Nemlineáris rendszerek

Átírás

1 Nemlineáris rendszerek Irányítástechnika II. - VI BSc 1

2 Lineáris nemlineáris rendszerek Lineáris, időinvariáns, folytonos idejű bemenet/kimenet (I/O) modell: a y n n1 1 m a ahol u a bemenő jel y a kimenő jel a n,,a 0, b m,,b 0 paraméterek a leíró egyenletek nem tartalmazhatják a változók szorzatait vagy hatványait elméleti rendszerek 1y a1 y a0 y bmu n n 0 b u Irányítástechnika II. VI BSc Nemlineáris_r./2

3 Lineáris nemlineáris rendszerek Lineáris rendszerek alapvető tulajdonsága: u 1 (t) y 1 (t) u 2 (t) y 2 (t) 1, 2 R 1 u 1 (t)+ 2 u 2 (t) 1 y 1 (t)+ 2 y 2 (t) szuperpozíció tétele példa mérleg idővariáns rendszerek is lehetnek lineáris rendszerek (elvileg) Irányítástechnika II. VI BSc Nemlineáris_r./3

4 Lineáris nemlineáris rendszerek valós rendszerek többé-kevésbé nemlineárisak ha kicsi az eltérés az állandósult állapotban, akkor alkalmazhatunk lineáris modellt analízis lineáris modell szimuláció nemlineáris rendszer szakadásos rendszerek nem linearizálhatók a nemlineáris rendszerek nem mindig kedvezőtlenek, vannak technikai és gazdasági előnyei Irányítástechnika II. VI BSc Nemlineáris_r./4

5 Lineáris nemlineáris rendszerek Tipikus nemlineáris egyenletek: y b y 2 cy Ku y by c y by sin y y Ku Ku de az alábbi egyenlet egy lineáris, idővariáns rendszert ír le: y by cy K t u Nemlineáris_r./5

6 Lineáris nemlineáris rendszerek Lineáris és nemlineáris rendszerek tulajdonságai: 1. Lineáris rendszerek: érvényes a szuperpozíció tétele nemcsak állandósult állapotban, hanem a tranziens során bármikor Nemlineáris rendszerek: a szuperpozíció tétele nem alkalmazható Nemlineáris_r./6

7 Lineáris nemlineáris rendszerek 2. Lineáris rendszerek: a kimenő jel alakja, lefutása független a bemenőjel nagyságától; az állandósult kimenet pedig független a kezdeti feltételektől Nemlineáris rendszerek: a kimenő jel lefolyása és állandósult értéke a bemenő jel nagyságának és a kezdeti állapotnak függvénye Nemlineáris_r./7

8 Lineáris nemlineáris rendszerek 3. Lineáris rendszerek: a stabilitás kizárólagosan a rendszer tulajdonsága, nem függ a bemenő jeltől és a kezdeti feltételtől, a karakterisztikus egyenlet alapján vizsgálható Nemlineáris rendszerek: a stabilitás azonos bemenő jel esetén függhet a kezdőállapottól, illetve azonos kezdőállapot esetén a bemenő jel nagyságától Nemlineáris_r./8

9 Lineáris nemlineáris rendszerek 4. Lineáris rendszerek: egy adott bemenethez állandósult állapotban csak egyetlen meghatározott kimenet Nemlineáris rendszerek: az egyensúlyi állapot különböző kimeneteknél is létrejöhet Nemlineáris_r./9

10 Lineáris nemlineáris rendszerek 5. Lineáris rendszerek: a válasz csak olyan jelösszetevőket tartalmazhat állandósult állapotban, amilyenek a bemenetben is jelen vannak Nemlineáris rendszerek: állandósult állapotban a kimenőjelnek a bemenőjel frekvenciájának egész számú többszöröseivel, illetve törtrészeivel jellemezhető összetevők (felharmonikus és szubharmonikusok) is felléphetnek Nemlineáris_r./10

