Ez az egyenlee i bővíve a kapjuk: azonoág alapján a véglege alakú nyomaéki egyenlee F R ) br ) p ) d br p y Zobory Iván, BME wwwankonyvarhu

44 48 JÁRMŰDINAMIKA ÉS HAJTÁSTECHNIKA Mivel a nyer véglege nyomaéki egyenle éppen a ukó/fékarú rendzerre haó úrlódónyomaék éréké adja, írhaó, hogy: M F R ) y A feniekben megkonruál három aikai egyenúlyi egyenle mérnöki alkalmazáá ekinve ké leheőége emlíünk meg Az egyik alkalmazái leheőég imer p) nyomáelozlá é ) úrlódái ényező elozlá eeén aknázhaó ki Az egyenleekben zereplő inegrálok kizámíáa uán a fékarú ámadó F fékukóerő, F y fékaru-felfüggező erő é az M f = M fékezőnyomaék meghaározáára Ez a vizgála leginkább állandóul fékezé eeén valóíhaó meg, mikori a p) fékukónyomá-elozlá nem függ a időől Elvi akadálya azonban annak inc, hogy amennyiben imer a nemcak helyől, de az időől i függő p,) nyomáelozlá é,) úrlódái ényező elozlá, akkor meghaározhaók legyenek az F ) fékukóerő, F y ) fékarú-felfüggező erő é az M f ) = M ) fékezőnyomaék időfüggvények A máik alkalmazái leheőég a úrlódái ényező közepe érékének é a fékukónyomá elozláának közelíő meghaározáában jelenkezik Abból a ényből, hogy > 0 adódik, hogy a ukónyomá a ukó ala nem lehe homogén, é hogy a ukó ráfuó éle környezeében a ukónyomának nagyobbnak kell lennie min a kifuó éle környezeében A legegyzerűbb ilyen inhomogén ukónyomá-elozlái modell a p) = A + B lineári alakzaal adhaó meg, ahol mo A é B imerelen konanok A úrlódái ényező elő közelíében egy egyelőre imerelen 0 közepe állandó érékkel modellezhejük Állandóul fékezéi üzemállapoban méréel meghaározva az F ukóerő é az F y arufelfüggező erő állandóul éréké, a három aikai egyenle felhaználhaó az A, B é 0 konan paraméerek meghaározáára A három egyenleből ugyani egy három imerelene nemlineári egyenlerendzer adódik, amely numerikuan ierációval) megoldhaó 3 A dobfék vizgálaa A dobfék vizgálaa orán cak a úrlódó nyomaék alakuláának kérdéével foglalkozunk kilinc vagy fékkulc) F F -F Φ Φ fékdob Φ Φ R p ál, µ ál F úrlódó beéek 34 ábra A dobfék zerkezee é erőhaávizonyai A ukó fék bevezeőjében árgyalak alapján feléelezve a kéoldali fékpofa zimmeriájá a úrlódó nyomaékra előbb az ) ) d M br p - wwwankonyvarhu Zobory Iván, BME

45 3 KEREKES JÁRMŰVEK VONÓERŐ-KIFEJTÉSE ÉS FÉKEZÉSE 49 közelíő özefüggé, majd a zokáo azono bővíé uán az M br p közelíő végképlee nyerjük A feni képleekben zereplő jelöléek érelmezéé a kövekezőkben adjuk meg: b a úrlódó beéek rajz íkjára merőlege zéleége, R a úrlódó felüle ugara, Ф a elje áfogái zög; az álago úrlódái ényező a úrlódó beéek é a fékdob közö, p az F é F erők álal lérehozo álago felülei nyomá a úrlódó beéek é a fékdob közö 33 A árcá fék vizgálaa A árcá fék nevében az a ulajdonág jelenik meg, hogy a kerék forgáá gáolni hivao úrlódónyomaék generáláa nem a fékeze kerék fuófelüleén, hanem a kerék engelyére vagy a kerék ké oldalára zerel fékárcák körgyűrű alakú, függőlege íkban fekvő úrlódó felüleén örénik Jellegzee még, hogy a úrlódóerő generáló, fékárcafelülere merőlege nyomóerő iránya mindig párhuzamo a árca forgáengelyével A normálerő é a úrlódóerő fékárcára való áadáa kompozi anyagú, vagy önövaból kézül fékbeének a fékárcával való érinkezéi felüleén valóul meg A fékbeéek alakzáráal vezeve a fékbeé-aróban foglalnak helye A fékberendezé működée orán a normálerő működeée a fékbeé-arókra örénik A 35 ábrán egy vaúi árcá fék kaliperkaro erőkifejő rendzerének a felépíéé muajuk be a meghaározó zerepű erőhaáok é geomeriai jellemzők felüneéével A fék működeée az ábra zerini zabad kaliper-végek közé zerel az ábrán nem zerepelee) léghenger álal kifeje F 0 é F 0 erővel örénik, mely erő a kaliperkaroka ávolíani igyekzik F F a fékárcára haó felfüggez úrlódóerők kerék engely -F n F k k F 0 fékárc F 0 fékbeéaró kaliper 35 ábra A árcá fék zerkezee é erőhaávizonyai 36ábra A fékárca é a fékbeé érinkezéi felüleének jellemzői A árcá fék erőjáékának vizgálaához előzör ekinük a kaliperkarokra haó nyomaékok egyenúlya alapján a fékhenger álal kifeje F 0 erő é a beéaróra működő F n normálerő közöi F n k k F0 özefüggé A fékbeée a úrlódó felülehez zoríó F n erő imereében a árca forgáá gáolni igyekvő M úrlódónyomaék jó közelíéel meghaározhaó A fékárca felüleé ámadó F n erő lérehozza a fékárca/fékbeé kapcolaban kialakuló p felülei nyomá, amely a 36 ábra zerini polárkoordináa-rendzerben a kéválozó p = pr,) függvénnyel adhaó meg A felülei nyomá- Zobory Iván, BME wwwankonyvarhu

46 50 JÁRMŰDINAMIKA ÉS HAJTÁSTECHNIKA elozlá jellegé a fékbeé-aró konrukciója, a kaliperkarokhoz való calakozaá módja, a zerezei rugalmaági vizonyok é a fékbeé rögzíéének megoldáa haározza meg A árgyalá egyzerűíée kedvéér a úrlódó felülee a jelen vizgálaban körgyűrű-zekor alakúnak veük fel Ugyancak kéválozó függvénykén vezejük be a fékbeé é a fékárca = r,) cúzóurlódái ényezőjé, mivel a fékárca ugárirányban válozó kerülei ebeége mia a cúzóurlódái ényező elozláa az érinkezéi cúzó) felüle fele már nem ekinheő homogénnek Mivel a cúzái ebeég r-rel azaz belülről kifelé) növekzik, r, ) az r-rel álalában cökken a cúzóurlódái ényező a cúzái ebeég növekedéével álalában cökken), így a külő ámérőközeli felülerézek a féknyomaék generálá zemponjából kevébé érékeek A feniek alapján ehá imernek ekinjük a p r, ) felülei nyomáelozlá r[r,r ] é [-,] eeén, valamin a r, ) cúzóurlódái ényező-elozlá ugyancak r[r,r ] é [-,] eeén A úrlódó felüleen generál, a fékárca engelyére haó úrlódónyomaék meghaározáának előkézíéeképp vegyük figyelembe a polárkoordináá megadá ajáoágaiból adódóan az elemi da úrlódófelóle d A d d r alakban örénő felíráá, ahol az elemi d ívhoz vonakozáában a d r d felírá érvénye, é így a ekine felüleeleme a da r d dr özefüggé zerin zármazahajuk Az r, koordináákkal jellemze helyhez calakozó da felüleelemen fellépő df n elemi normálerő a nyomáelozlá r, helyi érékéből kapjuk: d F n r, ) p r, ) da p r, ) r d dr, míg a da felüleelemen ébredő df elemi cúzóurlódái erő az eddigiekből adódóan df r, ) r, ) df r, ) r, ) p r, ) r d dr n alakban írhaó fel A nyer eredmények alapján az elemi da felüleelemen ébredő úrlódóerő álal generál dm elemi úrlódónyomaék a fékárca forgáengelyére a kövekező lez: dm r, ) r df r, ) Figyelembe véve, hogy a fékárca mindké cúzófelüleén fellép nyomaékgenerálá, a elje fékárcával megvalóíhaó úrlódónyomaéko a kézere inegrálá kijelölő alábbi képleel kapjuk: Amennyiben a jármű kerék forgáá öbb fékárcával fékezzük, akkor a feni képle zerin úrlódónyomaéko a árcák zámával zorozni kell az eredő nyomaék meghaározáához Az i előfordulha, hogy a fékárcáka nem a jármű kerekére, vagy a kerék engelyére zerelik, hanem fogakerék áéellel álalában gyoríó áéel) meghajo előengelyre erőíe egy vagy öbb fékárca úrlódófelüleein ébred a úrlódónyomaék A nagyobb fordulazámú előéengely alkalmazáá az indokolja, hogy ilyen feléelek melle ugyanolyan fékezéi eljeímény kifejéére kiebb méreű zerkeze elegendő 34 Termoelaziku jelenégek fékekben A cúzóurlódáo érinkezé orán az érinkezéi felüleen hőfejlődé örénik, vagyi hőáram kelekezik, ennek fajlago éréke a hőáraműrűég má zóval felüleegyégre eő, úrlódáal generál hőenergia-áram), melye a def q p v wwwankonyvarhu Zobory Iván, BME

47 3 KEREKES JÁRMŰVEK VONÓERŐ-KIFEJTÉSE ÉS FÉKEZÉSE 5 képle alapján zármazaunk, ahol p a felülei nyomá, v a cúzái ebeég é μ a cúzóurlódái ényező Vizgáljuk meg a hőáraműrűég mérékegyégé: N m Nm W [ q ] [ p] [ v] [ ] m m m Az elemi hőenergia-áram, amely a cúzófelüle valamely ponjánál elhelyezkedő da felüleelemen generálódik: d Q q d A, [ Q ] W A elje úrlódó felüleen generál hőáram a cúzófelülere kierjeze felülei inegrál meghaározáával örénik: Q d Q q da A A Ez a hőáram ovaáramlik a úrlódó kapcolaban lévő ömegekbe, melegíve azoka Termézezerűen merül fel a kelekeze hőáram ké e közöi megozláának problémája Mindeneere elmondhaó, hogy a úrlódó felüleen generál elje Q hőáram ké rézre, Q é Q réz-hőáramokra ozlik Q az egyik úrlódó parner ömegébe, a Q pedig a máik úrlódó parner ömegébe áramlik A kérdé ovábbi aglaláához bevezejük az α [0,] hőmegozái jellemző a kövekező defi- nícióval: Q Q Q = Q + ) Q A hőmegozái ényező meghaározáa a fékezéi folyamaok hőani elemzéének egyik nem könynyű kérdée A nehézég ké dologból fakad Egyrézről a fékukó, vagy a fékbeé a kerék vagy a fékárca úrlódó felüleének cak egy rézé fedi, az érinkezé még ebeégaró fékezé eeén em acionáriu Ez az jeleni, hogy a kerék vagy a fékárca egye ponjai cak időlegeen inacionáriu hőfolyama kíéreében) kerülnek kapcolaba a úrlódó parnerrel a fékukóval vagy a fékbeéel) é így a vizgál pon ki környezeében a úrlódáo hőbevezeé zakazo, zaggao jellegű A felmelegede kerék fuófelüle, vagy a fékárca éppen úrlódóelemmel nem fede rézeinél a környezebe irányuló hőleadá valóul meg Így még ebeégaró fékezé eeén i a fékeze kerék kerülei ponjainak, ill a fékárca oldalíkjának valamely ugáron elhelyezkedő ponjainak hőméréklee periodikuan válozni fog Ilyen ziuációban közelíő vizgála úgy végezheő, hogy a cúzóérinkezéi felüleen generál Q hőáram kerékbe vagy fékárcába áramló Q = Q rézé a kerék vagy a fékárca cúzófelüleére egyenleeen elozjuk, azaz Q álago felülei hőárammal folyajuk a kerék, vagy a fékárca felmelegedéének vizgálaá Az hőmegozái ényező meghaározáához az analóg elekroechnikai probléma megoldáa adja a kulco A párhuzamoan kapcol R é R ohmo ellenálláokon folyó villamo áram meghaározáára előbb az eredő I áramo zámíjuk az eredő ellenállá é az U fezülég imereében, majd az eredő áramo megozjuk a párhuzamo ágak közö ellenálláaikkal fordío arányban Az eredő ellenállá a R imer özefüggé alapján kap- / R / R RR juk Az eredő I áram az I = U/R ebből a kapocfezülég U = I R = I = I / R / R R R Jelölje I az R ellenálláú párhuzamo ágon, I pedig az R ellenálláú párhuzamo ágon folyó áramo A közö U kapocfezülég melle fennáll, hogy I = U/R é az I = U/R A feni rézeredmények egybeveéével kapjuk I kifejezéé: Zobory Iván, BME wwwankonyvarhu

48 5 JÁRMŰDINAMIKA ÉS HAJTÁSTECHNIKA U R R R I I I I R R R R R R, R ahol bevezeük az R R jelölé Haonlóan adódik I kifejezée: U R R R R R R I I I I ) I R R R R R R R R A kapo kifejezéeke beírva a Kirchoff elő éele mia fennálló I = I + I özefüggébe, kapjuk a bevezee ényező jelenéé, mely ényező nyilvánvalóan árammegozái ényezőnek bizonyul: I I I I ) I A hőmegozái vizonyoka azon analógia alapján udjuk kiérékelni, hogy az áramnak megfelelejük a úrlódáal generál hőáramo, a fezülégnek a úrlódó parneek egyedi felülei hőmérékleei é ezek középéréke közöi hőmérékle különbége, a villamo ellenállának pedig a ermiku ellenállá [r] =K/W ermiku ellenállá Ilyen megközelíében, ha Q jeleni a fékeze kerékbe vagy a fékárcába lépő hőáram-réz é Q jeleni a fékukóba vagy a fékbeébe lépő hőáramréz, akkor a korábban bevezee hőmegozái ényező: r r r ahol r a kerék vagy a fékárca ermiku ellenálláá é r a fékukó vagy a fékbeé ermiku ellenálláá jeleni Konkré, időben válozó fékezőerő-kifejé é ennek megfelelően válozó ebeég eeén a dinamikai zimulációval lehe a hőmegozái ényező meghaározni Ez úgy örénhe, hogy a fékezé mechanikai folyamaának zimuláció programjá kézer fuava, egyik eeben az öze kelekeze úrlódái hőáramo a kerékbe vagy a fékárcába vezeve meghaározzuk a kerék vagy a fékárca úrlódó-felülei hőmérékleének T ) közelíő időfüggvényé, a máodik fuaá orán megfordíva, az öze kelekeze úrlódái hőáramo a fékukóba vagy a fékbeébe vezeve meghaározzuk a fékukó vagy a fékbeé úrlódó-felülei hőmérékleének közelíő T ) időfüggvényé A ké uóbbi időfüggvény imerében a gyakorlai zámíáokhoz megfelelő közelíé nyúj- ó időfüggő hőmegozái ényező zolgála az függvény ) T, ) T ) T ) Áérünk a ermoelaziku inabiliá jelenégének bemuaáára Ez a jelenég a úrlódó alkarézek felüleközeli ponjaiban fellépő időbeli hőmérékleingadozáal kapcolao, mely fizikai folyamaban a cúzóurlódáo hőfejlődé orán a úrlódó pár rugalma jellemzői, a hőágulái vizonyok é a felülei kopái vizonyok jázanak zerepe A jelenég aramfékezéek pl hoza ebeégaró fékezé völgymeneben) orán lép fel eljeen kifejlődö formájában Erő aramfékezénél pl a fékukók ponjaiban izzó folok jelennek meg é az érinkezéi ív menén laan ideoda mozognak A 37 ábrán ukó fékezéű kerék fékukójának A ponjában kialakuló T A ) hőmérékle-időfüggvény muajuk be aramfékezé eeében wwwankonyvarhu Zobory Iván, BME

