1. A LINEÁRIS ALGEBRA ALAPJAI

Átírás

1 KVANTITATÍV reive! együtt dolgozik. Az ú] tudományág határtenilet a matematika, a gazdaságtudomány és a számítástudomány között.. A LINEÁRIS ALGEBRA ALAPJAI Az operációkutatás középpontjában a közgazdasági és a matematikai rnodell áll. Hosszú az út a döntési probléma megfogalmazásáról a modell megalkotásáig. A feladat a probléma részletes leírásával - a változók, a korlátozó feltételek megadásával - kezdődik, majd a célra vonatkozó ismeretek mélyítésével, pontosításával folytatódik. A szükséges adatok megszerzése és pontosságuknak ellenőrzése után következik az adott körülményeknek legjobban megfelelő modell számszerűsítése és megoldása. A modell helycsségét a gyakorlattal való egybevetéssol ellenőrizzük. A döntéshozó szempontjából a modelleknek kettős hasznuk van. Egyik oldalról a döntéshozó a rendszer részletekbe meno vizsgálatára kényszerűl; a modell előkészítése során fel kell tárnia a rendszer összefüggéseit, és így a modcll a gazdasági folyamat elemzésének eszközévé válik. Másrészt viszont az operáciokutatási rnodell alkalmas a vizsgált paraméterek különböző kritériumok szerinti optirnális értékeinek meghatározására, ezért képes a döntés orientálására is. Könyvünk a lineáris algebrai alapok után a lineáris programozásba, a hozzárendelési probléma modellezésébe, a hálótervezésbe és a döntésanalízisbe vezeti be az olvasót. A szerzők várják, és előre is köszönik a tisztelt Olvasók észrevételeit, megjegyzéseit. Budapest, január A szerkesztá BGF Kűlkereskedelmi Főiskolai Kar Matematika-statisztika Tanszék. MÁTRIXARITMETIKA A mátrix fogalma Definíció. Legyen adva III. n számú ajj valós szám, ahol i =, 2,..., /;j =. 2,..., ll. Akkor ezen számok ali a 2 alj a In a 2 a 2:! a ; n 2n -J ail a i2 a jj ain a m l a m2 U mj amil alakú elrendezését mátrixnak nevezzük. Mivel ennek a mátrixnak /JI sora és II oszlopa van, tn. Il-es, vagy /II. típusú mátrixnak nevezzük. A matrixban lévő ajj számok a mátri x elemei; pontosabban szólva az ajj szirnbólum a mátrix i-edik sorának j-edik clcmét, illetve j-edik oszlopának i-edik elemct jelöli. Az elrendezésben az elem első indexe az ún. sorindex, a második pedig az ún. oszlopindex. Ennek megfelelően az ajj elem - az ún. általános elem - az í-edik sorj-edik elemét jelenti. A gyakorlatban sokszor találkozunk mátrixokkal. hiszen a legtöbb statisztikai kimutatás mátrixalakban jelenik meg. Példaképpen felírunk egy 3. 4 típusú mátrixot:

2 KVANTITATÍV A mátrixot a részletes kiírás helyett a következő módon is szokás jelölni: A = aj; ] ( i =,2,..., m.] =,2,...,), vagy A, amit Így olvasunk: /. ~ ru-n típusú A mátrix, vagy egyszerű en A, azaz jelőlhetjük bármely mátrixot egyetlen szimbólummal is. Nyomtatort szövegben a mátrixok jelölése általában félkövér latin nagybetű, kézírásban aláhúzolt latin nagybetű. Az III. Il típusú mátrixok halmazát M(m; n)-nel jelölve, ezt is irhatjuk: AE M(lI; ). Egy /. Il tipusú matrix transzponáltja. / tipusú matrix. Transzponálás során az i-edik sor j-edik eleme a j-edik sor i-edik elemévé válik. Ennek megfelelően a transzponálás lényegétjól kifejezi az ajj]* = aj;],(i =,2,..., nt;] =,2,...,7) összefüggés. így a transzponálás fogalmából következik, hogya transzponált mátri x transzponáltja egyenlő az eredeti mátrixszal, azaz (A *)* = A. Mátrixok egyenlősége és a nagyságrendi relációk Sor és oszlopvektor Dcfiníció. Két azonos típusú A és B matrix között az = (egyenlő), < (kisebb), > (nagyobb), ::::;(kisebb egyenlő), ~ (nagyobb egyenlő) relációk valamelyike áll fenn, akkor és csak akkor ha az illető reláció elemről elemre érvényes, azaz bármely lehetséges i ésj index esetén ajj és bjj között az illető reláció teljesűl. Ismeretes, hogy két valós szám között mindig fennáll az =, <, >, relációk valamelyike, addig az azonos típusú mátrixok között ez nem így van. Például ha A = -3 2] D = -2 8 ' akkor definíciónk értelmében A = B, A < e, B s D, de e és D között a vizsgált relációk egyike sem áll fenn. Mátrix transzponáltja Az A matrix transzponáltján azt a mátrixot értjük, amelynekj-edik sora az A j-cdik oszlopával (kővetkezésképpen, j-edik oszlopa az A j-edik sorával) egyenlő mindenj-re. Az A mátrix transzponáltjút A *-gal jelöljük. - 3 r akkor transzponáltja a következő 2. 3 tipusú matrix: A' = ~ 3 -] O 3. s.ji] Legyen például A egy 3. 2 típusú mátrix: A = 3 O, Definíció. Az egyetlen oszlopból álló (tehát III. l tipusú) mátrixot (m elemű) oszlopvektornak. az egyetlen sorból álló (tehát. típusú) mátrixot (n elemű) sorvektornak nevezzük. A vektor elemeit a vektor komponensei nek, vagy koordinátáinak is szoktuk nevezni. A továbbiakban az el emlí oszlopvektorok halmazút a Vm szimbolúmrnal, az elemű sorvektorok halrnazát pedig av;: szimbolummal fogjuk jelölni. A vektor jelölése nyomtatásban félkövér, kézírás ban aláhúzott latin kisbetű. Az oszlopvektor jelölése: a = a 2 - a. - l' A sorvektor jelölése: h = hl; b.:... ; h,,l. Itt a * (csillag) mutatja, hogyasorvektor egy oszlopvektor trauszponáltjaként fogható fel. Nyomdatechnikai okból gyakran Írják az oszlopvektort egy sorvektor transzponálíjaként. Például "{!}-: 5: 3J'. Egy /. n típusú matrix valójában darab II komponensű sorvektornak, illetve darab tn komponensű oszlopvektornak egymás mellé rendezése. Az A mátri x oszlopvektorait rendre a" a2'..., an vektorral jelölve, a mátrix így írható fel:

3 KVANTITATÍV A lineáris algebra alap/ni Hasonlóan, az A mátri x sorvektorait rendre al *, a2=,..., a m * vektorraljelölve: Speciálls vektorok A =:' am A nullvektor (zérusvektor) olyan vektor, amelynek minden eleme O. Jele: O. Például a negyelemű null vektor így írható fel: o = o O O O illetve 0= O; O; O; 0]*. Az egységvektor olyan vektor, amelynek egyik eleme, a többi nulla. Szimbolikusan ej-vel jelöljük, ahol az i index mutatja, hogy az egyes hányadik helyen áll. Például a háromelemű vektorok között pontosan három külőnböző egységvektor található. Oszlopvektor alakban a következők: zetükből nem derülne ki komponenseik száma, és fontos a közlendőnk szempontjából, akkor meg kell mondanunk az elemeik számát. Megállapodás szerint tehát O,, e, mindig oszlopvektorokat jelölnek. Speciális mátrixok A nullmatrix (zérusmátrix) minden eleme O. Jele: O. Például a 3. 4 típusú nullmatrix a következő: o O O 0j 0=0000. r O O O o Ha egy mátrix sorainak és oszlopainak száma egyenlő (m = ll), akkor azt négyzetes vagy kvadratikus mátrixnak nevezzük. A négyzetes mátrix sorainak (illetve oszlopainak) száma a matrix rendje. Az ali> a22,..., ann elemeket, amelyek az ún. főátlót alkotják, diagonális elemeknek Az A{i nevezzük. ; -:4 ~I Az összcgző vektor olyan vektor, amelynek minden eleme. Jele:. A négyelemű összegző vektor így Írható fel: mátrix például egy negyedrendű négyzetes (kvadratikus) matrix, amelynek diagonális elemei: 3; O; -4; 8. Diagonális mátrixnak nevezzük az olyan négyzetes rnátrixot, amelynek csak a főátlóban van O-tóI különböző eleme. Ha az = illetve =;;,]* ali O O O O a 22 O O A= O O a:;:; O A nullvektor, az egységvektor és az ősszcgző vektor jelöléséből nem derül O () () a un ki, hogya vektor hány elemű. Általában a környezetéből, az elvégzendő műveletekből egyértelműen következik, hogy hány elernűek. Ha a kőrnye- mátrix esetén van olyan a., amely nem O, akkor A valódi diagonális matrix. 2 3

