Operációkutatás. 4. konzultáció: Sorbanállás. Exponenciális elsozlás (ismétlés)

Átírás

1 Operációkutatás NYME KTK, gazdálkodás szak, levelező alapképzés 2002/2003. tanév, II. évf. 2.félév Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Információ Technológia Tanszék 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt. 3. (99) (30) takach 4. konzultáció: Sorbanállás Irodalom: Csernyák 5. fejezet 5.. A későbbiekhez kell: jelölések, a későbbi bizonyításokban felhasználandó egyszerű összefüggések A 4 feltevés, illetve a differenciálegyenletrendszer (biz. nélkül) 5.3. Stacionárius folyamatra vonatkozó egyenletrendszer 5.4. és 5.5. végig kell, bizonyításokkal, kivéve a Kendall-képlet. Exponenciális elsozlás (ismétlés) Az exponenciális eloszlás folytonos eloszlás, sűrűségfüggvénye { µe µt ha t 0 f(t) 0 ha t < 0 Eloszlásfüggvénye: Ez eloszlás két fontos tulajdonsága: F (t) P (η < t) { e µt ha t 0 0 ha t0 < 0. (Örökifjú tulajdonság) Annak a valószínűsége, hogy még egy percnél többet kell várnom a buszra, nem függ attól, hogy eddig mennyit vártam. 2. Annak a valószínűsége, hogy éppen a következő percben jön a busz, egyre csökken.

2 Örökifjú tulajdonság 2. Örökifjú tulajdonság. Annak a valószínűsége, hogy még egy percnél többet kell várnom a buszra, nem függ attól, hogy eddig mennyit vártam. Állítás. P (η > t + t η > t) P (η > t). Bizonyítás. A bal oldal: P (η > t + t η > t) P (η > t + t és η > t) P (η > t) P (η < t + t) P (η < t) e µ t P (η > t + t) P (η > t) ( e µ(t+ t) ) ( e µt ) A jobb oldal: A remény fogy...(?) P (η > t) P (η < t) ( e µ t ). Annak a valószínűsége, hogy éppen a következő percben jön a busz, egyre csökken. Állítás. P (t 0 η < t 0 + t) > (t η < t + t), ha t 0 < t. Bizonyítás. és hasonlóan P (t 0 η < t 0 + t) ( e µ(t0+ t) ) ( e µt0 ) e µt0 ( e µ t ) P (t η < t + t) e µt ( e µ t ). Mivel t 0 < t, ezért µt 0 > µt, vagyis e µt0 > e µt. Teljes eseményrendszer Definíció. Teljes eseményrendszer: A, A 2,..., A n véges sok, vagy A, A 2,... végtelen sok esemény, melyek páronként kizárják egymást, és összegük a biztos esemény. A P (A ), P (A 2 ),..., P (A n ) illetve P (A ), P (A 2 ),... véges vagy végtelen sok szám diszkrét eloszlást alkot, vagyis olyan 0 és közti számokról van szó, melyek összege. Sorbanállás Modell: m ennyi egység képzelhető el összesen a rendszerben (általában végtelennek tételezzük fel) n beérkező egységek, azaz sorbanállók + kiszolgálásban részesülők v várakozók (sorbanállók) j kiszolgálásban részesülők S kiszolgáló csatornák ρ üres csatornák n S esetén n j (mindenkit kiszolgálnak) és n + ρ S, v 0. n > S esetén ρ 0 (minden csatornánál folyik a kiszolgálás), és S j, n v + j.

3 Valószínűségek 3 Tegyük fel, hogy n, v, j valószínűségi változók, és p k P (n k). A rendszerben lévő egységek várható száma: A sor hosszának várható értéke: M(n) 0 p 0 + p m p m m ip i M(v) 0 p p p S + p S+ + 2 p S (m S)p m. Az üres állomások várható értéke: Nyilván M(n) M(v) + S M(ρ). i m is+ S M(ρ) Sp 0 + (S )p p S + 0 p S p m (S i)p i Poisson-típusú sorbanállási rendszer Jelölések: e k ( t) P ( t idő alatt k egység érkezik a rendszerbe). p k (t) P (t időpontban k egység van a rendszerben). Feltételezéseink:. e k ( t) csak a t időintervallum hosszától függ, a kezdetétől nem. i0 (i S)p i 2. ahol az időegységenkénti átlagos beérkezés. e ( t) lim, t 0 t 3. (ritkasági feltétel) e 2 ( t) + e 3 ( t) +... e 0 ( t) e ( t) lim lim 0, t 0 t t 0 t azaz egyszerre több egység nem érkezik a rendszerbe. Poisson-típusú sorbanállási rendszer Tétel.,2,3 teljesülése esetén Bizonyítás. Nem kell. e k ( t) (t)k e t (k 0,, 2,...). k! További feltételezésünk, hogy 4 Egy egység kiszolgálásának időtartama exponenciális eloszlású µ várható értékkel, azaz időegységenként µ egységet tud kiszolgálni egy csatorna. Tétel. -4 teljesülése esetén a p i valószínűségek kielégítik következő differenciálegyenlet-rendszert.... Bizonyítás. Nem kell!

