Készüljünk az írásbeli érettségi vizsgára matematikából. Dr. Gerőcs László. Feladatgyűjtemény megoldásokkal. Középszint.

Átírás

1 A feladatgyűjtemény a középszintű matematika érettségire való felkészülésben nyújt segítséget a leendő vizsgázóknak és tanáraiknak. Középszint Középszint Dr. Gerőcs László A kötet 15 feladatsort tartalmaz. A kitűzött feladatok esetében mindenhol ismertetjük a kérdéses feladatra kapható maximális pontszámokat. G yakorló, az érettségi rendszerét és követelményeit pontosan ismerő középiskolai tanár állította össze és ellenőrizte. A feladatokat ajánljuk gyakorláshoz és ellenőrzéshez, iskolai vagy otthoni felkészüléshez egyaránt. Dr. Gerőcs László A megoldások részletezésénél a diákoktól megszokott és leggyakrabban előforduló, várható gondolatmenet mentén haladva oldjuk meg teljes részletességében a feladatokat. Készüljünk az írásbeli érettségi vizsgára matematikából A feladatsorokat a megoldások részletes kidolgozása követi. Készüljünk az írásbeli érettségi vizsgára matematikából Feladatgyűjtemény megoldásokkal

2 Dr. Gerőcs László Készüljünk az írásbeli érettségi vizsgára matematikából Középszint Feladatgyűjtemény megoldásokkal Nemzeti Tankönyvkiadó

3 A kiadvány ::: év ::: hó ::: naptól tankönyvvé nyilvánítási engedélyt kapott a ::: számú határozattal. A könyv megfelel az Oktatási Minisztérium kerettantervének [17/2004. (V. 20.) 3. melléklet] és az érettségi vizsga követelményeinek [40/2004.) V. 24.)] Lektor: Csapodi Csaba Felelős szerkesztő: Tóthné Szalontay Anna A tankönyvvé nyilvánítási eljárásban kirendelt szakértők neve: c Dr. Gerőcs László, Nemzeti Tankönyvkiadó Zrt., 2011 ISBN

4 Tartalomjegyzék Előszó :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 5 Tanácsok :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 5 1. sorozat ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 9 2. sorozat ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: sorozat ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: sorozat ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: sorozat ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: sorozat ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: sorozat ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: sorozat ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: sorozat ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: sorozat ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: sorozat ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: sorozat ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: sorozat ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: sorozat ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: sorozat ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: sorozat megoldása ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: sorozat megoldása ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: sorozat megoldása ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: sorozat megoldása ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: sorozat megoldása ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: sorozat megoldása ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: sorozat megoldása ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: sorozat megoldása ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: sorozat megoldása ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: sorozat megoldása ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: sorozat megoldása ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: sorozat megoldása ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: sorozat megoldása ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: sorozat megoldása ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: sorozat megoldása ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 107 Tartalomjegyzék 3

5 4

6 Előszó Az új, középszintű érettségire felkészítő feladatgyűjtemény elsősorban azoknak a középiskolás diákoknak (és felkészítő tanáraiknak) kíván segítséget nyújtani, akik az érettségi szituációt modellezve a lehető legnagyobb hatékonysággal kívánnak felkészülni érettségi vizsgájukra. Különösen alkalmas az olyan diákok segítésére, akik a felkészülésükhöz nem tudnak külső segítséget igénybe venni, így kénytelenek teljesen önállóan készülni arra a fontos vizsgára, mely továbbtanulási pontszámaikat is alapvetően befolyásolja. E kötet 15 feladatsort tartalmaz. A feladatsorok összeállításánál maximálisan figyelembe vettük a középszintnek megfelelő követelményrendszert, a középiskolai tananyag témakörönkénti megoszlását, valamint ezeknek a követelményrendszerben betöltött szerepét. A kitűzött feladatok esetében mindenhol ismertettük a kérdéses feladatra kapható maximális pontszámokat. A feladatsorokat a megoldások részletes kidolgozása követi. A megoldások részletezésénél igyekeztünk felhívni a figyelmet a tapasztalatból ismert típushibákra. Általában a diákoktól megszokott és leggyakrabban előforduló, várható gondolatmenet mentén haladva oldottuk meg, teljes részletességében, a feladatokat. Ugyanakkor ahol csak lehet és a terjedelem is megengedi igyekeztünk egy-egy problémára több megoldást, gondolatmenetet, módszert, ötletet mutatni, hogy minél jobban gazdagítsuk az érettségire készülő diákok problémamegoldó ötlettárát. Tanácsok Mielőtt hozzákezdene valaki a feladatgyűjteményben közölt feladatsorok kidolgozásához, hadd adjunk néhány szakmai, taktikai és egyéb tanácsot annak érdekében, hogy a feladatsorok megoldása a leghatékonyabb legyen, a lehető legtöbb pontot érje el a feladatmegoldó! Azt már bizonyára minden diák tudja, hogy a középszintű érettségi matematikából egy ( perces) írásbeli dolgozat elkészítését, vagyis egy feladatsor kidolgozását jelenti. Egy központi előírás szerint az írásbeli dolgozatban a középiskolai tananyag egyes témaköreinek közelítőleg az alábbi eloszlásban kell szerepelnie: Gondolkodási módszerek, halmazok, kombinatorika, gráfok 20% Aritmetika, algebra, számelmélet 25% Függvények, az analízis elemei 15% Geometria, koordináta-geometria, trigonometria 25% Valószínűség-számítás, statisztika 15% Természetesen ezektől az arányoktól egy-egy témakör esetében kicsit el lehet térni, mint ahogy kötetünkben is előfordulhat, hogy egy-egy feladatsorban kissé hangsúlyozottabban szerepel pl. a geometria, míg egy másik feladatsorban a gondolkodási módszerek szerepelnek nagyobb arányban. Úgy gondoljuk, ez a felkészülés szempontjából nem lényeges eltérés, hiszen az igazi érettségi feladatsorok is tartalmaznak apróbb eltérést ezektől az arányoktól. Az érettségi dolgozat felépítése Egy dolgozat két részből áll: először egy példából álló feladatsort kell kidolgozni, melyre 45 perc áll a diákok rendelkezésére. Ezek a feladatok általában egyszerűbb kérdéseket tartalmaz- Előszó 5

