4. Előadás: Sorbanállási modellek, I.
|
|
- Lajos Kis
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 4. Előadás: Sorbanállási modellek, I. Wayne L. Winston: Operációkutatás, módszerek és alkalmazások, Aula Kiadó, Budapest, 2003 könyvének 20. fejezete alapján... A sorbanállási elmélet alapfogalmai A sorbanállási elmélet két legfontosabb alapfogalma a beérkezési folyamat, a kimeneti vagy kiszolgálási folyamat. Néhány példa sorbanállási rendszerekre: ) Banki ügyfélkiszolgálás. Ekkor a beérkezési folyamatot a bankfiókba véletlenszerűen beérkező ügyfelek, a kiszolgálást a banktisztviselők által végrehajtott különböző banki tranzakciók, a kimeneti folyamatot pedig a bankfiókból távozó ögyfelek jelentik. 2) Pizza házhozszállítás. Ebben a sorbanállási rendszerben a beérkezési folyamatot a pizzarendelések beérkezése, a kiszolgálást a pizzák elkészítés és dobozokba helyezése, a kimeneti folyamatot pedig a pizzák kerékpárokkal, vagy motorokkal történő kiszállításai jelentik. 3) Autóbusz karbantartó műhely. Ebben a sorbanállási rendszerben a beérkezési folyamatot a karbantartásra beérkező autóbuszok, a kiszolgálást az autóbuszok karbantartása, a kimeneti folyamatot az autóbuszok újboli üzembehelyezései jelentik. A beérkezési folyamat esetén általában feltesszük, hogy minden adott pillanatban egyszerre csak egy ügyfél érkezhet a sorbanállási rendszerbe. Ez irreális lehet pl. egy étterem esetében. Ilyen sorbanállási rendszerekben megengedjük a többszörös beérkezéseket is. Azt is feltételezzük általában, hogy a beérkezési folyamatot nem befolyásolja, hogy éppen hány ügyfél tartózkodik a sorbanállási rendszerben. Emellett a feltételezés mellett a véletlen beérkezési folyamatot a két egymásutáni beérkezés között eltelt idő valószínűségeloszlásának a megadásával írhatjuk le. Van azonban két olyan eset is, amikor a beérkezési folyamat függhet a rendszerben lévő (várakozó) ügyfelek számától.
2 Az első ilyen eset az, amikor a sorbanállási rendszerbe nagyon kislétszámú alapsokaságból érkezhetnek csak be ügyfelek. Gondoljunk például egy olyan autóbusz karbantartó műhelyre, amelyik csak öt autóbusz karbantartásával foglalkozik. Ha véletlenül éppen mind az öt autóbusz karbantartás alatt áll, akkor a közeljövőben biztosan nem fog több autóbusz karbantartásra beérkezni és fordítva, ha mind az autóbusz kint van a forgalomban, akkor nagyon valószínű, hogy legalább az egyik közülük előbb, vagy utóbb karbantartásra fog jelentkezni. Az ilyen sorbanállási modelleket véges forrású modelleknek nevezzük. A második ilyen eset az, amikor amikor az ügyfeleknek a kiszolgálóhelyre való beérkezési sebessége csökken, amint a kiszolgálóhely túlzsúfolttá válik. Például, ha azt látjuk, hogy egy étterem kerthelyiségében minden asztalnál vendég ül, és már elég hosszú sor is várakozik megüresedő asztalra, akkor továbbmegyünk és keresünk egy másik, kevésbé zsúfolt kerthelyiséggel bíró éttermet. Ilyen esetben, azaz amikor az éppen érkező ügyfélnek nem sikerül belépnie a sorbanállási rendszerbe, azt mondjuk, hogy az ügyfél elveszett (a sorbanállási rendszer számára). A kimeneti vagy kiszolgálási folyamat leírásához alapvetően meg kell adni egy ügyfél véletlentől függő kiszolgálási idejének a valószínűségeloszlását. Általában feltesszük, hogy a kiszolgálási idő független a sorbanállók számától, tehát a kiszolgáló nem dolgozik gyorsabban, ha többen várnak rá. Ha egy sorbanállási rendszerben egynél több kiszolgáló van, akkor azok elrendezése szerint mek kell különböztetni párhuzamos kiszolgálóhelyeket és soros kiszolgálóhelyeket. Az előbbi esetben minden kiszolgálóhely ugyanazt a típusú kiszolgálást végzi és az ügyfeleknek csak egy kiszolgálóhelyen kell keresztülmenniük ahhoz, hogy a kiszolgálásuk befejeződjön. Például a banki kiszolgálóhelyek elrendezése általában párhuzamos. Ezzel szemben a kiszolgálóhelyek elrendezését akkor nevezzük sorosnak, ha az ügyfeleknek több kiszolgálóhelyen kell átmenniuk ahhoz, hogy befejeződjék a kiszolgálásuk. Erre tipikus példa egy szerelőszalag működése. A kiszolgálási folyamat másik fontos jellemzője az alkalmazott kiszolgálási szabály. Ez adja meg az ügyfelek kiszolgálásának a sorrendjét. A lehetséges kombinációk angol elnevezésének kezdőbetüivel azonosítva megkülönböztetünk FCFS First Come First Served kiszolgálási szabályt (gyakran nevezik FIFO First In First Out szabálynak is); LCFS 2
3 Last Come First Served kiszolgálási szabályt (hasonlóan úgy is nevezik, hogy LIFO Last In First Out szabály) valamint SIRO Service In Random Order kiszolgálási szabályt. Talán sokak számára igazságtalannak tűnik az LCFS szabály alkalmazása, ez azonban többnyire fizikai kényszerhelyzet hatására mégis kialakulhat. Ilyen például, amikor egy zsúfolt liftbe szállunk be, mikoris az fog először kiszállni a liftből, aki utoljára szállt be. Végül szólni kell a Magyarországon csak a legutóbbi időben alkalmazni kezdett kiszolgálási szabályról, amikor több, párhuzamosan működő kiszolgálóhelyhez az ügyfelek egyetlen sorban állnak és az éppen felszabaduló kiszolgálóhely mindig az éppen a sor elején álló ügyfelet fogadja. Enélkül, vagyis ha minden kiszolgálóhelyhez külön sor áll, az ügyfelek mindig