11 Lineáris nemlineáris rendszerek 6. Lineáris rendszerek: a bemenő jel frekvenciáját változtatva a kimenet amplitúdója és fázisa folytonos függvény szerint változik Nemlineáris rendszerek: ugrásszerű változások is lehetnek a kimenet amplitúdójában és fázisában Nemlineáris_r./11

12 Lineáris nemlineáris rendszerek A nemlineáris rendszereknél nincs érvényben a szuperpozíció elve, így nem beszélhetünk tranziens és stacionárius összetevőről. A jelek nem bonthatók fel összetevőkre, így nem lehet az összetevőkkel külön-külön műveleteket elvégezni. Sokszor a kapcsolat nem adható meg képlet segítségével, csak durva közelítéssel. Ilyeneket gyakran kapcsolati görbékkel, táblázatokkal adják meg. (Pl.: szelep átfolyási jelleggörbék, hiszterézis, korlátozási görbék) Megoldásuk általában egyedi eljárást igényel. Nemlineáris_r./12

13 Tipikus nemlineáris rendszerek Nemlinearitás visszacsatolt körben: nemlineáris elemet tartalmazó szabályozó végrehajtó szerv nemlinearitása Irányítástechnika II. VI BSc Nemlineáris_r./13

14 Tipikus nemlineáris rendszerek Ideális relé vagy két állású szabályozó a kimenő jel érteke csak a bemenet előjelétől függ Irányítástechnika II. VI BSc Nemlineáris_r./14

15 Tipikus nemlineáris rendszerek Hőmérséklet szabályozás ideális relével: előírtnál alacsonyabb hőmérséklet (hibajel pozitív) konstans fűtés előírtnál magasabb hőmérséklet (hibajel negatív) konstans hűtés egyszerű, olcsó és hatékony szabályozási mód ha csak egy előírt érték felett vagy alatt kell tartani a hőmérsékletet, akkor a relé csak ki/bekapcsolja a fűtést vagy hűtést probléma: gyakori kapcsolás gyors mechanikai tönkremenetelt okozhat Irányítástechnika II. VI BSc Nemlineáris_r./15

16 Tipikus nemlineáris rendszerek Relé érzéketlenségi sávval - háromállású szabályozó érzéketlenségi sáv vagy holtsáv Irányítástechnika II. VI BSc Nemlineáris_r./16

17 Tipikus nemlineáris rendszerek Relé hiszterézissel Irányítástechnika II. VI BSc Nemlineáris_r./17

18 Tipikus nemlineáris rendszerek Relé hiszterézissel és érzéketlenségi sávval Irányítástechnika II. VI BSc Nemlineáris_r./18

19 Tipikus nemlineáris rendszerek Hiszterézis kotyogás Mechanikai kapcsolódások laza illesztése Nemlineáris_r./19

20 Tipikus nemlineáris rendszerek Hiszterézis kotyogás vagy backlash fogaskerék áttétel Irányítástechnika II. VI BSc Nemlineáris_r./20

21 Tipikus nemlineáris rendszerek Pneumatikus működtetésű szelep hiszterézise szelepszár elmozdulása pneumatikus végrehajtó jel Alapfogalmak/21

22 Tipikus nemlineáris rendszerek Telítődés, korlátozás erősítőkre, távadókra jellemző viselkedés, az eszköz csak a méréshatáron belül képes a jel átvitelére Irányítástechnika II. VI BSc Nemlineáris_r./22

23 Tipikus nemlineáris rendszerek Érzéketlenségi sáv tolattyú (töltő szelep) átfedéssel Irányítástechnika II. VI BSc Nemlineáris_r./23

24 Tipikus nemlineáris rendszerek Tolattyú szelep - átfedéssel Irányítástechnika II. VI BSc Nemlineáris_r./24

25 Tipikus nemlineáris rendszerek Tartományonkénti eltérő erősítés tolattyú hézaggal Irányítástechnika II. VI BSc Nemlineáris_r./25