7 nak, egy-egy definícióra, alapfogalomra kérdeznek rá közvetlen vagy közvetett módon, s persze igyekeznek felölelni a középiskolai tananyag szinte valamennyi témakörét. Az érettségi dolgozat ezen első részére maximálisan 30 pont adható. A dolgozat e részének elkészítése (vagyis a 45 perc letelte) után a dolgozatokat összeszedik a felügyelő tanárok, majd pár perces szünet után következik az érettségi dolgozat második része, melynek megírására 135 perc áll rendelkezésre. A második részben 3db12pontosés 3db17 pontos feladatot találunk. Fontos tudnivaló, hogy a 3 db 17 pontos feladat közül csak 2 feladatot kell megoldani, s a feladatlapon egyértelműen jelezni kell, hogy az utolsó három (17 pontos) feladat közül melyik az, amelyikkel nem foglalkozott a diák, illetve amelyiknek értékelését nem kívánja beszámíttatni a végső pontszámaiba. Így az érettségi dolgozat második részére maximálisan = 70 pont adható. Ezt az első részre adható 30 ponttal összeadva adódik az érettségi dolgozat maximális pontértéke: 100 pont. Hogyan készüljünk, mire vigyázzunk, és mire figyeljünk a dolgozat megírása előtt és alatt? Már az érettségi dolgozat első részének elkészítéséhez is fontos, hogy ismerjük jól a függvénytáblázatunkat. Fontos, hogy tudjuk, mit és hol keressünk benne. Helytelen az az érvelés, miszerint Minek tanuljam meg ezt a képletet, amikor benne van a függvénytáblázatban?. Előfordulhat ugyanis, hogy egy képletnek kifejtett alakjával találkozunk a feladat megoldása során, s ha nem fedezzük fel, hogy e kapott eredmény milyen képletben szerepel, akkor nem is tudjuk, hogy mit is keressünk a táblázatban. Érdemes tehát mindenképpen még az érettségire való felkészülés időszakában pár órát arra fordítani, hogy alaposan áttanulmányozzuk függvénytáblázatunkat. Kezdődjék az írásbeli dolgozat második részének elkészítése azzal, hogy először minden feladatot figyelmesen elolvasunk. Ekkor nagyjából átlátjuk azt, hogy melyek azok a feladatok, amelyeket várhatóan nagyobb nehézség nélkül el fogunk tudni készíteni, s melyek azok, amelyekre több időt, mélyebb gondolkodást kell fordítanunk. Minden feladatot legalább háromszor olvassunk el! Kétszer a feladat megoldása előtt, és egyszer, amikor úgy érezzük, készen vagyunk a megoldással. Nézzük meg, hogy valóban a feladatban feltett kérdésre válaszoltunk-e! Érdemes kitérni az ellenőrzés kérdésére. Itt nem csak arra gondolunk, hogy az egyenletek megoldásakor kapott gyököket ellenőrizni kell. Azt is ellenőrizzük, hogy egy konkrét számításos feladatnál a kapott eredmény lehetséges-e! Ha pl. egy háromszög oldalai 5 cm, 7 cm, 10 cm, nekünk pedig az a feladatunk, hogy számítsuk ki a leghosszabb magasságot, akkor legyen gyanús, hogy ha számításaink után azt kapjuk, hogy a leghosszabb magasság 128 cm; akkor itt valami nem stimmel. Tehát becsüljük meg, hogy a kapott eredmény megfelelhet-e a valóságnak! Miután elkészültünk a dolgozat megírásával, és esetleg van még időnk, ne menjünk el! Ne hagyjuk ott a munkánkat! Ilyenkor gyakran megszállja az embert egy pánikhangulat: Jaj, csak el innen: ::. Próbáljuk ezt legyőzni. Ha ugyanis 4-5 perces pihenő, kikapcsolódás után újra elővesszük dolgozatunkat, és alaposan átnézzük megoldásainkat, nagy valószínűséggel találunk benne olyan apró hibákat, melyek kijavításával pontokat szerezhetünk még. Azt is tudnunk kell, hogy a matematikai problémák megoldásához sok esetben ötletekre van szükség. Előfordulhat, hogy egy nehezebbnek tűnő problémához az ötlet csak az utolsó percekben ugrik be, s ha nem is tudjuk teljesen befejezni a feladat megoldását, néhány pontot mégiscsak szerezhetünk vele. Mindezzel arra akarunk bíztatni mindenkit, hogy a rendelkezésére álló időt a legutolsó másodpercig érdemes kihasználnia. 6 Tanácsok

8 Mindezek után a legfontosabb tanácsunk a következő A lehető legpihentebb állapotban legyünk az érettségi dolgozat írásakor! A matematikai feladatok megoldása során az ötletek, módszerek keresésekor az agyunkban lejátszódó gondolkodósi folyamatok sokkal gyorsabbak és célirányosabbak pihent állapotban, mint ha szellemileg fáradtan ülünk le megírni egy ilyen nagy jelentőségű dolgozatot. Ezért mindenkinek azt tanácsoljuk, hogy amennyire csak lehet kipihenten érkezzen az írásbeli vizsgájára. Sok tanácsot lehetne még adni az érettségi dolgozat elkészítéséhez, de a rendszeres és módszeres gyakorlást senki sem kerülheti el, ha jó eredményt akar elérni. Úgy gondoljuk, az a diák, aki e kötetben szereplő valamennyi feladatsort önállóan feldolgozza, megfelelő feladatmegoldó rutinra tehet szert. Sok-sok olyan ötlettel, módszerrel gazdagodik, melyet nem csak az érettségin használhat, de felsőfokú tanulmányaiban nagy segítségére lehet majd. A szerző Tanácsok 7

9 8

10 FELADATOK 1. sorozat I. rész (felhasználható idő: 45 perc) 1/1 Legyen az A halmaz a 10-nél nagyobb, de 30-nál kisebb egész számok halmaza. Legyen a B halmaz a prímszámok halmaza. Sorolja fel az A B halmaz elemeit! 1/2 Adja meg a következő kifejezés értékét, ha x = 1 3, y = 6. x 3 y y 3 x x 2 y 2 1/3 A2ésab számok számtani közepe 3 5. Mivel egyenlő a 2 és a b számok mértani közepe? 1/4 Az AOB szög felezőjére illeszkedik az OA 1 szakasz. Az AOA 1 szög felezőjére illreszkedik az OA 2 szakasz. Az AOA 2 szög felezőjére illeszkedik az OA 3 szakasz. Mekkora az AOA 3 szög, ha A 3 OB = 140? 1/5 Egy egyenes körhenger magassága a henger alapköre sugarának a fele. Az alábbi állítások közül melyik igaz, ha a henger alapkörének sugara r? A henger térfogata: a) V = r 3, b) V =2r 3, c) V = r /6 Egy szabályos konvex sokszög egy szöge 144. Hány oldalú e sokszög? 1/7 Egy pénzérmét feldobunk háromszor. Mekkora annak a valószínűsége, hogy pontosan kétszer dobunk fej -et? 1/8 Határozza meg az 1 x 4 valós számok halmazán értelmezett f (x) =x 2 4x +3 függvény értékkészletét! 1/9 Egy számtani sorozat harmadik tagja 11. A sorozat ötödik tagja 19. Mennyi a sorozat tizenhatodik tagja? 1/10 Oldja meg az egyenleteket a valós számok halmazán! a) 4 x = 128, b) log 3 (x 3) = 4. 1/11 Az alábbi állítások közül melyik igaz és melyik hamis? a) A rombusz érintőnégyszög. b) Nincs olyan háromszög, melynek két szimmetriatengelye van. c) Ha egy szám osztható 4-gyel, akkor e szám 3-mal osztva 1 maradékot ad. 1/12 Adott három pont a koordinátasíkon: A( 2; 7), B(0; 4), C (2; 2). Tükrözze az A pontot a BC szakasz felezőpontjára, és adja meg a tükörkép koordinátáit! A 3 A A 2 A 1 O B 1. sorozat 9