igyekeznek a legrövidebb sort választani, amelynek a megtalálása nem minden estben triviális. Ha több sor van a sorbanállási rendszerben, akkor azt is rögzíteni kell, hogy az ügyfelek sorbanállás közben átmehetnek-e az egyik sorból a másikba, illetve bizonyos szabályokkal be lehet indítani egy vagy több gyors kiszolgálásra használt kiszolgálóhelyet is (nagy bevásárlóközpontok gyorspénztárai)..2. A beérkezési és kiszolgálási folyamatok modellezésére használt legfontosabb valószínűségeloszlások A beérkezési folyamat modellezése. Mivel feltettük, hogy egy adott időpillanatban csak egy beérkezés történhet, azért jelölhetjük t i -vel azt az időpontot, amikor az i-edik ügyfél megérkezik, i =,2,...,n,... Jelölje η i = t i+ t i, i =,2,...,n,... a két egymásutáni ügyfélbeérkezés között eltelt véletlen időszakaszokat, melyekről feltételezzük, hogy egymástól független, folytonos és azonos eloaszlású valószínűségi változók, melyek eloszlása megegyezik valamely η valószínűségi változó eloszlásával. Ez a feltevésünk azt jelenti, hogy bármely két egymásután beérkező ügyfél beérkezési időpontjai közötti véletlen időtartam hossza független attól, hogy melyik napszakban, vagy a hét melyik napjában vagyunk, azaz az ügyfelek beérkezési folyamata stacionárius. Tegyük fel, hogy a közös η valószínűségi változónak G(t) = P(η t) a valószínűségi eloszlás- 3
4 függvénye és létezik a g(t) sűrűségfüggvénye, mellyel P(η c) = c 0 g(t)dt és P(η > c) = c g(t)dt. Mérjük az egymásutáni ügyfélbeérkezések között eltelt időt mondjuk órában, és jelöljük -val a két egymásutáni beérkezés között eltelt átlagos óramennyiséget: λ λ = 0 tg(t)dt Ekkor az óránkénti beérkezések számával mért it beérkezési gyakoriság értéke éppen λ lesz. Szoktuk ezt a beérkezési folyamat intenzitásának is nevezni. erre Az η valószínűségi változót leggyakrabban exponenciális eloszlásúnak választják, g(t) = E(η) = λ, λe λt, ha t 0 0, különben, D 2 (η) = λ 2, vagyis az eloszlás λ > 0 paramétere éppen a beérkezési folyamat intenzitását, azaz az óránként beérkező ügyfelek átlagos, vagy várható számát jelenti. Egy további szép (és karakterizáló) tulajdonsága az exponenciális eloszlásnak az úgynevezett örökifjú tulajdonság, amit úgy is mondhatunk, hogy az eloszlásnak nincs emlékezete : P(η > t+h η t) = P(η > h) Az egymásutáni beérkezések között eltelő véletlen időre átfogalmazva ez azt jelenti, hogy ha tudni akarjuk a következő beérkezésig eltelő idő eloszlását, akkor nem számít, hogy mennyi idő telt el az előző beérkezés óta. Eszerint a jövőbeli beérkezések tulajdonságainak előrejelzéséhez nem kell feljegyeznünk, hogy milyen régen volt az utolsó beérkezés. Ez a megfigyelés jelentősen leegyszerűsíti a sorbanállási rendszerek elemzését. Egy ζ diszkrét valószínűségi változót λ > 0 paraméterű Poisson eloszlásúnak nevezünk, ha P(ζ = n) = λn n! e λ,n = 0,,... 4
5 Ekkor a valószínűségelméletből jól ismert, hogy Bizonyítható a következő állítás: E(ζ) = D 2 (ζ) = λ... Tétel: Két beérkezés közt eltelt idő eloszlása akkor és csak akkor λ paraméterű exponenciális eloszlású, ha a beérkezések száma tetszőleges t hosszúságú időintervallumon λt paraméterű Poisson eloszlású. Az.. Tétel értelmében, amennyiben ζ t -vel jelöljük egy tetszőleges t hosszúságú időintervallumon történő beérkezések számát, akkor P(ζ t = n) = (λt)n e λt,n = 0,,... n! és ezért E(ζ t ) = D 2 (ζ t ) = λt, vagyis átlagosanλt beérkezés történik egythosszúságú időintervallumban, így λ jelentése a korábbiakban mondottakkal megegyező módon most is az időegység alatt történő beérkezések száma, vagy a beérkezési gyakoriság. A következő.2. tétel arra ad választ, hogy milyen egyszerűen megfogalmazható feltételek teljesülése esetén teljesül két egymásutáni beérkezés között eltelő időre, hogy az λ paraméterű exponenciális eloszlású?.2. Tétel: Ha teljesül a két egymást követő beérkezés között eltelő időre, hogy a) az egymást át nem fedő időintervallumokon történő beérkezések számai egymástól függetlenek, b) kis t értékekre (és tetszőleges t-re), annak a valószínűsége, hogy a t és t + t időpontok között egy beérkezés történik λ t + o( t), ahol o( t) ( kis ordó t ) o( t) tetszőleges olyan mennyiség lehet, amelyre lim = 0. t 0 t Ezenkívül annak a valószínűsége, hogy t és t+ t között nem lesz beérkezés, λ t+o( t), és annak a valószínűsége, hogy t és t+ t között egynél több beérkezés lesz, o( t), akkor tetszőleges t hosszúságú időintervallum alatti beérkezések ζ t száma Poisson eloszlású λt paraméterrel és bármely két egymást követő beérkezés közt eltelt idő exponenciális eloszlású λ paraméterrel. 5
