A SOKASÁG RITMUSA meglepô szinkronizációs folyamatok

Átírás

1 A SOKASÁG RITMUSA meglepô szinkronizáiós folyamatok éda Zoltán, Babeş-Bolyai Tudományegyetem, Kolozsvár, Románia Káptalan Erna, Báthory István Elméleti Líeum, Kolozsvár, Románia Rég ismertbölsesség, hogy a SOK az más, mintegyszerûen az egyedek összege. Sok hasonló egyed kölsönhatása során megjelenô kollektív viselkedés minôségileg új jelenségeketeredményezhet. Talán a legismertebb példa erre a különbözô módon kapsolt oszillátorok szinkronizáiója, ahol a kölsönhatás következményeként egy kollektív ritmus alakul ki a rendszerben. A természetben, emberi közösségünkben és a fizikai rendszerekben számos példátismerünk ilyen típusú kollektív jelenségre. Ezen jelenségek sok esetben megérthetôk egyszerû fizikai modellek és módszerek alkalmazásával. A következôkben meglepô szinkronizáiós jelenségeketés modelleket fogunk röviden bemutatni. A hangsúly a nemtriviális szinkronizáiós folyamatokon lesz, ahol a közös ritmus sak a rendszertjellemzô paraméterek bizonyos értékeire alakul ki. Még érdekesebbek azok a rendszerek, amelyekben a ritmikus kollektív viselkedés a rendszerben levô optimalizáió melléktermékeként jelenik meg, és az oszillátorok között nins fáziskülönbségetdirektmódon sökkentô kölsönhatás. Kollektív jelenségek A nagysaládos szülôk jól tudják, hogy két gyerekkel a munka nem ugyanannyi, mintkétszer egy gyerekkel (általában sokkal több ), viszont négy gyerekkel nem ugyanannyi, mintkétszer kétgyerekkel (általában kevesebb ). Számtalan természeti és társadalmi jelenség során meggyôzôdhetünk arról, hogy nagyszámú egyed közös (kollektív) viselkedése minôségileg új és érdekes jelenségeketeredményez. Ezen jelenségek általában nem nyilvánvaló következményei a rendszert alkotó egyedek tulajdonságainak: a sok az más, mint egyszerûen az egyedek összege. A rendszer egészét jellemzô nemtriviális viselkedést kollektív jelenségnek nevezzük, utalva arra, hogy a fursa viselkedés a rendszert alkotó egyedek közti kölsönhatásból, illetve az egyedek nagy számából adódik. A fentiek alapján könnyû megsejteni, hogy a kollektív viselkedés egy nagyon tág jelenségsoportot jelöl, és számos természet-, illetve társadalomkutató fáradozik ezek megértésén. Aminta tudományok fejlôdése során már sokszor megtörtént, a fizika klasszikus modelljei és módszerei hasznosnak bizonyulnak ezen jelenségek leírására is. A kollektív jelenségek tanulmányozása így a modern fizika egyik érdekes feladata lett, amelyben sok izgalmas és váratlan eredmény született. Egymással kölsönható ingaórák vagy oszilláló áramkörök szinkronizáiója talán a legismertebb kollektív viselkedés. Régóta ismert jelenség ez, és ha igaz a legenda, akkor hristian Huygens holland fizikus (629695), aki ingaórákat is készített, volt az elsô, aki felfigyelt arra, hogy az egy falon levô órák ingái együtt lengenek (szinkronizálódnak). Mivel tudta, hogy lehetetlen két olyan ingaórát készíteni, amelyeknek pontosan azonos periódusa van, helyesen, a kétinga közti kölsönhatásnak tulajdonította a szinkronizáiót. A két ingaórát egymástól eltávolítva a szinkronizáió megszûnt, sejtése ezáltal beigazolódott. Ezen írás keretében nagyszámú oszillátor szinkronizáióját tárgyaljuk azon esetekben, amikor a szinkronizáió megjelenése nem nyilvánvaló. Mi is a szinkronizáió? Oszillátornak fogunk nevezni minden olyan rendszert, amelynek