Kvantitatív döntéselőkészítési módszerek a logisztikában. Ferenci Tamás

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Kvantitatív döntéselőkészítési módszerek a logisztikában. Ferenci Tamás tamas.ferenci@medstat.hu"

Átírás

1 Kvantitatív döntéselőkészítési módszerek a logisztikában Ferenci Tamás

2 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés Kvalitatív és kvantitatív döntéselőkészítés napjaink üzleti környezetében A döntéselőkészítés szintjei és jellemzőik Kvantitatív döntéselőkészítési módszerek áttekintése Statisztikai modellalkotás Az ökonometriai feladatok fajtái és kezelésük Keresztmetszeti adatelemzés Idősoros adatelemzés Az ökonometriai modellek alkalmazási lehetősége Szimuláció, szcenárióelemzés és érzékenységvizsgálat Szimuláció Szcenárióelemzés és érzékenységvizsgálat Metaheurisztikák Optimalizálás és a metaheurisztikák Az optimalizálás fogalma Optimalizálási problémák a logisztikában Optimalizálási problémák megoldása, a megoldási módszerek csoportosítása Mitől meta és mitől heurisztika a metaheurisztika? Néhány logisztikában is használatos metaheurisztika Lokális keresésen (LS) alapuló metaheurisztikák Ant colony optimization (ACO) Genetikus algoritmus (GA)

3 1. fejezet Bevezetés Ebben a fejezetben pár általános gondolatot tekintünk át döntéselőkészítő módszerek jelentőségével, (változó) szerepével, tipologizálásával kapcsolatban. Mindenhol rámutatunk a kimondottan logisztikához kapcsolódó szempontokra is. Elsőként, az 1.1. pontban rövid áttekintést adunk a döntéselőkészítő módszerek két nagy csoportjának (kvalitatív és a kvantitatív módszerek) változó szerepéről napjaink üzleti környezetében. Az áttekintést a logisztikai terület aktuális jellemzőivel zárjuk. Ezt követően az 1.2. pontban bemutatjuk, immár kifejezetten a logisztikát használva példaként, hogy a döntéseknek milyen szintjei definiálhatóak. A hangsúly azon lesz, hogy megmutassuk: milyen jellemzői vannak az egyes szinteknek, illetve ez hogyan befolyásolja a döntéselőkészítési feladatokat. Végül pedig az 1.3. pontban megismerkedünk azokkal a konkrét kvantitatív döntéselőkészítési módszertanokkal, melyek mostani tárgyalásunk fő tömegét fogják adni. Ebben a pontban természetesen csak áttekintő képet nyújtunk, a részletek ismertetése a következő fejezetek témája lesz Kvalitatív és kvantitatív döntéselőkészítés napjaink üzleti környezetében A vállalati gazdálkodás környezete folyamatosan változik, napjainkban gyorsabban mint bármikor máskor. A turbulens világgazdasági helyzet, a globalizáció, az egyre komplexebb vevői igények, a nemzetközi kereskedelem volumenének növekedése mind ahhoz vezetett, hogy a vállalati gazdálkodás során egyre több, és egyre komplexebb döntést kell meghozni [Chikán, 2008]. Ez két, csak első ránézésre ellentétes tendenciát is indukált. Az egyik a kvalitatív módszertanok intenzívebb kutatása ez elsősorban a problémák komplexitásának növekedésével van összefüggésben. Egyre több olyan kérdésben kell döntést hozni, mely nehezen és/vagy pontatlanul fordítható csak le számokká, így a XX. század elejére alaposan kiismert kvantitatív módszerek csak korlátozottan alkalmazhatóak. Olyan problémákban, mint a make or buy dilemma, az üzleti partnerválasztás vagy épp a munkaerő-gazdálkodás, tipikusan nehezen számszerűsíthető, soft kérdések kerülnek elő. Ezek mind jobb megválaszolásának igénye vezetett a kvalitatív döntéselőkészítési, döntéstámogatási módszertanok gyors fejlődéséhez a XX. század legvégén és a XXI. században, különösen, mert az üzleti környezet már említett változásaival nagyban felértékelődtek e kérdések. E módszerek ezen felül egyre jobban beszivárognak a korábban hard -ként aposztrofált kérdések területére is. Másrészt viszont, a kvantitatív döntéselőkészítés, döntéstámogatás területén is történtek komoly előrelépések. Itt két fő motiváció emelhető ki. Az egyik a modern számítástechnikai lehetőségek megjelenése: nem csak (vagy talán: nem is elsősorban) a probléma konkrét megoldása terén, hanem a formalizás kapcsán. Lehetővé vált egyre több jelenségről egyre több információt gyűjteni (gondoljunk csak a szuper- és hipermarketek kasszáira), megoldhatóvá vált a hatalmas adatbázisok 2

4 kezelése, karbantartása, lekérdezése. Az új, korábban elképzelhetetlen információs bázis kapcsán természetesen merült fel az igény, hogy döntések megalapozásához használjuk fel tartalmukat. A másik motiváló tényező a döntések (egyre növekvő) számához kapcsolódik: az igény az egyre gyorsabb döntések meghozatalára ahhoz vezetett, hogy a feladatokat különösen a rutinszerűeket egységes módszertannal, hatékonyan, objektíven kell kezelni erre pedig elsősorban a kvantitatív megközelítés alkalmas. Ahogy az előbb is utaltunk arra, hogy vannak jellegzetes területek, ahol jellemzően soft kérdések merülnek fel, úgy vannak olyanok, ahol a tipikus a hard szempontok alapján történő döntéshozatal. A logisztika számtalan részterülete mai napig ez utóbbi kategóriába tartozik (különösen az egyéb vállalati funkciókkal összevetve). Olyan kérdésekben, mint a telephelyválasztás, kapacitás-meghatározás máig elsődleges, olyanokban pedig, mint a túratervezés vagy a sorozatnagyság-meghatározás, szinte kizárólagos a kvantitatív megközelítés. Könyvünk mostani részében az lesz a célunk, hogy e területről adjunk áttekintést: be kívánjuk mutatni a főbb, logisztikában (is) használatos kvantitatív döntéselőkészítési módszereket. Mindezek előtt azonban érdemes még megismerkedni egy másik tipologizálással: a különböző döntési szintek specifikumaival a döntéselőkészítési módszerek szempontjából A döntéselőkészítés szintjei és jellemzőik Amint könyvünk már máshol is hangsúlyoztuk, a döntéshozatalhoz kapcsolódó feladatok (így a döntéselőkészítési munka is) nagyban eltér aszerint, hogy milyen szintű döntésről van szó. A szint fogalma alatt továbbra is a szokott, stratégiai felsővezetői nézőpont szerinti megközelítést értjük. A legfelső szintet a logisztikai rendszer kialakítása és működtetése feletti döntések jelentik, ide elsősorban a make or buy dillemma, azaz a kiszervezés kérdése tartozik. Erre jellemző, hogy miközben erős kvantitatív alapjai is vannak, elsősorban a költség/haszon elemzések révén itt jelennek meg a leginkább a kvalitatív, soft szempontok. Számos olyan kérdés merül fel (goodwill, reputáció, ellátásbiztonság, kiszolgáltatottság stb.), melyek nem, vagy csak nagyon nehezen számszerűsíthetőek, így e téren gyakori a kvalitatív módszerek, illetve a szimulációs-, HA/AKKOR jellegű vizsgálatok alkalmazása. A rendelkezésre álló információk ezen a szinten általában erősen aggregáltak. Rátérve most már a logisztikai rendszer kialakításával és működtetésével kapcsolatos döntésekre (ezek immár funkcionális vezető hatáskörébe tartozó döntések most feltételeztük, hogy a logisztikai rendszert házon belül valósítjuk meg), a felső szintet a teljesítménycélok kijelölése után a strukturális döntések jelentik. Ide tartozik a disztribúciós struktúra kialakítása, a telephelyválasztás (adott esetben a szállítási mód megválasztása is), vagy például a kapacitás-meghatározás (ezen belül kiemelten: a raktárkapacitás meghatározása). Ezekre jellemző, hogy már sokkal több kvantitatív elemet tartalmaznak (távolságok, keresletek, költségek stb.), de még mindig jelentős a kvalitatív szempontok szerepe (ellátsábiztonság, munkaerő jellemzői stb.). A rendelkezésre álló információk itt már részletesek, csak kevés esetben kerül aggregált információ felhasználásra. Végül pedig az utolsó szintet a működtetési döntések jelentik. Döntéselőkészítési szemmel ránézve, ide tartozik például a kereslet-előrejelzés, a DRP, a készletgazdálkodás, az útvonaltervezés, de adott esetben akár létszám-tervezés is. Ezek legfontosabb közös jellemzője, hogy jellemzően tisztán vagy szinte tisztán kvantitatívok; a kvantitatív módszertanok alkalmazásának tipikus példáit jelentik. A rendelkezésre álló információ szinte mindig részletezett. Most pedig nézzük meg kicsit már közelebbről, hogy mik lesznek azok a módszerek, amik a fenti problémák kezelésére alkalmasak! 1.3. Kvantitatív döntéselőkészítési módszerek áttekintése A döntéselőkészítési munka kvantitatív ága is számos módszert alkalmaz. Mi most hármat fogunk részletesebben is tárgyalni; kettőnél inkább csak áttekintést adunk, és utalunk a szakirodalomra, a harmadikat (a metaheurisztikákat) viszont mélységében is ismertetni fogjuk. (Ennek oka, hogy 3