6 . Példa. Dick kocsmájában az óránként rendelt (korsó) sörök mennyisége Poisson eloszlást követ, óránként 30 korsó átlaggal.. Határozzuk meg annak a valószínűségét, hogy este 0 óra és éjfél között nem fognak 60-nál több sört rendelni! 2. Határozzuk meg a reggel 9 és délután óra között rendelt sörök átlagát és szórását! 3. Határozzuk meg annak a valószínűségét, hogy két egymást követő rendelés és 3 Megoldás: perc időtávolság között for megtörténni!. Az este 0 óra és éjfél között rendelt sörök mennyisége Poisson eloszlású lesz 2 30 = 60 paraméterrel. Ezért annak a valószínűsége, hogy 0 óra és éjfél között pontosan 60 sört fognak rendelni: 60 k=0 60 k k! e 60 0, Óránként λ = 30 sört rendelnek átlagosan és időszakunk t = 4 óra hosszú. Ezért a reggel 9 és délután óra között rendelt sörök átlaga 4 30 = 20 sör. Az ugyanezen időszakban rendelt sörök szórása pedig 20 = 0,95 sör. 3. Jelöljük η-val két egymást követő sörrendelés között eltelő idő véletlen tartamát most percben. Ekkor η exponenciális eloszlású, amely eloszlás λ paramétere pontosan egyenlő az időegységenként átlagosan megrendelt sörök számával. Mivel óránként átlag 30 korsó sört rendelnek, ez percenként átlag 30 = 0,5 sör megrendelését és kiszolgálását jelenti. Ezért η sűrűségfüggvénye: 0,5e 0,5t, ha t Így P( η 3) = 3 0,5e 0,5t dt = e 0,5 e,5 0,38. Ha a beérkezések között eltelt idő elszlása nem tekinthető exponenciálisnak, akkor gyakran használják az Erlang eloszlást. Egy η folytonos valószínűségi változó Erlang eloszlású, ha a g(t) sűrűségfüggvénye: g(t) = R(Rt)k e Rt, ha t 0. (k )! 6
7 Itt R az un. arányparaméter, k pedig az un. alakparaméter. Parciális integrálással könnyen megmutatható, hogy E(η) = k R és D2 (η) = k R 2. Ha az arányparamétert az alakparaméter pozitív valós számszorosának vesszük, azaz R = kλ, akkor k = esetén visszakapjuk az R = λ paraméterű exponenciális eloszlást, míg k értékének növelésével az Erlang eloszlás egyre jobban közelíti a normális eloszlást. Az is megmutatható, hogy a k alakparaméterű és kλ arányparaméterű Erlang eloszlás megegyezik annak az η +η 2 + +ηk valószínűségi változónak az eloszlásával, amelyre az η i valószínűségi változók független, kλ paraméterű exponenciális eloszlásúak. A kiszolgálási folyamat modellezése. Feltesszük, hogy a különböző ügyfelek kiszolgálási idői független valószínűségi változók és hogy az egyes ügyfelek kiszolgálási időit a ξ valószínűségi változó írja le, amelynek a sűrűségfüggvénye f(t). Legyen µ az ügyfelek kiszolgálási időinek az átlaga. Nyilván µ = 0 tf(t)dt. jelentése tehát az ügyfél kiszolgálásával eltöltött órák száma, így µ az ügyfelek óránkénti számát jelenti. Ezért µ-t kiszolgálsi gyakoriságnak is nevezhetjük. Például µ = µ 5 azt jelenti, hogy ha az ügyfelek folyamatosan érkeznének, akkor a kiszolgálóhely átlagosan 5 ügyfelet tudna kiszolgálni óránként, és az egy ügyfélre jutó átlagos kiszolgálási idő óra lenne. Azt reméljük, hogy a kiszolgálási időtartamokat is megfelelően modellezhetjük exponenciális eloszlással. Ekkor ξ f(t) sűrűségfüggvénye az f(t) = µe 5 µt exponenciális formát ölti és az ügyfél átlagos kiszolgálási ideje lesz. Nyilván való, hogy µ az exponenciális eloszlás örökifjú tulajdonsága a kiszolgálási folyamat elemzésekor is jól hasznosítható, hiszen nem kell tudni, hogy mikor kezdődött egy ügyfél kiszolgálása, a hátramaradó kiszolgálási idő ugyanolyan exponenciális eloszlású. Ha a kiszolgálási időre nem fogadható el, hogy exponenciális eloszlású lenne, akkor szokás azt is Erlang eloszlással is modellezni. 2. Példa. Egy hipermarket pénztáránál a kiszolgálási idő exponenciális eloszlású és átlagosan 4 percet vesz igénybe. 7
8 . Amikor beállunk ehhez a pénztárhooz csak egyetlen vevő kiszolgálása folyik éppen. Mi a valószínűsége annak, hogy 6 percnél is többet kell majd várnunk arra, hogy megkezdődjön a mi kiszolgálásunk? 2. Ha feltesszük, hogy a vevők folyamatosan érkeznek a pénztárhoz kiszolgálásra, akkor mennyi annak a valószínűsége, hogy a pénztáros egy óra alatt legalább 20 vevőt is kiszolgál? Megoldás:. A ξ kiszolgálási idő exponenciális eloszlásának a paramétere λ = E(ξ) = 4. Mivel az exponenciális eloszlás örökifjú tulajdonsága miatt teljesen mindegy, hogy az éppen kiszolgálás alatt álló vevő kiszolgálása hány perccel korábban kezdődött, azért P(ξ 6) = F(6) = [ e 6/4] = e 3 0, A pénztár által egy óra, azaz hatvan perc alatt kiszolgált vevők η száma λt = 60 = 5 paraméterű Poisson eloszlású, ezért 4 P(η 20) = 9 i=0 5 i i! e 5 = 0,8752 = 0,248. Mind a beérkezési, mind a kiszolgálási folyamat fontos speciális esete a determinisztikus (nulla szórású) eset. Ekkor az egymásutáni beérkezések között eletelő idő hossza mindig pontosan λ és a a kiszolgálási idők pegig mindig pontosan µ hosszúságúak lesznek. A várakozási időkkel kapcsolatban egy érdekes jelenség az úgynevezett várakozási idő paradoxona. Tegyük fel, hogy egy diákotthon előtt megálló buszok érkezési ideje 60 perc várható értékű exponenciális eloszlással írható le. Ha véletlenszerűen érkezünk a diákotthon előtti buszmegállóhoz, átlagosan mennyi időt kell várnunk a következő buszra? Ha úgy okoskodunk, hogy a két egymásután érkező busz érkezése közt eltelő 60 perces intervallumban egyenletes eloszlással érkezünk, akkor az átlagos várakozási időt nyilván 30 percre jósoljuk. Tudjuk azonban az exponenciális eloszlás örökifjú tulajdonságából, 8