4 KVANTITATív A diagonális mátri x jelölésére az szimbólumot Például: használjuk. < aj ; a 22 ;.. ; II nil > O ~O O O O O O O =<5;0;;-8>. O O -8 Az egységmátrix olyan diagonális mátrix, amelynek minden diagonális eleme, azaz oszlopai egységvektorok. A másod- illetve harmadrendű egységmatrix a következő: E, = O], - O Általánosan: En, II-ed rendű egységmatrix. Háromszög-, vagy trianguláris mátrixnak nevezzük az olyan kvadratikus mátrixokat, amelyekben vagy a főátló feletti, vagy a főátló alatti elemek mind nullák. Az első esetben alsó háromszögmátrixról, a másodikban felső háromszögmátrixról van szó. Például alsó hárornszögmátrix a következő A és II mátrix: A kővctkezö C és O mátri x pedig felső háromszögmátrix: 7 5 O ~ t í f I i I!t I I I Az A kvadratikus mátrixot szimmetrikusnak nevezzük, ha a főátlóhoz képest szimmetrikusan elhelyezkedő elemei egyenlőek, azaz aij = aji minden lehetséges i ésj értékre igaz. Vagyis az A mátrix egyenlő a saját transzponáltjával: A=A*. Az A kvadratikus mátrixot ferdén szlmmetrikusnak nevezzük, ha a főátlóhoz képest szimmctrikusan elhelyezkedő elemek egymás ellcntettjci, azaz ajj = -ajj minden lehetséges i és j értékre igaz. (A főátló elemei a definició kővetkeztében nullák.) Vagyis ebben az esetben: A = -A *. Például az s =l~ ~ O 6 ~l és F =l~ - 5J O 6-6 O mátrixok közül S szimmetrikus, F pedig ferdén szimmetrikus mátrix. A mátrixok blokkokra bontása A gyakorlatban előforduló nagyméretű mátrixokat sokszor - függőleges és vízszintes osztovonalakkal - kisebb részekre, ún. blokkokra (vagy minormátrlxokra) bontjuk. Az ilyen felbontást particiouálásnak is szoktuk nevezni. Tekintsük pl. az 7 O A = 2 8. O -2-2 O. O O O 4 O 2 O 6 - mátrixot. Itt a kövctkcző négy blokkról van szó: '~l ~ O O ' O O 3-2 ~ O ~J' 4,lj () O 4 c=o -2] Ali A 2 = ~ ;2, 0= O O O ~J : -~J O A 2 = : An = 2 4 5

5 KVANTiTATív Az A mátrixot a következő módon is felírhatjuk: A = A II A 2]. A 2 A 22 A blokkokból felépített mátrixot tekinthetjük olyan mátrixnak, amelynek elemei is mátrixok. Az ilyen mátrixelcmű matrixokat hipermátrixoknak is nevezni. A particionálás gyakran alkalmazott esete az, amikor az adott mátrixot oszlopvektorokra. vagy sorvektorokra bontjuk szét. Ha pl. az A matrix oszlopvektorait rendre az al; a2; a3; a, szimbólumokkal jelöljük, akkor A = al; a 2 ; a3; a 4 ], ha pedig a b,"; b 2 *; b 3 * szimbólumok az A sorvektorait jelölik, akkor A felírható a következő módon is: A = r:il,vagy A =lb,; b,; bjj', vagy A' =lb,; b,; bjj. A valós számok ősszeadásánál sajátságos szerepet játszik a nulla. A O hozzáadása ugyanis bármely valós számot változatlanul hagyja. Hasonló szercpük van a mátrixok között a nullmátrixoknak, illetve vektorok esetében a nullvektornak. Például: ls 2 () 9 3] l" " ~H~ 2 lj 3 ] A+()= ~ 4 O - + O O O 4 O ~I = A, -I O O O O O - O vagy b+o=lh~hj=b Ezek után rátérünk az alapműveletek definiálására. Mátrixok összeadása és kivonása Az összeadás és ki vonás művelete csak azonos típusú mátrixok esetén van értelmezve a következő definíció szerint. Definíció. Két m. n típusú A = ajj] és B = bjj] matrix összegén ill. kűlönbségén] azt az m. Il-es C = Cjj] mátrixot értjük, amelynek minden elemére igaz, hogy: Cjj= ajj + bjj, ill. Cjj= ajj - bij]. Mátrixok szorzása skalárral Definíció. Tetszőleges III. Il tipusú A = ajj] matrixnak valamely skalárral (valós számmal) való szorzatán azt az III. n-es C = Cjj] mátrixot értjük, amelynek minden elemére igaz, hogy Cjj=. ajj' A skalárral való szorzást tehát clemenként végezzük: A. ajj =. ajj]. Például: Az összeadást és kivonást tehát elemenként végezzük. 4 3 ~ ~IJ= 2 ~ 6] -4,vagy 6 O; 2; -; 3] = O; 2; -6; 8]. 20 Például: és lao] + b] = a + b] és a-ol - b] = a - b] lj lj lj lj lj lj lj lj' J _ J = J O Ha =, akkor a szorzat A. A = A, vagyis l-gyel szorozva a mátri x nem változik. = - esetén (-). A = -A olyan matrix, amelynek minden eleme (-)- szerese az A mátrix megfelelő elemének; ezért a -A mátrixot A ellentettjének nevezzük. Az A + (-). B összeadás eredménye ezért éppen az A - B matrix. Egy mátrixot az ellentett jével összeadva nullmátrixot kapunk: A + (-A) = O. Al = O skalárral való szorzás eredménye szintén nullrnátrix: O. A = O. 6 7

6 KVANTITATív A lineáris algebra alapjai A mátrixok elemei valós számok, ezért az elemenkénti műveletvégzésből és a valós számok halmazában érvényes műveleti azonosságokból adódik, hogy a bevezetett műveletekre teljesülnek a következő azonosságok. A mátrixok összeadása és a mátrixnak skalárral való szorzása kommutativ művelet, azaz: és A+B=B+A A A=A A. A mátrixok összeadása asszociatív művclet, és a mátrix skalárral való szorzására is érvényes az ún. vegyes asszociativitás, azaz (A + B) + C = A + ( B + c) és (Afi)A = A(uA). Például: Az A, =~ ~l O -] A~ = O' mátrixoknak a Al = 6; Al = -3; A3= O skalárokkal képzett lineáris kornbinációja a 6 ~ ~] + (-3{ ~ -Ol]+ o~~ :)] = =: ~:]+_03~]+~ ~]=I: ~~]mátrix. Mátrixnak skalárral való szorzása disztributív, mind az összeadásra. mind a skalárösszeadásra nézve, azaz A (A + B) = AA + AB és (A + fi)a = AA + )la. A transzponálás és az összeadás, illetve a transzponálás és a skalárral való szorzás sorrendje felcserélhető, azaz Mátrixok lineáris kombinációja (A + B)* = A * + B* és (AA)* = A. A *. Az összeadás és a skalárral való szorzás alkalmazásával kapcsolatos, fontos szerepet játszó fogalom, a lineáris kombináció fogalma. I f lineáris kombinációja a 2b, + 5b~ - 3b + b, = -:3 vektor. _3 J Definíció. A AIAI + AlA} AkAk lineáris kombinációt az Al; Al;... ; Ak mátrixok konvex lineáris kombinációjának nevezzük, ha a benne szercplő skalárok nem negatívak, és az összegük. k ( Aj :s: O és L, A i = ). i = I Detiníció. Adott m. Il típusú Ab A2'..., Ak mátrixokat rendre megszorozva a tetszőleges Ab,2,..., Ak skalárokkal, majd az így nyert szorzatokat összeadva a k AIAI A2A AkAk = L,AjAj kifejezésnek megfelelő /. Il-es mátrixhoz jutunk, melyet az Al, Al,..., Ak mátrixok egyik lineáris kombinációjának nevezünk. i = I Vektorok skaláris szorzata A mátrixok szorzásának értelmezéséhez. szükségünk lesz a vektorok skuláris szorzatának ismeretére. Dcfiuíció. Két II elemű a és b vektor skaláris szorzután azt a valós számot értjük, amelyet úgy kapunk, hogya és b azonos indexű kornponcnscit összeszorozzuk, és a kapott szorzatokat összeadjuk. A szorzat kijelölésekor az első tényezőt sor-, a másodikat oszlopvektor formájában írjuk fel. Ezen Írásmód előnye a későbbiekben fog kitűnni. 8 9

