A LINEÁRIS JELFELDOLGOZÁS ALAPJAI

Átírás

1 A A LIEÁRIS JELFELDOLGOZÁS ALAPJAI z eigi fejezeekben megzerze imereek alapján uunk jó önéeke ozni, valamin cekély erőfezíé árán meganulajuk a jó becléek kézíéének mózeré i zajo megfigyeléek eeén A beclé lényegében a méréelméle alapja, é ezközei zine azonoak a írközléével A kövekezőkben egy éreke, peciáli problémakör alapveő megoláaira muaunk rá Válaz kereünk arra a kérére, ogy mikén unánk lineári jelfelolgozái mózerekkel zűréel a zajo megfigyelé a azno jelez minél aonlóbbá enni, illeve a múlbeli megfigyeléből a váraó jövő előre jelezni SIÍTÁS, SZŰRÉS, ELŐREJELZÉS árom coporba fogjuk orolni a felaaoka, amelyeke ennek a ponnak a címe i jelez Álalában az éelezzük fel, ogy az információ orozó jele moellező zocaziku folyama zajo, má néven aiív zajjal erel Így realizációinak valamely iőaramon végze megfigyelée alapján érelme felaa válaz kereni arra, ogy mi leee a megfigyeleő zajo özegből az ereei jel A címben zereplő elő felaacopor, a imíá, abból az elgonolából kapa a nevé, ogy a azno jelől öbb "nyugoágo", laúb válozáoka, nagyobb "imaágo" várunk, min a ozzá aóó zajól Így a zajo megfigyelé imíáa feleeőleg a zaj ávolíja el é az eremény közelebb kerül a jelez A felaa é a jelöléek illuzráláára álljon i az alábbi ábra: val jelölük ^ a múl + ν a 5 Az ábrán felüneük a zajo a realizáció, amelynek egy múlbeli, a é közöi iőzakra vonakozó feljegyzée alapján kézíünk egy imío válozao, amelye a -ben lévő jelkomponen becléének nevezünk, é annak valamely pillanaban fellépő éréké $ a - Fogalmilag olyan cekély mérékben különbözik a zűrének neveze felaa a imíáól, ogy ugyanezen az ábrán érelmezejük Lényegében a imíánál lerögzíe felaao kell elvégezni peciáli iőbeli megzoríáok eeén evezeeen: zűrének nevezzük a imíá akkor, a a felaao valói iőben végezzük, é a jel becül éréké minig a jelen pillanara ajuk meg a zajo megfigyelé akár elje múljának felaználáával Lényegeen különbözik a armaik felaacopor Ebben az eeben a múlbeli megfigyelé alapján jövőbeli érékeke kívánunk megjóolni, előre jelezni Íly móon érelme lee a felaanak az álaláno, zajo megfigyeléen kívül akkor i, a olyan nagy jel/zaj melle ujuk a megfigyelé végezni, amelye joggal ekineünk zajmene megfigyelének

2 lineári jelfelolgozá alapjai Ez a felaacoporo az alábbi ké ábrával illuzráluk A balolali ábra a zajmene eee űnei fel, amikor a megfigyelé maga a jel, míg a jobbolali ábrán a a -val jelöl megfigyelé az jel é a ν zaj özege a? ^ a a? ^ a múl jelen jövõ múl jelen jövõ A zajmene eeben eá az a felaa, ogy a múlban - a jelenig aró - megfigyel érékekből jelezzük előre a váraó jövőbeli éréke A zajo eeben az előbbi felaao annyival neezíjük, ogy a zajo megfigyeléekből kívánunk az igazi zajmene jel jövőbeli érékére előrejelzé ani A felaaok vázoláa uán ponoíuk, ogy mi zerenénk enni Előkén zögezzük le, ogy milyen megzoríáokkal kívánjuk a felaaoka megolani, maj válazunk megfelelő érékeléi mózer a felaa megoláának jellemzéére! A felaaok megoláára vonakozó megzoríá legyen a fejeze címével özangban a lineári, iőinvarián ranzformációk alkalmazáa Teá arra a kérére kereük jelenleg a válaz, ogy milyen jellemzőkkel bíró lineári ranzformációkkal érejük el a legjobb eremény Perze eez rögön ozzá kell enni, ogy mikén érékeljük az ereményeke, milyen zemponból ekinük az a legjobbnak Erre vonakozóan válazuk a négyzee középibával örénő jellemzé Teá azoka a lineári, iőinvarián ranzformációka kereük, amelyek a legkiebb négyzee középibájú megoláoka ereményezik Ezuán már cak a felaaok zámának ézerű cökkenée van ára, izen a felorol coporok minegyikében elvégezejük a felaao iőben izkré minák alapján, valamin a jelek iőben folyono felolgozáával A ovábbiakban i ké felaa rézlee megoláára zoríkozunk, nevezeeen megoljuk a zajmene előrejelzé izkré minák alapján, valamin a zajo megfigyelé imíáá iőben folyono felolgozáal ELŐREJELZÉS ZAJETES, DISZKRÉT EGFIGYELÉSEKBŐL Ponoíuk a zajmene előrejelzéel kapcolao vázlaunka annyiban, ogy felünejük az elmúl iőzakban ve miná, illeőleg azok iőponjai, valamin a jövőbeli iőpillanao, amikorra az előrejelzé kézíjük A aznál jelöléeinke a kövekező ábra zemlélei: a q q q q múl jelen ^ a jövõ Az ábra zerin a mináka a múlbéli iőponól kezve gyűjjük a -vel jelöl jelenig Illeve ponoabban, az egyzerű jelölé kevéér az elő mina iőponja +q, i-eiké +iq, az uolóé peig +q