49 3 KEREKES JÁRMŰVEK VONÓERŐ-KIFEJTÉSE ÉS FÉKEZÉSE 53 F T A T A T A0 T AZ zömhőmérékle ~04 TAZ 37 ábra A fékukó A ponján aramfékezékor kialakuló ermoelaziku inabiliáal kapcolao hőmérékleválozá A hőmérékle ingadozáának háerében az emlíe rugalma, hőágulái é kopái jellemzők kölcönhaáa bújik meg Az egyenlőlen kezdei lokáli kopá mia kelekező felülei nyomáegyenlőlenégből közel periodiku időbeli nyomáárendeződé, hőáram-űrűég árendeződé, hőmérékle árendeződé, hőágulá árendeződé é lokáli kopá árendeződé kövekezik A ermoelaziku folyama kialakuláa a úrlódó felüle egy ado, φ-vel jellemze ponján a kövekező mozzanaokkal magyarázhaó: ) Az érinkezéi felüle valamely φ zögkoordináájú helyén legyen jelen egy igen enyhén kidomborodó hely, ahol a lokáli p felülei nyomá kici nagyobb, min a környezei álago érék Ez álal a úrlódáal kele hőáram i nagyobb lez az ado helyen, a T lokáli hőmérékle jelenően növekzik, a hőágulá mia a kidomborodá egy ideig ovább növekzik é ezér i a p lokáli felülei nyomá még nagyobb éréke ér el Azonban a kialakul nagy lokáli érinkezéi nyomá é úrlódái hőmérékle eredményeképpen a helyi kopá inenzív lez é ok anyagi réz lekopik a legnagyobb nyomá é hőméréklei hely ki környezeében A kopáermék debri) pedig a cúzóurlódá orán kihordódik az érinkezéi felüleről ) Az erő helyi kopá kövekezményeképpen az eredeileg meglévő enyhe kidomborodá cökken, ezér a p helyi nyomá i cökken, cökken ehá a generál hőáram, ezér T hőmérékle i cökken, ez pedig a hőágulá cökkeni, a nyomá ezér ovább cökken, ehá a kopá i erően cökken 3) A ) pon zerin a φ hely környezeében lecökken felülei erhelé mia a ehervielé egy időre a φ hely környezee vezi á, majd ha ezeken a helyeken i lejázódik az ) zerini kopánövekedé, akkor a φ hely fog relaíve kiemelkedni, é a p nyomá imé növekedének indul, így a folyama kezdődik elölről Kialakul a periodiku jellegű helyi hőmérékleingadozá az inabil hőméréklei állapo Zobory Iván, BME wwwankonyvarhu

50 4 Járműfüzérek dinamikája 4 A járműfüzér érelmezée A közlekedéi folyamaban az önjáró egyedi járműegyégeken kívül egyre gyakoribb az özekapcol járművekből felépülő járműfüzérek alkalmazáa Tipiku a vonaóhoz kapcol zemély- vagy eherzállíó közúi uánfuó eee A mezőgazdaági munkában már régóa, de a modern nagyávolágú közúi eherzállíában i megjelennek a közúi zerelvények ké vagy öbb uánfuó egyég özekapcoláával A vaúi közlekedé alapegyége a öbb kociból özeállío vona A vízi közlekedében vonaóhajóból é a hozzá kapcol uzályokból özeállío "hajóvonákkal" alálkozunk A járműfüzérek járműdinamikai vizgálaakor az alábbi ulajdonágoka ekinjük mérékadónak: ) A járműfüzér járművek rugalmaan é dizipaívan özekapcol láncolaa ) Az özekapcol járművek közül egy vagy öbb vonóerő kifejére képe 3) A láncolabeli járművek mindegyike fékezőerő kifejére képe 4) Az egye járművek egyzerűíe dinamikai modelljeiben a haladó é forgómozgá végző rézek elkülöníve zerepelnek, ehá a kerekek é hozzájuk caol forgó zerkezei rézek ajá zabadágfokkal bíró alrendzerek A járműfüzéreke ké ozályba oroljuk Amennyiben cak ké jármű rugalma dizipaív kapcolaa adja a rendzer elemi járműfüzérről bezélünk lád a 4 ábrá) Ha a vizgál járműfüzér három vagy öbb jármű özekapcoláával áll elő akkor álaláno járműfüzérről bezélünk lád a 4 ábrá) a) b) 4 ábra Ké jármű hozdinamikai kapcolaából kialakuló elemi járműfüzérek 4 ábra Több jármű hozdinamikai kapcolaából kialakuló álaláno járműfüzér A járműfüzérek dinamikai vizgálaá koncenrál paraméerű modellekkel végezzük A haladó mozgá végző ömegeke a jármű ömegközépponjába koncenrálva kezeljük Emlékezeünk rá, hogy valamely ömegpon pillananyi mozgáállapoá annak pillananyi helyzee é a ebeége haározza meg Mo a legalább ké rugalmaan é dizipaívan özekapcol ömegpon eeén kereük az ado vonó-, fékező- é meneellenállá-erő haáára kialakuló mozgáoka! A dinamikai modellképzé járműfüzérek eeén az jeleni, hogy a füzérben helye ve járművek pályairányú haladó mozgá végző ömegei az egye járművek ömegközépponjaiba koncenrálva özevonan wwwankonyvarhu Zobory Iván, BME

51 4 JÁRMŰFÜZÉREK DINAMIKÁJA 55 zerepelnek, ovábbá, hogy a jármű kerekei é az ahhoz kapcolódó ovábbi forgómozgá végző ömegek egyelen redukál eheelenégi nyomaékú forgó ömeggé özevonva zerepelnek A járművenkén így özevon forgó ömegek középponjai haladó mozgáá ekinve a jármű haladó mozgá végző rézei özevonva modellező ömegekkel azono mozgájellemzőkkel bírnak A feniek alapján, ha egy járműve kiemelünk a járműfüzérből, akkor egy kézabadágfokú elemi járműmodell kapunk lád a 43 ábrán egy ki ranzporer leképezéé) A ké zabadágfokú elemi járműmodell zabad koordináái a pályairányú haladó mozgá helyzejellemző koordináája é a redukál forgó ömeg zöghelyzeé leíró koordináája adja Az elemi járműmodell mozgába hozáa a forgó ömegre haó külőleg vezérel M h hajónyomaék adagoláával, a fékezée pedig ugyancak a forgó ömegre haó é külőleg vezérel M f fékezőnyomaék adagoláával örénik, M cg capúrl é gördellenáll nyomaék) M f F e M h, F v P, F f 43 ábra A kézabadágfokú elemi járműmodell magyarázaához A 43 ábra zerini elemi járműmodellben a kerekeke é az azokhoz caol forgó alkarézeke modelláló forgó ömeg kúzáo erőzáráal vizi á a ámazófelüleről a forgó ömegre haó M h hajó- ill az M f fékezőnyomaék álal a P ponban kikényzeríe angenciáli kapcolai erő Korábbi árgyaláunkban megimerük a gördülőkapcola kúzáo erőzáráában alapveő zerepe jázó erőkapcolai ényező é közepe érékének a hozirányú kúzá függvényében kirajzolódó oorzerű diagramjá Emlékezeéképpen a 44 ábrán iméelen vázoluk az emlíe diagramo, hangúlyozva, hogy járműfüzérek eeén i minden a füzérben zerepe nyer elemi járműmodell forgó ömegének a ámazófelülei érinkezéi ponjához rendelkezére kell állnia az o érvénye erőkapcolai ényező diagramnak! Konkreizáljuk mo a 43 diagram zerini jelöléekkel a hozirányú kúzá definiáló képleé: R, ), μ 0 ν 44 ábra A gördülőkapcola erőkapcolai ényezője ahol R az elemi járműmodellbeli kerék ugara Imerni kell ehá a = ) erőkapcolai ényező függvény zár alakú képleével, vagy diagramjának numeriku jellemzői alapján az F v vonóerő é az F f fékezőerő mozgáállapo-függéének kezelééhez Ha F n jelöli a gördülőkonakuban fellépő függőlege ámazerő, akkor a ké uóbbi erőre az egyége zerkezeű Zobory Iván, BME wwwankonyvarhu

52 56 JÁRMŰDINAMIKA ÉS HAJTÁSTECHNIKA F, ) F, )), F, ) F, )) v n f n özefüggépár érvénye Termézezerűen hajá eeén az erőkapcolai ényező a poziív kúzáokhoz arozó poziív érékkel lép be a képlebe é poziív vonóerő zolgála, míg fékezé eeén a helyze előjelek zemponjából fordío lez: negaív kúzáokhoz negaív erőkapcolai ényező é negaív fékezőerő-nagyág adódik 4 Az elemi járműfüzér vizgálaa 4 Az elemi járműfüzér felépíée Az elemi járműfüzér eeén ké elemi járműmodell lép be a dinamikai rendzerbe, mégpedig a haladó ömegeik lineárian rugalma é dizipaív hozirányú kapcolaával Így egy 4 zabad koordináával rendelkező azaz négyzabadágfokú), elemi, lengéképe hozdinamikai modell kapunk A modell alkalma a járműfüzér főmozgáa orán kialakuló hozirányú lengéek anulmányozáára i A 45 ábrán felrajzoluk a 4 zabadágfokú elemi járműfüzér dinamikai modelljé a zükége rendzerparaméerek é a fellépő külő é belő erők jelöléének megadáával, feléelezve, hogy a jobb oldali elemi járműmodell mind vonó-, mind pedig fékezőerő kifejéére alkalma, míg a bal oldali jármű cupán fékezőerő ud kifejeni A forgó ömegekre a kerékalpon ávi angenciáli erő F k é F k jelöli A modellben mo figyelembevéelre kerülnek a forgó ömegekre haó M cg é M cg capúrlódái é gördüléi ellenállái nyomaékok i Az ábrán alkalmazo jelöléekkel kapcolaban érvényeek a kövekező egyenlőégek v, v, é 45 ábra Az elemi járműfüzér négy zabadágfokú dinamikai modellje A modellben alkalmazo jelöléek alapján a ké gördülőkapcolaban fellépő hozirányú kúzáoka a kövekező képleek adják: R é 0 R A járműfüzér állandóul hozirányú mozgáakor a fellépő erőhaáok előjelé a ábláza muaja: 0 wwwankonyvarhu Zobory Iván, BME

53 4 JÁRMŰFÜZÉREK DINAMIKÁJA 57 k n k cg c l f cg F F,, előjele kiadódik F F M M F 0 M álal k ik én yzeríve) F F,, F F M M M F k n k c h l f cg h cg előjele kiadódik 0 M é M álal kikényzeríve) A járműfüzér mozgáegyenleeinek felállíáához ekinük a zereplő erők é nyomaékok megnevezéei, kiegézíő megjegyzéekkel az előjelek alakuláára nézve Előnek a haladó mozgára haá gyakorló erőke vizgáljuk: Légellenállá-erők: F l, F l Mindkeő a ebeéggel ellene érelmű Kúzáfüggő kerülei erők: F k, F k A gördülőkapcolaban a hajó/fékező- ill a capúrlódái é gördülő-ellenállái nyomaékok álal kikényzeríe kúzá előjelé kapják 3 Az özekapcol járművek közöi kapcolai erő: F c Az elő járműre poziív előjellel működik, ha a máodik jármű elmozduláa poziív irányban nagyobb, min az elő jármű poziív elmozduláa Ugyanekkor a máodik járműre negaív előjellel működik reakcióerő) A forgó mozgá végző ömegekre haó nyomaékok a kövekezők: Capúrlódái é gördüléi ellenállá nyomaékok: M cg, M cg Mindkeő előjele a forgó ömeg zögebeégével ellenée A vezérlé é mozgáállapo-függő hajó é fékezőnyomaékok: M h, M f, M f A hajónyomaék a haladái irányban gördülő ömeg zögebeégével azono érelmű, ha a hajá be van kapcolva A fékezőnyomaékok pedig ellene érelműek, ha a fék működik A járműfüzérbe orol járművek közöi kapcolai erő jelen árgyaláunkban lineári karakerizikájú rugó é a vele párhuzamoan működő ugyancak lineári karakerizikájú cillapíó valóíja meg Az F c kapcolai erő mozgáállapo-függéének megadáára ekineel a feniekben megado előjel köveelményeke a kövekező kifejezé alkalma: ahol a rugó merevége [ ] d F c N m, az F c kapcolai erő mérékegyége: [F c ] = N mérékegyéggel é d lineári cillapíái ényező [ d ] N m Ekkor A vizgál egyzerű eeben kapcolai erő ehá az é a válozókban homogén é lineári Így elegendő az F, ) kéválozó függvény vizgálni az, fáziík fele c Az F, ) d függvényről vizon azonnal láhaó, hogy az a fáziík fele egy c origóra illezkedő ík egyenlee, ehá a ekine kéválozó lineári kapcolai erő jellegfelülee egy origón ámenő íkfelüle A 46 ábrán felrajzoluk a zóban forgó ík jellegfelülee A ík meghaározáához elegendő ké egymá mező egyeneének megadáa A jelen eeben kézenfekvően adódik ké jellegzee egyene Az egyik a 0 eeén adódó, az F íkba eő e egyene megadáa, amely lineári rugó F erőáadái függvényekén azonoíhaó Az c c, Zobory Iván, BME wwwankonyvarhu