11 II. rész (felhasználható idő: 135 perc) A feladatok közül tetszőlegesen választott kettőt kell megoldani 1/13 Egy iskola három 12-es osztályának év végi matematika osztályzatait szemléltettük az alábbi táblázatban. a) Számítsa ki az évfolyamátlagot, valamint az egész évfolyamra nézve az osztályzatok mediánját! b) Szemléltesse egy kördiagramon az osztályzatok eloszlását az egész évfolyamra nézve! 5 pont c) Legalább hány tanulónak kellene 1 jeggyel növelnie az osztályzatát matematikából a 12.B osztályban, hogy a 12.B átlaga jobb legyen a 12.C osztály átlagánál? A B C tanulók száma 10 tanulók száma 10 tanulók száma osztályzatok osztályzatok osztályzatok 1/14 Egy falu térképéhez rögzített koordináta-rendszerben (ahol az egység mindkét koordinátatengelyen 30 m) a mezőgazdasági kombinát olyan háromszög alakú területen van, mely csúcsainak a koordinátái A( 2; 6), B(0; 0), C (6; 4). a) A területet olyan kerítéssel vették körbe, melynek métere 840 Ft. Mennyibe került a kombinát bekerítéséhez szükséges kerítés? 5 pont b) Hány m 2 a kombinát területe? 7 pont 1/15 Az ábrán egy mobil-garázs keresztmetszetét látjuk. A két függőleges oldalfalat a nyilak irányában mozgatva a garázs teteje az A, B és C csuklóknál elfordulva magasítható az ábrán látható módon. A 4m B 4m C A 4m villamosvezeték B 4m C 4m 4m 4m 4m a) Mekkora a garázs keresztmetszetének a területe, ha =45? A területet m 2 -ben adja meg, két tizedes pontossággal! b) A garázs fölött a talajtól számítva 7 m magasan húzódik egy villamosvezeték. Egy elektromos szabvány szerint egy vezeték alatti építmény legmagasabb pontjának legalább 50 cm-re kell lennie a vezetéktől. Hány cm-rel toljuk be a garázs egy-egy függőleges oldalát, hogy a garázs a lehető legmagasabb legyen, de megfeleljen az előbbi szabványnak? 8 pont 10 FELADATOK

12 1/16 a) András, Béla, Csabi, Dani és Edit kockáznak. Mindannyian egy fehér, egy kék és egy piros kockát dobnak fel egyszerre. Az nyer, aki összesen a legtöbbet dobja, de a piros kockával dobott szám duplán számít (ha valaki annyit dobott, amennyi már korábban előfordult, akkor dobása1 érvénytelen és újra dobhatott). Először András dobott 10-et, aztán Béla következett, ő 17-et dobott. A következő Csaba volt, 19-et dobott, majd Dani következett, ő 22-t dobott. Utoljára Editnek kellet dobnia. Mekkora annak a valószínűsége, hogy Dani nyeri a játékot? 10 pont b) A játék után moziba ment az öt diák. A játék közben Edit és Béla kicsit összevesztek. Hányféleképpen ülhettek le a moziban az 5 egymás melletti székre, hogy Edit és Béla ne üljenek egymás mellett? 7 pont 1/17 Az ábrán egy folyami úszódarut látunk. Milyen magasra tudja emelni a daru k kötele a vízből kiemelt tárgyat? Az eredményt cm-re kerekítve adja meg! 17 pont 14 m k 6m 124 Tárgy 1/18 a) Tekintsük a 352XY alakú ötjegyű számokat. Véletlenszerűen kiválasztva egy ilyen számot, mekkora annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott szám osztható 4-gyel? b) Egy iskola vásárolt 35 db egyforma digitális táblát. A számlán végösszegként euróban kifejezve a 352XY ötjegyű szám szerepelt (sajnos a két utolsó számjegy elmosódott a számlán). Legfeljebb hány euróba kerülhetett egy digitális tábla, ha egy tábla euróban vett értéke egész szám? 7 pont c) Tekintsük azokat az 352XY alakú ötjegyű számokat, melyek oszthatók 5-tel. Mekkora ezeknek a számoknak az összege? 6 pont 2. sorozat I. rész (felhasználható idő: 45 perc) 2/1 Egy számtani sorozat harmadik és hetedik tagjának összege 24. Mekkora a sorozat ötödik tagja? 2/2 Legyen az A halmaz a 3 x 6 valós számok halmaza, a B halmaz az x 5valós számok halmaza. Ábrázolja számegyenesen az A \B halmaz elemeit! ból a BC oldal B-hez közelebbi H harmadoló pontjába mutató x vektort! D b x C H A 2/3 Fejezze ki az a és b vektorok segítségével azabcd négyzetacsúcsáa B 2/4 Egy áru az A üzletben Ft, egy ugyanolyan áru a B üzletben Ft. Az A üzletben 12%-kal emelték az áru árát. Hány %-kal kell emelni az árat a B üzletben, hogy ugyanannyiba kerüljön, mint az A üzletben? 2. sorozat 11

13 2/5 Egy háromszög oldalainak hossza cm-ben mérve egész szám. Egyik oldala 4 cm, másik oldala 7 cm. Hányféleképpen alakulhat a háromszög harmadik oldala? 2/6 Egy dobókockát feldobtunk kétszer. Mekkora annak a valószínűsége, hogy a dobott számok összege nagyobb mint 10? 2/7 Határozza meg az alábbi kifejezés értelmezési tartományát a valós számok halmazán! 2/8 Melyik szám nagyobb, A vagy B? x +2 x 1 : ( 1 A =log 3 B 4 =2 sin : 9 3 ) 2/9 András, Béla, Csaba, Dani és Elemér közül András mindenkit ismer. Csaba Andráson kívül senkit sem ismer. Bélának és Daninak pontosan két ismerőse van a társaságban, de ők egymást nem ismerik. Hány embert ismer a társaságban Elemér? (Az ismerettség minden esetben kölcsönös.) 2/10 Egy téglalap két oldala 10 cm és 24 cm. Milyen távol van a téglalap szimmetriacentruma a téglalap csúcsaitól? 2/11 Az a >b>1 pozitív egész számok összegének és különbségének az összege 6. Mi lehet ez a két szám? 2/12 Adott a [0; 4) valós számok halmazán értelmezett f (x) = x 1 függvény. Ábrázolja a függvény grafikonját, és határozza meg a függvény értékkészletét! II. rész (felhasználható idő: 135 perc) A feladatok közül tetszőlegesen választott kettőt kell megoldani 2/13 Milyen x-re teljesül, hogy a log 3 (x + 4) kifejezés értéke a) 2, b) pozitív, c) 4-nél kisebb pozitív egész szám? 5 pont 2/14 Az ABCD négyzet oldalai 6 cm hosszúak. A négyzetből kivágtunk egy ac csúcsot tartalmazó kisebb négyzetet, melynek oldalai párhuzamosak az eredeti négyzet oldalaival és melynek oldalai 3 cm hosszúak. Eztán a kapott síkidomot körbeforgattuk az AD oldal egyenese körül 360 -kal. a) Mekkora a keletkezett forgástest térfogata? A térfogatot cm 3 -ben, két tizedesre kerekítve adja meg! b) Mekkora a keletkezett forgástest felszíne? A felszíne cm 2 -ben, két tizedesre kerekítve adja meg! c) A kapott forgástesttel egybevágó, fémből készült forgástestet belehelyeztünk egy elegendően magas egyenes körhenger alakú edénybe, melynek sugara 10 cm, és amelyben 14 cm magasan áll a víz. A test elsüllyed a vízben. Milyen magas lesz a vízszint? 5 pont 12 FELADATOK