periodikus dinamikája van. em sak fizikai, hanem biológiai rendszerek is lehetnek oszillátorok. Az oszillátorok szinkronizáiója a legtöbb fizikusnak azt jelenti, hogy a rendszert alkotó egyedek fázisai azonosak és idôben azonosak is maradnak. Ez a dinamikus állapotazonban a szinkronizáiónak sak az egyik lehetséges formája, és nagyon sok más dinamikus állapotra lehet még a szinkronizáltság fogalmát használni. Például, ha adott esetben az oszillátorok közti fáziskülönbség marad idôben állandó, a rendszertjogosan szinkronizáltnak tekintjük. A feladat ennél még sokkal bonyolultabb, ugyanis nagyon sok oszillátor esetén nins egy jól értelmezett fázis, hiszen oszillátornak lehet tekinteni bármely komplex periodikus (iklikus) folyamatot. Másfelôl, a fentebb értelmezett tökéletesen szinkronizált állapoton kívül létezhetnek részlegesen (pariálisan) szinkronizáltállapotok is, ahol az oszillátorok fázisai nagyrészt, vagy sak megközelítôen azonosak. Egy oszillátorsokaság szinkronizáiójának a jellemzésére általában egy q rendparamétert vezetünk be, ami egy 0 és közötti szám. A rendparaméter a szinkronizáió fokátjellemzi, q = a tökéletesen szinkronizáltállapotnak felel meg, q = 0 bármely fajta szinkronizáió hiányátjellemzi, és a 0 < q < esetben a szinkronizáió részleges. A rendparaméter megválasztása nem mindig egyértelmû, és nagymértékben függ az oszillátorsokaság tulajdonságaitól. Triviális, illetve nemtriviális szinkronizáiós jelenségek Tárgyaljuk elôször azt az esetet, amikor a sokaságot alkotó oszillátorok egyformák, és a rendszerben nins egy karmester aki egy közös ritmust diktálna. ÉDA ZOLTÁ, KÁPTALA ERA: A SOKASÁG RITMUSA 30

2 . ábra. Sörösbádogokra helyezett deszkalapon oszilláló azonos metronómok szinkronizáiója. Ilyenkor spontán szinkronizáióról beszélünk. Tökéletesen azonos, egymással globálisan kölsönható (mindenki mindenkivel) oszillátorok spontán szinkronizáiója triviális, ha az oszillátorok közti kölsönhatás fáziskülönbség-sökkentô jellegû. Ilyen esetekben azt mondhatjuk, hogy a tökéletesen szinkronizált állapot a rendszernek egy stabil fixpontja. A rendszer a közös frekveniára szinkronizálódhatúgy, hogy az oszillátorok fázisai minden idôpillanatban megegyeznek. Ilyen jellegû szinkronizáióthozhatunk létre, ha például tökéletesen azonos metronómokat egy deszkalapra rakunk, majd a deszkalapotkéthengerként lefektetett sörösbádogra egy asztallapra helyezzük (. ábra). Azonnal belátható, hogy a fent leírt rendszer sak a mesékben létezik ugyanis a valóságban tökéletesen egyforma egyedek nem léteznek. Bármennyire is akarnánk, nem tudunk két, teljesen azonos frekveniájú metronómot vagy ingát készíteni, sôt még atomi szinten sem tudunk két teljesen azonos oszillátort kapni, ugyanis egy elemi oszillátor periódusát valamilyen mértékben a környezete is befolyásolja. Mivel teljesen egyforma oszillátorokból álló sokaság nem létezik, jogos a kérdés, hogy különbözô frekveniájú oszillátorok szinkronizálódhatnak-e? Ha igen, akkor mi ennek a feltétele, és mi lesz a közös frekvenia, amitminden egyed felvesz? Fáziskülönbség-sökkentô kölsönhatások esetén tehát az azonos egyedekbôl álló rendszer spontán szinkronizáiója triviális, de a valóságos eset, amikor az oszillátorok sajátfrekveniái különböznek, nem triviális. Ha a különbözô sajátfrekveniájú oszillátorokat egy elég erôs külsô periodikus kényszer (karmester) vezérli, a rendszer szinkronizáiója újból könnyen megérthetô. Ha a periodikus vezérlésnek az a hatása, hogy az oszillátorok és a karmester fáziskülönbsége sökken, az oszillátorok a vezérlô frekveniára szinkronizálódnak. Ilyenfajta triviális szinkronizáió rendkívül elterjedt a természetben és társadalmunkban: katonák masírozása, tán, a Föld és Hold forgása, vagy az évszakok váltakozása által generált bioritmusok, a szívritmust szabályozó sejtek szinkronizáiója a szívbe beépített szívritmusszabályzó által stb. A spontán szinkronizáiónak egy erôsen nemtriviális és érdekes megjelenési lehetôsége az, amikor különbözô sajátfrekveniájú oszillátorok szinkronizálódnak anélkül, hogy egy direktfáziskülönbség-sökkentô kölsönhatás lenne az egyedek között. Ezen rendszerekben a szinkronizáió egy optimalizáió melléktermékeként jelenik meg. A spontán szinkronizáió nagyon gyakori jelenség. Számos természeti és szoiális rendszerben megfigyelhetô: mehanikailag kapsolt ingák és metronómok, kapsolt elektronikus rezgôkörök, dél-keletázsiai tûzlegyek periodikus felvillanásai, tüskök iripelése, békák brekegése, együttélô nôk menstruáiós iklusainak egybeesése, vastaps, kémiai reakiókban levô oszilláiók és egymástól távoli viharmagokban a villámlási aktivitás stb. esetén []. A spontán szinkronizáiós jelenségek megértése és leírása ezért érdekes és fontos feladat. A következôkben a spontán szinkronizáiók néhány fontosabb modelljétés törvényszerûségeitegy kisitrészletesebben fogjuk tárgyalni. Fáziskapsoltoszillátorok spontán szinkronizáiója, a Kuramoto-modell Kísérletileg megállapított tény, hogy nagyon sok ingaóra vagy metronóm szinkronizálódhat, annak ellenére, hogy sajátfrekveniájuk különbözô. Ennek azonban az a feltétele, hogy a köztük levô kölsönhatás elég erôs legyen. Egy sok oszillátort tartalmazó rendszerre létezik egy kritikus kölsönhatás-erôsség, ami alatt a rendszer nem szinkronizálódik, azonban ha az egyedek közti kölsönhatás erôssége meghaladja ezt a kritikus értéket, akkor megjelenik a szinkronizáió. Minél eltérôbbek az oszillátorok, annál magasabb a kritikus kapsolás értéke. Ezt az érdekes fázisátalakulás-szerû jelenséget írja le a Kuramoto-modell [2]. A Kuramoto-modell fáziskapsolt rotátorok sokaságát tekinti. Tekintsünk darab globálisan satolt rotátort. A rotátorok ω k körfrekveniával rendelkeznek és állapotukat a φ k fázisuk jellemzi. Kuramoto és ishikava, Winfree [3] ötletét követve, a rendszer idôbeli evolúiójátegy kapsoltelsôrendû differeniálegyenlet-rendszerrel közelítette meg. Modellükben az k -adik oszillátor mozgásegyenlete: dφ k dt = ω k K () ahol K az oszillátorok közti satolás erôsségét jellemzô állandó. Az () differeniálegyenletjobb oldalának az elsô tagja egy szabad (a többi oszillátorral nem kapsolt) oszillátor fázisának a sajátfrekvenia szerinti, konstans sebességû változását írja le, a második tag pedig a rendszerben levô többi oszillátorral való kölsönhatást modellezi. Az () szerint minden oszillátor hat minden más oszillátorra és ez a hatás fáziskülönbség-sökkentô: ha φ j > φ k a k -adik oszillátor fázisa gyorsabban nô, ha meg φ j < φ k, akkor lassabban. Mindez a kölsönhatást meghatározó harmonikus függvény nulla körüli viselkedésének tulajdonítható és a szinkronizáiót segíti. Kuramoto és ishikava nagy érdeme, hogy rájöttek arra, hogy ha az egye- j = sin(φ j φ k ), 302 FIZIKAI SZEMLE 2009 / 9