54 58 JÁRMŰDINAMIKA ÉS HAJTÁSTECHNIKA ábrán a engelyhez zög ala hajló egyene irányangene éppen a kapcolaban zereplő lineári karakerizikájú rugó merevége: g F c A máik jellegzee egyene a 0 eeén adódó, az F, c íkba eő e d egyene megadáa, amely lineári cillapíó F d erőáadái függvényekén azonoíhaó Az ábrán a engelyhez zög ala hajló egyene c irányan- gene éppen a kapcolaban zereplő lineári cillapíó cillapíái ényezője: g F c d F c e gα = Δ e d gβ = d β α Δ 46 ábra Lineári rugalmaággal é lineári cillapíáal bíró járműkapcolai erő jellegfelülee origóra illezkedő ík Az F F, c c d függvény megadja a járműkapcola álal ávi mozgáállapo-függő kapcolai erő így nyilvánvalóan be kell épülnie a dinamikai rendzer mozgáegyenleeibe 4 A mozgáegyenleek felíráa: A vizgál elemi járműfüzér elemi járműmodelljének mindegyikére haladó- é forgómozgára vonakozó mozgáegyenle írhaó fel Newon II aiómájának alkalmazáával, özeen ehá 4 mozgáegyenle alkoa máodrendű nemlineári differenciálegyenle-rendzer jön lére az imerelen ), ), ) é ) helyzejellemző függvények meghaározáára Az előálló differenciálegyenle-rendzer nemlineariáa alapveően a lényegi zerepe jázó nemlineári gördülőkapcolai erők, a légellenállá-erők valamin a capúrlódái é gördüléi ellenállái nyomaék nemlineariáából adódik További nemlineariáok lépnek be az M, u ) hajónyomaéki, vala- h M, u ) é M, u ) fékezőnyomaéki függvények nemlineári zerkezee mia min f f A feniek előrebocááa uán felírjuk a ík egyene mozgápályán haladó elemi járműfüzér mozgáegyenleei a korábban aglal előjelzabály érvényeége melle, azonban 45 ábrán vázol modellnél annyiban álalánoabb modellre, hogy a háulfuó jármű forgó ömege eeén i megengedjük hajónyomaék működéé A mozgáegyenleek a kövekezők: ) m F, ) F ) F, ) n l c ) M, u ) M, u ) R F, ) M ) h f n cg 3) m F, ) F ) F, ) n l c wwwankonyvarhu Zobory Iván, BME

55 4 JÁRMŰFÜZÉREK DINAMIKÁJA 59 4) M, u ) M, u ) R F, ) M ) h f n cg Mármo a felada azon ) é ) elmozdulá-függvények valamin φ ) é φ ) elforduláfüggvények meghaározáa, amelyeke a differenciálegyenle-rendzerbe vizahelyeeíve minden időponra érvénye azonoágoka kapunk, miközben a valamely megado kezdő időponban fennállnak az előír ) = 0, ) = 0, ), ) é a 0 0 ) = 0, ) = 0, ), ) kezdei feléelek 0 0 Eddig az elemi járműfüzér mozgáá ík-egyene mozgápályán vizgáluk a 47 ábra zerini vezérel MIMO modell kereében, azaz eddig a közlekedéi pálya emelkedéi é görbülei vizonyai nem veük figyelembe Máképp fogalmazva: eddig az e) = 0 é G) = 0 feléelek melle vizgálódunk u ) ) φ MIMO ) u ) ) φ ) 47 ábra Az elemi járműfüzér jellemző MIMO modell ík, egyene pályán Az elemi járműfüzér mozgáegyenleei nyilvánvalóan módoulni fognak, ha a közlekedéi pálya okoza járuléko ellenálláerőke i figyelembe vezük A felada megoldáához alapfeléel jelen a ekine közlekedéi pálya emelkedéi vizonyai leíró e) emelkedéi irányangen-függvény é a görbülei vizonyoka jellemző G) görbülefüggvény rendelkezére álláa A 6 é 7 fejezeekben árgyaluk a járuléko ellenálláerőke meghaározó előbb emlíe ké függvény numeriku megadáá é lineári inerpolációval való kezeléé A 48 ábrán vázoljuk egy elemi járműfüzér hegymenei mozgáának azon pillanaá, amikor a járműfüzér elő járművének a ömegközépponja balról megközelíi a lej-öré lekerekíő parabolaívének cúcponjá Az ábra úgy kézül, hogy elfogaduk az közelíé A járműfüzér elő járműve az helyen, máodik járműve pedig az helyen van Mindké helyzejellemző koordináához meghaározhaó az akuáli e ) é e ) emelkedéi irányangen é az akuáli G ) é G ) görbüle érék Az ábra zerini helyzeeknél a járuléko emelkedéi ellenálláok negaívak: F < 0 é F < 0 ugyanígy a járuléko görbülei ellenálláok: F < 0 é F < 0 Azonban az ábra alapján leolvahaók a ké ellenálláfaja nagyágrendi eje eje ejg ejg vizonyai i, azaz: F 0, F F é F F eje eje eje ejg ejg A járműfüzér ermézeeen válozaja a helyzeé mozgáa orán, ezér minden időponban imerni kell az elemi járműmodellek ömegközépponjainak helyzeé a közlekedéi pályán Tehá a járműfüzér mozgáának a dinamikai zimulációja orán nemcak a hozdinamikai lengéek zemponjából lényege relaív elmozduláoka kell vizgálni, hanem befuo úhoz abzolú nagyágának alakuláá i vizgálni kell Ennek a kérdének a megoldáához a járműfüzér elemeinek félhozai haználjuk fel Az alapgondola az, hogy a járműfüzér elemeinek a mozgápályán elfoglal helyzeé a meneirányban előlfuó jármű álal befuo úhozára alapozzuk Az álalunk vizgál elemi járműfüzér eeében a 49 ábrán vázol módon, az e f é e f félhozak alapján felírhaó az f ) függvénykapcola e e f f alakban, majd a e e f f jelölé bevezeéével adódik, hogy e)=0 G)=0 Zobory Iván, BME wwwankonyvarhu

56 60 JÁRMŰDINAMIKA ÉS HAJTÁSTECHNIKA z e e G G e G e f e f 48 ábra Az elemi járműfüzérre haó járuléko ellenálláerők meghaározáához 49 ábra Az elemi járműfüzér járműveinek a közlekedéi pályán elfoglal helyzee Az emelkedéi ellenálláerők előjelvizonyai a pályán elfoglal akuáli é helyzeől függően az közelíé elfogadáával:a kövekezőképp adódnak: é 0 ha e ) 0 F ) F ) 0 ha ) 0 eje eje e 0 ha e ) 0 0 ha e ) 0 F ) F ) 0 ha ) 0 eje eje e 0 ha e ) 0 A görbülei ellenálláerők vizon mindig nem poziívak: F ) F ) 0 ejg F ) F ) 0 ejg, ejg ejg Az elemi járműfüzér válozó emelkedéi é irányvizonyokkal bíró közlekedéi pályán örénő vizgálaa eeén a korábban a ík, egyene pályára vonakozóan felír mozgáegyenleeknek ki kell egézülniük a belépe helyfüggő erőhaáokkal: ) m F F F F F n l c eje ejg, ) ), ) ) ) ) M, u ) M, u ) R F, ) M ) h f n cg 3) m F F F F F n l c eje ejg, ) ), ) ) ) 4) M, u ) M, u ) R F, ) M ) h f n cg Figyeljük meg, hogy a mo felír differenciálegyenle-rendzerben a ík, egyene pályára vonakozó egyenleekhez képe cak a haladó mozgára vonakozó elő é a harmadik egyenle egézül ki A kapo mozgáegyenle-rendzer eplicié ezük, azaz a gyoruláoka az egyenleek baloldalán kifejezzük:, wwwankonyvarhu Zobory Iván, BME

57 4 JÁRMŰFÜZÉREK DINAMIKÁJA 6 f,,,, f,, u ), u ) f,,,, 3 f,, u ), u ) 4 A nyer ömör alakú nemlineári differenciálegyenle-rendzer felíráában megjelen f é f 3 öválozó függvény ermézeeen magában foglalja a közlekedéi pálya e) emelkedéi irányangen függvényé é G) görbülefüggvényé Ezzel a járműfüzér mozgáegyenle-rendzere rendelkezéünkre áll, é a megado kezdei feléelek figyelembevéelével a kezdei érék felada megoldáá kell vizgálnunk Mielő azonban erre ráérnénk a vizgálaainka álaláno járműfüzérekre i kierjezendő, megjegyezzük, hogy álaláno járműfüzérek eeén i az elől haladó azaz fron-) járműől vizafelé adjuk meg a jármű félhozaka, figyelembe véve a hárább elhelyezkedő járművek ömegközépponjainak az elő jármű ömegközépponjáól ve ávolágá A vizonyoka a 40 ábrán zemlélejük Fronjármű v σ 3 σ σ 40 ábra Az álaláno járműfüzér járműveinek a közlekedéi pályán elfoglal helyzee meghaározáához A vizgál n-elemű járműfüzér eeén az eddigi árgyaláunk logiku kierjezéével a füzérben hárább elhelyezkedő járművek helyzeé a fronjármű helyzeére vezejük viza a kövekező özefüggé orozaal:,,, Láhaó, hogy az n járműből felépülő n n járműfüzérhez hozzárendelendő az n-dimenzió σ,,, félhozainak figyelembevéelével mindig felépíheünk n 43 Állapovekor bevezeée a mozgáegyenle-rendzer megoldáához T vekor, amelye a járművek Állapoér-módzerre érünk á, é a mozgáegyenle-rendzer eplici alakjá alapul véve előrendű differenciálegyenle-rendzerre vezejük a problémá Ez az előrendűre redukál differenciálegyenle-rendzer oldjuk meg előír kezdei feléelek melle valamely alkalma numeriku módzerrel Az állapovekor alkalmazáával a kéőbb árgyalandó anyagrézekben még öbbzör alálkozunk I annyi kell felidézni, hogy egy ömegpon ado időpillanabeli mozgáállapoá a pon helyzeének é ebeégének az ado időpillanahoz arozó egyidejű megadáával egyérelműen jellemezhejük Ha a dinamikai rendzerünk n-zámú ömegponból áll, akkor a mozgáállapo jellemzééhez n-zámú helyzejellemző é n-zámú ebeég megadáa zükége, azaz egy n-dimenzió vekor jellemzi a vizgál rendzer rögzíe időpillanabeli mozgáállapoá Az álalunk rézleeebben vizgál elemi járműfüzér eeében négy ömeg zerepel, ehá mozgáállapoának leíráához nyolc ada zükége minden időponhoz A jelze nyolc adao az Y)-vel jelöl állapovekorba foglaljuk a kövekezőképpen Az elő 4 helyre a koordináaebeégek pillanaérékei pozícionáljuk, a máodik 4 helyre pedig a helyzejellemző koordináák pillanaérékei kerülnek Az ozlopvekorkén felír állapovekor időfüggvénye a kövekezőképp alakul: Zobory Iván, BME wwwankonyvarhu

58 6 JÁRMŰDINAMIKA ÉS HAJTÁSTECHNIKA wwwankonyvarhu Zobory Iván, BME ebeég-jellemzők helyze-jellemzők Y) ) ) ) ) ) ) ) ) Az állapovekor időzerini deriválvekorá képezve előáll a felada megoldáához zükége ) ), ), ) ) ) ) ) ), ), ), f ) ), ), ), ), f ) ), ), ), f ) ), ), ), ), f ) ) ) ) ) ) ) ) ) 4 3 u u u u u u Y F Y előrendű nemlineári differenciálegyenle-rendzer A nyer ) ), ), ) u u Y F Y differenciálegyenle-rendzerhez hozzáarozik az előír 0 kezdei időponokhoz megado kezdei állapoo rögzíő Y 0 ) = Y 0 vekor, rézleeen kiírva ;0 ;0 ;0 ;0 ;0 ;0 ;0 ;0 ) R Y Y Az így rögzíe vekoriáli kezdei érék felada megoldáá a dinamikai rendzer vezérlő u ) é u ) vezérlőhaáok bemenekén örénő alkalmazáa melle numeriku módzerrel oldjuk meg Legegyzerűbb az Euler-módzer alkalmazáa, amikor állandó h idő-lépéközzel előrehaladva a kezdei 0 időponból a ) ),, h h, b időponokban kapjuk az állapovekor zámzerű jellemzői az ) ) ), ), ) h u u h Y Y F Y algorimu zerin Ezzel az Y) állpovekor-időfüggvény nyolc koordináa-függvénye előáll a jele ekvidizán időponorozaon A megoldáal elér közelíé akkor jó, ha h elég kici Hozabb n-elemi járműmodellből álló) járműfüzérek eeén a köveendő eljárá eljeen haonló a fen elmondoakhoz Ekkor a járműfüzér mozgáegyenleekén adódó n zámú máodrendűrendű differenciálegyenle-rendzer kell kezelni, melye á kell írni a 4n dimenzió Y) állapovekorra vonakozó előrendű differenciálegyenle-rendzerré é a kezdei feléelek rögzíéével kijelöl kezdei érék feladao numeriku módzerrel meg kell oldani

59 5 Járművek parazia mozgáai, gerjeze lengéek 5 A parazia mozgáok A parazia mozgáfolyamaok kialakuláával kapcolaoan rögzíük, hogy mind az egyedi jármű, mind a járművek özekapcol rendzere a járműfüzér lengéképe dinamikai rendzer A járművek rendeleézerű mozgáuk orán a kívülről érkező különböző gerjező haáok mia lengéállapookon mennek kerezül A lengéeke kiváló gerjező-haáok forráai az alábbiak zerin coporoíhaók: a) vezérel időfüggő) vonó- é fékezőerő-kifejé hozdinamika b) meneellenállá válozáok ú- azaz ívhozkoordináa-függő) e) é G) függvények c) a környezeből jövő gerjező haáok ) y) y z) z S ) ) ) 5 ábra A parazia mozgáok magyarázaa A c) zerin gerjezéek kereke járműveknél vaúi járművek, közúi járművek, erepjárók valamin a repülőgépek a felzállá elő, ill lezállá uán a kifuópályán) előorban a közlekedéi pálya egyenelenégei mia lépnek fel Légi járművek eeén a zéljárá é a mindenkori légköri urbulencia okoz gerjező-haá a járműe felüleén kialakuló nyomáválozáok mia Vízi járművek eeében a gerjező-haáok a víz ermézee áramláa, ill a hullámok jelenlée mia lépnek fel Hangúlyozni kell azonban, hogy a zél é a légköri urbulencia mind a zárazföldi, mind a vízi járművek eeében i gerjező haáok forráakén azonoíhaó Mivel a jelze gerjező haáok álal kiválo mozgáok öbb zemponból zerkezei kifáradá, uakényelem, árubizonág b) nem kívánaoak, ezér ezeke parazia mozgáoknak nevezzük A járműe haonlóan a öbbi járműréz parazia mozgáai alapveően ké ozályba oroljuk A ké ozály a haladó ranzláció) mozgáok, illeve az elforduló roaóriku) mozgáok adják Az 5 ábrán felvázoluk egy járműzekrény, a ömegközépponjában felve derékzögű koordináarendzerrel egyeemben A ranzláció mozgáoka ekinve a hozengely irány) menén kialakuló ) lengé rángaának, a kerezirányú engely y engely) menén kialakuló y) lengé ziálának, a függőlege engely z irány) menén kialakuló z) lengé pedig rázának nevezzük A roaóriku mozgáoka ekinve a hozirányú irányú) engely körüli ) zöglengé ámolygának, a kerezirányú engely y engely) körül kialakuló ) zöglengé bólinának, a függőlege engely z irány) körül kialakuló ) zöglengé pedig kígyózának nevezzük Zobory Iván, BME wwwankonyvarhu