14 2/15 Adott két pont a koordinátasíkon A(2; 4), B(12; 2). a) Írja fel az A és B pontokon átmenő egyenes egyenletét! b) Számítással ellenőrizze, hogy a P(20; 4), Q(27; 1) és R( 3; 5) pontok közül melyik illeszkedik és melyik nem illeszkedik azab egyenesre! c) Milyen hosszú az AB szakasz felező merőlegesének a koordinátatengelyek közé eső darabja? A hosszúságot két tizedes jegyre kerekítve adja meg! 7 pont 2/16 Karcsi kerékpárral jár az iskolába. Kerékpárjának zárja hatjegyű számkombinációval nyitható. a) Hányféleképpen állítható be a zárkombináció? b) Karcsi olyan számkombinációt állított be, amelyben elrejtette születési évszámát (vagyis születési évének négy számjegyét egymás után a megfelelő sorrendben helyezte el). Ekkor hányféleképpen állítható be a zárkombináció? 5 pont c) Egy idő után Karcsi megváltoztatta a zárkombinációt, de az újat mivel pár hétig nem használta kerékpárját sajnos elfelejtette. Arra emlékezett, hogy a hatjegyű szám utolsó két számjegyéből adódó kétjegyű szám 5-tel osztható és a hat számjegy között 4 db 0 szerepel. Legfeljebb hány számkombinációt kell kipróbálnia, hogy biztosan ki tudja nyitni kerékpárjának a zárját? 8 pont 2/17 Egy atlétikai szakosztályban a sportolók futó-, dobó és ugró-számokban tartanak edzéseket: 18-an futó-, 22-en dobó, 16-an ugró-számokban edzenek, de vannak olyanok is közöttük, akik több számban is edzenek. Csak futással 9-en, csak dobással 12, csak ugró ágazatban 10-en edzenek. Három olyan sportoló van közöttük, akik mindhárom sportszámban edzenek. a) Hányan edzenek pontosan két sportágban? 7 pont b) A szakosztály sportolóinak hány százalékát alkotják azok a sportolók, akik dobók vagy ugrók, de nem futók? 10 pont 2/18 Kör alakú falióránk átmérője 24 cm. Az óra körlapját úgy rögzítették egy szabályos háromszög alakú falemezre, hogy a körlap éppen elférjen rajta (lásd ábra). a) Mekkora a háromszöglap kerülete? A kerületet cm-ben, két tizedes pontossággal adja meg! 6 pont b) Az óra nagymutatója 10 cm, a kismutató 8 cm hosszú. Hány cm távolságra vannak egymástól a mutatók végpontjai 4 órakor? 6 pont c) A háromszöglap körön kívül eső részét befestették. A befestett rész területe hány százaléka a háromszög területének? 5 pont 3. sorozat 13

15 3. sorozat I. rész (felhasználható idő: 45 perc) 3/1 Az iskola 10.C osztályának tanulói kétszer voltak színházban a tanév során (minden tanuló volt legalább az egyik színházlátogatáson). Az elsőre 17-en mentek el. Csak a második előadást 14-en látták. Mennyi az osztálylétszám? 3/2 Mi lehet az X számjegy, ha tudjuk, hogy a 34X 2 szám osztható 4-gyel? 3/3 Jelölje be a számegyenesen annak a k valós számnak négyzetét, melyre log 16 k = /4 Mely valós számok elégítik ki az alábbi egyenletet: x 3x 2 +2 = : 2 3/5 Az iskolai atlétikai bajnokságon a lányok összesen 136 pontot értek el, ez az összes megszerezhető pontszámok 40%-a. Hány ponttal szereztek többet a fiúk, mint a lányok? 3/6 Mekkora az ábrán látható háromszög C csúcsnál levő szöge? C A B 3/7 Egy dobozban fehér, fekete és zöld golyók vannak. A golyók 20%-a fehér, a fekete golyók száma 34, a zöld golyók száma 30. Véletlenszerűen kivéve egy golyót a dobozból, mekkora annak a valószínűsége, hogy az nem zöld? 3/8 Hány olyan 10 és 20 közé eső pozitív egész szám van, amely nem prímszám és a 10-zel relatív prím? 3/9 Egy kör középpontjának a koordinátái K (4; 2). A kör érinti az x tengelyt. Írja fel a kör egyenletét! 3/10 Egy öt tagú társaságban (A, B, C, D és E) A mindenkit ismer. A többiek mindannyian három-három személyt ismernek a társaságból. Tudjuk még, hogy C és E nem ismerik egymást (az ismeretség minden esetben kölcsönös). Vajon B és D ismerik-e egymást? 3/11 A [0; 2] valós számok halmazán értelmezett f (x) =sinx függvény értékének abszolút értéke hányszor lesz 1 2? 3/12 Egy négyzet alapú egyenes hasáb kiterített palástja egy 12 cm oldalú négyzet, Hány cm 3 a hasáb térfogata? 14 FELADATOK