26 Tipikus nemlineáris rendszerek Átlapolás hatása folyadékáramra Irányítástechnika II. VI BSc Nemlineáris_r./26

27 Tipikus nemlineáris rendszerek Előfeszítés y (kimenet) u (bemenet) Nemlineáris_r./27

28 Lineáris nemlineáris rendszerek Nemlinearitások oszályzása: egyértékű több értékű (kifolyási jelleggörbe relé) jelleggörbe tartalmaz-e töréspontot vagy nem (kifolyási jelleggörbe érzéketlenségi sáv) differenciálható nemlinearitás gyorsan, illetve lassan változó nemlineritás az együtthatók változási sebessége alapján (pl. hőátadási tényező rugóállandó) Nemlineáris_r./28

29 Munkaponti linearizálás valós rendszerek többé-kevésbé nemlineárisak lehetséges kezelés: munkaponti linearizálás Legyen Y = f (U 1, U 2, U 3, ) parciálisan deriválva az egyes változók szerint: dy Y Y Y du1 du 2 du3 U U U Irányítástechnika II. VI BSc Nemlineáris_r./29

30 Munkaponti linearizálás legyen adott egy tetszőleges munkapont, aminek viszonylag szűk környezetében vizsgáljuk a rendszer működését jelölje a munkaponti értékeket 0 index, így [Y] 0, [U 1 ] 0, [U 2 ] 0, a munkapont környezetében legyen a függő változó (Y) viselkedése lineáris jelölje a változóknak a munkapont körüli relatív megváltozásait: y, u 1, u 2, u 3, Irányítástechnika II. VI BSc Nemlineáris_r./30

31 Munkaponti linearizálás ekkor a linearizált egyenlet a következő alakú lesz: y = C 1 u 1 + C 2 u 2 + C 3 u 3 + ahol Y Y C1, C2 U1 U 2 0 0, Irányítástechnika II. VI BSc Nemlineáris_r./31

32 Munkaponti linearizálás MIMO rendszerekre általánosítva: y = C u ahol y = y y y u = u u u C = C C C C C = y u Nemlineáris_r./32

33 Munkaponti linearizálás linearizálás előnyei: egy állandósult állapotban ismerjük az összetartozó be- és kimenő jelek értékeit, egy attól nem nagyon eltérő állapotban az új bemenő jelek ismeretében meghatározható a kimenő jeleknek a bemenő jelek megváltozásához tartozó változásai, majd ezeket hozzáadva az eredeti állapot kimenő jeleinek értékéhez, meghatározható a kimenet Nemlineáris_r./33

34 Fázissík módszer a rendszer kimenetének grafikus vizsgálatán alapul segítséget ad a rendszer természetének megértéséhez a módszer az állapotteres rendszer leíráson alapul másodrendű rendszerekre tárgyaljuk, így a vizsgálathoz szükséges görbék síkban ábrázolhatók Nemlineáris_r./34

35 Fázissík módszer a tengelyekhez a kimenetet (pl. a hibajelet) és annak első deriváltját rendeljük a görbék trajektóriák a magára hagyott rendszer válaszát adják meg adott kezdeti feltétel esetén adott görbe a rendszer kimenetének és a kimenet deriváltjának az értékét adja meg egy adott időpontban (az idő a görbe mentén változik) a görbesereget (különböző kezdeti feltételek melletti válaszok összességét) fázisképnek nevezzük Nemlineáris_r./35

36 Fázissík módszer Induljunk ki egy másodrendű rendszer I/O modelljéből: 2 x 2 x n n x 0 ahol n a természetes frekvencia, a csillapítási tényező gerjesztetlen rendszer ábrázoljuk a megoldásgörbéket trajektóriákat a hely és a sebesség függvényében Nemlineáris_r./36

37 Fázissík módszer függvényében lehet alul- és túlcsillapított eset túlcsillapított alulcsillapított az így kapott görbesereg a fáziskép, ahol az origó az egyensúlyi pont az idő a görbék mentén változik! a kezdőállapot határozza meg a lefutás menetét Nemlineáris_r./37