60 64 JÁRMŰDINAMIKA ÉS HAJTÁSTECHNIKA 5 Járműdinamikai mozgáegyenleek generáláa 5 A mozgáegyenleek zineiku zármazaáa Mind a jármű főmozgáa, mind pedig parazia mozgáai vizgálaára zolgáló dinamikai modellek mozgáegyenleeinek meghaározáa legöbbzör Newon II aiómája alapján örénik Az m ömegű izán ranzláció mozgá végző járműréz eeében a vezérléől, mozgáállapoól é időől függő erők koordináa engelyek irányába működő özeevőinek vekoriáli özegkén való meghaározáa uán ezeke az ado koordináa irányú eredő erőke egyenlővé kell enni a vizgál mozgá megfelelő koordináa irányú gyoruláainak a ömeggel ve zorzaával: A izán elfordulá ill forgómozgá végző ömegek eeén a ömegközépponra vagy a megado fi forgáponra) a mozgáegyenleek a perdüleéel alapján az egye koordináa engelyek körül forgaó eredő nyomaék az ado koordináaengely körüli forgá zöggyoruláának é a forgáengelyre ve eheelenégi nyomaéknak a zorzaakén adódnak: v m, h z b z a F l g* m d k g g*v) d k m k g d z z 5 ábra Járműdinamikai íkmodell 4 zabad koordináával Mivel igen ok eeben a ekine járműbeli ömegek elfordulá, vagy forgómozgá i végeznek, ezér ok eeben a haladó mozgá befolyáoló erőözeevők mozgáállapo-függée az elforduláoka i megjeleníi, ill a forgá befolyáoló nyomaék-özeevők mozgáállapo-függée a haladó mozgá jellemzőke i magába foglalja, ezér a haladó é forgó mozgá leíró mozgáegyenleek i caolába kerülhenek A mozgáegyenleek felállíáá az 5 ábra zerini íkbeli járműmodell eeére muajuk be A kerekek rugón kerezül kapják a közlekedéi pálya úfelüle vagy ínfelüle) hozkoordináa függvényében megado függőlege egyenelenégei okoza gerjező haá A modellben a kerekek cak függőlege mozgá végezhenek, a jármű felépímény járműzekrény) pedig függőlege é bólinó lengéeke végezhe Jelölje a kerekek nehézégi erőérben fennálló nyugalmi helyzeéől mér függőlege kiéré z é z A járműzekrény ömegközépponjának az egyenúlyi helyzeből való függőlege kilengéé jelölje z, a zekrény ömegközéppon körüli elforduláával definiál bólinái zögelfordulá pedig jelölje A kerékalpakon jelenkező függőlege elmozdulá gerjezé pályaegyenelenége) jelölje g é g Amennyiben a közlekedéi pálya profiljá a g*) függvény adja meg, akkor a zekrény hozirányban -zel megado ömegközépponi d k wwwankonyvarhu Zobory Iván, BME

61 5 JÁRMŰVEK PARAZITA MOZGÁSAI, GERJESZTETT LENGÉSEK 65 helyzeéből a jármű v ebeégű haladáa eeén kerekekre haó időfüggő függőlege gerjező kiéréeke a g )=g*v-l ) é a g )=g*v+l ) függvények adják meg a = 0 időponban a zekrény ömegközépponja az =0 helyen van) Ezen g ) é g ) függvény ekinjük a dinamikai modell bemenő inpu) függvényeinek A zereplő L é L jelöléek a kerekek zekrény ömegközépponól mér vízzine ávolágá jelenik A mozgáegyenleek felállíáához zükége még megadni a járműzekrény ké rugóbeköéi ponjának függőlege kiéréé é ebeégé a zekrény ömegközéppon z é mozgájellemzőire vizavezeve A rugóbeköéi ponoknál érvényeülő függőlege mozgájellemzőkre a kövekező linearizál ki zögekre in g ) jól közelíő özefüggéek érvényeek, melyek egybezerkezik a zekrény ömegközéppon függőlege mozgájellemzői a zekrény ömegközéppon körüli bólinái zögmozgáának jellemzőivel: z ) z ) L ), z ) z ) L ), a b z ) z ) L ), z ) z ) L ) a b Előnek a ké kerék függőlege mozgáára vonakozó egyenleeke írjuk fel A modellben zerepelee rugók é cillapíók lineáriak, azaz a rugókon ávi erő a rugóvégek relaív elmozduláának lineári függvénye, a cillapíó erő pedig a cillapíó beköéi ponjainak relaív ebeégének lineári függvénye A poziív erők felfelé irányíoak A kerekek mozgáegyenleei ehá a kövekezőképp alakulnak: g ) z )) d g ) z )) z ) z )) d z ) z )) m z ) k k a a g ) z )) d g ) z )) z ) z )) d z ) z )) m z ) k k b b A járműzekrény függőlege) rázái é bólinái mozgáegyenleei a kövekezők leznek, ha a felfelé örénő elmozdulá é az óramuaó járáával ellenée zögelfordulá vezük poziívnak: z ) z )) d z ) z )) z ) z )) d z ) z )) mz ) a a b b z ) z )) d z ) z )) L z ) z )) d z ) z )) L F h ) a a b b l A nyomaékok felíráa orán a járműzekrényre haó F l légellenállá-erő ömegközépponra ve nyomaéká i figyelembe veük Vizaekinve eljáráunkra, megállapíhajuk, hogy a mozgáegyenleek rendzeré az egye ömegek mozgáegyenleeinek egyedi felállíáa uán kapo egyenleek zinézie zolgálaa, ezér az alkalmazo módzer a mozgáegyenleek zinéziel örénő generáláának i nevezik Az alábbiakban megadjuk a mozgáegyenle zokáo andard alakjá mário felíráal i: m z d d L d L d d d z L d L d L d L d L d L d 0 0 m 0 z d L d d d 0 z k m z d L 0 d d z k L L z 0 L L L L L L F h l L 0 z g d g k k k L 0 z g d g k k k A feni egyenle az = [z z z ] T vekor é a rendzerparaméerekből felépülő mo meghaározo M ömegmári, D cillapíái mári é S merevégi mári bevezeéével a kövekező vekoregyenle alako nyeri: Zobory Iván, BME wwwankonyvarhu

62 66 JÁRMŰDINAMIKA ÉS HAJTÁSTECHNIKA M D S f Fono kiemelni, hogy az eredeileg kinemaikai gerjezéű rendzerből a feni áalakíáokkal formálian erőgerjeze rendzer kapunk, ugyani az egyenle jobb oldalán megjelen f vekorfüggvény már erő koordinááka aralmaz A máodik koordináa az állandó haladái ebeég eeén konannak ekine légellenállá-erő ömegközépponra ve nyomaéká adja A harmadik é negyedik koordináában az m é m ömegekre a közlekedéi pálya gerjező egyenelenégei haáakén ávi rugalma é dizipaív alaperő, mely az m é m ömeg függőlege kiéréével é ebeégével a merevégekkel é a cillapíáokkal már az egyenle jobb oldalába beépíe erőrézekkel együ adja a pályáról a ömegekre érkező énylege mérheő erőhaáoka Mindazonálal a differenciálegyenle-rendzer ezen erőgerjeze alakjának megoldáával helyeen kapjuk meg a keree kiéré é ebeég függvényeke Figyeljük meg, hogy a vekoregyenleben zereplő máriok zimmerikuak, é a főálóikban nemnegaív elemek állnak Amennyiben a modellben zereplő rugók é cillapíók nemlineári karakerizikájúak lennének, akkor a zerepe jázó kapcolai erők már nem fejezheők ki a feniek zerini lineári mozgáállapo-függé feléelező) mário formában Ezen nemlineári eeben a mozgáegyenleeke a négy differenciálegyenle alkoa közönége inhomogén differenciálegyenlerendzer cak a gyoruláok mozgáállapoól é a gerjezéől való függéé eplici módon az f, f, f 3 é f 4 nemlineári jobboldalfüggvényekkel adjuk meg: z f z, z, z,, z, z, z, ) f z, z, z,, z, z, z, ) z f z, z,, g, z, z,, g ) 3 z f z, z,, g, z, z,, g ) 4 5 A mozgáegyenleek analiiku zármazaáa A mozgáegyenleek meghaározáának máik fono módja az egyenleek analiiku generáláa Ennél az eljáránál a dinamikai rendzerben lévő energiaformák mozgáállapoól való függééből indulunk ki, é az energia-megmaradá elvé érvényeíjük A dinamikai rendzer ömegei ebeégállapoukól függő nagyágú kineiku energiá árolnak, a rugalma elemek pedig deformáció állapoukól függően poenciáli energiá deformáció munká) árolnak A rendzerben zereplő cillapíók ebeégállapoukól függően dizipálnak vezeégenergiá helyeznek a rendzeren kívülre), míg a rendzerre működő külő erők vagy energiá vezenek be pl hajá), vagy zinén dizipálnak pl dizipaív fékezé, lengécillapíók, b) Az energeikai vizonyok áekinééhez együk fel, hogy a é + időponokban vizgáljuk a dinamikai rendzerünke A időnövekményről felezük, hogy az poziív, de igen kici Tekinük a rendzer elje energiaaralmá a é a +Δ időponokban A +Δ időpillanaban a dinamikai rendzerben a mozgó ömegekben árol E+Δ) kineiku energia é a rugalma elemekben árol U+Δ) poenciáli energia özege az energia-megmaradá elvének érvényeíéével felírhaó a rendzerben a korábbi időponban jelenlévő E) kineiku energia, az U) poenciáli energia, valamin a Δ idő ala a rendzerből dizipáció kövekezében ávozó ΔW,Δ) energia, valamin a Δ idő ala a rendzerbe kívülről bevi ΔL,Δ) munka kifejezéekén a kövekező alakban: E ) U ) E ) U ) ΔW,Δ) + ΔL,Δ) A kívülről közöl munka kifejezéé az egyenle jobb oldalára víve: E ) E ) U ) U ) W L Mindké oldal Δ -vel ozva é Δ 0 haárámenee kijelölve: wwwankonyvarhu Zobory Iván, BME

63 5 JÁRMŰVEK PARAZITA MOZGÁSAI, GERJESZTETT LENGÉSEK 67 lim E ) E ) lim U ) U ) lim W lim L Az így belépe differenciálhányado függvények energiaáramoka jeleníenek meg mérékegyégük Nm/), vagyi az energiaáramokra eljeíményekre) vonakozó de ) d du ) d dw d dl d mérlegegyenle adódo, melynek minden időponban érvényenek kell lennie Az így kapo energiaáram mérlegegyenleből már meghaározhaó a vizgál dinamikai rendzer mozgáá leíró differenciálegyenle-rendzer Az egyenleben zereplő agok mozgáállapo-függéének módzere figyelembe véelével é a kijelöl deriválak kizámíáával juunk eredményre A ovábbiakban a vizgál járműdinamikai rendzerben zereplő n zámú dizkré ömege jelölje rendre m, m,,m n Amennyiben a rendzerben forgó mozgá végző ömegek i zerepelnek, akkor a megfelelő indeű helyeken ömegek helye eheelenégi nyomaékoka kell zerepeleni Azonoía ovábbá a ömegponok helyzeé ill a zereplő forgó ömegek zöghelyzeé) a q = [q,q,,q n ] T R n vekor, ennek időfüggő koordináái deriválhaónak feléelezve, az idő zerini T n deriválaka jelölje a q [ q,q,,q n ] R vekor Nyilvánvaló, hogy a mo bevezee q vekor özeevői haladó vagy forgó mozgá jellemző ranzláció vagy elfordulái zögjellemzők, míg a n q vekor özeevői haladái ebeégek vagy zögebeégek lehenek A q R vekor a zabad koordináák n-dimenzió vekora A q koordinááinak n záma megadja a dinamikai rendzer zabadágfoká degree-of-freedom, jele: DF), míg a q vekorral együ ekinve hipervekorkén bevezeheő a dinamikai rendzer n dimenzió mozgá-) állapovekora = [, q q] T R n alakban A eljeíménymérlegben zereplő agok mozgáállapo-függéének módzere figyelembe véelével é a kijelöl deriválak kizámíáával juunk a mozgáegyenleek meghaározáához a A kineiku energiaáram A elje dinamikai rendzerben árol öz-kineiku energiá felírva az energiaáramo zolgálaó derivál-függvény ké lépében zármazajuk Az elő lépében az álalánoan érvénye T E E [ q,q,,q, q,q,,q n n ] n-válozó kineiku energia függvény minden koordináafüggvényé időfüggőnek ekinve a öbbválozó függvényekre érvénye lánczabály zerin deriválunk A levezeé mellőzéével a végeredmény: de d n i d d E q q i i n i E q q i i b A poenciáli energiaáram A elje járműdinamikai rendzerben árol öz-poenciáli energiá felírva az energiaáramo zolgálaó derivál-függvény felírhaó A rugalma elemekben árol poenciáli energia cak a zabad koordináák függvénye: U=Uq,q,,q n ) Ennek figyelembevéelével a öbbválozó függvényekre vonakozó lánczabály alkalmazáával a keree energiaáram: du d U q n i i q i Zobory Iván, BME wwwankonyvarhu

64 68 JÁRMŰDINAMIKA ÉS HAJTÁSTECHNIKA c A dizipál energiaáram További vizgálaainkban a dizipál energiaáram felíráának árgyaláa orán cupán az olyan eeekre zoríkozunk, amikor a dizipál energiaáram eljeímény) elvonáában zerepe nyerő erőhaá a koordináaebeégek lineári függvénye, azaz az i-edik ömegre haó energia-elvonó erő F P i i n j n j d d ij ij q j j q q özegzéel: i alakban írhaó fel Ebben az eeben az i-edik ömegről elvon energiaáram A elje rendzerből elvon dizipál energiaáram a zabad koordináák zerini dw d n n i j d ij A kapo eredmény elvileg zolgálaja a keree dizipál energiaáramo, azonban a könnyebb gyakorlai munka érdekében érdeme bevezeni feni eredményől cak egy ½-e zorzóban különböző D q,q,,q ) n q q n j n i i j dizipáció-függvény máképp: dizipáció poenciál) Könnyű beláni ugyani, hogy a D dizipáció függvény koordináaebeégek zerini parciáli deriváljaira fennáll a D q i n j d ij özefüggé Ezen uóbbi özefüggé figyelembevéelével a dizipáció energiaáram a poenciáli energiaáramhoz haonló zerkezeű kifejezéel adhaó meg: dw d n i q i j D q q i d ij q q j i d A kívülről bevi energiaáram A rendzerbe kívülről bevi energiaáram a q,q,,q n elmozdulá-koordináák irányában működő Q,Q,,Q n erők ill nyomaékok eljeíményekén írhaó fel a q,q,,q koordináaebeégek n figyelembevéelével: dl d n i e A Lagrange féle máodfajú egyenleek Az energiaáram mérlegben zereplő öze ag meghaározáa uán a kövekező alako nyeri: Q q i d E E U D q q q q Q q n n n n n i i i i i i i d q i i q i i q i i q i i Közö zumma alá írva a bal oldali agoka: n n d E E U D ) q Q q, i i i i d q q q q i i i i i A feni egyenle álal megköveel minden érékre fennálló azono egyenlőég cak úgy állha i wwwankonyvarhu Zobory Iván, BME