16 II. rész (felhasználható idő: 135 perc) A feladatok közül tetszőlegesen választott kettőt kell megoldani 3/13 Az országos öttusa diákbajnokság döntőjébe két iskola 3-3 diákja jutott. a) A döntő utolsó száma a futás volt. A versenyzőket 5 percenként indították a starthelyről. Hányféle sorrendben indíthatták el a hat versenyzőt, ha az azonos iskolába járó diákokat egymást követően indították? b) A hat diák testmagasságának átlaga cm. András (az egyik versenyző) nélkül a testmagasságok átlaga cm. Mekkora András testmagassága? 3 c) A verseny után a döntőbe jutott 6 diák felsorakozott egy fényképezéshez. Hányféleképpen állhattak sorba úgy, hogy iskolatársak ne álljanak egymás mellett? 3/14 Péternek van 100 db egybevágó kis kockája, melyek élei 2 cm hosszúak. E kis kockák közül néhányat felhasználva a lehető legnagyobb kockát ragasztotta össze. A megmaradó kis kockákból megint a lehető legnagyobb méretű kockát ragasztotta össze. a) Hány db fel nem használt kis kockája maradt Péternek? 6 pont b) A két összeragasztott nagyobb kockát egymáshoz ragasztotta úgy, hogy azok két-két élük mentén illeszkedjenek egymáshoz (lásd az ábrát). Ezután a nagyobb kocka A csúcsából a kisebb kocka B csúcsáig egy egyenes furatot fúrt. Milyen hosszú ez a furat? 6 pont 3/15 Egy kg narancs a szomszédos boltban 160 Ft-ba kerül, míg a piacon 110 Ft az ára. a) A piac 24 km-re van a lakásunktól. Ha autóval megyünk vásárolni, akkor 1 km út megtétele 28 Ft-ba kerül. Érdemes-e autóval menni a piacra (csak az utazási költséget figyelembe véve), ha 12 kg narancsot veszünk és hazavisszük? b) A fenti feltételek mellett hány kg narancs vásárlása esetén gazdaságos már autóval a piacra menni? c) Egy kiskereskedő egyszerre vásárolt 200 kg narancsot, kilóját 80 Ft-ért. Az első nap eladott 52 kg-ot, kilóját 120 Ft-ért, a második nap 40 kg-ot, kilóját 110 Ft-ért, a harmadik nap 68 kg-ot, kilóját 100 Ft-ért. Hány Ft-ért adja el a maradékot remélve, hogy mind elfogy, ha az összes narancs eladása után 30% nyereséget akar elérni? 5 pont A B 3/16 Adott két pont a koordináta-rendszerben: A( 2; 4), B(6; 8). a) Határozza meg a sík azon P pontjait, amelyek az A ponttól ugyanakkora távolságra vannak, mint a B ponttól! b) Egy egyenlő szárú háromszög alapjának két végpontjaaésb. A háromszög harmadik csúcsa az y-tengelyen van. Számítsa ki a háromszög területét! 6 pont c) Az y tengely mely pontjaiból látszik az AB szakasz derékszögben? 7 pont 3/17 Adott a [ 4; 6] intervallumba tartozó valós számok halmazán az alábbif függvény: { f (x) = x +2x 2 ha 4 x 1, 3. sorozat x +4 ha 1 <x 6. a) Ábrázolja a függvény grafikonját! 6 pont b) Adja meg a függvény értékkészletét! c) Mely valós x számokra teljesül, hogy f (x) 0? d) Oldja meg az f (x) x + 2 egyenlőtlenséget! 6 pont 15

17 3/18 Az ABCA B C 18 cm oldalú szabályos háromszög alapú egyenes hasáb magassága 24 cm. (Lásd ábra.) C C A B A B 24 cm C 24 cm 16 cm C csap 10 cm A 18 cm B a) Mekkora a hasáb felszíne és térfogata? A felszínt cm 2 -ben, a térfogatot cm 3 -ben adja meg két tizedes jegyre kerekítve! 5 pont b) Milyen távol van a hasáb B csúcsa az AC él felezőpontjától? c) A hasáb alakú edényben 16 cm magasan áll a víz. Egyik oldalélén 10 cm magasan van egy csap. Ha ezt a csapot kinyitják, a csapon át 120 cm 3 =perc átlagos sebességgel folyik ki a víz. Mennyi ideig folyik a víz az edényből, ha megnyitják a csapot? 8 pont A 18 cm B 4. sorozat I. rész (felhasználható idő: 45 perc) 4/1 Legyen az A halmaz a kétjegyű pozitív egész számok halmaza, a B halmaz a 30-nál kisebb pozitív prímszámok halmaza. Sorolja fel az A B halmaz elemeit! 4/2 Egy pozitív tagokból álló mértani sorozat harmadik tagja 12, a sorozat ötödik tagja 48. Számítsa ki a sorozat első tagjának és hányadosának a különbségét! 4/3 András tolltartójában 3 kék és 2 piros toll van. Hányféleképpen helyezheti el András egy sorban a tollait a tolltartójában, ha az azonos színű tollakat nem különböztetjük meg? 4/4 Egy négyzet átlója 20 cm. Az alábbi állítások közül melyik helyes? A négyzet területe a) 200 cm 2, b) 100 cm 2, c) 400 cm 2. 4/5 Karcsi egy évben kétszer kapott fizetésemelést: először 12%-kal, majd ezt követően 8%-kal emelték fizetését, így fizetése Ft lett. Mennyi volt Karcsi fizetése az emelések előtt? 4/6 Írja fel annak a körnek az egyenletét, melynek középpontja K ( 8; 2), és a területe T = 9! 4/7 Az alábbi állítások közül melyik igaz és melyik hamis? a) Minden elsőfokú függvény grafikus képe egyenes. b) Minden olyan függvény, melynek grafikus képe egyenes, elsőfokú függvény. c) Minden olyan függvénynek, melynek grafikus képe egyenes, pontosan egy zérushelye van. 16 FELADATOK

18 4/8 Hány db kétjegyű pozitív egész megoldása van az alábbi egyenlőtlenségnek? x 3 2 >x 10: 4/9 Mivel egyenlő 1 A,haA =cos7 3! 4/10 Pisti egykerekű biciklije kerekének átmérője 40 cm. Pisti 120 métert ment ezzel a biciklivel. Hányat fordult eközben a kerék? 4/11 Egy pakliban 3 db fekete, 4 db piros és 6 db zöld kártya van. Véletlenszerűen kiválasztva egy kártyát a pakliból, mekkora annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott kártya nem piros? 4/12 5 db konvex négyszögnek és néhány konvex ötszögnek összesen 40 átlója van. Hány db ötszögünk van? II. rész (felhasználható idő: 135 perc) A feladatok közül tetszőlegesen választott kettőt kell megoldani 4/13 Oldja meg a következő egyenletrendszert a valós számpárok halmazán! log 2 (x +y +4)+log 2 (y x 2) = log 2 (6y +3x +1) 5 x+y = 625 x : 1 4/14 Az ábrán egy hajó kajütjének ablakát látjuk. Ez egy olyan kör alakú x ablak, melynek átmérője 60 cm. Az ablakot alkotó 5 db tartomány egy belső négyzetből és 4 db egybevágó, a négyzet oldalaihoz illeszkedő alakzatból áll, melyeket az ábrán besatírozva tüntettünk fel. A négyzet területe egy ilyen besatírozott tartomány területének a fele. a) Mekkora egy besatírozott alakzatot határoló körív hossza? b) Mekkora a négyzet oldala? A négyzet oldalát cm-ben két tizedes pontossággal adja meg! 6 pont c) A négyzet csúcsait a kör kerületével összekötő x merevítő rudak egyenese áthalad a kör középpontján. Milyen hosszú egy ilyen merevítő rúd? 4/15 Az {a n } számtani sorozat első tagja 4, differenciája 7. A {b n } számtani sorozat első tagja 2, differenciája 9. a) Tagja-e az {a n } sorozatnak a 179, és ha igen, hányadik tagja? b) Milyen n-re lesz a b n a n különbség legalább 100? c) Milyen n-re teljesül, hogy az {a n } számtani sorozat első n tagjának összege egyenlő a {b n } számtani sorozat első n tagjának összegével? 5 pont 4/16 Nyolc egyforma dobozt helyeztünk el sorban egymás mellett. Van három golyónk; ezeket szeretnénk egy-egy dobozba elhelyezni. Egy dobozba legfeljebb egy golyó kerülhet. a) Hányféleképpen helyezhetünk el a dobozokban három fehér golyót úgy, hogy ha két doboz szomszédos, akkor ne legyen mindkettőben golyó? 7 pont b) Hányféleképpen helyezhetünk el a dobozokban három különböző színű golyót úgy, hogy ha két doboz szomszédos, akkor ne legyen mindkettőben golyó? c) Hányféleképpen helyezhetünk el a dobozokban három fehér golyót úgy, hogy legyenek olyan szomszédos dobozok, amelyekben van egy-egy golyó? 7 pont 4. sorozat 17