7 KVANTlTA7v b l b 2 * II a b=al;a 2 ;a 3 ;... ;a,,] b 3 =albl+aobo+... +a b ="'a.b -- lill L.JII j::; illetve *b=i;i;... ;, II = b, + b l b" = L b,. j ea ] Például, ha a = 5; 2; 8; O; -]* és b = O; -; 3; 2; -2]*, akkor O -I a* b=5;2;8;0;-i] 3 =0+(-2) = A vektorok skaláris szorzása kornmuratív abban az értelemben, hogy mindegy, melyik tényezőt írjuk első, és ezért sorvektorként, és melyiket második tényezőként oszlopvektor formájában. Ez a tulajdonság a valós számok szorzásának kommutativitásán alapul: Előző példánk esetében: a' b= L..,;II ~ab = L..JII ~ba =b'a. i::; li::; 5 2 b*a=o;-;3;2;-2]. 8 =0+(-2) =24=a'b. O - Ha egy tetszőleges II elemű a vektort az II elemű összegző vektorral szorzunk, akkor eredményül az a vektor komponenseinek összegét kapjuk. Ezért nevezzük a csupa -ből álló véktort összegző vektornak. I Például, f6;4;3;-siii=6+4+3+(_s)= 8 Mátrix szorzása mátrixszal b" A vektorok skaláris szorzatának ismeretében definiálhatjuk két matrix szorzatát abban az esetben, ha az első tényező oszlopvektorainak száma egyenlő a második tényező sorvektorainak számával. Az ilyen matrixokat az adott sorrendben konformáhilisnak nevezzük, s csakis ilyen mátrixok escten értelmezzük a szorzást. Definicíé. Az III. P típusú A = ajj] mátrix és ap' / tipusú B = bjj] mátrix szorzatán azt az. JI típusú C = Cjj] mátrixot értjük, amelynek bármely i,j indexű eleme az A mátri x i-edik sorvektorának és a B mátrixj-edik oszlopvektorának a skaláris szorzata. Azaz Cíj = 3 il ; a í2; a íj;... ; a ip blj bt ~ ) b 3j = a í b lj + a í2b 2j a ip b pj= La íkb kj. Az A. B szorzatmátrixot tehát az első tényező, azaz a szorzandó A matrix sorvektorokra és a második tényező, azaz a szorzó B matrix oszlopvektorokra bontásaval a következőképpen írhatj uk fel: k = a*=a l ;a o ;.. ;a ]. _ II = " = "'a. ~., n j::; al a;bl 'j a;02 a'h n A B= a;.b. b 2 ; b ]= a;b l a;b;! a;h" m p p-u > n. a~nb, a~lib2 a' b 20 3 m III II 2

8 KVANTITATÍV A lineáris algebra alapjai Az összeadás és a skalárral való szorzás művelete nem változtatja meg a mátri x típusát. Pontosabban fogalmazva: az /. Il típusú mátrixok összege és ilyenek skalárszorosai (ahol III és II rögzítctt szám) szintén /. típusú mátrixok. Ezt úgy is mondjuk, hogy az / típusú mátrixok halmaza zárt az előbbi két műveletre nézve. A szorzás esetén más a helyzet. A szorzásban szereplő tényezők általában különböző típusú mátrixok, és a szorzat általában ismét más típusú. Természetescn az ll-ed rendű négyzetes matrixok halmaza zárt a szorzásra nézve. A szorzatmátrix elemei nek kiszámítása nagy figyelmet kíván, mert a sok elem nehezen áttekinthető. Elkerülendő a hibákat, célszerű a két mátrixot a kövctkező, ún. Falk-séma szerint írni: IT] EJ IABI Azaz részletesebben felírva: bll bl2 blj bln bn bn b2j b2n bpl bp2 b pj bpn ali al2 ali' Cll CI2 Clj Cin a2 a22 a2p C2 C22 C2j C2n ail ai2 aip Ci! Ci2 Cij Cin a III I am:! a mp CIII I Cm:?: Cl\lj emil Például: Határozzuk meg az A. B szorzatnak megfelelő C, majd ab' A szorzatnak megfelelő D mátrixot, ahol Az AB szorzatot a Falk-séma szerint felírva: 2 O O 3 2 O S A O !O 2 O S 8 -s II AB =C I -4 6 Tehát AB = C = ~ O -S II Majd a BA szorzatot a Falk-séma szerint kiszámitva: A O O I 2 O II 3 II 4 - O 9 2 BA =D, 3 2 O r: II azaz B A= D = 24-9 ; adódik. A = ~ ~ ~2!)~L,I és -lj O. S Látjuk, hogy AB nem egyenlő BA -val, vagyis a mátrixok szorzása nem kommutatív művelet. A mátrixszorzás tulajdonságai: A mátrixok szorzása - amint a fenti példában is láttuk - általában nem koi/- mutatív művelet, sőt egyes esetekben a tényezők felcserélése már a konfonnábilitás megkövetelése miatt sem lehetséges. 22 7i

9 KVANTlTATiv A mátrixok szorzása asszociatív művelet, azaz (A. B). C = A. (B. C), feltéve, hogy az A. B és B. C szorzatok léteznek. Érvényesek továbbá a következő azonosságok: és A(B + c) = AB + AC (baloldali disztributivítás); (A + B)C = AC + BC (jobb oldali disztributivítás);,(ab) = (,A)B (vegyes asszociativitás); (A B)* = B*A*. Sorvektor szorzása mátrixszal Az Jn. Il tipusú A mátrixot balról megszorozhatjuk az nl komponensű 50rvektorral (. III típusú mátrixszal) és az eredmény egy n kornponensű sorvektor lesz (. II tipusú mátrix). Jegyezzük meg, hogy az ei* A szorzat eredménye az A matrix i-edik sotvekto ra, hiszen a többi sorvektor () egyiitthatóval vesz részt CI lineáris kombinácioban. Alkaltnas egységvektor transzponáltjáva! (balról) való szorzással tehát kiválaszthatjuk a matrix megfelelő sorát. Világos, hog)! az *A szorzat eredménye az A matrix sorvektorainak az összege, és így az *(A ) = (*A) szorzat eredménye egyenlő az A matrix összes elelllének az összegével. Az a*b szorzat a B sorvektorainak az a lineáris kombinációja, amelyben az egyes sorvektorokhoz tartozó skalárok az a* vektor megfelelő koordinátái. Ha ab mátrix sorvektorait: b*, b*,..., b* -rnel jelöljük, az a* vektor koor- I 2 l/l dinátái pedig: (, al,..., a/l" akkor ~ * * * a' B = al b l + a~ b~ al/l b., Mátrix szorzása oszlopvektorral Az Ab szorzat az A oszlopvektorainak az a lineáris kornbinációja, amelyben az egyes oszlopvektorokhoz tartozó sk al árok a b vektor megfelelő koordinátái. Ha az A matrix oszlopvektorait al; a2;..., a/l-nel jelöljük, Legyen a' = ; 2] és B=G 2 5 ~J a b vektor koordinátái pedig: b.; b 2 ;... ; b; akkor akkor a fentiek értelmében: Ab = al b, + a2bl aj)/i' ; 2]{ ~] = ; J' -, 0]+2 2; 5; 7]= 5; 2; 4 ] Természetesen akkor is ugyanehhez az eredményhez jutunk, ha a mátrixok szorzásának definiciója szerint járunk el, azaz: fl; 2]. ~ 2 O] 5 7 = ;. O ] = 5; ; 2; 4]. A sorvektorok és mátrix szorzásának a Falk-sémája a következő: 24 3 b I 2 A I Ab számokkal 2 3 O r~ Legyen A = ~ 3 0] 4 5 és b = l:l akkor a fentiek értelmében: ~~~]r!l = a3 +!], + ~]2 = ~7l Természetesen ugyanehhez az eredményhez j utunk, ha a mátrixok szorzásának értelmezése szerint járunk el, azaz 2 3 o].r;j = ] = 9]

