10. Exponenciális rendszerek

Átírás

1 1 Exponenciális rendszerek 1 Egy boltba exponenciális időközökkel átlagosan percenként érkeznek a vevők két eladó, ndrás és éla, átlagosan 1 illetve 6 vevőt tud óránként kiszolgálni mennyiben egy vevő érkezésekor a rendszer üres, őt az esetek felében ndrás, másik felében éla szolgálja ki a Felrobban-e a rendszer? z időnek mekkora hányadában dolgozik ndrás és éla? b bolt tulajdonosa összesen 3 forint órabért fizet a két alkalmazottnak, melyet a kiszolgált vevők számának arányában osztanak el Mennyit kap ndrás és mennyit éla? c Tegyük fel, hogy a két eladó nem egy üzlethelységben, hanem a város két különböző pontján fogadja a vevőket Felrobban-e a rendszer, ha a kuncsaftok 1/ 1/ valószínűséggel választják a két üzlethelységet? a vevők érkezési intenzitása = 15, a kiszolgálási intenzitások = 1 és = 6, legyen továbbá = + = 16 Jelölje 1 valamint 1 azt az állapotot, mikor egy vevő van a boltban, és őt ndrás illetve éla szolgálja ki z intenzitási diagramm: / 1 / 3 1 rendszer nem robban fel, ugyanis nagy (n 3) rendszerméret esetén ez egy egyszerveres exponenciális sorbanállási modell, melyben a kiszolgálási intenzitás nagyobb, mint a érkezési intenzitás z intenzitási egyenletek: : 1 : 1 : : 3 : : π 1 + π 1 = (/)π + (/)π π + (/)π = π 1 + π 1 π + (/)π = π 1 + π 1 π 3 + π 1 + π 1 = π + π + π π + π = π 3 + π 3 π 5 + π 3 = π + π Legyen π 1 = π 1 + π 1 ekkor az első három egyenletet összeadva π = π 1, amiből π 1 = π 1

2 második és a harmadik egyenletből π 1 -t illetve π 1 -t kifejezve π 1 = π + (/)π +, π 1 = π + (/)π + Ezeket az első egyenletbe helyettesítve és a π változót kifejezve π = ( + + ) ( + )( + ) ( + ) ( + ) π = T π = 533π negyedik egyenlet rendezése és behelyettesítés után π 3 = π + π ] π 1 = π 3 állapottól kezdve a rendszer egy egyszerveres sorbanállási modell, vagyis a szokásos módszerrel ( ) π ( ) 3π ( ) n π π =, π 5 =,, π n =, n Tehát 1 = π + π 1 + π + π 3 + π + = = T / Visszahelyettesítés után T ( ) ] + + π ] π = 176π, amiből π = 57 π = 3, π 1 = 3, π 1 = 38, π n = 9375 n 57, n ndrás az időnek π = 1 (π +π 1 ) = 93, éla π = 1 (π +π 1 ) = 97 részében dolgozik b ndrás egy órából π időt dolgozik, vagyis átlagosan π = 93 vevőt szolgál ki Ez az érték élánál π = 568 Természetesen = 15 az óránként betérő vevők átlagos száma pénzt 93 : 568 arányban osztják el, tehát ndrásnak 186, élának pedig 1136 forint jár c Mivel a vevők = 15 intenzitású Poisson folyamatot alkotnak, és az egyes vevők lényegében pénzfeldobással választanak a két üzlethelység között, az eredeti Poisson folyamat p = 1/ valószínűség szerinti ernoulli felbontását kapjuk, vagyis az egyes üzletekbe érkező vevők független Poisson folyamatokat alkotnak mindkét esetben = p = 75 intenzitással Mivel a vevők a két üzletbe függetlenül érkeznek, és ndrás és éla kiszolgálási ideje sincs hatással egymásra, két teljesen független egyszerveres sorbanállási folyamatot kapunk ndrás = 1 kiszolgálási intenzitása nagyobb, mint a = 75 érkezési intenzitás, tehát ő bírni fogja a vevők rohamát Ezzel szemben éla rendszere felrobban, hiszen az ő kiszolgálási intentiztása csak = 6