5 míg az előbbi kettő a magyar nyelvű irodalomban is alaposan tárgyalt, addig ez utóbbival jóval kevesebben foglalkoztak, különösen a logisztikai alkalmazásokat tekintve.) Az első tárgyalt módszer a statisztikai modellezés lesz (2. fejezet). Ez vegytisztán kvantitatív módszer: akkor alkalmazható, ha a döntés szempontjából releváns információk számszerűsíthető formában rendelkezésre állnak. A statisztikai úton történő modellalkotás során tipikusan múltbeli információkat felhasználva próbálunk vagy összefüggéseket feltárni, vagy jövőre vonatkozó előrejelzéseket készíteni. Ehhez természetesen az is szükséges, hogy azonosítsuk a kérdés szempontjából releváns változók körét, és mérhetővé tegyük őket (operacionalizálás). Sokszor azonban a jelenségek olyan bonyolultságúak, hogy nem lehet szigorú analitikus modellt adni. Ilyenkor jöhet szóba a szimuláció alkalmazása (3. fejezet). A különféle Monte Carloszimulációs eljárások a sztochasztikus kérdéseknél jelenthetnek nagyon jó eszközt, akkor, ha a probléma bonyolultsága olyan, hogy az egzakt, analitikus megoldás lehetetlen, vagy nagyon nehézkés. Tipikusan ez a helyzet akkor, ha a vizsgált jelenségről van egy jól működő, de bonyolult struktúrájú modellünk (pl. egy folyamat lépéseinek bizonytalanságait valószínűségi változókkal írjuk le, és az egész folyamat teljesítményének jellemzőire vagyunk kíváncsiak). Ide sorolhatjuk továbbá a HA/AKKOR típusú szcenárióelemzéseket és érzékenységvizsgálatokat is. Végül pedig, egész tárgyalásunk leghangsúlyosabb pontját a metaheurisztikák fogják jelenteni (4. fejezet). Eltérően az előbbi kettőtől, ezek optimalizációs módszerek; jellemzőjük, hogy számos különféle problémára alkalmazhatóak, mégpedig úgy, hogy közelítően pontos, de cserében gyors választ adjanak. A legtöbb ilyen metaheurisztika az optimalizálás utóbbi pár évtizedben megjelent, modern eszköze, mely elválaszthatatlanul kötődik a számítástechnikai lehetőségek kibővüléséhez. Amint említettük is, a metaheurisztikák egyik fő jellemzője, hogy számos problémára alkalmazhatóak ez alól a logisztika optimalizációs jellegű feladatai sem jelentenek kivételt. Mivel magyar nyelvű irodalomban metaheurisztikákról általában is keveset lehet olvasni, logisztikai alkalmazásaikról pedig végképp, így ezt a módszertant az előbbieket messze meghaladó részletességgel fogjuk tárgyalni. Elsőként bemutatjuk az optimalizációval kapcsolatos általános megfontolásokat (4.1. pont), majd négy jellemző metaheurisztikát (szimulált lehűtés, tabu keresés, genetikus algoritmusok, ant colony optimization) részleteiben is bemutatunk (4.2. pont). Külön ki fogunk térni mindegyiknél a logisztikai alkalmazásokra is. 4

6 2. fejezet Statisztikai modellalkotás A gazdasági döntések támogatása, a gazdálkodás és gazdasági élet jelenségeinek vizsgálata a statisztika korai (és fontos) alkalmazásai közé tartozik. A fontosságot jelzi az is, hogy az ezzel foglalkozó tudományágnak külön neve van: azt a területet, mely társadalmi-gazdasági jelenségek statisztikai modellezésével foglalkozik, ökonometriának szokás nevezni. (Ami pedig a korai alkalmazást illeti, megjegyzendő, hogy Ragnar Frisch a későbbi első közgazdasági Nobel-díjas már a 30-as évek elején megalkotta az ökonometria kifejezést.) Az ökonometria tisztán kvantitatív adatokat használ fel közvetlenül; ez azonban nem jelenti azt, hogy kvalitatív ( soft ) szempontokat ne lehetne statisztikai modellekben felhasználni ehhez azonban szükségünk van arra, hogy azokat is számszerűsíteni tudjuk. Ökonometriai modellezéshez először azonosítani kell a problémánk szempontjából releváns változókat, meg kell határozni a mérésük módját (ez utóbbit szokás operacionalizálásnak nevezni), majd begyűjteni a szükséges empirikus adatokat. (A változók köre a vizsgált kérdésből tárgyterületi ismeretek alapján határolható be; elméleti kutatásoknál nagyon gyakran valamilyen kutatási hipotézis adja.) A modellezéshez felhasznált adatok jellege alapján jól elkülöníthető csoportokba sorolhatóak az ökonometriai modellek, erről a 2.1. pontban lesz szó. Itt fogunk röviden a felhasznált statisztikai eszközökről is beszélni. Mindezek mellett fel kell állítanunk valamilyen modellt, mely leírja a változók közötti összefüggéseket. Az ökonometriai modellek jellemzően az algebrai modellek közé tartoznak, tehát a változók közötti kapcsolatot különféle egyenletek (illetve a változókra vonatkozó megkötések) adják. Az empirikus adatok birtokában lehetséges a modell megbecslése (tehát az ismeretlen paramétereinek konkrét értékeket kereshetünk a minta alapján). Ezzel azonban még nem ért véget az ökonometriai munka: a modelleket tesztelni, diagnosztizálni kell, hogy valóban megfelelnek-e azoknak a feltételeknek, melyekre a becslési eljárások támaszkodtak. Adott esetben ez egy iteratív folyamatot indíthat el, melynek során újraspecifikáljuk a modellt, újra diagnosztizáljuk stb. míg végül egy korrekt modellhez nem jutunk. Csak ezt követően kerülhet sor a modell alkalmazására. Arról, hogy egy ökonometriai modellt hogyan alkalmazhatunk, a 2.2. pontban lesz részletesebben szó. Ebben a fejezetben nem adunk részletes logisztikai példákat, elsősorban azért nem, mert e módszerek alkalmazása olyan széleskörű, mindent átható, hogy a legtöbb feladatnál előkerülnek így vagy úgy. Ehelyett utalunk az irodalomra: a magyar nyelvű könyvek közül [Maddala, 2004]-et és [Ramanathan, 2003]-at, az angol nyelvűek közül [Wooldridge, 2009]-et emeljük ki Az ökonometriai feladatok fajtái és kezelésük Az ökonometriai feladatok két jellegzetes csoportba sorolhatóak aszerint, hogy milyen jellegű adatokat kell felhasználnunk. Az egyik eset, ha az adatok különböző megfigyelési egységek adott időpontbeli állapotára vonatkoznak. (A megfigyelési egységeknek jellemzően persze több változóval vannak leírva.) Például 5