65 5 JÁRMŰVEK PARAZITA MOZGÁSAI, GERJESZTETT LENGÉSEK 69 fenn, ha a q koordináaebeégek zorzói i minden i-inde melle minden időponra azonoak i Ez a feléel n zámú máodrendű közönége differenciálegyenlee zolgála, amivel előáll a vizgál dinamikai rendzer keree mozgáegyenle-rendzere: d E E U D Q, i d q q q q i i i i i,,, n A kiadódo n egyenleből álló differenciálegyenle-rendzer neve: a Lagrange-féle máodfajú mozgáegyenleek rendzere A Lagrange-féle máodfajú egyenleek alkalmazáával örénő mozgáegyenle generálá egy elemi járműfüzér linearizál modelljére muajuk be A dinamikai modell az 53 ábrán láhaó A rendzerben zereplő ké jármű a forgó alkarézeik kerék kerüleére redukál ömegeivel megnövel ömege legyen m é m A ké ömeg kapcolaá az merevégű rugó é a vele párhuzamoan kapcol d cillapíái ényezőjű lineári cillapíó valóíja meg A ké jármű meneellenálláá linearizáláal közelíjük, ami egy meghaározo ebeég inervallumban elfogadhaó q q m m F v d d d 53 ábra Az elemi járműfüzér lineári dinamikai modellje Ez ellenálláerőke modellező környezehez kapcol lineári cillapíók cillapíái ényezői: d é d Az m ömegű előfuó járműre a q ebeégől é az u ) é vezérléől függő F v q, u ) vonóerőfüggvény működik Felírjuk a zükége energiafüggvényeke A járműfüzér öz-kineiku energiája a E q, q ) m q m q máodfokú függvénnyel írhaó fel A vizgál rendzer eeén az öz-poenciáli energia a rugóban árolódik é az U q q, q ) q ) máodfokú függvény adja meg A vizgál járműfüzér-modell dizipáció-függvényé mo a kéválozó máodfokú függvény azonoíja D q, q ) d q d q q ) d q A máodfajú Lagrange-egyenleek felíráához zükége deriválfüggvények mo a kövekezőképp alakulnak: Zobory Iván, BME wwwankonyvarhu

66 70 JÁRMŰDINAMIKA ÉS HAJTÁSTECHNIKA d U q q D E d q d q d m q m q, d q q ) ), d q q ) ) d U q E d q q D d q q d m q d q ), d m q q, q ) A fen kizámío deriválaka behelyeeíve a Lagrange-egyenlebe, adódik a dinamikai rendzer mozgávizonyai leíró máodrendű differenciálegyenle-rendzer: m q q q ) ) d q d q q ) ) F q, u )) v m q q q ) d q d q q ) 0 A zokáo mário írámód alkalmazáával az M ömegmári, a D cillapíái mári é az S merevégi mári bevezeéével a q) = [ q ), q )] imerelen kiéréfüggvényre vonakozó máod- T rendű differenciálegyenle-rendzer a kövekező alako öli: m 0 q d d d q q F q, u )) v 0 m q d d d q q 0 A bevezee mári é vekor jelöléekkel a rendzer mozgáá leíró differenciálegyenle-rendzer végül i a kövekező alakú: M q D q S q f q, u )) A kapo vekoregyenle imé egy állandó együhaó máodrendű lineári inhomogén differenciálegyenle-rendzer 53 Lineári időinvarián járműdinamikai rendzer A járműdinamikai rendzerek analízié a legöbb eeben célzerű lineári rendzermodellek alkalmazáával indíani Előnek a vielkedő rendzer fogalmá adjuk meg A vielkedő rendzer úgy definiáljuk, hogy az meghaározo bemenei függvény inpu függvény) eeén a rendzer belő felépíéével meghaározo pecifiku a rendzerre jellemző) kimenőfüggvény válazfüggvény, oupu függvény) ad A rendzer ilyen módon függvényranzformáció valóí meg A járművek eeé ekinve pl az mondhajuk, hogy a haladái irányban befuo ú menén ado geomeriájú pl zinuzo) függőlege íkbeli profilgörbén fuó ado felépíéű jármű ömegközépponja az úprofil min bemenő függvény haáára jól meghaározo függőlege gerjeze lengőmozgá végez, megvalóul a rázának neveze parazia mozgá Ez a ömegközépponi függőlege lengőmozgá mo a rendzer válazfüggvénye az ado úprofil gerjezére A jelze függvényranzformáció egyzerű blokkdiagrammal zemlélejük 54 ábra) A függvényranzformáció az R operáorral jellemezzük, g) R y g ) 54 ábra A vielkedő rendzer zemléleée Az a ény, hogy az R operáor a g) bemenő függvény gerjezé) az y g ) válazfüggvénybe vizi á, úgy fejezzük ki, hogy az y g ) válazfüggvény a g) gerjezőfüggvény R operáor zerini képe, képlezerűen: wwwankonyvarhu Zobory Iván, BME

67 5 JÁRMŰVEK PARAZITA MOZGÁSAI, GERJESZTETT LENGÉSEK 7 y g ) = R g) Tárgyaláunk máodik lépéekén a lineári rendzer fogalmá vezejük be Valamely vielkedő rendzer akkor nevezzük lineárinak, ha a rendzer R operáora a rendzerre működő bemenő jellemző é a rendzerből "ávozó" kimenő jellemző a rendzerválaz) közö özeg- é arányaró leképezé valóí meg Az elmondoak a g) bemenő- é az y g ) kimenő jellemzők eeén képlezerű megfogalmazában a kövekező ké özefüggéel jelenkeznek: ) R g )+g )) = R g )+R g ) = y ) R g)) = R g) = y g ), g ) + y g ), özegará), arányará) A felír ké özefüggé gyakorlai zemponból az alapozó anárgyakban mechanika, elekroechnika) már megimer é alkalmazo un egymára-halmozái elve zuperpozíció elve) fogalmazza meg A lineári rendzerek közö egyzerű kezelheőégük mia kiemel zerepe jázanak az un időinvarián rendzerek Az időinvariancia ulajdonágának magyarázaához együk fel, hogy egy ado 0 időelolá melle a vizgál lineári rendzer bemeneére az eredei g)-hez képe - val elol g- ) gerjezőfüggvény működik Az időinvariancia fennálláa eeén a rendzer kimeneén jelenkező v, ) R g ) válaz az eredei g) gerjezőfüggvényre ado y v, ) y ) g g ) válazból zinén időeloláal, alakban nyerheő, azaz "a -val elol bemenre ado válaz egyenlő az elolalan bemenere ado válaz -val való eloljával" Az időinvariancia ehá ömör formában a y ) R g ) g kifejezéel ragadhaó meg A járműdinamikában mindazon problémák lineári időinvarián dinamikai rendzermodellel kezelheők, amelyek mozgáegyenleei állandó együhaó lineári differenciálegyenle-rendzerkén azonoíhaók Ez az ee a járműdinamikában vizon alapeenek mondhaó Mivel a rendelkezére álló zofverek nagy réze előnyben rézeíi az előrendű differenciálegyenle-rendzerek kezeléé, célzerű végrehajani a máodrendű differenciálegyenle áíráá előrendű differenciálegyenle-rendzerré A numeriku megoldá mindig kezdei érék probléma megoldáá vei fel Ez az jeleni, hogy a vizgál mozgáfolyama eeében egy rögzíe 0 kezdei időponra előírjuk az oani helyzee é ebeége, azaz a kiéré vagy helyzee megadó válazfüggvény y g 0 ) helyeeíéi éréké, valamin deriváljának az dy g 0 )/d ebeégnek) a helyeeíéi éréké Ezen kezdei érékek feléelek) figyelembe véelével a mozgá leíró máodrendű differenciálegyenle, vagy az azzal ekvivalen előrendű differenciálegyenle-rendzer egyérelműen megoldhaó Az elmondoak zemléleéére az 55 ábrán a konan ebeéggel egyene irányban haladó jármű ömegközépponjának az úfelülei egyenelenégek okoza rázólengéei vizgáljuk A korábbi árgyaláunkkal özhangban imé legyen g*) az úfelüle hozirányú függőlege íkmezeekén adódó egyenelenég profil A v = állandó ebeéggel haladó járműve helyeeíő egy zabadágfokú lengőrendzer a jármű ömegközéppon függőlege rázólengéeinek leíráá célozza Az ábra zerin a rugó/cillapíó kapcolai elem aló ponjára érkezik a g) = g*v) időfüggő gerjező el- Zobory Iván, BME wwwankonyvarhu

68 7 JÁRMŰDINAMIKA ÉS HAJTÁSTECHNIKA mozdulá A jármű ömegközéppon függőlege kiéréé a nehézégi erőérbeli nyugalmi helyzeől a z) válazfüggvény írja le g*) m d z) modell g* v = áll m z) g*) 55 ábra Konan ebeéggel egyene irányban haladó jármű úgerjeze lengée A járműdinamikai modell min egy zabadágfokú gerjeze é cillapío rendzer mozgáegyenlee Newon II aiómájának alkalmazáával andard alakban adódik: m z ) dz ) z ) g ) dg ) Az R rendzeroperáornak a g) gerjezőfüggvényre gyakorol haáá az 56 ábra zemlélei 56 ábra A gerjezé függvényre ado válazfüggvény: z) = R g) Az ábrán felünee ké vaag üreeű nyíl az domboríja ki, hogy a z) válaz ké ényező, egyréz a gerjezé lefuáa máréz a rendzer operáorának ajáoágai alakíják ki A ömegközéppon függőlege gyoruláá eplici formában felírva a kövekező képle adódik: z ) dz ) z ) g ) dg ) m m m m Bevezejük az Y ) z ) é Y ) z ) új válozókkal min koordináafüggvényekkel a dinamikai rendzerünk mozgá-) állapovekorá az Y ) z) Y ) R Y ) z) definíció zerin Az állapovekor deriválvekora mo érelemzerűen a kövekező alakban adódik: wwwankonyvarhu Zobory Iván, BME

69 5 JÁRMŰVEK PARAZITA MOZGÁSAI, GERJESZTETT LENGÉSEK 73 z) dz ) z ) g ) dg ) Y ) m m m m z) z) d m m d z) g ) g ) m m z) 0 0 Y ) G ) A A kiadódo előrendű lineári inhomogén differenciálegyenle-rendzer az alábbi Y ) A Y ) G ) alakban kapjuk, amely a 0 kezdei időponhoz az y 0 y kezdei érék vekor előíráa uán közvelenül megoldhaó valamely numeriku módzerrel, pl legegyzerűbb eeben a már korábban árgyal Euler- 0 féle módzerrel A numeriku megoldá egy ekvidizán időpon orozaon zolgálaja az Y ) z ) é Y ) z ) ; i 0,,,, N érékorozaoka, azaz egyzerre kapjuk a függőlege i i i i ebeég é a függőlege kiéré érékorozaá az előír időponorozaon 54 Sajáérék felada, a homogén rendzerre vonakozó KÉP Mondouk fenebb, hogy a járműdinamikában vizgálandó özeeebb modellek eeén érvényeülő homogén lineári R rendzeroperáor legöbbzör máodrendű lineári inhomogén differenciálegyenleel vagy differenciálegyenle-rendzerrel hozhaó kapcolaba További árgyaláunkban feléelezzük, hogy a vizgál koncenrál paraméerű járműdinamikai rendzer zabad koordináái az ) ), ),, n ) R n-dimenzió vekorba foglaluk, é a rendzerre működő gerjező haáok koordináái - eeleg bizonyo zámú zéru beikaáával - a zinén n-dimenzió g ) g ), g ),, g n ) R gerjező vekorba foglaluk A rendzerben zereplő vége ok ömeg, eheelenégi nyomaék, rugómerevég, cillapíái ényező, geomeriai jellemző é eelege ovábbi üzemi paraméer az eddigi árgyaláunkban már bemuao zineiku vagy analiiku elvek zerin a mozgáegyenle-rendzer M ömegmáriában, D cillapíái máriában ill S merevégi máriában jelenik meg Az n-zabadágfokú rendzer mozgáá leíró lineári inhomogén differenciálegyenle-rendzer mármo a kövekező andard alakban írhaó fel: M ) + D ) + S ) = g) A felír mozgáegyenle-rendzerhez ermézezerűen kapcolódik a kezdei érékek előír rendzere, azaz a 0 megado kezdei időponhoz arozó előír 0 ) 0 helyze- é 0 ) 0 ebeégvekor A dinamikai felada megoldáá az így kirajzolódó "kezdeiérék probléma" KÉP) megoldáa jeleni Imeree, hogy a lineári inhomogén differenciálegyenle-rendzer X ) álaláno megoldáá a jobboldali zavarófüggvény mo a g ) vekorérékű függvény) elhagyáával adódó M ) + D ) + S ) = 0 homogén réz h ) álaláno megoldáának é az inhomogén egyenle egy X ) parikulári meg- T n T n Zobory Iván, BME wwwankonyvarhu

70 74 JÁRMŰDINAMIKA ÉS HAJTÁSTECHNIKA oldáának özege zolgálaja, azaz: X ) ) X ) h Az inhomogén egyenlere vonakozó KÉP megoldáának kereéekor célzerű úgy eljárni, hogy a homogén réz h ) álaláno megoldáá mindjár az előír 0 ) 0 é 0 ) 0 kezdei érékekhez illezjük, é így elegendő az inhomogén egyenlenek az ado 0 -nál az X 0 ) 0 é X 0 ) 0 özefüggépárral meghaározo un zéró kezdei feléeleknek megfelelő parikulári megoldáá hozzáadni Az inhomogén egyenlenek a zéró kezdei feléeleknek elege evő egy parikulári megoldáá álalában nagyobb nehézég nélkül meg lehe haározni További árgyaláunkban imé bevezejük a vizgál dinamikai rendzer Y ) állapovekorá, é a megoldandó máodrendű lineári differenciálegyenle-rendzerünke nagyobb méreű - de már cupán előrendű lineári differenciálegyenleekből felépülő - rendzerré írjuk á Az állapoere árgyalá előkézíő lépéekén a lineári időinvarián járműdinamikai rendzer feniekben megfogalmazo differenciálegyenle-rendzeré eplici alakra hozzuk: ) = M D ) M S ) + M g) def T n Vezeük be mo a n-dimenzió Y ) ), ) R mozgá-) állapovekor! Ezen hipervekor elő n orában a dinamikai rendzer ebeégkoordináái, míg a máodik n orában a rendzer elmozdulá-koordináái állnak Kézíük el mo az állapovekor idő zerini elő deriváljá, é vegyük figyelembe, hogy az így kapo deriválvekor elő n orában a dinamikai rendzer gyorulákoordináái, míg máodik n orában a rendzer ebeégkoordináái állnak Ezek zerin az: ) M D ) M S ) M g ) M D M S ) M g ) Y ) ) ) E O ) 0 kifejezé adódik, ahol azonnal felimerheő, hogy a megjelen együhaó hipermári zorzóvekora éppen a rendzer Y ) állapovekora! Az együhaó hipermári 4 db nn -e blokkból épül fel, a ké felő blokk dinamikai jelenée nyilvánvaló, az E blokk az nn -e egyégmário, míg az O blokk az nn -e zérómário jelöli A zóban forgó együhaó hipermário a lineári időinvarián dinamikai rendzer rendzermáriának nevezzük, é A -val jelöljük A dinamikai rendzerre haó g ) R n gerjezévekor M -zereéből é egy n-dimenzió zéruvekorból felépülő hipervekor f ) -vel jelölve, valamin megfogalmazva az ), T n Y Y R állapovekorra vonakozó kezdeiérék vek or, a dinamikai rendzer előrendűre redukál differenciálegyenle-rendzeréhez rendel kezdeiérék probléma a kövekező ömör alakban írhaó fel: Y ) A Y ) f ) Y ) Y 0 0 Mivel a bevezee konan elemű A rendzermári a rendzerparaméerekől függ, zokáo az AM,S,D) jelölé alkalmazáa A rendzermári paraméerei bizonyo üzemidő elelével némiképp megválozhanak, é ez a paraméerválozá a rendzer állapovekorában jelenő válozáoka okozha Fordíuk imé figyelmünke a kapo előrendű lineári inhomogén differenciálegyenle-rendzerre vonakozó kezdeiérék probléma KÉP) megoldáára Ezen probléma megoldáá i úgy konruálhajuk meg, hogy előzör kereük a differenciálegyenle-rendzer homogén rézének az ado Y ) Y kez- 0 0 wwwankonyvarhu Zobory Iván, BME