9 hogy bármikor érkezünk is, mindig úgy vehetjük, mintha éppen akkortól kezdődne a következő busz érkezésének az időszámítása, tehát a várható várakozási idő 60 perc. A paradoxon nemcsak exponenciális eloszlású érkezési idők mellett áll fent. Tekintsünk egy olyan buszmegállót, amelybe átlagosan 60 percenként érkeznek a buszok. Legyen a beérkezési folyamat egy realizációja 30, 90, 90 és 30 perc távolságú beérkezési sorozat. Ekkor = 3 valószínűséggel érkezünk egy 90 perces követési intervallum alatt 4 60 a megállóba és 240 = valószínűséggel érkezünk egy 30 perces követési intervallum 4 alatt a megállóba. Ezért az átlagos hosszúságú követési intervallum, amelyben az utas megérkezik a megállóba = 75 perc. Ezért az átlagos várakozási időnk a 75 4 perc fele, azaz 37,5 perc lesz, ez pedig több, mint 30, amire az átlagos 60 perces követési távolságok mellett számítottunk volna. A sorbanállási rendszerek Kendall Lee-féle jelölésrendszere. Kendall 95-ben javasolta a sorbanállási rendszerek hat jellemzővel történő leírását: /2/3/4/5/6 Az első jellemző a beérkezési folyamat tulajdonságát adja meg: M = A beérkezési időtartamok független, azonos exponenciális eloszlású valószínűségi változók, D = A beérkezési időtartamok determinisztikusak, E k = A beérkezési időtartamok független, azonos Erlang eloszlású valószínűségi változók k paraméterrel, GI = A beérkezési időtartamok függetlenek, azonos eloszlásúak és valamely általános (general) eloszlásból származnak. A második jellemző a kiszolgálási idő tulajdonságát adja meg: 9
10 M = A kiszolgálási időtartamok független, azonos exponenciális eloszlású valószínűségi változók, D = A kiszolgálsi időtartamok determinisztikusak, E k = A kiszolgálási időtartamok független, azonos Erlang eloszlású valószínűségi változók k paraméterrel, G = A kiszolgálási időtartamok függetlenek, azonos eloszlásúak és valamely általános (general) eloszlásból származnak. A harmadik jellemző a párhuzamos kiszolgálóhelyek száma. A negyedik jellemző a sorbanállási szabályt írja le: FCFS = Az első beérkezőt szolgálják ki először (First Come, First Served) LCFS = Az utolsó beérkezőt szolgálják ki először (Last Come, First Served) SIRO = Véletlen sorrendben történő kiszolgálás (Service In Random Order) valószínűségi változók k paraméterrel, GD = Általános kiszolgálási szabály (General queue Discipline) Az ötödik jellemző a rendszerben lévő ügyfelek maximálisan megengedhető számát adja meg (beleértve a várakozó és az éppen kiszolgálás alatt álló ügyfeleket is). A hatodik jellemző megadja annak az alapsokaságnak a nagyságát, amelyből az ügyfelek származnak. Ha a potenciális ügyfelek számának nagyságrendje jóval nagyobb a kiszolgálóhelyek számának nagyságrendjénél, akkor az alapsokaság nagyságát végtelennek tekintjük. A jelölésrendszer illusztrálásaként az M/E 2 /8/FCFS/0/ például egy olyan kórházat jelenthet, ahol 8 orvos dolgozik, a két beérkezés között eltelt idők exponenciális eloszlásúak, a kiszolgálási idők eloszlása 2 alakparaméterű Erlang eloszlás, a kiszolgálás érkezési sorrendben történik és a kórház 0 betegnyi kapacitással rendelkezik. 0
Operációkutatás. 4. konzultáció: Sorbanállás. Exponenciális elsozlás (ismétlés)
Operációkutatás NYME KTK, gazdálkodás szak, levelező alapképzés 2002/2003. tanév, II. évf. 2.félév Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Információ Technológia Tanszék 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt.
Részletesebbene (t µ) 2 f (t) = 1 F (t) = 1 Normális eloszlás negyedik centrális momentuma:
Normális eloszlás ξ valószínűségi változó normális eloszlású. ξ N ( µ, σ 2) Paraméterei: µ: várható érték, σ 2 : szórásnégyzet (µ tetszőleges, σ 2 tetszőleges pozitív valós szám) Normális eloszlás sűrűségfüggvénye:
Részletesebben6. Előadás: Sorbanállási modellek, III.
6. Előadás: Sorbanállási modellek, III..5. Az M/M//GD/c/ sorbanállási rendszer Az ebben a szakaszban vizsgált sorbanállási rendszer piktogrammja az. ábrán látható. Ennek értelmében a születési halálozási
Részletesebben10. Exponenciális rendszerek
1 Exponenciális rendszerek 1 Egy boltba exponenciális időközökkel átlagosan percenként érkeznek a vevők két eladó, ndrás és éla, átlagosan 1 illetve 6 vevőt tud óránként kiszolgálni mennyiben egy vevő
Részletesebbenelőadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás
13-14. előadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás 2016. november 28. és december 5. 13-14. előadás 1 / 35 Bevezetés A diszkrét
Részletesebben8. Előadás: Szimuláció, I.
8. Előadás: Szimuláció, I. Wayne L. Winston: Operációkutatás, módszerek és alkalmazások, Aula Kiadó, Budapest, 2003 könyvének 21. fejezete alapján. A szimulációt komplex rendszerek elemzésére, tanulmányozására
RészletesebbenGazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport Definiálja az alábbi fogalmakat!. Egy eseménynek egy másik eseményre vonatkozó feltételes valószínűsége. ( pont) Az A esemény feltételes valószínűsége
RészletesebbenBIOMATEMATIKA ELŐADÁS
BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 9. Együttes eloszlás, kovarianca, nevezetes eloszlások Debreceni Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csanád A diasor tartalma 1 Bevezetés, definíciók Együttes eloszlás Függetlenség
RészletesebbenGazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással,
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, levelező képzés Definiálja az alábbi fogalmakat! 1. Kvadratikus mátrix invertálhatósága és inverze. (4 pont) Egy A kvadratikus mátrixot invertálhatónak
RészletesebbenA következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.
Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ
RészletesebbenMatematika A3 Valószínűségszámítás, 5. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév
Matematika A3 Valószínűségszámítás, 5. gyakorlat 013/14. tavaszi félév 1. Folytonos eloszlások Eloszlásfüggvény és sűrűségfüggvény Egy valószínűségi változó, illetve egy eloszlás eloszlásfüggvényének egy
RészletesebbenGazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, június 10
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, 204. június 0 A dolgozatírásnál íróeszközön kívül más segédeszköz nem használható. A dolgozat időtartama: 90 perc. Ha a dolgozat első részéből szerzett
RészletesebbenKészítette: Fegyverneki Sándor
VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y
RészletesebbenNEVEZETES FOLYTONOS ELOSZLÁSOK
Bodó Beáta - MATEMATIKA II 1 NEVEZETES FOLYTONOS ELOSZLÁSOK EXPONENCIÁLIS ELOSZLÁS 1. A ξ valószínűségi változó eponenciális eloszlású 80 várható értékkel. (a) B Adja meg és ábrázolja a valószínűségi változó
RészletesebbenMatematika A3 Valószínűségszámítás, 6. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév
Matematika A3 Valószínűségszámítás, 6. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév 1. A várható érték és a szórás transzformációja 1. Ha egy valószínűségi változóhoz hozzáadunk ötöt, mínusz ötöt, egy b konstanst,
RészletesebbenAbszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás)
Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás) Deníció (Abszolút folytonosság és s r ségfüggvény) Az X valószín ségi változó abszolút folytonos, ha van olyan f : R R függvény, melyre P(X t) = t
Részletesebben( 1) i 2 i. megbízhatóságú a levont következtetése? A matematikai statisztika eszközeivel értékelje a kapott eredményeket!
1. Név:......................... Egy szabályos pénzérmét feldobunk, ha az els½o FEJ az i-edik dobásra jön, akkor a játékos nyereménye ( 1) i i forint. Vizsgálja szimulációval a játékot, különböz½o induló
RészletesebbenSztochasztikus folyamatok alapfogalmak
Matematikai Modellalkotás Szeminárium 2012. szeptember 4. 1 Folytonos idejű Markov láncok 2 3 4 1 Folytonos idejű Markov láncok 2 3 4 Folytonos idejű Markov láncok I Adott egy G = (V, E) gráf Folytonos
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,
RészletesebbenPoisson-eloszlás Exponenciális és normális eloszlás (házi feladatok)
Poisson-eloszlás Exponenciális és normális eloszlás (házi feladatok)./ Egy televízió készülék meghibásodásainak átlagos száma óra alatt. A meghibásodások száma a vizsgált időtartam hosszától függ. Határozzuk
RészletesebbenGyakorló feladatok a 2. dolgozathoz
Gyakorló feladatok a. dolgozathoz. Tíz darab tízforintost feldobunk. Mennyi annak a valószínűsége hogy vagy mindegyiken írást vagy mindegyiken fejet kapunk? 9. Egy kör alakú asztal mellett tízen ebédelnek:
Részletesebbeni p i p 0 p 1 p 2... i p i
. vizsga, 06--9, Feladatok és megoldások. (a) Adja meg az diszkrét eloszlás várható értékének a definícióját! i 0... p i p 0 p p... i p i (b) Tegyük fel, hogy a rigófészkekben található tojások X száma
Részletesebben36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0,9375 32 = 0,8125 32 = 0,40625. Mo.: 32 = 0,25
Valószínűségszámítás I. Kombinatorikus valószínűségszámítás. BKSS 4... Egy szabályos dobókockát feldobva mennyi annak a valószínűsége, hogy a -ost dobunk; 0. b legalább 5-öt dobunk; 0, c nem az -est dobjuk;
Részletesebben4.4. Egy úton hetente átlag 3 baleset történik. Mi a valószínűsége, hogy egy adott héten 2?
HIPERGEO. BINOM. POISSON 4.1. Egy üzletben 100-an vásárolnak, közülük 80-an rendelkeznek bankkártyával. A pénztárnál 10-en állnak sorba, mi a valószínűsége, hogy 7-nek lesz bankkártyája? 4.2. Egy üzletben
RészletesebbenValószínűségi változók. Várható érték és szórás
Matematikai statisztika gyakorlat Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Valószínűségi változók 2016. március 7-11. 1 / 13 Valószínűségi változók Legyen a (Ω, A, P) valószínűségi mező. Egy X :
RészletesebbenMatematika III. 5. Nevezetes valószínűség-eloszlások Prof. Dr. Závoti, József
Matematika III. 5. Nevezetes valószínűség-eloszlások Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 5. : Nevezetes valószínűség-eloszlások Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul a TÁMOP
RészletesebbenGyakorló feladatok. Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László
Gyakorló feladatok Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László I/. A vizsgaidőszak második napján a hallgatók %-ának az E épületben, %-ának a D épületben,
RészletesebbenMatematika B4 VIII. gyakorlat megoldása
Matematika B4 VIII. gyakorlat megoldása 5.április 7.. Eloszlás- és sűrűségfüggvény Ha az X egy folytonos valószínűségi változó, akkor X-et jól jellemzi az eloszlás illetve a sűrűségfüggvénye. Az eloszlásfüggvény
Részletesebben1. Név:... Neptun Kód:... Feladat: Egy összeszerel½o üzemben 3 szalag van. Mindehárom szalagon ugyanazt
1. Név:......................... Egy összeszerel½o üzemben 3 szalag van. Mindehárom szalagon ugyanazt a gyártmányt készítik. Egy gyártmány összeszerelési ideje normális eloszlású valószín½uségi változó
RészletesebbenGyakorló feladatok a Termelésszervezés tárgyhoz MBA mesterszak
Gazdaság- és Társadalomtudományi Kar Menedzsment és Vállalatgazdaságtan Tanszék Gyakorló feladatok a Termelésszervezés tárgyhoz MBA mesterszak Készítette: dr. Koltai Tamás egyetemi tanár Budapest, 2012.
RészletesebbenEseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem.
Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Elemi esemény: a kísérlet egyes lehetséges egyes lehetséges kimenetelei.