7 több vállalat disztribúciós rendszerére vonatkozó adatokat (felépítés és teljesítmény) ismerünk, és keressük köztük az összefüggést. (Az adatokat úgy értve, hogy legalábbis eszmeileg ugyanazon időpillanatra vonatkoznak, pl január 1-én érvényes állapota az egyes vállalatok disztribúciós rendszereinek.) Ezt az esetet szokták keresztmetszeti adatelemzésnek nevezni, mi a pontban fogunk vele foglalkozni. (Az elnevezés szemléletes: mintha minden vállalat adatainak alakulását (az időben) egy sor írná le és mi ezeket keresztben elvágnánk.) A másik lehetőség, hogy csak egyetlen változót figyelünk, de azt több időszakon keresztül. Például egyetlen vállalat disztribúciós teljesítményét vizsgáljuk, de egy több éves időszakon keresztül nézzük az alakulását. Ezt szokás idősoros adatelemzésnek nevezni. (Precízen szólva, ha tényleg csak egy változónk van, ez az ún. egyváltozós idősorelemzés.) Mi a pontban fogunk ezzel foglalkozni. Végül két megjegyzés. Az egyik, hogy a fenti két esetet inkább csak az alkalmazási oldalról, a szemléletesség kedvéért választjuk el ilyen élesen; statisztikai szempontból nincs hatalmas különbség. (Olyannyira, hogy némelyik könyv egységes keretben tárgyalja a kettőt; megjegyezve, hogy csak abban van különbség, hogy a keresztmetszeti esetben a megfigyelési egységek sorrendje közömbös, idősoros modellnél viszont rendezés van rájuk érvényesítve.) A másik megjegyzésünk, hogy lehetséges a két modell kombinálása is, azaz egyszerre több megfigyelési egységet vizsgálni, több időszakon keresztül. Ezt az esetet szokás panelnek nevezni, ennek ökonometriai módszereivel itt egyáltalán nem foglakozunk Keresztmetszeti adatelemzés A keresztmetszeti adatelemzés legfontosabb eszköze a regresszió. Általában a regresszió alatt egy y = f (x 1, x 2,..., x p ) típusú függvénykapcsolatban az f függvény meghatározását értjük, melyhez adottak az (y, x 1, x 2,..., x p ) változók összetartozó értékeire vonatkozó megfigyelések (a minta). Például y jelöli egy vállalat disztribúciós rendszerének teljesítményét (jól látszik, hogy itt már az operacionalizálás sem egyszerű kérdés: hogyan lehet ezt egyetlen számmal leírni?), az x 1, x 2,..., x p változók pedig a disztribúciós rendszer felépítésére vonatkozó különböző leírók (raktárak fajtái és száma, használt járművek fajtái és száma, távolságok stb.). A kérdés tehát ez esetben úgy fogalmazható meg köznapilag: milyen kapcsolatba hozható a disztribúciós rendszer teljesítménye a felépítését leíró különféle jellemzőkkel...? (A megválaszoláshoz több cég ugyanazon időpontra vonatkozó tényadatai állnak rendelkezésre a fenti változókról.) Így már az is érthető, hogy miért szokás y-t eredmény-, x 1, x 2,..., x p -ket pedig magyarázóváltozónak nevezni. Legtöbbször paraméteres regressziót használunk, azaz f függvényformáját leírjuk, csak épp ismeretlen paraméterekkel. Ennek a legnépszerűbb esete a lineáris regresszió, ekkor: f (x 1, x 2,..., x p ) = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x β p x p + ε. Itt a feladat a β 0, β 1,..., β p együtthatók megbecslése a minta alapján. Ez azért is népszerű módszer, mert a fenti együtthatóknak nagyon jól használható tárgyterületi értelmezésük lesz: β i azt fogja kifejezni, hogy ha az i-edik magyarázó változó értéke 1 egységgel nagyobb lenne (úgy, hogy ezen kívül minden mást változatlanul tartunk), akkor modellünk szerint várhatóan mennyivel változna az eredményváltozó értéke. Például, ha az i-edik magyarázó változó a raktárak száma, akkor β i azt fejezi ki, hogy eggyel több raktár modellünk szerint várhatóan mennyivel változtatja a disztribúciós rendszer teljesítményét. A feladat megoldására több módszer is létezik, aszerint, hogy a ε tagra milyen tulajdonságok teljesülnek. A legnépszerűbb a közönséges legkisebb négyzetek (OLS, ordinary least squares) módszere, mely azokat az együtthatókat fogja visszaadni becslésként, melyekkel az eredményváltozóra adható becslések a legközelebb vannak az eredményváltozó tényleges értékeihez a mintán. (A közelséget összesített négyzetes eltéréssel mérve.) A módszer előnye, hogy szemléletes, és bizonyos feltételek teljesülése esetén bizonyíthatóan nagyon előnyös statisztikai tulajdonságú becsléseket ad. E feltételek ellenőrzése a modelldiagnosztika már emlegetett feladatának a része. Megjegyezzük, hogy a módszer kiterjesztésével kezelhetőek azok az esetek is, amikor egy magyarázó változó nem folytonos (dummy változók használata), sőt, az is, amikor az eredményváltozó 6

8 kategoriális (logisztikus regresszió). Ez utóbbira példa lehet egy olyan feladat, melyben valamely valamely fuvareszköz használatának szükségességét (igen/nem!) hozzuk kapcsolatba a disztribúciós rendszer jellemzőivel. A fenti függvényformát ki lehet bővíteni úgy is, hogy nemlineáris esetek is kezelhetőek legyenek. Ezeknek az egyszerűbb esetei (ún. változóiban nemlineáris modellek) nem igényelnek lényeges bővítést a becsléselméleti oldalon Idősoros adatelemzés Az idősoros adatelemzés során egy jelenség időbeli alakulását vizsgáljuk. A legegyszerűbb eset az egyváltozós idősorelemzés, ekkor egyetlen változónk van, melyre különböző időpontokban vett megfigyelésekkel rendelkezünk. Lehetséges például folytatva az előző pontot hogy ez a változó valamely vállalat disztribúciós rendszerét írja le egy szempontból (pl. teljesített tonnakilométerek havonta) tehát már csak egy vállalatról (és nem többről) van szó, viszont a vizsgált változót több időszakon keresztül megfigyeltük (és nem csak egyetlen időpillanatban). Az idősorelemzés egyik megközelítése az ún. determinisztikus idősorelemzés. Ebben feltételezzük, hogy az idősor alakulását néhány tényező függvényszerűen leírja (azaz e tényezők ismeretében az idősor alakulása pontosan meghatározható lenne), véletlenséget csak azért látunk az idősorban, mert nem tudunk minden tényezőt teljeskörűen és pontosan számbavenni. A determinisztikus idősorelemzés tipikus módszere, hogy meghatározza az idősor trendjét (hosszútávú alapirányzatát), az esetleges ciklusait és szezonalitását. A trend vizsgálatára alkalmazhatóak különféle analitikus eszközök, pl. paraméteres trendek (lineáris, négyzetes stb.) illesztése; ennek révén képet kapunk arra, hogy várhatóan milyen irányzat mentén alakul az idősor hosszú távon. Egy egyszerű lineáris trend esetén pl. a meredekségi paraméter megadja az előbbi példánál hogy havonta mennyivel nő vagy csökkent a teljesített tkm-ek száma. Fontos, hogy ez csak az alapirányzat: a fenti (ún. dekompozíciós) modellben figyelembe lehet venni az éven túli ingadozásokat (ciklicitás) és a jellegzetes éven belüli ingadozásokat (szezonalitás) is. Ez utóbbiak nagy jelentőségűek lehetnek: egy szezonális keresletű terméket (is) előállító vállalatnál nagyon is elképzelhető, hogy a teljesített tkm-ek száma a hónap vagy negyedév szerint hasonló mintázatú eltérést mutat minden évben (pl. az első negyedévben kevesebb a napernyő szállításának teljesítménye az adott évi alaphoz képest). Determinisztikus eszközökkel ez kezelhető; egy rendelkezésre álló minta alapján meghatározható pl. a szezonális eltérés minden negyedévre. A másik fő idősorelemzési iskola a sztochasztikus idősorelemzés. Ennek lényege, hogy többé már nem feltételezi, hogy legfeljebb gyakorlatilag nem, de elvileg megismerhető tényezők függvénye az idősor: abból indul ki ezzel szemben, hogy a véletlen tényezőknek folyamatépítő szerepük van. (Nem csak a tényleges és a becsült értékek adott időszaki eltéréséért felelnek.) Úgy is szokták mondani, hogy ez a modell feltételezi, hogy az idősor alakulásában öngeneráló hatások érvényesülnek: az idősor korábbi értékei, illetve a korábbi eltérései a becsült és a tényleges értékeknek befolyásolják, hogy az idősor hogyan alakul a jövőben. E filozófia legalapvetőbb modelljei az ún. ARIMA-modellek, melyek becslésének leghíresebb szisztematikus módszertana a Box Jenkins-eljárás Az ökonometriai modellek alkalmazási lehetősége Minden ökonometriai modell alapvetően két célra használható fel: elemzésre és előrejelzésre. Az elemzés lényege, hogy a modell becsült paramétereit valamilyen tárgyterületi értelemmel ruházzuk fel. (Ilyen módon egyúttal a felmerülő gazdasági kérdéseket is megválaszolva.) Például lineáris regresszió esetén a magyarázó változók β i paraméterei megadják, hogy minden mást változatlanul tartva az adott magyarázó változó 1 egységgel nagyobb értéke esetén modellünk szerint várhatóan mennyivel nő vagy csökken az eredményváltozó. Ezáltal kvantitatíven megválaszolhatjuk az arra vonatkozó kérdéseket, hogy pl. adott tényező egy disztribúciós rendszer struktúrájában milyen kapcsolatban van annak teljesítményével. Hasonló példát idősoros elemzésből is hozhatunk: említettük, hogy lineáris trendnél a meredekség megadja az alapérték éves változásának nagyságát. 7