71 5 JÁRMŰVEK PARAZITA MOZGÁSAI, GERJESZTETT LENGÉSEK 75 dei érékeke kielégíő Y, Y ) parikulári megoldáá, é ehhez hozzáadjuk az inhomogén gerjeze) egyenle y h 0 g 0 ) 0 kezdei érék vekornak elege evő Y, 0) parikulári megoldáá Így a g járműdinamikai rendzerünk gerjezé haáára előálló mozgávizonyai az ado kezdei érékekhez illezkedő Y ) Y, Y ) Y, 0 ) R h állapovekor-időfüggvénnyel - min parikulári megoldáal - egyérelműen jellemezni lehe! 0 g Az elmondoak zerin előkén az állapovekorra felír lineári inhomogén gerjeze) differenciálegyenle-rendzer gerjezelen Y ) A Y ) homogén rézének az ado Y ) Y kezdei vekor- 0 0 hoz arozó Y, Y ) parikulári megoldáá kell meghaároznunk! Kereük a megoldá Y) h e h 0 alakban, azaz egy egyelőre haározalan h C n komple elemű vekor, é az egyelőre haározalan C komple együhaó melle képze e eponenciáli függvény zorzaakén Deriválva a feléeleze alakú megoldáfüggvény az Y) h e függvény kapjuk Vizahelyeeíve a homogén lineári differenciálegyenleünkbe, a n h e A h e vekoregyenlee kapjuk ekinve, hogy a mindké oldalon zereplő e függvény ehol em lez zéró a zámegyeneen, ezér mindké oldal el zabad ozani e -vel, így az egyenle ké oldalá felcerélve a zokáo alakú A h h ajáérék-feladara juunk Kereni kell azon C zámoka, amelyek melle a felír ajáérékfeladanak léezik h 0 - ún nemriviáli - megoldáa Kimérékben árendezve a ajáérék-felada egyenleé a A h - h A - E) h = 0 homogén lineári algebrai egyenlerendzer kapjuk az imerelen h C n vekor meghaározáára I E a nn méreű egyégmário jelöli Mivel bennünke cupán a h 0 nem riviáli megoldáok érdekelnek, ezér előzör az ezek léezéé bizoíó feléelnek megfelelő C zámoka - az un ajáérékeke - kell meghaároznunk Imeree, hogy egy négyzee együhaómáriú homogén lineári algebrai egyenlenek akkor é cak akkor van nem riviáli megoldáa, ha együhaómária zingulári, azaz az együhaómári deerminána zéru Ez a feléel eeünkben az jeleni, hogy meg kell haároznunk az A rendzermári de ) A - E karakeriziku polinomjának gyökei A gyökök meghaározáa a de A - E ) 0 karakeriziku egyenle megoldáával örénik Ha a,,, n C gyökök - amelyek közö lehenek zéru képzee rézel bíróak, azaz való gyökök i - rendelkezére állnak, akkor meg kell haározni ezen ajáérékekhez arozó h i n C, i,,, n un ajávekoroka i az A - E i ) h i = 0, i,,, n homogén lineári algebrai egyenlerendzerek megoldáával A "Maemaika" c árgyból imeree, hogy a homogén lineári egyenlerendzerek nemriviáli megoldáa ohaem egyérelmű! Az egyenlerendzerre ekinve azonnal lázik ugyani, hogy bármely h i megoldáal együ ezőlege c C együhaó zorzó) melle a ch i vekor i kielégíi az egyenlee Ez gyakorlailag az jeleni, hogy ha az A - E i ) együhaó mári rangja r i, akkor a lineári egyenlerendzer megoldáakor n-r i zámú Zobory Iván, BME wwwankonyvarhu

72 76 JÁRMŰDINAMIKA ÉS HAJTÁSTECHNIKA imerelennek ezőlege célzerűen egyégnyi) éréke lehe adni, é ezen feléel melle a öbbi imerelenre kiadódó lineári inhomogén egyenlerendzer már a zokáo módzerek valamelyikével meg lehe oldani, é így a h i ajávekorok rendre meghaározhaók A feni árgyaláunk orán láuk, hogy a,,, n C ajáérékek a homogén réz megoldáának előállíáában kulcfonoágú zereppel bírnak Tovább növekzik ezen ajáérékek jelenőége, ha ekinebe vezük, hogy a ajáérékek képzee réze megadja a dinamikai rendzerünk ajákörfrekvenciái, é így a rendzer ajáfrekvenciái abzolú érék képzé é -vel való ozá uán Im i f i, i,,, n alakban adódnak A ajáfrekvenciák alapinformáció adnak arra vonakozóan, hogy milyen frekvenciájú gerjezéekre fog a rendzer eeleg vezélye nagyágú kiéréérékekkel "rezonálni" A ajáérékek máik - nem kevébé fono - zerepe a lineári dinamikai rendzer abiliáának indikáláában van Mivel a homogén differenciálegyenle-rendzer megoldáai eponenciáli időfüggvények lineári kombinációjakén állnak elő, ahol az eponenciáli időfüggvények kievőjében zerepelnek a ajáérékek, azonnal adódik, hogy ha valamely ajáérék való réze poziív való záméréke vez fel, akkor az a megoldá-özeevő eponenciáli ebeéggel végelenhez fog arani, é ez a ulajdonág a mozgáampliúdók vezélye megnövekedééhez veze Az elmondoak mia járművekben a megvalóío lineári dinamikai rendzer nem rendelkezhe olyan paraméerekkel, amelyek melle a abiliávezé jelző poziív való rézű ajáérékek alakulnak ki Ezen okok mia a,,, n C ajáérékek i Re i, i,, n való rézeinek negaív zámérékei min abiliáaralékoka érelmezhejük, míg zéró vagy poziív érékük a abiliá haárá ill a abiliávezé indikálja Minél nagyobb a abiliáaralék, annál kiebb a abiliávezéel járó vezélye mozgá- é erheléállapook kialakuláénak leheőége A lineári időinvarián dinamikai rendzerekre vonakozó özefüggéeke egy egy zabadágfokú járműdinamikai modellen zemlélejük Az 57 ábra zerin a járműnek cupán a függőlege gerjeze lengéei kívánjuk vizgálni a felrajzol - erően egyzerűíe - lineári dinamikai modellel m z m z g, d g g) Lineári idõinvarián dinamikai modell z) 57 ábra Lineári időinvarián egy zabadágfokú járműdinamikai modell A jármű dinamikai modelljének függőlege mozgáá az m z ) dz ) z ) g ) dg ) máodrendű lineári inhomogén differenciálegyenle írja le, ahol a g) gerjező időfüggvény deriváljával együ imernek éelezzük fel Ily módon a differenciálegyenle zavarófüggvényé egy ado ) ) ) függvénynek ekinhejük Bevezeve az f g dg Y z z R állapovekor, kapjuk a dinamikai probléma rendzermário megfogalmazáá: ) ), ) T wwwankonyvarhu Zobory Iván, BME

73 5 JÁRMŰVEK PARAZITA MOZGÁSAI, GERJESZTETT LENGÉSEK 77 d f ) z ) ) m m z m Y ) z ) 0 z ) 0 Y ) A Y ) f ) Haározzuk meg előzör az A rendzermári ajáérékei! A karakeriziku polinom mo a de A E) de d m m alako öli, ennek figyelembevéelével pedig a karakeriziku egyenle de d m m , de d m m alakú lez Ezen imer alakú) karakeriziku egyenlenek a megoldáa adja a ké ajáéréke: d m d m d d d, m m További vizgálaunkban éelezzük fel, hogy a járműdinamikai rendzerünk gyengén cillapío, azaz a ajáérékek kifejezéében a dizkriminán negaív, é így a ké ajáérék komple konjugál gyökpár Bevezeve a m m m m 0 d 0 d, m m m kifejezé-pár, a ké ajáérékre a i, i konjugál komple zámpár adódik A ajáérékek imereében a lengő rendzer ajákörfrekvenciája é ajáfrekvenciája az rad Im, = ; f, f Hz képle-párral zámíhaó, míg a abiliáaraléka a d Re Re 0 m éréke vezi fel A mo nyer eredmény az muaja, hogy a vizgál lengő rendzerünk d 0 eeén abili Az ado kezdei érékeknek elege evő megoldáfüggvény megadáához zükége még az f) gerjezővekorral meghaározo inhomogén egyenle zéró kezdei feléeleknek megfelelő egy parikulári megoldáának imeree Ennek meghaározáa a kövekező fejezeben világoá válik 55 Rendzerjellemző függvények A lineári időinvarián járműdinamikai rendzerhez arozó R rendzeroperáor imernek véve megvizgáljuk, hogy peciáli gerjezéek eeében a rendzer válaza hogyan alakul Ha a rendzerre működő énylege gerjezőfüggvény ikerül a jelze peciáli gerjező függvények lineári kombinációjakén legalább i közelíőleg előállíani, akkor a énylege gerjezére ado válaz az R operáor özeg- é arányaráa, valamin az időinvariancia fennálláa mia előállíhaó lez a peciáli Zobory Iván, BME wwwankonyvarhu

74 78 JÁRMŰDINAMIKA ÉS HAJTÁSTECHNIKA gerjezéekre ado válazok lineári kombinációjakén a) Elő peciáli gerjezőfüggvénykén a rendzerbe elhanyagolhaóan rövid idő ala egyégnyi impulzu beápláló négyzöglöké alakú erőfüggvény ekinjük Ha >0 jelöli az impulzu aróinervallumának hozá, akkor képlezerűen a kövekezőképp adhajuk meg a zóban forgó egyégimpulzu függvény: 0 a 0, ha 0, ) Nyilvánvaló, hogy ezen függvény válozó zerini - -ől + ig ve inegrálja egyégnyi éréke vez fel: ) d d d 0 0 Mivel a aróinervallumo igen kicinek, de mégi végenek éelezük fel, ezér a rendzer h) úlyfüggvényének h ) közelíő kifejezéé kapjuk Ez a közelíé annál jobb lez, minél kiebb a időköz Ezek figyelembevéelével: h ) R ) A levezeé mellőzéével megadjuk egy egyömegű lineári rugó é cillapíó aralmazó lengőrendzer úlyfüggvényé Jelölje e rendzerbeli ömege m, a rugó merevége a cillapíái ényező pedig d Magyarázakén annyi fűzünk hozzá, hogy a inervallum elhanyagolhaóan rövid vola az jeleni, hogy a =0 időponban a nyugalomban lévő rendzerre haó ) egyégimpulzura érvénye I = mv = m h 0) = özefüggé mia a ebeég kezdei éréké h 0) = /m éréknek lehe venni az elhanyagolhaóan ki inervallum végén Máréz, mivel a inervallum el- hanyagolhaóan rövid, ezér a ömegnek ninc ideje elmozdulni, vagyi az elhanyagolhaóan ki inervallum végén h 0) közelíőleg zérunak veheő Mindez az jeleni, hogy a úlyfüggvény a cillapío lengőmozgá imer homogén lineári differenciálegyenleének a h 0) 0 é a h 0) /m kezdei feléelek mellei megoldáa zolgálaja A levezeé mellőzve a úlyfüggvény a kövekezőképp adódik: h ) 0 ha 0 e in ) ha > 0 m d d, ahol é = m m m A közelíő úlyfüggvény alakuláá a kövekező 58 ábra zemlélei wwwankonyvarhu Zobory Iván, BME

75 5 JÁRMŰVEK PARAZITA MOZGÁSAI, GERJESZTETT LENGÉSEK 79 ) h ) ) R h ) 0 d h 0 m 58 ábra A lineári dinamikai rendzer közelíő úlyfüggvénye b) A rendzerre hirelen ráado egyégnyi erőhaá adja a máik peciáli gerjezőfüggvény Ennek neve: egyégugrá-függvény vagy Heaviide-féle függvény Képlezerű megadáa a kövekező: 0 ha 0 U ) ha > 0 Ezen U) függvény a = 0 helyen nem differenciálhaó, azonban negaív érékekre é -nél nagyobb poziív érékekre deriválja megegyezik a korábban bevezee ) egyégimpulzu függvénnyel, nevezeeen a derivál a jelze érékekre mindenü zéru Az i világo hogy megadhaó az U) függvénynek egy olyan U ) közelíő válozaa, amely zakazonkén lineári, é amelynek a deriválja minden ponban ahol az differenciálhaó, vagyi a öréponjaiól különbözői helyeken ényleg megegyezik ) vel Az i mondo közelíő függvény képlezerű megadáa a kövekező: 0 ha 0 U ) / ha 0 < ha > Az elmondoak zerin ehá az U ) ké öréponi abzcizája kivéelével: d U ) ) d Alkalmazzuk mo az rendzeroperáor a feni egyenlőég mindké oldalára! Ekkor figyelembe véve, hogy a d/d differenciáloperáor é az R rendzeroperáor min lineári operáorok felcerélheőek, akkor ekineel h ) jelenéére, adódik a rendzer A)=R U) özefüggéel definiál pono ámenei függvényének A ) közelíée deriváljakén adódik ki a rendzer h ) közelíő úlyfüggvénye: R d U ) ), R d d RU ) R ) h ), d da ) h d ) Zobory Iván, BME wwwankonyvarhu