19 4/17 Adott a [0; 4] intervallumon értelmezett f (x) = x 2 4x + 4 függvény, valamint a [0; 4] intervallumon értelmezett g(x) =x 2 4x + 4 függvény. a) Ábrázolja közös koordináta-rendszerben az f és g függvények grafikonját! 6 pont b) Legyen A halmaz az f (x) függvény értékkészlete, B halmaz a g(x) függvény értékkészlete. Adja meg a B \A halmaz elemeit! c) Ábrázolja számegyenesen az f (x) g(x) egyenlőtlenségnek megfelelő valós számokat! d) Oldja meg a g(x) f(x) = 1 egyenletet! 4/18 a) Egy négyzet alapú egyenes hasáb alakú edény tele van folyadékkal; tömege 24 kg. Ha a folyadék felét kiöntjük a tartályból, akkor a tömege 20 kg lesz. Mekkora az üres edény tömege? b) Van három egybevágó négyzet alapú egyenes hasábunk, melyek alapnégyzeteinek oldala 20 cm, magasságuk 30 cm. E három hasábot egymásra helyezzük úgy, hogy alapnégyzeteikkel illeszkedjenek egymáshoz. Mekkora az így kapott nagyobb hasáb felszíne? 5 pont c) Egy négyzet alapú egyenes hasáb alapnégyzetének oldalai 20 cm hosszúak, magassága 30 cm hosszú. Számítsa ki az alapnégyzet két szomszédos csúcsából induló testátlójának a hajlásszögét! A szöget egész fokra kerekítve adja meg! 8 pont 5. sorozat I. rész (felhasználható idő: 45 perc) 5/1 Mivel egyenlő A 2 B, haa = és B = ? 5/2 Egy iskola 840 tanulójának 40%-a lány. A fiúk 75 százaléka kiskorú. Hány nagykorú fiú jár az iskolába? 5/3 Adja meg a b vektor koordinátáit, ha a( 4; 2) és (a + b)(6; 1)! 5/4 Milyen távol van az y =2x +6ésy = x + 3 egyenletű egyenesek metszéspontja az origótól? 5/5 Állítsa nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi A, B, C kifejezéseket: 1 A B =2cos11 C ( ) 1 2 =log 2 : 8 = 2 5/6 Egy egyenes körkúp magassága egyenlő alapkörének átmérőjével. Mekkora szöget zár be a kúp alkotója az alapkör síkjával? 5/7 Egy háromszög oldalai 2 cm, 4 cm és 5 cm. Egy hozzá hasonló háromszög legrövidebb oldala 6 cm. Mekkora ez utóbbi háromszög kerülete? 5/8 Egy dobozban van 6 kis piros és 8 nagy piros, valamint 8 kis kék és 16 nagy kék golyó. Becsukott szemmel kiveszünk egy golyót a dobozból. Mekkora annak a valószínűsége, hogy kis golyót húzunk? 5/9 Legyen A =log 3 x +log 3 x 3 log 3 x 5. Az alábbi egyenlőségek közül melyik helyes? a) A =log 3 x +x x 3 5, b) A =log 3 (x x 4 5 ), c) A = log 3 x. 18 FELADATOK

20 C 5/10 Az ábrán láthatóabc háromszögnek megrajzoltuk a C -ből induló magasságát, valamint az A csúcsból induló szögfelezőjét. Mekkora az ábrán -val jelölt szög? 122 A B 5/11 Hány átlója van annak a konvex sokszögnek, amelynek oldalainak a száma egyenlő a konvex hatszög átlóinak a számával? 5/12 Adott a [0; 3] halmazon értelmezett f (x) = x 2 2x függvény. Ábrázolja a függvény grafikonját, és adja meg a függvény értékkészletét! II. rész (felhasználható idő: 135 perc) A feladatok közül tetszőlegesen választott kettőt kell megoldani kollégista fiúk kollégista lányok bejáró fiúk bejáró lányok 5/13 Egy vidéki gimnáziumnak 240 tanulója van. A diákok egy része kollégista, a többiek bejárók. A kollégisták és bejárok nemek szerinti eloszlását mutatja a kördiagram. a) Töltse ki az alábbi táblázatot, ahol a megfelelő rovatba a kollégista bejáró rovatnak megfelelő diákok számát kell beírni! 6 pont fiúk b) Az iskola tanulóinak hány százaléka bejáró? lányok c) Hány százalékos a kollégium kihasználtsága, ha 164 diák befogadására alkalmas? Az eredményt két tizedes jegyre kerekítve adja meg! 5/14 Egy sakkbajnokság döntőjébe (ahol mindenki mindenkivel egyszer játszik) nyolcan jutottak:a,b,c,d,e,f,g ésh.aza ésb versenyző már minden mérkőzését lejátszotta, a többi versenyző mindegyike eddig három mérkőzést játszott egymással. A C E és D H mérkőzések döntetlenre végződtek. a) Szemléltesse az eddig lejátszott mérkőzéseket egy gráffal! 5 pont b) Hány mérkőzés van még hátra? c) Az eddig lejátszott mérkőzések alapján már látszott, hogy a bajnokságotb fogja megnyerni, a 2 3. hely sorsa C és F között dől majd el, és biztosan A lesz az utolsó. Ezek alapján hányféleképpen alakulhat a bajnokság végső sorrendje? 5/15 Oldja meg a következő egyenletrendszert a valós számpárok halmazán! log 5 (x 2y) =1+log 5 x x 1 y = 33 8 : 1 5. sorozat 19