3 q, rendparaméter 0 végtelen nagy rendszer véges rendszer K K, satolási erõsség 2. ábra. Fázisátalakulás-szerû szinkronizáió a Kuramoto-modellben. dek közti kölsönhatást harmonikus formában választják meg, a kapsolt differeniálegyenlet-rendszer szétválasztható egymástól független egyenletekké, és a szinkronizáltság fokát jellemzô q rendparaméter átlagos értékére analitikus eredmények kaphatók. Rendparaméternek a: 0 és közti mennyiséget tekinthetjük. A (2) képletben a súsos zárójel idô szerinti átlagolást jelent. yilvánvalóan, ha a fázisok véletlenszerûen mutatnak minden lehetséges irányba, a rendszer nem szinkronizáltés q = 0. Ha azonban a rendszer tökéletesen szinkronizált, a fáziskörön minden fazor egyirányba mutat és ezáltal q =. A Kuramoto-modell egzakt megoldása a termodinamikai határesetre vonatkozik ( ) és aztaz érdekes eredménytadja, hogy egy adott oszillátorsokaság esetén létezik egy kritikus K satoláserôsség: ha K K, a rendszer nem szinkronizálódik és a stabil megoldás q =0;haK > K, a rendszerben részleges szinkronizáió jelenik meg, és a stabil megoldás: 0 < q <.Aq = tökéletes szinkronizáió a K határesetben jelenik meg. A q rendparaméter K szerinti változását végtelen nagyságú és véges nagyságú rendszerekre a 2. ábra szemlélteti. A K kritikus satolás erôssége az oszillátorok sajátfrekveniáinak szórásától függ: minél inkább különböznek ezek a sajátfrekveniák (minél nagyobb a szórás értéke), annál nagyobb lesz K értéke. A rendszerben egy érdekes fázisátalakulás-szerû jelenség tapasztalható, ezen fázisátalakulás sok szempontból hasonló a ferromágneses rendszerekben levô ferroparamágneses fázisátalakuláshoz. A rendparaméter szerepét itt a rendszer mágnesezettsége, a K paraméter szerepét meg a rendszer hômérsékletének inverze, az /T veszi át. E E 3. ábra. Tüzelô oszillátorok szinkronizáiós mehanizmusa. 2 f q = f j = E E e i φ j 2 f f (2) d A Kuramoto-modell magyarázatot ad tehát arra, hogy egy valós oszillátorsokaságban, ahol az oszillátorok sajátfrekveniái különbözôek, miért és mikor jelenhetmeg bizonyos fokú szinkronizáió. Pulzussatolt oszillátorok agyon sok természetbeli oszillátor esetén a fázis nem jól értelmezett mennyiség, és így az oszillátorok kölsönhatását nem a fázisok különbsége vezérli. Tekintsük például az ázsiai tûzlegyek esetét: egy tûzlégy fázisa nem értelmezhetô, és a tûzlegyek egymásról sak a felvillanás (pulzuskibosátás) pillanatában szereznek informáiót. Tehát feltehetô, hogy az egyedek közti kölsönhatás is sak a felvillanás idôpontjában lép fel. A természetbeli oszillátorok nagy többsége tüzelô jellegû (pl. a neuronok), és kölsönhatásuk ezen tüzelések révén valósul meg. Erre a pulzussatolt oszillátorrendszerre is létezik egy egyszerû modell, amely elegánsan magyarázza a különbözô sajátfrekveniájú oszillátorok szinkronizálásának lehetôségét [4]. A modellnek itt egy nagyon egyszerû változatát fogjuk ismertetni. Tekintsünk egy idealizált pulzáló oszillátort, amelynek pillanatnyi állapotát egy képzeletbeli φ i fázis és egy másik, E i állapotváltozó határozza meg. Ezen két változó egymástól nem független, és kapsolatukat egy E i = f (φ i ) (3) konkáv jellegû függvény adja meg (3. ábra). Az oszillátor fázisa idôben a φ i (t) =t mod(φ ) i törvény szerint változik. Itt az x mod(y) jelölés az x -nek az y -nal való osztási maradékát jelenti. Az oszillátorok fázisa tehát