76 80 JÁRMŰDINAMIKA ÉS HAJTÁSTECHNIKA Ha mo elvégezzük a 0 haárámenee, akkor a bal oldalon a közelíő ámenei függvény deriválja a pono ámenei függvény deriváljába, a jobb oldalon pedig a közelíő úlyfüggvény a pono úlyfüggvénybe megy á Így végül i kiadódik egyrézről a da) d h ) özefüggé, máréz mindké oldal zéruól -ig való inegráláával az A ) h ) d 0 eplici kifejezé a rendzer ámenei függvényére vonakozóan Világoá vál ehá a ké rendzerjellemző függvény eplici özefüggée Az egyégugrá gerjezé é az ámenei függvény egyzerű egyömegű lineári lengőrendzer eére az 59 ábrán vázoluk fel U ) U ) R A) A) 0 d A ) U A 0 m 59 ábra Az U) egyégugrá gerjezére ado válaz az A) ámenei függvény c) A rendzerre ráado egyégnyi abzolú érékű konan zögebeéggel forgó komplezámmal megado függvény adja harmadik peciáli gerjezőfüggvény Ennek neve: elemi komple harmoniku függvény vagy elemi fazor Képlezerű megadáa a kövekező: i f, ) e C A kompleérékű f,) függvény ehá a időől é az körfrekvenciáól függ Figyeljük meg, hogy a =0 helyen a függvény a való éréke vezi fel Mivel ekkor az zorza jelenée zögelfordulá, az f,) függvény ábrázoló egyégnyi hozúágú forgó komple vekor fázizöge éppen az mennyiég A vizgál lineári időinvarián rendzer körfrekvencia-függő komple frekvenciafüggvényé mi újabb rendzerjellemző függvény az R rendzeroperáornak az elemi komple harmoniku függvényre örénő alkalmazáával é az így kapo függvénynek ugyanezen elemi komple harmoniku függvénnyel való normáláával kapjuk: i e H i ) R i e A jelze normálá mindig elvégezheő, mer a bevezee elemi komple harmoniku függvény minden é érék eeén egyégnyi abzolú érékű, azaz mindig lehe vele ozani A bevezee definíció alapján kiviláglik, hogy a lineári időinvarián rendzer elemi komple harmonikual örénő gerjezée eeén a válazfüggvény R e H i ) e alakban kapjuk i i Az wwwankonyvarhu Zobory Iván, BME

77 5 JÁRMŰVEK PARAZITA MOZGÁSAI, GERJESZTETT LENGÉSEK 8 elemi komple harmoniku gerjezé é a komple frekvenciafüggvény özefüggéé az 50 ábra zemlélei Im i e R R H i ) e i Im H i ) e i 0 i e Re i e 0 Re 50 ábra Az elemi komple harmoniku gerjezé é a rendzer komple frekvenciafüggvényének özefüggée Az eddigiekben i vizgál egy zabadágfokú lineári lengőrendzer a komple frekvenciafüggvényének meghaározáához ekinük előzör a rendzer differenciálegyenleé, ahol mo az inhomogeniá okozó jobb oldali zavarófüggvény az e elemi komple harmoniku Az imerelen ki- i éréfüggvény y)-vel jelölve: i my ) dy ) y ) e Tekineel a komple frekvenciafüggvény jelenéére min az elemi komple harmoniku gerjezére ado komple rendzerválaz együhaójára) indokol a megoldá y ) H i ) e i alakban kereni Tekinük ezen feléeleze megoldáfüggvény deriváljai: y ) H i) ie, é i i y ) H i) i) e Vizahelyeeíve a differenciálegyenlebe: i i i i m H i ) i ) e dh i ) i e H i ) e e Az egyenle mindké oldalá a ohaem zéru i e H i m i di ) ) ) -val ozva, é a bal oldalon Hi) kiemeléével a egyenle adódik, amelyből Hi) kifejezéével adódik a lengő rendzerünk komple frekvenciafüggvénye: H i ) m di A kapo kifejezére ekinve előzör i rögzíük, hogy az különböző körfrekvencia érékekhez má é má Hi) álalában komple éréke rendel Előzör i, ha =0, akkor a Hi) peciálian való éréke vez fel, ennek nagyága: / Ha a különböző körfrekvencia érékekhez arozó Hi) komple érékek vekorai végponjai vizgáljuk, akkor az ezen végponok álal kirajzol görbe a rendzerjellemző függvény lez: ez maga a Hi) komple frekvenciafüggvény diagramja A komple frekvenciafüggvény a való engelyre zimmeriku lefuáú aló é felő ívből evődik öze zár görbévé Az aló óramuaó járáával megegyező irányíá nyerő ág a poziív körfrekvenciákhoz, a felő óramuaó járáával ellenée irányíá nyerő ág a negaív körfrekvenciákhoz arozó komple érékeke jeleníi meg Rézleekben való elmélyedé nélkül rámuaunk, hogy az aló é a felő görbeív máodrendű diffe- Zobory Iván, BME wwwankonyvarhu

78 8 JÁRMŰDINAMIKA ÉS HAJTÁSTECHNIKA renciálegyenleel leír dinamikai rendzer eeén ké íknegyede jár be Mindké görbe jobb végponja a zéró körfrekvenciához arozik é a való engelyről emelkedik el Az aló ív menén balra haladva egyre növekvő + -hez aró) poziív körfrekvenciák melle végül i az origóba fu be a görbe, épedig vízzine végérinővel Haonlóképp, a felő ív menén balra haladva egyre nagyobb abzolú érékű negaív - -hez aró) körfrekvenciák melle végül i az origóba fu be a görbe, épedig imé vízzine végérinővel A mo magyarázo görbe alakulá az 5 ábrán zemlélejük Im - H-i ) <0 =0 Hi ) ) >0 Re 5 ábra A rendzer komple frekvenciafüggvényének diagramja a komple íkon 56 Gerjeze lengéek 56 Vizgála az időarományban Jelölje a g) időfüggvény járműrendzerre az idő függvényében jelenkező külő gerjező haá Ez a vizgál dinamikai feladaól függően lehe erőhaá, nyomá, elmozdulá, ebeég, b A gerjező időfüggvény a kövekezőkben előállíjuk négyzöglöké függvények vagy egyégugrá függvények lineári kombinációjakén Amennyiben a dinamikai rendzerünk lineári é időinvarián, akkor a zuperpozíció é haárámene alkalmazáával inegrálhaó gerjezőfüggvények eeében jellegzee inegrál-kifejezéekkel nyerheők a keree lengéek időfüggvényei a) Konvolúcióéel A bevezeő rézben jelze módon a g) gerjezőfüggvény előállíjuk négyzöglöké-függvények özegekén Elő lépékén ekinük a megado [ 0, n ] időkerenek egy ekvidizán felbonáá hozúágú inervallumokra Az így adódó 0,,, i,, n ponokban rendelkezéünkre állnak a g) függvénynek a felozá-inervallumok bal végponjához arozó g 0 ), g ),,g i ),,g n ) minavéeli érékek A g) függvény özegkén felépíő aróinervallumú g i ) négyzöglökéeke az alábbi eezéválazáo definíció zolgálaja az i = 0,, n- indeekre 0 ha i g ) g ) ha 0 ha i i i i i A aróinervallumú korábban árgyal ) egyégimpulzu függvény be udjuk hozni a feni kifejezébe a kövekező meggondoláal A ) egyégimpulzu magaága /, ezér ha a ) impulzu ekinjük, akkor a aróinervallumú é egyégnyi magaágú lez Nyilvánvaló ezek uán, hogy a g i ) ) négyzöglöké magaága éppen g i ) lez é így a g i ) négyzöglöké az egyégimpulzu megfelelő i 0 helyre jobbra elol kifejezéének zerepeleéével wwwankonyvarhu Zobory Iván, BME

79 5 JÁRMŰVEK PARAZITA MOZGÁSAI, GERJESZTETT LENGÉSEK 83 g i ) = g i ) - i ) alakban adódik, minden i-indere A végigvi gondolamene alapján az eredei g) gerjezőfüggvényünk lépcő függvénnyé durvío közelíő válozaá a mo bevezee g i ) négyzöglökéek özegekén írhajuk fel: n n g ) g ) g ) ) i i i i0 i0 A kapo kifejezé már közel viz a felada megoldáához Vegyük figyelembe, hogy a keree y g ) válazfüggvény a lineári időinvarián dinamikai rendzer R operáorának alkalmazáával kapjuk é a gerjezőfüggvény pedig egymá nem zavaró dizjunk aróinervallumú négyzöglökéek özegekén azaz peciáli, cupa egyégnyi együhaó lineári kombinációkén) adódo Érvénye ehá az alábbi özefüggé-or: n n y ) R g ) R g ) g ) R ) g i i i i0 i0 Vegyük figyelembe mo, hogy az elol egyégimpulzura haó rendzeroperáor előállíja a rendzer közelíő úlyfüggvényének az elol válozaá, azaz minden i -re érvénye a R i i ) h ) özefüggé Ennek figyelembe véelével az y g ) válazfüggvény a gerjeze lengé megadó kimenőfüggvény kövekező közelíée adódik: n y ) R g ) g ) h ) g i i i 0 Könnyű felimerni, hogy i egy inegrálközelíő özeggel állunk zemben Ha a felozáinervallumok hozá minden haáron úl cökkenjük é ezzel egyidejűleg a beozáponok záma minden haáron úl növekzik akkor a zereplő özeg egy inegrál-kifejezébe megy á: y ) R g ) g ) h ) d g ) h ) g A képleben felhaználuk a rendzer h) úlyfüggvényé, amely a h ) lim h ) relációval van érelmezve Az y g ) rendzerválazra kapo inegrál-kifejezé neve konvolúció inegrál Az eredményünk ehá így olvahaó ki: a lineári időinvarián rendzer válazá a rendzer úlyfüggvényének a gerjezőfüggvénnyel zámío konvolúciója zolgálaja A ké függvény konvolúciójá, min függvények közöi művelee a ké függvény függő válozója közé helyeze cillag művelei jellel azonoíjuk Így ehá a mo kapo eredményünk rövid felíráal: y g )=g)*h), ez a konvolúcióéel b) Duhamel inegrál A rendzerre működő a g) gerjezőfüggvény elő lehe állíani elol egyégugrá függvények lineári kombinációjakén Elő lépékén ekinük az U) egyégugrá függvény A kövekezőkben felezük, hogy a g) gerjezőfüggvény < 0 időponokban azonoan zéru éréke vez fel Amennyiben a =0 helyen a g) gerjezőfüggvénynek vége ugráa van, jelölje a g) függvény = 0 helyen léező jobb oldali haáréréké g0 + ) A zéru időpon jobb oldali környezeében a g0 + )U) függvény elfogadhaó lépcő közelíée g) függvénynek a valamely > 0 időponig Haonlóképpen, jó közelíée adódik a g) gerjezőfüggvénynek valamely > időponig a g0 + )U) + U - )g ) - g0 + )) lépcő függvény Folyaava ez az eljárá egy kierjed [0, n ] időkerere a g)- 0 Zobory Iván, BME wwwankonyvarhu

80 84 JÁRMŰDINAMIKA ÉS HAJTÁSTECHNIKA nek egy ~ g ) U ) g 0 ) U ) g ) g 0 )) U ) g ) g )) = n n n = g ~ ) U ) g 0 ) U n i ) g ) i g )) i lépcő közelíő függvényé kapjuk, azaz írhaó, hogy a [0, n ] időkereben g ) g ) Tekinük mo az y g ) rendzerválaz meghaározáá! A rendzeroperáor mo a közelíő g ) függvényre alkalmazva a válaz y ) közelíő éréke adódik, azonban az időengelyen alkalmazo g i felozáponok űrűégé minden haáron úl növelve könnyű beláni, hogy a így a keree y g ) válazfüggvény inegrál-előállíáához juunk Ez a nevezee Duhamel ejd: Düamel) inegrál A mondoaknak megfelelően kihaználva a rendzer operáorának lineári volá é az időinvarianciá,valamin az ámenei függvény definíciójá az alábbi özefüggé-or adódik: n y ) R g ) R g ) R g 0 ) U ) U ) g ) g ) g i i i i n R g 0 ) U ) R U ) g ) g ) i i i i n g 0 ) R U ) R U ) g ) g ) i n i i i i i g 0 ) A ) A ) g ) g ) i i i A haárámene végrehajáa uán a rendzerválaz a g) gerjezőfüggvényre nézve ve Sieljeinegrállal kapjuk: y ) R g ) g 0 ) A ) A ) dg ) g Ha a g) gerjezőfüggvény differenciálhaó minden > 0 érék melle, akkor a kapo Sielje inegrál Riemann inegrálba megy á a kövekezőképp: y ) R g ) g 0 ) A ) A ) g )d 56 Vizgála a frekvenciaarományban g A frekvenciaarománybeli vizgálaok orán a g) gerjezőfüggvény folyama) különböző korfrekvenciájú elemi komple harmoniku függvények lineári kombinációjakén örénő előállíáára vannak alapozva A vizgálaoka linearizál modellekre vonakozólag végezzük a gerjező haáok alábbi coporoíáának megfelelően: Periodiku gerjezé: g) gerjezőfüggvény T perióduidővel, Aperiodiku gerjezé: ha g ) d, 3 Szochaziku gerjezé: ha a gerjezőfüggvény g,w), azaz a időn kívül a w elemi eeményől vagyi a vélelenől) i függ 56 Periodiku gerjezé A periodiku gerjezőfüggvény ulajdonága, hogy érvénye a: g T ) g ) Dg) feléel, ahol T a perióduidő, é Dg) a g) gerjezőfüggvény érelmezéi arománya A periodiku gerjezé alapeee a iza kozinuzo vagy iza zinuzo gerjezőfüggvény jelenlée Megkü- o o wwwankonyvarhu Zobory Iván, BME

81 5 JÁRMŰVEK PARAZITA MOZGÁSAI, GERJESZTETT LENGÉSEK 85 lönbözejük az erőgerjezé é az úgerjezé Erőgerjezé eeén a g ) Aco vagy a g ) B in függvényeke ekinjük, ahol az A é B ampliúdók erődimenziójúak Úgerjezé eeén a g ) a co vagy a g ) b in függvényeke ekinjük, ahol az a é b ampliúdók hozúág dimenziójúak Az idő mérékegyége [] =, a körfrekvencia mérékegyége [] = rad/ A dinamikai rendzerek vizgálaakor okzor fennáll, hogy a zinuzo é kozinuzo agok özzegződnek, ő fázielolá i zenvednek, é maga az eredő gerjező-függvény ezek lineári kombinációjakén áll elő: g ) a co ) b in ), * ahol φ é φ fázizögek mérékegyége: [φ ] = [φ ] = rad Sok járműdinamikai feladaban a gerjezé öbb különböző ω j körfrekvenciájú kozinuzo vagy zinuzo ag lineári kombinációja A periodiku gerjező-haá lefuá egy leheége alakuláá az 5 ábra zemlélei Célzerű a periodiku gerjezéek módzere felbonáa különböző egymáal kapcolaban lévő) körfrekvenciájú kozinuzo é zinuzo agok lineári kombinációjára g T T T T 5 ábra T-periodiku gerjező haá az idő függvényében Ez az eljárá a Fourier orfejé Valamely T-periodiku g) gerjezőfüggvény nagyon álaláno feléelek melle előállíja a Fourier-ora, melynek alakja: j j g ) a a co b in 0 j j j T T A feni kifejezében zereplő együhaók a 0, illeve a j é b j j>) indezel a g) függvény Fourier együhaói A zereplő kozinuzo é zinuzo agok körfrekvenciájá ekinve a kövekezőke kell elmondani: ) A T-periodiku g) függvény alapharmoniku körfrekvenciája: T ) A zereplő j-indeű felharmoniku körfrekvenciák az alapharmoniku poziív egéz zámzoroai: ; ; 3 3 ; j j 3 j T T T A T perióduú g) gerjezőfüggvény Fourier együhaói az un való Fourier együhaóka) az alábbi özefüggéek zolgálaják: Zobory Iván, BME wwwankonyvarhu