38 Fázissík módszer A felírt lineáris modell x 2 x x helyett vizsgáljuk a következő nemlineáris esetet: 0 x a x,x x b x,x x azaz az együtthatók függjenek a jeltől, de legyenek függetlenek az időtől. Egy adott rendszer fázisképét vagy analitikai megoldással vagy grafikus módszerrel, az ún. izoklinák megszerkesztésével lehet előállítani. Izoklina az azonos meredekségű pontokat tartalmazó görbe. n 2 n 0 Nemlineáris_r./38

39 Fázissík módszer Induljunk ki a lineáris modellből: Legyen x 2 x 2 x n n x 0 y, vagyis y szerepel az ordinátán, és dy dx dy x y y dx dt dx Így x és y változókkal a modell: d y y 2 2 n y n x 0 dx Nemlineáris_r./39

40 Fázissík módszer Ebből: dy dx 2 n y y 2 n x m a trajektória meredeksége; és 2 n y x 2n m az adott m értékhez tartozó izoklina egyenes egyenlete. (Minden trajektória ezt az egyenest m meredekséggel metszi.) Nemlineáris_r./40

41 Fázissík módszer Az m 0 meredekséghez az y n / 2 x ; az m -hez az y 0 (azaz az x tengely); az m 2 n -hez az x 0 (azaz az y tengely) tartozik, míg az origóban a meredekség nemdefiniált (0/0). A következő ábrák tartalmazzák az izoklina egyeneseket az alul és a túlcsillapított másodrendű modellre. A pontokat összekötő egyenesen lévő szakaszok jelzik a meredekség értékét. Nemlineáris_r./41

42 Fázissík módszer Másodrendű rendszerhez tartozó izoklinák alulcsillapított rendszer túlcsillapított rendszer Nemlineáris_r./42

43 Fázissík módszer Mindkét grafikonon egy-egy trajektória lett berajzolva. Adott induló állapotból kiindulva a megoldás görbék megszerkeszthetők. Túlcsillapított tagnál két esetben az izoklinák értéke megegyezik az egyenes meredekségével, így a trajektória tangenciálisan ehhez simulva fut az origóba. Megfigyelhető, hogy a trajektóriák balra tartanak az x- tengely alatt, mivel ha x negatív, akkor x-nek csökkennie kell, és jobbra az x-tengely felett (növekvő sebességnél a távolság is nő). Nemlineáris_r./43

44 Fázissík módszer Nemlineáris esetre az izoklina pontok egyenlete: b x,x y m ax,x x ami általában nem egy egyenes egyenlete. Nemlineáris_r./44

45 Fázissík módszer A fáziskép megrajzolása és értelmezése szempontjából fontosak szinguláris pontok határciklusok. A szinguláris pont a rendszer egyensúlyi pontja, ahol mind a sebesség, mind a gyorsulás zérus. A határ ciklusban állandósult lengések maradnak fenn adott amplitúdóval és frekvenciával. Valamennyi trajektória vagy ezekben, vagy a végtelenben kezdődik vagy végződik. Nemlineáris_r./45

46 Fázissík módszer Szingularitások típusai stabil instabil fókusz stabil instabil csomópont vortex / centrum nyeregpont Nemlineáris_r./46

47 Fázissík módszer Határciklusok konvergens/stabil határciklus divergens/instabil határciklus Nemlineáris_r./47

48 Példa Egyenáramú motor negatív visszacsatolással izoklina görbék Nemlineáris_r./48

49 Példa Egyenáramú motor szabályozása ideális relével izoklina görbék Nemlineáris_r./49

50 Példa Egyenáramú motor szabályozása érzéketlenségi sávval rendelkező relével izoklina görbék Nemlineáris_r./50

51 Példa Egyenáramú motor szabályozása tartományonként eltérő erősítésű szabályozóval izoklina görbék alulcsillapított tartomány túlcsillapított tartomány alulcsillapított tartomány Nemlineáris_r./51

52 Példa Egyenáramú motor szabályozása olyan erősítővel, melynek korlátozása/telítődése van izoklina görbék ideális relénél leírt tartomány alulcsillapított tartomány ideális relénél leírt tartomány Nemlineáris_r./52