9 A másik felhasználás az előrejelzés. Ez nem más, mint eredményváltozó becslése egy olyan megfigyelési egységre, melynek csak a magyarázóváltozóit ismerjük, de az eredményváltozóját nem (tehát nem szerepel a mintában). Például 100 cég adatai alapján felállítjuk a modellt a disztribúciós rendszer jellemzői és teljesítménye közötti kapcsolatra, majd ezt arra használjuk, hogy egy 101. cégnél, melynél a teljesítményt nem, de a disztribúciós rendszerének jellemzőit ismerjük, megbecsüljük a disztribúciós teljesítményt. (Amint látható az előrejelzés szó itt nem olyan értelmű mint az időjárás-jelentésben: nem feltétlenül a jövőre vonatkozik. Egyszerűen azt értjük alatt, hogy eredményváltozót becslünk pusztán magyarázóváltozók ismeretében, felhasználva a már megbecsült modellt.) Idősorelemzésnél azonban ez a szó köznapi értelmében is előrejelzést jelent: ha van egy felparaméterezett modellünk (maradva az ottani példánál), akkor vele megbecsülhetjük, hogy adott időszakban milyen teljesítmény várható. 8

10 3. fejezet Szimuláció, szcenárióelemzés és érzékenységvizsgálat Ebben a fejezetben három, részben rokonítható témával fogunk foglalkozni, melyek közös jellemzője, hogy sokkal kevésbé kvantitatívak, mint a statisztikai modellalkotás. Foglalkozunk a szimulációval (3.1. pont), valamint a szcenárióelemzéssel és az érzékenységvizsgálattal (3.2. pont). E módszerek részint kevésbé analitikusak (főleg a szimuláció és az érzékenységvizsgálat), részint inkább támaszkodnak soft szempontokra (főként a szcenárióelemzés). Amint már előre is bocsátottuk, ezekkel csak nagyon röviden, inkább csak említés szintjén foglalkozunk; a részleteket illetően viszont mindenhol utalunk a szakirodalomra Szimuláció A szimuláció alkalmazása olyan elterjedt egy sor területen (nagyon is beleértve a logisztikát is), hogy itt inkább csak pár példa felvillantására szorítkozhatunk. Szimulációt általában olyankor használnak, ha rendelkezésre áll valamilyen modell a jelenségre, de annak belső struktúrája túl bonyolult ahhoz, hogy analitikus eszközökkel vizsgálat tárgyává tehető legyen. Nagyon sokszor ez úgy valósul meg, hogy a modell sok önmagában nem feltétlenül nagyon bonyolult rész-modellből áll össze (adott esetben bonyolult struktúrában). Ilyenkor sokszor nem, vagy csak nagyon kényelmetlenül lehet analitikus eredményeket származtatni az egész modellre, de kényelmesen kaphatunk eredményeket szimulációs úton. Ennek jobb megértése érdekében nézzük egy konkrét példát! Adott egy disztribúciós rendszerünk olyan módon, hogy tudjuk mik az egyes komponensei (raktárok, fuvareszközök stb.), illetve van egy viselkedési modellünk (mikor, hová, milyen és mennyi árut kell továbbítani, mi történik várakoztatás esetén stb.). E modellek természetesen tipikusan sztochasztikus komponenseket is tartalmaznak (pl. adott fuvar végrehajtása nem konstans idő, hanem egy adott eloszlást követő valószínűségi változó). Ebben az esetben a rendszer teljesítménye (pl. egy kiszállítási idő eloszlása) elvileg ugyan vizsgálható analitikusan (a rendszer minden részének a viselkedése pontosan, determinisztikusan, ismert!), mégis ez sokszor rendkívül kényelmetlen. Ezzel szemben nagyon könnyen megtehető, hogy számítógépen végrehajtunk egy képzeletbeli kiszállítást: amikor fizikai árueljuttatás történik, annak idején a megfelelő eloszlást követő véletlenszám-generátorral számítjuk ki, a termék raktárbeli sorsát úgy határozzuk meg, hogy követjük a magatartási szabályokat stb. Végül kapunk egy kiszállítási időt ez egy realizáció lesz a kiszállítási idő (most még ismeretlen) eloszlásából. Ezen a ponton kihasználhatjuk azt a tényt, hogy egy ilyen szimulált kiszállítás villámgyorsan végrehajtható számítógépen: a szükséges véletlenszám-generálások, szabály-kikeresések és -követések stb. a mai számítástechnikai lehetőségek mellett a másodperc törtrésze alatt lefuttathatóak. Nincs tehát semmi akadálya annak, hogy több százezer, vagy akár millió ilyet hajtsunk 9