21 5/16 Egy egyenes áthalad a P(2; 6) koordinátájú ponton és meredeksége m = 2 3. a) Írja fel az egyenes egyenletét! b) Számítsa ki az egyenes és a koordinátatengelyek alkotta háromszög területét! 6 pont c) Az egyenest eltoljuk a v(1; 2) vektorral. Írja fel az így kapott egyenes egyenletét! d) Hány olyan P(x;y) pontja van az eredeti egyenesnek, melyekre 0 x 13 és amelyeknek mindkét koordinátája egész szám? 5 pont 220 m 5/17 Az ábrán egy francia kastély parkjának vázlatos rajzát látjuk. Egy 220 m oldalú négyzet alakú terület belsejében van a kert. Ennek füvesítésre váró része: középen egy 15 m sugarú kör és a kört körbe vevő 4 db egybevágó körcikkgyűrű 100 m alakú terület, melyeket az ábrán besatírozva tüntettünk fel. 40 m A körcikk külső határoló íve 100 m, a körcikket határoló egyenes szakaszok 40 m hosszúak. a) Ha egy doboz fűmag 42 m 2 -es terület füvesítésére elegendő, akkor hány doboz fűmagra van szükség? 8 pont b) Füvesítés után a frissen bevetett területeket ideiglenesen kerítéssel vették körbe, hogy se ember, se állat ne járkáljon rajta, míg a fű meg nem erősödik. Összesen hány méter kerítésre van szükség? 6 pont c) A négyzet alakú parkot később további füvesítéssel akarják szépíteni, ezért a még nem füvesített területen további 2400 m 2 -nyi területet terveznek bevetni fűmaggal. Ezt követően a park területének hány százaléka lesz bevetve fűvel? Az eredményt egy tizedes pontossággal adja meg! 5/18 Kutató kedvű diákok tapasztalati mérések alapján arra a következtetésre jutottak, hogy a hegyi tücsök H ciripelési frekvenciájának mérőszáma a Celsius fokban mért t hőmérséklettől és a tengerszint feletti méterben mért m magasságtól függ az alábbi módon: H (t m)=h 0 +m k t 10 ahol k a kérdéses tücsökfajtára jellemző állandó, m a tengerszint feletti magasság méterben, t a Celsius fokban mért hőmérséklet, H 0 pedig a tengerszinten mért frekvencia mérőszáma az adott hőmérsékleten. a) Mekkora annak a tücsöknek a ciripelési frekvenciája, amely a tengerszint feletti 240 méteres magasságon 18 C hőmérsékleten tartózkodik és amelynél H 0 = 80, k =6 8? 6 pont b) Hány C-os hőmérsékleten lesz az előbbi tücsök frekvenciája 110, ha a tengerszint feletti magasság 320 méter? 11 pont 6. sorozat I. rész (felhasználható idő: 45 perc) 6/1 Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán. log 2 x +log 2 x 2 =3: 20 FELADATOK

22 6/2 Egyenletesen égő gyertyánk magassága egy óra alatt 1 5 cm-t csökken. Egy áramszünet alkalmával este 7 és 10 között a gyertya magassága 1 -ére csökkent. Milyen magas volt a gyertya 4 eredetileg? 6/3 Adja meg a következő tört reciprokának tizedestört alakját. (Három tizedes jegyre kerekítsen!) /4 A k <n pozitív egész számok mértani közepe 6. Az alábbi állítások közül melyik igaz és melyik hamis? a) k osztója n-nek. b) 5 osztója (n +k)-nak vagy (n k)-nak. c) (n +k) prímszám. 6/5 Mely valós számokra értelmezhető a (tgx) 1 kifejezés? 6/6 A 4, 5, 6 számjegyek mindegyikének egyszeri felhasználásával képezzük az összes lehetséges háromjegyű számot, majd véletlenszerűen kiválasztunk közülük egyet. Mekkora annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott szám 500-nál nagyobb? 6/7 Adott a 3x 2y = 12 egyenletű egyenes és két pont: P(4;a), Q(b; 8). Mekkora legyen a és b értéke, hogy a P pont illeszkedjen az egyenesre, a Q pont ne illeszkedjen az egyenesre? 6/8 Az x 2 8 = 8 egyenlettel kapcsolatban melyik állítás igaz? a) Az egyenletnek egy megoldása van. b) Az egyenletnek két megoldása van. c) Az egyenletnek három megoldása van. 6/9 Egy háromszög oldalainak cm-ben vett mértéke egész szám. Legrövidebb oldala 2 cm, leghosszabb oldala 7 cm. Mekkora a háromszög kerülete? 6/10 Pistinek a tanév első felében 8 osztályzata volt matematikából, de sajnos kettőre nem emlékezett: 2, 3, 3, 3, 4, 5, x, y. Azt tudta, hogy a jegyek átlaga 3,375, és arra is emlékezett, hogy a hiányzó jegyek között nincs 5-ös. Mi volt a hiányzó két osztályzat? 6/11 Egy derékszögű háromszög befogói 3 és 8 cm. Egy hozzá hasonló háromszög területe 36 cm 2. Mekkorák ez utóbbi háromszög befogói? 6/12 A valós számok halmazán értelmezettf(x) =x 4x +c 2 függvény értékkészlete:f(x) 4. Határozza meg a függvény zérushelyeit! II. rész (felhasználható idő: 135 perc) A feladatok közül tetszőlegesen választott kettőt kell megoldani 6/13 a) Oldja meg az alábbi egyenletrendszert: 4 x =8 y x +y =1: 6. sorozat 5 pont 21

23 b) Mely pozitív egész számok elégítik ki az alábbi egyenlőtlenség-láncolatot? x 4 256: 7 pont 6/14 Adott a koordináta-rendszerben egy e egyenes: 2x y = 4, valamint három pont: A( 4; 6), B(8; 2), P(2; 10). a) Írja fel az AB egyenes egyenletét! b) Az A ponton átmenő,e-vel párhuzamos egyenes és a B ponton átmenő,e-re merőleges egyenes metszéspontja M. Számítsa ki az M pont koordinátáit! c) Milyen távol van a P pont az e egyenesnek attól a pontjától, amelyik A-tól és B-től egyenlő távolságra van? 6 pont 6/15 Tekintsük az A2BC alakú négyjegyű számokat. a) Hány db ilyen szám van? b) Hány db ilyen szám van, ha azt is megkívánjuk, hogy ne legyenek azonos számjegyeik? c) Véletlenszerűen kiválasztva egy olyan A2BC alakú négyjegyű számot, melynek számjegyei különbözők, mekkora annak a valószínűsége, hogy ez a szám osztható 5-tel? 6 pont 10 cm 8cm 8cm 6/16 Egy leragasztott borítékot látunk az ábrán. Ez egy olyan téglalap, melynek egyik oldala 10 cm. A ragasztáskor lehajtott rész olyan egyenlő szárú háromszög alakú, melynek szárai 8 cm hosszúak. A lehajtott rész területe a téglalap le nem takart része területének negyed része. Milyen hosszú a boríték másik oldala? 17 pont 6/17 Egy teázó asztal alakja olyan szabályos hatszög, melynek oldaterítő az asztal oldalfelező pontjaiba esnek (lásd ábra). lai 80 cm hosszúak. a) Az asztalt egy olyan terítővel akarják letakarni, melynek csúcsai A beázott plafonról véletlenszerűen leesik egy vízcsepp az asztalra. Mekkora annak a valószínűsége, hogy a vízcsepp a terítőre esik? 7 pont b) Három házaspár körbeülte az asztalt. Hányféleképpen ülhettek le, ha azonos neműek nem ülhettek egymás mellé, és házastársak sem ülhettek egymás mellé? (Két elhelyezkedést nem tekintünk különbözőnek, ha azok forgatással egymásba átvihetők.) c) Az ábrán látható tartály úgy származtatható, hogy egy 80 cm oldalú szabályos hatszöget körbeforgatunk két szemközti oldalának felezőpontjain átmenő egyenes körül. Hány liter víz fér a tartályba? Az eredményt két tizedes jegyre kerekítve adja meg! 6 pont 80 cm 22 FELADATOK