4 Stacionárius folyamat 4 Ha p n(t) 0, azaz p n (t) p n nem függ az időtől, akkor a fenti differenciálegyenlet-rendszer az alábbi egyenletrendszerbe megy át: 0 p 0 + µp (n 0) 0 ( + nµ)p n + p n + (n + )µp n+ ( n < S) 0 ( + Sµ)p n + p n + Sµp n+ (n S) Ezen egyenletrendszerből vezetjük le a p i -kre vonatkozó képletet. Az egycsatornás rendszereknél, ahol S, nincs olyan n, amire n < S. Így az egyenletrendszer: 0 p 0 + µp (n 0) 0 ( + µ)p n + p n + µp n+ (n ) Egycsatornás rendszerek Definíció. Legyen ψ µ a forgalom intenzitása, azaz az időegység alatti beérkezések és kiszolgálások hányadosa. Egy csatorna esetén elvárható, hogy ψ < teljesüljön, különben a sora végtelenségig növekedne. Állítás. p 0 ψ, p n ( ψ). Bizonyítás. Az egyenletrendszerben az első egyenletből: 0 p 0 + µp (n 0) p µ p 0 ψp 0. A második egyenletből: Tehát 0 ( + µ)p n + p n + µp n+ p n+ ( + µ) µ p n µ p n p 2 ( + µ) µ p µ p 0 ( + µ) µ µ p 0 µ p 0 2 µ 2 p 0 ψ 2 p 0 Egycsatornás rendszerek Hasonlóan p 3... ψ 3 p 0. p n... p 0 Másrészt Ebből p 0 ψ, és p n ( ψ). p 0 + p +... n0 p 0 p 0 ψ.

5 További képletek 5 Tétel.. M(n) ψ ψ 2. M(v) ψ2 ψ 3. várható sorbanállási idő: M(t s ) µ ψ ψ 4. várható rendszerben töltött idő: M(t r ) µ ψ Bizonyítás. könyvben. Megjegyzés.. M(n) M(v) S 2. M(t r ) M(t s ) µ (kiszolgálási idő. 3. ψ esetén M(n), M(v), M(t s ), M(t r ). Többcsatornás rendszerek Ha S csatorna van, akkor továbbra is az egységnyi idő alatt a rendszerbe érkezők száma, de µ az egy csatornán időegység alatt kiszolgált egységek száma. Tehát ψ µ < S a feltétele, hogy ne torlódjon a sor a végtelenségig. Tétel. Az egyenletrendszer megoldása S csatornás rendszer esetén: p n p 0 n! ( n S) p n p 0 S!S n S (S < n) p 0 S S!( ψ s ) n0 n! Bizonyítás. könyvből. Tétel. M(v) ψs+ S S! ( ψ p S )2 0 M(n) M(v) + S M(t s ) M(v) M(t r ) M(n) M(ρ) S ψ P (t s > 0) P (n S) p n p 0 S!( S S ) Bizonyítás. könyvből.

6 Képletgyűjtemény 6 ψ µ beérkezések kiszolgálások (időegységenként) S ψ < p 0 ψ p n ( ψ) M(n) ψ ψ M(v) ψ2 ψ S > ψ < S p 0 M(t s ) ψ µ ψ M(t r) µ ψ + S S!( ψ s ) n0 n! p n p 0 ( n S) p n p 0 n! S!S n S (S < n) M(v) ψs+ S S! ( ψ p S )2 0 M(n) M(v) + S M(t s ) M(v) P (t s > 0) p 0 S!( ) M(t r ) M(n) M(ρ) S ψ