10 KVANTITATÍV Mátrix és oszlopvektor szorzásának a Falk-sémája a következő: 3 b 2 A Ab számokkal 2 3 O A tetszőleges III. n típusú A mátrixot megszorozhatjuk egy n komponensű oszlopvektorral, (azaz II. l tipusú mátrixszal) jobbról és az eredmény mindig egy kornponensű oszlopvektor (m. l típusú mátrix) lesz. Jegyezzük meg, hogy az Ae, szorzat eredménye az A matrix i-edik oszlopvektora, hiszen a többi osz/op vektor O egyiitthatóval vesz részt a lineáris kombinácioban. Alkalmas egységvektorral (jobbrol) való szorzással így kiválaszthatjuk a matrix megfelelő oszlopát. Világos, hogy az Al szorzat eredménye az A mátrix oszlopvektorainak az összege, és így az l*(al) = (l*a)l szorzat eredménye, amint már tudjuk, egyenlő az A mátrix összes elemének az összegével. Lineáris egyenletrendszer felírása matrix formában A mátri x szorzása oszlopvektorral típusú szorzat gyakori előfordulásának esete a lineáris egyenletrendszerek (ill. egyenlőtlenség-rendszerek) megadása, megoldása során jelentkezik. Az XI; X,;... ; X.;... ; X ismeretleneket tartalmazó - } / al.\ + {/2X2 + + (/ljxj + + (l"x" = VI a 2 x I + a 22 x a 2j x j + + a 2 "x" = v 2 lineáris egyenletek véges halmazát lineáris egyenletrendszemek nevezzük, amely az jelölések bevezetése révén tömören így írható: Ax =b. Az A matrix az egyenletrendszer együttható mátrixa. Az egyenletrendszert b = Oesetén homogén egyenletrendszernek, b of:. O esetben inhomogén egyenletrendszernek nevezzük. Az egyenletrendszert megoldani annyit jelent, mint megadni azon x vektorok M halmazár. amelyek kielégítik az Ax = b egyenlőséget. Ha az M halmaz az üres halmaz, akkor az cgyenletrendszert inkonzisztensnek, ellenkező esetben konzisztensnek nevezzük. Jelölje az A mátri x oszlopvektorait rendre: Akkor, mint tudjuk, az Ax szorzat az A oszlopvektorainak azon lineáris kombinációja, amelyben az egyes oszlopvektorokhoz tartozó skalárok az x vektor megfelelő koordinátái, azaz Ezért igaz a következő: Tétel. Annak sziikséges és elegségesfeltétele. hogy az Ax = b egyenletrendszemek legyen megoldása az, hogya b vektor előállítható legyen az A nuitrix oszlopvektorainak egy lineáris kombinaciojakéut. Lineáris egyenlőtlenség-rendszer felírása mátrix formában Természetesen a mátrixuritmctika tömör kifejezésmódját nemcsak a lineáris egyenletrendszerek esetében, hanem a lineáris egyenlőtlenség-rendszerek esetében is alkalmazhatjuk. Például az x.: X 2 ;... ;.'lj;"'; x" ismeretleneket tartalmazó allx l + 02X" ClljX) + + (/I"X" :S; VI a 2 x I + 022X:. +..,+ ( 2j X j + + (2".\" :S; h 2 26 a" A = (/~I a l2 (lj a lll (22 {/o. ( ]" aiiii QIII2 «, ali/il ~: -l X =. és b, b = h 2 x bili " típusú lineáris egyenlőtlenségek által megadott lineáris egyenlőtlenség-rend\'zer 27

11 KVANTITATív az au A = ~ {/2 alj G,,, ] -} X,].r,., X =.- és b= - a'l an a,. Cl:'/I b, ami ali/2 «: ClJ/UI jelölések bevezetésevel a tömör alakban írható fel. x " Ax ::;b.2 LINEÁRIS TEHEK (VEKTORTEREK) b' ] Ebben a részben ismertetjük a lineáris térrel kapcsolatos alapfogalmak definícióit, továbbá a bevezetett fogalmak közötti kapcsolatokat, összefüggéseket kimondó alapvető állításokat. Az állításokat megfogalmazó tételeket bizonyítás nélkül közöljük. A lineáris tér (vektortér) fogalma Definíció. Elemek (az úgynevezett vektorok) egy V halmazár a valós számhalmaz feletti lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük, ha rendelkezik a következő tulajdonságokkal: A). V-ben értelmezve van egy összeadásnak nevezett (+ jellel jelölt) művelct, azaz a V-beli elemekből képzett bármely (a; b) párhoz egyértelműen hozzá van rendelve az a és b összegének nevezett szintén V- beli a + belem Az összeadás kornmutatív, azaz a + b = b + a minden a, b E Vesetén Igaz. 3. Az összeadás asszociatív, azaz (a + b) + c = a + (b + c) minden a, b, c E V cs etén igaz. 4. V-ben van olyan O-val jelölt zéruselem. hogya + O = el minden a E V esetén igaz. b:" 5. Minden a E V elemnek van úgynevezett ellentett je, azaz minden a E V-hez található olyan (-a) E V, amelyre a + (-a) = O B). Minden a E V elemhez és A. valós számhoz egyértelrnűen hozzá van rendelve a V halmaznak egy A. a-val jelölt eleme, amelyet az a vektor A. skalárral vett szorzatának nevezünk. 2. A skalárral való szorzás kornrnutativ, azaz A. a = a A. minden a E V és minden A. valós szám esetén igaz. 3. A skalárral való szorzás asszociatív, azaz í\.(j,t a) = (í\.ji) a nunden a EVés tetszőleges A., JI valós számok esctéri igaz. 4. Minden a E Vesetén igaz, hogy la = a. c). A skalárral való szorzás a skalár összeadásra nézve disztributiv, azaz (A. + ft) a = í\. a + JI a minden a EVés tetszőleges A.,fl valós számok esetén igaz. 2. A skalárral való szorzás a V-beli összeadásra nézve disztributív, azaz A. (a + b) = A. a + A. b minden a, bev és tetszőleges A. valós szám esetén igaz. Például az Ill' tipusú mátrixok M(III; ll) halmaza lineáris teret alkot a valós számok felett (Ill. n rögzitett). Az összeadást és a skalárral való szorzást végezzük elemenként, ahogy azt a mátrixok körében definiáltuk. A lineáris tér axiómáinak teljesülésének könnyen elvégezhető igazolását az olvasóra hagyjuk. Speciálisan az II elemű oszlop vektorok VII (sorvektorok V,,') halmaza szintén lineáris teret alkot a valós számok felett. AItér, lineáris kombináció, gclledtoltelldszcr A továbbiakban lineáris tér (vektortér) kifejezés alatt mindig a valós számok halmaza feletti lineáris teret (vektorteret) fogunk érteni. Definíció. Egy V vektortér valamely W (ncm üres) részhalmazát a V vektortér egyalterének nevezzük, ha vektorteret alkot a V-ben értelmezett műveletekre nézve. 29