53 Példa Egyenáramú motor szabályozása optimális kapcsolású relével izoklina görbék ideális kapcsolás vonala tipikus trajektória Nemlineáris_r./53

54 Leíró függvények módszere Harmonikus linearizálás Frekvencia tartományon alapuló megközelítés Cél: nemlineáris elem működésének közelítése lineáris tag frekvenciatartománybeli leírásával nemlineáris tagot tartalmazó szabályozó körök stabilitásának vizsgálata határciklusok előfordulásának vizsgálata (van-e, amplitúdójának, frekvenciájának becslése, elkerülése vagy hatásának csökkentése) Irányítástechnika II. VI BSc Nemlineáris_r./54

55 Leíró függvények módszere Megoldás: a lineáris és nemlineáris elemeket szétválasztjuk adott feltételek teljesülése esetén a nemlineáris tagot az alapharmonikusok szempontjából közelítőleg egyenértékű lineáris taggal helyettesítjük Nemlineáris_r./55

56 Leíró függvények módszere feltételezések: a kimenő jel alapharmonikusának frekvenciája megegyezik a bemenő jel frekvenciájával; kimenő jelnek állandó összetevője nincs (a nemlineáris elem szimmetrikus); a kimenő jelben a felharmonikusok gyors lecsillapodása (szűrése) miatt elegendő csak az alapharmonikust figyelembe venni; a nemlineáris tag jelleggörbéje időben változatlan; a szabályzó kör csak egy nemlineáris elemet tartalmaz. Irányítástechnika II. VI BSc Nemlineáris_r./56

57 Leíró függvények módszere kiindulás: ahol G 1 (s), G 2 (s) és H(s) lineáris tagok N nemlineáris tag Irányítástechnika II. VI BSc Nemlineáris_r./57

58 Leíró függvények módszere Ha nemlineáris elem bemenetére szinuszos jelet adunk, akkor a kimeneten is periodikus függvény jelenik meg, melynek frekvenciája megegyezik a bemenőjelével, de nem lesz szinuszos. A nemlineáris elem kimenő jele Fourier-sor segítségével leírható. A zárt kör lineáris tagjai alul-áteresztő szűrőként viselkednek, így a nemlineáris tag kimenő jelében jelentkező nagy frekvenciás komponenseket nagyobb mértékben gyengítik, mint az alapfrekvenciás jelet. Így a nemlineáris elemhez visszaérkező jel egy kicsit más lesz, mintha a nemlineáris elem kimenete csak az alapfrekvenciás jel lett volna. Irányítástechnika II. VI BSc Nemlineáris_r./58

59 Leíró függvények módszere Jellemezzük a nemlineáris elemet az N leíró függvénnyel : kimenő jel alapkomponensének amplitúdója N szinuszos bemenő jel amplitúdója Az N általánosságban egy komplex érték, hasonlóan a frekvencia átviteli függvényhez, melynél mind az erősítés, mind a fázis eltolás függ a bemenet amplitúdójától és frekvenciájától. Egyértékű nemlinearitásoknál valós érték, mely a lineáris erősítésnek felel meg, és csak a bemenet amplitúdójától függ. fáziseltolás Irányítástechnika II. VI BSc Nemlineáris_r./59

60 Leíró függvények módszere Legyen a nemlineáris elem bemenete: u t U 0 sint A nemlineáris tag kimenete kifejezve a kimenő jel Fourier-sorával: y t A A cosit B sinit A nagyfrekvenciás jelek gyengülése és a nemlineáris elem szimmetrikus jellege miatt, a következő egyszerűbb kifejezést használhatjuk: y ahol 0 i1 i t y t A cost B sint C cost C i A1 B1 1 arctg A1 / B1 i Irányítástechnika II. VI BSc Nemlineáris_r./60