idôben egyenletesen nô, amíg el nem éri a φ értéket, amikor lenullázódik és az oszillátor i tüzel (egy pulzust bosát ki). A φ i változóval egyidôben az E i is állandóan változik a (3) egyenlet szerint. A satolatlan oszillátorok dinamikája tehát egyszerû periodikus tüzelésekbôl áll. A globális satolás a kibosátott pulzusokon keresztül valósul meg: egy oszillátor tüzelése a többi oszillátor E i állapotváltozóját egy δ értékkel megnöveli. Ezáltal a többi oszillátor fázisa is a (3) egyenletnek megfelelôen nô (3. ábra). Azonnal belátható, hogy egyetlen egy tüzelés lavinaszerû folyamatot eredményezhet, amelyben nagyon sok más oszillátor tüzelni fog. Egy lényeges törvény, amit a dinamikában még bevezetnek, az úgynevezett refrakter állapot jelenléte: amikor egy oszillátor tüzelt, fázisa lenullázódik, és az oszillátor refrakter állapotba kerül (fázisa nulla marad amíg a tüzelési lavina megszûnik). Ezáltal egy oszillátor sak egyszer tüzelhet egy lavinán belül. Belátható és matematikailag bizonyítható, hogy a rendszerben bizonyos fokú szinkronizáió léphetfel, amelyben az oszillátorok együtt tüzelnek. A szinkronizáió fokára egy jól értelmezett rendparaméter a legnagyobb tüzelési lavina relatív mérete (a legnagyobb lavinában tüzelô oszillátorok száma elosztva a rendszerben levô oszillá- ÉDA ZOLTÁ, KÁPTALA ERA: A SOKASÁG RITMUSA 303

4 torok számával). A kölsönhatás erôsségét a δ paraméter jellemzi. A fent leírt pulzussatolt rendszer viselkedése hasonlít a Kuramoto-modell által leírtra. Létezik egy δ kritikus satolás, amely alatt a rendszer nem szinkronizálódik, és amely felett részleges szinkronizáió alakul ki. A kritikus satolás értéke az oszillátorok φ i periódusainak szórásától függ. Minél inkább különbözik az oszillátorok frekveniája, annál nagyobb δ értéke. A q rendparaméter a δ satolási paraméter függvényében a 2. ábrán rajzoltgörbéhez hasonlóan viselkedik. Többmódusú pulzussatolt oszillátorok meglepô szinkronizáiója Tekintsünk most olyan tüzelô jellegû oszillátorokat, amelyek több módusban is mûködhetnek [5, 6]. Vizsgáljuk elôször azt az egyszerû esetet, mikor ezen módusok a pulzuskibosátás periódusában különböznek egymástól. Legyenek ugyanakkor az oszillátorok valószerûbbek azáltal, hogy az oszilláió periódusa ingadozhat (fluktuálhat). Egy egyszerû absztrakt modell ezen oszillátorokra a következô lehet. Egy oszillátor periódusa három, egymástkövetô iklusból áll: A B A. A periódus elsô iklusát(részét) jelöljük A -val, és legyen ez a dinamikának a véletlenszerû (stohasztikus) része, amelybôl a periódusingadozás származik. Ez az A rész tekinthetô úgy is, mint egy stohasztikus reakióidô. Jelöljük az A iklus idôtartamát τ A -val, ami egy stohasztikus (véletlenszerû) változó lesz. A dinamika B iklusa legyen a periódus leghosszabb idôtartama: τ B, és legyen ez az az idôhossz, amitaz oszillátor periódusként követni szeretne. Az oszillátor módusai abból származnak, hogy τ B hossza különbözô lehet. A legegyszerûbb esetben a B iklus hossza sak kétféle lehet: τ BI vagy τ BII. Az egyszerûség kedvéért tételezzük fel, hogy τ BII = 2 τ BI, vagyis létezik egy lassúbb módus, (B = B II ), és egy gyorsabb módus, (B = B I ). Amikor az oszillátor dinamikája a B részéhez ér, az oszillátor dönthet, hogy melyik módust választja. A periódus utolsó, iklusában történik a tüzelés. A tüzelés hossza legyen τ, erôssége pedig /, ahol