RészletesebbenBiomatematika 2 Orvosi biometria
Biomatematika 2 Orvosi biometria 2017.02.13. Populáció és minta jellemző adatai Hibaszámítás Valószínűség 1 Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza)
RészletesebbenGyakorló feladatok Alkalmazott Operációkutatás vizsgára. További. 1. Oldja meg grafikusan az alábbi feladatokat mindhárom célfüggvény esetén!
Gyakorló feladatok Alkalmazott Operációkutatás vizsgára. További példák találhatók az fk.sze.hu oldalon a letöltések részben a közlekedési operációkutatásban 1. Oldja meg grafikusan az alábbi feladatokat
RészletesebbenValószínűségszámítás összefoglaló
Statisztikai módszerek BMEGEVGAT Készítette: Halász Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:
RészletesebbenFeladatok és megoldások a 13. hétre
Feladatok és megoldások a. hétre Építőkari Matematika A. Az alábbi függvények melyike lehet eloszlásfüggvény? + e x, ha x >, (a F(x =, ha x, (b F(x = x + e x, ha x, (c F(x =, ha x, x (d F(x = (4 x, ha
Részletesebben[Biomatematika 2] Orvosi biometria
[Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.15. Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza) alkotja az eseményteret. Esemény: az eseménytér részhalmazai.
Részletesebbenegyenletesen, és c olyan színű golyót teszünk az urnába, amilyen színűt húztunk. Bizonyítsuk
Valószínűségszámítás 8. feladatsor 2015. november 26. 1. Bizonyítsuk be, hogy az alábbi folyamatok mindegyike martingál. a S n, Sn 2 n, Y n = t n 1+ 1 t 2 Sn, t Fn = σ S 1,..., S n, 0 < t < 1 rögzített,
RészletesebbenKísérlettervezés alapfogalmak
Kísérlettervezés alapfogalmak Rendszermodellezés Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Méréstechnika és Információs Rendszerek Tanszék Kísérlettervezés Cél: a modell paraméterezése a valóság alapján
RészletesebbenKísérlettervezés alapfogalmak
Kísérlettervezés alapfogalmak Rendszermodellezés Budapest University of Technology and Economics Fault Tolerant Systems Research Group Budapest University of Technology and Economics Department of Measurement
RészletesebbenTERMÉKEK MŐSZAKI TERVEZÉSE Megbízhatóságra, élettartamra tervezés I.
TERMÉKEK MŐSZAKI TERVEZÉSE Megbízhatóságra, élettartamra tervezés I. Dr. Kovács Zsolt egyetemi tanár Megbízhatóság-elméleti alapok A megbízhatóságelmélet az a komplex tudományág, amely a meghibásodási
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen
Részletesebben2. A ξ valószín ségi változó eloszlásfüggvénye a következ : x 4 81 F (x) = x 4 ha 3 < x 0 különben
1 feladatsor 1 Egy dobozban 20 fehér golyó van Egy szabályos dobókockával dobunk, majd a következ t tesszük: ha a dobott szám 1,2 vagy 3, akkor tíz golyót cserélünk ki pirosra; ha a dobott szám 4 vagy
RészletesebbenStatisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.
Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,
Részletesebben4. Az A és B események egymást kizáró eseményeknek vagy idegen (diszjunkt)eseményeknek nevezzük, ha AB=O
1. Mit nevezünk elemi eseménynek és eseménytérnek? A kísérlet lehetséges kimeneteleit elemi eseményeknek nevezzük. Az adott kísélethez tartozó elemi események halmazát eseménytérnek nevezzük, jele: X 2.
RészletesebbenStatisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.
Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,
RészletesebbenStatisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1
Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában
RészletesebbenMi az adat? Az adat elemi ismeret. Az adatokból információkat
Mi az adat? Az adat elemi ismeret. Tények, fogalmak olyan megjelenési formája, amely alkalmas emberi eszközökkel történő értelmezésre, feldolgozásra, továbbításra. Az adatokból gondolkodás vagy gépi feldolgozás
RészletesebbenMegoldások. ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4; 2, 3) normális eloszlású P (ξ
Megoldások Harmadik fejezet gyakorlatai 3.. gyakorlat megoldása ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4;, 3 normális eloszlású P (ξ 8 ξ 5 feltételes valószínűségét (.3. alapján számoljuk.
Részletesebbenegyetemi jegyzet Meskó Balázs
egyetemi jegyzet 2011 Előszó 2. oldal Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 4 1.1. A matematikai statisztika céljai.............................. 4 1.2. Alapfogalmak......................................... 4 2.
Részletesebbenx, x R, x rögzített esetén esemény. : ( ) x Valószínűségi Változó: Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel:
Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel: Valószínűségi változó általános fogalma: A : R leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha : ( ) x, x R, x rögzített esetén esemény.
Részletesebben[Biomatematika 2] Orvosi biometria
[Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.22. Valószínűségi változó Véletlentől függő számértékeket (értékek sokasága) felvevő változókat valószínűségi változóknak nevezzük(jelölés: ξ, η, x). (pl. x =
RészletesebbenStatisztika I. 8. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre
Statisztika I. 8. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Minták alapján történő értékelések A statisztika foglalkozik. a tömegjelenségek vizsgálatával Bizonyos esetekben lehetetlen illetve célszerűtlen a teljes
RészletesebbenValó szí nű sé gi va ltózó, sű rű sé gfű ggvé ny, élószla sfű ggvé ny
Való szí nű sé gi va ltózó, sű rű sé gfű ggvé ny, élószla sfű ggvé ny Szűk elméleti összefoglaló Valószínűségi változó: egy függvény, ami az eseményteret a valós számok halmazára tudja vetíteni. A val.
RészletesebbenKÉSZLETMODELLEZÉS EGYKOR ÉS MA
DR. HORVÁTH GÉZÁNÉ PH.D. * KÉSZLETMODELLEZÉS EGYKOR ÉS MA Az optimális tételnagyság (Economic Order Quantity) klasszikus modelljét 96-tól napjainkig a világon széles körben alkalmazták és módosított változatait
RészletesebbenBiometria az orvosi gyakorlatban. Számítógépes döntéstámogatás
SZDT-01 p. 1/23 Biometria az orvosi gyakorlatban Számítógépes döntéstámogatás Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Gyakorlat SZDT-01 p.
Részletesebbenbiometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás
Kísérlettervezés - biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás A matematikai-statisztika feladata tapasztalati adatok feldolgozásával segítséget nyújtani
RészletesebbenA maximum likelihood becslésről
A maximum likelihood becslésről Definíció Parametrikus becsléssel foglalkozunk. Adott egy modell, mellyel elképzeléseink szerint jól leírható a meghatározni kívánt rendszer. (A modell típusának és rendszámának
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 8 VIII. REGREssZIÓ 1. A REGREssZIÓs EGYENEs Két valószínűségi változó kapcsolatának leírására az eddigiek alapján vagy egy numerikus
RészletesebbenMatematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása
Matematikai alapok és valószínőségszámítás Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása Mintavétel A statisztikában a cél, hogy az érdeklõdés tárgyát képezõ populáció bizonyos paramétereit a populációból
RészletesebbenE.4 Markov-láncok E.4 Markov-láncok. Sok sorbanállási hálózat viselkedése leírható "folytonos idejű Markovláncok " segítségével.
E.4 Markov-láncok Sok sorbanállási hálózat viselkedése leírható "folytonos idejű Markovláncok " segítségével. Egy Markov-láncot (MC) meghatároznak az alapját adó sorbanállási hálózat állapotai és az ezek
RészletesebbenA 2016/2017 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló javítási-értékelési útmutató. INFORMATIKA II. (programozás) kategória
Oktatási Hivatal A 2016/2017 tanévi Országos özépiskolai Tanulmányi Verseny második forduló javítási-értékelési útmutató INFORMATIA II. (programozás) kategória 1. feladat: Legalább 2 bolygón volt élet
RészletesebbenTANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok II. útmutató
BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok II. útmutató 2013/2014. tanév II. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Tantárgy jellege/típusa:
RészletesebbenRégebbi Matek M1 zh-k. sztochasztikus folyamatokkal kapcsolatos feladatai.
Régebbi Matek M1 zh-k Folyamfeladatokkal, többszörös összef ggőséggel, párosításokkal, Nagy szḿok törvényével, Centrális Határeloszlás tétellel, sztochasztikus folyamatokkal kapcsolatos feladatai. Gráfok
RészletesebbenElméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz
Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet kimeneteleinek
RészletesebbenSTATISZTIKA. A maradék független a kezelés és blokk hatástól. Maradékok leíró statisztikája. 4. A modell érvényességének ellenőrzése
4. A modell érvényességének ellenőrzése STATISZTIKA 4. Előadás Variancia-analízis Lineáris modellek 1. Függetlenség 2. Normális eloszlás 3. Azonos varianciák A maradék független a kezelés és blokk hatástól
Részletesebben1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.
. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.. Az x exp x + t )) függvény az x, t tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel. I x exp x + t )) dxdt + t dt π 4. [ exp x +
RészletesebbenBevezetés a biometriába Dr. Dinya Elek egyetemi tanár. PhD kurzus. KOKI,
Bevezetés a biometriába Dr. Dinya Elek egyetemi tanár PhD kurzus. KOKI, 2015.09.17. Mi a statisztika? A sokaság (a sok valami) feletti áttekintés megszerzése, a sokaságról való információszerzés eszköze.
RészletesebbenValószín ségszámítás és statisztika
Valószín ségszámítás és statisztika Informatika BSc, esti tagozat Backhausz Ágnes agnes@cs.elte.hu 2016/2017. tavaszi félév Bevezetés Célok: véletlen folyamatok modellezése; kísérletekb l, felmérésekb
Részletesebbeny ij = µ + α i + e ij
Elmélet STATISZTIKA 3. Előadás Variancia-analízis Lineáris modellek A magyarázat a függő változó teljes heterogenitásának két részre bontását jelenti. A teljes heterogenitás egyik része az, amelynek okai
RészletesebbenKabos: Statisztika II. t-próba 9.1. Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a
Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1 Egymintás z-próba Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a doboz várhatóértékét, akkor a H 0 : a doboz várhatóértéke = egy rögzített érték hipotézisről úgy döntünk,
RészletesebbenBiomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János
Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 15. Nemparaméteres próbák Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date: November
RészletesebbenVALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS. MSc. Órai Feladatok
VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS MSc Órai Feladatok 1. Feladat (Diszkrét eloszlás) Ketten kosárlabdáznak. Az A játékos 0,4 a B játékos 0,3 valószínűséggel dob kosarat. A dobást A kezdi és felváltva dobnak egymás után.
RészletesebbenVéletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus.
Valószín ségelméleti és matematikai statisztikai alapfogalmak összefoglalása (Kemény Sándor - Deák András: Mérések tervezése és eredményeik értékelése, kivonat) Véletlen jelenség: okok rendszere hozza
RészletesebbenMintavétel fogalmai STATISZTIKA, BIOMETRIA. Mintavételi hiba. Statisztikai adatgyűjtés. Nem véletlenen alapuló kiválasztás
STATISZTIKA, BIOMETRIA. Előadás Mintavétel, mintavételi technikák, adatbázis Mintavétel fogalmai A mintavételt meg kell tervezni A sokaság elemei: X, X X N, lehet véges és végtelen Mintaelemek: x, x x
RészletesebbenORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!
ORVOSI STATISZTIKA Az orvos statsztka helye Élettan Anatóma Kéma Lehet kérdés?? Statsztka! Az orvos döntéseket hoz! Mkor jó egy döntés? Mennyre helyes egy döntés? Mekkora a tévedés lehetősége? Példa: test
RészletesebbenA 2016/2017 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második fordulójának feladatai. INFORMATIKA II. (programozás) kategória
Oktatási Hivatal A 2016/2017 tanévi Országos özépiskolai Tanulmányi Verseny második fordulójának feladatai INFORMATIA II. (programozás) kategória 1. feladat: Legalább 2 bolygón volt élet (33 pont) Egy
RészletesebbenMatematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás
Matematikai alapok és valószínőségszámítás Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Bevezetés A tudományos életben megfigyeléseket teszünk, kísérleteket végzünk. Ezek többféle különbözı eredményre
RészletesebbenNagy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése. Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem
agy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem A mérés mint statisztikai mintavétel A méréssel az eloszlásfüggvénnyel
RészletesebbenTANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok 2. útmutató
BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok 2. útmutató 2015/2016. tanév I. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Tantárgy jellege/típusa:
Részletesebbeny ij = µ + α i + e ij STATISZTIKA Sir Ronald Aylmer Fisher Példa Elmélet A variancia-analízis alkalmazásának feltételei Lineáris modell
Példa STATISZTIKA Egy gazdálkodó k kukorica hibrid termesztése között választhat. Jelöljük a fajtákat A, B, C, D-vel. Döntsük el, hogy a hibridek termesztése esetén azonos terméseredményre számíthatunk-e.