61 Leíró függvények módszere Az A 1 és B 1 együtthatók a következő integrálkifejezések segítségével határozhatók meg: 2 T / 2 t A 1 y costdt B 1 y t T T / 2 2 T / T T 2 / 2 sintdt A leíró függvény: N U 0, y u t t 1 C 1 U, j j U, j 0 U 0 e C U 0 Irányítástechnika II. VI BSc Nemlineáris_r./61

62 Leíró függvények módszere Stabilitásvizsgálat leíró függvény segítségével Az eredő átviteli függvény: s 1 s N U, G2 s snu, G sh s G 1 G G e 1 2 Irányítástechnika II. VI BSc Nemlineáris_r./62

63 Leíró függvények módszere A stabilitás feltétele a Nyquist-kritérium alapján: ahol illetve sn U, G sh s 0 1 GsN U, 0 1 G1 2 G e G e s GsNU, j G jn U, j a felnyitott kör eredő átviteli függvénye Ábrázolva ezt a komplex számsíkon U függvényében egy görbesereget kapunk Nemlineáris_r./63

64 Leíró függvények módszere Nemlineáris rendszerek stabilitásának vizsgálata Im -1 Re G e (U 1,j ) G e (U 2,j ) G e (U 3,j ) G e j GU, jnu, j Nemlineáris_r./64

65 Leíró függvények módszere Ha minden görbe olyan, hogy az U bemeneti amplitúdóktól függetlenül nem veszi körbe a -1+j0 pontot, akkor a rendszer teljes stabilitású vagy globálisan stabil. Ha minden görbe, az U amplitúdóktól függetlenül körbeveszi a -1+j0 pontot, akkor a rendszer biztosan labilis. Ha van olyan amplitúdó, amire nem veszi körbe, és van olyan, amire igen, akkor rendszer feltételesen stabil. Nemlineáris_r./65

66 Leíró függvények módszere Ha egy adott U bemenő amplitúdónál a görbe átmegy -1+j0 ponton, akkor ott állandósult önfenntartó lengés, azaz határciklus alakul ki. A határciklus lehet konvergens (stabil) vagy divergens (instabil) attól függően, hogy a határciklusban lévő rendszer bementi amplitúdóját növelve a határciklus fennmarad vagy a kimeneti lengések amplitúdója nő. Nemlineáris rendszereknél az állandósult lengések különböző frekvencián alakulhatnak ki. Nemlineáris_r./66

67 Leíró függvények módszere Ha a leíró függvény csak a bemenet amplitúdójától függ és a frekvenciájától nem, akkor jn U, j 1 G jn U 0 1 G G j 1 N U Vegyük fel a komplex síkon mind G(j) lineáris részt, mind a leíró függvény negatív reciprokját Nemlineáris_r./67

68 Leíró függvények módszere A Nyquist-stabilitás kritériumnál a -1+j0 pont szerepét a 1 NU görbe tölti be. A rendszer stabilis, ha a -1/N(U) görbe a G(j) görbétől bal kéz felé, labilis, ha jobb kéz felé esik. Ha a két görbe metszi egymást, akkor a rendszerben határciklus lép fel, mely lehet konvergens (stabil) vagy divergens (instabil). Irányítástechnika II. VI BSc Nemlineáris_r./68

69 Leíró függvények módszere stabil nemlineáris rendszer határciklusok kialakulása Im Re U 1 N( ) G(j ) c 1 divergens határciklus c 2 konvergens határciklus Nemlineáris_r./69

70 Leíró függvények módszere Konvergens határciklus esetén a bemenő jel amplitúdójának kis mértékű megváltozásakor a rendszer ugyan kilép a határciklusra jellemző munkapontból, de visszatér oda. Divergens határciklus esetén ilyen zavarás után a rendszer nem tér vissza a határciklusba. A határciklus konvergens/stabilis, ha a metszéspontban a -1/N(U) görbe olyan, hogy az U értéke bal kéz felé növekszik, labilis, ha jobb kéz felé növekszik. Irányítástechnika II. VI BSc Nemlineáris_r./70

71 Leíró függvények módszere Határciklusok konvergens/stabil határciklus divergens/instabil határciklus Nemlineáris_r./71