a rendszerben levô oszillátorok száma. Az i-edik oszillátor pulzuskibosátása tehát f i =/, ha az oszillátor a iklusban van, és f i =0,haaz oszillátor az A vagy B iklusban van. A rendszerben levô össz-pulzuserôsség A B B I II f i A. módus 2. módus idõ 4. ábra. Kétmódusú tüzelô oszillátorok dinamikája. Többmódusú stohasztikus oszillátorral modellezhetô még egyes tüsökfajok iripelése, ahol a iripelési frekveniák a környezet hômérsékletével változnak; a neuronok dinamikája, ahol két jól elkülöníthetô oszilláiós mód létezik; és a Gonyaulax polyhedra egysejtû alga többfajta biolumineszeniája. Az eddig értelmezett többmódusú stohasztikus és tüzelô oszillátorok dinamikája egyszerû, de még nem értelmeztük a köztük levô kapsolást. Tételezzük fel, hogy ezen többmódusú oszillátorsokaság élja az, hogy az f pillanatnyi összpulzus erôsségét a rendszerben egy megszabott f * érték körül tartsa. A rendszer tehát egyszerûen arra törekszik, hogy a tüzeléseketúgy optimalizálja, hogy f f *. Az egyedek egyetlen szabadsági foka az, hogy a módusok között szabadon választhatnak. Egy egyed, miután befejezte az A iklust, választhat, hogy a B I vagy a B II módust követi (4. ábra). Ha ebben a pillanatban f < f*, az oszillátor a rövidebb periódusú, B I módustköveti, növelve ezáltal az egységnyi idô alatti pulzusok számát, és ezáltal f értékét. Ha azonban f > f *, az oszillátor a hosszabb periódusú, B II módustválasztja, sökkentve az egységnyi idô alatti pulzusok számát, és ezáltal f értékét. A fenti dinamikának tehát egy optimalizáiós élja van: a rendszerben levô összpulzus erôsségét f * környezetében tartani. Ami azonban ebben a rendszerben történik, az sokkal több, mint egy egyszerû optimalizáió! Ha f * 5. ábra. Kétmódusú tüzelô oszillátorok elektronikus megvalósítása. VrefI 50R B I B II 00nF A fentebb értelmezett absztrakt oszillátorok na- gyon általánosak, és a természetben nagyon sok olyan rendszer van, amelynek dinamikája hasonló. Egy azonnali példa erre az emberi tapsolás [7]. A tapsolás egy iklikus mûvelet, amelynek periódusa idôben fluktuál, létezik egy gyors és egy lassú tapsolási mód, és egy teljes iklus hangkibosátással végzôdik. f = i = f i. 00R LED 0K V MOSI MISO SK RST RX TX AGD GD AV V Vref AD AI0 ATMEGA8 AI 00nF 47µF AD0 IT0 IT AD2 AD3 AD4 fotoellenállás 00nF 0nF M 00K 0K 304 FIZIKAI SZEMLE 2009 / 9

5 q q = 000 = 5000 = ábra. (a) Fázisátalakulás-szerû szinkronizáió a kétmódusú oszillátor sokaságban. (b) A szinkronizáió mértékének változása a rendszerben levô oszillátorok számának függvényében. értéke nagyon nagy, minden oszillátor a B I módust választja, az oszillátorok össze-vissza villognak, és szinkronizáió nem jelenik meg. Ha f * értéke nagyon kisi, minden oszillátor a B II módustválasztja, az oszillátorok megint össze-vissza villognak, és szinkronizáió újból nem jelenik meg. A meglepetés az, hogy egy aránylag tág f * intervallumon az oszillátorok elkezdenek a két módus között váltogatni, és ilyenkor az oszillátorok tüzelése részlegesen szinkronizálódik, annak ellenére, hogy semmilyen fáziskülönbség-sökkentô kölsönhatás nins az egyedek között, és hogy az oszillátorok sajátperiódusai különbözôek és idôben fluktuálhatnak. A rendszer viselkedése a legegyszerûbben számítógépes szimuláiókkal tanulmányozható. Készíthetôk azonban elektronikus bogarak (5. ábra), amelyek egy LED segítségével fényimpulzus