12 KVANTiTATÍV A lineáris algebra alapja, Például könnyen belátható, hogya V 3 vektortér azon vektorainak W halmaza, amelyeknek a 3. komponense O egyalteret alkot Vrban. Ezen kél vektor összes lineáris kornbinációinak W halmaza az r~jtipusú i I Tétel, Egy V vektortér valamely nem iires W részhalll/aza akkor és csak akkor alter; ha zárt a V-ben definiált összeadásra és a skalárokkal valo szorzásra nézve. Tétel. Tetszőleges V vektortérnek altere önmaga, valall/int az egyedill a O vektorból állo részhalmaza. Ezeket triviális altereknek nevezik. Az öszszes többi altér neve valódi altér. A O vektorból álló alteret Iluliatérnek is mondjuk, A mátrixok esetén bevezetett lineáris kombináció fogai mát tetszőleges vektorterek elemei esetén is értelmezhetjük a következő módon: Definíció. Egy V vektortér al; a 2 ;.. -; ak vektorainak lineáris kornbinációin értj ük az összes Ala I + A 2 a Aka k alakú vektort, ahol Al; A ;"'; 2 Ak tetszőleges skalárok. Az üres vektorhalmaz lineáris kombinációi közé egyetlen vektor, a O vektor, tartozik. A definícióban nem tettük fel, hogy a szereplő vektorok különbözőek. Beszélhetünk például az a, a, 2a vektorok lineáris kombinációiról. Ha a vektorok kölönbözőségét nem kívánjuk meg, akkor vektorrendszerről beszélünk. Definíció. A Ala I + A 2 a Akak lineáris kombinációt az al; a 2 ;.. ; ak vektorok konvex lineáris kombinációjának nevezzük, ha a benne szereplő skalárok nem negatívak, és az összegük. k ( Aj 2: O és L Aj =.) i = I Tétel. A V vektortér tetszőleges al; a 2 ; ; ak vektorainak összes lineáris kombinácioi V-hen egyalteret - jelölje ezt W - alkotnak. Azt mondjuk, hogy W az al; a2; ; ak vektorrendszer által generált altere V-nek. Például tek intsűk a V3 vektortér e, =l~j =l~j és c, vekto rai t vektorokból álló halmaz, ahol x és y tetszőleges valós számok. Mivel Wegy altér V 3 -ban, így az CI és Cl által generált altér W. Definíció. Az al; a.:.. -: ak vektorrenc!szert a fl vektortér véges generatorrendszerének nevezzük, ha az általuk generált alter megegyezik V-vci. +l =lj Példá ul Vrbó I ki vá laszt va az c, e, és c, +vektor o kal az ezek által generált altér maga a fl3 tér lesz. Lineáris függetlenség és összefüggés Deflnícíó. A fl vektortér al; a 2;"'; ak vektorait lineárisan fiiggetlcnekncv; nevezzük, ha lineáris kornbinációjukként a O vektor csak trivialis módon állítható elő, azaz ha a egyenlőség csak A = A 2 =... = Ak = O esetén teljesűl. A V vektortér al; a 2 ;.. ; ak vektorait lineárisan összejiiggőknek (nem Figgetleneknek) nevezzük, ha lineáris kombinációjukként a O vektor nemcsak triviális módon állítható elő, azaz ha találhatók olyan Al; A 2 ;'" ;Ak skalárok, amelyek közül legalább egy nem O, és a egyenlőség teljesü!. Ala l + A 2 a Akak = O Például, a V3 vektortér escten az a, =l~ln, =r~j és a, =l~vektorokból a O vektor csak triviális móc!on állítható elő, így ezek egy lineárisan független vektorrendszert alkotnak. "~I:. g.l 30 3

13 KVANTiTATív Tétel. Egy vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan összejl'iggő, ha vall olyan eleme, amely eláállithatá a többi elem lineáris kombináciojaként. Az előző példa könnyen általánosítható a Vn (n>2) vektorterre. Világos, hogy az 00 O I O Bázis és dimenzió el = O c2 = O.: ",c" = o vektorok Vn-ben bázist alkotnak, a Jin tér Deflníció. A vektortér egy lineárisan független al; a 2 ; ; a" elemekből álló generátorrendszerót bázisnak nevezzük. O O X Tétel. Egy vektortér al; a 2 ; ; a" elemei akkor és csak akkor lllkalnak bázist, ha a vektortér tetszőleges a vektora egyértelmiren előállítható az al: a 2 :- ; a" vektorok lineáris kombinációjaként. Definíció. Legyen B = {a ; a 2 ; ; a} a V vektortér egy bázisa. A tér egy tetszőleges a vektorának a= Ala l + A2a Aka" előállításában szereplő Al; ~;.. ';A" skalárokat az a vektor B = {al; a 2 ; ; a" } bázisra vonatkozó koordinátáinak nevezzük. Tétel. Bármely vektortérben a bázist alkotó vektorok száma egyértelműen meg V( határozva.. X 2 dimenziója egyenlő»-ncl és tetszőleges x = E V:, vektor csctén: x I O O x 2 O I O " x= = XI O + x2 O + +X" = L,xjc;. X O O " O j= Dcfiuíció. Azt moudjuk, hogya V vektortér dill/ellziója II, ha V-nek van II elemű bázisa. A nullatér dimenziója O.A V vektortér dimenziója végtelen, ha V-nek nincs véges sok elemből álló bázisa. Tétel. Az dimenziós V vektortér Wa/terének tn dimenziójára igaz, hogy m:s:n. Például: tekintsük a V 2 vektortér CI =~Jés C l =~Jvektorait, ezek lineárisan függetlenek és V} tetszőleges x = :J vektora esetén teljesűl, hogy X=XI~]+X2~]=~~+x~]=:~J Tehát az el és c} vektorok bázist alkotnak Vrben és így V 2 dunenzrója egyenlő 2-vel..3 MÁ TRIXARITMETIKAI PÉLDÁK. példa. J vektorok eseten szárnitsuk ki az a + II és a c - b vektorokat! Megoldás. Az adott vektorok mindegyike 4 dimenziós oszlopvektor, így a kívánt összeadás, ill. ki vonás elvégezhető. Az összeadást, ill. a kivonást elemenként (komponensenként) végezzük a következőképpen: 32 33

14 KVANTITATiv Ol a + h = 3: ~_~) = ~ cs c - h ~ _2+2 +(-3) -2.fi - 2 R-O -2-(-) 2-(-3).fi -2 R példa. (a) Számítsuk ki b,+j azt a b vektort, amely a b, =r-~j b, =r~l b, = r-}ektoroknak a.2 példa. ~ Legyen A = ; -~ -~ ~és B = ~ -; ~ I I Szárnitsuk ki az A + B összeget és az A - B különbséget! Megoldás. Mivel két. típusú A = ajj] és B = bjj] mátrix összegén, ill. különbségén azt az m. Il-es C = Cjj] mátrixot értjük, amelynek minden elemére igaz, hogy: Cjj = ajj + bjj, ill. Cjj = ajj - bjj. Ezért az összeadást ill. a kivonást clemenként végezzük az aij] + bjj = ajj + bjj] ill. az ajj - bjj] = ajj - bjj] képletnek r megfelelően. Így -3 O - 3H5 7 2 A+B= O I 3 = O O Al = 3; A2 = -2; A) = 5; A2 = ; skalárokkal képzett lineáris kornbinációja! Megoldás. Az adott azonos mérctű b., b 2, b), b 4 vektorokat rendre mcgszorozzuk a megfelelő Al, Al, A), A4 skalárokkal, majd a nyert szorzatokat összeadjuk: 0 b = 3b l - 2b} + 5b 3 + Ib 4 = O + I - = = 6 (b) Számitsuk ki azt a mátrixot, amely az - 2] r I Al = 3 5' - ] - 2 A 2 = 2 O ' A) = 3 ~] mátrixoknak a Al = 5;... 2 = O; AJ = -2 skalárokkal képzett lineáris kornbinációjal Megoldás. Az adott 2 2 típusú Al, Al, A) matrixokat rendre megszorozzuk a megfelelő A" Al, AJ skalárokkal, majd a nyert szorzatokat összeadjuk. és (-3) = = ; +(-) + (-2) ~~-~-; ~~= (-3) =? O-3 = (-) - (-2) O-4 5-O :.4 példa. Legyen A{ 4-5 és U=: 'ly') ",,,4 4 O - 3 O I O 7 Szarnitsuk ki az A. B szorzutnak megfelelő C, majd ab A szorzntnak megfelelő D mátrixot! Megoldás. Két mátrix szorzatát csak abban az esetben számíthatjuk, hu az adott sorrendben konformábilisek, azaz az első tényező oszlopvektorainak száma egyenlő a második tényező sorvektorainak számával. Ez a feltétel 34 35