3 lineári jelfelolgozá alapjai Az özegyűjö minából kell előrejelzé kézíeni a -vel jelöl jelen pillanao köveő +q iőponban A minák érékei i jelöli, ami rézleeebben a kövekező jeleni: i,aol i, + i q A kövekező lépé az előrejelzé kézíéére válazo linári, iőinvarián ranzformáció lezögezée in jól imer, ez nem má, min egy úlyozo özeg kézíée a minákból, azaz: $ : c i i i Ennyi megköé uán már cak az a nyio kéré, ogy milyen érékű úlyozó ényezők c i -k ereményezik a legkiebb négyzee középibájú előrejelzé aározzuk meg, ogy mikén függ az előrejelze érék négyzee középibája a úlyozó ényezőkől, é kereük meg a minimumo ereményező érékeke! Ez a felaa nyilván imerelen megaározáá igényli, eá nézzük meg, ogy mi ennek a leeőége! Előzör i efiniáljuk az előrejelzé négyzee középibájá! Jelölje εc a ibá, amely eá a c i konanok függvénye, amelyeke együ a c vekorral jelölünk: ε: c $, c T aol : c c c3 c a a feni kifejezé eriváljuk a c komponenei zerin, é az így kelekező kifejezé minegyiké egyenlővé ezük nullával, akkor kapunk egyenlee, amelyek megoláai a ibára zélő éréke zolgálanak: ε c $ $ 0 ; k, c c k Jelöljük az egyenlerenzer megoláakén kapaó úlyozó ényezőke özefogó vekor c -al, a komponenei eá ci -al, akkor a megolanó egyenlerenzer a kövekező: c i i k 0; k,, i aol egyréz ekinebe veük, ogy az előző egyenleben keővel egyzerűieünk, máréz peig beelyeeíeük az előrejelzére korábban bevezee kifejezé, valamin elvégezük a parciáli eriválá Alakíuk á a feni egyenlerenzer az alábbi formába: c ; k,, k i k i i ami rézleeen az alábbi egyenlekén i kifejeünk: c + c + K c c + c + K c K c + c + K c k 3

4 lineári jelfelolgozá alapjai a nem zereünk ilyen oka írni, akkor márix formában i megaajuk a fenieke, izen a balolalon egy vekorra, a jobbolalon peig egy márixnak egy vekorral való zorzaára imereünk: g G c Az egyenleben zereplő G márixo Gram márixnak nevezik, é az egyenle formáli megoláa nyilván ennek inveráláán alapul: c G g Kevé imerelen eeén a megolá alábbi mója i célra veze: i c% i D, G aol a D i eerminán a G eerminánból oly móon zármazik, ogy kiceréljük annak i-eik ozlopá a g vekorra Az így kizámío c i -úlyozó ényezőkkel nyereő előrejelzé négyzee középibája minimáli lez, é ez a minimáli érék ermézeeen az alábbi móon zámíaó: ε c c i i Könnyű kimuani, ogy a iba érékére a feniből az alábbi özefüggé nyereő: i ε c ˆ, ami váraóan kiebb lez, min a négyzee váraóérék Végezeül egy igen fono megjegyzé: Vegyük ézre, ogy a feni zámíáokban kizárólag a folyama korreláció függvényére vol zükégünk! SIÍTÁS IDŐBE FOLYTOOS EGFIGYELÉS ALAPJÁ Az előbb puzán az egyzerűég kevéér válazouk a zajmene előrejelzé Teljeen aonló a felaa megoláa zajo eeben i A különbégekre ualni fog a máoik felaaunk megoláa i amikor iőben folyono eeben oljuk meg zajo jel imíáá A legkiebb négyzee középibá aó imíózűrő íg az előző eeben a legkiebb négyzee középibá ereményező lineári ranzformáció feléelé az alábbi egyenle megoláa jelenee: $ k 0; aol k + kq, é k,, aig a folyono eere i bizonyíaóan egy aonló alakú özefüggé áll fenn, a a megoláunka zinén linári ranzformáció alakjában kereük A + ν zajo megfigyeléből a legkiebb négyzee középibájú beclé az jelkomponenre eá az alábbi alakban kereük: $ :, 4