kibosátására képesek és egy fotoellenálláson keresztül a rendszerben levô fényerôsséget detektálják. A bogarak döntéshozatalra (móduskiválasztásra) képes agya egy kis mikrokontroller. Egy ilyen elektronikus bogárrendszertegy közös lapról vezérelve és dobozba zárva, a nem várt kollektív viselkedés kísérletileg is tanulmányozható (a [8] honlapon egy ilyen kísérletrôl készült film is látható). A rendszer szinkronizáiós fokátegy q = p /p rendparaméterrel jellemezzük, ahol p egy olyan mennyiség, ami a rendszer f (t ) jelének a periodiitásátjellemzi, p meg egyetlenegy egyed jelének periodiitását jellemzi a hosszú periódusú B II módusban. A rendszer periodiitása alatt itt azt értjük, hogy 0,04 0,06 0,08 0, 0,2 0,4 0,6 0,8 0,2 f * 8 b) a) mennyire jól közelíthetô az f (t ) függvény egy tetszôleges periodikus függvénnyel (p értékének egzakt értelmezéséhez lásd a [6] ikket). A választott rendparaméter annyiban különbözik az elôzô esetekben tekintett rendparaméterektôl, hogy egynél nagyobb szám is lehet. Számítógép-szimuláiós eredmények a q rendparaméter átlagos értékére a 6.a és 6.b ábrán láthatók. A 6.a ábrán az átlagos rendparamétert ábrázoljuk az f * függvényében, különbözô számú oszillátorból álló rendszerekre. A 6.b ábrán rögzített f * esetén q értékét ábrázoljuk a rendszerben levô oszillátorok számának függvényében. A 6.a ábrán látható, hogy létezik egy olyan f * intervallum, amelyen az oszillátorrendszer egy erôsen periodikus összjeletad, vagyis az oszillátorok pulzusai szinkronizálódnak. A szinkronizáió megjelenése és eltûnése hirtelen történik, a Kuramoto-rendszerben megismert fázisátalakulásra emlékeztet. Érdemes felfigyelni arra a tényre, hogy ezen szinkronizált állapotban q >, ami azt sejteti, hogy a rendszer sokkal inkább periodikus, mintaz egyedek különkülön! A 6.b ábrán az is jól látható, hogy az oszillátorok számának a növelésével a rendszer periodiitása monotonon növekszik. A meglepetést okozó szinkronizáió mellett ez egy újabb érdekes eredmény, ami aztsugallja, hogy a periódusukban ingadozó oszillátoroknak egy ilyenszerû kapsolásával pontos és jó periodiitású oszillátor készíthetô. A kétmódusú oszillátorrendszerre itt bemutatott eredmények nagyon általános körülmények között megmaradnak: ha többmódusú oszillátorokat tekintünk, ha az oszillátorokat rásra rakjuk és minden oszillátor sak a szomszédjait látja, ha f * értéke gyengén különbözô oszillátoronként stb. Következtetések A szinkronizáió nagyon általános kollektív jelenség, amely sok természeti és társadalmi rendszerben megjelenik. Itt ízelítôként bemutattunk néhány érdekes és meglepô eredménytvalószerû oszillátorsokaságok esetére. Azon jelenségekre és modellekre fókuszáltunk, ahol sok oszillátor kölsönhatása során nemtriviális szinkronizáió alakult ki. A tárgyalt modellek hasznosak lehetnek biológiai és társadalmi jelenségek megértéséhez és ezek modellezésére. Irodalom. S. Strogatz: SY. The Emerging Siene of spontaneous order. Hyperion, Y. Kuramoto, I. ishikava, J. Stat. Phys. 49 (987) A.T. Winfree, J. Theor. Biol. 6 (967) R. Mirollo, S. Strogatz: SIAM. J. Appl. Math. 50 (990) A. ikitin, Z. éda, T. Visek, Phys. Rev. Lett. 88 (2002) R. Sumi, Z. éda, A. Tunyzagi, s. Szász, Phys. Rev. E 79 (2009) Z. éda, E. Ravasz, Y. Brehet, T. Visek, A.L. Barabási, ature 403 (2000) emtriviális szinkronizáió syn ÉDA ZOLTÁ, KÁPTALA ERA: A SOKASÁG RITMUSA 305