15 KVANTITATív A lineáris algebra alapjai most teljesül és így a szorzás elvégezhető. Az AB szorzatot a Falk-séma szerint felírva: B 4 O O 2 6 O A I O AB =C. O -3 I -3 O 3 7 Tehát AB = C = O 3 7 Majd a BA szorzatot a Falk-séma szerint kiszámítva: I O O -3 I 4 O B O BA =D, 2 6 O azaz BA = ~ =fl: j -2 adódik. 2 Látjuk, hogy az AB szorzat nem egyenlő a BA szorzattal. Tudjuk, hogy ez általában így van, a mátrixok szorzása nem kommutatív művclct. 36 A.4 GAZDASÁGI FELADATOK MEGOLDÁSA MÁ TRIXARITMETIKÁ VAL A szállítási mátrix A szállítási mátrixot olyan esetekben készítik el, ha több raktárban tárolnak termékeket és ezeket több rendeltetési helyre kell kiszállítani. Gyakran az egyszerű termékek (pl. burgonya, káposzta, alma srb.) szállításával kapcsolatban készítik el a szállítási mátrixot. A mátrixban a fajlagos szállítási költségeket tüntetik fel, vagyis azt, hogy az áru egy egységének (pl. l tonna) elszállítása mennyibe kerül..5 példa. Tekintsük azt az esetet, amikor négy raktárból (RI, R2, R3' R) három rendeltetési helyre (Hi> H2' HJ) kell szállítani! Az RI, R2' R3, R4 raktárak mindegyikben csak egyfajta termék van, de mindegyikben más és más termék. Például az Rj-ben burgonyát, az Rrben káposztát, az Rrban almát és az Rr ben spárgát tárolnak. A tonnánkénti szállítási költségeket ezer Ft-ban az alábbi táblázat tartalmazza: I~ Raktár HI H 2 Hj RI R I7 Rj R Ezek a számadatok alkotják az A, ún. szállítási mátrixot: A = j Például a harmadik sor második eleme: 5 aztjelenti, hogy egy tonna almának az Rj-as raktározási helyről a Hres szállítási helyre való szállítása 5 ezer Ft-ba kerül. 37

16 KVANTiTATÍV il lineáris algebra alapjai Legyen az egyes termékek felvásárlási ára rendre 52, 40, 39, 58 ezer Ft tonnánként. Ebből képezzük a ] B = ~:átri~ot., A ~ajl.agos szállítási és felvásárlási költségek összegéből álló osszkoltsegmatnxot megkapjuk ha kiszámít juk az A és B mátri x összegét j A + B = A~ A, és, B m,á:rixok ismerete szükséges ahhoz, hogy a lehető legkevesebb koltsegrafordltassallehessen fedezni a raktározási helyek készleteiból 'I- I,,. a sza ítasi helyek szükségleteit..6 példa. Egy külkereskedelmi vállalat négy svédországi városba Göteborgba, Malmőbe, St,~ck~oln:ha és Uppsalába rnézct exponált. A méz szúllítúsa három telephelyről (" 2, T 3 ) történt a következő bontásban. (c) szállítottak el a T 2 telephelyről. (d) vásárolt (e) exportáltak Megoldás. Göteborg; összesen? Az adott szállítási programot egy 3. 4-es A mátri x segítségével adhat juk meg. A mátrix minden sorához tartozik egy feladóhely (rendre: at, a T 2, és a T3 telephely), és minden oszlopához tartozik egy rendeltetési hely (rendre: Göteborg, Malmö, Stockholm és Uppsala). Megállapodunk abban, hogy az r-edik sor j-edik eleme azt fogja mutatni, hogy hány kg mézet szállítottak az i-edik telephelyről aj-edik városba A = 80 O 295 O O 250 (a) Az egyes telephelyekről elszállítandó mennyiségeket az A. loszlopvektor komponensei adják (kg-ban): A = 585, 475, 45f. (b) Az egyes városok vásárlását az l'. A sorvektor komponensei adják kg-ban: ' A= 430,60,720,65]. (c) A T 2 telephelyről: e;. A = 475 kg mézet szállítottak el. (d) Göteborg: i'.a el = 430 kg mézet vásárolt. (e) A teljes mézexport: I". A } = 475 kg volt. Feladóhely TI TI TI T 2 T 2 T3 T3 Rendeltetési Göteborg Malmő Stockholm Göteborg Stockholm Stockholm Uppsala hely Elszállított 250 kg 60 kg 75 kg 80 kg 295 kg 250 kg 65 kg Határa,zz,uk meg mátrixalgebrai eszközökkel, hogy hány kg niézet (a) szállitouak el rendre az egyes tclephelyckről; (b) importáltak rendre az egyes svéd városok; 38 méz A technológiai.7 példa. mátrix Tekintsünk egy üzemet, amely 5-féle tennéket (jelölje ezeket: TI' T2' T3' T4 és Ts) gyárt. A gyártáshoz háromféle erőforrás: EI, E 2 és E3 áll rendelkezésre. Az üzemi adatok szerint a termékegységre eső ráfordításokat ezer Ft-ban az alábbi táblázat muratja: Erőforrás Termék iele jele TI T 2 T3 T4 TI E 3 2 O 4 5 E E} 2 4 O 3 39

17 KVANTlTATiv Ezek a számadatok alkotják a T ún. technológiai mátrixot: T = : ~ ~ ; ~l 2 4 O 3J Ha az üzemnek a TI> T 2, T3, T 4, Ts termékből rendre 50, 30, 0, 40, 80 egységnyit kell előállítania, akkor ezt a programot a p = 50; 30; 0; 40; 80]* oszlopvektorral, az ún. programvektorral adjuk meg. A Tp szorzat az adott termelési program nyersanyag szükségletét mutatja erőforrások szerinti bontásban. Tehát: = ] A rendelkezésre álló erőforrások kapacitásait tartalmazó k = 800,560,400]* oszlopvektort kapaclrésvcktornak szokás nevezni. Csak azon termelési programok realizálhatók, amelyek kielégítik a Tp :5 k egyenlőtlenséget. Egyik crőforrús tekintetében sem léphetünk túl a kapacitáskorlátokon. Általában több ilyen program is lehetséges. Ilyenkor kell kiválasztani a legcélszerűbbet, amivel az optimum számítás foglalkozik. Esetünkben az előírt program szerinti termelés végrehajtható, mert mindegyik erőforrás kapacitása nagyobb, mint a szükséglet. Az egyes erőforrások egységárait (itt most ezer Ft-ban) tartalmazó sorvektor: a" T.8 példa, 3 = 3; 8; 5] ~ ~ : ~ ~] = 46; 40; 28; 28; 46] Egy vállalat három üzemeben 4-féle termeket (T I ' T 2 ' T 3 és T 4 ) gyárt, 3- féle erőforrás (E I ' E 2 és EJ) felhasználásával. Ismertek a következő táblázatok adatai. A tennelés megoszlása az üzemek között Az üzemek A termelés mennyiségc (természetes mértékegyséuben) TI T 2 T J T~. üzem ISO üzem üzem erőforrás-felhasználása Erőforrásokból felhasznált mcnnyiség (természetes mértékegységben) Erőforrás. üzem 2. üzem 3. üzem EI E E) SO a*=3;8;5] az ún. árvcktor. Az előírt termelési program anyagköltsége az a*tp szorzatból határozható meg, azaz: 770] a' T.p = 3; 8; 5] 540 = 8580.ezerFt. 390 A fajlagos anyagköltséget (termékenként rendre) az a*t szorzat adja: Egységárak A termék egységára (ezer Ft) TI 2 T 2,5 T3 3 T4 4 Az erőforrás egységára (ezer Ft) EI 2 E 2 EJ 3 40 I 4

18 KVANTITATiv A kiindulási adatok könnyen kezelhetővé válnak, ha azokat megfelelő mátrixok, ill. vektorok alakjában írjuk fel. A táblázatokba foglalt adatok által meghatározott mátrixokat és vektorokat a kővctkczőkóppcu vezetjük be Legyen T = k i ]= a tennelés megoszlásának mátrixa, ahol tjdelenti az Í-edik üzemben aj-edik termekből termélt mennyiséget Legyen F = fj= a felhasználási mátrix, ahol fjjjelenti az Í-edik erőforrásból aj-edik üzemben felhasznált mennyiséget. Továbbá legyen a = 2; ; 3 J az erőforrások egységárvektora és b = 2;,5; 3, 4J a termékek egységárvektora. Feladat: Mátrixaritmetikai módszerek, azaz a T, F, a, b valamint diagonális mátrixok és speciális vektorok segítsége révén adjunk választ a következő kérdésekre! (a) Mennyi a vállalat készárutermelése termékfajtánként (természetes rnértékcgységben)? (b) Mennyi a vállalat összes erőforrás-felhasználása erőforrásonként (természetes mértékegységben)? (c) Mennyi az árbevétel: (c ) termékfajtánként és egyben üzemenként. (c2) termékfajtánként összesen, (c3) üzemenként összesen, (c4) összesen? (d) Mennyi a közvetlen költség: (d ) erőforrásonként és egyben üzemenként, 42 (d2) erőforrásonként összesen, (d3) üzemenként összesen, (d4) összesen? I IIII Megoldás. (a) A készárutermelést termékfajránkénti bontásban megadó t* vektor ti T mátrix sorainak ősszcgzcscvcl adódik: t =*T=I; ; ] = 050, 850; 450; I 30]. 200 (b) Az erőforrásonkénti erőforrás-felhasználást megadá f vektort a felhasználási mátrix oszlopainak összegzésévei kapjuk meg: jl'j l270j f = F.= = 70. l (el) Az árbevételt termékfajtánként és egyben üzemenként bernutató A mátrix kiszámításához rendre a T matrix i-edik oszlopát az i-edik termék egységárával kell szorozni Ci=, 2, 3, 4), azaz: ISO 40 2 O O O] A = T(b) = ~ I~~ ~ ~ = O O O 4 Ce2) Az A mátrix sorvektorait összegezve a termékfajtánkénti összes árbcvétel vektorát kapjuk: *A = I'T(b) = ; ; ] = 200; 275; 350; 4520] = (e3) Az A mátrix oszlopvektorait összegezve az üzcmenkénti összes árbevctel vektorát kapjuk: ] Al=T(b)l= 500 ISO l ]: J3330j. 43