24 6/18 Egy repülőmodell-versenyen 2 percen át figyelték a szervezők az egyik modellt. A gép földtől való távolságát az alábbi függvény írja le (az egység azx tengelyen 10 mp, azy tengelyen 5 méter). f (x) = 1 x 2 2x +6 ha 0 x 4; 2 x +10 ha 4< 8; 2 ha 8<x 12. a) Ábrázolja azf (x) függvény grafikonját! 8 pont b) Mikor volt a modell fele olyan magasan, mint a megfigyelés kezdetén? c) Mikor volt a modell a megfigyelés alatt 22 5 m magasan? 5 pont 7. sorozat I. rész (felhasználható idő: 45 perc) 7/1 Legyen az A halmaz azon x valós számok halmaza, melyekre 2 x 7; a halmaz azon x valós számok halmaza, melyekre x 1. Ábrázolja számegyenesen az A \ B halmaz elemeit! 7/2 András Ft-os fizetését 12%-kal megemelték. Feleségének Ft-os fizetését 18%-kal emelték. Hány %-kal növekedett a házaspár együttes fizetése? 7/3 24 cm hosszú asztali olvasólámpa a talppontja körül elfordítható, így a magassága állítható. Milyen magasan van a fényforrás, ha a lámpa az asztal síkjával 38 -os szöget zár be? 24 cm 38 7/4 Adott két vektor: a( 6; 3), b(1; 11). Számítsa ki a 2a b vektor koordinátáit! 7/5 Egy 3 cm élű kocka egyik lapjára ráragasztottunk egy 2 cm élű kockát. Mekkora az így keletkezett test felszíne? 7/6 Az A szám a 10 pozitív osztóinak összege; a B szám a 20 négyzetszám osztóinak az összege. Számítsa ki az A B értékét! m 3 7/7 Egy stratégiai olajtartály feltöltöttségé- nek állapotát szemlélteti az alábbi grafikon. Mikor volt a feltöltöttség harmad akkora, mint a maximális feltöltöttség? hónap I. II. IV. VI. VIII. X. XII. 7. sorozat 23

25 7/8 Állítsa növekvő sorrendbe az ábrán látható a, b, c sza- c kaszokat! a b 48 7/9 A 3, 4, 5, 6 számjegyek felhasználásával 5-tel osztható 4-jegyű számokat készítünk. Hány db ilyen számot képezhetünk, ha egy számjegy többször is felhasználható? 7/10 Két pozitív egész szám számtani közepe 30. Az egyik szám a másiknak a harmada. Melyek ezek a számok? 7/11 Oldja meg az x >4 valós számok halmazán az alábbi egyenletet! log 3 (2x 2) log 3 (x 4) = 1: 7/12 Az ABCD négyzet középpontja a négyzet átlójának egyik harmadoló pontjától 2 távolságra van. Mekkora a négyzet oldala? II. rész (felhasználható idő: 135 perc) A feladatok közül tetszőlegesen választott kettőt kell megoldani I. II. III. 9. évf évf évf évf /13 Az iskolai kamara színjátszó kör három előadást tartott az elmúlt tanévben. Ezeknek az előadásoknak a látogatottságát mutatja az alábbi táblázat évfolyamonkénti bontásban. a) Számítsa ki az átlagos nézőszámot! b) Mindhárom előadást 2 diák látta. 20-an voltak azok, akik az I. előadást látták, de a II.-ra nem mentek el, 26-an látták a III. előadást, de nem voltak ott az I. előadáson. 9 olyan tanuló volt, aki a II. és a III. előadást is látta. Hány olyan tanuló volt, aki pontosan egy előadásra ment el? 8 pont 7/14 A piros, sárga, zöld, kék és fehér színek felhasználásával 4 csíkból álló zászlót kell készíteniük a gyerekeknek az óvodában. a) Hány különböző zászlót készíthetünk így, ha szomszédos csíkok nem lehetnek azonos színűek? b) Hány különböző zászló készülhet, ha egy szín csak egyszer használható? c) Egy alkalommal az óvó néni azt mondta a 22 főből álló csoportnak: Most úgy kell zászlót készíteni, hogy csak két szín használható, és a szomszédos csíkok nem lehetnek azonos színűek. Meglátjátok: biztosan lesz két olyan kisgyerek, aki ugyanolyan zászlót készített. Honnan tudta ezt az óvó néni? 5 pont 7/15 Egy zárt tartályban valamilyen gázkeveréket tárolnak. A tartályban levő p nyomás mérőszáma a tengerszinten mért p 0 nyomás mérőszámától, a tengerszint feletti h méterben vett magasságtól, valamint a C-ban mért hőmérséklettől függ az alábbi módon p = p 0 h t 100: 24 FELADATOK

26 a) Mekkora a nyomásh = 720 m magasságban, 12 C hőmérsékleten, hap 0 =2 8? Az eredményt egy tizedes jegyre kerekítve adja meg! 5 pont b) Milyen magasságban lesz 15 C-on a nyomás negyed akkora, mint a tengerszinten ugyanekkora hőmérsékleten mért nyomás? 7 pont 7/16 Egy kör középpontja K (4; 6), sugara r =5. a) Írja fel a kör egyenletét! b) Mekkora húrt metsz ki a kör a koordinátatengelyekből? 5 pont c) A kör II. síknegyedbe eső részének a területe hány százaléka a kör területének? 9 pont 7/17 Egy dél-alföldi kisváros templomának tetőzetét látjuk az ábrán. Ez egy olyan négyzet alapú egyenes gúla, mely alapnégyzetének oldala 4 4 m, oldaléle 7 m. 7m a) Mekkora a templom tetőzetének a légtere? Az eredményt m 3 - ben, két tizedes jegyre kerekítve adja meg! b) A tetőzetet tetőfedő cseréppel akarják lefedni, előtte azonban le akarják festeni a külső felületét egy speciális szigetelő festékkel. Ehhez összesen 124 liter festéket használtak fel. Mennyi festékre 4 4 m van szükség 1 m 2 felület lefestéséhez? 5 pont c) A tetőzet cseréppel való lefedésekor minden oldallapon a legfelső sorban (a csúcsnál) 1 db cserepet helyeznek el, majd minden sorban 3-mal többet, mint a megelőző sorban. Összesen 32 sor cserép kell minden oldallapon. Hány db cserepet használnak fel a teljes tetőzet cserepezéséhez? 8 pont 7/18 Tekintsük az f (x) = x +12x 2 és g(x) =x 2 képlettel megadott függvényeket. a) Hány db prímszám van az f (x) függvény f értelmezési tartományában? 5 pont b) Ábrázolja számegyenesen a h(x) = (x) függvény értelmezési tartományát! g(x) c) Adja meg az f (x) függvény értékkészletét! d) Mely x 0 valós számok esetén lesz az f (x) függvény értéke egyenlő a g(x) függvény értékével? 8. sorozat 25