11 végre ennyi realizációból pedig már szinte tökéletesen rekonstruálható a keresett eloszlása a kiszállítási időnek. Látható, hogy a módszer hátránya, hogy erre az eloszlásra nem kapunk analitikus megoldást (tehát pl. nem lesz ismert formulával leírva), de számos gyakorlati feladat szempontjából a numerikus ismerete is tökéletesen elégséges. Néhány ilyen példa a logisztika területéről: kapacitás tervezése és optimalizálása konténerterminál számára [Legato Mazza, 2001], konténerműveletek tervezése kikötőkben [Ramani et al, 1996], egész ellátási lánc tervezése [Busato Berruto, 2008] és újratervezése [Vorst et al, 2009], reverz logisztikai hálózat tervezése [Kara et al, 2007], termeléstervezés [Li et al, 2009] Szcenárióelemzés és érzékenységvizsgálat E két módszer közös annyiban, hogy mindkettő alternatív helyzeteket vet össze és elemez. A szcenárióelemzés a kvalitatívabb módszer, melyben a kutató első feladata felvázolni a vizsgált feladat szempontjából releváns, szóba jövő eshetőségeket. Ezek az eshetőség általában nem csak apró módosításokban térnek el egymástól, hanem lényegileg más helyzetet vetnek fel (pl. best-case és worst-case alakulása a makrogazdasági környezetnek). Ezen eshetőségek (ún. szcenáriók) meghatározása után a kutató mindegyikben külön-külön végigköveti a történéseket (valamilyen alkalmas módszerrel), majd az egyes végeredményeket összeveti egymással, kiértékeli. Ezzel a módszerrel sok esetben reálisabb képet lehet kapni mint önmagában az alapeseti elemzéssel, hiszen arról is lesz információnk, hogy a várttól eltérő környezeti jellemzők esetén milyen eredmény várható. Az érzékenységvizsgálat hasonlít a szcenárióelemzésre, két lényeges, összefüggő eltéréssel: érzékenységvizsgálatnál általában csak egyetlen (vagy legfeljebb néhány) paraméter értékét módosítjuk (nem az egész környezetre feltételezünk lényegileg más helyzetet), cserében viszont arra nem csak néhány eshetőséget vizsgálunk, hanem az összeset. Ez utóbbi úgy értendő, hogy kiszámítjuk a paraméter minden lehetséges (reális) értékére az elemzés kimenetét; ez az érzékenységvizsgálat legfőbb eredménye. Sokszor előfordul, hogy nem, vagy csak nagyon kényelmetlenül határozható meg analitikusan ez az összefüggés, természetesen ekkor használható szimuláció (3.1. pont) is! Ez itt azt jelenti, hogy a paraméter adott értéke mellett kiszámítjuk az elemzés kimenetét, majd ezt megismételjük nagyon sok különböző paraméter-értékre; így rekonstruáljuk az összefüggést a paraméter értéke és az elemzése eredménye között. Látható, hogy az érzékenységvizsgálat a kvantitatívabb módszer: általában azt feltételezzük, hogy a vizsgált paraméter numerikus (sokszor folytonos). Szcenárióelemzésben ezzel szemben lehetőség van soft szempontok érvényesítésére is, hiszen saját magunk vázolhatunk fel forgatókönyveket (így, általában), tehát nem csak paraméterek értékeinek állítására vagyunk korlátozódva. E két módszerrel kapcsolatban nem hivatkozunk tanulmányokra, hiszen mint az a fentiekből is adódik nem önmagukban használatosak, hanem más módszerek (beleértve a többi itt bemutatottat) kiegészítőjeként, azok erejét, robusztusságát fokozandó. 10

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

Általános algoritmustervezési módszerek

Általános algoritmustervezési módszerek Általános algoritmustervezési módszerek Ebben a részben arra mutatunk példát, hogy miként használhatóak olyan általános algoritmustervezési módszerek mint a dinamikus programozás és a korlátozás és szétválasztás

Részletesebben

Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal

Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1 Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1. Példa. Két játékos Aladár és Bendegúz rendelkeznek egy-egy tetraéderrel, melyek lapjaira rendre az 1, 2, 3, 4 számokat írták. Egy megadott jelre egyszerre felmutatják

Részletesebben

Döntéselőkészítés. I. előadás. Döntéselőkészítés. Előadó: Dr. Égertné dr. Molnár Éva. Informatika Tanszék A 602 szoba

Döntéselőkészítés. I. előadás. Döntéselőkészítés. Előadó: Dr. Égertné dr. Molnár Éva. Informatika Tanszék A 602 szoba I. előadás Előadó: Dr. Égertné dr. Molnár Éva Informatika Tanszék A 602 szoba Tárggyal kapcsolatos anyagok megtalálhatók: http://www.sze.hu/~egertne Konzultációs idő: (páros tan. hét) csütörtök 10-11 30

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

Matematika. 4. konzultáció: Kétváltozós függvények szélsőértéke. Parciális függvény, parciális derivált

Matematika. 4. konzultáció: Kétváltozós függvények szélsőértéke. Parciális függvény, parciális derivált Matematika 1 NYME KTK, Egyetemi kiegészítő alapképzés 2004/2005. tanév, I. évf. I.félév Budapest Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt. 3. (99) 518

Részletesebben

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL x 1-2x 2 6 -x 1-3x 3 = -7 x 1 - x 2-3x 3-2 3x 1-2x 2-2x 3 4 4x 1-2x 2 + x 3 max Alapfogalmak: feltételrendszer (narancs színnel jelölve), célfüggvény

Részletesebben

Bevezetés az ökonometriába

Bevezetés az ökonometriába Bevezetés az ökonometriába Többváltozós regresszió: nemlineáris modellek Ferenci Tamás MSc 1 tamas.ferenci@medstat.hu 1 Statisztika Tanszék Budapesti Corvinus Egyetem Hetedik előadás, 2010. november 10.

Részletesebben

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése. A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma

A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése. A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma 2013 A probléma fontossága és hatása a hétköznapi életre A prímszámok

Részletesebben

EuroOffice Optimalizáló (Solver)

EuroOffice Optimalizáló (Solver) 1. oldal EuroOffice Optimalizáló (Solver) Az EuroOffice Optimalizáló egy OpenOffice.org bővítmény, ami gyors algoritmusokat kínál lineáris programozási és szállítási feladatok megoldására. Szimplex módszer

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Egyes logisztikai feladatok megoldása lineáris programozás segítségével. - bútorgyári termelési probléma - szállítási probléma

Egyes logisztikai feladatok megoldása lineáris programozás segítségével. - bútorgyári termelési probléma - szállítási probléma Egyes logisztikai feladatok megoldása lineáris programozás segítségével - bútorgyári termelési probléma - szállítási probléma Egy bútorgyár polcot, asztalt és szekrényt gyárt faforgácslapból. A kereskedelemben

Részletesebben

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai

Részletesebben

Ökonometria. Adminisztratív kérdések, bevezetés. Ferenci Tamás 1 tamas.ferenci@medstat.hu. Első fejezet. Budapesti Corvinus Egyetem

Ökonometria. Adminisztratív kérdések, bevezetés. Ferenci Tamás 1 tamas.ferenci@medstat.hu. Első fejezet. Budapesti Corvinus Egyetem Adminisztratív kérdések, bevezetés Ferenci Tamás 1 tamas.ferenci@medstat.hu 1 Statisztika Tanszék Budapesti Corvinus Egyetem Első fejezet Tartalom Technikai kérdések 1 Technikai kérdések Adminisztratív

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI MÉRÉSI EREDMÉYEK POTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI. A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk

Részletesebben

Kereső algoritmusok a diszkrét optimalizálás problémájához

Kereső algoritmusok a diszkrét optimalizálás problémájához Kereső algoritmusok a diszkrét optimalizálás problémájához A. Grama, A. Gupta, G. Karypis és V. Kumar: Introduction to Parallel Computing, Addison Wesley, 2003. könyv anyaga alapján A kereső eljárások

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Ökonometria. Dummy változók használata. Ferenci Tamás 1 tamas.ferenci@medstat.hu. Hetedik fejezet. Budapesti Corvinus Egyetem. 1 Statisztika Tanszék

Ökonometria. Dummy változók használata. Ferenci Tamás 1 tamas.ferenci@medstat.hu. Hetedik fejezet. Budapesti Corvinus Egyetem. 1 Statisztika Tanszék Dummy változók használata Ferenci Tamás 1 tamas.ferenci@medstat.hu 1 Statisztika Tanszék Budapesti Corvinus Egyetem Hetedik fejezet Tartalom IV. esettanulmány 1 IV. esettanulmány Uniós országok munkanélkülisége

Részletesebben

1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI

1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI / Operációkutatás. gyakorlat Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel Pécsi Tudományegyetem PTI Normál feladatok megoldása szimplex módszerrel / / Normál feladatok megoldása szimplex

Részletesebben

Diszkrét, egészértékű és 0/1 LP feladatok

Diszkrét, egészértékű és 0/1 LP feladatok Diszkrét, egészértékű és 0/1 LP feladatok In English Integer Programming - IP Zero/One (boolean) programming 2007.03.12 Dr. Bajalinov Erik, NyF MII 1 Diszkrét és egészértékű változókat tartalmazó feladatok

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

Vállalati modellek. Előadásvázlat. dr. Kovács László

Vállalati modellek. Előadásvázlat. dr. Kovács László Vállalati modellek Előadásvázlat dr. Kovács László Vállalati modell fogalom értelmezés Strukturált szervezet gazdasági tevékenység elvégzésére, nyereség optimalizálási céllal Jellemzői: gazdasági egység

Részletesebben

Érzékenységvizsgálat

Érzékenységvizsgálat Érzékenységvizsgálat Alkalmazott operációkutatás 5. elıadás 008/009. tanév 008. október 0. Érzékenységvizsgálat x 0 A x b z= c T x max Kapacitások, együtthatók, célfüggvény együtthatók változnak => optimális

Részletesebben

Bevezetés az operációkutatásba A lineáris programozás alapjai

Bevezetés az operációkutatásba A lineáris programozás alapjai Bevezetés az operációkutatásba A lineáris programozás alapjai Alkalmazott operációkutatás 1. elıadás 2008/2009. tanév 2008. szeptember 12. Mi az operációkutatás (operations research)? Kialakulása: II.