RészletesebbenValószínűségszámítás és Statisztika I. zh. 2014. november 10. - MEGOLDÁS
Valószínűségszámítás és Statisztika I. zh. 2014. november 10. - MEGOLDÁS 1. Kihasználva a hosszasan elhúzódó jó időt, kirándulást szeretnénk tenni az ország tíz legmagasabb csúcsa közül háromra az elkövetkezendő
RészletesebbenLogisztikai szimulációs módszerek
Üzemszervezés Logisztikai szimulációs módszerek Dr. Juhász János Integrált, rugalmas gyártórendszerek tervezésénél használatos szimulációs módszerek A sztochasztikus külső-belső tényezőknek kitett folyamatok
RészletesebbenDiszkrét idejű felújítási paradoxon
Magda Gábor Szaller Dávid Tóvári Endre 2009. 11. 18. X 1, X 2,... független és X-szel azonos eloszlású, pozitív egész értékeket felvevő valószínűségi változó (felújítási idők) P(X M) = 1 valamilyen M N
RészletesebbenMÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI
MÉRÉSI EREDMÉYEK POTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI. A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk
RészletesebbenSzámítógépes döntéstámogatás. Statisztikai elemzés
SZDT-03 p. 1/22 Számítógépes döntéstámogatás Statisztikai elemzés Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Előadás SZDT-03 p. 2/22 Rendelkezésre
RészletesebbenÜtemezési problémák. Kis Tamás 1. ELTE Problémamegoldó Szeminárium, ősz 1 MTA SZTAKI. valamint ELTE, Operációkutatási Tanszék
Ütemezési problémák Kis Tamás 1 1 MTA SZTAKI valamint ELTE, Operációkutatási Tanszék ELTE Problémamegoldó Szeminárium, 2012. ősz Kivonat Alapfogalmak Mit is értünk ütemezésen? Gépütemezés 1 L max 1 rm
RészletesebbenA Statisztika alapjai
A Statisztika alapjai BME A3c Magyar Róbert 2016.05.12. Mi az a Statisztika? A statisztika a valóság számszerű információinak megfigyelésére, összegzésére, elemzésére és modellezésére irányuló gyakorlati
RészletesebbenKözlekedési áramlatok MSc. Csomóponti-, útvonali eljutási lehetőségek minősítése
Közlekedési áramlatok MSc Csomóponti-, útvonali eljutási lehetőségek minősítése minősítése jogszabályi esetben Az alárendelt áramlatból egy meghatározott forgalmi művelet csak akkor végezhető el, ha a
RészletesebbenMunkafüzet a Termelés- és szolgáltatásmenedzsment tárgyhoz
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gazdaság- és Társadalomtudományi Kar Üzleti Tudományok Intézet Menedzsment és Vállalatgazdaságtan Tanszék Munkafüzet a Termelés- és szolgáltatásmenedzsment
RészletesebbenKedvenc rejtvényeim Mit tudok és mit hiszek el?
Kedvenc rejtvényeim Mit tudok és mit hiszek el? Mottó A matematikus azt old meg, amit tud A mérnök azt old meg, amit kell Ebből következik, hogy Nem tudunk minden részletében tökéleteset csinálni Sok mindent
RészletesebbenVillamos autókból álló taxi flotta számára létesítendő töltőállomások modellezése
Villamos autókból álló taxi flotta számára létesítendő töltőállomások modellezése 62. Vándorgyűlés, konferencia és kiállítás Siófok, 2015. 09. 16-18. Farkas Csaba egyetemi tanársegéd Dr. Dán András professor
RészletesebbenCentrális határeloszlás-tétel
13. fejezet Centrális határeloszlás-tétel A valószínűségszámítás legfontosabb állításai azok, amelyek független valószínűségi változók normalizált összegeire vonatkoznak. A legfontosabb ilyen tételek a
Részletesebben3. Egy szabályos dobókockával háromszor dobunk egymás után. Legyen A az az esemény, hogy
Valószínűségszámítás. zárthelyi dolgozat 009. október 5.. Egy osztályba 3-an járnak. Minden fizikaórán a a többi órától függetlenül a tanár kisorsol egy felelőt, véletlenszerűen, egyenletesen, azaz mindig
RészletesebbenA valószínűségszámítás elemei
A valószínűségszámítás elemei Kísérletsorozatban az esemény relatív gyakorisága: k/n, ahol k az esemény bekövetkezésének abszolút gyakorisága, n a kísérletek száma. Pl. Jelenség: kockadobás Megfigyelés:
RészletesebbenA Markovi forgalomanalízis legújabb eredményei és ezek alkalmazása a távközlő hálózatok teljesítményvizsgálatában
A Markovi forgalomanalízis legújabb eredményei és ezek alkalmazása a távközlő hálózatok teljesítményvizsgálatában Horváth Gábor ghorvath@hit.bme.hu (Horváth András, Telek Miklós) - p. 1 Motiváció, problémafelvetés
RészletesebbenVéletlenszám generátorok és tesztelésük. Tossenberger Tamás
Véletlenszám generátorok és tesztelésük Tossenberger Tamás Érdekességek Pénzérme feldobó gép: $0,25-os érme 1/6000 valószínűséggel esik az élére 51% eséllyel érkezik a felfelé mutató oldalára Pörgetésnél
Részletesebben[Biomatematika 2] Orvosi biometria
[Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.29. A statisztika típusai Leíró jellegű statisztika: összegzi egy adathalmaz jellemzőit. A középértéket jelemzi (medián, módus, átlag) Az adatok változékonyságát
RészletesebbenSzámsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.
Részletesebben