5 aol az inegrál aárai a kövekező vázla alapján eríejük ki: Legyen a zajo jel megfigyeléének iőzaka a, közöi iőköz Az jelkomponenre ezen iőzakon belüli bármelyik iőpillanaban akarunk beclé kézíeni Ekkor a -oz elyezve a úlyfüggvény origójá, könnyen kieríeő, ogy mivel az inegrál aárai cak a megfigyel iőzakra erjeenek, ez -ben mérve - é - közö lez Ezek ^ a lineári jelfelolgozá alapjai a zerin a megolanó egyenle a korábbi ualára ivakozva az alaki aonlóágo illeőleg az alábbi lez: 0 Árenezve az egyenlee, é ekinebe véve, ogy a váraó érék képzée megelőzei az zerini inegrálá, kapjuk: Ez az egyenlee kellene megolani -ra, azaz a legkiebb négyzee középibá ereményező úlyfüggvényre Elő lépékén érékeljük ki a jelze váraóérékeke! Az inegrálban zereplő váraóérék jól imer, ez nem má, min korreláció függvénye az iőponok különbégénél Az egyenle jobbolalán zereplő kifejezé azonban még nem imer I ké folyamaból ve minák zorzaának váraóéréke zerepel yilván nem neéz rokonágo felfeezni ebben a kifejezében a korreláció függvény efiníciójával Amennyiben é együeen i gyengén acionáriuak, akkor jogo a kövekező efiníció i: 0, é : R R Alkalmazzuk még a - τ jelölé, é így a feni -ra vonakozó egyenlere a kövekező alako kapjuk: R R τ amely egyenlee Wiener-opf-egyenlenek nevezik Ennek az egyenlenek az álaláno megoláa neézégekbe üközik Számunkra azonban igen éreke lee egy peciáli ee, nevezeeen a megelégzünk a rögzíe megfigyeléi iőzak zéleiől ávoli imíái ereményekkel Azaz arra korláozzuk magunka, ogy a, közöi iőzaknak cak a belejében, a zéleiől ávol fogjuk jel becléé kereni Erre a legegyzerűbb moell az lee, a a feni iőzako -,+ aárokig kinyújjuk, é a becléeke cak vége iőponokra kézíjük Teá, a - é +, akkor az egyele a kövekező lez: τ, 5

6 R τ R τ lineári jelfelolgozá alapjai Könnyű ézrevenni, ogy ennek az egyenlenek a megoláa okkal egyzerűbb Vegyük minké olal Fourier ranzformáljá, miközben efiniáljuk az ún kerez-pekráliürüég függvény i: τ : R τ τ, π e -j R R τ τ Ezálal egy igen egyzerű, lineári egyenlee kapunk - igaz ugyan, ogy nem a keree lineári ranzformáció úlyfüggvényére, anem annak Fourier ranzformáljára - a zükége ávieli függvényre, ami -al jelölünk Az egyenle megoláa eá: Könnyű kimuani, ogy ez az özefüggé ovább egyzerűöik, amennyiben a jel é az aiív zaj függelenek, valamin legalább az egyikük váraóéréke nulla Ekkor a legkiebb négyzee középibá ereményező imíózűrő ávieli függvénye a kövekező özefüggéel zámíaó: + ν A négyzee középiba Az alábbiakban kizámíjuk a legkiebb négyzee középibá aó lineári ranzformáció kimeneén a iba éréké: ε ˆ Elvégezve a négyzereemelé a kövekező kapjuk: 3 ε + ˆ 3 A máoik ag a zűrő kimeneén lévő imío megfigyelé négyzee váraó éréke, ami pekráli űrűégével i kifejezeünk: ˆ A armaik ag megaározáa kici öbb leleményeége igényel Az elő lépé még egyzerű, a oa elyezzük a váraóérék képzé, aol a valózínűégi válozó van: 6

7 lineári jelfelolgozá alapjai R A kövekező lépében áérünk az iőarományból a frekvenciaarományba: π π e R R e R j j ezzel a ibára kapo kifejezé az alábbi lez: + ε Beelyeeíve a legkiebb négyzee ibá aó "zűrő" ávieli függvényé, a kövekező egyzerű kifejezé kapjuk: ε, ami függelen jel é zaj eeén, feléve, ogy legalább az egyik nulla váraóérékű, még ovább alakíaunk: + ε ν Pélkén bemuajuk a legkiebb négyzee középibá ereményező lineári ranzformációka arra az eere, a a jel pekráli űrűége lineárian cökken a zaj pekráli űrűége peig konan, e éréke a jel 0 frekvencián lévő pekráli űrűégéez képe 0,0; é 0-zere:, B B jel jel zaj zaj jel a [0,B], é 0 egyebkén I B a jel ávzéleége, ami az ábrán 000 egyégre válazounk 7

8 lineári jelfelolgozá alapjai 09 jel 000 zaj jel 0 zaj jel 00, zaj