13.1. Példa: Nem kötött lánc szerű rezgőrendszer sajátfrekvenciái és rezgésképei. m 1. c 12. c 23 q 3

Átírás

1 SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK 3. MECHANIKA-REZGÉSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Fehér Lajos, tsz. mérnök; Tarnai Gábor, mérnök tanár; Molnár Zoltán, egy. adj., Dr. Nagy Zoltán, egy. adj.) Diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenlet-rendszerének megoldása 3.. Példa: Nem kötött lán szerű rezgőrendszer sajátfrekveniái és rezgésképei Adott: m kg, kg, m3 kg, 0,50 m/n, 3 0 m 3 3 Feladat: a) A rezgőrendszer saját körfrekveniáinak a meghatározása. b) Rezgéskép meghatározása az első saját körfrekvenián. ) Rezgéskép meghatározása a második saját körfrekvenián Megoldás: a) A rezgőrendszer saját körfrekveniáinak a meghatározása: A karakterisztikus egyenlet betűkkel: m m m m m m m m m 3 0. m m m Behelyettesítve: 0, ,50 0, Szorzat akkor nulla, ha valamelyik tényező nulla, így megoldást, illetve másodfokú egyenletet kapjuk, amelynek gyökei: , _rezgtan_gyakDiszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenlet-rendszerének megoldása /8

2 0 00 rad/s, 0 00 rad/s, amit 0 0 egészít ki. b) Rezgéskép meghatározása az első saját körfrekvenián. 3 m 3 3 m m A baloldali egyszabadságfokú rezgőrendszerből 0,50 m 0 m, amiből 0,50 0,50 0, vagyis a rugón a somópont a jelű tömegre esik. Ez azt jelenti, hogy a jelű tömeg helyben marad, ha a rezgőrendszer 00 rad/se frekvenián rezeg. A jelű tömeg, vagyis a középső egyszabadságfokú rezgőrendszer vizsgálatának így nins értelme. A jobboldali egyszabadságfokú rezgőrendszerből, amiből m m/n adódik. m , vagyis a 3 rugón is a somópont a jelű tömegre esik. A rezgőrendszernek tehát egy somópontja van, és az a jelű tömegre esik. A rezgéskép ábrázolása: 0,50 K 0 K m m3 3 3 Az amplitúdókra 3 igaz, amiből 3, illetve _rezgtan_gyakDiszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenlet-rendszerének megoldása /8

3 ) Rezgéskép meghatározása a második saját körfrekvenián. 3 m 3 3 m m 00 rad/s, esetén m, amiből 0,50 m 0 0,50 0,50 0,375 0, vagyis a rugón a somópont valóságos. A középső egyszabadságfokú rezgőrendszerből 3, amiből m 0, m 3 0,750 0, A jobboldali egyszabadságfokú rezgőrendszerből illetve ,75 0 0, 5 0 m/n, a somópont valóságos. 3 0,50 m3 0 Az amplitúdókra igaz, amiből 3 3, illetve igaz, amiből A rezgéskép ábrázolása a második saját körfrekveniánál: 0,50 0,3750 0,50 0,750 0,5 0 0 K m K 3 m _rezgtan_gyakDiszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenlet-rendszerének megoldása 3/8

4 3.. Példa: Kötött lán szerű rezgőrendszer sajátfrekveniái és rezgésképei Adott: m kg, kg, 00 m/n, 0 m 0 Feladat: a) A rezgőrendszer saját körfrekveniáinak a meghatározása. b) Rezgéskép meghatározása az első saját körfrekvenián. ) Rezgéskép meghatározása a második saját körfrekvenián Megoldás: a) A rezgőrendszer saját körfrekveniáinak a meghatározása: A karakterisztikus egyenlet betűkkel: 0m m 0m 0 m 0. Behelyettesítve: Megoldandó a másodfokú egyenletet, amelynek gyökei: , rad/s, 0 00 rad/s. 3_rezgtan_gyakDiszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenlet-rendszerének megoldása /8

5 b) Rezgéskép meghatározása az első saját körfrekvenián: 0 m 0 A jobboldali egyszabadságfokú rezgőrendszerből m m, amiből m 0 0 0, vagyis a rugón a somópont virtuális. A baloldali egyszabadságfokú rezgőrendszert ellenőrzésre használjuk, így teljesülnie kell a 0 egyenletnek, ami m m teljesül is. A rezgéskép ábrázolása: m m K K 0 Az amplitúdókra 3 igaz, amiből, illetve 0. ) Rezgéskép meghatározása a második saját körfrekvenián: 00 rad/s, esetén, amiből 0 m m , vagyis a rugón a somópont valóságos. A baloldali egyszabadságfokú rezgőrendszert ellenőrzésre használjuk, így teljesülnie kell a 0 egyenletnek, ami m m 0 0 A rezgéskép ábrázolása: teljesül is. 3_rezgtan_gyakDiszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenlet-rendszerének megoldása 5/8

6 m m K0 K A kitérésekre 3 igaz, amiből, illetve Példa: Két oldalon kötött lán szerű rezgőrendszer sajátfrekveniái és rezgésképei Adott: m00 kg, m 50 kg, 00 m/n, 0 m/n, 0 0 m 0 0 Feladat: A rezgőrendszer saját körfrekveniáinak a meghatározása, majd a differeniálegyenletrendszer megoldásából kiindulva a rezgéskép meghatározása mind az első, mind a második saját körfrekvenián. Kidolgozás: A rezgőrendszer saját körfrekveniáinak a meghatározása, majd a differeniálegyenletrendszer megoldásából kiindulva a rezgéskép meghatározása mind az első, mind a második saját körfrekvenián: A karakterisztikus egyenlet betűkkel: m m m m Behelyettesítve: Megoldandó a gyökei: másodfokú egyenletet, amelynek 3_rezgtan_gyakDiszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenlet-rendszerének megoldása 6/8

7 , rad/s, 0 0 rad/s. Amplitúdók a saját körfrekvenián: m 0 0 i 0 i, i, 0 m i 0 0 Első saját körfrekvenián ( 0 rad/s ): , behelyettesítve , azaz. Ez azt jelenti, hogy a két tömegnek azonos nagyságú és előjelű a kitérése. Nins a rugónak zérus helye az első saját körfrekvenián:. 0 Rezgéskép ábrázolása az első saját körfrekvenián: m m K0 K0 Második saját körfrekvenián ( 0 rad/s ): , behelyettesítve ,5 0 0, azaz 0,5. Ez azt jelenti, hogy a két tömegnek ellentétes előjelű a kitérése. A rugónak a zérus helye az tömegtől a rugó egyharmad részén van a második saját körfrekvenián: 0. 3_rezgtan_gyakDiszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenlet-rendszerének megoldása 7/8

8 Rezgéskép ábrázolása a második saját körfrekvenián: m m K 0 K K0 3_rezgtan_gyakDiszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenlet-rendszerének megoldása 8/8