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók Matematikai alapok és valószínőségszámítás Középértékek és szóródási mutatók Középértékek A leíró statisztikák talán leggyakrabban használt csoportját a középértékek jelentik. Legkönnyebben mint az adathalmaz

Részletesebben

Megerősítéses tanulás 7. előadás

Megerősítéses tanulás 7. előadás Megerősítéses tanulás 7. előadás 1 Ismétlés: TD becslés s t -ben stratégia szerint lépek! a t, r t, s t+1 TD becslés: tulajdonképpen ezt mintavételezzük: 2 Akcióértékelő függvény számolása TD-vel még mindig

Részletesebben

19. AZ ÖSSZEHASONLÍTÁSOS RENDEZÉSEK MŰVELETIGÉNYÉNEK ALSÓ KORLÁTJAI

19. AZ ÖSSZEHASONLÍTÁSOS RENDEZÉSEK MŰVELETIGÉNYÉNEK ALSÓ KORLÁTJAI 19. AZ ÖSSZEHASONLÍTÁSOS RENDEZÉSEK MŰVELETIGÉNYÉNEK ALSÓ KORLÁTJAI Ebben a fejezetben aszimptotikus (nagyságrendi) alsó korlátot adunk az összehasonlításokat használó rendező eljárások lépésszámára. Pontosabban,

Részletesebben

S atisztika 2. előadás

S atisztika 2. előadás Statisztika 2. előadás 4. lépés Terepmunka vagy adatgyűjtés Kutatási módszerek osztályozása Kutatási módszer Feltáró kutatás Következtető kutatás Leíró kutatás Ok-okozati kutatás Keresztmetszeti kutatás

Részletesebben

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám.

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám. 1 Az utazó ügynök problémája Utazó ügynök feladat Adott n számú város és a városokat összekötő utak, amelyeknek ismert a hossza. Adott továbbá egy ügynök, akinek adott városból kiindulva, minden várost

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

Megerősítéses tanulás 2. előadás

Megerősítéses tanulás 2. előadás Megerősítéses tanulás 2. előadás 1 Technikai dolgok Email szityu@eotvoscollegium.hu Annai levlista http://nipglab04.inf.elte.hu/cgi-bin/mailman/listinfo/annai/ Olvasnivaló: Sutton, Barto: Reinforcement

Részletesebben

Ellenőrző kérdések. 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t

Ellenőrző kérdések. 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t Ellenőrző kérdések 2. Kis dolgozat kérdései 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t 37. Ha t szintű indexet használunk,

Részletesebben

OPERÁCIÓKUTATÁS, AZ ELFELEDETT TUDOMÁNY A LOGISZTIKÁBAN (A LOGISZTIKAI CÉL ELÉRÉSÉNEK ÉRDEKÉBEN)

OPERÁCIÓKUTATÁS, AZ ELFELEDETT TUDOMÁNY A LOGISZTIKÁBAN (A LOGISZTIKAI CÉL ELÉRÉSÉNEK ÉRDEKÉBEN) OPERÁCIÓKUTATÁS, AZ ELFELEDETT TUDOMÁNY A LOGISZTIKÁBAN (A LOGISZTIKAI CÉL ELÉRÉSÉNEK ÉRDEKÉBEN) Fábos Róbert 1 Alapvető elvárás a logisztika területeinek szereplői (termelő, szolgáltató, megrendelő, stb.)

Részletesebben

Gépi tanulás a gyakorlatban. Bevezetés

Gépi tanulás a gyakorlatban. Bevezetés Gépi tanulás a gyakorlatban Bevezetés Motiváció Nagyon gyakran találkozunk gépi tanuló alkalmazásokkal Spam detekció Karakter felismerés Fotó címkézés Szociális háló elemzés Piaci szegmentáció analízis

Részletesebben

Mesterséges intelligencia 3. laborgyakorlat

Mesterséges intelligencia 3. laborgyakorlat Mesterséges intelligencia 3. laborgyakorlat Kétszemélyes játékok - Minimax A következő típusú játékok megoldásával foglalkozunk: (a) kétszemélyes, (b) determinisztikus, (c) zéróösszegű, (d) teljes információjú.

Részletesebben

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában 9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában Bevezet : A témakörben els - és másodfokú egyenl tlenségek megoldásának

Részletesebben

A Markowitz modell: kvadratikus programozás

A Markowitz modell: kvadratikus programozás A Markowitz modell: kvadratikus programozás Harry Markowitz 1990-ben kapott Közgazdasági Nobel díjat a portfolió optimalizálási modelljéért. Ld. http://en.wikipedia.org/wiki/harry_markowitz Ennek a legegyszer

Részletesebben

Programozási segédlet

Programozási segédlet Programozási segédlet Programozási tételek Az alábbiakban leírtam néhány alap algoritmust, amit ismernie kell annak, aki programozásra adja a fejét. A lista korántsem teljes, ám ennyi elég kell legyen

Részletesebben

13. Egy x és egy y hosszúságú sorozat konvolúciójának hossza a. x-y-1 b. x-y c. x+y d. x+y+1 e. egyik sem

13. Egy x és egy y hosszúságú sorozat konvolúciójának hossza a. x-y-1 b. x-y c. x+y d. x+y+1 e. egyik sem 1. A Huffman-kód prefix és forráskiterjesztéssel optimálissá tehető, ezért nem szükséges hozzá a forrás valószínűség-eloszlásának ismerete. 2. Lehet-e tökéletes kriptorendszert készíteni? Miért? a. Lehet,

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

Általános statisztika II. Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László

Általános statisztika II. Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Általános statisztika II Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Általános statisztika II Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Publication

Részletesebben

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0.

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0. L'Hospital-szabály 25. március 5.. Alapfeladatok ln 2. Feladat: Határozzuk meg a határértéket! 3 2 9 Megoldás: Amint a korábbi határértékes feladatokban, els ként most is a határérték típusát kell megvizsgálnunk.

Részletesebben

Mérési hibák 2006.10.04. 1

Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérés jel- és rendszerelméleti modellje Mérési hibák_labor/2 Mérési hibák mérési hiba: a meghatározandó értékre a mérés során kapott eredmény és ideális értéke közötti különbség

Részletesebben

Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió

Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió Korreláció, regresszió Két változó mennyiség közötti kapcsolatot vizsgálunk. Kérdés: van-e kapcsolat két, ugyanabban az egyénben, állatban, kísérleti mintában,

Részletesebben

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség.

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. 1. tétel Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. A valószínűségszámítás tárgya: véletlen tömegjelenségek vizsgálata. véletlen: a kísérlet kimenetelét

Részletesebben

A változó költségek azon folyó költségek, amelyek nagysága a termelés méretétől függ.