3 Egy ügyfélszolgálati irodában ablak van, melyek 1 perc várható értékű exponenciális eloszlás szerint szolgálják ki az ügyfeleket z ügyfelek exponenciális időközökkel érkeznek, óránként átlagosan 6 Sajnos az ablakok olyan módon vannak kialakítva, hogy az ablaktól csak akkor tud az ügyfél távozni, ha senki sem áll a ablaknál, vagy esetleg éppen távozik valaki a ablaktól ablak forgalma nincs akadályozva z iroda mérete végtelen, és ha csak egy ügyfél van a rendszerben, őt az ablakhoz hívják Ábrázoljuk az intenzitási diagrammot Óránként hány ügyfelet tud kiszolgálni a két ablak együttesen? Felrobban-e a rendszer? z ügyfelek = 6 intenzitással érkeznek, az egyes ablakok = 5 intenzitással intézik az ügyeket diagramm: Egy utazási irodában egy alkalmazott dolgozik Ha érkezik egy érdeklődő, akkor 1 perc várható értékű exponenciális ideig tart, amíg az érdeklődő elmondja, hogy mit szeretne, és várható értékű exponenciális ideig tart, amíg az alkalmazott elkészíti számára az ajánlatot z ajánlatkészítés után az érdeklődő távozik (z igény előadásához szükséges idő és az ajánlatkészítéshez szükséges idő egymástól függetlenek) potenciális érdeklődők 1 intenzitású Poisson folyamat szerint érkeznek a Ábrázoljuk a rendszer intenzitási diagrammját b Tegyük fel, hogy egy érdeklődő csak akkor tér be, ha nincs másik vevő az irodában Óránként átlagosan hányan jönnek be? a Legyen = 1 az érdeklődők érkezési intenzitása, = 1 a vevők kérésének intenzitása, végük = 15 az ajánlat elkészítésének intenzitása Jelölje n és n azt az állapotot, hogy a rendszerben n 1 ügyfél tartózkodik, és a kiszolgálás az első illetve a második fázisban tart Egy utcai cipőpucoló órákban számolva n = és = paraméteres Erlang eloszlású idő alatt teszi rendbe a kuncsaftok cipőjét cipőpucoló először 3

4 letisztítja, majd kifényesíti a cipőket Mindkét munkafázis 3 perc várható értékű exponenciális ideig tart, így jön ki a teljes kiszolgálásra a fenti Erlang eloszlás Tegyük fel, hogy óránként 15 potenciális kuncsaft érkezik, de egy vendég csak akkor fog megállni, ha a rendszer üres, vagy ha előtte csak egy ember van a rendszerben, akinek már fényesítik a cipőjét z időnek mekkora hányadában dolgozik a cipőtisztító? Óránként hány embert tud kiszolgálni? 5 Egy fodrászatban egy mester dolgozik, és óránként 3 vendég érkezik Egy hajmosás átlagosan 5 percig, egy hajvágás 15 percig tart (Férfi fodrászatról van szó) mester mindenkinek levágja a haját, de előtte mosást csak a vendégek negyede két a Ábrázoljuk meg a rendszer intenzitási diagrammját Óránként átlagosan hány vendéget szólgál ki a mester? Felrobban-e a rendszer? b Tegyük fel, hogy egy új vendég csak akkor tér be a fodrászatba, ha előtte nincsen várakozó, tehát legfeljebb egy vendég van a rendszerben Óránként hány kuncsaftot szolgál ki a mester? a Legyen = 3 a vendégek érkezési intenzitása, = 1 és = mosás illetve a hajvágás intenzitása Jelölje továbbá n és n azt az állapotot, hogy a rendszerben n kuncsaft található, és a mester az első illetve a második munkafázist végzi z intenzitási diagramm: Egy vendég kiszolgálási idejének várható értéke / 5 = 165 perc, ami kevesebb, mint a kuncsaftok perces érkezési időköze Tehát a rendszer stabil 6 Tekintsünk egy női fodrászt, aki hajfestéssel foglalkozik Egy festés átlagosan 15 percig tart, de a vendégnek attól függetlenül, hogy már hányat próbált ki, 5 százalék valószínűséggel nem tetszik a kapott szín, és új festést kér Óránként 3 vendég érkezik Ábrázoljuk az intenzitási diagrammot Óránként átlagosan hány hölgyet szolgálnak ki? Felrobban-e a rendszer? Legyen = 3 és = 3 1 3/ / / / / 3/ 3/ 3 3/ 3/

5 7 Egy tigris idejét alvással, vadászattal és evéssel tölti Minden tevékenység időtartama exponenciális eloszlást követ, átlagosan 5 órát alszik, órán át vadászik és 1 órán keresztül eszik z időnek mekkora arányában alszik, ha a mindig betartja az alvás vadászat evés sorrendet? b egy-egy táplálkozás után rendre 5 valószínűszínűséggel marad élelme, így a következő alkalommal nem kell elmennie vadászni? c egy frissen elfogott zsákmányból 5 valószínűszínűséggel marad élelme, de ezt akkor a következő alkalommal mind megeszi? Legyen = 1/5 az alvás, V = 1/ a vadászat, végül E = 1 az evés intenzitása Jelölje továbbá, V és E azt az állapotot, hogy a vizsgált pillanatban a tigris alszik vadászik illetve eszik a z intenzitási diagramm és az intenzitási egyenletek: E E V V E π E = π π = V π V V π V = E π E z első két egyenletből 1 = π + π V + π E = ] π = 8 V E 5 π, vagyis a kérdéses időarány π = 65 z eredmény az időtartamok hosszának várható értékéből is kijött volna, hiszen 5/( ) = 65 8 ferihegyi repülőtérről 1 fős kisbusszokkal is be lehet jutni a városba z utasok átlagosan 3 percenként érkeznek, és egy járat akkor indul, mikor tele van a busz Feltéve, hogy mindig van szabad busz, adjuk meg az indulásra váró utasok átlagos számát, illetve az átlagos várakozási időt 5