19 KVANTiTATÍV (c4) Az A mátrix valamennyi elemet összeadva az összes árbevételt kapjuk: Külföldi cégek (partnerek) 329 l'al=l't(b)l=l; ; ]3330 =9245 (eft.) (d) A kőzvctlen költségre vonatkozó kérdések válaszait is hasonló gondolatmenet alapján adhat juk meg. (CI ) A közvetlen költség erőforrásonkénti és egyben üzemenkénti bontásban: Évek. 2. J Í. lll. (/.. lj (d2) A közvetlen költség erőforrásonként összesen: 200~ Írjuk fel matrixaritmetikai jelölésekkel. (a) a 8. partnerrel a vizsgált időszakban lebonyolított forgalom ősszcrtékét: (b) az utolsó két év forgaimát partnerenként részletezve és összesen; (c) az egy év alatt egy partnerrel lebonyolított forgalom átlagos nagyságát' j 540j (a)fl = = (d3) A közvetlen költség üzemenként összesen: ~ r' (a)f = ; ; ] = 370; ISO (d4) A közvetlen költség összesen: f(a)f.l~r370; 35; 445{:j~l30 (cfi). A forgalmi.9 példa. mátrix 35; 445]. Egy külkereskedelmi vállalat II (Il :s 8) kűl földi céggel tart fenn állandó piaci kapcsolatot. Az utolsó (m :s 2) év forgalmi adatait a következő táblázat tartalmazza, amelynek i-edik sorában aj-edik elem, (vagyis Cli') azt adja meg, hogy az i-edik évben a j-edik partnerrel mekkora forgalmát bonyolított le a vállalat. 44 Megoldás. Jelöljük a táblázat forgalmi mátrixát A-val, azaz A = ajj egy II-CS mátrix. (a) A 8. partnerrel lebonyolított összforgalmat megkapjuk. ha az A mátri x 8. oszlopának adatait összegezzük. A 8. oszlopot kiválaszthatjuk a mátrixból, ha azt egy olyan egységvektorral szorozzuk jobbról, amelynek 8. komponense az. Az eredményül kapolt oszlopvektor elemeit egy összegző sorvektorral való skaláris szorzás segítségével összegezzük: *(Acg). Természetesen ( *A)cx sorrendben is számolhatunk; itt *A az egyes partnerekkellebonyolított összforgalmakat tartalmazó vektor; az cs-cai való szorzás ebből választja ki a 8. komponenst. (b) A mátrix utolsó két sorának összegét kell előálliranunk: e'" + e* ]. A. - n Az utolsó két év összforgalma a kapott vektor elemeinek összegezésévei nyerhető: e* +c*] A.,,- lj (c) A mátri x elemeinek összegét kell osztanunk az évek és a partnerek számával: - (l*al). m-n 45

20 KVANTITATÍV.0 példa. Egy vállalatnak a tavalyi évben 263 alkalmazottja volt. Legyen D = djj az a mátrix, amelynek djj eleme azt mutatja, hogy a vállalat í-edik dolgozójának mennyi volt a keresete az elmúlt év j-edik hónapjában, továbbá legyen III = mk] az a 2 elemű vektor, amelynek elemei rendre az egyes hónapok munkanapjainak számát adják meg (feltesszük, hogya tavalyi év folyamán a letszámot illetően scm felvétel, sem kilépés a vállalatnál nem volt). Írjuk fel mátrixalgebrai jelölésekkel, hogy mennyi volt: (a) a dolgozók június havi összkeresete, (b) az egy dolgozóra jutó átlagos évi kereset, (c) az egy dolgozóra j utó átlagos havi kereset, (d) az egy dolgozóra jutó átlagos numkanapi kereset az egész évi adatok alapján, (c) a vállaluutál kifizetett összbénnennyiség a harmadik ncgyedévbcn, (f) a dolgozók május havi átlagkeresete, (g) az egy dolgozóra jutó átlagos munkanapi kereset a második negyedévben? Megoldás. (a) *. D e. (b) 6, r D (d) I". ITI' 263, (e) (f) r 0 r 0 (c) ' *. D. (e, + Cs + e 9 ); ' 0 e 5 I.' B (e.j + c5 + er,) (g), 263 (e.j + es + e(,) 263 Végtermék Alkatrész jele jele Al A2 AJ A4 As VI O 2 V2 2 O VJ O V 4 O 5 I 4 3 Az egyes alkatrészek beszerzési ára rendre: 3; 2, ; 2;,4; I ezer Ft/db. Feladat. Határozza meg mátrixaritmetikával, a megfigyelt időszakra vonatkozóan, a következőkct: (a) Mekkora a termékek fajlagos alkatrészkőltsége? (b) Az egyes alkatrészekből hány db-ot kell importálni? (c) Mennyi a teljes importköltség? Megoldás. Legyen a = 3, 2,; 2;,4; ]' az alkatrészek beszerzési egységárvektora és p = 50; 70; 32; 20)' a termelés programvektora! 'Továbbá legyen A = aj= O 2 2 O az alkatrész felhasználás mátrixa, O O 5 j 4 3 ahol ajj jelenti az i-edik termék előállítása során aj-edik alkatrészből felhasznált darabszámot. Lll példa. Egy üzemben importból beszerzett 5-féle alkatrészből 4-fajta végtermeket szerel nek össze. Egy megfigyelt időszak alatt a VI termékből 50, a V 2 termékből 70, a V 3 termekből 32, a V 4 termekből 20 egységet állítanak elő. A! egyes termékek fajlagos alkatrész-szükségletét a kövctkező táblázat mutatja: (a) A termékek fajlagos alkatrészköltsége: Aa, Aa= O 2: 2 O O 5 I 4 3,4 = I 27,6 20,8 2,5. 2, 46 47

21 KVANTITATív (b) Az alkatrész-szükséglet vektora: p'a, O 2] Il A = 50; 70; 32, 20] = 322; 343 O O 5 43 Cc) A teljes importköltség: p"a.a = ll'.aa..5 FELADATOK. Adja össze a következő vektorokat: 496, 45; 36, 580] (b) Adja össze a következő mátrixokat: J O O 2 ] - O - A= B= - 2] c= ' O 7-3. I -6 O (c) Adja össze a következő mátrixokat: - O O Af O O -b -b O -< n"~ - a O, -b O 2a O O -b b O O -a a a O O (d) Legyen - J? 5 ] és B = O 2-2. O O 3 Milyen speciális matrix az A, a B, az A + B és a B - A? (b) a = 7; 2; -3]*; b = -; O; 0,5]*; c = 3; -3; 2,5]*..3 Írja fel a következő lineáris kombinációk által meghatározott vektort:.2 (a) Legyen X" ~ J O O JI - 3 v, 3 O O - 2] I O (b) 4a -2b +5c, ha a* = ; -; 5; -2]; b* = O; 3; -; 5]; c* = ; O; -; O]. Számítsa ki az X + Y összeget és az Y - X különbséget! Cc) -2a +3b -5c - 3d, ha 48