82 86 JÁRMŰDINAMIKA ÉS HAJTÁSTECHNIKA a g ) d 0 T T 0 az inegrálálag a j T T / T / T / j g ) co d T T / j b g ) in d j T T j =,, A járműdinamikai problémák kényelme árgyaláa adódik komple Fourier orok egíégével, mivel elkerülheő az addíció éelek orozao alkalmazáa Imeree a Maemaika c árgyból az Euler-reláció, mizerin az körfrekvenciájú elemi komple harmoniku függvény felírhaó az azono körfrekvenciájú kozinuz é zinuz függvények kifejezéekén Alkalmazva az Euler reláció é körfrekvencia eeére, a -re érvénye alábbi ké özefüggé adódik: i e co ) i in ) i e co ) i in ) A feni ké kifelezé özeadáával kapjuk a co) függvény, kivonva a felőből az aló, kapjuk a in) függvény: i i i i e e e e co ), in ) i A nyer ké özefüggé a már árgyal való Fourier-or kozinuzo é zinuzo agjaiba beírva, a T g)-periodiku való gerjezőfüggvény kövekező komple agú orelőállíáá kapjuk: i j g ) c e, j ahol c j : j=,-,-,0,,, a komple Fourier-együhaók rendzere A képle zerin ehá a T- i e j periodiku g) gerjező haá előáll függvények komple együhaó lineári kombinációjakén A belépe c j komple Fourier-együhaók kapcolaban állnak a való együhaókkal a: c j a j i b j C, j = 0, ±, ±, ±3, özefüggé zerin Ha a g) gerjezőfüggvény valóérékű dinamikai jellemző, akkor a Fourier együhaókra a kövekező reláció eljeül: c c j j, ahol c j a c j komple Fourier együhaó komple konjugálja A c j komple Fourier-együhaók előállíáá közvelenül a c j T T / T / g ) e i j inegrálok kizámíáával i elvégezhejük d j = 0, ±, ±, ±3, A periodikuan gerjeze lineári idővarián SISO dinamikai válaza nagyon egyzerűen adódik Legyen R a lineári időinvarián dinamikai rendzer operáora Feleheő, hogy ekkor a rendzer def i e H i ) R i e komple frekvenciafüggvénye i imer A megado definiáló özefüggé zerin wwwankonyvarhu Zobory Iván, BME

83 5 JÁRMŰVEK PARAZITA MOZGÁSAI, GERJESZTETT LENGÉSEK 87 idézzük emlékezeünkbe, hogy a Hi), min az körfrekvenciáól függő komple frekvenciafüggvény, az e i i elemi komple harmoniku gerjezére az R e i rendzerválaz y g ) = Hi) e alakban zorza kifejezéel zolgálaja Tekinük a g) T-periodiku bemenőjellel gerjeze rendzer kimenőjelé, az y g ) rendzerválaz az 53 ábra zerini vázlaal érzékeleve: g) Hiω) R) y g ) 53 ábra A periodiku gerjezé é a válaz kapcolaa Az y g ) rendzerválaz a g) gerjezőfüggvény R operáor zerini képe, így: i j i j y ) R g ) R c e c R e, g j j j j i i Figyelembe véve, hogy az elmondoak zerin a H i ) e R e a orfejében zereplő öze körfrekvenciára érvénye, ezér a válaz az y g ) j c H i ) e j j i j végelen or alakjában áll elő Jelöljük d c H i ) ; j = 0, ±, ±, ±3, módon a orelőállíában zereplő -függelen j j j együhaóka, ezzel előáll az y g ) válazfüggvény komple Fourier-ora lez, ahol a y g j i j ) d e, j j d C, j = 0, ±, ±, ±3, érékek az y g ) rendzerválaz komple Fourieregyühaói Emeljük ki ezzel az eredménnyel kapcolaban, hogy a válaz imé az elemi komple i j harmoniku függvények lineári kombinációja le Ez a ény még jobban aláhúzza a e függvények épíőkő jellegé, azaz belőlük lineári kombináció-képzéel előáll mind a gerjező-, mind pedig a válazfüggvény 56 Aperiodiku gerjezé lökégerjezé) Cak olyan gerjező függvényeke vizgálunk, amelyek a elje zámegyeneen abzolú inegrálhaóak, azaz léezik az alábbi impropriu inegrál: j g ) d Néhány jellegzee aperiodiku gerjezőfüggvény válozao az alábbi ábra mua be Aperiodiku gerjezé okoz például az úfelüleen kialakío fekvő rendőr, az úfelüle károodáa mia kelekeze káyú, illeve bármely vége aróinervallumú, hozirányban kierjed egyéb úfelülei vagy közlekedéi pálya meni egyenelenég Zobory Iván, BME wwwankonyvarhu

84 88 JÁRMŰDINAMIKA ÉS HAJTÁSTECHNIKA g Fekvőrendőr: g Káyú: 54 ábra Vége aróinervallumú aperiodiku gerjezéek g Álaláno alakú, impulzu zerű gerjezőfüggvény: gyoran aron nullához gyoran aron nullához 55 ábra Nem vége hozúágú aróinervallumú aperiodiku gerjezé Amennyiben a korláo gerjező függvény vége aróinervallummal bír, azaz azon inervallum hoza, ahol a g) függvény zéruól különböző, az vége hozúágú, akkor az abzolú inegrálhaóág auomaikuan eljeül Ha azonban a aróinervallum nem vége hozúágú lád az 55 ábrá), akkor a g) függvény végeinek eeén gyoran /-nél gyorabban) kell zéróhoz arania, hogy az abzolú inegrálhaóág eljeüljön Az abzolú inegrálhaóág feléele azér fono, mer ennek eljeülée bizoíja a g) gerjezőfüggvény inverz Fourier ranzformáljának léezéé, amely egy i ) komple érékű, körfrekvencia-függő g g i ) g ) e függvény, neve: a g) gerjezőfüggvény ampliúdóűrűég-pekruma Ez a függvény minden ω körfrekvenciához egy i ) C komple zámo rendel A i ) zerepe haonló a periodiku gerjezőfüggvény eeén haznál Fourier-együhaók zerepéhez, azok folyono analógónja g g Így ehá magá a gerjező függvény i elő lehe állíani inegrálalakban, a i ) ampliúdóűrűég pekrum Fourier ranzformáljakén a kövekező g alakban: g ) i e g ) A jelze analógia abban foglalhaó öze, hogy a periodiku eeben jellemző dizkré i i d d j j körfrekvencia-oroza helye mo egy inervallumo kiölő koninuum-zámoágú körfrekvenciaokaág lép be, haonlóképp, a periodiku eeben jellemző Fourier együhaók komple c j j zámorozaa helye mo a koninuum-ok körfrekvenciához rendel i ) komple ampliúdóűrűég érékek lépnek be Az elemi komple harmoniku függvények a periodiku eeben zereplő dizkré körfrekvenciák helye mo koninuum zámoágú körfrekvencia-inervallumon érelmeze e függvényokaággal lépnek be Az nem i kell külön kiemelni, hogy a i periodiku eeben zereplő orözegzé helye mo -zerini folyono özegzé =inegrálá) lép be Özefoglalva: a g) aperiodiku gerjezé ikerül az e iω elemi komple harmoniku függvények folyono lineári kombinációjakén inegrálalakban előállíani g wwwankonyvarhu Zobory Iván, BME

85 5 JÁRMŰVEK PARAZITA MOZGÁSAI, GERJESZTETT LENGÉSEK 89 A kövekezőkben levezejük a lineári dinamika alapéelé Vizgáljuk a lineári időinvarián dinamikai rendzer y g ) válazának alakuláá a ekine aperiodiku g) gerjezé eeén! Az y g ) válazfüggvény a rendzer R operáorának haáára áll elő, min a g) gerjezőfüggvény R zerini képe: i i i y ) R g ) R i ) e d i ) R e d i ) H i ) e d *) g g g g Máréz vizon a rendzer y g ) válazának i képezheő a komple ampliúdó-űrűég-pekruma az y g ) inverz Fourier ranzformáljakén az alábbi alakban: i i y e d y g ) ) g Kövekezékén maga az y g ) válazfüggvény i előállíhaó a i ) ampliúdó-űrűég Fourier ranzformáljakén: y ) ) i g i e d **) y g Az y ) válazfüggvény feniekben kapo ké különböző inegrál előállíáá a * é ** kifejezéek) zemügyre véve azonnal láhaó, hogy azok egyenlőége cak az inegrálok ala zereplő elemi g komple harmoniku zorzók együhaó függvényeinek minden körfrekvenciára örénő megegyezée eeén állha fenn Ezen meggondolából adódik a lineári dinamika alapéelekén imer nevezee i ) H i ) i ), yg özefüggé Tehá a rendzerválaz ampliúdó-űrűég pekruma meghaározhaó ávieli ulajdonágá jellemző Hiω) comple frekvenciafüggvény é a bemenő gerjezé Ф g iω) ampliúdóűrűég függvény zorzaakén Ha i ) megvan, akkor a válaz időfüggvénye nyilvánvalóan Fourier ranzformációval inegrálalakban adódik: Özefoglalva: y g y g ) y g g i ) e ) Az aperiodiku gerjezé Ф g iω) ampliúdó-űrűég függvénye a g) gerjezőfüggvény imereében, annak Fourier-ranzformációjával ado i d y g def i e ) A rendzer jellemezzük a H i ) R i e komple frekvenciafüggvénnyel y g 3) A lineári dinamika alapéele kapcolao erem a Ф g iω) gerjezé-jellemző é az y g ) válaz i ) ampliúdó-űrűég pekruma közö Ha i ) imer, akkor y g ) válazidőfüggvény i előáll a i ) válaz-ampliúdóűrűég függvény Fourier ranzformáláával y g Térjünk ki végül még a periodikuan ill aperiodikuan gerjeze lineári dinamikai rendzer eeén a Hi) komple frekvenciafüggvénynek a válazfüggvény jellemzőinek alakíáában beölö zerepére Analógia állapíhaó meg a periodiku gerjezé vizgálaánál árgyalakkal, ugyani a peri- y g Zobory Iván, BME wwwankonyvarhu

86 90 JÁRMŰDINAMIKA ÉS HAJTÁSTECHNIKA odiku eeben a Hi) függvény dizkré ; j 0,,, körfrekvencia-orozaon felve j helyeeíéi érékei a gerjezé leíró Fourier or Fourier együhaóinak zorzóényezőikén haározák meg a válazfüggvény Fourier orának együhaói: d H i ) c ; j 0,,, j j ahol c j a gerjezé é d j a válazfüggvény j-edik komple Fourier-együhaója j Aperiodiku g) gerjezé eeben vizon a koninuum-ok ω érékre érelmeze ampli-údóűrűég-függvények kapcolaa lép be: i ) H i ) i ) ;, ) y g g A periodiku g) gerjezé eeén adódó dizkré c j komple Fourier együhaók abzolú éréké é az aperiodiku g) gerjezé eeén adódó i ) komple ampliúdó-űrűég pekrum abzolú érékének alakuláá az 56 ábra diagram párja muaja be Periodiku gerjezénél: c j g Aperiodiku gerjezénél: Ф g iω) ω ω ω j ω ω 56 ábra A dizkré Fourier együhaók abzolú érékének é a folyono ampliúdó-űrűég pekrum függvény abzolú érékének özehaonlíó diagramja Záró özefüggékén arra hívjuk fel a figyelme, hogy mind a komple Fourier együhaóka, mind pedig a komple ampliúdó-űrűég függvény az abzolú érékük cak rézlegeen jellemzi Érvénye ugyani a i j c c e j j é a i ) i) i) e özefüggé-pár, ahol ψ g g j a j-edik j dizkré körfrekvenciához arozó fázizög, ψω) pedig a folyonoan válozó körfrekvenciáól függő fázizög A fázizög imereének hiányában ehá az abzolú érékek valóban cak rézlege jellemzé adhanak 563 Szochaziku vélelen) gerjezé lineári, időinvarián SISO rendzer eeén Szochaziku gerjezéen a időparaméeről függő vélelen erőhaá-folyamao, vagy vélelen geomeriai ú-) gerjezé-folyamao érünk A vélelenől való függé ényé a w függelen válozó az elemi eemény) zerepeleéével formalizáljuk Így ehá a zochaziku gerjezé-folyama formálian egy időől é vélelenől függő kéválozó g,w) függvénykén kezelheő Jelen árgyaláunkban cak zéró középérékű vélelen folyamaokkal foglalkozunk, amelyeknél a háérben munkálkodó vélelen mechanizmu abili jellegű, azaz gyenge acionariá muakozik A zochaziku folyama egy lefuáá realizáció függvénynek nevezzük Egy realizáció műzereen regizrálhaunk az időengely fele, é a kijö realizáció min elemi eemény) w-vel indeelhejük lád az 57 ábrá) wwwankonyvarhu Zobory Iván, BME

87 5 JÁRMŰVEK PARAZITA MOZGÁSAI, GERJESZTETT LENGÉSEK 9 g zéró középérék w w 57 ábra Gyengén acionáriu zochaziku folyama ké realizáció függvénye A g,w) gerjező-folyamao alkoó valózínűégi válozók várhaó éréke minden időpon eeén zéru, ezér a ekine gerjezé-folyama várhaó érék függvénye mo az azonoan nulla függvény lez A várhaó érék képzé operáorá E-vel jelölve írhaó, hogy: E g, w ) = 0 minden időpillanaban Termézeeen kézíheő a folyamao alkoó valózínűégi válozók máik fono jellemzője i, a zóránégyze függvény: g w g w g w D, ) E, ) E, ) 0 A ekine gyengén acionáriu gerjező-folyama eeén azonban a zóránégyze függvény minden időponra azono konan éréke vez fel A gyengén acionáriu g,w)vélelen folyama i e iω elemi komple harmonikuokból épül fel, az ω körfrekvencia végelen ok éréke melle A acionáriu folyamaok felépíéében jelenlévő körfrekvenciák jelenőégé az gg ) pekráli űrűég-függvénnyel jellemezzük Ennek a függvénynek egy ado -nál lévő ordináa-magaága =függvényéréke) az jeleni, hogy az ado ω körfrekvencia ki környezeében lévő körfrekvenciák mekkora úllyal zerepelnek a folyama elemi komple harmonikuokból való felépüléében Jelölje gg ω) a pekráli űrűégfüggvény, mely az alábbi három lényege ulajdonággal bír: ) gg ω) 0, -ra ) gg ω) = gg -ω), -ra, azaz a függvény páro 3) ) d, megadja a g,w) gerjező-folyama zóránégyzeé gg g Amely körfrekvenciáknál ehá gg ω) ordináája maga, azokhoz a körfrekvenciákhoz arozó e i elemi komple harmonikuok nagyobb úllyal nagyobb ampliúdóval) zerepelnek a g,w) gyen gg özerüle=zóránégyze: σ g 58 ábra Gyengén acionáriu zochaziku gerjező-folyama kéoldala pekráli űrűégfüggvénye ω Zobory Iván, BME wwwankonyvarhu