A változó költségek azon folyó költségek, amelyek nagysága a termelés méretétől függ. Termelői magatartás II. A költségfüggvények: A költségek és a termelés kapcsolatát mutatja, hogyan változnak a költségek a termelés változásával. A termelési függvényből vezethető le, megkülönböztetünk

Részletesebben

Navigáci. stervezés. Algoritmusok és alkalmazásaik. Osváth Róbert Sorbán Sámuel

Navigáci. stervezés. Algoritmusok és alkalmazásaik. Osváth Róbert Sorbán Sámuel Navigáci ció és s mozgástervez stervezés Algoritmusok és alkalmazásaik Osváth Róbert Sorbán Sámuel Feladat Adottak: pálya (C), játékos, játékos ismerethalmaza, kezdőpont, célpont. Pálya szerkezete: akadályokkal

Részletesebben

Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája

Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája 2015 Tematika Matematikai statisztika 1. Időkeret: 12 héten keresztül heti 3x50 perc (előadás és szeminárium) 2. Szükséges előismeretek:

Részletesebben

Matematika feladatbank I. Statisztika. és feladatgyűjtemény középiskolásoknak

Matematika feladatbank I. Statisztika. és feladatgyűjtemény középiskolásoknak Matematika feladatbank I. Statisztika Elméleti összefoglaló és feladatgyűjtemény középiskolásoknak ÍRTA ÉS ÖSSZEÁLLÍTOTTA: Dugasz János 2011 Fapadoskonyv.hu Kft. Dugasz János Tartalom Bevezető 7 Adatok

Részletesebben

értékel függvény: rátermettségi függvény (tness function)

értékel függvény: rátermettségi függvény (tness function) Genetikus algoritmusok globális optimalizálás sok lehetséges megoldás közül keressük a legjobbat értékel függvény: rátermettségi függvény (tness function) populáció kiválasztjuk a legrátermettebb egyedeket

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

Gráfelméleti alapfogalmak-1

Gráfelméleti alapfogalmak-1 KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára Gráfelméleti alapfogalmak Előadó: Hajnal Péter 2015 1. Egyszerű gráfok Nagyon sok helyzetben egy alaphalmaz elemei között kitűntetett

Részletesebben

Tudáshálózatok kialakulása és regionális fejlődés egy integrált modell alkalmazásának tapasztalatai a magyar régiók esetében Sebestyén Tamás,

Tudáshálózatok kialakulása és regionális fejlődés egy integrált modell alkalmazásának tapasztalatai a magyar régiók esetében Sebestyén Tamás, Tudáshálózatok kialakulása és regionális fejlődés egy integrált modell alkalmazásának tapasztalatai a magyar régiók esetében Sebestyén Tamás, Hau-Horváth Orsolya, Varga Attila Szerkezet Motiváció Irodalom:

Részletesebben

Mesterséges Intelligencia I. (I602, IB602)

Mesterséges Intelligencia I. (I602, IB602) Dr. Jelasity Márk Mesterséges Intelligencia I. (I602, IB602) harmadik (2008. szeptember 15-i) előadásának jegyzete Készítette: Papp Tamás PATLACT.SZE KPM V. HEURISZTIKUS FÜGGVÉNYEK ELŐÁLLÍTÁSA Nagyon fontos

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 006-007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Melyek azok a pozitív egészek, amelyeknek pontosan négy pozitív

Részletesebben

ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék ÖKONOMETRIA. Készítette: Elek Péter, Bíró Anikó. Szakmai felelős: Elek Péter. 2010. június

ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék ÖKONOMETRIA. Készítette: Elek Péter, Bíró Anikó. Szakmai felelős: Elek Péter. 2010. június ÖKONOMETRIA ÖKONOMETRIA Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0041pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TátK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék, az MTA

Részletesebben

Egyszerű programozási tételek

Egyszerű programozási tételek Egyszerű programozási tételek 2. előadás Sergyán Szabolcs sergyan.szabolcs@nik.uni-obuda.hu Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar 2011. szeptember 15. Sergyán (OE NIK) AAO 02 2011. szeptember 15.

Részletesebben

Mesterséges Intelligencia. Csató Lehel. Csató Lehel. Matematika-Informatika Tanszék Babeş Bolyai Tudományegyetem, Kolozsvár 2007/2008

Mesterséges Intelligencia. Csató Lehel. Csató Lehel. Matematika-Informatika Tanszék Babeş Bolyai Tudományegyetem, Kolozsvár 2007/2008 Matematika-Informatika Tanszék Babeş Bolyai Tudományegyetem, Kolozsvár 007/008 Az Előadások Témái Bevezető: mi a mesterséges intelligencia... Tudás reprezentáció i stratégiák Szemantikus hálók / Keretrendszerek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

A genetikus algoritmus, mint a részletes modell többszempontú és többérdekű "optimálásának" általános és robosztus módszere

A genetikus algoritmus, mint a részletes modell többszempontú és többérdekű optimálásának általános és robosztus módszere A genetikus algoritmus, mint a részletes modell többszempontú és többérdekű "optimálásának" általános és robosztus módszere Kaposvári Egyetem, Informatika Tanszék I. Kaposvári Gazdaságtudományi Konferencia

Részletesebben

Georg Cantor (1883) vezette be Henry John Stephen Smith fedezte fel 1875-ben. van struktúrája elemi kis skálákon is önhasonló

Georg Cantor (1883) vezette be Henry John Stephen Smith fedezte fel 1875-ben. van struktúrája elemi kis skálákon is önhasonló láttuk, hogy a Lorenz egyenletek megoldásai egy nagyon bonyolult halmazt alkottak a fázistérben végtelenül komplex felület fraktál: komplex geometriai alakzatok, melyeknek elemi kis skálán is van finomszerkezete

Részletesebben

a) Jellemezze a divizionális szervezetet! Mik a divíziók alapfeladatai? b) Mi a különbség költséghely és költségközpont (cost center) között?

a) Jellemezze a divizionális szervezetet! Mik a divíziók alapfeladatai? b) Mi a különbség költséghely és költségközpont (cost center) között? a) Jellemezze a divizionális szervezetet! Mik a divíziók alapfeladatai? b) Mi a különbség költséghely és költségközpont (cost center) között? c) Mutassa be a jövedelmezőség mérésére használt fontosabb

Részletesebben

Sztöchiometriai egyenletrendszerek minimális számú aktív változót tartalmazó megoldásainak meghatározása a P-gráf módszertan alkalmazásával

Sztöchiometriai egyenletrendszerek minimális számú aktív változót tartalmazó megoldásainak meghatározása a P-gráf módszertan alkalmazásával Sztöchiometriai egyenletrendszerek minimális számú aktív változót tartalmazó megoldásainak meghatározása a P-gráf módszertan alkalmazásával * Pannon Egyetem, M szaki Informatikai Kar, Számítástudomány

Részletesebben

Új típusú döntési fa építés és annak alkalmazása többtényezős döntés területén

Új típusú döntési fa építés és annak alkalmazása többtényezős döntés területén Új típusú döntési fa építés és annak alkalmazása többtényezős döntés területén Dombi József Szegedi Tudományegyetem Bevezetés - ID3 (Iterative Dichotomiser 3) Az ID algoritmusok egy elemhalmaz felhasználásával

Részletesebben

EGÉSZSÉGÜGYI DÖNTÉS ELŐKÉSZÍTŐ

EGÉSZSÉGÜGYI DÖNTÉS ELŐKÉSZÍTŐ EGÉSZSÉGÜGYI DÖNTÉS ELŐKÉSZÍTŐ MODELLEZÉS Brodszky Valentin, Jelics-Popa Nóra, Péntek Márta BCE Közszolgálati Tanszék A tananyag a TÁMOP-4.1.2/A/2-10/1-2010-0003 "Képzés- és tartalomfejlesztés a Budapesti

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak szakközépiskolásoknak Sz 1. A C csúcs értelemszerűen az AB oldal felező

Részletesebben

Operációkutatási modellek

Operációkutatási modellek Operációkutatási modellek Alkalmazott matematika A sorozat kötetei: Kóczy T. László Tikk Domonkos: Fuzzy rendszerek (2000) Elliott, J. R. Kopp, P. E.: Pénzpiacok matematikája (2000) Michelberger Szeidl

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 203 I. rész. Oldja meg a következő egyenletet: x 2 25. Az egyenlet megoldása: 2. Egy vállalat 280 000 Ft-ért vásárol egy számítógépet. A számítógép évente 5%-ot veszít az értékéből.