22 KVANTITATÍV M6DSZEREK.4 Írja fel a következő lineáris kombinációk által meghatározott mátrixot: (a) 3A-Sil-C,ha (b) -SA +3-3C, ha.7 Mivel egyenlő Ca) x* A y,ha O 5] A = , O 5-2,--/ 4] - 0]. x - -' Y - -5 ' A=~ ll= ~ 5 c= O - ~ 8 tl 7 O 4 ' - :2 O - -2 O O O -S (c) Igazolja az ismert!' (a) = a' és (a) = a azonosságole teljesülését az.5 Végezze el a következő mátrix-vektor szorzásokat: (a) (b) 2 O - -~J-n ~ -2 O 4 :;]Fl.6 Végezze el a következő vektor-mátri x szorzásokat: (a) -3', 7', 5', (b) 8; 3; -; O -? O -3]. - O 5 9 :2.8 a{vektor eseten. Határozza meg a következő szorzalnak megfelelő mátrixot: (a) A B és B. A, ahol H A = ~ ~ ~:~lii = l~,3 (b) X' Y és Y. X, ahol 2 3-5] X = O 3 y =~ - 2 O ' 4-2 o O - 2] ~. 50 5

23 KVANTITATÍV (c) Igazolja a mátrixok szorzásának asszociativitását azaz, hogy (A. B). C = A. (B. C)] a következő mátrixok esetén: B = O ] 4 5 O 3 ' c ~ :~ ~ ~l! O O 2 Az erőforrás A termék jele Az erőforrások jele TI T2 T3 T4 TS egységára --- ~ EI I O S.- E O I 0 E3 4 6 O Gyártondó mennviség: (d) Igazolja az ismert (A. B)* = B*. A * azonosság teljesülését a következő mátrixok esetén:.: O j II= l-~ ;! Számítsa ki mátrixarirmctika segitségével: (a) Mennyi a termékek fajlagos crőforrásköltsége? (b) Mennyi a termelési program crőforrús-szükséglcrc (erőforrásonként részletezve)? (c) Mennyibe kerül az adott termelési program erőforrás-szükséglctc?.2 A "Hunimpex" külkereskedelmi vállalat az elmúlt gazdasági évben tíz külföldi céggel (partnerrel) tartott fenn állandó piaci kapcsolatot. Az év forgalmi adatait az F = fjj] matrix tartalmazza, amelynek f eleme azt adja meg (alkalmas rnértékegységben), hogy az r-edik hónapban a j-edik partnerrel mekkora forgalmat bonyolított le a vállalat. Számusuk ki a kövctkező szorzatokar: (b) * MI; (c) l*ba*l; (d) b* M*l; (e) a* Mb; (f) b* M*a; (g) ba* \; (h) Mba*..0 Az egyik főiskola nappali első évfolyamán 6 tárgyból vizsgázott 35 hallgató. Jelentse az A = ajj] mátrix ajj eleme az i-edik hallgatónak aj-edik tantárgyból elért vizsgajegyét. Írja fel mátrixaritmetikai jelölésekkel: (a) az évfolyamnak az 5. tantárgyból elért átlagár; (a) a 4. hallgató vizsgajegyeinek átlagát; (b) az évfolyam vizsgajegyeinek átlagát!. Egy üzem 3 erőforrás segítségével ötféle termeket állít elő. A termékegységre vonatkozó ráfordításokat, az erőforrások egységárait (ef t-ban), valamint az egyes termékekből gyártandó mennyiségeket (db-ban) a következő táblázat mutatja. 52 Írja fel matrixaritmetikai jelölésekkel a következőket! (a) A k-adik céggel lebonyolított havi forgalmak vektora, ( :S:k :S:0). (b) A k-adik céggel az elmúlt évben lebonyolított összforgalom, (l:s:k:s:lo). (c) A p-edik hónap forgalma partnerenként részletezve, (J :s: p :s: 2). (d) A p-edik hónap összforgalrna, (:S: P :s: 2). (e) Az utolsó negyedév forgalma partnerenként részletezve. (f) Az utolsó negyedév osszforgalma. (g) Egy hónap alatt egy céggel lebonyolított forgalom átlagos nagysága.3 A.Dunagép KFT" egyik üzemeben ll-féle erőforrás felhasználásával m-féle végtermeket gyártanak. Az F = fjj] mátri x fjj eleme jelenti, hogy ajedik végtermék egy egységének előállitásához felhasznált i-edik erőforrás mennyiségét (természetes mértékegységben). Valamely időszakra vonatkozóan a p vektor komponensei jelentsék rendre az egyes végtermékekből előállítandó rnennyiséget, az a vektor komponensei pedig jelentsék rendre a különböző erőforrások egységárait. Az F, P. a, valamint diagonális mátrixok és speciális vektorok segítségével írja fel a következőket! 53

24 KVANTiTATÍV (a) A P program erőforrás-szükséglete termékenként a k-adik erőforrásból (l:s;k:s;/l). (b) A P program erőforrásköltsége a k-adik erőforrásból (I:S; k:s; ll). Cc) A fajlagos (egységnyi termékre eső) erőforrásköltség termékenként. (d) A q-adik termék egységének erőforrásköltsége erőforrásenként (I:S;q:S;I7l). (e) A q-adik termék erőforrásonkénti szükséglete a p programban (I:S;q:S;/Il). (f) A q-adik termék erőforrásköltsége a p programban ( :S; q :S; /Il)..4 Egy üzemben importból beszerzett 5-féle alkatrészből 4-fajta végterméket szerelnek össze. Egy megfigyelt időszak alatt a VI termékből 50, a V2 termékből 70, a V) termékből 32, a V 4 termékből 20 egységet állítanak elő. Az egyes termékek fajlagos alkatrész-szükségletét a következő táblázat mutatja: Termék jele Alkatrész jele Al A 2 Aj A4 As VI V Vj O V 4 5 l 4 3 Az egyes alkatrészek beszerzési ára rendre: 3; 2,; 2;,4; ezer Ft/db. Határozza meg mátrixaritmetikával a megfigyelt időszakra vonatkozóan a következőket: Ca). Mekkora a termékek fajlagos alkatrészköltsége? Cb) Az egyes alkatrészekből hány db-ot kell importálni? (c) Mennyi a teljes importköltség?.5 Egy külkereskedelmi vállalat Jn fajta terméket exportál II számú különböző országba. Az A mátrix aijeleme jelentse az /-edik termékból aj-edik országban eladott darabszámot. Legyen (I:s; k :s; /) és ( :s; P :s; ll)! Fogalmazza meg, mit jelentenek a következő kifejezések. (a) e: A; (b) e~ A e ; p (c) A A.Jvlikroelektronika Rt." egy megfigyelt héten tn-féle alapanyag felhasználásávaln-féle termeket gyártott. A T = tij] technológiai mátrix tij eleme jelenti aj-edik termék egy egységének készítéséhez felhasznált i-edik alapanyag mennyiségét (természetes mértékegységben mérve). Jelentsék a q programvektor komponensei rendre az egyes termékekből gyártott mennyiséget a megfigyelt héten, az a vektor komponensei rendre a felhasznált alapanyagok egységárait, a b vektor komponensei pedig rendre a termékek eladási egységárain Fogalmazza meg, hogy mi a jelentése a következő kifejezeseknek. (a) T(q) ; (b) TI; Cc) Tq; (d) e~tq, (I:S; «< ); (e) qb ; (f) (q)b; (g) a*t; (h) a*tq; (i) T(a); (j) b-m*a..7 Egy vállalat ll-féle végtermeket gyárt -féle alapanyag felhasználásával. Az A = ap'!] mátrix a pq eleme jelenti, hogy ap-edik végtermék egy egységének előállításához mennyit használtak fel (természetes mértékegységben) a q-adik alapanyagból. Ismert az x programvektor, amelynek komponensei rendre az egyes végtermékekből előállítandó mennyiséget mutatják és adott az alapanyagok egységárait tartalmazó a vektor is. Az A, x, a, valamint diagonális mátrixok és speciális vektorok segítsé- I ge révén ÍJja fel a következőket! (a) Az x program anyagszükséglete alapanyagonként. (b) Az egyes végtermékek fajlagos anyagköltsége az i-edik alapanyagból(l::::; i«). (c) A j-edik végtermék egységének alapanyagköltsége (I::::;.i::::; II). (d) Az x program anyagköltsége: (d ) alapanyagonként; (d2) végtermékenként, (d3) végtermékenként és egyben alapanyagonként..8 Egy megfigyelt időszakban a "Célgép KFT" egyik gyáregysége II-féle erőforrás felhasználásával 8-féle végterméket gyártott. Az M = tnij] mátrix Jnijeleme jelenti aj-edik végtermék ( ::::;j s 8) egy egységének 55