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor

Részletesebben

VÁLLALATGAZDASÁGTAN II. Döntési Alapfogalmak

VÁLLALATGAZDASÁGTAN II. Döntési Alapfogalmak Vállalkozási VÁLLALATGAZDASÁGTAN II. Tantárgyfelelős: Prof. Dr. Illés B. Csaba Előadó: Dr. Gyenge Balázs Az ökonómiai döntés fogalma Vállalat Környezet Döntések sorozata Jövő jövőre vonatkozik törekszik

Részletesebben

A MEGBÍZHATÓSÁGI ELEMZŐ MÓDSZEREK

A MEGBÍZHATÓSÁGI ELEMZŐ MÓDSZEREK 1. Elemző módszerek A MEGBÍZHATÓSÁGI ELEMZŐ MÓDSZEREK Ebben a fejezetben röviden összefoglaljuk azokat a módszereket, amelyekkel a technikai, technológiai és üzemeltetési rendszerek megbízhatósági elemzései

Részletesebben

Ökonometria. Logisztikus regresszió. Ferenci Tamás 1 tamas.ferenci@medstat.hu. Nyolcadik fejezet. Budapesti Corvinus Egyetem. 1 Statisztika Tanszék

Ökonometria. Logisztikus regresszió. Ferenci Tamás 1 tamas.ferenci@medstat.hu. Nyolcadik fejezet. Budapesti Corvinus Egyetem. 1 Statisztika Tanszék Ferenci Tamás 1 tamas.ferenci@medstat.hu 1 Statisztika Tanszék Budapesti Corvinus Egyetem Nyolcadik fejezet Tartalom V. esettanulmány 1 V. esettanulmány Csődelőrejelzés 2 Általános gondolatok 3 becslése

Részletesebben

Megjelent: Magyar Földrajzi Konferencia tudományos közleményei (CD), Szeged, 2001

Megjelent: Magyar Földrajzi Konferencia tudományos közleményei (CD), Szeged, 2001 Megjelent: Magyar Földrajzi Konferencia tudományos közleményei (CD), Szeged, 2001 A területi lehatárolások statisztikai következményei A területi lehatárolások statisztikai következményeinek megközelítése

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

Elméleti összefoglalók dr. Kovács Péter

Elméleti összefoglalók dr. Kovács Péter Elméleti összefoglalók dr. Kovács Péter 1. Adatállományok létrehozása, kezelése... 2 2. Leíró statisztikai eljárások... 3 3. Várható értékek (átlagok) vizsgálatára irányuló próbák... 5 4. Eloszlások vizsgálata...

Részletesebben

Az értékelés során következtetést fogalmazhatunk meg a

Az értékelés során következtetést fogalmazhatunk meg a Az értékelés során következtetést fogalmazhatunk meg a a tanuló teljesítményére, a tanulási folyamatra, a célokra és követelményekre a szülők teljesítményére, a tanulási folyamatra, a célokra és követelményekre

Részletesebben

KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára. Szita formula

KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára. Szita formula KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematka tanár hallgatók számára Szta formula Előadó: Hajnal Péter 2015. 1. Bevezető példák 1. Feladat. Hány olyan sorbaállítása van a a, b, c, d, e} halmaznak, amelyben

Részletesebben

Termeléstervezés és -irányítás Termelés és kapacitás tervezés Xpress-Mosel FICO Xpress Optimization Suite

Termeléstervezés és -irányítás Termelés és kapacitás tervezés Xpress-Mosel FICO Xpress Optimization Suite Termeléstervezés és -irányítás Termelés és kapacitás tervezés Xpress-Mosel FICO Xpress Optimization Suite Alkalmazásával 214 Monostori László egyetemi tanár Váncza József egyetemi docens 1 Probléma Igények

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje Operációkutatás 1 NYME KTK, gazdálkodás szak, levelező alapképzés 2002/2003. tanév, II. évf. 2.félév Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Információ Technológia Tanszék 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt.

Részletesebben

Vállalatgazdaságtan Intézet. Logisztika és ellátási lánc szakirány Komplex vizsga szóbeli tételei 2009. március

Vállalatgazdaságtan Intézet. Logisztika és ellátási lánc szakirány Komplex vizsga szóbeli tételei 2009. március Logisztika és ellátási lánc szakirány Komplex vizsga szóbeli tételei 2009. március A tételek: 1) Hogyan lehet a biztonsági készletet meghatározni adott kiszolgálási szint mellett? Hogyan határozható meg

Részletesebben

Gyakorlatok. P (n) = P (n 1) + 2P (n 2) + P (n 3) ha n 4, (utolsó lépésként l, hl, u, hu-t léphetünk).

Gyakorlatok. P (n) = P (n 1) + 2P (n 2) + P (n 3) ha n 4, (utolsó lépésként l, hl, u, hu-t léphetünk). Gyakorlatok Din 1 Jelölje P (n) azt a számot, ahányféleképpen mehetünk le egy n lépcsőfokból álló lépcsőn a következő mozgáselemek egy sorozatával (zárójelben, hogy mennyit mozgunk az adott elemmel): lépés

Részletesebben

A matematikai feladatok és megoldások konvenciói

A matematikai feladatok és megoldások konvenciói A matematikai feladatok és megoldások konvenciói Kozárné Fazekas Anna Kántor Sándor Matematika és Informatika Didaktikai Konferencia - Szatmárnémeti 2011. január 28-30. Konvenciók Mindenki által elfogadott

Részletesebben

Geometria 1 normál szint

Geometria 1 normál szint Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1. Írásban, 90 perc. 2. Index nélkül nem lehet vizsgázni!

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály. A megoldás részletes mellékszámítások hiányában nem értékelhető!

Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály. A megoldás részletes mellékszámítások hiányában nem értékelhető! BGF KKK Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály Budapest, 2012.. Név:... Neptun kód:... Érdemjegy:..... STATISZTIKA II. VIZSGADOLGOZAT Feladatok 1. 2. 3. 4. 5. 6. Összesen Szerezhető pontszám 21 20 7 22

Részletesebben

Statisztika I. 13. előadás Idősorok elemzése. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 13. előadás Idősorok elemzése. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztika I. 13. előadás Idősorok elemzése Előadó: Dr. Ertse Imre A társadalmi - gazdasági jelenségek időbeli alakulásának törvénszerűségeit kell vizsgálni a változás, a fejlődés tendenciáját. Ezek a

Részletesebben

Kutatásmódszertan és prezentációkészítés

Kutatásmódszertan és prezentációkészítés Kutatásmódszertan és prezentációkészítés 10. rész: Az adatelemzés alapjai Szerző: Kmetty Zoltán Lektor: Fokasz Nikosz Tizedik rész Az adatelemzés alapjai Tartalomjegyzék Bevezetés Leíró statisztikák I

Részletesebben

Matematika érettségi feladatok vizsgálata egyéni elemző dolgozat

Matematika érettségi feladatok vizsgálata egyéni elemző dolgozat Szent István Egyetem Gazdaság- és Társadalomtudományi Kar Statisztika I. Matematika érettségi feladatok vizsgálata egyéni elemző dolgozat Boros Daniella OIPGB9 Kereskedelem és marketing I. évfolyam BA,

Részletesebben

Növelhető-e a csőd-előrejelző modellek előre jelző képessége az új klasszifikációs módszerek nélkül?

Növelhető-e a csőd-előrejelző modellek előre jelző képessége az új klasszifikációs módszerek nélkül? Közgazdasági Szemle, LXI. évf., 2014. május (566 585. o.) Nyitrai Tamás Növelhető-e a csőd-előrejelző modellek előre jelző képessége az új klasszifikációs módszerek nélkül? A Bázel 2. tőkeegyezmény bevezetését

Részletesebben